高一数学《一元二次不等式解法》单元测试题
(常考题)人教版高中数学必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》测试卷(含答案解析)(3)
一、选择题1．若对(0,)t ∀∈+∞，都有22(1)3x t x t+<+成立，则x 的取值范围是（ ） A ．()2,6-B ．(,3)(2,6)-∞--C ．(,3)(2,)-∞-⋃-+∞D ．(,3)(2,)-∞-⋃-+∞ 2．已知关于x 的不等式210mx mx ++>恒成立，则m 的取值范围为（ ）．A ．()0,4B ．[)0,4C ．[]0,4D ．(](),04,-∞⋃+∞3．已知0a >，0b >，且1a b +=，则14a b+的最小值为（ ） A ．9B ．8C ．7D ．64．已知0,0,23x y x y >>+=，则1421x y++的最小值是（ ） A ．3B ．94 C ．4615D ．95．对于任意实数x ，不等式210ax ax -+>恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]0,4B ．[)0,4C ．(][),04,-∞+∞ D ．()(),04,-∞+∞6．若集合{}2|10A x ax ax =-+<=∅,则实数a 的取值范围是 ( ) A ．{}|04a a << B ．{|04}a a ≤< C ．{|04}a a <≤D ．{|04}a a ≤≤7．如图，在ABC 中，23BD BC =，E 为线段AD 上的动点，且CE xCA yCB =+，则13x y+的最小值为（ ）A ．16B ．15C ．12D ．108．已知AB AC ⊥，1AB t=，AC t =，若P 点是ABC 所在平面内一点，且4AB AC AP ABAC=+，则·PB PC 的最大值等于（ ）. A ．13B ．15C ．19D ．219．若,b R,,a a b ∈≠且则下列式子：（1）22a 32b ab +>，（2）553223a b b a a b +>+，（3）2252(2)a b a b ++≥-，（4）2b aa b+>.其中恒成立的个数是 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个10．若过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB ⋅的最大值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．811．若两个正实数,x y 满足112x y+=，且不等式2x y m m +<-有解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()1,2- B ．()4,1- C ．()(),12,-∞-+∞D ．()(),14,-∞-+∞12．若,,a b c 为实数，则下列命题错误的是( ) A ．若22ac bc >，则a b > B ．若0a b <<，则22a b < C ．若0a b >>，则11a b< D ．若0a b <<,0c d >>，则ac bd <二、填空题13．已知a 、b 都是正数，且0a b ab +-=，则1911b a b +--的最小值是__________．14．≤对任意0,0x y >>恒成立，则a 的最小值是_______．15．已知0x >，0y >，22x y +=，则223524x y x yxy+++的最小值为______.16．已知正实数m ，n 满足119222m n m n +++=，则2m n +的最小值是_______． 17．某企业开发一种产品，生产这种产品的年固定成本为3600万元，每生产x 千件，需投入成本c （x ）万元，c （x ）＝x 2+10x ．若该产品每千件定价a 万元，为保证生产该产品不亏损，则a 的最小值为_____．18．已知函数121()22x x f x +-+=+，如果对任意t ∈R ，f （3t 2+2t ）+f （k 2﹣2t 2）＜0恒成立，则满足条件的k 的取值范围是_____．19．已知方程210(0)x kx k ++=>有实根，则1k k+的最小值是______． 20．已知正实数x ，y 满足x +y =1，则1412x y +++的最小值为________ ．三、解答题21．已知函数()()223f x x bx b R =-+∈.（1）若()f x 在区间[22]-，上单调递减，求实数b 的取值范围； （2）若()f x 在区间[22]-，上的最大值为9，求实数b 的值.22．已知命题:p 实数x 满足28200x x --≤，命题:q 实数x 满足222(1)0(0)x x m m -+-≤>，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.23．已知集合{}2430A x x x =-+≤，B =______.若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，给出如下三个条件：①{}1x a x a -≤≤，②{}2x a x a ≤≤+，③{}3x ≤≤.请从中任选一个补充到横线上.若问题中的a 存在，求出a 的取值范围.24．已知函数2(),(,)f x x ax b a b R =-+∈． （Ⅰ）不等式()0f x ≤的解集为[1,2]-，求a ，b 的值； （Ⅱ）令函数()()2xg x f =，对于任意的实数12,[1,2]x x∈，不等式()()125g x g x -≤恒成立，求a 的取值范围．25．已知正数,,a b c 满足3a b c ++=. （Ⅰ）若221a b +=，求c 的取值范围； （Ⅱ）求证：3bc ac aba b c++≥.26．已知0a b c d >>>>，ad bc =． （Ⅰ）证明：a d b c +>+； （Ⅱ）证明：a b c b c a a b c a b c >．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B解析：B 【分析】首先利用基本不等式得到2(1)4t t +≥，再根据题意得到243x x <+，解不等式即可.【详解】令()2(1)t t t f +=，()0,t ∈+∞，()2)2(11t t f t t t==+++，因为()0,t ∈+∞，所以()1224f t t t=++≥=， 当1t t=即1t =时取等号，又因为(0,)t ∀∈+∞，都有22(1)3x t x t +<+，所以243x x <+即可.由243x x <+得()243033x x x x +-<++，即241203x x x --<+， ()()241230xx x --+<，所以()()()6230x x x -++<，解得3x <-或26x -<<. 故选：B. 【点睛】易错点点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.2．B解析：B 【分析】分0m =和0m ≠两种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围. 【详解】因为关于x 的不等式210mx mx ++>恒成立，分以下两种情况讨论： （1）当0m =时，可得10>，合乎题意； （2）当0m ≠时，则有240m m m >⎧⎨∆=-<⎩，解得04m <<.综上所述，实数m 的取值范围是[)0,4. 故选：B. 【点睛】结论点睛：利用二次不等式在实数集上恒成立，可以利用以下结论来求解： 设()()20f x ax bx c a =++≠①()0f x >在R 上恒成立，则00a >⎧⎨∆<⎩；②()0f x <在R 上恒成立，则00a <⎧⎨∆<⎩；③()0f x ≥在R 上恒成立，则00a >⎧⎨∆≤⎩； ④()0f x ≤在R 上恒成立，则00a <⎧⎨∆≤⎩.3．A解析：A 【分析】利用“1”的代换，转化()1414a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，结合基本不等式即可得解. 【详解】1a b +=，0a >，0b >()1414455549b a a b a b a b a b ⎛⎫+++=++≥+=+= ⎪⎝⎭∴=， 当且仅当4b a a b =，即13a =，23b =时，等号成立. 14a b ∴+的最小值为9 故选：A. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.4．B解析：B 【分析】由已知条件代入后凑出积为定值，再由基本不等式得最小值． 【详解】∵0,0,23x y x y >>+=，所以(2x+1)+y=4则()()421141141549=2152142142144x yx y x y x y x y ++++++=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++=+++ 当且仅当()42121x y x y +=+且214x y ++=即18,63x y ==时取等号， 则1421x y ++的最小值是94. 故选：B ． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方5．B解析：B 【分析】讨论0a =和0a ≠情况，再根据一元二次不等式与二次函数的关系，解不等式得解. 【详解】 关于x 的不等式210ax ax -+>恒成立，当0a =时，10>恒成立，满足题意当0a ≠时，即函数()21f x ax ax =-+恒在x 轴上方即可，所以00a >⎧⎨∆<⎩，即2040a a a >⎧⎨-<⎩，解得04a <<，所以实数a 的取值范围是[0,4).故选：B 【点睛】本题考查了一元二次不等式恒成立求参数的取值范围，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题.6．D解析：D 【分析】本题需要考虑两种情况，00a a =≠，，通过二次函数性质以及即集合性质来确定实数a 的取值范围．【详解】设()21f x ax ax =-+当0a =时，()10f x =>，满足题意 当0a ≠时，()f x 时二次函数 因为{}2|10A x ax ax =-+<=∅ 所以()21f x ax ax =-+恒大于0，即0≤所以240a a -≤，解得04a ≤≤． 【点睛】本题考察的是集合和带有未知数的函数的综合题，需要对未知数进行分类讨论．7．A解析：A 【分析】由已知可得A ，D ，E 三点共线，结合平面向量基本定理可得31x y +=，0x >，0y >，再利用基本不等式即可求解. 【详解】 解：∵23BD BC =， ∴3CB CD =，3CE xCA yCB xCA yCD =+=+，因为A ，D ，E 共线，所以31x y +=，则()3313333101016x y x y y x x y x y x y +++=+=++≥+. 当且仅当33y x x y =且31x y +=即14x y ==时取等号， 故选：A. 【点睛】本题主要考查三点共线的向量表示，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8．A解析：A 【详解】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t，(0,)C t ，1AP =（，0)+4(0,1)=(1,4)，即1P（，4)，所以114)PB t=--（，，14)PC t =--（，，因此PB PC ⋅11416t t =--+117(4)t t =-+，因为114244t t t t+≥⋅=，所以PB PC ⋅的最大值等于13，当14t t =，即12t =时取等号．考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．9．A解析：A 【解析】分析：将不等式两侧的式子做差和0比即可，或者将不等式两侧的式子移到一侧，再配方即可. 详解：(1) 22a 32b ab +-=22322b a b ⎛⎫+- ⎪⎝⎭,当a=1,b=-2.时不等式不成立；(2)553223 a b b a a b +>+=()()()222a b a b a ab b -+++当a=1,b=-1时，不等式不成立；(3)()22522a b a b ++--()()22=a 210b -++≥恒成立.选项正确. (4) b aab +,2][2,)∈-∞-⋃+∞（,故不正确. 故答案为A.点睛：这个题目考查了基本不等式的应用条件，两式比较大小的方法；两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.10．B解析：B 【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即A 和B ，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA PB ⊥；再利用基本不等式放缩即可得出||||PA PB 的最大值．【详解】解：由题意可知，动直线0x my +=经过定点(0,0)A ，动直线30mx y m --+=即(1)30m x y --+=，经过点定点()1,3B ，注意到动直线0x my +=和动直线30mx y m --+=始终垂直，P 又是两条直线的交点，则有PA PB ⊥，222||||||10PA PB AB ∴+==．故22||||||||52PA PB PA PB +=（当且仅当||||PA PB ==时取“=” ) 故选：B ． 【点睛】本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有22||||PA PB +是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．11．C解析：C 【解析】 正实数x ,y 满足112x y+=， 则()111112222224y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=+++=⎪⎝⎭， 当且仅当1,y x x y ==+取得最小值2. 由2x y m m +<-有解,可得22m m ->， 解得m >2或m <−1. 本题选择C 选项.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．12．B解析：B 【分析】由题意利用不等式的性质逐一考查所给的四个选项中的结论是否正确即可.其中正确的命题可以用不等式的性质进行证明，错误的命题给出反例即可. 【详解】对于A ，若22ac bc >，则0c ≠，2222ac bc c c>，即a b >，故正确；对于B ，根据不等式的性质，若0a b <<，不妨取2,1a b =-=-，则22a b >，故题中结论错误；对于C ，若0a b >>，则a b ab ab>，即11a b <，故正确；对于D ，若0a b <<,0c d >>，则0a b ->->，故ac bd ->-，ac bd <，故正确. 故选B. 【点睛】本题主要考查不等式的性质及其应用，属于中等题.二、填空题13．【分析】由可得出根据已知条件得出将代入所求代数式可得出利用基本不等式可求得的最小值【详解】所以由解得则所以当且仅当时等号成立因此的最小值为故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必 解析：15【分析】由0a b ab +-=可得出1b a b =-，根据已知条件得出1b >，将1b a b =-代入所求代数式可得出()19919111b b a b b +=-++---，利用基本不等式可求得1911ba b +--的最小值. 【详解】0a b ab +-=，所以，()1a b b -=-，1b a b ∴=-， 由010b a b b ⎧=>⎪-⎨⎪>⎩，解得1b >，则10b ->， 所以，()()919191919915111111b b b b a b b b b -++=+=-++≥=------， 当且仅当4b =时，等号成立， 因此，1911ba b +--的最小值为15. 故答案为：15. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.14．【分析】不等式变形为然后利用基本不等式求得的最大值可得的最小值【详解】原不等式可化为因为所以即时等号成立又所以时等号成立所以的最大值是即的最小值是故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要【分析】不等式变形为a ≥的最大值，可得a 的最小值．【详解】原不等式可化为a ≥，因为222m n mn +≥，所以222222()2()m n m mn n m n +≥++=+，即m n +≤，m n =时等号成立．又0,0x y >>≤=x y =时等号成立．a ≥a【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．15．16【分析】由条件可知则原式变形为展开后利用基本不等式求最小值【详解】原式；当且仅当即时取等所以的最小值为16故答案为：16【点睛】关键点点睛：本题的关键是结合1的妙用利用基本不等式求最值解析：16【分析】 由条件可知()1212x y +=，则原式变形为()1243522x y x y y x y x ⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭，展开后，利用基本不等式求最小值.【详解】原式()124493524162x y x y x y y x y x y x⎛⎫=++++=++≥ ⎪⎝⎭； 当且仅当23x y =即67x =，47y =时取等. 所以223524x y x y xy+++的最小值为16. 故答案为：16【点睛】关键点点睛：本题的关键是结合 “1”的妙用，利用基本不等式求最值.16．【分析】利用基本不等式可求得再结合可得从而可求出的取值范围即可得到的最小值【详解】由题意当且仅当时等号成立又所以令则解得所以即的最小值是故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查求代数式的最值解题关键是 解析：32【分析】()1112222n m m n m n m n ⎛⎫++=+++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式，可求得()119222m n m n ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，再结合()119222m n m n +=-+，可得()()992222m n m n ⎡⎤+-+≥⎢⎥⎣⎦，从而可求出2m n +的取值范围，即可得到2m n +的最小值.【详解】由题意，()11155922222222n m m n m n m n ⎛⎫++=+++≥+=+= ⎪⎝⎭，当且仅当n m m n=时，等号成立， 又()119222m n m n +=-+，所以()()()1199222222m n m n m n m n ⎛⎫⎡⎤++=+-+≥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 令2m n t +=，则9922t t ⎛⎫-≥⎪⎝⎭，解得332t ≤≤， 所以32,32m n ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即2m n +的最小值是32. 故答案为：32. 【点睛】关键点点睛：本题考查求代数式的最值，解题关键是利用基本不等式求出()119222m n m n ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，再根据()119222m n m n ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，可得到只包含2m n +的关系式()()992222m n m n ⎡⎤+-+≥⎢⎥⎣⎦，从而可求出2m n +的范围.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.17．130【分析】本题先根据题意建立函数与不等式关系再运用参变分离化简最后运用基本不等式求最值即可【详解】解：有题意建立利润函数关系：（）整理得：为保证生产该产品不亏损则（）即当且仅当即取最小值130此 解析：130【分析】本题先根据题意建立函数与不等式关系，再运用参变分离化简，最后运用基本不等式求最值即可.【详解】解：有题意建立利润函数关系：2()(103600)f x ax x x =-++，（0x >） 整理得：2()(10)3600f x x a x =-+--，为保证生产该产品不亏损，则2()(10)36000f x x a x =-+--≥，（0x >）即36001010130a x x ≥++≥=， 当且仅当3600x x=即60x =，a 取最小值130，此时产品不亏损 故答案为：130.【点睛】 本题考查函数与不等式关系、参变分离法，基本不等式解决实际问题中的最值问题，是基础题.18．k<-1或k>1【分析】利用定义先求出函数为单调减函数与奇函数然后化简得到然后利用不等式得恒成立条件求出答案【详解】对于函数定义域为且所以为奇函数且对求导可得则在时为减函数可得利用为奇函数化简得利用 解析：k <-1或k >1.【分析】利用定义，先求出函数()f x 为单调减函数与奇函数，然后化简()()2223220f t t f k t ++-<得到222t t k --<，然后利用不等式得恒成立条件求出答案【详解】对于函数()f x ，定义域为R ，且()12122x x f x ---+-=+1122222xx x x+-+=+()12122x x f x +-==-+，所以，()f x 为奇函数，且对()f x 求导可得()'0f x <，则()f x 在x ∈R 时为减函数， ()()2223220f t t f k t ++-<，可得()()222322f t t f k t +<--，利用()f x 为奇函数 化简得()()222322f t t f t k +-<，利用()f x 在x ∈R 时为减函数，得222322t t t k +->，化简得222t t k --<恒成立，令()22g t t t =--，则有()2max g t k <，而()()max 11g t g =-=，所以21k <，得到1k >或1k <-答案：1k >或1k <-【点睛】本题考查函数的单调性、奇偶性以及不等式的恒成立问题，属于中档题19．【分析】先根据一元二次方程有解得再根据函数的单调性求解即可【详解】解：方程有实根解得又在上单调递增 的最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值的问题根据条件求出k 的范围利用对勾函 解析：52【分析】先根据一元二次方程有解得2k ≥，再根据函数1y k k=+的单调性求解即可. 【详解】 解：方程210(0)x kx k ++=>有实根， 240k ∴-≥，解得2k ≥， 又1y k k=+在[)2+∞，上单调递增， ∴ 1k k +的最小值是15222+=， 故答案为：52． 【点睛】 本题主要考查了利用基本不等式求最值的问题，根据条件求出k 的范围，利用对勾函数在区间内的最值即可求出结果．20．【分析】由可得且则利用基本不等式可求出的最小值【详解】由可得且则（当且仅当即时取=）故的最小值为故答案为：【点睛】利本题考查基本不等式求最值注意用基本不等式求最值必须具备三个条件：①各项都是正数；② 解析：94【分析】由1x y +=，可得(1)(2)4x y +++=且10,20x y +>+>，则()()()112411411412412214142y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=+=+++⎡⎤ ⎪+ +⎪⎣⎦++++++⎝+⎭⎝+⎭+，利用基本不等式可求出1412x y +++的最小值. 【详解】由1x y +=，可得()()124x y +++=且10,20x y +>+>， 则()()114114124122x y x y y x ⎛⎫+=+⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝+⎭++ ()11914541244412x y y x =+⎛⎛⎫ +++≥+= ⎪ ++⎝⎭⎝+，（当且仅当()24121x y x y =++++即12,33x y ==时取“=”）. 故1412x y +++的最小值为94. 故答案为：94. 【点睛】利本题考查基本不等式求最值，注意用基本不等式求最值必须具备三个条件：①各项都是正数；②和（或积）为定值；③等号取得的条件，属于中档题. 三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无。
不等式的解集 一元二次不等式的解法-2020-2021学年高一数学上学期课时同步练(人教2019必修第一册原卷版)
(1)求A∩B；
(2)若不等式x2＋ax＋b<0的解集为A∩B，求不等式ax2＋x＋b<0的解集．
A．[－1,1)B．(－3,1]
C．(－∞，－3)∪[－1，＋∞)D．(－3，－1)
7．解不等式：1＜x2－3x＋1＜9－x.
8．已知关于x的不等式ax2＋2x＋c>0的解集为(－ ， )，求－cx2＋2x－a>0的解集．
二、拓展提升
9．不等式mx2－ax－1>0(m>0)的解集可能是()
A. B．R
3．不等式|x－a|＜b的解集是{x|－3＜x＜9}，则a，b的值分别是()
A．a＝3，b＝6B．a＝－3，b＝9
C．a＝6，b＝3D．a＝－3，b＝6
4．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2,3，a<0，那么ax2＋bx＋c>0的解集为()
A．{x|x>3或x<－2}B．{x|x>2或x<解集为{x|a＜x＜b}，则不等式(x＋2)(x2－ax－b＋1)≤0的解集为()
A．(－∞，－3)
B．(－∞，－3)∪{2}
C．(－∞，2)
D．(－∞，－3]∪[－2,2]
11．已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为(1,2)，
试求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集．
第二单元等式与不等式
第13课不等式的解集 一元二次不等式的解法
一、基础巩固
1．不等式组 的解集是()
A. B．{x|－1＜x＜3}
C. D．{x|－1＜x}
2．若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}，B＝{x|x∈N*，x≤5}，则A∩B等于()
高一数学一元二次不等式解法练习题及答案
高一数学一元二次不等式解法练习题及答案求算术根，被开方数必须是非负数、解据题意有，x2－x－6≥0，即(x－3)(x＋2)≥0，解在“两根之外”，所以x≥3或x≤－2、例3 若ax2＋bx－1＜0的解集为{x|－1＜x＜2}，则a＝________，b＝________、分析根据一元二次不等式的解公式可知，－1和2是方程ax2＋bx－1＝0的两个根，考虑韦达定理、解根据题意，－1，2应为方程ax2＋bx－1＝0的两根，则由韦达定理知例4 解下列不等式(1)(x－1)(3－x)＜5－2x(2)x(x＋11)≥3(x＋1)2(3)(2x＋1)(x－3)＞3(x2＋2)分析将不等式适当化简变为ax2＋bx＋c＞0(＜0)形式，然后根据“解公式”给出答案(过程请同学们自己完成)、答 (1){x|x＜2或x＞4}(4)R(5)R说明：不能使用解公式的时候要先变形成标准形式、[ ]A、{x|x＞0}B、{x|x≥1}C、{x|x＞1}D、{x|x＞1或x＝0}分析直接去分母需要考虑分母的符号，所以通常是采用移项后通分、∵x2＞0，∴x－1＞0，即x＞1、选C、说明：本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解、[ ]A、(x－3)(2－x)≥0B、0＜x－2≤1D、(x－3)(2－x)≤0故排除A、C、D，选B、两边同减去2得0＜x－2≤1、选B、说明：注意“零”、[ ][(a－1)x＋1](x－1)＜0，根据其解集为{x|x＜1或x＞2}答选C、说明：注意本题中化“商”为“积”的技巧、解先将原不等式转化为∴不等式进一步转化为同解不等式x2＋2x－3＜0，即(x＋3)(x－1)＜0，解之得－3＜x＜1、解集为{x|－3＜x＜1｝、说明：解不等式就是逐步转化，将陌生问题化归为熟悉问题、例9 已知集合A＝{x|x2－5x＋4≤0}与B＝{x|x2－2ax＋a＋2分析先确定A集合，然后根据一元二次不等式和二次函数图像关解易得A＝{x|1≤x≤4}设y＝x2－2ax＋a＋2(*)4a2－4(a＋2)＜0，解得－1＜a＜2、说明：二次函数问题可以借助它的图像求解、例10 解关于x的不等式(x－2)(ax－2)＞0、分析不等式的解及其结构与a 相关，所以必须分类讨论、解1 当a＝0时，原不等式化为x－2＜0其解集为{x|x＜2}；4 当a＝1时，原不等式化为(x－2)2＞0，其解集是{x|x≠2}；从而可以写出不等式的解集为：a＝0时，{x|x＜2｝；a＝1时，{x|x≠2}；说明：讨论时分类要合理，不添不漏、例11 若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|α＜x＜β}(0＜α＜β)，求cx2＋bx＋a＜0的解集、分析由一元二次函数、方程、不等式之间关系，一元二次不等式的解集实质上是用根来构造的，这就使“解集”通过“根”实现了与“系数”之间的联系、考虑使用韦达定理：解法一由解集的特点可知a＜0，根据韦达定理知：∵a＜0，∴b＞0，c＜0、解法二∵cx2＋bx＋a＝0是ax2＋bx＋a＝0的倒数方程、且ax2＋bx ＋c＞0解为α＜x＜β，说明：要在一题多解中锻炼自己的发散思维、分析将一边化为零后，对参数进行讨论、进一步化为(ax ＋1－a)(x－1)＜0、(1)当a＞0时，不等式化为(2)a＝0时，不等式化为x－1＜0，即x＜1，所以不等式解集为{x|x＜1}；综上所述，原不等式解集为：例13 (2001年全国高考题)不等式|x2－3x|＞4的解集是________、分析可转化为(1)x2－3x＞4或(2)x2－3x＜－4两个一元二次不等式、答填{x|x＜－1或x＞4}、例14 (1998年上海高考题)设全集U＝R，A＝{x|x2－5x－6＞0}，B ＝{x||x－5|＜a}(a是常数)，且11∈B，则[ ]A、(UA)∩B＝RB、A∪(UB)＝RC、(UA)∪(UB)＝RD、A∪B＝R分析由x2－5x－6＞0得x＜－1或x＞6，即A＝{x|x＜－1或x＞6}由|x－5|＜a得5－a＜x＜5＋a，即B＝{x|5－a＜x＜5＋a}∵11∈B，∴|11－5|＜a得a＞6∴5－a＜－1，5＋a ＞11 ∴A∪B＝R、答选D、说明：本题是一个综合题，涉及内容很广泛，集合、绝对值不等式、一元二次不等式等内容都得到了考查不等式中恒成立问题的解法研究在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。
高一数学一元二次不等式试题答案及解析
高一数学一元二次不等式试题答案及解析1. 8.二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的条件是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】有题意知二次函数的图象恒在轴的下方，所以开口向下，与轴没有交点，.【考点】二次函数恒成立的问题.2.不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】,故选A,注意分解因式后变量系数的正负.【考点】解不等式.3.设函数，（1）若不等式的解集．求的值；（2）若求的最小值．【答案】（1）（2）9【解析】（1）由二次不等式的解集与对应方程根之间的关系可知:-1和3是方程的二实根,由此可得到关于a,b的二元一次方程组，解此方程组得到a,b的值；（2）由得到，利用基本不等式就可求得的最小值．试题解析：（1）因为不等式的解集，所以-1和3是方程的二实根，从而有：即解得：.（2）由得到,所以,当且仅当时“=”成立;所以的最小值为9．【考点】１．一元二次不等式；２．基本不等式．4.若关于的不等式的解集，则的值为_________．【答案】【解析】由题意得，为方程的两根，且由得又由得：【考点】不等式解集与方程根的关系5.若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为，则a－b＝________．【答案】－10【解析】由题意得：为方程的两根，且由韦达定理得：【考点】一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系6.已知集合若，则实数m的取值范围是（）【答案】当时，m的取值范围是【解析】思路分析:因为，，所以，应注意讨论或的情况。
①当时，方程无实根，只需判别式小于0.②当，时，方程的根为非负实根，利用一元二次方程根的分布加以讨论。
解:①当时，方程无实根，所以所以②当，时，方程的根为非负实根，设方程的两根为则即解得综上，当时，m的取值范围是【考点】集合的运算，不等式（组）的解法。
点评：中档题，本题易忽视的情况而出错。
当，时，注意结合二次函数的图象和性质，讨论根的分布情况。
7.不等式组的解集是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，由于不等式组可知，对于，，然后求解交集得到结论为，故答案为C.【考点】不等式的解集点评：主要是考查了一元二次不等式的求解，属于基础题。
人教A版高一数学必修第一册《一元二次函数、方程和不等式》单元练习题卷含答案解析(33)
人教A版高一数学必修第一册《一元二次函数、方程和不等式》单元练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1.若不等式x2+mx+1>0的解集为R，则m的取值范围是()A．R B．(−2，2)C．(−∞，−2)∪(2，+∞)D．[−2，2]2.某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x吨，运费为3万元/次，一年的总存储费用为2x万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买( )吨．A．20B．30C．40D．153.已知a,b∈R，且a−3b+6=0，则2a+18b的最小值为( )A．14B．4C．52D．34.若关于x的不等式kx2−kx<1的解集是全体实数，则实数k的取值范围是( )A．(−4,0)B．(−4,0]C．(−∞,−4)∪(0,+∞)D．(−∞,−4)∪[0,+∞)5.在R上定义运算“⊙”: a⊙b=ab+2a+b，则满足x⊙(x−2)<0的实数x则的取值范围为( )A．(0,2)B．(−2,1)C．(−∞,−2)∪(1,+∞)D．(−1,2)6.当1≤x≤4时，若关于x的不等式2x2−8x−4−a>0有解，则实数a的取值范围是( )A．{a∣ a<−4}B．{a∣ a>−4}C．{a∣ a>−12}D．{a∣ a<−12}7.为不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体A1B1C1D1，该项目由长方形核心喷泉区ABCD（阴影部分）和四周绿化带组成．规划核心喷泉区ABCD的面积为1000m2，绿化带的宽分别为2m和5m（如图所示）．当整个项目占地A1B1C1D1面积最小时，则核心喷泉区BC的长度为( )A ． 20 mB ． 50 mC ． 10√10 mD ． 100 m8. 已知 x >0，y >0，满足 x 2+2xy −1=0，则 2x +y 的最小值是 ( ) A ．√22B ． √2C ．√32D ． √39. 不等式组 {−2(x −3)>10,x 2+7x +12≤0 的解集为 ( )A ． [−4,−3]B ． [−4,−2]C ． [−3,−2]D ． ∅10. 已知 x ，y 为正实数，则 4xx+3y +3y x的最小值为 ( )A ． 53B ．103C ． 32D ． 3二、填空题（共6题） 11. 已知 m =a +1a−2(a >2)，n =22−b 2(b ≠0)，则 m n ．12. 已知 a <b ，若二次不等式 ax 2+bx +c ≥0 对任意实数 x 恒成立，则 M =a+2b+4c b−a的最小值为 ．13. 已知 a >0，b >−1，且 a +b =1，则 a 2+2a+b 2b+1的最小值为 ．14. 已知 a,b,c ∈R +，且 ab +2ac =4，则 2a +2b+2c +8a+b+2c的最小值是 ．15. 已知 a >0，b >0，则 22a+√2b的最小值为 ．16. 若正实数 a ，b 满足 a +b =4，则 1a+1+4b+1 的最小值是 ．三、解答题（共6题）17.已知a>0，b>0，且2a+b=1．求S=2√ab−4a2−b2的最大值．18.(1) 若a∈R，解关于x的不等式：(x+a−2)(x+2a2−4a)≥0．(2) 若−1≤a≤2时，不等式(x+a−2)(x+2a2−4a)≥0恒成立，求x的取值范围．19.已知函数f(x)=mx2−mx−1．若对于x∈[1,3]，存在x，使f(x)<5−m成立，如何求m的取值范围？20.已知不等式ax2−3x+b<0的解集为(1,2)，设函数f(x)=ax2+(c−b)x−bc．(1) 求a，b的值；(2) 求f(x)<0的解集．21.某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙用砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．计算：(1) 仓库底面积S的最大允许值是多少？(2) 为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？22.解下列关于x的不等式．(1) log2(x2−4x)<5．(2) ax2−(a+1)x+1<0(a∈R)．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】B【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法即可得出．【解析】解：∵不等式x 2+mx +1>0的解集为R ，∴△=m 2−4<0，解得−2<m <2． ∴m 的取值范围是(−2，2)． 故选：B ．【点评】熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键．2. 【答案】B【知识点】均值不等式的实际应用问题3. 【答案】C【知识点】均值不等式的应用4. 【答案】B【解析】当 k =0 时，0<1 恒成立，当 k ≠0 时，要使 kx 2−kx −1<0 的解集是全体实数， 只需满足 {k <0,Δ=(−k )2+4k <0,解得 −4<k <0．故实数 k 的取值范围是 (−4,0]． 【知识点】二次不等式的解法5. 【答案】B【解析】根据给出的定义得 x ⊙(x −2)=x (x −2)+2x +(x −2)=x 2+x −2=(x +2)(x −1)，由 x ⊙(x −2)<0 得 (x +2)(x −1)<0，解得 −2<x <1，故该不等式的解集是 (−2,1)． 【知识点】二次不等式的解法6. 【答案】A【解析】原不等式 2x 2−8x −4−a >0 可化为 a <2x 2−8x −4，由题意，可知只需当 1≤x ≤4 时，a 小于 y =2x 2−8x −4 的最大值，易得当 1≤x ≤4 时，y =2x 2−8x −4 的最大值是 −4，所以 a <−4． 【知识点】二次不等式的解法7. 【答案】B【解析】设 BC =x ，则 CD =1000x，所以，S平行四边形A1B1C1D1=(x+10)(1000x+4)=1040+(4x+10000x)≥1040+2√4x⋅10000x =1440,当且仅当4x=10000x，即x=50时，取“=”号，所以当x=50时，S平行四边形A1B1C1D1最小．【知识点】均值不等式的实际应用问题8. 【答案】D【解析】因为正实数x，y满足x2+2xy−1=0，所以y=12x −x2，所以2x+y=2x+12x −x2=32x+12x=12(3x+1x)≥12×2√3x⋅1x=√3,当且仅当x=√33时取等号，所以2x+y的最小值为√3，故选D．【知识点】均值不等式的应用9. 【答案】A【解析】{−2(x−3)>10,x2+7x+12≤0⇒{x−3<−5,(x+3)(x+4)≤0⇒{x<−2,−4≤x≤−3⇒−4≤x≤−3.【知识点】二次不等式的解法10. 【答案】D【解析】因为x，y为正实数，所以4xx+3y +3yx=41+3yx+(1+3yx)−1≥2⋅√41+3yx⋅(1+3yx)−1=3，当且仅当41+3yx =1+3yx时，即“x=3y”时“=”成立．【知识点】均值不等式的应用二、填空题（共6题）11. 【答案】>【解析】因为a>2，所以a−2>0，又因为m=a+1a−2=(a−2)+1a−2+2≥2√(a−2)⋅1a−2+2=4,当且仅当a−2=1a−2，即(a−2)2=1，又a−2>0，所以a−2=1，即a=3时取等号．所以m≥4．因为b≠0，所以b2≠0，所以2−b2<2，所以22−b2<4，即n<4，所以m>n．【知识点】均值不等式的应用12. 【答案】8【解析】由条件知a>0，b−a>0．由题意得Δ=b2−4ac≤0，解得c≥b24a，所以M=a+2b+4cb−a≥a+2b+4⋅b2 4ab−a=a2+2ab+b2a(b−a)=[2a+(b−a)]2a(b−a)=(b−a)2+4a(b−a)+4a2a b−a=b−aa +4ab−a+4≥2√b−aa ⋅4ab−a+4=4+4=8,当且仅当b=3a时等号成立，所以M的最小值为8．【知识点】均值不等式的应用13. 【答案】3+2√22【解析】a2+2a+b2b+1=a+2a+(b+1)2−2(b+1)+1b+1=a+2a+b+1−2+1b+1,又a+b=1，a>0，b+1>0，所以a+2a +b+1−2+1b+1=2a+1b+1=(2a+1b+1)(a2+b+12)=32+b+1a+a2(b+1)≥32+2√b+1a⋅a2(b+1)=3+2√22,当且仅当b+1a =a2(b+1)即a=4−2√2，b=2√2−3时取等号，所以a 2+2a+b2b+1的最小值为3+2√22．【知识点】均值不等式的应用14. 【答案】4【知识点】均值不等式的应用15. 【答案】2【知识点】均值不等式的应用16. 【答案】 32【解析】因为 a >b ，b >0，且 a +b =4， 则 a +1+b +1=6， 所以 a+16+b+16=1，所以1a+1+4b+1=(1a+1+4b+1)(a+16+b+16)=16+23+2(a+1)3(b+1)+b+16(a+1)≥56+2√2(a+1)3(b+1)⋅(b+1)6(a+1)=32,当且仅当 2(a+1)3(b+1)=b+16(a+1) 时，等号成立， 即 b +1=2(a +1)，即 a =1，b =3 时，1a+1+4b+1取得最小值为 32．【知识点】均值不等式的应用三、解答题（共6题）17. 【答案】因为 a >0，b >0，2a +b =1，所以 4a 2+b 2=(2a +b )2−4ab =1−4ab ，且 1=2a +b ≥2√2ab ， 即 √ab ≤√24，ab ≤18，所以 S =2√ab −4a 2−b 2=2√ab −(1−4ab )=2√ab +4ab −1≤√2−12， 当且仅当 a =14，b =12 时，等号成立．因此，当 a =14，b =12 时，S 的最大值为 √2−12． 【知识点】均值不等式的应用18. 【答案】(1) 原不等式即：[x −(2−a )]×[x −(4a −2a 2)]≥0，方程 [x −(2−a )]×[x −(4a −2a 2)]=0 的二根为 2−a ，4a −2a 2， 令 2−a <4a −2a 2 即 2a 2−5a +2<0，解得 12<a <2，所以当 12<a <2 时，原不等式解集为 {x∣ x ≥4a −2a 2或x ≤2−a}．令 2−a =4a −2a 2 即 2a 2−5a +2=0，解得 a =12 或 a =2， 所以当 a =12 或 a =2 时，原不等式解集为 R ．令 2−a >4a −2a 2 即 2a 2−5a +2>0，解得 a <12或 a >2，所以当 a <12或 a >2 时，原不等式解集为 {x∣ x ≥2−a 或x ≤4a −2a 2}．(2) 因为 −1≤a ≤2， 所以 0≤2−a ≤3，因为 4a −2a 2=−2(a −1)2+2， 所以 −6≤4a −2a 2≤2，所以当 −1≤a ≤2 时，2−a ，4a −2a 2 二式的最小值为 −6，最大值为 3． 所以欲使 −1≤a ≤2 时，不等式 [x −(2−a )]×[x −(4a −2a 2)]≥0 恒成立， 应有 x ≤−6 或 x ≥3．【知识点】恒成立问题、二次不等式的解法19. 【答案】由题意知 f (x )<5−m 有解，即 m <6x 2−x+1有解，则 m <(6x 2−x+1)max，又 x ∈[1,3]，得 m <6，即 m 的取值范围为 (−∞,6)． 【知识点】二次不等式的解法20. 【答案】(1) 因为不等式 ax 2−3x +b <0 的解集为 (1,2)， 所以 1 和 2 是关于 x 的方程 ax 2−3x +b =0 的两个根， 由根与系数的关系得 {1+2=−−3a,1×2=ba ,所以 a =1，b =2．(2) 由（1）知 f (x )=ax 2+(c −b )x −bc =x 2+(c −2)x −2c ， f (x )=(x −2)(x +c )<0，不等式对应的方程的两根为 2 和 −c ． 当 c >−2，即 −c <2 时，−c <x <2； 当 c =−2，即 −c =2 时，(x −2)2<0 无解； 当 c <−2，即 −c >2 时，2<x <−c ．综上所述，当 c >−2 时，不等式的解集为 {x∣ −c <x <2}； 当 c =−2 时，不等式的解集为 ∅；当 c <−2 时，不等式的解集为 {x∣ 2<x <−c }． 【知识点】二次不等式的解法21. 【答案】(1) 设正面铁栅长 x m ，侧面长为 y m ，总造价为 z 元，则 z =40x +2×45y +20xy =40x +90y +20xy ，仓库底面积 S =yx m 2．由题意知 z ≤3200，即 4x +9y +2xy ≤320． 因为 x >0，y >0，所以 4x +9y ≥2√4x ⋅9y =12√xy ， 当且仅当 4x =9y 时，等号成立，所以 6√S +S ≤160，即 (√S)2+6√S −160≤0， 所以 0<√S ≤10， 所以 0<S ≤100．故 S 的最大允许值为 100 m 2．(2) 当 S =100 m 2 时，4x =9y ，且 xy =100． 解得 x =15，y =203．故正面铁栅长应设计为 15 m ． 【知识点】均值不等式的实际应用问题22. 【答案】(1) 因为 log 2(x 2−4x )<5，所以 {x 2−4x >0,x 2−4x <32 即 {x <0或x >4,−4<x <8,解得 −4<x <0 或 4<x <8，故不等式 log 2(x 2−4x )<5 的解集为 (−4,0)∪(4,8)． (2) ax 2−(a +1)x +1<0 等价于 (ax −1)(x −1)<0， 当 a >0 时，若 0<a <1，则 1a >1，此时 1<x <1a ； 若 a =1，则不等式为 (x −1)2<0，此时无解； 若 a >1，则1a<1，此时1a<x <1，当 a =0 时，不等式为 −x +1<0，此时 x >1； 当 a <0 时，1a<0，此时，x <−1a或 x >1，综上，当 0<a <1 时，解集为 (1,1a )；当 a =1 时，解集为 ∅； 当 a >1 时，解集为 (1a ,1)； 当 a =0 时，解集为 (1,+∞)；)∪(1,+∞)．当a<0时，解集为(−∞,−1a【知识点】简单的对数方程与不等式（沪教版）、二次不等式的解法11。
高一数学一元二次不等式解法练习题
1．三个“二次”间的关系鉴别式＝b2－ 4ac二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞ 0)的根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集解以下不等式x2－5x＋4≤0一元二次不等式知识梳理＞0＝0＜0 有两相异实根有两相等实根没有实1 2 1 2b 数根x ，x (x ＜x ) x1＝ x2＝－2a{ x|x＞x2x|x≠－bR 或 x＜x1} 2a{ x|x1＜x＜ x2} ? ?x(x＋11)≥3(x＋1)2(2x＋1)(x－3)＞3(x2＋2)|x2－ 3x|＞4(x－3)(x＋2)(x－1)≥03x 72≥ 0 x2 2x 3含参不等式例 1 若 0＜ a＜ 1，则不等式 (x －a)(x －1) ＜ 0的解是 a[]A． a＜ x＜1C． x＞1或 x＜ a a aB．1＜ x＜ a D ． x＜1或 x＞ a a a例 2解对于x的不等式(x－2)(ax－2)＞0例 3 若 ax2＋ bx－ 1＜0 的解集为 {x| － 1＜x ＜2} ，则 a＝________，b＝________．例 4 对于 x 的不等式 x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为 (x1，x2)，且 x2－x1＝5 7 15 1515，则 a＝() A. 2 B.2 C. 4 D. 2练习解对于 x 的不等式 kx2－2x＋k＜0(k∈R)．解对于 x 的不等式： ax2－2≥2x－ax(a∈R)．.考点三不等式恒建立问题【例 3】设函数 f(x)＝ mx2－mx－ 1.(1)若对于一确实数x， f(x)＜ 0 恒建立，求 m 的取值范围；(2)若对于 x∈[1， 3] ，f(x)＜－ m＋5 恒建立，求 m 的取值范围．二元一次不等式 (组)与简单的线性规划问题知识梳理1．二元一次不等式表示的平面地区(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋ C>0 在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0 某一侧所有点构成的平面地区．我们把直线画成虚线以表示地区不包含界限直线．当我们在座标系中画不等式 Ax＋By＋C≥0 所表示的平面地区时，此地区应包含界限直线，则把界限直线画成实线．(2)因为对直线 Ax＋ By＋ C＝ 0 同一侧的全部点 (x，y)，把它的坐标 (x，y)代入 Ax＋By＋C，所得的符号都同样，因此只要在此直线的同一侧取一个特别点(x0，0作为测试点，由0＋0＋C 的符y ) Ax By 号即可判断 Ax＋By＋C>0 表示的直线是 Ax＋By＋C＝0 哪一侧的平面地区．2．线性规划有关观点名称意义拘束条件目标函数中的变量所要知足的不等式组线性拘束条件由 x，y 的一次不等式 (或方程 )构成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数对于 x， y 的一次分析式可行解知足线性拘束条件的解可行域全部可行解构成的会合最优解使目标函数获得最大值或最小值的点的坐标线性规划问题在线性拘束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)不等式Ax＋By＋C＞0 表示的平面地区必定在直线Ax＋ By＋C＝ 0 的上方． ( )(2)线性目标函数的最优解可能是不独一的．( )(3)线性目标函数获得最值的点必定在可行域的极点或界限上．()(4)目标函数 z＝ ax＋by(b≠0)中， z 的几何意义是直线ax＋ by－z＝0 在 y 轴上的截距． ()2．以下各点中，不在x＋y－1≤0 表示的平面地区内的是 ()A．(0，0) B．(－1，1) C．(－1，3) D．(2，－3)x≥0，＋－＝与不等式组y≥0，表示的平面地区的公共点有 ()3．直线 2x y 10 0x－y≥－ 2，4x＋3y≤ 20A．0 个B．1 个C．2 个D．无数个x＋ y－2≥0，4．(2014 ·天津卷 )设变量 x，y 知足拘束条件x－ y－2≤0，则目标函数 z＝x＋2y 的最小值为 ()y≥ 1，A．2 B．3 C．4 D．5x＋ y－ 2≥ 0，5． (2014 ·安徽卷 )不等式组x＋ 2y－4≤0，表示的平面地区的面积为x＋ 3y－2≥0________．考点一二元一次不等式 (组)表示的平面地区x－ y≥0，2x＋y≤2，【例 1】 (1)若不等式组表示的平面地区是一个三角形，则 a 的取值范围是 ()y≥ 0，x＋ y≤a4A. 3，＋∞B．(0，1]4 4C. 1，3 D．(0，1] ∪3，＋∞x≥ 0，4(2)若不等式组x＋ 3y≥4，所表示的平面地区被直线y＝ kx＋3分为面积相等的两部分，则k 的值3x＋y≤4是()7 3A.3B.74 3C.3D.4x＋y－3≤0，【训练 1】 (1)若函数 y＝2x图象上存在点 (x，y)知足拘束条件x－2y－ 3≤ 0，则实数 m 的最大值x≥m，1 3为()A. 2 B．1 C.2 D．2x＋ y－ 1≥ 0，(2)在平面直角坐标系中，若不等式组x－ 1≤ 0， (a 为常数 )所表示的平面地区的面积等于 2，ax－y＋1≥ 0则 a 的值为 ()A．－5 B．1 C．2 D．3考点二 简单线性目标函数的最值问题x ＋y －1≥0，【例2】 (1)(2014 新·课标全国 Ⅱ卷 设 ， 知足拘束条件x －y －1≤0，)x yx －3y ＋ 3≥ 0，则 z ＝x ＋2y 的最大值为 ()A ．8B ．7C ．2D ．1(2)(2014 ·新课标全国 Ⅰ 卷)设 x ，y 知足拘束条件x ＋y ≥a ， x －y ≤－ 1，(3)且 z ＝ x ＋ ay 的最小值为 7，则 a ＝ () A ．－5 B ．3C ．－5 或 3D ．5 或－ 33x －5y ＋6≥0， 【训练 2】 (1)(2015 潍·坊模拟 )若 x ， y 知足条件 2x ＋3y －15≤ 0，y ≥0，当且仅当 x ＝y ＝3 时， z ＝ax ＋y 取最大值，则实数 a 的取值范围是 ()2 3A ．(－3，5)3 2B ．(－∞，－ 5)∪(3，＋∞ )3 2C ．(－5，3)2 3D ．(－∞，－ 3)∪(5，＋∞ )y ≤x ，(2)(2014 ·湖南卷 )若变量 x ，y 知足拘束条件 x ＋y ≤4，y ≥1，则 z ＝2x ＋y 的最大值为 ________．考点三 实质生活中的线性规 划问题【例 3】 某旅游社租用 A ，B 两种型号的客车安排36 人和 60 人，租金分别为 1 600 元/辆和 2 400 元车不多于 A 型车 7 辆，则租金最少为 ()A ．31 200 元B ．36 000 元C ．36 800 元D ．38 400 元900 名客人旅游， A ，B 两种车辆的载客量分别为辆，旅游社要求租车总数不超出 21辆，且 B 型微型专题 非线性目标函数的最值问题与二元一次不等式 (组)表示的平面地区有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要联合给定代数式的几何意义来达成．常有代数式的几何意义：(1) x 2＋y 2表示点 (x ，y)与原点 (0，0)的距离；(2) （ x －a ）2＋（ y －b ）2 表示点 (x ，y)与点 (a ，b)之间的距离； (3)|Ax ＋ By ＋C|表示点 (x ， y)到直A 2＋B 2yy －b线 Ax ＋By ＋ C ＝0 的距离； (4)x 表示点 (x ，y)与原点 (0，0)连线的斜率； (5)x －a 表示点 (x ，y)与点 (a ， b)连线的斜率．x － y ＋1≤0，】 实数x ， y 知足 x ＞ 0，【例 4y ≤ 2.y(1)若 z ＝ x ，求 z 的最大值和最小值，并求 z 的取值范围；(2)若 z ＝ x 2＋y 2，求 z 的最大值与最小值，并求 z 的取值范围．基础稳固题组y≤－ x＋2，1． (2015 ·泰安模拟 )不等式组y≤x－1，y≥01 1 1A．1 B.2 C.3 D. 42． (2014 ·湖北卷 )若变量 x， y 知足拘束条件所表示的平面地区的面积为()x＋y≤4，x－y≤2，则2x＋y的最大值是() x≥0，y≥0，A．2 B．4 C．7 D．83．(2013 ·陕西卷 )若点 (x，y)位于曲线 y＝|x|与 y＝2 所围成的关闭地区，则 2x－ y 的最小值为 () A．－6 B．－ 2 C．0 D．2y≤1，4．(2014 ·大连模拟 )在平面直角坐标系xOy 中，P 为不等式组x＋y－2≥0，所表示的平面地区上x－y－ 1≤ 0一动点，则直线 OP 斜率的最大值为 ( )1 1A．2 B．1 C.2 D.3x－y≥1，5． (2015 ·济南模拟 )已知变量 x，y 知足拘束条件x＋y≥1，目标函数z＝x＋2y，的最大值为 101＜x≤a，则实数 a 的值为 ( )8A．2 B.3 C．4 D． 8能力提高题组(建议用时： 25 分钟 )x＋y－ 7≤ 0，11．(2014 ·福建卷 )已知圆 C： (x－a)2＋(y－b)2＝1，平面地区Ω：x－y＋ 3≥ 0，若圆心C∈Ω，y≥0.且圆 C 与 x 轴相切，则 a2＋ b2的最大值为 ()A．5 B．29C．37 D．49分析由已知得平面地区Ω为△MNP内部及界限．∵圆C与x轴相切，∴b＝1.明显当圆心C位于直线 y＝ 1 与 x＋y－7＝ 0 的交点 (6， 1)处时， a max＝6.∴a2＋ b2的最大值为 62＋12＝ 37.应选 C.答案 Cx－y＋2≥0，12．已知实数x， y 知足不等式组x＋y－4≥0，若目标函数2x－y－5≤0，z＝ y－ ax 获得最大值时的独一最优解是 (1， 3)，则实数 a 的取值范围为( )A．(－∞，－C．[1，＋∞ ) 1) B．(0，1) D．(1，＋∞ )分析作出不等式组对应的平面地区 BCD，由 z＝ y－ ax，得 y＝ax＋z，要使目标函数 y＝ ax＋z仅在点 (1，3)处取最大值，则只要直线 y＝ax＋ z 仅在点 B(1，3)处的截距最大，由图象可知 a＞k BD，因为k BD＝ 1，因此 a＞ 1，即 a 的取值范围是 (1，＋∞)．答案 Dx ＋4y ≥4，13．(2013 ·广东卷 )给定地区 D ： x ＋y ≤4， 令点集 T ＝{( x 0，y 0)∈D|x 0， y 0∈Z ，(x 0，y 0)是 z ＝xx ≥0.＋y 在 D 上获得最大值或最小值的点 } ，则 T 中的点共确立 ________条不一样的直线．分析 线性地区为图中暗影部分，获得最小值时点为 (0，1)，最大值时点 为(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)， (4，0)，点 (0，1) 与(0， 4)，(1，3)， (2， 2)， (3，1)， (4，0)中的任何一个点都能够构成一 条直线，共有 5 条， 又(0， 4)，(1，3)， (2，2)， (3，1)，(4， 0)都在直线 x ＋y ＝4 上，故 T 中的点共确立 6 条不一样的直线． 答案 6x － 4y ＋3≤0， 14．变量 x ，y 知足 3x ＋5y － 25≤0，x ≥ 1.y(1)设 z ＝ x ，求 z 的最小值； (2)设 z ＝ x 2＋y 2，求 z 的取值范围；(3)设 z ＝ x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求 z 的取值范围．x － 4y ＋3≤0，解 由拘束条件 3x ＋5y －25≤ 0，作出， 的可行域如图暗影部分所示．(x y)x ≥ 1.x ＝ 1，22 由 3x ＋5y － 25＝0，解得A 1， 5.x ＝ 1，由解得 C(1，1)．x － 4y ＋3＝0，x － 4y ＋3＝0，由解得 B(5，2)．3x ＋5y － 25＝0，y ＝ y －0O 连线的斜率．察看图形可知 min＝k OB2(1)∵ z ＝x x －0.∴z 的值即是可行域中的点与原点 z ＝5.(2)z＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．联合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min＝|OC|＝2， d max＝|OB|＝29.故 z 的取值范围是 [2，29]．(3)z＝x2＋y2＋ 6x－4y＋ 13＝(x＋ 3)2＋ (y－2)2的几何意义是可行域上的点到点 (－3，2)的距离的平方．联合图形可知，可行域上的点到 ( － 3 ， 2) 的距离中， d min＝ 1 － ( － 3) ＝ 4 ， d max＝（－3－5）2＋（2－2）2＝8.故 z 的取值范围是 [16，64].。
人教A新版必修1《第2章_一元二次函数、方程和不等式》2019年单元测试卷(三)
人教A新版必修1《第2章一元二次函数、方程和不等式》2019年单元测试卷（三）复习巩固1. 某夏令营有48人，出发前要从A，B两种型号的帐篷中选择一种，A型号的帐篷比B 型号少5顶，若只选A型号的，每顶帐篷住4人，则帐篷不够，每顶帐篷住5人，则有一顶帐篷没有住满，若只选B型号的，每顶帐篷住3人，则帐篷不够，每顶帐篷住4人，则有帐篷多余，设A型号的帐篷有x顶，用不等式将题目中的不等关系表示出来．2. 用不等号“>”或“<”填空：（1）若a>b，且1a >1b，则ab<0；（2）若c>a>b>0，则ac−a ________bc−b；（3）若a>b>c>0，则ab ________a+cb+c．3. （1）在面积为定值S的扇形中，半径是多少时扇形的周长最小？ 3. （2）在周长为定值P的扇形中，半径是多少时扇形的面积最大？4. 求下列不等式的解集：（1）14−4x2≥x；（2）x2−14x+45≤0；（3）x2+6x+10>0；（4）x(x+2)>x(3−x)+1．5. 已知a，b>0，ab＝a+b+3，求ab的取值范围．<0对一切实数x都成立？6. 当k取什么值时，一元二次不等式2kx2+kx−387. 一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小10%，而且这个比值越大，采光效果越好．(1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为220m2，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？(2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？8. 相等关系和不等关系之间具有对应关系：即只要将一个相等关系的命题中的等号改为不等号就可得到一个相应的不等关系的命题，请你用类比的方法探索相等关系和不等关系的对应性质，仿照如表列出尽可能多的有关对应关系的命题；指出所列的对应不等关系的命题是否正确，并说明理由．9. 2010年上海世博会某国要建一座八边形的展馆区，它的主体造型的平面图是由二个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m2的十字型地域，计划在正方形MNPQ上建一座“观景花坛”，造价为4200元/m2，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角（如△DQH等）上铺草坪，造价为80元/m2．（1）设总造价为S元，AD长为xm，试建立S与x的函数关系；（2）当x为何值时，S最小？并求这个最小值．10. 两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．哪种购物方式比较经济．参考答案与试题解析人教A新版必修1《第2章一元二次函数、方程和不等式》2019年单元测试卷（三）复习巩固1.【答案】由题意得{x>0 x+5>0 4x<480<5x−48<5 3(x+5)<48 4(x+5)>48即{x>0x+5>04x<480<5x−48<53(x+5)<48x+5>12．【考点】二元一次不等式的几何意义【解析】根据条件利用二元一次不等式进行表示即可．【解答】由题意得{x>0 x+5>0 4x<480<5x−48<5 3(x+5)<48 4(x+5)>48即{x>0x+5>04x<480<5x−48<53(x+5)<48x+5>12．2.【答案】若a>b，且1a >1b，则1a−1b=b−aab>0，于是ab<0；>>【考点】不等式的基本性质【解析】（1）通过作差，利用不等式的基本性质即可判断出结论；（2）通过作差，利用不等式的基本性质即可判断出结论；（3）通过作差，利用不等式的基本性质即可判断出结论．【解答】若a>b，且1a >1b，则1a−1b=b−aab>0，于是ab<0；若c>a>b>0，则ac−a −bc−b=a(c−b)−b(c−a)(c−a)(c−b)=(a−b)c(c−a)(c−b)>0，∴ac−a >bc−b；若a>b>c>0，则ab −a+cb+c=a(b+c)−b(a+c)b(b+c)=(a−b)cb(b+c)>0，∴ab >a+cb+c．3.【答案】设扇形的圆心角为θ，半径为r，则扇形的面积为S=12θr2，解得θ=2Sr2；又扇形的周长为P＝2r+θr＝2(r+Sr )≥4⋅√r⋅Sr=4√S，当且仅当r=Sr，即r=√S时扇形的周长最小；设扇形半径为r，弧长为l，则扇形的周长为2r+l＝P，面积为S=12lr；因为P＝2r+l≥2√2rl，当且仅当2r＝l，即r=P4时取等号．所以rl≤P 28，所以S≤P216．【考点】基本不等式及其应用【解析】（1）设出扇形的半径与圆心角，由此表示出扇形的面积，再利用基本不等式求出扇形周长的最小值；（2）由扇形的周长和面积公式都和半径和弧长有关，设出半径和弧长，表示出周长和面积公式，利用基本不等式求出面积的最大值．【解答】设扇形的圆心角为θ，半径为r，则扇形的面积为S=12θr2，解得θ=2Sr2；又扇形的周长为P＝2r+θr＝2(r+Sr )≥4⋅√r⋅Sr=4√S，当且仅当r=Sr，即r=√S时扇形的周长最小；设扇形半径为r，弧长为l，则扇形的周长为2r+l＝P，面积为S=12lr；因为P＝2r+l≥2√2rl，当且仅当2r＝l，即r=P4时取等号．所以rl≤P 28，所以S≤P216．4.【答案】14−4x2≥x．4x2+x−14≤0．(x+2)(4x−7)≤0．∴−2≤x≤74；]．则原不等式的解集为[−2, 74x2−14x+45≤0．(x−5)(x−9)≤0．∴5≤x≤9，则原不等式的解集为[5, 9]．x2+6x+10>0．(x+3)2+1>0．∴x∈R，则原不等式的解集为R．x(x+2)>x(3−x)+1．(2x+1)(x−1)>0．∴x>1或x<−1．2)∪(1, +∞)．则原不等式的解集为(−∞, −12【考点】其他不等式的解法【解析】根据一元二次不等式的解法，分别解出即可．【解答】14−4x2≥x．4x2+x−14≤0．(x+2)(4x−7)≤0．∴−2≤x≤7；4]．则原不等式的解集为[−2, 74x2−14x+45≤0．(x−5)(x−9)≤0．∴5≤x≤9，则原不等式的解集为[5, 9]．x2+6x+10>0．(x+3)2+1>0．∴x∈R，则原不等式的解集为R．x(x+2)>x(3−x)+1．(2x+1)(x−1)>0．∴x>1或x<−1．2)∪(1, +∞)．则原不等式的解集为(−∞, −125.【答案】∵正数a，b，∴ab＝a+b+3≥2√ab+3，∴ab≥2√ab+3，∴(√ab−3)(√ab+1)≥0，∴√ab≥3或√ab≤−1，∴ab≥9，ab的取值范围：[9, +∞)．【考点】基本不等式及其应用【解析】将式子中的a+b用ab表示，再解不等式求出范围即可．【解答】∵正数a，b，∴ab＝a+b+3≥2√ab+3，∴ab≥2√ab+3，∴(√ab−3)(√ab+1)≥0，∴√ab≥3或√ab≤−1，∴ab≥9，ab的取值范围：[9, +∞)．6.【答案】当k＝0，不满足一元二次不等式；当k≠0，令y=2kx2+kx−3，8∵y<0恒成立，∴开口向下，抛物线与x轴没公共点，即k<0，且△＝k2+3k<0，解得−3<k<0；综上所述，k的取值范围为−3<k<0．【考点】一元二次不等式的应用【解析】先分类讨论：当k＝0，不满足一元二次不等式；当k≠0，利用二次函数的性质求解，，要y<0恒成立，则开口向下，抛物线与x轴没公共点，即k<0，令y=2kx2+kx−38且△<0，解不等式即可得到k的取值范围．【解答】当k＝0，不满足一元二次不等式；当k≠0，令y=2kx2+kx−3，8∵y<0恒成立，∴开口向下，抛物线与x轴没公共点，即k<0，且△＝k2+3k<0，解得−3<k<0；综上所述，k的取值范围为−3<k<0．7.【答案】解：(1)设这所公寓的窗户面积为am2，地板面积为bm2，由题意可得：{a+b=220，ab≥10%，所以b≤a10%=10a，所以a+b=220≤a+10a，所以a≥20，所以这所公寓的窗户面积至少为20m2．(2)设窗户面积为x，地板面积为y，窗户和地板同时增加m，则xy −x+my+m=x(y+m)−y(x+m)y(y+m)=(x−y)my(y+m)，由题意可知0<x<y，m>0，所以(x−y)my(y+m)<0，即xy<x+my+m，所以公寓的采光效果变好了．【考点】根据实际问题选择函数类型不等式比较两数大小【解析】（1）设窗户面积为x，列出不等式组，解出x的范围即可；（2）根据作差法比较大小即可．【解答】解：(1)设这所公寓的窗户面积为am2，地板面积为bm2，由题意可得：{a+b=220，ab≥10%，所以b≤a10%=10a，所以a+b=220≤a+10a，所以a≥20，所以这所公寓的窗户面积至少为20m2．(2)设窗户面积为x，地板面积为y，窗户和地板同时增加m，则xy −x+my+m=x(y+m)−y(x+m)y(y+m)=(x−y)my(y+m)，由题意可知0<x<y，m>0，所以(x−y)my(y+m)<0，即xy<x+my+m，所以公寓的采光效果变好了．8.【答案】根据题意，填写下表即可；对于（1），当x>y时，x3>y3，指数是奇数，命题正确；对于（2），当x>y，y>z时，x>z，由不等关系的传递性知，命题正确；对于（3），当x>y时，x−y>0，(x+z)−(y+z)＝x−y>0，得出x+z>y+z 正确；对于（4），当x>y时，若z>0，则xz−yz＝z(x−y)>0，得出xz>yz正确；对于（5），当x＝0，y＝−1时，若n＝2，则02<(−1)2，得出命题错误．【考点】四种命题的定义【解析】根据等式的性质类比得出不等式的性质，再判断它们的真假性即可．【解答】根据题意，填写下表即可；对于（1），当x>y时，x3>y3，指数是奇数，命题正确；对于（2），当x>y，y>z时，x>z，由不等关系的传递性知，命题正确；对于（3），当x>y时，x−y>0，(x+z)−(y+z)＝x−y>0，得出x+z>y+z 正确；对于（4），当x>y时，若z>0，则xz−yz＝z(x−y)>0，得出xz>yz正确；对于（5），当x＝0，y＝−1时，若n＝2，则02<(−1)2，得出命题错误．9.【答案】(0<x<10√2)，设DQ＝y，又AD＝x，则x2+4xy＝200，∴y=200−x24x∴ S ＝4200x 2+210⋅4xy +80⋅2y 2=38000+4000x 2+400000x 2(0<x <10√2)．S ≥38000+2√16×108=118000， 当且仅当4000x 2=400000x 2，即x =√10时，S min ＝118000元．【考点】根据实际问题选择函数类型 【解析】（1）先设DQ ＝y ，又AD ＝x ，根据由二个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为200 m 2的十字型地域得出y 的函数表达式，最后建立建立S 与x 的函数关系即得；（2）利用基本不等式求出（1）中函数S 的最小值，并求得当x 取何值时，函数S 的最小值即可． 【解答】设DQ ＝y ，又AD ＝x ，则x 2+4xy ＝200，∴ y =200−x 24x(0<x <10√2)，∴ S ＝4200x 2+210⋅4xy +80⋅2y 2=38000+4000x 2+400000x 2(0<x <10√2)．S ≥38000+2√16×108=118000， 当且仅当4000x 2=400000x 2，即x =√10时，S min ＝118000元．10.【答案】设第一次和第二次购物时的价格分别为p 1，p 2．按第一种策略，每次购nkg ，按这种策略购物时，两次的平均价格是： x =p 1n+p 2n2n=p 1+p 22．若按第二种购物策略，第一次花m 元钱，能购mp 1kg 物品，第二次仍花m 元钱，能购mp 2kg 物品，两次购物的平均价格为y =2mm p 1+m p 2=21p 1+1p 2．比较两种购物时的平均价格： x −y =p 1+p 22−21p 1+1p 2=p 1+p 22−2p 1p 2p 1+p 2=(p 1+p 2)2−4p 1p 12(p 1+p 2)=(p 1−p 2)22(p1+p 2)≥0．因为第一种策略的平均价格不小于第二种策略的平均价格，所以用第二种策略比较经济． 【考点】根据实际问题选择函数类型试卷第11页，总11页 【解析】设第一次和第二次购物时的价格分别为p 1，p 2．按第一种策略，每次购nkg ，按这种策略购物时，两次的平均价格是：x =p 1n+p 2n 2n =p 1+p 22．若按第二种购物策略，第一次花m 元钱，能购m p 1kg 物品，第二次仍花m 元钱，能购m p 2kg 物品，两次购物的平均价格为y =2m m p 1+m p 2=21p 1+1p 2．用做差法比较两次购物时的平均价格发现第一种策略的平均价格不小于第二种策略的平均价格，所以用第二种策略比较经济．【解答】设第一次和第二次购物时的价格分别为p 1，p 2．按第一种策略，每次购nkg ，按这种策略购物时，两次的平均价格是：x =p 1n+p 2n 2n =p 1+p 22．若按第二种购物策略，第一次花m 元钱，能购m p 1kg 物品， 第二次仍花m 元钱，能购mp 2kg 物品， 两次购物的平均价格为y =2m m p 1+m p 2=21p 1+1p 2．比较两种购物时的平均价格：x −y =p 1+p 22−21p 1+1p 2=p 1+p 22−2p 1p 2p 1+p 2=(p 1+p 2)2−4p 1p 112 =(p 1−p 2)22(p 1+p 2)≥0．因为第一种策略的平均价格不小于第二种策略的平均价格，所以用第二种策略比较经济．。
高一数学一元二次不等式解法练习题及解答
高一数学一元二次不等式解法练习题及答案[ ]分析 求算术根，被开方数必须是非负数．解 据题意有，x 2－x －6≥0，即(x －3)(x ＋2)≥0，解在“两根之外”，所以x ≥3或x ≤－2．例3 若ax 2＋bx －1＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ＝________，b ＝________．分析 根据一元二次不等式的解公式可知，－1和2是方程ax 2＋bx －1＝0的两个根，考虑韦达定理．解 根据题意，－1，2应为方程ax 2＋bx －1＝0的两根，则由韦达定理知例若＜＜，则不等式－－＜的解是1 0a 1(x a)(x )01aA a xB x a．＜＜．＜＜11a a C x aD x x a．＞或＜．＜或＞x aa11分析比较与的大小后写出答案． a 1a解∵＜＜，∴＜，解应当在“两根之间”，得＜＜．选．0a 1a a x A 11a a 例有意义，则的取值范围是．2 x x 2--x 6例4 解下列不等式 (1)(x －1)(3－x)＜5－2x (2)x(x ＋11)≥3(x ＋1)2 (3)(2x ＋1)(x －3)＞3(x 2＋2)分析 将不等式适当化简变为ax 2＋bx ＋c ＞0(＜0)形式，然后根据“解公式”给出答案(过程请同学们自己完成)．答 (1){x|x ＜2或x ＞4}(4)R (5)R说明：不能使用解公式的时候要先变形成标准形式．[ ]A ．{x|x ＞0}B ．{x|x ≥1}-=-+=-=-=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪baa ()()1211122×得ab ==-1212，．(4)3x 2-+--+-31325113122x x x x x x ＞＞()()(2){x|1x }≤≤32(3)∅例不等式＋＞的解集为5 1x 11-xC ．{x|x ＞1}D ．{x|x ＞1或x ＝0}分析 直接去分母需要考虑分母的符号，所以通常是采用移项后通分．∵x 2＞0，∴x －1＞0，即x ＞1．选C ．说明：本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解．[ ]A ．(x －3)(2－x)≥0B ．0＜x －2≤1D ．(x －3)(2－x)≤0故排除A 、C 、D ，选B ．两边同减去2得0＜x －2≤1．选B ． 说明：注意“零”．[ ]解不等式化为＋－＞，通分得＞，即＞，1x 000111122----xx x x x 例与不等式≥同解的不等式是6 0x x--32C ．≥230--xx 解法一原不等式的同解不等式组为≥，≠． ()()x x x ---⎧⎨⎩32020解法二≥化为＝或－－＞即＜≤x 320x 3(x 3)(2x)02x 3--x例不等式＜的解为＜或＞，则的值为7 1{x|x 1x 2}a axx -1[(a －1)x ＋1](x －1)＜0，根据其解集为{x|x ＜1或x ＞2}答 选C ．说明：注意本题中化“商”为“积”的技巧．解 先将原不等式转化为∴不等式进一步转化为同解不等式x 2＋2x －3＜0，即(x ＋3)(x －1)＜0，解之得－3＜x ＜1．解集为{x |－3＜x ＜1｝． 说明：解不等式就是逐步转化，将陌生问题化归为熟悉问题． 例9 已知集合A ＝{x|x 2－5x ＋4≤0}与B ＝{x|x 2－2ax ＋a ＋2A aB aC aD a ．＜．＞．＝．＝－12121212分析可以先将不等式整理为＜，转化为 0()a x x -+-111可知－＜，即＜，且－＝，∴＝．a 10a 12a 1112a -例解不等式≥．8 237232x x x -+-3723202x x x -+--≥即≥，所以≤．由于＋＋＝＋＋＞，---+-+++-2123212314782222x x x x x x x x 002x x 12(x )022≤，若，求的范围．0}B A a ⊆分析 先确定A 集合，然后根据一元二次不等式和二次函数图像关解 易得A ＝{x|1≤x ≤4} 设y ＝x 2－2ax ＋a ＋2(*)4a 2－4(a ＋2)＜0，解得－1＜a ＜2．说明：二次函数问题可以借助它的图像求解． 例10 解关于x 的不等式(x －2)(ax －2)＞0．分析 不等式的解及其结构与a 相关，所以必须分类讨论．系，结合，利用数形结合，建立关于的不等式．B A a ⊆(1)B B A 0若＝，则显然，由Δ＜得∅⊆(2)B (*)116若≠，则抛物线的图像必须具有图－特征：∅应有≤≤≤≤从而{x|x x x }{x|1x 4}12⊆12a 12042a 4a 201412a 22－·＋＋≥－·＋＋≥≤≤解得≤≤a a--⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪22187综上所述得的范围为－＜≤．a 1a 187解 1° 当a ＝0时，原不等式化为 x －2＜0其解集为{x|x ＜2}；4° 当a ＝1时，原不等式化为(x －2)2＞0，其解集是{x|x ≠2}；从而可以写出不等式的解集为： a ＝0时，{x|x ＜2｝；a ＝1时，{x|x ≠2}；说明：讨论时分类要合理，不添不漏．2 a 02(x 2)(x )0°当＜时，由于＞，原不等式化为－－＜，其解集为22a a {x|2ax 2}＜＜；3 0a 12(x 2)(x )0°当＜＜时，因＜，原不等式化为－－＞，其解集为22a a {x|x 2x }＜或＞；2a5 a 12(x 2)(x )0°当＞时，由于＞，原不等式化为－－＞，其解集是22a a {x|x x 2}＜或＞．2aa 0{x|2a x 2＜时，＜＜｝；0a 1{x|x 2x }＜＜时，＜或＞；2aa 1{x|x x 2}＞时，＜或＞．2a例11 若不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x|α＜x ＜β}(0＜α＜β)，求cx 2＋bx ＋a ＜0的解集．分析 由一元二次函数、方程、不等式之间关系，一元二次不等式的解集实质上是用根来构造的，这就使“解集”通过“根”实现了与“系数”之间的联系．考虑使用韦达定理：解法一 由解集的特点可知a ＜0，根据韦达定理知：∵a ＜0，∴b ＞0，c ＜0．解法二 ∵cx 2＋bx ＋a ＝0是ax 2＋bx ＋a ＝0的倒数方程． 且ax 2＋bx ＋c ＞0解为α＜x ＜β，－＝α＋β，＝α·β．bac a⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪即＝－α＋β＜，＝α·β＞．ba c a()00⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪又×，b a a c b c=∴＝－α＋β①由＝α·β，∴＝α·β②b c c a a c (1)111对＋＋＜化为＋＋＞，cx bx a 0x x 022b c ac由①②得α，β是＋＋＝两个根且α＞β＞，1111x x 002b c a c ∴＋＋＞即＋＋＜的解集为＞α或＜β．x x 0cx bx a 0{x|x x }22b c a c 11说明：要在一题多解中锻炼自己的发散思维．分析 将一边化为零后，对参数进行讨论．进一步化为(ax ＋1－a)(x －1)＜0． (1)当a ＞0时，不等式化为(2)a ＝0时，不等式化为x －1＜0，即x ＜1，所以不等式解集为{x|x ＜1}；综上所述，原不等式解集为：例13 (2001年全国高考题)不等式|x 2－3x|＞4的解集是________． 分析 可转化为(1)x 2－3x ＞4或(2)x 2－3x ＜－4两个一元二次不等式．答 填{x|x ＜－1或x ＞4}．∴＋＋＜的解集为＞α或＜β．cx bx a 0{x|x x } 211例解关于的不等式：＜－∈．12 x 1a(a R)xx -1解原不等式变为－－＜，即＜， (1a)00x x ax a x -+--111(x )(x 1)01{x|a 1a x 1}－－＜，易见＜，所以不等式解集为＜＜；a a a a ---11(3)a 0(x )(x 1)01{x|x 1x }＜时，不等式化为－·－＞，易见＞，所以不等式解集为＜或＞．a a a aa a---111当＞时，＜＜；当＝时，＜；当＜时，＞或＜．a 0{x|a 1ax 1}a 0{x|x 1}a 0{x|x x 1}--a a1由可解得＜－或＞，．(1)x 1x 4(2)∅例14 (1998年上海高考题)设全集U＝R，A＝{x|x2－5x－6＞0}，B＝{x||x－5|＜a}(a是常数)，且11∈B，则[ ]A．(U A)∩B＝RB．A∪(U B)＝RC．(U A)∪(U B)＝RD．A∪B＝R分析由x2－5x－6＞0得x＜－1或x＞6，即A＝{x|x＜－1或x＞6}由|x－5|＜a得5－a＜x＜5＋a，即B＝{x|5－a＜x＜5＋a}∵11∈B，∴|11－5|＜a得a＞6∴5－a＜－1，5＋a＞11 ∴A∪B＝R．答选D．说明：本题是一个综合题，涉及内容很广泛，集合、绝对值不等式、一元二次不等式等内容都得到了考查不等式中恒成立问题的解法研究在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。
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高一数学《一元二次不等式解法》测试题
班级 姓名
一、选择题：
1．已知不等式ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)的解集是R ，则( )
A ．a ＜0，Δ＞0
B ．a ＜0，Δ＜0
C ．a ＞0，Δ＜0
D ．a ＞0，Δ＞0
2．不等式2x 2＋mx ＋n >0的解集是{x |x ＞3或x ＜－2}，则二次函数y ＝2x 2＋mx ＋n 的表达
式是( )
A ．y ＝2x 2＋2x ＋12
B ．y ＝2x 2－2x ＋12
C ．y ＝2x 2＋2x －12
D ．y ＝2x 2－2x －12
3．如果A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝∅，则实数a 的集合为( )
A ．{a |0＜a ＜4}
B ．{a |0≤a ＜4}
C ．{a |0＜a ≤4}
D ．{a |0≤a ≤4}
4．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，则当a <0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解
集为( )
A ．{x |x <－1或x >2}
B ．{x |x ≤－1或x ≥2}
C ．{x |－1<x <2}
D ．{x |－1≤x ≤2}
5．函数y ＝lg(x 2
－4)＋x2＋6x 的定义域是( )
A ．(－∞，－2)∪[0，＋∞)
B ．(－∞，－6]∪(2，＋∞)
C ．(－∞，－2]∪[0，＋∞)
D ．(－∞，－6)∪[2，＋∞)
6．设集合A ＝{x |(x －1)2<3x ＋7，x ∈R}，则集合A ∩Z 中元素的个数是( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
7．若不等式的解集为R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－2,2) B ．(－2,2]
C ．(－∞，－2)∪[2，＋∞)
D ．(－∞，2)
8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6， x<0，则不等式f (x )>f (1)的解是( )
A ．(－3,1)∪(3，＋∞)
B ．(－3,1)∪(2，＋∞)
C ．(－1,1)∪(3，＋∞)
D ．(－∞，－3)∪(1,3)
9．不等式(x －1)x ＋2≥0的解集是( )
A ．{x |x >1}
B ．{x |x ≥1}
C ．{x |x ≥1或x ＝－2}
D ．{x |x ≤－2或x ＝1}
10．对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围
是( )
A ．1<x <3
B ．x <1或x >3
C ．1<x <2
D ．x <1或x >2
11．不等式x2x ＋1
＜0的解集为( ) A ．(－1,0)∪(0，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(0,1) C ．(－1,0) D ．(－∞，－1)
12．不等式x －2x ＋3
>0的解集是( ) A ．(－3,2) B ．(2，＋∞) C ．(－∞，－3)∪(2，＋∞) D ．(－∞，－2)∪(3，＋∞)
13．不等式x2－2x －2x2＋x ＋1
<2的解集为( )
A ．{x |x ≠－2}
B ．R
C ．∅
D ．{x |x <－2或x >2}
14．不等式的解是( )
A ．[－3，12]
B ．[－12，3]
C ．[12，1)∪(1,3]
D ．[－12
，1)∪(1,3] 二、填空题：
15．不等式－1<x 2＋2x －1≤2的解集是 ；
16．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，则k 的取值范围是______________；
17．不等式(x 2－x ＋1)(x 2－x －1)>0的解集是______________；
18．已知x 1、x 2是方程x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5＝0(k ∈R)的两个实数根，则x 21＋x 2的最大
值
______________.
三、解答题：
19．解关于x 的不等式(lg x )2－lg x －2＞0.
20.若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x|－13≤x ≤2，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a <0的解集．
21．解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0.
22．已知不等式ax 2＋(a －1)x ＋a －1＜0对于所有的实数x 都成立，求a 的取值范围．
参考答案
一、选择题：
1．B 2．D 3．D 4．D 5．B 6．C 7．B 8．A 9．C 10．B 11．D 12．C 13．A 14．D
二、填空题：
15．{x |－3≤x <－2或0<x ≤1} 16．k ≤2或k ≥4 17．{x |x <1－52或x >1＋52
} 18．18 三、解答题：
19．解：y ＝lg x 的定义域为{x |x ＞0}．
又∵(lg x )2－lg x －2＞0可化为(lg x ＋1)(lg x －2)＞0，
∴lg x ＞2或lg x ＜－1，解得x ＜1
10或x ＞100.
∴原不等式的解集为{x |0＜x ＜1
10或x ＞100}．
20． 解：由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫
x|－13≤x ≤2，
知a <0，且关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根分别为－1
3，2，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
－13＋2＝－b
a －13×2＝c a ，∴
b ＝－53a ，
c ＝－2
3a .
所以不等式cx 2－bx ＋a <0可变形为
⎝ ⎛⎭⎪⎫－2
3a x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－5
3a x ＋a <0，
即2ax 2－5ax －3a >0.
又因为a <0，所以2x 2－5x －3<0，
所以所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫
x|－12<x<3.
21．解：将不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0变形为
(x －a )(x －a 2)>0.
∵a 2－a ＝a (a －1)．
∴当a <0或a >1时，a <a 2，解集为{x |x <a 或x >a 2}．
当0<a <1时，a 2<a ，解集为{x |x <a 2或x >a }．
当a ＝0或1时，解集为{x |x ∈R 且x ≠a }．
综上知，当a <0或a >1时，不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}；
当0<a <1时，不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }；
当a ＝0或1时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠a }．
22． 解：当a ＝0时，
不等式为－x －1＜0⇔x ＞－1不恒成立．
当a ≠0时，不等式恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜0，Δ＜0，
即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜0a －12－4a a －1＜0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜03a ＋1a －1＞0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜0
a ＜－1
3或a ＞1⇔a ＜－1
3.
即a 的取值范围是(－∞，－1
3)．。