第二章人寿保险的精算现值
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保险精算 第4章2 人寿保险的精算现值
签单时保险金给付现值随机变量为
Z
bv TT
0,
vn
,
T n T n
离散型
1
A x:n
表示 n年期生存保险的精算现值。
E nx
1
Ax:n E(Z )
方差为
Var(Z )
n年定期两全保险
定义
被保险人投保后如果在n年期内发生保险责任范围 内
的死亡，保险人即刻给付保险金；如果被保险人生
存至n年期满，保险人在第n年末支付保险金的保险。
1
2
30：10 |
30：10 |
0.0431
各种死亡即付趸缴纯保费的公式归纳
n
n
A 1 vt f (t)dt vt p dt
x: n| 0
T
0
tx
xt
Ax
vt p dt
0
tx
xt
m| Ax
m
vt
fT
t
dt
A A A m|
v f (t)dt 1
m1n t
1
x: n|
vK1, K 0,1, , n 1
Z
b K
v K
vn ,
K n, n 1,
表示n年期两全保险的精算现值。
方差为
A1 E x: n | n x
Var(Z )2A ( A )2
x
x
两全保险的趸缴纯保费
定义
被保险人投保后如果在n年期内发生保险责任范围内
的死亡，则在死亡年末给付保险金；如果被保险人
生存满n年，则在第n年末支付保险金的保险。
等价于n年生存保险加上n年定期寿险的组合。
基本函数关系
b 1, k 0,1, k
第二章人寿保险的精算现值
100 j1
j 1,2,,100
100 j1
从而可得EZ EZ j 400， VarZ VarZ j 900
• 第二章 人寿保险的精算现值 12
设该项基金在最初时的数额至少是 h 元 , 依题意 , 则
ZE Z h E Z 0 P .95 , r Z Var Z Var h400 近似服从于标准正态分 布，则 1 .645 30 故 h400 30 1 .645 449.35( 元 )
2 T 2 2 1 x :n
1 2 x :n
对于投保连续型的保险 金额为 1 个单位的终身寿险， 其趸缴纯保费是 A t)t pxuxtdt x v t pxuxtdt exp(t 0 0
• 第二章 人寿保险的精算现值 7
记A t)t pxuxtdt x exp(-2
t h h 2 n 0 2
2 记 tt px uxtdt h A x exp
Zh A 其现值随机变量 Z 的方差是 Var x hA x
• 第二章 人寿保险的精算现值
2
15
表示连续型的保险金额为 1 个单位的延期 h 年的 n 年期定期寿险和延期 h 年的 n 年期两全保险的趸缴 纯保费分别为
• 第二章 人寿保险的精算1 , t n v , T n t b ,v v , t 0 ,Z t t T 0 , t n 0 , T n
对于 (x) 投保连续型的保险金额为 1 单位的 n 年期定期寿 险 , 其有关函数是
•
第二章 人寿保险的精算现值
社会保险精算原理第二章 人寿和年金保险
将来法和过去法
30
责任准备金以将来法计算，是未来给付精算现 值与未来净保费精算现值之差。对不同保单， 根据契约规定的保险责任、保险金额和保费缴 付方式，可以分别计算出计算时点的未来给付 精算现值和未来净保费精算现值。t年末的责任 准备金以tV表示。
过去法责任准备金是过去净保费的累积与过去 保险金累积之差。
社会保险精算原理第二章 人寿和年金保险 作者
终身寿险
6
在上式中，两边同乘以生命表x岁的存活人数lx
lxAx k1dxk k0
等式表明，lx个x岁的人投保终身寿险的趸缴净 保费总额正好满足按生命表死亡规律在死亡年 末ຫໍສະໝຸດ 单位的赔付。定期寿险7
对(x)的1单位赔付n年定期寿险，其现值随机变 量为：
以nEx表示1单位元n年纯粹生存保险现值：
nEx n n px
2.2.1纯粹的生存保险
21
与在复利下的现值系数νt和累积系数(1+i)t的作 用类似，nEx是在利率和生者利下n年的折现系 数， 1/ nEx为在利率和生者利下n年的累积系数。
1/nEx1/nnpx(1i)nlxl xn
它是利率累积因子（1+i）n与生存累积因子之 积。
2.2.2年付一次生存年金的精算现值
22
生存年金是以生存为条件发生的年金。如果被 保险人在规定的时期内存活，则发生年金的收 付，否则，停止收付。年金保险中，在保险期 内年金的发放以被保险人存活为条件。长期寿 险的缴费通常也采取生存年金的方式，在被保 险人生存期内缴付保费，被保险人死亡，则停 止缴费。生存年金有终身年金、定期年金、延 期年金几种基本类型，由首次支付的起点不同 分为期首付年金和期末付年金。
νK+1 k=0,1,2,……n-1
2、社会保障精算(第二章)人寿与年金保险精算(5)
β
F
=
A (1 ) a x + 1: n − 1
A (1 ) 表示同险种在 x + 1 岁 n – 1 期的趸缴净保费。 期的趸缴净保费。
然后，用下式计算责任准备金（将来法）： 然后，用下式计算责任准备金（将来法）： 责任准备金
F t x
V
=
Ax + t
–
β ⋅ a x + t:n −t
F
【习题】 p.62 第7、8题。 习题】 、 题
V
=
Ax
P ⋅ a x :n
t
= 0
Pax:n
过去净保费
V
Ax +t 将来赔付
0
x
x+n
x+t
时点，净保费已缴清，将来净保费为零 为零， 由于 在x+t 时点，净保费已缴清，将来净保费为零，所以
t
V
=
Ax +t
2 过去法 过去净保费的累积值 过去赔付的累积值 责任准备金 = 过去净保费的累积值 – 过去赔付的累积值 以终身寿险、 年缴费 年缴1次）、死亡年末赔付为例 年缴费（ 死亡年末赔付为例， 以终身寿险、n年缴费（年缴 次）、死亡年末赔付为例，计 算 t 年末的责任准备金 t V ： （1） t < n ）
• 如何修正？ 如何修正？
通常采用“ 通常采用“完全初年定期修正法 (FPT)，方法是： ，方法是： 年修正的净保费为自然保费 第1年修正的净保费为自然保费 α F = A1:1 = vq x 年修正的净保费为 x 以后各年修正的净保费为
β
F
=
பைடு நூலகம்
A (1 ) a x + 1: n − 1
保险精算2人寿保险的精算现值分析
Z Z 0
1
2
Var(Z
)
Var(Z 1
)
Var(Z 2
)
A1 x：n|
A1 x：n|
延期m年的n年期两全保险
定义 保险人对被保险人在投保m年后的n年期内发生保险
责任范围内的死亡，保险人即刻给付保险金；如果被保 险人再生存至n年期满，保险人在第n年末支付保险金 的保险。
假定(x)投保延期m年的n年期两全保险，保额1元。
Z
b K
v K
0,
其他
表示其趸缴纯保费。
E(Z)
死亡年末给付趸缴纯保费公式归纳
n1
A v p q 1
k 1
x ：n|
k x xk
k 0
A v k1 p q
x
k x xk
k 0
A x:n
A1 x:n
A1 x:n
m
Ax
Ax
A1 x:m
A1
k0 0
sk x
xks
补充： 非整数年龄的生命分布假设
年龄内死亡均匀分布假设（UDD假设）
令：S(x t) (1 t)s(x) ts(x 1) 0 t 1
1、
t qx
s(x) s(x t) s(x)
s(x) [(1 t)s(x) ts(x 1)] s(x) s(x 1) t
同理，
i 1
1
A A x：n|
x：n|
对于两全保险有
A A A 1
1
x：n|
x：n|
x：n|
i1
1
A A x：n|
社会保险精算原理第二章 人寿与年金保险
2.4.1均衡净保费责任准备金
29
责任准备金的提存和计算以净保费为依据，从 未来看，责任准备金是保险人未来的净责任， 用未来给付金现值减去未来净保费现值来衡量， 从过去看，它是保险人过去净保费收入大于赔 付支出的部分，用过去净保费终值减去过去保 险金终值计算。因此，形成了责任准备金的两 种计算方法。
定期寿险
13
1单位元死亡时赔付n年定期寿险，其现 值随机变量为： νT， 0<t≤n Z＝ 0 t>0 n 1 t 精算现值表示为：Ax:n ｜ t px x t
0
变额寿险
14
对死亡时赔付的寿险，如果当(x)在投保当年死 亡赔付1单位元，在第二年死亡赔付2单位元， 第k+1年内死亡赔付k+1单位元的寿险是标准递 增的变额寿险，此时，赔付额bt=[t+1]时，其中， 方括号表示最大整数函数。对于n年定期的死亡 年末赔付标准递增寿险，其精算现值为：
2.3.2总保费
27
总保费是在净保费的基础上增加附加保费的值， 对不同的费用项目通常采取不同的附加方式。 根据不同的附加方式，在总保费现值等于保险 金现值和附加保费现值之和的等式下可以估计 每年的总保费。设每次缴费的总保费为G，如果 以总保费的比例表示的附加保费为总保费的比 例k，以固定数额表示的附加保费为C，以保险 金额的比例表示的附加保费部分为保险金额的g 比例，则有平衡公式
V P qxt pxt t 1V
2.4.2责任准备金的递推公式
32
公式表明，t年末的责任准备金加上t+1年初的净 保费，正好等于t+1年的死亡给付在t年末的现值 与t+1年末责任准备金在利率和生者利下在t年末 的现值。这一递推公式对所有保险形式均适用， 以Pt表示t+1年初的净保费，bt表示t年末的死亡 给付金额，则一般递推公式可以表示为：
寿险精算现值
附加保险费：补偿保险公司因出售和管理保单发生的费用 需要的缴费部分。
主要内容：
寿险精算现值
生存年金精算现值
净保费
寿险精算现值
终身寿险 定期寿险 两全寿险 精算现值是保险赔付在投保时的期望现值。
死亡年年末赔付的寿险
1、终身寿险
用Ax表示终身寿险的精算现值.
Ax
vk 1d xk
或者
n
Ax
Ax
A1 x:n
证明：n Ax vn n px Axn
给出实际意义的解释。
5、延期m年的n年定期寿险
延期m年的定期n年寿险：用m n Ax表示，某人x岁开始投保， 延期m年后n年内死亡年末给付1单位元的延期寿险的现值。 现值随机变量为：
0 Z vK 1
K 0,1,..., m 1 K m, m 1,..., m n 1
bk
1v
k
1 k
qx
.
k 0
本节介绍当保险金随保险时期按等差数列变动时的现值表达式。
（1）递增型人寿保险的趸缴净保费
（2）递减型人寿保险的趸缴净保费
（1）标准递增终身寿险
某x岁的人投保，保单规定，若被保险人在第一年死亡，保险金为1单
位元；若被保险人在第二年内死亡，保险金为2单位元
用 IA 表示这种保险的现值，则 x
x岁的lx人共趸缴净保费为A1x:n lx，由平衡原理，有：
A1 x:n
lx
vd x
v2dx1
vnd xn1
所以：
A1 vdx v2dx1
x:n
lx
vndxn1
v 0 qx v2 1 qx vn q n1 x
主要内容：
寿险精算现值
生存年金精算现值
净保费
寿险精算现值
终身寿险 定期寿险 两全寿险 精算现值是保险赔付在投保时的期望现值。
死亡年年末赔付的寿险
1、终身寿险
用Ax表示终身寿险的精算现值.
Ax
vk 1d xk
或者
n
Ax
Ax
A1 x:n
证明：n Ax vn n px Axn
给出实际意义的解释。
5、延期m年的n年定期寿险
延期m年的定期n年寿险：用m n Ax表示，某人x岁开始投保， 延期m年后n年内死亡年末给付1单位元的延期寿险的现值。 现值随机变量为：
0 Z vK 1
K 0,1,..., m 1 K m, m 1,..., m n 1
bk
1v
k
1 k
qx
.
k 0
本节介绍当保险金随保险时期按等差数列变动时的现值表达式。
（1）递增型人寿保险的趸缴净保费
（2）递减型人寿保险的趸缴净保费
（1）标准递增终身寿险
某x岁的人投保，保单规定，若被保险人在第一年死亡，保险金为1单
位元；若被保险人在第二年内死亡，保险金为2单位元
用 IA 表示这种保险的现值，则 x
x岁的lx人共趸缴净保费为A1x:n lx，由平衡原理，有：
A1 x:n
lx
vd x
v2dx1
vnd xn1
所以：
A1 vdx v2dx1
x:n
lx
vndxn1
v 0 qx v2 1 qx vn q n1 x
第二章： 人寿保险的精算现值(趸缴纯保费)
fT
(t)
1（均匀分布） 70
A1 30:10
10 t
0
fT
(t)dt
10 (1 0.1)t 1 dt 1
0
70 70
10 (1.1)tdt 0.092099
0
A 2 1
（2） 30:10
10 2t
0
fT
(t)dt
1 70
10 (1.1)2tdt 0.063803
0
Var(Z) 2A1 (A1 )2 0.055321
A1 xm:n
A1 x:m
Ax
1 m:n
A1 x:m
A xm:n
例 3．设生存函数 s(x) 1 x , (0 x 100) ，年利率 i 0.1，保额 1。 100
计算：（1）
A1 30:10
（2）Var(Z )
解：（1）
fT
(t)
s(x t) s(x)
1 100
x
,
代入
x 30 ,
Ax E(T ) E( K S ) E( K 1S1)
E( K 1)E( S1) Ax E[(1 i)1S ]
S ~U (0,1) Ax
1(1 i)1s ds i
0
Ax
例1． 证明：在 UDD 假设下： A1 i A1
x:n
x:n
证明：
A1 x:n
n
t
0
t
px xt dt
（1）
m m px
n
t
0
t
pxmxmt dt
A1 x:m
A1 xm:n
A1
（2） m x:n
mn mn px
m m px n n pxm
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第二ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ人寿保险的精算 现值
2020年4月23日星期四
人身保险是以人的寿命和身体为保险标的的保险。
人寿保险是人身保险的一种。
人寿保险转嫁的是被保险人的生存或者死亡的风险 。它起源于古代的互助团体，其原理是通过集合具 有同质风险的大量被保险人，通过在这些被保险人 之间进行风险分散——即由所有的被保险人共同出 资给遭遇风险的少数被保险人——来达到降低突发 风险事故对遭遇风险事故的个体造成的财务冲击。
2020/4/23
第二章 人寿保险的精算现值
• 解 : 设 Zj 表示第 j 个被保险人的死亡给付在投保时的现值随机变量 , 则
勇于开始，才能找到成 功的路
2020/4/23
第二章 人寿保险的精算现值
设该项基金在最初时的数额至少是 h 元 , 依题意 , 则
勇于开始，才能找到成 功的路
即该项基金在最初时的数额至少要有 449.35 元 , 比所收取的 建缴纯保费建立的初始基金 400(=100 × 4) 元多出 49.35 元 , 即超过歪缴纯保费基金的 12.34% 。这说明 , 最初基 金 需有风险附加费 ( 即安全附加费 ) 的存在 , 即该基金超过保费 总额的那部分 (49.35 元 ) 是 安全附加基金。
1. 按算术数列续年递增的终身寿险 按算术数列{n} 续年递增的连续型的终身寿险 , 可分
称现值函数随机变量Z的数学期望为保险的精算现值，也是趸缴纯保费额
于是
2020/4/23
第二章 人寿保险的精算现值
则连续型的保险金额为 1 个单位的 n 年定期寿险
现值随机变量 ZT 的方差是
勇于开始，才能找到成 功的路
2020/4/23
第二章 人寿保险的精算现值
2020/4/23
第二章 人寿保险的精算现值
一般情况下，统称bt为保额函数。相应地，用vt记贴现函数， 即将bt贴现到保险开始时的函数。通常假设贴现因子中的利率 为常数。
对于一份新发行的保单，因为保险事故发生的时间由随机变量 T(x)来描述，而保险利益的支付时间及其价值均与T(x)有关， 所以，可以定义相应的现值随机变量如下：
Z= bTvT
2020/4/23
第二章 人寿保险的精算现值
等额保险
• 本节讨论的寿险模型 , 其保险金是在被保险人的未来寿命 T= T(x) 时给付 , 即在被保险人死亡时立即给付。在寿险实务中 几乎所有保险都是如此。这 就是所谓的连续型的人寿保险 模型
• 死亡保险:
勇于开始，才能找到成
功的路
假设被保险人在投保 ( 或签单 ) 时的年龄为x 岁 , 保险金
[ 例] 设有 100 个相互独立的年龄都是 x 岁的被保险 人均投保保险金额为 10 元的连续型终身寿险 , 死力为 =0.04, 保险金将从按利力 =0.06 计息的投资基金 中支付。 试计算该项基金在最初 (t=0) 时 , 其数额至 少有多大 , 才能保证从该项基金中足以支付每 个被保 险人死亡保险金的概率近似为 95%。
• 例，设(x) 的未来寿命T=T(x)的密度函数是
勇于开始，才能找到成 功的路
解 : 依题意 , 则有
2020/4/23
第二章 人寿保险的精算现值
2020/4/23
第二章 人寿保险的精算现值
保险金给付现值的随机变量 ZT 的方差 , 对于 考虑经营该险种业务的财务稳定性具有重要的 指导意义。
勇于开始，才能找到成 功的路
2020/4/23
第二章 人寿保险的精算现值
• 表示连续型的保险金额为 1 个单位的延期 h 年的 n 年 期定期寿险和延期 h 年的 n 年期两全保险的趸缴纯保 费分别为
勇于开始，才能找到成 功的路
2020/4/23
第二章 人寿保险的精算现值
• 例考察保险金额为 1 个单位的延期 5 年的终身寿险 , 设年 龄为 x岁的被保险人 , 其死力为常值μ =0.04, 利力 =0.10,Z 表示给付现值随机变量。试求 :
2020/4/23
第二章 人寿保险的精算现值
等额保险
所谓等额保险，是指保险利益的金额在保险开始时 就已经固定，只是支付的时间不确定而已，支付时 间与保险事故发生的时间有关。
定期死亡保险 终身寿险 生存和两全保险 延期保险
定期死亡保险：考虑n年期定期死亡保险，这种保 险只有被保险人在保险开始后n年内死亡，保险公 司才对被保险人进行支付。
在被保险人未来寿命 T= T(x) 时的给付金额为 bt, 而 vt 是
在时刻 t 时给付 1 个单位金额在签单时的利息贴现系
数 ,ZT 是给付金额在签单时的现值。则现值随机变量
2020/4/23
第二章 人寿保险的精算现值
死亡保险
• 对于 (x) 投保连续型的保险金额为 1 单位的 n 年期定期寿险 , 其有关函数是
期望值 E(Z);(2) 方差 Var(Z);(3)中位数
解 : 依题意可知 , 未来寿命 T=T(x)的密度函数是
2020/4/23
第二章 人寿保险的精算现值
2020/4/23
第二章 人寿保险的精算现值
变额保险
对于连续型的非均衡给付保险 , 本文仅讨论递增非均衡 给付和递减非均衡给付中的两种特殊情形:1. 按算术数 列续年递增的终身寿险 ; 2. 按算术数列续年递减的终 身寿险。
本章的目的就是讨论各种人寿保险的模型和方法。
2020/4/23
第二章 人寿保险的精算现值
§2.1 连续型保险
所谓连续型保险，指的是在保险事故出现后立即支付保险利益 的保险，因为人寿保险一般以被保险人的死亡为保险事故，所 以有时又叫做在死亡即刻支付的保险。
在保险事故出现后，保险公司向被保险人（或其收益人）支付 的保险金为保险利益，保险利益一般为从保险开始（保单生效 ）后到保险事故出现之间的时间长度的函数，根据上一章的记 号，用t来记时间变量，相应的保险利益记为bt。
2020/4/23
第二章 人寿保险的精算现值
两全保险与延期寿险
• 对于 (x) 投保连续型的保险金额为 1 个单位的 n 年期两全保险 , 其给 付现值的随机变量
勇于开始，才能找到成 功的路
2020/4/23
第二章 人寿保险的精算现值
延期寿险
• 对于 (x) 投保连续型的保险金额为 1 个单位的延期 h 年的终身寿 险 , 其给付现值的随机变量是
2020年4月23日星期四
人身保险是以人的寿命和身体为保险标的的保险。
人寿保险是人身保险的一种。
人寿保险转嫁的是被保险人的生存或者死亡的风险 。它起源于古代的互助团体，其原理是通过集合具 有同质风险的大量被保险人，通过在这些被保险人 之间进行风险分散——即由所有的被保险人共同出 资给遭遇风险的少数被保险人——来达到降低突发 风险事故对遭遇风险事故的个体造成的财务冲击。
2020/4/23
第二章 人寿保险的精算现值
• 解 : 设 Zj 表示第 j 个被保险人的死亡给付在投保时的现值随机变量 , 则
勇于开始，才能找到成 功的路
2020/4/23
第二章 人寿保险的精算现值
设该项基金在最初时的数额至少是 h 元 , 依题意 , 则
勇于开始，才能找到成 功的路
即该项基金在最初时的数额至少要有 449.35 元 , 比所收取的 建缴纯保费建立的初始基金 400(=100 × 4) 元多出 49.35 元 , 即超过歪缴纯保费基金的 12.34% 。这说明 , 最初基 金 需有风险附加费 ( 即安全附加费 ) 的存在 , 即该基金超过保费 总额的那部分 (49.35 元 ) 是 安全附加基金。
1. 按算术数列续年递增的终身寿险 按算术数列{n} 续年递增的连续型的终身寿险 , 可分
称现值函数随机变量Z的数学期望为保险的精算现值，也是趸缴纯保费额
于是
2020/4/23
第二章 人寿保险的精算现值
则连续型的保险金额为 1 个单位的 n 年定期寿险
现值随机变量 ZT 的方差是
勇于开始，才能找到成 功的路
2020/4/23
第二章 人寿保险的精算现值
2020/4/23
第二章 人寿保险的精算现值
一般情况下，统称bt为保额函数。相应地，用vt记贴现函数， 即将bt贴现到保险开始时的函数。通常假设贴现因子中的利率 为常数。
对于一份新发行的保单，因为保险事故发生的时间由随机变量 T(x)来描述，而保险利益的支付时间及其价值均与T(x)有关， 所以，可以定义相应的现值随机变量如下：
Z= bTvT
2020/4/23
第二章 人寿保险的精算现值
等额保险
• 本节讨论的寿险模型 , 其保险金是在被保险人的未来寿命 T= T(x) 时给付 , 即在被保险人死亡时立即给付。在寿险实务中 几乎所有保险都是如此。这 就是所谓的连续型的人寿保险 模型
• 死亡保险:
勇于开始，才能找到成
功的路
假设被保险人在投保 ( 或签单 ) 时的年龄为x 岁 , 保险金
[ 例] 设有 100 个相互独立的年龄都是 x 岁的被保险 人均投保保险金额为 10 元的连续型终身寿险 , 死力为 =0.04, 保险金将从按利力 =0.06 计息的投资基金 中支付。 试计算该项基金在最初 (t=0) 时 , 其数额至 少有多大 , 才能保证从该项基金中足以支付每 个被保 险人死亡保险金的概率近似为 95%。
• 例，设(x) 的未来寿命T=T(x)的密度函数是
勇于开始，才能找到成 功的路
解 : 依题意 , 则有
2020/4/23
第二章 人寿保险的精算现值
2020/4/23
第二章 人寿保险的精算现值
保险金给付现值的随机变量 ZT 的方差 , 对于 考虑经营该险种业务的财务稳定性具有重要的 指导意义。
勇于开始，才能找到成 功的路
2020/4/23
第二章 人寿保险的精算现值
• 表示连续型的保险金额为 1 个单位的延期 h 年的 n 年 期定期寿险和延期 h 年的 n 年期两全保险的趸缴纯保 费分别为
勇于开始，才能找到成 功的路
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第二章 人寿保险的精算现值
• 例考察保险金额为 1 个单位的延期 5 年的终身寿险 , 设年 龄为 x岁的被保险人 , 其死力为常值μ =0.04, 利力 =0.10,Z 表示给付现值随机变量。试求 :
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第二章 人寿保险的精算现值
等额保险
所谓等额保险，是指保险利益的金额在保险开始时 就已经固定，只是支付的时间不确定而已，支付时 间与保险事故发生的时间有关。
定期死亡保险 终身寿险 生存和两全保险 延期保险
定期死亡保险：考虑n年期定期死亡保险，这种保 险只有被保险人在保险开始后n年内死亡，保险公 司才对被保险人进行支付。
在被保险人未来寿命 T= T(x) 时的给付金额为 bt, 而 vt 是
在时刻 t 时给付 1 个单位金额在签单时的利息贴现系
数 ,ZT 是给付金额在签单时的现值。则现值随机变量
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第二章 人寿保险的精算现值
死亡保险
• 对于 (x) 投保连续型的保险金额为 1 单位的 n 年期定期寿险 , 其有关函数是
期望值 E(Z);(2) 方差 Var(Z);(3)中位数
解 : 依题意可知 , 未来寿命 T=T(x)的密度函数是
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第二章 人寿保险的精算现值
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第二章 人寿保险的精算现值
变额保险
对于连续型的非均衡给付保险 , 本文仅讨论递增非均衡 给付和递减非均衡给付中的两种特殊情形:1. 按算术数 列续年递增的终身寿险 ; 2. 按算术数列续年递减的终 身寿险。
本章的目的就是讨论各种人寿保险的模型和方法。
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第二章 人寿保险的精算现值
§2.1 连续型保险
所谓连续型保险，指的是在保险事故出现后立即支付保险利益 的保险，因为人寿保险一般以被保险人的死亡为保险事故，所 以有时又叫做在死亡即刻支付的保险。
在保险事故出现后，保险公司向被保险人（或其收益人）支付 的保险金为保险利益，保险利益一般为从保险开始（保单生效 ）后到保险事故出现之间的时间长度的函数，根据上一章的记 号，用t来记时间变量，相应的保险利益记为bt。
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第二章 人寿保险的精算现值
两全保险与延期寿险
• 对于 (x) 投保连续型的保险金额为 1 个单位的 n 年期两全保险 , 其给 付现值的随机变量
勇于开始，才能找到成 功的路
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第二章 人寿保险的精算现值
延期寿险
• 对于 (x) 投保连续型的保险金额为 1 个单位的延期 h 年的终身寿 险 , 其给付现值的随机变量是