切线证明及计算
证明切线的定理
证明切线的定理
明确定义：1. 设曲线上的点P处的正切：曲线C的切线（Q）上的任一点M，使点P 与这个点M构成的直线成为曲线C的切线，这个直线的斜率就称为曲线C的正切；
2. 设交点为A，在A点上正切方程的表达式为：y-y1=k(x-x1)，其中，(x1,y1)代表圆的圆心坐标，k代表圆上任一点P处的正切。
定理1：圆上取任一点P，过P点做一条直线，这条直线与圆C相交于A点，A点到圆心距离为r，那么P点处圆C的正切k＝板根 r。
证明：设取Point P处，做一条直线PA，切点A(x1,y1)满足方程 y-y1=k(x-x1)，
因为A点到圆心R点距离为r，所以可得y1+r=y
代入切线方程，得y-y1=k(x-x1)
继续化简，得k=r/(x-x1)，即P点处圆C的正切k=r。
定理2：若圆C上取任意一点P，过点P作直线PA，PA与圆C相交于A点，此时正切方程为： y-y1=k(x-x1)，则P处y的值为：
把以上公式代入到切点A处求取值，即得y=y1+k（x1-x1）=y1。
由定理1中知道，当A点到圆心距离r时，交点处正切为k=r。
证明圆的切线的两种方法
证明圆的切线的两种方法方法一：利用圆的性质和向量的知识证明。
首先，根据圆的性质可知，圆心到切点的线段与切线垂直。
设圆心为O，切点为A，切线为l，则OA垂直于l。
又因为向量OA与向量l的内积为0，即OA·l=0，所以向量OA与l互相垂直。
又因为圆心到切点的线段与切线垂直，所以向量OA与切线方向相同。
因此，切线的方向可以表示为向量l=λOA，其中λ为常数。
再根据圆的性质可知，向量OA与圆的半径向量R的夹角为90度，即OA·R=0。
因此，向量l=λOA与向量R的内积也为0，即l·R=0。
这就证明了切线与圆的半径向量垂直。
方法二：利用微积分的知识证明。
首先，设圆的方程为(x-a)+(y-b)=r，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。
假设切线的斜率为k，则切线的方程为y=kx+c，其中c为常数。
为了使切线与圆相切，需要满足两个条件：一是切线经过圆上的某个点，即(x-a)+(y-b)=r；二是切线与圆的半径向量垂直，即切线的斜率为-k=-(x-a)/(y-b)。
将这两个条件代入切线方程y=kx+c中，得到(x-a)+(kx+c-b)=r，且k=-(x-a)/(y-b)。
将k代入上式，整理得到(x-a)+(c-b)/(1+k)=r。
由于切点坐标(x,y)满足(x-a)+(y-b)=r，因此有(x-a)+(c-b)/(1+k)=(x-a)+(y-b)，即(c-b)/(1+k)=(y-b)。
将k带入上式，有c-b=±r/√(1+k)。
因此，切线的方程可以表示为y=±r/√(1+k)x+(b-c)/√(1+k)，即y=±(r/√(1+k))x+(b-c)/√(1+k)。
这就证明了切线的方程。
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有关切线的几种常见的证明方法
有关切线的几种常见的证明方法与计算一、与等腰三角形、平形线的性质有关1.已知：如图7，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，BC=43，以A为圆心，2为半径作⊙A，试问：直线BC与⊙A的关系如何并证明你的结论.A BCDO2．如图，点D在O⊙的直径AB的延长线上，点C在O⊙上，AC CD=，30D∠=°，求证：CD是O⊙的切线；3．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．求证：DE是⊙O的切线．4．已知：如图，△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于E点，直线EF⊥AC于F．求证：EF与⊙O相切．5. 已知：如图，AB为O⊙的直径，AB AC BC=，交O⊙于点D，AC交O⊙于点45E BAC∠=，°．（1）求EBC∠的度数；（2）求证：BD CD=．A DCDECAOB6．已知：如图，PA切⊙O于A点，PO∥AC，BC是⊙O的直径．请问：直线PB是否与⊙O相切说明你的理由．二、与等弧、垂径定理有关7.如图，AB是⊙O的的直径，BC⊥AB于点B，连接OC交⊙O于点E，弦AD⊥（1）求证：点E是⌒BD的中点；（2）求证：CD是⊙O的切线；8.（2010年浙江杭州）已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D为圆上两点，且弧⌒CB＝⌒CD弧CD，CF⊥AB于点F，CE⊥AD的延长线于点E．求证：DE＝BF；9．如图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D．⌒AB =⌒AF ，BF和AD相交于E．证明：AE=BE．A BO FED CFECBAD10.已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ABC＝90°，以AB 上的点O 为圆心，OB 的长为半径的圆与AB 交于点E ，与AC 切于点D ．（1）求证：BC ＝CD ；（2）求证：∠ADE＝∠ABD；三、与半圆或直径有关11．已知：如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，以AC 为直径的半圆O 交AB 于F ，E 是BC 的中点．求证：直线EF 是半圆O 的切线．12．已知：如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D 点，.21BC AD =EF 是△ABC 的中位线，以EF 为直径作半圆O ，试确定BC 与半圆O 的位置关系，并证明你的结论．•ABCD EO四、与平面直角坐标有关13．已知：如图，⊙O1与坐标轴交于A（1，0）、B（5，0）两点，点O1的纵坐标为5．求⊙O1的半径．五、与动点有关14.如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，AB＝10cm，点P由点C出发以每秒2cm的速度沿CA向点A运动（不运动至A点），⊙O的圆心在BP上，且⊙O分别与AB、AC相切，当点P运动2秒钟时，求⊙O的半径.15.在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm,点P从点A开始沿折线A-B-C-D以4cm/s的速度移动，点Q从C 开始沿CD以1cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达点D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s)(1)如图（1）何时四边形APQD为矩形(2)如图（2）如果⊙P与⊙Q的半径都为2cm，何时⊙P与⊙Q外切BABAQP··图（1）图（2）。
切线证明(共5篇)
切线证明〔共5篇〕第1篇：证明切线的方法证明切线的方法证明一条直线是圆的切线，可分两种情况进展分析^p 。
〔1〕圆和直线的唯一公共点，方法是：连半径，证垂直〔比拟常用〕。
〔2〕圆和直线的公共点位置未知，方法是：作垂直，证半径。
例如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点O在线段AB上，以O为圆心、OB为半径作圆交BC于点D，过点D作DE⊥AC于E。
DE是圆O的切线吗？分析^p ：这属于第一种情况，可以考虑连半径，再证垂直。
DE是切线。
证明：连接OD。
∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∴∠B＝∠C。
又∵OB＝OD，∴∠B＝∠1。
∴∠1＝∠C。
而DE⊥AC，∴∠C＋∠2＝90°。
∴∠1＋∠2＝90°。
∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE，OD是圆O的半径。
∴DE是圆O的切线。
AB第2篇：证明圆的切线方法证明圆的切线方法我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线.在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有：一、假设直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.证明：连结OE，AD.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC. 又∵AB=BC，∴∠3=∠4.⌒ ⌒∴BD=DE，∠1=∠2. 又∵OB=OE，OF=OF，∴△BOF≌△EOF〔SAS〕. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF与⊙O相切，∴OB⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF与⊙O相切.说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.求证：PA与⊙O相切.证明一：作直径AE，连结EC.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD，∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB，∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E，∴∠1=∠E ∵AE是⊙O的直径，∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900. 即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切.证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE.∵AD是∠BAC的平分线，⌒ ⌒∴BE=CE，∴OE⊥BC. ∴∠E+∠BDE=900. ∵OA=OE，∴∠E=∠1. ∵PA=PD，∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA=∠BDE, ∴∠1+∠PAD=900即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切.证明一：连结OD.∵AB=AC，∴∠B=∠C. ∵OB=OD，∴∠1=∠B. ∴∠1=∠C.∴OD∥AC. ∵DM⊥AC，∴DM⊥OD.∴DM与⊙O相切D 证明二：连结OD，AD.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.又∵AB=AC,C ∴∠1=∠2. ∵DM⊥AC，∴∠2+∠4=900 ∵OA=OD，∴∠1=∠3.∴∠3+∠4=900.即OD⊥DM.∴DM是⊙O的切线说明：证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用及图上.例4 如图，：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.求证：DC是⊙O的切线证明：连结OC、BC.∵OA=OC，∴∠A=∠1=∠300.∴∠BOC=∠A+∠1=600. 又∵OC=OB，∴△OBC是等边三角形. ∴OB=BC. ∵OB=BD，∴OB=BC=BD. ∴OC⊥CD. ∴DC是⊙O的切线.D 说明：此题是根据圆周角定理的推论3证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较好.例5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.求证：PC是⊙O的切线.证明：连结OC∵OA2=OD·OP，OA=OC，∴OC2=OD·OP， OCOP.ODOC 又∵∠1=∠1，∴△OCP∽△ODC. ∴∠OCP=∠ODC. ∵CD⊥AB，∴∠OCP=900. ∴PC是⊙O的切线.说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.求证：CE与△CFG的外接圆相切.分析^p ：此题图上没有画出△CFG的外接圆，但△CFG是直角三角形，圆心在斜边FG的中点，为此我们取FG的中点O，连结OC，证明CE⊥OC即可得解.证明：取FG中点O，连结OC. ∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD，△CFG是Rt△∵O是FG的中点，∴O是Rt△CFG的外心. ∵OC=OG，∴∠3=∠G，∵AD∥BC，∴∠G=∠4. ∵AD=CD，DE=DE，∠ADE=∠CDE=450，∴△ADE≌△CDE〔SAS〕∴∠4=∠1，∠1=∠3. ∵∠2+∠3=900, ∴∠1+∠2=900. 即CE⊥OC. ∴CE与△CFG的外接圆相切二、假设直线l与⊙O没有的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.证明一：连结DE，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB是⊙D的切线，∴DE⊥AB. ∵DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=900. ∵AB=AC，∴∠B=∠C. 又∵BD=CD，∴△BDE≌△CDF〔AAS〕∴DF=DE. ∴F在⊙D上. ∴AC是⊙D的切线证明二：连结DE，AD，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB与⊙D相切，∴DE⊥AB.∵AB=AC，BD=CD，∴∠1=∠2.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF.∴F在⊙D上.∴AC 与⊙D相切.说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE 的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关.例8 ：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，假设∠COD=900.求证：CD是⊙O的切线.证明一：连结OA，OB，作OE⊥CD，E为垂足.∵AC，BD与⊙O相切，∴AC⊥OA，BD⊥OB. ∵AC∥BD，∴∠1+∠2+∠3+∠4=1800. ∵∠COD=900，∴∠2+∠3=900，∠1+∠4=900. ∵∠4+∠5=900.∴∠1=∠5. ∴Rt△AOC∽Rt△BDO.∴ACOC.OBODACOC.OAODO ∵OA=OB，∴ 又∵∠CAO=∠COD=900，∴△AOC∽△ODC，∴∠1=∠2. 又∵OA⊥AC，OE⊥CD, ∴OE=OA. ∴E点在⊙O上. ∴CD是⊙O的切线.证明二：连结OA，OB，作OE⊥CD 于E，延长DO交CA延长线于F. ∵AC，BD与⊙O相切，∴AC⊥OA，BD⊥OB.∵AC∥BD，∴∠F=∠BDO.又∵OA=OB，∴△AOF≌△BOD〔AAS〕∴OF=OD.∵∠COD=900，∴CF=CD，∠1=∠2.又∵OA⊥AC，OE⊥CD，∴OE=OA.∴E点在⊙O上.∴CD是⊙O的切线.证明三：连结AO并延长，作OE⊥CD于E，取CD中点F，连结OF.∵AC与⊙O相切，∴AC⊥AO.∵AC∥BD，∴AO⊥BD.∵BD 与⊙O相切于B，∴AO的延长线必经过点B.∴AB是⊙O的直径.∵AC∥BD，OA=OB，CF=DF，∴OF∥AC，∴∠1=∠COF.∵∠COD=900，CF=DF，∴OF1CD CF.2∴∠2=∠COF.∴∠1=∠2.∵OA⊥AC，OE⊥CD，∴OE=OA.∴E点在⊙O上.∴CD是⊙O的切线说明：证明一是利用相似三角形证明∠1=∠2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明∠1=∠2.证明三是利用梯形的性质证明∠1=∠2，这种方法必需先证明A、O、B三点共线.此题较难，需要同学们利用所学过的知识综合求解.以上介绍的是证明圆的切线常用的两种方法供同学们参考.第3篇：圆的切线方程公式证明:圆的方程为:(xb)² = r², 圆上一点P(x0, y0) 解:圆心C(a, b)直线CP的斜率:k1 = (y0a)因为直线CP与切线垂直, 所以切线的斜率:k2 = -1/k1 =a) / (y0y0 = k2 (xy0 = [- (x0b)] (xx0)(x0y0)(y0ax +ax0 + y0yx0²a)² + (y02ax0 + a² + y1²x0²2by0 + a²+ b²ax + ax0 + y0y2by0 + a² + b²axyba)(xb)(y(x0 + D/2) / (y0 + E/2)根据点斜式, 求得切线方程：yx0)yx0)整理得:x0x + y0y + Dx/2 + Ey/2Ey0/2 -x0²x0²Dx0/2a)² + (yMC²)(根据勾股定理)= √ [(x0b)²MC²)(根据勾股定理)= √ [ (x0 + D/2)² + (y0 + E/2)² - ((√(D²+E²-4F))/2)² ](半径:r=(√(D²+E²-4F)) / 2)= √ (x0² + y0² + Dx0 + Ey0 + F)第4篇：切线的两种证明方法浅谈切线的两种证明方法在中学学习圆的时候，我们学过切线的断定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
证明圆的切线的七种常用方法
证明圆的切线的七种常用方法类型1、有公共点：连半径，证垂直方法1、勾股定理逆定理法证垂直1.如图，⊙O的直径AB=12，点P是AB延长线上一点，且PB=4，点C是⊙O上一点，PC=8. 求证：PC是⊙O的切线.方法2、特殊角计算法证垂直2. 如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP=AC.（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）若PD =5，求⊙O 的直径.方法3、等角代换法证垂直3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC 的中点，以AC 为直径的⊙O交AB于点E . 求证：DE是⊙O 的切线.方法4、平行线性质法证垂直4.如图，已知四边形OABC的三个顶点A ，B ，C在以O为圆心的半圆上，过点C 作CD ⊥AB，分别交AB，AO 的延长线于点D，E，AE交半圆O于点F，连接CF，且∠E=30°，点B是︵AC的中点.(1)判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由；(2)求证：CF=OC；(3)若⊙O的半径是6，求DC的长.AB POCACBPD OAEBDOCA O F ECDB方法5、全等三角形法证垂直5.如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，且四边形AOCD 是平行四边形，过点D 作⊙O 的切线，交OC 的延长线于点F ，连接BF .求证：BF 是⊙O 的切线.类型2、无公共点：作垂直，证半径方法6、角平分线性质法证半径6.如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，E 是AB 上一点，DE =DC ，以点D 为圆心，BD 长为半径作OD ，AB =5，EB =2. (1)求证：AC 是OD 的切线；(2)求线段AC 的长.方法7、全等三角形法证半径7.如图，四边形ABCD 中，∠A =∠ABC =90°，AD +BC =CD ，以AB 为直径作⊙O . 求证：⊙O 与边CD 相切.A OBCD F A B C D EA OB C D。
双曲线的切线方程总结(附证明)
双曲线的切线方程总结(附证明)
双曲线的切线方程总结（附证明）
引言
双曲线是高等数学中的一个重要概念，切线是与曲线相切的直线。
本文总结了双曲线的切线方程，并给出了相应的证明。
切线方程的一般形式
双曲线的一般方程为Ax^2 - By^2 = 1（其中A和B为常数），切线的一般方程为y = mx + c（其中m和c为常数）。
要找到双曲
线上某点处的切线方程，可以按照以下步骤进行计算。
步骤 1：求导
首先，对双曲线的一般方程进行求导，得到导数dy/dx。
步骤 2：求斜率
将求导后的导数代入点斜式y - y1 = m(x - x1)中，其中点(x1,
y1)为双曲线上的某点。
通过计算，可以得到切线的斜率m。
步骤 3：求截距
将得到的斜率m代入切线方程y = mx + c中，并将双曲线上的某点的坐标代入，可以求解出切线的截距c。
步骤 4：得出切线方程
将求得的斜率m和截距c代入切线方程y = mx + c中，即可得到双曲线上某点处的切线方程。
证明
利用数学推导和曲线的性质，可以证明以上步骤中得出的切线方程确实与双曲线相切。
具体证明过程较为繁琐，因此在此不再详述。
结论
本文总结了双曲线的切线方程的一般形式和计算步骤，并提供了相应的证明过程。
通过掌握这些内容，读者可以更好地理解双曲线的性质，进一步应用于实际问题中的解决。
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注：此文档为简单总结，具体证明过程较为复杂，若需详细了解请参考相关数学教材及资料。
切线定理证明
切线定理证明
证明切线有三种办法
①与圆只有一个交点的直线；
②存有未知交点，连半径，证横向（根据切线认定定理）；
③无已知交点，作垂直，证半径（根据直线与圆的位置关系，d=r)。
利用切线的性质定理以及推断，切线的认定定理，切线短定理展开证明。
1.切线的性质定理:：圆的切线垂直于经过切点的半径。
2.切线的性质定理的推断1：经过圆心且旋转轴切线的直线必经过切点。
3.切线的性质定理的推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
4.切线的认定定理：经过半径的外端并且旋转轴这条半径的直线就是圆的切线。
5.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
中考圆综合6种证明切线的模型
中考圆综合6种证明切线的模型【模型l：双切线】例1.如图，Rt△ABC中，∠A=90°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，点E在⊙O上，CE=CA，AB，CE的延长线交于点F．（1）求证：CE与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为3，EF=4，求BD的长．练习1.已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．（1）求证：BE与⊙O相切；．OE DCB A【模型2角平分线模型】例2.如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，交⊙O 的切线BE 于点E ，过点D 作DF ⊥AC ，交AC 的延长线于点F ．（1）求证：DF 是⊙O 的切线；练习2.如图，AB 是O ⊙的直径，点C 在O ⊙上，CAB ∠的平分线交O ⊙于点D ，过点D 作AC 的垂线交AC的延长线于点E ，连接BC 交AD 于点F .（1）求证：ED 是O ⊙的切线；【模型3：弦切角】例3.如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC上一点，且AD=DC，过A，B，D三点作⊙O，AE是⊙O的直径，连结DE．（1）求证：AC是⊙O的切线；．练习3.如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CB D．（1）求证：CD是⊙O的切线；【模型4：等腰三角形】例4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F．（1）求证：BD=BF；练习4：已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O 的切线交AB于点E，交AC的延长线于点F．（1）求证：DE⊥AB；【模型5：二倍角的使用】例5.如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD=2∠BAC，连接CD.过点C作CE⊥DB，垂足为E，直线AB与CE相交于F点.（1）求证：CF为⊙O的切线；.练习5：如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上不同于A，B的两点，过点C作⊙O的切线CF交直线AB于点F，直线DB⊥CF于点E．(1)求证：∠ABD＝2∠CAB；．【模型6：垂直导角】.例6.如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO 延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．（1）求证：PB是⊙O的切线．，弦CF与OB交于点E，过点F，A分别练习6．如图，在⊙O中，AB为直径，OC AB作⊙O的切线交于点H，且HF与AB的延长线交于点D．（1）求证：DF=DE;．。
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倒线段。
如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，连接BC ，AC ，作OD ∥BC 与过点A 的切线交于点D ，连接DC 并延长交AB 的延长线于点E ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）若
=，求cos ∠ABC 的值．
倒角，圆心角与圆周角
已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，OH AC ⊥于H ，30B ∠=0
，过A 点的直线与OC 的延长
线交于点D ，0
30CAD ∠=
，AD = （1）求证：AD 是⊙O 的切线；
（2）若E 为⊙O 上一动点，连接AE 交直线OD 于点P ，问：是否存在点P ,使得P A+PH 的值最小，若存在求P A+PH 的最小值，若不存在，说明理由
.
一、圆的基本知识： 怎样证切线？垂径定理
如图，AB 为⊙O 直径，C 、D 为⊙O 上不同于A 、B 的两点，∠ABD=2∠BAC ，连接CD .过点C 作CE ⊥DB ，垂足为E ，直线AB 与CE 相交于F 点. （1）求证：CF 为⊙O 的切线；
（2）当BF =5,3
sin 5F =时，求BD 的长.
3
2
A
同弧所对圆周角 如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点H ，过点B 作⊙O 的切线与AD 的延长线交于F ． （1）求证：ABC F ∠=∠ （2）若sinC=3
5
，DF=6，求⊙O 的半径． .
圆内接四边形
如图，已知BC 为⊙O 的直径， EC 是⊙O 的切线，C 是切点，EP 交⊙O 于点A ，D ，交
CB 延长线于点P . 连接CD ，CA ，AB .
（1）求证：∠ECD =∠EAC ；
（2）若PB =OB=2，CD =3，求P A 的长.
直径对直角
如图，已知⊙O 的直径AB 与弦CD 互相垂直，垂足为点E ．⊙O 的切线BF 与弦AC 的延长线相交于点 F ，且AC=8，tan ∠BDC=．
（1）求⊙O 的半径长； （2）求线段CF 长．
圆心是中点
如图，线段BC 切⊙O 于点C ，以AC 为直径，连接AB 交⊙O 于点D ，点E 是BC 的中点，
交AB 于点D ，连结OB 、DE 交于点F ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）若4
AC =，BC =求EF
FD
的值．
B
B
切线长定理，三角函数要转移
如图，点D 为⊙O 错误！未找到引用源。
上一点，点C 在直径BA 的延长线上，且
CDA CBD ∠=∠．
（1）求证：CD 是错误！未找到引用源。
⊙O 的切线； （2）过点B 作⊙O 的切线交CD 于点E ，BC ＝12，
tan CDA ∠＝2
3.
求BE 的长．
两半径成等腰
如图，在ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，连接OD ，过点D 作⊙O 的切线，交AB 延长线于点E ，交AC 于点F 。
（1）求证：//OD AC ；
（2）当10
AB =，cos ABC ∠=AF 及BE 的长。
三角函数是比例，半径处处相等
如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC AB =，连结CO 并延长交⊙O 的切线AP 于点P ． （1）求证：BCP APC ∠=∠； （2）若5
3
sin =
∠APC ，4=BC ，求AP 的长．
P
A
圆心切点有垂直
如图，⊙O 的直径AB =4，点P 是AB 延长线上的一点，过P 点作⊙O 的切线，切点为C ，
连结AC .
（1）若∠CP A =30°，求PC 的长；
（2）若点P 在AB 的延长线上运动，∠CP A 的平分线交AC 于点M . 你认为∠CMP 的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠CMP 的大小.
二、寻找相似是根本
1，如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，点D 是AB 边上一点，以BD 为直径的⊙O 与边AC 相切于点E ，连接DE 并延长DE 交BC 的延长线于点F ． （1）求证：BD =BF ； （2）若CF =1，cos B =3
5
，求⊙O 的半径．
2，如图，在△ABC 中，︒=∠90BCA ，以BC 为直径的⊙O AB 于点P ，
Q 是AC 的中点．
（1）求证：直线PQ 与⊙O 相切； （2）连结PO 并延长交⊙O 于点E 、 交AC 的延长线于点F ，连结PC , 若OC =5，2
1tan =∠OPC , 求EF 的长. 解：
A
B
Q
C
3，如图，O ⊙是△ABC 的外接圆，AB = AC ，过点A 作AD ∥BC 交BO 的延长线于点D ．
（1）求证：AD 是O ⊙的切线；
（2）若O ⊙的半径OB=5，BC=8，求线段AD 的长．
4，如图，△ABC 内接于⊙O ，弦AD ⊥AB 交BC 于点E ，过点B 作⊙O 的切线交DA 的延
长线于点F ，且∠ABF ＝∠ABC ． （1）求证：AB ＝AC ； （2）若AD ＝4,cos ∠ABF ＝5
4
，求DE 的长．
5，如图，AB 是⊙O 的直径， BC 交⊙O 于点D ，E 是BD 的中点，连接AE 交BC 于点F ，∠ACB =2∠EAB ．
（1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）若2
cos 3
C =
，AC =6，求BF 的长．
6，如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AE 是角平分线，BM 平分∠ABC 交AE 于点M ，经过B ，
M 两点的⊙O 交BC 于点G ，交AB 于点F ，FB 恰为⊙O 的直径．, （1）判断AE 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）当BC ＝4，AC ＝3CE 时，求⊙O 的半径．
D。