圆切线的有关证明和计算
微专题十二 与圆的切线有关的计算与证明
微专题十二 与圆的切线有关的计算与证明[见学用《高分作业》PA48]类型一 与切线的性质有关的计算或证明【经典母题】如图Z12－1，⊙O 的切线PC 交直径AB 的延长线于点P ，C 为切点，若∠P ＝30°，⊙O 的半径为1，则PB 的长为__1__．图Z12－1 经典母题答图【解析】 如答图，连结OC .∵PC 为⊙O 的切线，∴∠PCO ＝90°，在Rt △OCP 中，∵OC ＝1，∠P ＝30°，∴OP ＝2OC ＝2，∴PB ＝OP －OB ＝2－1＝1. 【思想方法】 (1)已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径；(2)已知圆的切线，常作过切点的半径，得到切线与半径垂直．【中考变形】[2018·黄冈]如图Z12－2，AD 是⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦，OP ⊥AD ，OP 与AB 的延长线交于点P ，过B 点的切线交OP 于点C .(1)求证：∠CBP ＝∠D ；(2)若OA ＝2，AB ＝1，求线段BP 的长．图Z12－2 中考变形答图解：(1)证明：如答图，连结OB ，∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ABD ＝90°，∴∠A ＋∠D ＝90°，∵BC 为切线，∴OB ⊥BC ，∴∠OBC ＝90°，∴∠OBA ＋∠CBP ＝90°，而OA ＝OB ，∴∠A ＝∠OBA ，∴∠CBP ＝∠D ；(2)∵OP ⊥AD ，∴∠POA ＝90°，∴∠P ＋∠A ＝90°，∵∠D ＋∠A ＝90°，∴∠P ＝∠D ，∴△AOP ∽△ABD ，∴AP AD ＝AO AB ，即1＋BP 4＝21，∴BP ＝7.【中考预测】[2018·白银]如图Z12－3，点O 是△ABC 的边AB 上一点，⊙O 与边AC 相切于点E ，与边BC ，AB 分别相交于点D ，F ，且DE ＝EF .(1)求证：∠C ＝90°；(2)当BC ＝3，sin A ＝35时，求AF 的长．图Z12－3 中考预测答图解：(1)证明：如答图，连结OE ，BE ，∵DE ＝EF ，∴DE ︵＝EF ︵，∴∠OBE ＝∠DBE ，∵OE ＝OB ，∴∠OEB ＝∠OBE ，∴∠OEB ＝∠DBE ，∴OE ∥BC ，∵⊙O 与边AC 相切于点E ，∴OE ⊥AC ，∴BC ⊥AC ，∴∠C ＝90°；(2)在△ABC ，∠C ＝90°，BC ＝3，sin A ＝35，∴AB ＝5，设⊙O 的半径为r ，则AO ＝5－r ，在Rt △AOE 中，sin A ＝OE OA ＝r 5－r＝35， ∴r ＝158，∴AF ＝5－2×158＝54.类型之二 与切线的判定有关的计算或证明【经典母题】已知：如图Z12－4，A 是⊙O 外一点，AO 的延长线交⊙O 于点C ，点B 在圆上，且AB ＝BC ，∠A ＝30°，求证：直线AB 是⊙O 的切线．图Z12－4 经典母题答图证明：如答图，连结OB ，∵OB ＝OC ，AB ＝BC ，∠A ＝30°，∴∠OBC ＝∠C ＝∠A ＝30°，∴∠AOB ＝∠C ＋∠OBC ＝60°.∵∠ABO ＝180°－(∠AOB ＋∠A )＝180°－(60°＋30°)＝90°，∴AB ⊥OB ，又∵OB 为⊙O 半径，∴AB 是⊙O 的切线． 【思想方法】 证明圆的切线常用两种方法“作半径，证垂直”或者“作垂直，证半径”．【中考变形】1．[2018·南充]如图Z12－5，C 是⊙O 上一点，点P 在直径AB 的延长线上，⊙O 的半径为3，PB ＝2，PC ＝4.(1)求证：PC 是⊙O 的切线；(2)求tan ∠CAB 的值．图Z12－5 中考变形1答图解：(1)证明：如答图，连结OC，BC，∵⊙O的半径为3，PB＝2，∴OC＝OB＝3，OP＝OB＋PB＝5，∵PC＝4，∴OC2＋PC2＝OP2，∴△OCP是直角三角形，∴OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线；(2)∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO＋∠OCB＝90°，∵OC⊥PC，∴∠BCP＋∠OCB＝90°，∴∠BCP＝∠ACO，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠A＝∠BCP，在△PBC和△PCA中，∠BCP＝∠A，∠P＝∠P，∴△PBC∽△PCA，∴BCAC＝PBPC＝24＝12，∴tan∠CAB＝BCAC＝12.2．[2018·郴州]如图Z12－6，已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°.(1)求证：直线AD是⊙O的切线；(2)若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长．图Z12－6 中考变形2答图解：(1)证明：如答图，连结AO，∵∠AEC＝30°，∴∠ABC＝30°，∵AB＝AD，∴∠D＝∠ABC＝30°，根据三角形的内角和定理得，∠BAD＝120°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠ABC＝30°，∴∠OAD＝∠BAD－∠OAB＝90°，∴OA⊥AD，∵点A在⊙O上，∴直线AD是⊙O的切线；(2)∵∠AEC＝30°，∴∠AOC＝60°，∵BC⊥AE于M，∴AE＝2AM，∠OMA＝90°，在Rt△AOM中，AM＝OA·sin∠AOM＝4×sin60°＝23，∴AE＝2AM＝4 3.【中考预测】如图Z12－7，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠A＝2∠BCD，点E 在AB的延长线上，∠AED＝∠ABC.(1)求证：DE与⊙O相切；(2)若BF＝2，DF＝10，求⊙O的半径．图Z12－7 中考预测答图解：(1)证明：如答图，连结OD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A＋∠ABC＝90°，∵∠BOD＝2∠BCD，∠A＝2∠BCD，∴∠BOD＝∠A，∵∠AED＝∠ABC，∴∠BOD＋∠AED＝90°，∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE，∴DE与⊙O相切；(2)如答图，连结BD，过点D作DH⊥BF于点H.∵DE与⊙O相切，∴∠ACD＋∠BCD＝∠ODB＋∠BDE＝90°，∵∠ACD＝∠OBD，∠OBD＝∠ODB，∴∠BDE＝∠BCD，∵∠AED＝∠ABC，∴∠AFC＝∠DBF，∵∠AFC＝∠DFB，∴△ACF与△FDB都是等腰三角形，∴FH＝BH＝12BF＝1，∴HD＝DF2－FH2＝3，在Rt△ODH中，OH2＋DH2＝OD2，即(OD－1)2＋32＝OD2，∴OD＝5.即⊙O的半径是5.。
圆中与切线有关的解题策略
圆中与切线有关的解题策略知识精解一、切线的三种判定方法：（1）和圆只有一公共点的直线是圆的切线；（2）圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）经过半径外端且与半径垂直的直线是圆的切线；证题中常用后两种方法，且往往需要添加辅助线。
常见证明切线的方法(添加辅助线)：（1）如果已知直线经过圆上一点，那么连结这点和圆心得到半径再证所作半径与这条直线垂直。
即“连半径，证_______”（2）如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长等于半径，即“作垂直，证_______”。
自主学习例1. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于D，E为BC中点。
求证：DE是⊙O切线。
例2. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=∠D=90°，且AD+BC=AB。
求证：以AB为直径的⊙O与CD相切。
练习1：直线MN∥PQ，点A在MN上，点B在PQ上，O是AB的中点，⊙O与MN 相切于K．求证：⊙O与PQ也相切．练习2：已知△ABC 中，=∠90 C ，=AC BC ，，D E 分别是，AC BC 的中点，⊙O 是△DCE 的外接圆．求证：AB 是⊙O 的切线．练习3：已知：∠MAN=30°，O 为边AN 上一点，以O 为圆心、2为半径作⊙O ，交AN 于D 、E 两点，设AD=x ，⑴如图⑴当x 取何值时，⊙O 与AM 相切；⑵如图⑵当x 为何值时，⊙O 与AM 相交于B 、C 两点，且∠BOC=90°．二. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等且这点和圆心连线平分两条切线的夹角。
如图，已知：P 是⊙O 外一点，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点；结论：(1)PA____PB ； (2)OP______∠APB 。
由切线长定理，可以推得如下重要结论：(1)圆外切四边形的对边和相等；(2)圆的两条平行切线的切点连线是圆的______。
圆的切线定理
圆的切线定理定理表述设有一个圆和一条直线，当这条直线与圆相切时，直线与圆的切点之间的线段与半径垂直。
证明过程证明圆的切线定理的方法主要有两种：几何法和代数法。
几何法几何法是通过几何构造来证明定理。
我们可以通过以下步骤进行证明：1. 假设有一个圆和一条直线，直线与圆相切于点P。
2. 以圆心为起点，作一条半径OP。
3. 连接直线上的点P和圆心O，得到线段OP。
4. 利用三角形的性质，我们可以得出线段OP与直线的斜率相等。
5. 因为直线与圆相切，所以线段OP与半径OP垂直。
6. 因此，根据直线斜率的性质，直线与半径垂直。
通过以上步骤，我们证明了圆的切线与半径垂直。
代数法代数法是通过代数计算来证明定理。
我们可以使用坐标系的方法进行证明：1. 假设圆的方程为(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。
2. 假设直线的方程为y = mx + c，其中m为直线的斜率，c为截距。
3. 将直线方程代入圆的方程，得到(x-a)^2 + (mx + c - b)^2 - r^2 = 0。
4. 根据圆的定义，当直线与圆相切时，该方程只有一个解。
5. 解方程得到一个二次方程，利用判别式判断方程有一个解的特性。
6. 通过计算判别式，可以得到切线方程有唯一解的条件。
7. 根据等式等式的性质，解方程得到的根与圆的切点相对应。
8. 证明了切线方程与圆的切点正交。
通过以上代数计算，我们证明了圆的切线与半径垂直。
应用和实例圆的切线定理在几何学和应用数学中有着广泛的应用。
它在解析几何的证明和问题求解中起着重要的作用。
例如，通过圆的切线定理，我们可以解决求直线与圆的切点坐标和切线方程的问题。
这对于工程学和物理学中的曲线研究非常有用。
另外，圆的切线定理在计算机图形学和计算机模拟中也被广泛应用。
通过计算机算法，我们可以快速计算出圆与直线的切点坐标，从而实现更精确的模拟效果。
总之，圆的切线定理是解析几何中重要的定理之一，它在几何学和应用数学中有着广泛的应用价值。
圆中与有关切线的问题
圆中与有关切线的问题基础知识：一、切线的定义：①与圆只有一个公共点的直线。
②若圆心到直线的距离与半径相等。
二、切线的性质：1、若Ｌ是圆的切线，则圆心到直线的距离等于半径。
2、圆的切线垂直过切点的半径。
3、推论：圆心、切点、垂直三、切线的判定：1、定义法：与圆只有一个公共点。
2、数量法：∵d=r ∴直线是圆的切线3、过半径的外端且与它垂直的直线。
方法：a、有明确的公共点，作半径，证垂直；b、无明确公共点，过圆心作垂直，证半径。
四、与切线有关的问题：1、切线长定理：a、切线长定义：b、切线长定理：过圆外一点引圆的两条切线，这两条切线相等，连接圆心与圆外的点平分两切线所成的角。
2、弦切角：a、弦切角的定义：b、弦切角定理（不能直接用）弦切角等于弦切角所夹弧所对的圆周角。
3、三角形的内切圆：a、定义：如果三角形的三边都与这个圆相切，则这个圆叫这个三角形的内切圆。
b、Rt△内切圆半径公式：Rt△内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半。
c、四边形内切圆：对边和相等。
d、公切线（长）五、常用辅助线：作半径。
能力测试：一、填空题。
1、直线L与半径为r的⊙O相交，且点O到直线L的距离为5，则r的取值范围是。
2、在射线OA上取一点P，使OP＝4cm，以P为圆心作直径为4cm的圆，若⊙P与射线OB相交，则锐角∠AOB的取值范围是。
3、如图，CD是⊙O的直径，AE切⊙O于B，DC的延长线交AB于A，∠A＝20°，则∠DBE＝。
4、如图，AB为⊙O的直径，延长AB至D，使BD=OB，DC切⊙O于C，则AC：AD＝。
5、如图，AB为⊙O的直径，C、D是⊙O的点，∠BAC＝20°，⋂⋂=DCAD，DE是⊙O的切线，则∠EDC的度数为。
6、OA 、OB 是⊙O 的两条半径，BC 是⊙O 的切线，且∠AOB ＝84°，则∠ABC 的度数为 。
二、选择题。
1、下列命题中，错误的是（ ）A 、垂直于弦的直径平分这弦；B 、弦的垂直平分线过圆心；C 、垂直于切线的直线必过圆心；D 、经过圆心且垂直于切线的直线必过切点。
圆的切线证明方法归纳
圆的切线证明方法归纳切线是指与圆相切且与圆的半径垂直的直线。
在几何学中，圆的切线是一个重要的概念。
证明圆的切线有许多不同的方法，下面将介绍一些常见的证明方法。
1.垂直切线法：这是最常见的证明方法之一。
具体步骤如下：（1）假设圆的半径r，圆心O，切点A和切线上的一点T。
（2）连接OA，并且将OA延长到交切线于点T。
（3）根据勾股定理可得：OA^2 =OT^2 + AT^2。
（4）由于OT和AT都是切线的一部分，所以OT和AT都垂直于OA。
（5）根据垂直定理可知OT和AT平方和等于OA的平方，即OT^2 + AT^2 = OA^2。
（6）根据步骤4和5可得：AT^2 = OA^2 - OT^2。
（7）OT是半径,所以OT^2= r^2，代入上式得：AT^2 = OA^2 -r^2。
（8）AT是切线的一部分，所以AT > 0。
因此，OA^2 - r^2 > 0。
（9）根据正数平方根的性质，OA^2 - r^2的平方根存在。
（10）所以，根据步骤9，AT存在，即OT与切线上的一点T并非同一点。
（11）由于OT与圆的半径相交于点O，所以OT是与半径垂直的直线，即切线。
2.切线垂直与半径的证明：这种证明方法基于一个重要的定理：切线垂直于半径。
具体步骤如下：（1）假设圆的半径r，圆心O，切点A和切线上的一点T。
（2）连接OA和OT。
（3）由于AO是圆的半径，所以AO与圆心O的向量相等，即AO = OT。
（4）由于切线与圆相切，切点A是切线上的一点，所以OA与切线垂直。
（5）根据向量几何的性质可得，向量OA与向量OT垂直。
（6）根据定义，切线上的每一个点与圆心都构成一个向量，这个向量与向量OA垂直。
（7）所以，根据步骤6，切线与所有圆心上的向量都垂直，即切线垂直于半径。
3.外切圆的切线证明：这种证明方法适用于外切圆。
具体步骤如下：（1）假设有一个三角形ABC，其中AB和BC是两条直线段，角ABC是直角。
证明圆的切线的七种常用方法
证明圆的切线的七种常用方法类型1、有公共点：连半径，证垂直方法1、勾股定理逆定理法证垂直1.如图，⊙O的直径AB=12，点P是AB延长线上一点，且PB=4，点C是⊙O上一点，PC=8. 求证：PC是⊙O的切线.方法2、特殊角计算法证垂直2. 如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP=AC.（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）若PD =5，求⊙O 的直径.方法3、等角代换法证垂直3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC 的中点，以AC 为直径的⊙O交AB于点E . 求证：DE是⊙O 的切线.方法4、平行线性质法证垂直4.如图，已知四边形OABC的三个顶点A ，B ，C在以O为圆心的半圆上，过点C 作CD ⊥AB，分别交AB，AO 的延长线于点D，E，AE交半圆O于点F，连接CF，且∠E=30°，点B是︵AC的中点.(1)判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由；(2)求证：CF=OC；(3)若⊙O的半径是6，求DC的长.AB POCACBPD OAEBDOCA O F ECDB方法5、全等三角形法证垂直5.如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，且四边形AOCD 是平行四边形，过点D 作⊙O 的切线，交OC 的延长线于点F ，连接BF .求证：BF 是⊙O 的切线.类型2、无公共点：作垂直，证半径方法6、角平分线性质法证半径6.如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，E 是AB 上一点，DE =DC ，以点D 为圆心，BD 长为半径作OD ，AB =5，EB =2. (1)求证：AC 是OD 的切线；(2)求线段AC 的长.方法7、全等三角形法证半径7.如图，四边形ABCD 中，∠A =∠ABC =90°，AD +BC =CD ，以AB 为直径作⊙O . 求证：⊙O 与边CD 相切.A OBCD F A B C D EA OB C D。
实用圆切线方程的证明
关于圆的切线方程及相关公式的证明一、点P(x 0,y 0)在圆上1、在圆的标准方程（x-a) 2+(y-b) 2=r 2上，则过点P(x 0,y 0)的切线方程为(x 0-a) (x-a) +(y 0-b) (y-b) =r 2或(x 0-a) (x-x 0) +(y 0-b) (y-y 0) =0证明：∵P(x 0,y 0)在圆上，（x 0-a) 2+(y 0-b) 2=r 2，圆心O(a,b)，OP 的斜率ax by k --=00 ∴切线的斜率为k1-，切线方程)(0000x x b y ax y y ----=- 0))(())((0000=--+--y y b y x x a x ①（x 0-a) 2+(y 0-b) 2=r 2 ②①+②得出（x 0－a ）(x －x 0+x 0－a)+(y 0-b)(y －y 0+y 0－b)= r 2 (x 0－a) (x －a) +(y 0－b) (y －b) =r 22、在圆的特殊方程x 2+y 2=r 2上，则过点P(x 0,y 0)的切线方程为x 0x + y 0y ＝=r 2（当a=0，b=0）3、在圆的一般方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0（D 2+E 2-4F ＞0）上，则过点P(x 0,y 0)的切线方程为x 0x + y 0y + D ×（2x x + ）+ E ×（2y y + ）+ F =0证明：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0 化成圆的标准方程 44)2()2(2222FE D Ey Dx -+=+++∵P(x 0,y 0)在圆上，44)2()2(222020FE D Ey Dx -+=+++，OP 的斜率2200Dx Ey k ++=∴切线的斜率为k1-，切线方程)(220000x x E y Dx y y -++-=-0))(2())(2(0000=-++-+y y Ey x x Dx ①44)2()2(222020FE D Ey Dx -+=+++②①+②得出44)2)(2()2)(2(22000000FE D Ey y y Ey Dx x x Dx -+=++-++++-+4442)(42)(22200200FE D E y y E y y D x x D x x -+=++⨯++++⨯+x 0x + y 0y + D ×（2x x + ）+ E ×（2y y + ）+ F =0二、点P(x 1,y 1)在圆外1、切线长22121)()(r b y a x PA --+-= (标准方程（x-a) 2+(y-b) 2=r 2） 证明：用勾股定理。
2020中考数学 冲刺专题：圆切线的相关证明与计算
2020中考数学冲刺专题：圆切线的相关证明与计算1. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD.过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P.第1题图(1)求证：PD是⊙O的切线；(2)求证：△PBD∽△DCA；(3)当AB＝6，AC＝8时，求线段PB的长．(1)证明：如解图，连接OD，∵圆心O在BC上，∴BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，第1题解图∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠DAC.∵∠DOC＝2∠DAC，∴∠DOC＝∠BAC＝90°，即OD⊥BC.∵PD∥BC，∴OD ⊥PD .又∵OD 是⊙O 的半径， ∴PD 是⊙O 的切线； (2)证明：∵PD ∥BC ， ∴∠P ＝∠ABC . 又∵∠ABC ＝∠ADC ， ∴∠P ＝∠ADC .∵∠PBD ＋∠ABD ＝180°，∠ACD ＋∠ABD ＝180°， ∴∠PBD ＝∠ACD ， ∴△PBD ∽△DCA ；(3)解：∵△ABC 是直角三角形， ∴BC 2＝AB 2＋AC 2＝62＋82＝100， ∴BC ＝10.∵OD 垂直平分BC ， ∴DB ＝DC .∵BC 是⊙O 的直径， ∴∠BDC ＝90°.∵在Rt △DBC 中，DB 2＋DC 2＝BC 2，即2DC 2＝BC 2＝100， ∴DC ＝DB ＝5 2. ∵△PBD ∽△DCA ， ∴PB DC ＝BD CA ，∴PB ＝DC ·BD CA ＝52·528＝254.2．如图，点A在⊙O上，点P是⊙O外一点，P A与⊙O相切于点A，连接OP交⊙O 于点D，作AB⊥OP于点C，交⊙O于点B，连接PB.第2题图(1)求证：PB是⊙O的切线；(2)若PC＝9，AB＝63，求图中阴影部分的面积．(1)证明：连接OB，∵OP⊥AB，∴AC＝BC，∴OP垂直平分AB，∴AP＝BP，又∵OA＝OB，OP＝OP，第2题解图∴△APO≌△BPO(SSS)，∵P A切⊙O于点A，∴AP⊥OA，∴∠P AO＝90°，∴∠PBO＝∠P AO＝90°，∴OB ⊥BP ， 又∵点B 在⊙O 上， ∴PB 与⊙O 相切于点B ；(2)解：∵OP ⊥AB ，OP 经过圆心O ， ∴BC ＝12AB ＝33， ∵∠PBO ＝∠BCO ＝90°，∴∠PBC ＋∠OBC ＝∠OBC ＋∠BOC ＝90°， ∴∠PBC ＝∠BOC ， ∵∠PCB ＝∠BCO ＝90°， ∴△PBC ∽△BOC ， ∴BC OC ＝PC BC ，∴OC ＝BC ·BC PC ＝33×339＝3， ∴在Rt △OCB 中，OB ＝OC 2＋BC 2＝6，tan ∠COB ＝BCOC ＝3，∴∠COB ＝60°，PB ＝OP ·sin60°＝63,∴S △OPB ＝12PB ·BO ＝183，S 扇形DOB ＝6036360 g ＝6π，∴S 阴影＝S △OPB －S 扇形DOB ＝183－6π.3.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，∠A ＝2∠BCD ，点E 在AB 的延长线上，∠AED ＝∠ABC . (1)求证：DE 与⊙O 相切；(2)若BF ＝2，DF ＝10，求⊙O 的半径．第3题图(1)证明：如解图，连接DO，∴∠BOD＝2∠BCD=∠A，∵∠DEA＝∠CBA，第3题解图∴∠DEA+∠DOE＝∠CAB+∠CBA，∵∠ACB＝90°,∴OD⊥DE，又∵OD为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；(2)解：如解图，连接BD，可得△FBD∽△DBO,BD DF BF==，BO OD BD∴BD=DF10∴OB=5.4．如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，连接CO并延长，交⊙O于点D、E，连接AD并延长，交BC于点F，连接BD、BE.第4题图(1)试判断∠CBD 与∠CEB 是否相等，并证明你的结论； (2)求证：BD BE ＝CDBC ；(3)若BC ＝2AB ，求tan ∠CDF 的值． (1)解：∠CBD ＝∠CEB ，证明如下： ∵AB 是⊙O 的直径，BC 切⊙O 于点B ， ∴∠CBD ＝90°－∠OBD ，又∵DE 过⊙O 的圆心，∴∠DBE ＝90°，OB ＝OD ， ∴∠CEB ＝90°－∠ODB ，∠ODB ＝∠OBD ， ∴∠CBD ＝∠CEB ；(2)证明：∵在△CBD 和△CEB 中， ∵∠CBD ＝∠CEB ，∠C ＝∠C ， ∴△CBD ∽△CEB ，∴BD BE ＝CD BC ； (3)解：∵BC ＝2AB ，OB ＝12AB ， ∴在Rt △OBC 中，OC ＝32AB ，∴CD ＝OC －OD ＝AB ，∵DE 是⊙O 的直径， ∴∠DBE ＝90°，∵∠CDF ＝∠ADE ＝∠ABE ＝∠BED ，∴tan ∠CDF ＝tan ∠BED ＝BD BE ＝CD BC ＝AB 2AB ＝22.5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，点E在⊙O 上，CE＝CA，AB和CE的延长线交于点F.(1)求证：CE与⊙O相切；(2)若⊙O的半径为3，EF＝4，求BD的长．第5题图(1)证明：如解图，连接OE，OC，第5题解图∵OA＝OE，CE＝CA，OC共用，∴△OEC≌△OAC(SSS)，∴∠OEC＝∠A＝90°，∵OE是⊙O的半径，∴CE与⊙O相切；(2)解：在Rt△OEF中，OE＝3，EF＝4，∴OF＝OE2＋EF2＝5，∴AF＝8，在Rt△ACF中，设AC＝x，则CF＝CE＋EF＝x＋4，∵AF2＋AC2＝CF2，∴82＋x2＝(x＋4)2，解得x ＝6，则AC ＝6，在Rt △ABC 中，AB ＝6，AC ＝6， ∴BC ＝62，如解图，连接AD ，则AD ⊥BC ， ∴BD ＝12BC ＝3 2.6．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，点E 是AC 的中点，OE 交CD 于点F .(1)若∠BCD ＝36°，BC ＝10，求BD ︵的长； (2)判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由．第6题图(1)解：如解图，连接OD ，∵∠BCD ＝36°， ∴∠BOD ＝2∠BCD ＝2×36°＝72°， ∵BC 是⊙O 的直径，且BC ＝10， ∴l BD ︵＝72π×5180＝2π；第6题解图(2)解：DE 是⊙O 的切线．理由如下： ∵BC 是⊙O 的直径，∴∠ADC ＝180°－∠BDC ＝90°， 又∵点E 是线段AC 的中点， ∴DE ＝AE ＝EC ＝12AC ， 在△DOE 与△COE 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧OD ＝OC OE ＝OE DE ＝CE ， ∴△DOE ≌△COE ， ∵∠ACB ＝90°，∴∠ODE ＝∠OCE ＝90°， ∵OD 是⊙O 的半径， ∴DE 是⊙O 的切线．7.如图，⊙O 的半径OC 垂直弦AB 于点H ，连接BC ，过点A 作弦AE ∥BC ，过点C 作CD ∥BA 交EA 延长线于点D ，延长CO 交AE 于点F . (1)求证：CD 为⊙O 的切线； (2)若BC ＝10，AB ＝16，求OF 的长．第7题图（1）证明：∵OC ⊥AB ，AB ∥CD ， ∴OC ⊥DC ， ∵OC 是⊙O 的半径， ∴CD 是⊙O 的切线； (2)解：如解图，连接BO .设OB ＝x ，∵AB ＝16，OC ⊥AB ， ∴HA ＝BH ＝8， ∵BC ＝10，∴CH ＝6， ∴OH ＝x －6. 在Rt △BHO 中， ∵OH 2＋BH 2＝OB 2，∴(x －6)2＋82＝x 2，解得x ＝253， ∵CB ∥AE ，∴∠CBH ＝∠F AH ， 在△CHB 和△FHA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠CBH ＝∠F AH ∠CHB ＝∠FHA BH ＝AH， ∴△CHB ≌△FHA ，∴CH ＝HF ， ∴CF ＝2CH ＝12，∴OF ＝CF －OC ＝12－253＝113.第7题解图8.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，E 是AC 的中点，OE 交CD 于点F .(1)若∠BCD ＝36°，BC ＝10，求BD ︵的长；(2)判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(3)求证：2CE 2＝AB ·EF.第8题图(1)解：如解图，连接OD ，∵∠BCD ＝36°，∴∠BOD ＝2∠BCD ＝2×36°＝72°， ∵BC 是⊙O 的直径，且BC ＝10，∴l BD ︵＝72π×5180＝2π.第8题解图(2)解：DE 是⊙O 的切线；理由如下：∵BC 是⊙O 的直径，∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°，又∵点E 是线段AC 的中点，∴DE ＝AE ＝EC ＝12AC ，在△DOE 与△COE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧OD ＝OC OE ＝OE DE ＝CE，∴△DOE ≌△COE ； ∵∠ACB ＝90°，∴∠ODE ＝∠OCE ＝90°， ∵OD 是⊙O 的半径，∴DE 是⊙O 的切线；(3)证明：∵△DOE ≌△COE ，∴OE 是线段CD 的垂直平分线，DE ＝CE ， ∴点F 是线段CD 的中点，∵点E 是线段AC 的中点，则EF ＝12AD ，在△ACD 与△ABC 中，⎩⎨⎧∠CAD ＝∠BAC ∠ADC ＝∠ACB， ∴△ACD ∽△ABC ，则AC AB ＝AD AC ，即AC 2＝AB ·AD ，而AC ＝2CE ，AD ＝2EF ， ∴(2CE )2＝AB ·2EF ，即4CE 2＝AB ·2EF ，∴2CE 2＝AB ·EF .。
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圆切线的有关证明和计算
已知：如图，在Rt ABC △中，90C ∠=，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC AB ，分别交于点D E ，，且CBD A ∠=∠． （1）判断直线BD 与O 的位置关系，并证明你的结论；
（2）若:8:5AD AO =，2BC =，求BD 的长．
解：（1）
（2）
已知：如图，在△ABC 中，AB=AC,AE 是角平分线，BM 平分∠ABC 交AE 于点M,经过
B,M 两点的⊙O 交BC 于点G,交AB 于点F,FB 恰为⊙O 的直径. （1）求证：AE 与⊙O 相切； （2）当BC=4,cosC=
1
3
时，求⊙O 的半径.
（１）通过平行找垂直。
如果以下几种题型
如图，已知△ABC ，以AB 为直径的⊙O 经过BC 的中点D ，DE ⊥AC 于E .
(1)求证:DE 是⊙O 的切线；
(2)若2
1
cos =
C , 6DE =, 求⊙O 的直径. 已知：如图，⊙O 为ΔABC 的外接圆，BC 为⊙O 的直径，作射线BF 使得BA 平分 ∠CBF ，过点A 作A
D ⊥BF 于D （１）求证：DA 为⊙O 的切线
（２）若BD=1,⊙O 的半径为2
5
，求tan ∠BAD
F
A
D
B O
C
(2)通过计算角的度数找垂直 如果以下题型
D C
O
A B
E
10.已知，A 是⊙O 上一点，半径的延长线与过点A 的直线交于B 点，OC=BC,AC=
2
1
OB 。
（１）求证：AB 是⊙O 的切线
（２）若∠ACD=４５°,OC=2,求弦CD 的长 D O C A B
已知如图，点D 是⊙O 的直径延长线上一点，点B 在⊙O 上，且OA=AB=AD (1)求证：BD 是⊙O 的切线
(2)若点E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交于点F ，且BE=８,tan ∠BFA=
2
5
,求⊙O 的半径 B
F E D A O C
已知：如图，在⊿ABC 中，D 是AB 边上一点，⊙O 过 A,B,C 三点，∠DOC=2∠ACD=90° A (1)求证：直线AC 是⊙O 的切线； D (2)如果∠ACB=75°,⊙O 的半径为２,求BD 的长 B C O
(3)根据角与角的关系推导
已知：如图，AB 是O 的直径，BC 切O 于B ，AC 交O 于P ，D 为BC 边的中点，连结DP ．
(1) DP 是O 的切线； (2) 若3cos 5
A
， O 的半径为5， 求DP 的长.
如图，D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点 B 在⊙O 上， 且AB ＝AD ＝AO ．
（1）求证：BD 是⊙O 的切线；
（2）若E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交于点F ，
B
A
O
B
F C
D
E
△BEF 的面积为8，且cos ∠BF A ＝3
2， 求△ACF 的面积．
如图，在△ABC ，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于点D 、E ，点F 在AC 的
延长线上，且∠CBF ＝ 1
2
∠CAB ．
(1)求证：直线BF 是⊙O 的切线； (2)若AB ＝5，sin ∠CBF ＝
5
5
，求BC 和BF 的长．
如图，AB 为⊙O 的直径，AB =4，点C 在⊙O 上， CF ⊥OC ，且CF =BF . （1）证明BF 是⊙O 的切线;
（2）设AC 与BF 的延长线交于点M ，若MC =6，求∠MCF 的大小.
二．在计算圆切线的有关线段时常用的方法有，三角函数值，勾股定理，三角形相似等，其中最通用的是三角形相似，如上面几题的第二问。
三．跟踪练习
１.已知：如图，AB 为⊙O 的直径，AB=AC ，BC 交⊙O 于点D ，延长CA 交⊙O 于点F ，连接DF ，作DE ⊥CF 于点E. (1)求证：DE 是⊙O 的切线 (2)若AB ＝１０,cos ∠C=
5
4
,求EF 的长 C D
E B O A F
A F C O
B
M
２.已知：如图，AB 为⊙O 的直径，⊙O 过AC 的中点D,DE ⊥BC 于点E ， （１）求证：DE 为⊙O 的切线 （２）若DE=2,tanC=2
1
,求⊙O 的直径 C
A D
O E
B
３.如图，已知⊙O 是⊿ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，D 是AB 延长线的一点，AE ⊥CD ，交DC 的延长线于E ，CF ⊥AB 于F,且CE=CF E (1)求证：DE 是的切线 C (2)若AB=6,BD=3,求AE 和BC 的长
A O F
B D
４.已知等边三角形ABC,以边BC 为直径的半圆与边AB,AC 分别交于点D ，点E,过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F 。
（１）判断DF 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论
（２）过点F 作FH ⊥BC ，垂足为点H,若等边三角形ABC 的边长为４,求FH 的长 A F D E B O H C
．已知：如图，AB 为⊙O 的直径，弦AC ∥OD,BD 切⊙O 于点B ，连接CD (1)判断CD 和⊙O 的位置关系，并说明理由 (2)若AD=2,OD=6,求⊙O 的半径 A C O
B D
1. 如图，在矩形ABCD 中，点O 在对角AC 上，以OA 长为半径的⊙O 与AD 、AC 分
别交于点E 、F ，且DCE ACB ∠=∠。
（1）求证：CE 是⊙O 的切线；
（2）若4
3
tan =∠ACB ，7=AE ，求⊙O 的直径。