圆的有关切线证明和计算
2.3、 圆的切线的性质及判定定理
即B一定点在圆外．由点B的任意性可知，圆与直线 只有一个公共点，因此l 是圆的切线．由此可得：
切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这 条半径的直线是圆的切线．
O
l
AB
例1 如图,AB是⊙O的直径, ⊙O过BC的中点D, DE⊥AC.求证:DE是⊙O是切线.
证明:连接OD.
∵BD=CD,OA=OB, ∴OD是△ABC的中位线,
D C
A
O
B
P322
思考:切线的性质定理逆命题“经过半径的外端并且 垂直于这条半径的直线是圆的切线．”是否成立?
已知：点A是⊙O与直线l 的公共点,且 l ⊥OA .
求证：圆与直线只有一个公共点 证明：在l 上任取异于点A的点B,则△OAB是Rt△
而OB是Rt△ OAB的斜边，因此，都有OB>OA,
C P321
∴OD//AC.
又∵∠DEC=90º ∴∠ODE=90º 又∵D在圆周上,
∴DE是⊙O是切线..E D NhomakorabeaB
A
O
三、 圆的切线的 性质及判定定理
O
r
l A MB
l
.O
1 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．
l
AM
反证法
假设不垂直, 作OM⊥l
因“垂线段最 故OA>OM,
O
即短圆”心, 到直线距离小于半径.
这与线圆相切矛盾.
因为经过一点只有一条直线与已知直线垂直，所 以经过圆心垂直于切线的直线一定过切点；反之,过切 点且垂直于切线的直线也一定过圆心.由此得到：
推论1: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.
推论2: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
圆中与有关切线的问题
圆中与有关切线的问题基础知识：一、切线的定义：①与圆只有一个公共点的直线。
②若圆心到直线的距离与半径相等。
二、切线的性质：1、若Ｌ是圆的切线，则圆心到直线的距离等于半径。
2、圆的切线垂直过切点的半径。
3、推论：圆心、切点、垂直三、切线的判定：1、定义法：与圆只有一个公共点。
2、数量法：∵d=r ∴直线是圆的切线3、过半径的外端且与它垂直的直线。
方法：a、有明确的公共点，作半径，证垂直；b、无明确公共点，过圆心作垂直，证半径。
四、与切线有关的问题：1、切线长定理：a、切线长定义：b、切线长定理：过圆外一点引圆的两条切线，这两条切线相等，连接圆心与圆外的点平分两切线所成的角。
2、弦切角：a、弦切角的定义：b、弦切角定理（不能直接用）弦切角等于弦切角所夹弧所对的圆周角。
3、三角形的内切圆：a、定义：如果三角形的三边都与这个圆相切，则这个圆叫这个三角形的内切圆。
b、Rt△内切圆半径公式：Rt△内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半。
c、四边形内切圆：对边和相等。
d、公切线（长）五、常用辅助线：作半径。
能力测试：一、填空题。
1、直线L与半径为r的⊙O相交，且点O到直线L的距离为5，则r的取值范围是。
2、在射线OA上取一点P，使OP＝4cm，以P为圆心作直径为4cm的圆，若⊙P与射线OB相交，则锐角∠AOB的取值范围是。
3、如图，CD是⊙O的直径，AE切⊙O于B，DC的延长线交AB于A，∠A＝20°，则∠DBE＝。
4、如图，AB为⊙O的直径，延长AB至D，使BD=OB，DC切⊙O于C，则AC：AD＝。
5、如图，AB为⊙O的直径，C、D是⊙O的点，∠BAC＝20°，⋂⋂=DCAD，DE是⊙O的切线，则∠EDC的度数为。
6、OA 、OB 是⊙O 的两条半径，BC 是⊙O 的切线，且∠AOB ＝84°，则∠ABC 的度数为 。
二、选择题。
1、下列命题中，错误的是（ ）A 、垂直于弦的直径平分这弦；B 、弦的垂直平分线过圆心；C 、垂直于切线的直线必过圆心；D 、经过圆心且垂直于切线的直线必过切点。
圆的切线证明方法归纳
圆的切线证明方法归纳切线是指与圆相切且与圆的半径垂直的直线。
在几何学中，圆的切线是一个重要的概念。
证明圆的切线有许多不同的方法，下面将介绍一些常见的证明方法。
1.垂直切线法：这是最常见的证明方法之一。
具体步骤如下：（1）假设圆的半径r，圆心O，切点A和切线上的一点T。
（2）连接OA，并且将OA延长到交切线于点T。
（3）根据勾股定理可得：OA^2 =OT^2 + AT^2。
（4）由于OT和AT都是切线的一部分，所以OT和AT都垂直于OA。
（5）根据垂直定理可知OT和AT平方和等于OA的平方，即OT^2 + AT^2 = OA^2。
（6）根据步骤4和5可得：AT^2 = OA^2 - OT^2。
（7）OT是半径,所以OT^2= r^2，代入上式得：AT^2 = OA^2 -r^2。
（8）AT是切线的一部分，所以AT > 0。
因此，OA^2 - r^2 > 0。
（9）根据正数平方根的性质，OA^2 - r^2的平方根存在。
（10）所以，根据步骤9，AT存在，即OT与切线上的一点T并非同一点。
（11）由于OT与圆的半径相交于点O，所以OT是与半径垂直的直线，即切线。
2.切线垂直与半径的证明：这种证明方法基于一个重要的定理：切线垂直于半径。
具体步骤如下：（1）假设圆的半径r，圆心O，切点A和切线上的一点T。
（2）连接OA和OT。
（3）由于AO是圆的半径，所以AO与圆心O的向量相等，即AO = OT。
（4）由于切线与圆相切，切点A是切线上的一点，所以OA与切线垂直。
（5）根据向量几何的性质可得，向量OA与向量OT垂直。
（6）根据定义，切线上的每一个点与圆心都构成一个向量，这个向量与向量OA垂直。
（7）所以，根据步骤6，切线与所有圆心上的向量都垂直，即切线垂直于半径。
3.外切圆的切线证明：这种证明方法适用于外切圆。
具体步骤如下：（1）假设有一个三角形ABC，其中AB和BC是两条直线段，角ABC是直角。
证明圆的切线的七种常用方法
证明圆的切线的七种常用方法类型1、有公共点：连半径，证垂直方法1、勾股定理逆定理法证垂直1.如图，⊙O的直径AB=12，点P是AB延长线上一点，且PB=4，点C是⊙O上一点，PC=8. 求证：PC是⊙O的切线.方法2、特殊角计算法证垂直2. 如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP=AC.（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）若PD =5，求⊙O 的直径.方法3、等角代换法证垂直3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC 的中点，以AC 为直径的⊙O交AB于点E . 求证：DE是⊙O 的切线.方法4、平行线性质法证垂直4.如图，已知四边形OABC的三个顶点A ，B ，C在以O为圆心的半圆上，过点C 作CD ⊥AB，分别交AB，AO 的延长线于点D，E，AE交半圆O于点F，连接CF，且∠E=30°，点B是︵AC的中点.(1)判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由；(2)求证：CF=OC；(3)若⊙O的半径是6，求DC的长.AB POCACBPD OAEBDOCA O F ECDB方法5、全等三角形法证垂直5.如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，且四边形AOCD 是平行四边形，过点D 作⊙O 的切线，交OC 的延长线于点F ，连接BF .求证：BF 是⊙O 的切线.类型2、无公共点：作垂直，证半径方法6、角平分线性质法证半径6.如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，E 是AB 上一点，DE =DC ，以点D 为圆心，BD 长为半径作OD ，AB =5，EB =2. (1)求证：AC 是OD 的切线；(2)求线段AC 的长.方法7、全等三角形法证半径7.如图，四边形ABCD 中，∠A =∠ABC =90°，AD +BC =CD ，以AB 为直径作⊙O . 求证：⊙O 与边CD 相切.A OBCD F A B C D EA OB C D。
1-2.5.与圆有关的比例线段(切割线定理)
割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每一条 割线与圆的交点的两条线段长的乘积相等.
应用格式（几何语言描述）:
∵PAB,PCD是⊙O 的割线,∴ PA∙PB=PC∙PD.
C
C
B
点P从圆内移动到圆外
D
P
O
D
图5 O
P
A 图3
B A
PA∙PB=PC∙PD
PA∙PB=PC∙PD
使割线PA绕P点
证明:连接AC、AD,同样可以证明
又∵∠ACF=∠AEC. ∴∠CFG=∠ACF. 故FG//AC. ……(6)
你还能推出其他结论吗？
问题3 在图2中,使线段AC继续绕A旋转，使割线CFD 变成切线CD,得到图3. 此时又能推出哪些结论？
B
B
E
D
E
A
D
O 图2
A Q
O 图3
F
G
CG
PC
探究3:可以推出探究1、2中得到的(1)——(6)的所有结论. 此外，
同理可证BD•AE=AC•CE. …………………… (3) ∵AC=AB,∴由(2)(3)可得BE•CD=BD•CE. ………(4)
问题2 在图1中,使线段AC绕A旋转，得到图2.其中EC 交圆于G,DC交圆于F.此时又能推出哪些结论？
问题2 在图1中,使线段AC绕A旋转，得到图2.其中 EC交圆于G,DC交圆于F.此时又能推出哪些结论？
例3 如图，两圆相交于A、B两点，P P 为两圆公共弦AB上任意一点，从P引
D B
两圆的切线PC、PD，求证：PC=PD.
证明：由切割线定理可得：
A
PC2=PA∙PB, PD2=PA∙PB.
C
∴PC2=PD2. 即PC=PD．
圆与圆之间的公切线公式
圆与圆之间的公切线公式
在几何学中，公切线是两个或多个几何形状共有的切线。
对于两个圆来说，它们之间可能存在公切线，这些切线与两个圆都相切于同一点。
根据两个圆的位置关系，公切线的数量可能是0条、1条或2条。
1. 外公切线
当两个圆外离时，它们之间有两条外公切线。
这两条切线分别在两个圆上各有一个切点，并且这两个切点之间的线段称为两圆的连心线。
外公切线的长度可以通过以下公式计算：
设两个圆的半径分别为 R1 和 R2，圆心距为 d，外公切线的长度为 L，则有：
L = √(d² - (R1 - R2)²)
2. 内公切线
当两个圆内含或内切时，它们之间有一条内公切线。
这条切线在两个圆上各有一个切点，并且这两个切点之间的线段同样称为两圆的连心线。
内公切线的长度可以通过以下公式计算：
设两个圆的半径分别为 R1 和 R2（R1 ≥ R2），圆心距为 d，内公切线的长度为 L，则有：
L = √(d² - (R1 + R2)²)
注意事项
●以上公式仅适用于两个圆外离或内含的情况。
当两个圆相交时，它们之间
没有公切线。
●圆心距 d 应小于等于两圆半径之和且大于等于两圆半径之差，即|R1 -
R2| ≤ d ≤ R1 + R2。
●公切线长度 L 可能会有多个解，需要根据具体情况选择合适的解。
通过掌握圆与圆之间的公切线公式，我们可以更好地理解和解决与几何形状相关的数学问题。
这些公式在绘图、工程设计和数学分析等领域都有广泛的应用。
与圆有关的位置关系及切线定理
与圆有关的位置关系1、点与圆的位置关系如果圆的半径是r ，这个点到圆心的距离为d，那么：（1）点在圆外d>r ；（2）点在圆上d＝r；（3）点在圆内d<r；2、直线与圆位置关系的定义及有关概念（1）直线与圆有两个公共点，叫做直线与圆相交，这直线叫做圆的割线，公共点叫做交点（2）直线和圆有一公共点时，叫做直线和圆相切，这直线叫做圆的切线，公共点叫做切点（3）直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离.3、直线和圆的位置关系如果⊙ O的半径为r ，圆心O到直线l 的距离为d，那么（1）直线l 和⊙ O相交d<r ；（2）直线l 和⊙ O相切d＝r；（3）直线l 和⊙ O相离d>r；典例精析例1：已知直线l ：y＝x－3 和点A（0，3），B（3，0），设P点为l 上一点，试判断P、A、B是否在同一个圆上？例2：下列说法正确的是（）A. 过圆内接三角形的顶点的直线是圆的切线B. 若直线与圆不相切，则它和圆相交C. 若直线和圆有公共点，直线和圆相交D. 若直线和圆有唯一公共点，则公共点是切点例3：设直线l到⊙ O的圆心的距离为d，⊙ O的半径为R，并使x2 2 dx R 0 ，试根据关于x 的一元二次方程根的情况讨论l 与⊙ O的位置关系.3、圆和圆的位置关系外离（没有公共点）外切（1）相离（2）相切（有一个公共点）（3）相交（有两个公共点）内含（包括同心圆）内切注：两圆同心是两圆内含的一种特例.2、两圆的位置与两圆的半径、圆心距之间的数量关系设两圆的半径分别为R 和r ，圆心距为d，那么（1）两圆外离d>R＋r （2）两圆外切d＝R＋r（3）两圆相交R－r <d<R+r（4）两圆内切d＝R－r （5）两圆内含d<R－r典例精析例1：已知两个圆的半径分别为2、3，圆心距是d，若两圆有公共点，则 d 的取值范围为例2：已知⊙ O1 和⊙ O2内切，圆心距为7cm，⊙ O1 的半径为8cm，求⊙ O2 的半径.例4：如图：⊙ M的半径为8cm，⊙ N的半径为6cm，MN＝10cm，两圆相交于A、B 两点，连接AB与MN交于点C，求AB的长为多少？与相切有关的性质定理1、切线的性质定理：定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 推论1：经过圆心且垂直于切点的直线必经过切点.推论2：经过切点且垂直于切点的直线必经过圆心.2、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.3、切线的判定方法（1）定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；（2）数量关系：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（证长度）（3）定理：过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线.（证角度）两圆相切与相交的性质：（1）如果两圆相切，那么两圆的连心线经过切点；（2）两圆相交，连心线垂直平分相交圆的公共弦。
圆中切割线定理
圆中切割线定理圆中切割线定理，又称为圆的切线定理，是指一个平面内过圆外一点的直线与圆相交，所得的两条切线长度相等。
这个定理在几何学中非常重要，因为它可以应用于许多不同的问题和证明中。
首先，我们来看一下如何证明这个定理。
假设有一个圆O和一条直线l，在圆外一点P处与圆相交。
现在我们要证明通过P点的两条切线AB和CD长度相等。
首先，我们可以将OP延长到与圆O相交于点E。
这样我们就得到了一个三角形OPE和一个四边形APBE。
由于AE和EB是弧AB的两个端点，所以它们的长度相等。
同样地，由于CE和ED是弧CD的两个端点，它们也具有相等的长度。
接下来，我们观察三角形OPE。
由于OE是半径，并且OP垂直于OE （因为l是过P点且垂直于OE的直线），所以三角形OPE是一个直角三角形。
因此，我们可以使用勾股定理来计算PE和OE之间的关系：$OP^2=OE^2+PE^2$。
现在让我们考虑四边形APBE。
根据正弦定理，我们可以得到：$\frac{AE}{\sin\angle AEP}=\frac{PE}{\sin\angle APE}$。
同样地，$\frac{EB}{\sin\angle BEP}=\frac{PE}{\sin\angle BPE}$。
由于角AEP和角BEP是对顶角，它们的大小相等。
因此，我们可以将上述两个等式相加并整理得到：$\frac{AE+EB}{PE}=\frac{\sin\angle AEP+\sin\angle BEP}{\sin\angle APE}=\frac{\sin(\angleAEP+\angle BEP)}{\sin\angle APE}$。
现在让我们回到三角形OPE。
根据正弦定理，我们可以得到：$\frac{OE}{OP}=\frac{\sin\angle OEP}{\sin\angle OPE}$。
因为OE 是半径，并且OP垂直于OE，所以$\angle OEP$是直角。
因此，$\sin \angle OEP=1$且$\cos \angle OEP=0$。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
圆的有关切线证明和计算
D 1如图，已知：△ ABC内接于O 0,点D在0C的延长线上,
(1)求证：AD是O 0的切线；
(2)若AC = 6,求AD的长。
A
2、如图，以△ ABC的直角边AB为直径的半圆O 0与斜边AC交于点D, E是BC边的中点，连接DE。
(1)求证：DE与O 0相切;
(2)若AD、AB的长是方程x2—10x+ 24= 0的一个根，求直角边BC的
长。
3、如图，Rt△ ABC中，/ B = 90度，C是AB上的一点，以0为圆心，0B为半径的圆与AB交于点E,交AC于点D，其中DE // 0C
(1)求证：AC为O 0的切线;
(2) 若AD = 23，且AB
径、CD的长。
4、如图，AB是O 0的直径，延长线于点D，
交AB的延长线于点C。
(1)求证：CD是O 0的切线；
10 20
(2)若CB = — , CE=—，求AE 的长。
3 3
5、已知，如图，AB是O O的直径，O O过AC的中点D，过D作DE丄BC交BC于点E。
(1) 求证：DE是O O的切线；
(2) 如果CD = 4, CE= 3,求O O的半径。
C
6、如图，等腰△ ABC中，AC = BC = 10, AB = 12,以BC为直径作O AB
于点D，交AC于点G, DF丄AC ,垂足为F,交CB的延长线于点
(1)求证：直线EF是O O的切线；
(2)求DF、DE的长。
C
7、已知如图，直角梯形ABCD中，AD // BC, AD丄AB，且满
足AD + BC = CD，以AB为直径作O 0。
(1)求证：CD是O 0的切线；
(2)若AD = 2, BC = 6,求O 0 的半径。
C与AE切于点E,过
8、如图, Rt△ ABC中，/ ACB = 90° CD丄AB于D,以CD为半径作O
点 B 作BM // AE。
(1)求证：BM是O C的切线；
(2)作DF丄BC 于F,若AB = 16,/ DBM = 60° 求EF 的长。
B 9、如图，直角梯形ABCD中，/ A =/ B = 90° AD // B
C , E为AB上一点，DE平分/ ADC , CE 平
分/ BCD。
(1)以AB为直径的圆与边CD有怎么样的关系？
(2)该题材中以CD为直径的圆与AB的位置关系如何，请证明你的猜想。
A
E
10、如图，AB 为O O 的直径，D 为B E 的中点,
(1) 求证：CD 是O O 的切线；
(2) 若 CE = 1, CD = 2，求O O 的半径。
11、如图△ ABC 中，AB = AC ，点O 在AB 上,
1
E 作 E
F 丄 AC 于 F ,且 EF = BD 。
2
(1) 试判断AC 与O O 的位置关系；
(2) 若AC 与O O 相切于G ,O O 的半径为3,
12、如图，在 Rt △ ABC 中，/ C = 90° BE 平分/ ABC 交AC 于点E ,点O 在AB 上，以O 为 圆心，过B 、E 两点作O O ,交AB 于D ，过D 作DF 丄AC 。
(1) 求证：AC 是O O 的切线；
(2) 若 AD = 6, AE = 6 一2，求 BC 长。
13、如图，钝角 △ ABC , CD 丄AC , BE 平分/ ABC 交AC 于E ，且/ CEB = 45 °以AD 为直径 作O O 。
(1) 求证：BC 是O O 的切线；
(2) 若O O 直径为10, AC = BC ,求△ ABC 的周长。
14、如图，已知Rt A ABC 中，/ C = 90 ° AE 平分/ BAC 交BC 于点 O O 是Rt △ ADE 的外接圆，且交 AC 于G o (1) 求证：BC 是O O 的切线；
(2) 若 CE = 4, AC + GC = 10,求直径 AD 、DE 的长。
DC 丄AE 交AE 的延长线于C 。
过点B 的O O 分别交
CF = 1 ,
F . D
O
B
B
E ,点 D 在 AB 上, DE 丄 AE ,
（1）求证：FA 是O O 的切线;
⑵若FD = .'3，求O O 的直径.
1 如图，在 Rt △ ABC 中，/ C=90° , / B=30° ,BC=4 cm ，以点 C 为圆心，以
2 cm 的长为半径作 圆，则O C 与AB 的位置关系是（） （A ）相离 （B ） 相切 （C ） 相交 （D ）
相切或相交
2. 如图，AB 切O O 于点B , A0的延长线交O O 于C,若/ A=40°,则/ ACB= _________。
3. 如图，在△ ABC 中，AB=BC=2以AB 为直径的O0与BC 相切于点 B ,贝U AC 等于（） OBC ，则下列结论错误的是（ ）
A. 0C 是厶
ABO 中AB 边上的高B . 0C 所在直线是 △ ABO 的对称轴
C. OC 是 AOB 的平分线 D . AC BC 5.
如图，已知 人。
是厶ABC 的外接圆的直径， AD =13 cm , C osB —，则AC 的长等于(
)
13
(A ) 5 cm
( B ) 6 cm
(C ) 10 cm
(D ) 12 cm
6. ______________________________________________________________________ 如图，已知AB 是O O 的直径，延长AB 到D,使BD=OB DC 切O O 于 C,则/ D= _________________ , / C= ____ ,
--B 第35题 7.如图，已知/ 0= 90°，点O 在AC 上, CD 为O O 的直径，O O 切AB 于E,若BG= 5, AC= 12. 求O O 的半径.
8、如图29-6, △ ABC 内接于O O , / B = 60° , CD 是O O 的直径，点P 是CD 延长线上的一点, 若O O 的半径为R,贝y AC= ___________________________
A.
2 B .
3 C . 2 2 D . 2 3
第2题
4.如图，直线AB 切O 于点C , OAC
且AP = AC.
（1）求证：FA是O O的切线; ⑵若FD = .'3，求O O的直径.。