【通用版】2018届中考数学专题提升(12)与圆的切线有关的计算与证明(含答案)
2018人教版中考与圆有关的位置关系及切线的证明与计算中考真题回顾
第六单元圆第2课时与圆有关的位置关系及切线的证明与计算中考真题回顾命题点切线的判定与性质1. (2016河池12题3分)如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切，与y轴相交于A(0，2)，B(0，8)，则圆心P的坐标是()A. (5，3)B. (5，4)C. (3，5)D. (4，5)第1题图2. (2017百色11题3分)以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y＝－x＋b与⊙O相交，则b的取值范围是()A. 0≤b＜22B. －22≤b≤2 2C. －23＜b＜2 3D. －22＜b＜2 23. (2015百色16题3分)如图，P A是⊙O的切线，切点为A，PO 的延长线交⊙O于点B，若∠ABP＝33°，则∠P＝________°.第3题图4. (2015柳州25题10分)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AD与△ABC的外接圆⊙O恰好相切于点A，边CD与⊙O相交于点E，连接AE ，BE .(1)求证：AB ＝AC ；(2)若过点A 作AH ⊥BE 于H, 求证：BH ＝CE ＋EH .第4题图5. (2015贵港24题8分)如图，已知AB 是⊙O 的弦，CD 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，垂足为E ，且点E 是OD 的中点，⊙O 的切线BM 与AO 的延长线相交于点M ，连接AC ，CM .(1)若AB ＝43，求AB ︵的长(结果保留π)； (2)求证：四边形ABMC 是菱形．第5题图6. (2017百色25题10分)已知△ABC 的内切圆⊙O 与AB 、BC 、AC 分别相切于点D 、E 、F ，若EF ︵＝DE ︵，如图①.(1)判断△ABC 的形状，并证明你的结论；(2)设AE 与DF 相交于点M ，如图②，AF ＝2FC ＝4，求AM 的长．第6题图答案1. D【解析】如解图，过点P作PQ⊥y轴于点Q，设⊙P与x 轴相切于点C，连接PC，P A，∵A(0，2)，B(0，8)，∴OA＝2，AB＝6，∴AQ＝BQ＝12AB＝3，P A＝PC＝OQ＝OA＋AQ＝5，∴PQ＝P A2－AQ2＝4，∴P点坐标为(4，5)．第1题解图2. D【解析】如解图，y＝－x平分第二、四象限，当b>0时，将y＝－x向上平移为y＝－x＋b，当y＝－x＋b与圆相切时，b最大，由平移知∠CAO＝∠AOC＝45°，OC＝2，∴OA＝b＝22，当b<0时，同理将y＝－x向下平移为y＝－x＋b，当y＝－x＋b与圆相切时，b最小，同理此时b＝－22，∴当y＝－x＋b与圆相交时，b 的取值范围是－22＜b＜2 2.第2题解图3.24【解析】如解图，连接OA，∵P A是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∵OA＝OB，∠ABP＝33°，∴∠OAB＝∠ABP＝33°，∴∠POA＝∠ABP＋∠OAB＝66°，∴∠P＝90°－∠POA＝24°.第3题解图4. 证明：(1)如解图①，连接AO并延长与⊙O相交于点F，连接CF，第4题解图①∵AD是⊙O的切线，AF为⊙O的直径，∴∠DAF＝∠ACF＝90°，∴∠DAC＋∠CAF＝∠CAF＋∠AFC＝90°，∴∠DAC＝∠AFC, (2分)∵∠ABC＝∠AFC，∴∠ABC＝∠DAC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ACB, (4分)∴AB＝AC; (5分)(2)如解图②，过点A作AG⊥DE于点G，第4题解图②∵AH ⊥BE ，∴∠AHE ＝∠AGE ＝90°，∵∠ABE ＝∠ACE ，∠EBC ＝∠EAC ，∠ABC ＝∠ABE ＋∠EBC ，∠AED ＝∠EAC ＋∠ACE ，∴∠ABC ＝∠AED ，又∵∠ABC ＝∠ACB ＝∠AEB ， ∴∠AEH ＝∠AEG ， 在△AEH 和△AEG 中，＝＝AHE AGE AEH AEG AE AE ∠∠∠∠=⎧⎪⎨⎪⎩∴△AEH ≌△AEG (AAS)， ∴EH ＝EG , (7分)同理，在△ABH 和△ACG 中，＝＝ABH ACG AHB AGC AB AC ∠∠∠∠=⎧⎪⎨⎪⎩∴△ABH ≌△ACG (AAS)， ∴BH ＝CG , (8分)∵CG ＝CE ＋EG ＝CE ＋EH , (9分) ∴BH ＝CE ＋EH . (10分) 5. (1)解：如解图，连接OB ，第5题解图∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，∴AE＝EB，又∵OA＝OB，∴∠AOE＝∠BOE，∵E是OD的中点，∴OE＝12OD＝12OA，∴在Rt△AOE中，∠OAB＝30°，∠AOE＝60°，∴∠AOB＝120°，设OA＝x，则OE＝12x，AE＝32x，∵AB＝43，∴AE＝32x＝12AB＝23，∴x＝4，(3分)∴l AB︵＝120π×4180＝8π3；(4分)(2)证明：由(1)得∠OAB＝∠OBA＝30°，∠BOE＝∠BOM＝∠COM＝60°，∵BM为⊙O的切线，∴OB⊥BM，∴∠AMB＝90°－∠BOM＝30°，∴∠BAM＝∠BMA＝30°，∴AB＝BM，在△COM 和△BOM 中，＝OC OB COM BOM OM OM ⎧=∠∠=⎪⎨⎪⎩∴△COM ≌△BOM (SAS)，∴CM ＝BM ，∠CMO ＝∠BMO ＝30°， ∴CM ＝AB ，∠CMO ＝∠MAB ， ∴CM ∥AB ，(6分)∴四边形ABMC 为平行四边形， 又∵CM ＝BM ，∴四边形ABMC 为菱形．(8分) 6. 解：(1)△ABC 是等腰三角形． 证明：∵AB 、BC 、AC 是⊙O 的切线，∴AF ＝AD ，CF ＝CE ，BE ＝BD ，∠CFO ＝∠CEO ＝90°，(2分) 如解图，连接CO ，BO ，第6题解图则△CFO ≌△CEO (SSS )， ∴∠COF ＝∠COE ， 同理∠BOE ＝∠BOD ， ∵EF ︵＝DE ︵， ∴∠EOF ＝∠EOD ， ∴∠COE ＝∠BOE ，∵OE ＝OE ，∠CEO ＝∠BEO ＝90°， ∴△COE ≌△BOE (ASA)， ∴CE ＝BE ， ∴CF ＝BD ， ∵AF ＝AD ，∴AF ＋CF ＝AD ＋BD ，即AC ＝AB ，(4分) ∴△ABC 是等腰三角形；(5分) (2)∵AC ＝AB ，CE ＝BE ， ∴AE ⊥BC ，∠F AO ＝∠DAO ， ∵AF ＝AD ，∴FM ＝DM ，AM ⊥DF ， ∴AE 过圆心O ，DF ∥BC ， ∴AF AC ＝DF BC ， ∵AF ＝2FC ＝4，∴CE ＝CF ＝2，BC ＝4，AC ＝AF ＋CF ＝6， ∴46＝DF4，(8分) ∴DF ＝83， ∴FM ＝43，(9分)∴在Rt △AMF 中，AM ＝22AF FM +＝2244()3+＝823.(10分)。
中考数学总复习《圆的切线证明》专项提升练习题(带答案)
中考数学总复习《圆的切线证明》专项提升练习题（带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．如图，,AC BD 是圆内接四边形ABCD 的对角线，AC BD ⊥于点E BD ，平分ADC ∠．(1)求BAD ∠的度数；(2)点P 在DB 的延长线上，PA 是该圆的切线．①求证：PC 是该圆的切线；①若3PA AC ==，直接写出PD 的长．2．如图，AB 是圆O 的直径，O 为圆心，AD 、BD 是半圆的弦，且PDA PBD ∠=∠．延长PD 交圆的切线BE 于点E ．(1)判断直线PD 是否为O 的切线，并说明理由；(2)如果60BED ∠=︒，3PD =求PA 的长．(3)在（2）的条件下，将线段PD 以直线AD 为对称轴作对称线段DF ，点F 正好在圆O 上，如图2求证：四边形DFBE 为菱形．3．如图，AB 是圆O 的直径，O 为圆心，AD BD 、是半圆的弦，且PDA PBD ∠=∠．延长PD 交圆的切线BE 于点E ．(1)判断直线PD 是否为O 的切线，并说明理由；(2)将线段PD 以直线AD 为对称轴作对称线段DF ，点F 正好在圆O 上，如图2求证：四边形DFBE 为菱形．4．如图1和图2，线段12AB =，点C 在AB 上．以AC 为直角边构造Rt ADC ，使70ACD ∠=︒．点O 是CB 上一点（包括端点），以点O 为圆心、OA 为半径作半圆，交DC 于点E ．(1)如图1，OF 平分AOE ∠，交AD 于点F ，连接FE ．求证：FE 是半圆所在圆的切线；(2)如图2，点G ，E 关于AB 对称，连接EG 交AB 于点H ，设OA r =．若60AOE =︒∠求EG 与r 的数量关系；(3)若CO CE =，AE 的长为76π，直接写出点B 与半圆所在圆的位置关系．5．如图，AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆上的点（在AB 同侧），过点D 的圆的切线交直线AB 于点E ．(1)若2AB =，1BC =求AC 的长；(2)若四边形ACDE 是平行四边形，证明：BD 平分ABC ∠．6．如图，已知线段6BE =，点C 为BE 上一点，以点C 为圆心，分别以CB ，CE 为半径在BE 的上方作圆心角均为()90180αα︒<<︒的扇形BCD 和扇形ACE ．(1)求证：≌ACB ECD △△；(2)已知4BC =，若AD 是扇形ACE 所在圆的切线．①求AE 的长；①判断DE 和扇形ACE 所在圆的位置关系，并说明理由．7．如图，已知点A、B、C在①O上，且AC=6，BC=8，AB=10．点E在AC延长线上，连接BE，且BE2=AE•CE．(1)求证：BE为①O的切线；(2)若点F为①ABE外接圆的圆心求OF的长．8．如图，AC＝AD，在①ACD的外接圆中弦AB平分①DAC，过点B作圆的切线BE，交AD的延长线于点E．(1)求证：CD//BE．(2)已知AC＝7，sin①CAB＝37求BE的长9．如图，圆O是①ABP的外接圆，①B＝①APC；（1）求证：PC是圆的切线；（2）若AP＝6，①B＝45°求劣弧AP的长．10．如图1，四边形ADBC 内接于O ，E 为BD 延长线上一点，AD 平分EDC ∠．（1）求证：AB AC =；（2）如图2，若CD 为直径，过A 点的圆的切线交BD 延长线于E ，若1DE =，2AE =求O 的半径．11．如图，已知以Rt ABC ∆的边AB 为直径作ABC ∆的外接圆的,O ABC ∠平分线BE 交AC 于D ，交O 于E ，过E 作//EF AC 交BA 的延长线于F ．（1）求证：EF 是O 切线；（2）若15,10,AB EF ==求AE 的长．12．如图，在①ABC中①ABC=45°，它的外接圆的圆心O在其内部，连结OC，过点A作AD①OC，交BC 的延长线于点D．（1）求证：AD是①O的切线；（2）若①BAD=105°，①O的半径为2求劣弧AB的长．13．如图，△ABC是钝角三角形90A︒∠>，圆O是△ABC的外接圆，直径PQ恰好经过AB的中点M，PQ⊥，CF也为圆的直径.与BC的交点为D，CDO45︒∠=l为过点C圆的切线，作DE l∆∆；（1）证明：CFB~DCE（2）已知圆O的半径为3求22+的值.AD CD14．如图,AB是①O的直径,AD,BD是弦,点P在BA的延长线上,且PDA PBD∠=∠,延长PD交圆的切线BE于点E.(1)求证:PD是①O的切线；(2)若60∠=︒,3BEDPD=求P A的长.15．如图，线段BC 所在的直线 是以AB 为直径的圆的切线，点D 为圆上一点，满足BD ＝BC ，且点C 、D 位于直径AB 的两侧，连接CD 交圆于点E . 点F 是BD 上一点，连接EF ，分别交AB 、BD 于点G 、H ，且EF ＝BD .(1)求证：EF ①BC ；(2)若EH ＝4，HF ＝2求BE 的长.参考答案1．【答案】(1)90BAD ∠=︒(2)①PD 的长为3．【详解】（1）解：BD 平分ADC ∠ADB CDB ∴∠=∠．BAC CDB ∠=∠ADB BAC ∴∠=∠．AC BD90ADB CAD ︒∴∠+∠=．90BAC CAD ∴∠+∠=︒．90BAD ∴∠=︒；（2）①证明：如图，取BD 的中点O ，连接OAOC ，．90BAD ∠=︒BD ∴是该圆的直径．∴点O 是该圆的圆心．PA 是O 的切线90OAP ∴∠=︒．OA OC AC BD =⊥，AOP COP ∴∠=∠．OP OP =AOP COP ∴△≌△．90OCP OAP ∴∠=∠=︒．PC ∴是O 的切线；①①PC 、PA 都是O 的切线①PA PC =①3PA AC ==①3PA PC AC ===①PAC △是等边三角形①1302APO APC ∠=∠=︒ 60AOP ∠=︒①PO 2OA =，BAO 是等边三角形①222PO OA PA =+①1OA =①1OA OD == 22PO OA ==①3PD =①PD 的长为3．2．【答案】(1)PD 是O 的切线，(2)1；【详解】（1）直线PD 为O 的切线，理由如下：如图1，连接OD①AB 是O 的直径90ADB ∴∠=︒90ADO BDO ∴∠+∠=︒①DO BO =BDO PBD ∴∠=∠PDA PBD ∠=∠BDO PDA ∴∠=∠①90ADO PDA ∠+∠=︒，即PD OD ⊥①OD 是O 的半径直线PD 为O 的切线；（2）BE 为O 切线90PBE ∴∠=︒60BED ∠=∠︒90906030P BED ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒在Rt PDO △中90PDO ∠=︒ 3PD =①3tan 30313OD PD =⨯︒=⨯=22PO OD ==①1OA OD ==①211PA PO OA =-=-=；（3）如图2，连接OD由题意得：ADF PDA∠=∠∠=∠APD AFD∴∠=∠PDA PBD①ADF ABF∠=∠PAD DAF∠=∠①ADF AFD BPD ABF∠=∠=∠=∠①APD ABF∠=∠①AD AF∥=BF PD∴⊥DF PBBE为切线∴⊥BE PB∴∥DF BE四边形DFBE为平行四边形①PE、BE为切线①BE DE=四边形DFBE为菱形．3．【答案】【详解】（1）解：直线PD为O的切线，理由如下：连接OD，如图所示：①AB是圆O的直径∴∠=︒ADB90∴∠+∠=︒ADO BDO90=又DO BO∴∠=∠BDO PBD∠=∠PDA PBDBDO PDA∴∠=∠∴∠+∠=︒90ADO PDA即PD OD ⊥点D 在O 上∴直线PD 为O 的切线．（2）证明：依题意得：ADF PDA ∠=∠ PAD DAF ∠=∠PDA PBD ADF ABF ∠=∠∠=∠，ADF PDA PBD ABF ∴∠=∠=∠=∠AB 是圆O 的直径90ADB ∴∠=︒设PBD x ∠=，则902DAF PAD x DBF x ∠=∠=︒+∠=，四边形AFBD 内接于O180DAF DBF ︒∴∠+∠=即902180x x ︒++=︒，解得30x =︒30ADF PDA PBD ABF ∴∠=∠=∠=∠=︒BE ED 、是O 的切线90DE BE EBA ∴=∠=︒，60DBE ∴∠=︒BDE ∴是等边三角形BD DE BE ∴==又903060260FDB ADB ADF DBF x ∠=∠-∠=︒-︒=︒∠==︒， BDF ∴是等边三角形BD DF BF ∴==DE BE DF BF ∴===①四边形DFBE 为菱形．4．【答案】(2)3EG r =(3)点B 在半圆所在圆上【详解】（1）证明：OF 平分AOE ∠=EOF AOF ∴∠∠．又OE OA = OF OF =OFE OFA ∴△≌△．90OEF OAF ∴∠=∠=︒．FE ∴是半圆所在圆的切线．（2）解：点G ，E 关于AB 对称EG AB ∴⊥ 2EG EH =．又60AOE =︒∠ OE OA r ==3·sin 602EH OE r ∴=︒=． 3EG r ∴=．（3）解：点B 在半圆所在圆上．理由如下：①①ACD =70︒①①ECO =110︒①CO =CE①①COE =①CEO =()180110352︒-︒=︒ ①35723606AE r ππ=⨯= ①r =6①AB =12=2r①点B 在半圆所在的圆上．5．【答案】(1)3AC =【详解】（1）①AB 是圆O 的直径①90ACB ∠=︒①2223AC AB BC =-=，①3AC =（舍负值）．（2）连结BD ，连结OD 与AC 交于F 点．①ED 与圆O 相切于D 点①OD ED ⊥①四边形ACDE 是平行四边形①ED AC ∥ CD EA ∥①OD AC ⊥ 90OFA ACB ∠=︒=∠①OD BC ∥①CD EB ∥ OD OB =①四边形OBCD 是菱形①BD 平分ABC ∠．6．【答案】(2)①43π；①相切 【详解】（1）（1）证明：由题意可知 ,,CB CD CA CE BCD ACE α==∠=∠= ①BCD ACD ACE ACD ∠-∠=∠-∠，即BCA DCE ∠=∠．在ACB △和ECD 中 =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩CB CD BCA DCE CA CE ①()ACB ECD SAS ≌．（2）（2）解：①由题意，得4,642CD BC CA CE BE BC ====-=-=． ①AD 是扇形ACE 所在圆的切线①90CAD ∠=︒．在Rt①ACD 中2,4AC CD ==①30ADC ∠=︒①60ACD ∠=︒①,180BCA DCE BCA ACD DCE ∠=∠∠+∠+∠=︒①60BCA DCE ∠=∠=︒①120ACE ∠=︒①120421803AE ππ=⨯⨯=． ①DE 和扇形ACE 所在圆相切．理由如下：在BCA 和DCA △中 CB CD BCA DCA CA CA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①()BCA DCA SAS ≌①90CAB CAD ∠=∠=︒．由（1）得≌ACB ECD △△ ①90DEC BAC ∠=∠=︒，即CE DE ⊥． 又①点E 在扇形ACE 所在的圆上①DE 和扇形ACE 所在圆相切．7．【答案】(2)203OF = 【详解】（1）证明：①AC =6，BC =8，AB =10． ①AC 2+BC 2=AB 2①①ABC 为直角三角形且①ACB =90°①①ECB =90°①AB 为①O 的直径①BE 2=AE •CE①BE CE AE BE= 又①①E =①E①①ECB ①①EBA①①ECB =①EBA =90°①EB ①AB又①OB 为①O 的半径①BE 为①O 的切线；（2）解：如图，连接BF在Rt ①ABE 中tan①BAE =10BE BE AB = 在Rt ①ABC 中tan①BAE =86BC AC = ①8106BE = 解得BE =403①点F 为①ABE 外接圆的圆心①AF =BF =EF①点F 为直角三角形ABE 斜边AE 的中点 ①点O 为AB 的中点①OF 为①ABE 的中位线①OF =12BE =12×403=203． 8．【答案】(2)14740【详解】（1）证明：设AB 与CD 的交点为F ，连接BD①AC ＝AD ，AB 平分①DAC①AB ①CD ，DF ＝CF①AB是直径①BE是①ACD的外接圆的切线①BE①AB①CD//BE；（2）解：①AC＝7，sin①CAB＝3=7CFAC①CF＝3＝DF①AF＝222273210 AD DF-=-=①cos①DAB＝AD AF AB AD=①AB＝77491020 210⨯=①tan①DAB＝BE DF AB AF=①3 492101020BE=①BE＝147 40．9．（2）劣弧AP的长为322π．【详解】（1）证明：过点P作直径PQ，连接AQ①PQ为①O的直径①①P AQ=90°①PA=PA①①B=①Q①①B=①APC①①APC=①Q①①Q +①APQ =90°①①APQ +①APC =90°①①CPQ =90°．①PC 是圆O 的切线；（2）连接OP 、OA①PA =PA①①O =2①B =90°①OP =OA①①AOP 是等腰直角三角形①222OP OA AP +=①AP =6①OP =OA =32①劣弧AP 的长=9032321802ππ︒⨯=︒． 10．【详解】（1）证明：①四边形ADBC 内接于①O ①①EDA ＝①ACB由圆周角定理得，①CDA ＝①ABC①AD 平分①EDC①①EDA ＝①CDA①①ABC ＝①ACB①AB ＝AC ；（2）解：连接AO 并延长交BC 于H ，AM①CD 于M ①AB ＝AC ，四边形ADBC 内接于①O①AH①BC ，又AH①AE①AE①BC①CD 为①O 的直径①①DBC ＝90°①①E ＝①DBC ＝90°①四边形AEBH 为矩形①BH ＝AE ＝2①BC ＝4①AD 平分①EDC ，①E ＝90°，AM①CD ①DE ＝DM ＝1，AE ＝AM ＝2 在Rt △ABE 和Rt △ACM 中 AE AMAB AC ⎧⎨⎩＝＝①Rt △ABE①Rt △ACM （HL ） ①BE ＝CM设BE ＝x ，CD ＝x ＋2在Rt △BDC 中x 2＋42＝（x ＋2）2 解得，x ＝3①CD ＝5①①O 的半径为2.5．11．（2）35【详解】（1）连接OE①①B的平分线BE交AC于D①①CBE=①OBE①EF①AC①①CAE=①FEA①①OBE=①OEB，①CBE=①CAE①①FEA=①OEB①AB是O的直径①①AEB=90°①①FEO=90°①EF是O切线；（2）①①FEA=①OEB=①OBE，①F=①F ①∆FEA~∆FBE①EF AF BF EF=即：2EF AF BF=⋅①AF×(AF+15)=10×10，解得：AF=5或AF=-20（舍去）①51102 AE AFBE EF===①在Rt∆ABE中AE2+BE2=AB2①AE2+（2AE）2=152①AE=35．12．（2）53π．【详解】解：（1）连接AO．①①ABC=45°，①①AOC=2①B=90°．①OC①AD，①①OAD=90°①AD是①O的切线；（2）连接OB．①①BAD=105°，①OAD=90°①①OAB=15°．①OB=OA，①①ABO=15°①①AOB=150°①劣弧AB的长=15025 1803ππ⨯=．13．（2）22218AD CD AC+==【详解】（1）①CF为直径，l为切线①CF l⊥又①DE l⊥①CF//DE①①BCF=①CDE.又①CED=①CBF=90°①CFB~DCE∆∆；（2）连接AF由题意得：①CDP=①BDM=45°①M为弦AB的中点①OM垂直平分线段AB①①ADM=①BDM=45°①△ADB为等腰直角三角形①①ADB=①ADC=90°①222AD CD AC += ①①AFC=①ABC=45° ①AC=CF×sin45°=32 ①22218AD CD AC +==. 14．【详解】(1)证明:连接OD①AB 是①O 的直径 ①90ADB ∠=︒①90ADO BDO ∠+∠=︒ ①DO BO =①BDO PBD ∠=∠ ①PDA PBD ∠=∠ ①BDO PDA ∠=∠ ①90ADO PDA ∠+∠=︒ 即PD ①OD①直线PD 为①O 的切线；(2)解:①BE 是①O 的切线 ①90EBA ∠︒= ①60BED ∠=︒①30P ∠=︒①PD 为①O 的切线 ①90PDO ∠=︒设①O 的半径为R在Rt①PDO 中30P ∠=︒,则22PO OD R ==①222PO OD PD -= ①222(2)(3)R R -=解得1R = ①2PO = 1AO = ①211PA PO AO =-=-=； 15．【答案】(2) 233π【详解】(1)①EF ＝BD ①EF ＝BD①BE DF①①D ＝①DEF又BD ＝BC①①D ＝①C①①DEF=①CEF①BC(2)①AB 是直径，BC 为切线 ①AB①BC又EF①BC①AB①EF ，弧BF=弧BE GF ＝GE ＝12(HF+EH)=3，HG=1 DB 平分①EDF 又BF①CD①①FBD ＝①FDB ＝①BDE ＝①BFH ①HB ＝HF ＝2①cos①BHG ＝HGHB ＝12，①BHG ＝60°.①①FDB ＝①BDE ＝30°①①DFH＝90°，DE为直径，DE＝43，且弧BE所对圆心角＝60°.①弧BE＝63π＝233π。
中考数学总复习《圆的切线的证明》专项提升练习题(含答案)
中考数学总复习《圆的切线的证明》专项提升练习题（含答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．如图，点D 在O 的直径AB 的延长线上，点C 在O 上，AC 平分,DAE AE CD ∠⊥于点E ．(1)求证：CD 是O 的切线．(2)DF 是O 的切线，F 为切点，若2,30BD ADE =∠=︒求AF 的长．2．如图，四边形ABCD 内接于O ，AC 是直径，AB=BC ，连接BD ，过点D 的直线与CA 的延长线相交于点E ，且∠=∠EDA ACD ．(1)求证：直线DE 是O 的切线；．如图，O是ABC的外接圆，为O的直径，点为ABC的内心，连接并延长交O于D点，、并延长至E，使得，连接CE BI为O的切线；BC=求204．如图，Rt ABC △中90ABC ∠=︒，以AB 为直径的O 交AC 边于点D ，E 是边BC 的中点，连接DE 、OD ．(1)求证：直线DE 是O 的切线；(2)若12AD DC =，32BE =求O 的半径．5．如图，AB 是O 的直径，D 是BC 的中点，DE AB ⊥于E ，过点D 作BC 的平行线DM ，连接AC 并延长与DM 相交于点G ．(1)求证：GD 是O 的切线；(2)若6CD =，8AD =求cos ABC ∠的值．6．如图，AB 是O 的直径，F 是O 上的点，C 是弧BF 的中点，过点C 作CE AF ⊥于点E ，延长EC 交AB 延长线于点D ．(1)求证：CE 是O 的切线；(2)若8AD =，4CD =求CE 的长．7．如图，在O 中ABC 内接O ，连接OB ，作BAD C ∠=∠交OB 延长线于点D ．(1)求证：AD 为O 的切线；(2)若1tan 2C =，5OB =求BD 的长．8．如图1，O 的半径为4cm ，平行四边形ABCD 的顶点A ，B ，C 在O 上，AC=BC ．(1)求证：DC 是O 的切线；(2)若AD 也与O 相切求证：四边形ABCD 是菱形；(3)如图2，AD 与O 相交于点E ，连接于CE ，当75B ∠=︒时求平行四边形ABCD 的对角线AC 的长及阴影部分图形的面积．9．如图 四边形ABCD 内接于O AC 为O 的直径 180ACD BCD ∠+∠=︒ 连接OD 过点D 作DE AC ⊥ DF BC ⊥ 垂足分别为E F ，．(1)求证：2AOD BAD ∠=∠．(2)求证：DF 是O 的切线．10．如图 AB 为O 的直径 C 为O 上一点 AD CE ⊥于点DAC 平分DAB ∠．(1)求证：直线CE 是O 的切线；(2)若10AB = 6AD =求BC 的长．11．如图 PA 是O 的切线 A 是切点 AC 是直径 AB 是弦 连接PB PC ， PC 与AB 相交于点E 且PA PB =．(1)求证：PB 是O 的切线；(2)若34PA AC ==，求CE 的长．12．如图 O 的直径AB 垂直于弦CD 过点C 的切线与直径AB 的延长线相交于点P 连接PD ．(1)求证：PD是O的切线；(2)求证：2·=．PD PB PA13．如图AB为O的直径点C为O上一点BD垂直过点C的直线l垂足为点D且BC平分∠．DBA(1)如图1求证：CD是O的切线；AE=求AB的长．(2)如图2 若BD与O交于点E连接AE交BC于点F若2DE=814．如图 AB 为O 的直径 点C 是AD 的中点 过点C 作射线BD 的垂线 垂足为点E ．(1)求证：CE 是O 的切线；(2)若3,C B BE D D ==求BC 的长；(3)在（2）的条件下 若4AB =求阴影部分的面积（用含有π的式子表示）．15．如图 在ABC 中AB AC = 以AB 为直径的O 交BC 于点D 连接AD 过点D 作DM AC ⊥垂足为M AB MD ，、的延长线交于点N ．是O的切线；(⋅+BN BN3C=求DN5参考答案⊥AE CD∵OC CD⊥OC为O的半径∵CD是O的切线；是O的切线是O的切线ODF ADE DF=∠=︒60,DOF OF=︒120BD=22OF OC ∴==∵AF 的长为：120241803ππ⨯=． 2．1）证明：连接OD 如图．∵OC OD =∵OCD ODC ∠=∠∵AC 是O 的直径．∵90ADC ∠=︒ 即90ADO ODC ∠+∠=︒∵∠=∠EDA ACD∵90ADO EDA ∠+∠=︒ 即90EDO ∠=︒∵OD DE ⊥又∵OD 是半径∵直线DE 是O 的切线．（2）∵AB BC =∵AB BC =∵ADB CDB ∠=∠∵DB 平分ADC ∠．（3）如图 过点B 作BH BD ⊥交DC 延长线于点H∵90DBH ∠=︒．∵AC 是O 的直径∵90ABC ∠=︒∵90ABD DBC ∠=︒-∠ 90CBH DBC ∠=︒-∠．∵ABD CBH ∠=∠∵四边形ABCD 内接于O∵(ASA ABD CBH ≌AD CH = BD BH =6AD = 8CD =6CH =14DH CD CH =+=(1)点为ABC 的内心BAD CAD =∠BID ABI ∠=DBI CAD ∠=∠=∠+∠BID ∴∠=DB DI ∴=（2）连接BD DE =BD DE CD ∴== ∵BC 为O 的直径∵90BDC CDE ==︒∠∠∵45BCD ECD ==︒∠∠90BCE ∴∠=︒ 即BC CE ⊥又BC 为O 的直径∴直线CE 为O 的切线；（3）BC 为O 的直径ABC ∴为直角三角形4tan tan 3ACB ADB ∴∠=∠= 不妨设4,3AB x AC x ==则有222(4)(3)20x x +=解得：4x =16,12AB AC ∴==∵22161220BC =+=过点I 作IH AC ⊥交AC 于点H 连接CI 如图所示．∵点I 为ABC 的内心∵点I 到ABC 三边的距离相等∵11112222AB AC AB IH AC IH BC IH ⋅=⋅+⋅+⋅ ∵1612161220IH IH IH ⨯=++为O的直径ADB=︒90 BDC︒=90为BC的中点BE=∠EDB EBD是O的半径与O相切；（2）解：由（1）知 =90BDC ∠︒ DE BE =∵E 是BC 的中点 32BE =∵262BC DE ==∵90ADB BDC ABC ∠∠∠===︒∵90DAB ABD ABD CBD ∠∠∠∠+=+=︒∵DAB DBC ∠∠=∵DBC BAC ∽∵BCCD AC BC =即626223ADAD =解得23AD =∵43CD = 63=AC∵()()2263626AB =-=∵O 的半径为132AB =．5．【答案】(1)证明：连接OD 如图所示：∵D 是BC 的中点∵OD BC ⊥ OD 平分BC∵DM BC ∥∵DM OD ⊥∵GD 是O 的切线；（2）解：∵D 是BC 的中点 6CD =∵6BD CD ==是O的直径=∠ACB ADB3=53x=则4x∵OCA CAF ∠=∠∵∥OC AE∵CE AF ⊥∵OC CE ⊥∵CE 是O 的切线；（2）解：如图 过C 作CM AD ⊥于M设O 的半径为r在Rt OCD △中∵8OD AD OA r =-=- OC r = 4CD =∵()22248r r +=-解得3r =∵5OD =∵1122COD S OC OD OD CM =⨯=⨯ ∵125OC OD CM OD ⨯== ∵BAC CAF ∠=∠ CE AF ⊥ CM AD ⊥∵125CE CM ==． 7．【答案】(1)证明：连接OA ．∵C ∠为AOB ∠所对圆周角又OA 为O 切线；）解：延长BO 交O 于E∵BAD DAE ∽．设BD x = 则x AD =1tan tan 2C E ==2AD x =．在Rt OAD 中根据勾股定理2AD OD +=253x =．253BD =．）如图1∵AC BC OA OB ==，∵CM 是AB 的垂直平分线 即CM AB⊥∵四边形ABCD 是平行四边形∵AB CD ∥∵OC CD ⊥∵OC 是O 的半径∵DC 是O 的切线；（2）如图2 连接OA OD OC ，，∵AD 与O 相切∵OA AD ⊥∵90OAD ∠=︒∵OC CD ⊥∵90OCD ∠=︒∵90OAD OCD ∠=∠=︒∵OA OC OD OD ==，∵()Rt Rt HL OAD OCD ≌∵AD CD =∵ABCD是菱形；（3）如图3∵CNE是等腰直角三角形=CN ENAC AN=△中Rt AGC∵1622CG AC ==+ ∵阴影部分图形的面积()12AOE OAE AE CG S S =⋅⋅+-扇形()21904142624 4.23602π⨯=⨯⨯++-⨯⨯ 43448π=++-4344π=-+．9．【答案】(1)证明：四边形ABCD 内接于O ∴180BAD BCD ∠+∠=︒180ACD BCD ∠+∠=︒∴ACD BAD ∠=∠OC OD =∴OCD ODC ∠=∠∴2AOD OCD ODC ACD ∠=∠+∠=∠ ∴2AOD BAD ∠=∠；（2）证明：180BAD DCB ︒∠+= 180DCF DCB ∠+∠=︒ ∴DAB DCF ∠=∠由（1）可知ACD BAD ∠=∠∴ACD DCF ∠=∠ACD ODC ∠=∠∴ODC DCF ∠=∠OD BF ∴∥DF BC ⊥∴DF OD ⊥OD 为半径∴DF 是O 的切线．10．【答案】(1)证明：如图 连接OC ．是O的切线；AB是直径90︒90ACB=︒∠CAB∵OA OB = PA PB = OP OP =∵(SSS)PBO PAO ≌∵PBO PAO ∠=∠∵PA 与O 切于点A∵90PAO ∠=︒∵90PBO ∠=︒ 即PB OB ⊥∵PB 是O 的切线；（2）设OP 交AB 于F 连接BC 如图 ∵PA PB 为切线∵OP AB ⊥ APO BPO ∠=∠∵OA PA ⊥∵90CAP ∠=︒∵3PA = 4AC =∵22345PC =+= 222313PO =+= ∵66131313AO AP AF OP ⋅=== 2291313PF AP AF =-= 41313OF OP PF =-= ∵AC 为直径∵90ABC ∠=︒ 而OP AB ⊥∵OF CB ∥∵AOF ACB ∽△△∵12OF AO BC AC == ∵813213BC OF ==同理可得：PFE CBE ∽是O 的切线90PCO =︒CD AB ，是直径BCDOP COP =∠和COP 中COP∵()SAS DOP COP ≌90PDO PCO ∠=∠=D 在O 上PD 是O 的切线；（2）∵AB 是O 的直径90ADB =︒90PDO =︒90ADO PDB =∠=︒-∠ODADO∵A PDB∠=∠∵BPD BPD ∠=∠∵PDB PAD∽∵PD PA PB PD=∵2PD PA PB=⋅．13．【答案】(1)证明：如图连接OCBC平分DBA∠DBC ABC∴∠=∠OC OB=OBC OCB∴∠=∠DBC OCB∴∠=∠OC BD∴BD CD⊥OC CD∴⊥OC为半径∴CD是O的切线；（2）解：连接CO交AE于H连接OEAB为直径90AEB∴∠=︒CD AEOC CD ⊥OC AE ∴⊥12EH AE ∴=CHE CDE ∠=∴四边形CH DE ∴=设半径为由勾股定理可得：()22r ∴-∵CE 是O 的切线．（2）连接AC OC OD∵CD BD = AC DC =∵AC DC BC ==∵60AOC COD BOD ∠=∠=∠=︒∵1302ABC CBE AOC ∠=∠=∠=︒∵cos BECBE BC ∠= 3BE =∵323cos30BC ==︒；（3）连接CD∵60COD ∠=︒ OC OD =∵OCD 是等边三角形∵60OCD ∠=︒∵60AOC ∠=︒∵CD AB ∥∵COD BCD S S =△△∵COD S S =阴影扇形．∵4AB =∵2OC =∵260223603COD S S ππ⨯===阴影扇形．15．【答案】(1)如图 连接OD是O 的切线；）,AB AC =,ABC ACB =∠ABC BAD ∠+∠=,BAD CDM ∴∠=∠BDN CDM ∠=∠BAD BDN ∴∠=∠N N ∠=∠,BDN DAN ∴∽,BN DN DN AN∴= 2DN BN AN BN ∴=⋅=（3）6,BC BD CD ==3,BD CD3cos ,5CDC AC ==5,AC ∴=5,AB ∴=22259AD AB BD ∴=-=-4=,BDN DAN ∽3,4BNDN BD DN AN AD ∴===33,,44BN DN DN AN ∴==339,4416BN AN AN ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭,BN AB AN +=95,16AN AN ∴+=80,7AN ∴=360.47DN AN ∴==。
中考数学专题复习---圆的切线有关的证明与计算
与圆的切线有关的证明与计算
切线的性质
垂直 于经过切点的半径． 定理：圆的切线________ 技巧：圆心与切点的连线是常用的辅助线．
垂直 于这条半径的直线是圆 定理： 经过半径的外端并且________ 的切线． 证圆的切线技巧： (1)如果直线与圆有交点，连接圆心与交点的半径，证明直 线与该半径垂直，即“有交点，作半径，证垂直”．
对应训练
4. 如图，∠C=90o，BD平分∠ABC，DE⊥BD ， 设⊙O是△BDE的外接圆。 求证：AC是⊙O的切线。
对应训练 5．如图，点C是⊙O的直径AB延长线上的一点， 且有BO＝BD＝BC. (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若半径OB＝2，求AD的长．
解：(1)证明：连结OD，
(2)如果直线与圆没有明确的交点， 则过圆心作该直线的垂 线段，证明垂线段等于半径，即“无交点，作垂直，证半径”．
切线的判定
有交点，连半径，证垂直
例1
对应训练 1.如图所示，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切 于点C. （1）求证：直线PB与⊙O相切 （2）PO的延长线与⊙O交于点E，若⊙O的半径为3， PC=4.求弦CE的长．
∵CD平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ECB.
∴∠PCB＝∠CAE.∴∠PCB＝∠ACO. ∵∠ACB＝90°，
∴∠OCP＝∠OCB＋∠PCB＝∠ACO＋∠OCB＝90°，
∴OC⊥PC， ∴直线PC与⊙O相切．
无交点，作垂直，证半径
例：如图 ，已知：O 为 BAC 角平分线上一点，
OD AB 于 D ，以 O 为圆心， OD 为半径作圆。
12 ∴ CF 5
9 在Rt△COF中， OF CO CF 5
2018年中考数学总复习专题提升七以圆的切线为背景的计算与证明试题
专题提升七 以圆的切线为背景的计算与证明热点解读直线与圆相切时，常用的辅助线是过切点的半径，且构造直角三角形来解决问题；动圆与直线相切(或动直线与圆相切)时，要注意有两种位置．直线与圆相切是中考常见题型．母题呈现(2017·常德)如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 与⊙O 相切于C ，BE ∥CO .(1)求证：BC 是∠ABE 的平分线；(2)若DC ＝8，⊙O 的半径OA ＝6，求CE 的长．对点训练1．(2016·台州)如图，在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6，以边AB 的中点O 为圆心，作半圆与AC 相切，点P ，Q 分别是边BC 和半圆上的动点，连结PQ ，则PQ 长的最大值与最小值的和是( )A ．6B ．213＋1C ．9 D.322第1题图2．如图，若以平行四边形一边AB 为直径的圆恰好与对边CD 相切于点D ，则∠C ＝____________________度．第2题图3．如图，AB ，BC ，CD 分别与⊙O 相切于E ，F ，G .且AB ∥CD .BO ＝6cm ，CO ＝8cm ，则BE 的长为____________________cm.第3题图4．如图，平面直角坐标系的长度单位是厘米，直线y ＝－33x ＋6分别与x 轴、y 轴相交于B 、A 两点．点C 在射线BA 上以3厘米/秒的速度运动，以C 点为圆心作半径为1厘米的⊙C .点P 以2厘米/秒的速度在线段OA 上来回运动，过点P 作直线l ∥x 轴．若点C 与点P 同时从点B 、点O 开始运动，设运动时间为t 秒，则在整个运动过程中直线l 与⊙C 最后一次相切时t ＝____________________秒．第4题图5．(2016·天津)在⊙O 中，AB 为直径，C 为⊙O 上一点．(1)如图1.过点C 作⊙O 的切线，与AB 的延长线相交于点P ，若∠CAB ＝27°，求∠P 的大小；(2)如图2，D 为弧AC 上一点，且OD 经过AC 的中点E ，连结DC 并延长，与AB 的延长线相交于点P ，若∠CAB ＝10°，求∠P 的大小．第5题图6．如图，在△ABC 中，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于点D 、E ，点F 在AC 的延长线上，且AC ＝CF ，∠CBF ＝∠CFB .第6题图(1)求证：直线BF 是⊙O 的切线；。
2018届中考数学：专题提升(十二) 与圆的切线有关的计算与证明
专题提升(十二)与圆的切线有关的计算与证明类型之一与切线的性质有关的计算或证明【经典母题】如图Z12－1，⊙O的切线PC交直径AB的延长线于点P，C为切点，若∠P ＝30°，⊙O的半径为1，则PB的长为__1__．图Z12－1 经典母题答图【解析】如答图，连结OC.∵PC为⊙O的切线，∴∠PCO＝90°，在Rt△OCP中，∵OC＝1，∠P＝30°，∴OP＝2OC＝2，∴PB＝OP－OB＝2－1＝1.【思想方法】(1)已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径；(2)已知圆的切线，常作过切点的半径，得到切线与半径垂直．【中考变形】[2017·天津]已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT＝50°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D.(1)如图Z12－2①，求∠T和∠CDB的大小；(2)如图②，当BE＝BC时，求∠CDO的大小．图Z12－2解：(1)如答图①，连结AC，∵AT是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，∴AT⊥AB，即∠TAB＝90°，∵∠ABT＝50°，∴∠T＝90°－∠ABT＝40°，由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°－∠ABC＝40°，∴∠CDB＝∠CAB＝40°；中考变形答图①中考变形答图②(2)如答图②，连结AD，在△BCE中，BE＝BC，∠EBC＝50°，∴∠BCE＝∠BEC＝65°，∴∠BAD＝∠BCD＝65°，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD＝65°，∵∠ADC＝∠ABC＝50°，∴∠CDO＝∠ODA－∠ADC＝65°－50°＝15°.【中考预测】[2017·宿迁]如图Z12－3，AB与⊙O相切于点B，BC为⊙O的弦，OC⊥OA，OA与BC相交于点P.(1)求证：AP＝AB；(2)若OB＝4，AB＝3，求线段BP的长．图Z12－3 中考预测答图解：(1)证明：∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB，∴∠OBA＝90°，∴∠ABP＋∠OBC＝90°，∵OC⊥AO，∴∠AOC＝90°，∴∠OCB＋∠CPO＝90°，∵∠APB＝∠CPO，∴∠APB＝∠ABP，∴AP＝AB；(2)如答图，作OH⊥BC于H.在Rt△OAB中，∵OB＝4，AB＝3，∴OA＝32＋42＝5，∵AP＝AB＝3，∴PO＝2.在Rt△POC中，PC＝OC2＋OP2＝25，∵12PC·OH＝12OC·OP，∴OH＝OP·OCPC＝455，∴CH＝OC2－OH2＝85 5，∵OH⊥BC，∴CH＝BH，∴BC＝2CH＝165 5，∴BP＝BC－PC＝1655－25＝655.类型之二与切线的判定有关的计算或证明【经典母题】已知：如图Z12－4，A是⊙O外一点，AO的延长线交⊙O于点C，点B在圆上，且AB＝BC，∠A＝30°，求证：直线AB是⊙O的切线．图Z12－4经典母题答图证明：如答图，连结OB，∵OB＝OC，AB＝BC，∠A＝30°，∴∠OBC＝∠C＝∠A＝30°，∴∠AOB＝∠C＋∠OBC＝60°.∵∠ABO＝180°－(∠AOB＋∠A)＝180°－(60°＋30°)＝90°，∴AB⊥OB，又∵OB为⊙O半径，∴AB是⊙O的切线．【思想方法】证明圆的切线常用两种方法“作半径，证垂直”或者“作垂直，证半径”．【中考变形】1．[2016·黄石]如图Z12－5，⊙O的直径为AB，点C在圆周上(异于A，B)，AD ⊥CD.(1)若BC＝3，AB＝5，求AC的值；(2)若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．图Z12－5 中考变形1答图解：(1)∵AB是⊙O直径，C在⊙O上，∴∠ACB＝90°，又∵BC＝3，AB＝5，∴由勾股定理，得AC＝4；(2)证明：如答图，连结OC，∵AC是∠DAB的平分线，∴∠DAC＝∠BAC，又∵AD⊥DC，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB，∴∠DCA＝∠CBA，又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠OAC＋∠OBC＝90°，∴∠OCA＋∠ACD＝∠OCD＝90°，∴直线CD是⊙O的切线．2．[2017·南充]如图Z12－6，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O 交AB于点D，E为BC的中点，连结DE并延长交AC的延长线点F.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若CF＝2，DF＝4，求⊙O直径的长．图Z12－6 中考变形2答图【解析】(1)连结OD，欲证DE是⊙O的切线，需证OD⊥DE，即需证∠ODE ＝90°，而∠ACB＝90°，连结CD，根据“等边对等角”可知∠ODE＝∠OCE ＝90°，从而得证；(2)在Rt△ODF中，利用勾股定理建立关于半径的方程求解．解：(1)证明：如答图，连结OD，CD.∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°.∴∠BDC＝90°.又∵E为BC的中点，∴DE＝12BC＝CE，∴∠EDC＝∠ECD.∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD.∴∠EDC＋∠ODC＝∠ECD＋∠OCD＝∠ACB＝90°.∴∠ODE＝90°，∴DE是⊙O的切线；(2)设⊙O的半径为x.在Rt△ODF中，OD2＋DF2＝OF2，即x2＋42＝(x＋2)2，解得x＝3.∴⊙O的直径为6.【中考预测】如图Z12－7，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠A＝2∠BCD，点E 在AB的延长线上，∠AED＝∠ABC.(1)求证：DE与⊙O相切；(2)若BF＝2，DF＝10，求⊙O的半径．图Z12－7 中考预测答图解：(1)证明：如答图，连结OD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A＋∠ABC＝90°，∵∠BOD＝2∠BCD，∠A＝2∠BCD，∴∠BOD＝∠A，∵∠AED＝∠ABC，∴∠BOD＋∠AED＝90°，∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE，∴DE与⊙O相切；(2)如答图，连结BD，过点D作DH⊥BF于点H.∵DE与⊙O相切，∴∠ACD＋∠BCD＝∠ODB＋∠BDE＝90°，∵∠ACD＝∠OBD，∠OBD＝∠ODB，∴∠BDE＝∠BCD，∵∠AED＝∠ABC，∴∠AFC＝∠DBF，∵∠AFC＝∠DFB，∴△ACF与△FDB都是等腰三角形，∴FH＝BH＝12BF＝1，∴HD＝DF2－FH2＝3，在Rt△ODH中，OH2＋DH2＝OD2，即(OD－1)2＋32＝OD2，∴OD＝5.即⊙O的半径是5.。
内蒙古2018年中考数学重点题型专项训练圆的相关证明与计算
圆的相关证明与计算类型一平行线模型★1. 如图，△ABC内接于⊙O，AC是直径，BC＝BA，在∠ACB 的内部作∠ACF＝30°，且 CF＝CA，过点 F 作 FH⊥AC 于点 H，连接BF.︵(1)若CF交⊙O于点G，⊙O的半径是 4，求AG的长；(2)请判断直线BF与⊙O的位置关系，并说明理由．第 1 题图解：(1)如解图，连接OG，∵∠ACF＝30°，∴∠AOG＝2∠ACF＝60°，︵＝nπr＝60π×4＝4π；∵⊙O的半径是4，∴lAG180 180 3(2)直线BF与⊙O相切，理由如下：如解图，连接 OB，∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC＝90°，∵BC＝BA，OC＝OA，∴BO＝12AC，BO⊥AC，∴∠BOC＝90°，∵FH⊥AC，∴∠FHC＝∠BOC＝90°，∴BO∥FH，∵在 Rt△FHC中，∠ACF＝30°，∴FH＝1CF，∵BO＝12AC，CF＝CA，∴BO＝FH，∵BO∥FH，∴四边形 BOHF 是平行四边形．∵∠FHC＝90°，∴平行四边形 BOHF 是矩形，∴∠FBO＝90°，∴OB⊥BF，∵OB 是⊙O 的半径，∴直线 BF 与⊙O 相切．★2.在等腰△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O分别与AB、AC 相交于点 D、E，过点 D 作 DF⊥AC，垂足为点 F.(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)分别延长CB、FD，相交于点G，∠A＝60°，⊙O的半径为 6，求阴影部分的面积．第 2 题图（1）证明：如解图，连接OD，∴OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，第 2 题解图∵AC＝BC，∴∠A＝∠OBD，∴∠ODB＝∠A，∴AC∥OD，∵DF⊥AC，∴DF⊥OD，∵OD 为⊙O 的半径，∴DF 是⊙O 的切线；(2)解：∵∠A＝60°，AC＝BC，OB＝OD，∴∠C＝∠DOB＝60°，由(1)知∠ODG＝90°，∴∠G＝30°，∵OD＝6，∴DG＝OD ＝63＝6 3，tan30°1 60π×62∴S 阴影＝S△ODG－S 扇形DOB＝×6×6 3－＝18 3－6π.2360类型二弦切角模型★1.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠BCD＝∠A.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为 3，CD＝4，求BD的长．第 1 题图(1)证明：如解图，连接OC，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO＋∠OCB＝90°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠OAC＝∠BCD，∴∠OCA＝∠BCD，∴∠BCD＋∠BCO＝90°，∴OC⊥CD，∵CO 是⊙O 的半径，∴CD 是⊙O 的切线；(2)解：∵在Rt△OCD中，OC＝3，CD＝4，∠OCD＝90°，由勾股定理得 OD＝OC2＋CD2＝5，∴BD＝OD－OB＝5－3＝2.第 1 题解图★2.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点 D，过点 D 作⊙O 的切线交 AC 于点 E.(1)求证：∠ABD＝∠ADE；(2)若⊙O的半径为256，AD＝203，求CE的长．第 2 题图(1)证明：如解图，连接OD.∵DE 为⊙O 的切线，∴OD⊥DE，∴∠ADO＋∠ADE＝90°.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADO＋∠ODB＝90°.∴∠ADE＝∠ODB，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ABD ＝∠ADE;第 2 题解图(2)解：∵AB＝AC＝2×256＝253，∠ADB＝∠ADC＝90°，∴∠ABC＝∠C，BD＝CD.∵O 为 AB 的中点，∴OD 为△ABC 的中位线，∴OD∥AC，∵OD⊥DE，∴AC⊥DE，在Rt△ACD中，CD＝AC2－AD2＝（253）2－（203）2＝5，∵∠C＝∠C，∠DEC＝∠ADC＝90°，∴△DEC∽△ADC，CE DC CE5∴DC＝AC，即5＝25，∴CE＝3.类型三双切线模型★1.如图，AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，点C在⊙O 上，CB∥PO.(1)判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若AB＝6，CB＝4，求PC的长．解：(1)PC与⊙O相切．理由如下：如解图，连接 OC，第 1 题解图∵CB∥PO，∴∠POA＝∠B，∠POC＝∠OCB，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B，∴∠POA＝∠POC，又∵OA＝OC，OP＝OP，∴△APO≌△CPO，∴∠OAP＝∠OCP，∵PA 是⊙O 的切线，∴∠OAP＝90°，∴∠OCP＝90°∴PC 是⊙O 的切线；(2)如解图，连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，由(1)知∠PCO＝90°，∠B＝∠OCB＝∠POC，∴△ACB∽△PCO，∴OC BC＝AC PC，又∵在 Rt△ABC中，AC＝AB2－CB2＝62－42＝25，∴PC＝OC·AC＝3×25＝35.BC 4 2★2. 如图，PB为⊙O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为 C，交⊙O 于点 A，连接 PA，AO，并延长 AO 交⊙O 于点 E，与 PB 的延长线交于点D.(1)求证：PA是⊙O的切线；(2)若 cos∠CAO＝45，且OC＝6，求PB的长．第 2 题图(1)证明：如解图，连接OB，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵OP⊥AB，∴AC＝BC，∴OP 是 AB 的垂直平分线，∴PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA，∴∠PAO＝∠PBO.∵PB 为⊙O 的切线，∴∠OBP＝90°，∴∠PAO＝90°，∵OA 为⊙O 的半径，∴PA 是⊙O 的切线；(2)解：∵cos∠CAO＝45，∴设 AC＝4k，AO＝5k，由勾股定理可知 OC＝3k，∴sin∠CAO＝35，tan∠COA＝43，∴CO OA＝35，即OA6＝35，解得 OA＝10，∵tan∠POA＝tan∠COA＝AO AP＝43，∴AP10＝43，解得 AP＝403，∵PA＝PB，∴PB＝PA＝403.★3.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接AO并延长，交 PB 的延长线于点 C，连接 PO，交⊙O 于点 D.(1)求证：PO平分∠APC；(2)连接DB，若∠C＝30°，求证：DB∥AC.第 3 题图证明：(1)如解图，连接OB，∵PA、PB 是⊙O 的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP.又∵OA＝OB，∴PO 平分∠APC；第 3 题解图(2)∵OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠CAP＝∠OBP＝90°，∵∠C＝30°，∴∠APC＝90°－∠C＝60°，∵PO 平分∠APC，∴∠OPC＝12∠APC＝1×60°＝30°，∴∠POB＝90°－∠OPC＝60°，又∵OD＝OB，∴△ODB 是等边三角形，∴∠OBD＝60°，∴∠DBP＝∠OBP－∠OBD＝30°，∴∠DBP＝∠C，∴DB∥AC.类型四其他模型★1.如图，以AB为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连接 PC 交 AB 于点E，且∠ACP＝60°，PA＝PD.(1)试判断DP与⊙O的位置关系，并说明理由；若点 C 是︵的中点，AB＝，求 CE CP 的值．(2) AB 4 ·第 1 题图解：(1)PD与⊙O相切．证明如下：如解图，连接 OP，∵∠ACP＝60°，∴∠AOP＝120°，∵OA＝OP，∴∠OAP＝∠OPA＝30°，∵PA＝PD，∴∠PAO＝∠D＝30°，∵∠POD＝∠OAP＋∠OPA＝60°，∴在△POD 中，∠OPD ＝180°－∠D －∠DOP ＝180°－30°－60°＝90°，即DP⊥OP，∵OP 是⊙O 的半径，∴DP 是⊙O 的切线；第 1 题解图(2)如解图，连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，又 C 为︵的中点，CAB＝ABC＝APC＝，∵AB ∴∠∠∠45°∵AB＝4，∴AC＝AB·sin45°＝22，∵∠ACP＝∠ACP，∠CAB＝∠APC，∴△CAE∽△CPA，∴CA CP＝CA CE，∴CE·CP＝CA2＝(22)2＝8.★2.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD和过点 C 的切线互相垂直，垂足为 D，直线 DC 与 AB 的延长线相交于点 P，弦CE 平分∠ACB，交直径 AB 于点 F，连接 BE.(1)求证：AC平分∠DAB；(2)探究线段PC，PF之间的大小关系，并加以证明；(3)若 tan∠PCB＝34，BE＝52，求PF的长．第 2 题图(1)证明：如解图，连接 OC,∵OA=OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵PC 是⊙O 的切线，∴AD⊥CD，∴∠OCP＝∠D＝90°，∴OC∥AD,∴∠CAD＝∠OCA=∠OAC，即AC 平分∠DAB；（2）解：PC=PF，证明如下：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∴∠PCB+∠ACD=90°，又∵∠CAD+∠ACD=90°，∴∠CAB＝∠CAD=∠PCB,第 2 题解图∵∠ACE＝∠BCE,∠PFC＝∠CAB+∠ACE，∠PCF＝∠PCB+∠BCE,∴∠PFC＝∠PCF,∴PC＝PF；（3）解：如解图，连接AE，∵∠ACE＝∠BCE,∴ AE BE,∴AE=BE,∴AB 是⊙的直径，∴∠AEB=90°，∴AB= 2 BE=10,∴OB=OC=5,∵∠PCB=∠PAC，∠P=∠P，∴△PCB∽△PAC，∴PC PB BC CA，∵tan∠PCB=tan∠CAB=34，设PB=3x，则 PC=4x，在Rt△POC 中，（3x+5）2=（4x）2+52，解得x1=0（舍去），x2= 307，∴PF=PC=1207.★3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O 交 AB 于点 D，E是 AC 的中点，OE 交 CD 于点 F.(1)若BCD＝36°，BC＝10，求的长；∠BD(2)判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；(3)求证：2CE2＝AB·EF.第 3 题图(1)解：如解图，连接OD，∵∠BCD＝36°，∴∠BOD＝2∠BCD＝2×36°＝72°，∵BC 是⊙O 的直径，BC＝10，∴OB＝5，∴l ︵＝72π×5＝2π；BD180第 3 题解图(2)解：DE是⊙O的切线；理由如下：∵BC 是⊙O 的直径，∴∠ADC＝180°－∠BDC＝90°，又∵点 E 是线段 AC 的中点，∴DE＝12AC＝EC，OD＝OC在△DOE 与△COE 中，OE＝OE ，∴△DOE≌△COE(SSS)．DE＝CE ∵∠ACB＝90°，∴∠ODE＝∠OCE＝90°，∵OD 是⊙O 的半径，∴DE 是⊙O 的切线；(3)证明：由(2)知，△DOE≌△COE，∴OE 是线段 CD 的垂直平分线，DE＝CE，∴点 F 是线段 CD 的中点，已知点 E 是线段 AC 的中点，则 EF＝12AD，∵∠BAC＝∠CAD，∠ADC＝∠ACB，∴△ACD∽△ABC，则AC AB＝AD AC，即 AC2＝AB·AD，而AC＝2CE，AD＝2EF，∴(2CE)2＝AB·2EF，即 4CE2＝AB·2EF，∴2CE2＝AB·EF.。
专题12 与圆的切线有关的计算与证明-押题2018年中考数学之提升解题能力训练精品(解析版)
押题2018年中考数学之提升解题能力训练专题12与圆的切线有关的计算与证明类型一 与切线的性质有关的计算或证明【母题重现】（2017四川省绵阳市）如图，已知AB 是圆O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为H ，与AC 平行的圆O 的一条切线交CD 的延长线于点M ，交AB 的延长线于点E ，切点为F ，连接AF 交CD 于点N ．（1）求证：CA =CN ；（2）连接DF ，若cos ∠DF A =45，AN =，求圆O 的直径的长度．【解析】【答案】（1）证明见解析；（2）503． 【解析】试题分析：（1）连接OF ，根据切线的性质结合四边形内角和为360°，即可得出∠M +∠FOH =180°，由三角形外角结合平行线的性质即可得出∠M =∠C =2∠OAF ，再通过互余利用角的计算即可得出∠CAN =90°﹣∠OAF =∠ANC ，由此即可证出CA =CN ；（2）连接OC ，如图2所示．∵cos ∠DF A =45，∠DF A =∠ACH ，∴CH AC =45．设CH =4a ，则AC =5a ，AH =3a ，∵CA =CN ，∴NH =a ，∴AN a =，∴a =2，AH =3a =6，CH =4a =8．设圆的半径为r ，则OH =r ﹣6，在Rt △OCH 中，OC =r ，CH =8，OH =r ﹣6，∴OC 2=CH 2+OH 2，r 2=82+（r ﹣6）2，解得：r =253，∴圆O 的直径的长度为2r =503．考点：1．切线的性质；2．勾股定理；3．圆周角定理；4．解直角三角形．【方法】(1)已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径；(2)已知圆的切线，常作过切点的半径，得到切线与半径垂直．【中考回顾】1．（2017浙江宁波第9题）如图，在Rt ABC △中，90A =∠°，BC =，以BC 的中点O 为圆心分别与AB ，AC 相切于D ，E 两点，则DE 的长为( )A.4pB.2pC.pD.2p【答案】B.【解析】试题解析：如图，连接OD ，OE∵AC ，AB 是圆O 的切线∴OE ⊥AC ，OD ⊥AB∵O 是BC 的中点∴点E ，点D 分别是AC ，AB 的中点∴OE=12AB ，OD= 12AC ∵OE=OD∴AC=AB∵由勾股定理得AB=2∴OE=1DE 的弧长=901180π⨯⨯=2π. 故选B.考点：1.三角形的中位线；2.弧长的计算.2. （2017四川省达州市）如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上一点，连接AE ，将矩形沿AE 翻折，使点B 落在CD 边F 处，连接AF ，在AF 上取点O ，以O 为圆心，OF 长为半径作⊙O 与AD 相切于点P ．若AB =6，BC =F 是CD 的中点；②⊙O 的半径是2；③AE =92CE ；④S =阴影．其中正确结论的序号是 ．【答案】．【解析】试题分析：①∵AF 是AB 翻折而来，∴AF =AB =6，∵AD =BC =DF =3，∴F 是CD 中点；∴①正确；②连接OP ，∵⊙O 与AD 相切于点P ，∴OP ⊥AD ，∵AD ⊥DC ，∴OP ∥CD ，∴AO OP AF DF =，设OP =OF =x ，则636x x -=，解得：x =2，∴②正确；③∵RT △ADF 中，AF =6，DF =3，∴∠DAF =30°，∠AFD =60°，∴∠EAF =∠EAB =30°，∴AE =2EF ； ∵∠AFE =90°，∴∠EFC =90°﹣∠AFD =30°，∴EF =2EC ，∴AE =4CE ，∴③错误；④连接OG ，作OH ⊥FG ，∵∠AFD =60°，OF =OG ，∴△OFG 为等边△；同理△OPG 为等边△；∴∠POG =∠FOG =60°，OH OG S 扇形OPG =S 扇形OGF ，∴S 阴影=（S 矩形OPDH ﹣S 扇形OPG ﹣S △OGH ）+（S扇形OGF ﹣S △OFG ）=S 矩形OPDH ﹣32S △OFG =312(222-⨯⨯故答案为：①②④．考点：1．切线的性质；2．矩形的性质；3．扇形面积的计算；4．翻折变换（折叠问题）；5．综合题．3. （2017山东省枣庄市）如图，在▱ABCD 中，AB 为⊙O 的直径，⊙O 与DC 相切于点E ，与AD 相交于点F ，已知AB =12，∠C =60°，则FE 的长为 ．【答案】π．考点：1．切线的性质；2．平行四边形的性质；3．弧长的计算．4. （2017河北省）如图，AB=16，O为AB中点，点C在线段OB上（不与点O，B重合），将OC绕点O 逆时针旋转270°后得到扇形COD，AP，BQ分别切优弧CD于点P，Q，且点P，Q在AB异侧，连接OP．（1）求证：AP=BQ；（2）当BQ=QD的长（结果保留π）；（3）若△APO的外心在扇形COD的内部，求OC的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）143；（3）4＜OC＜8．（2）∵Rt △APO ≌Rt △BQO ，∴∠AOP =∠BOQ ，∴P 、O 、Q 三点共线，∵在Rt △BOQ 中，cos B =QB OB ==，∴∠B =30°，∠BOQ =60°，∴OQ =12OB =4，∵∠COD =90°，∴∠QOD =90°+60°=150°，∴优弧QD 的长=2104180π⨯=143π； （3）∵△APO 的外心是OA 的中点，OA =8，∴△APO 的外心在扇形COD 的内部时，OC 的取值范围为4＜OC ＜8．考点：1．切线的性质；2．弧长的计算；3．旋转的性质．5. （2017浙江省丽水市）如图，在Rt △ABC 中，∠C =Rt ∠，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，切线DE 交AC 于点E ．（1）求证：∠A =∠ADE ；（2）若AD =16，DE =10，求BC 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）15．【解析】试题分析：（1）只要证明∠A+∠B=90°，∠ADE+∠B=90°即可解决问题；（2）连接CD．∵∠ADE=∠A，∴AE=DE，∵BC是⊙O的直径，∠ACB=90°，∴EC是⊙O的切线，∴ED=EC，∴AE=EC，∵DE=10，∴AC=2DE=20，在Rt△ADC中，DC=12，设BD=x，在Rt△BDC中，BC2=x2+122，在Rt△ABC中，BC2=（x+16）2﹣202，∴x2+122=（x+16）2﹣202，解得x=9，∴BC15．考点：1．切线的性质；2．勾股定理．6. （2017广东省）如图，AB是⊙O的直径，AB=E为线段OB上一点（不与O，B重合），作CE ⊥OB，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，AF⊥PC于点F，连接CB．（1）求证：CB 是∠ECP 的平分线；（2）求证：CF =CE ；（3）当34CF CP =时，求劣弧BC 的长度（结果保留π）【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3． 【解析】试题分析：（1）根据等角的余角相等证明即可；（2）欲证明CF =CE ，只要证明△ACF ≌△ACE 即可；（3）作BM ⊥PF 于M ．则CE =CM =CF ，设CE =CM =CF =4a ，PC =4a ，PM =a ，利用相似三角形的性质求出BM ，求出tan ∠BCM 的值即可解决问题；（3）解：作BM ⊥PF 于M ．则CE =CM =CF ，设CE =CM =CF =4a ，PC =4a ，PM =a ，∵△BMC ∽△PMB ，∴BM CMPM BM =，∴BM 2=CM •PM =3a 2，∴BM a ，∴tan ∠BCM =BM CM =BCM =30°，∴∠OCB =∠OBC =∠BOC =60°，∴BC 的长．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．垂径定理；3．切线的性质；4．弧长的计算．7. (2017河南第18题)如图，在ABC ∆中， AB AC =，以AB 为直径的⊙O 交AC 边于点D ，过点C 作//CF AB ，与过点B 的切线交于点F ，连接BD .（1）求证：BD BF =；（2）若10AB =，4CD =，求BC 的长.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】试题分析：(1)根据已知条件已知CB 平分∠DCF ，再证得BD AC ⊥、BF CF ⊥，根据角平分线的性质定理即可证得结论；（2）已知AB AC ==10，4CD =，可求得AD =6,在Rt △ABD 中，根据勾股定理求得2BD 的值,在Rt △BDC 中，根据勾股定理即可求得BC 的长.试题解析：(1)∵AB AC =∴∠ABC=∠ACB∵//CF AB∴∠ABC=∠FCB∴∠ACB=∠FCB ，即CB 平分∠DCF∵AB 为⊙O 直径∴∠ADB=90°，即BD AC ⊥∵BF 为⊙O 的切线∴BF AB ⊥∵//CF AB∴BF CF ⊥∴BD=BF考点：圆的综合题.8. （2017湖南长沙第23题）如图，AB 与⊙O 相切于C ，OB OA ,分别交⊙O 于点E D ,，CD CE =．（1）求证：OB OA =；（2）已知34=AB ，4=OA ，求阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析（2）23S π阴影试题解析：（1）连接OC ，则OC ⊥AB∵CD CE =∴∠AOC =∠BOC在△AOC 和△BOC 中，90AOC BOC OC OCOCA OCB ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠=⎩∴△AOC≌△BOC（ASA ）∴AO=BO（2）由（1）可得AC=BC=12AB=∴在Rt △AOC 中，OC=2∴∠AOC =∠BOC =60°∴11==22BOC S BC OC ⋅⨯△ 26022==3603S ππ⨯⨯扇形BOC∴2=3BOC S S S π--△阴影扇形BOC 考点：1、切线的性质，2、三角形的面积，3、扇形的面积9. (2017四川泸州第24题)如图，⊙O 与ABC Rt ∆的直角边AC 和斜边AB 分别相切于点;,D C 与边BC 相交于点F ,OA 与CD 相交于点E ，连接FE 并延长交AC 边于点G .（1）求证：DF //AO（2）若,10,6==AB AC 求CG 的长.【答案】（1）详见解析；（2）2.【解析】试题分析：（1）由弦切角定理和切线长定理证得CD 垂直于AO ，再证得∠DAO=∠BDF ，即可证得结论；（2）过点E 作OC EM ⊥与M ，根据勾股定理求得BC=8，再求得BD=4，由切割线定理可求得;2=BF 再由勾股定理求得BC=4，利用射影定理求得，利用相似三角形的性质即可求得CG 的长. 试题解析：（1）证明：AB 与⊙O 相切与点D BDF BCD ∠=∠∴ （弦切角定理）又AC 与⊙O 相切与点C由切线长定理得：;,DAO CAO AD AC ∠=∠=AO CD ⊥∴,;BDF DAO DAO CAO BCD ∠=∠∴∠=∠=∠∴即：DF//AO （2）：过点E 作OC EM ⊥与M 88,622=-=∴==AC AB BC AB AC4,6=-=∴==AD AB BD AC AD∴由切割线定理得：BC BF BD ⋅=2,解得：;2=BF;321,6===-=∴FC OC BF BC FC 5322=+=∴OC AC OA由射影定理得：553,2=⋅=OE OA OE OC 解之得：235;5366.3;518;56,53;51==∴===∴=+===∴===∴EM CG FC FM CG EM OM OF FM EM OM OA OE OC OM AC EM 10．（2017江苏省盐城市）如图，△ABC 是一块直角三角板，且∠C =90°，∠A =30°，现将圆心为点O 的圆形纸片放置在三角板内部．（1）如图①，当圆形纸片与两直角边AC 、BC 都相切时，试用直尺与圆规作出射线CO ；（不写作法与证明，保留作图痕迹）（2）如图②，将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动1周，回到起点位置时停止，若BC =9，圆形纸片的半径为2，求圆心O 运动的路径长．【答案】（1）作图见解析；（2）15+【解析】试题分析：（1）作∠ACB 的平分线得出圆的一条弦，再作此弦的中垂线可得圆心O ，作射线CO 即可；（2）添加如图所示辅助线，圆心O 的运动路径长为12OO O C ∆，先求出△ABC 的三边长度，得出其周长，证四边形OEDO 1、四边形O 1O 2HG 、四边形OO 2IF 均为矩形、四边形OECF 为正方形，得出∠OO 1O 2=60°=∠ABC 、∠O 1OO 2=90°，从而知△OO 1O 2∽△CBA ，利用相似三角形的性质即可得出答案．试题解析：（1）如图①所示，射线OC 即为所求；（2）如图2，圆心O 的运动路径长为12OO O C ∆，过点O 1作O 1D ⊥BC 、O 1F ⊥AC 、O 1G ⊥AB ，垂足分别为点D 、F 、G ，过点O 作OE ⊥BC ，垂足为点E ，连接O 2B ，过点O 2作O 2H ⊥AB ，O 2I ⊥AC ，垂足分别为点H 、I ，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°、∠A =30°，∴AC =tan 30BC=，AB =2BC =18，∠ABC =60°，∴C △ABC=9+O 1D ⊥BC 、O 1G ⊥AB ，∴D 、G 为切点，∴BD =BG ，在Rt △O 1BD 和Rt △O 1BG 中，∵BD =BG ，O 1B =O 1B ，∴△O 1BD ≌△O 1BG （HL ），∴∠O 1BG =∠O 1BD =30°，在Rt △O 1BD 中，∠O 1DB =90°，∠O 1BD =30°，∴BD =1tan 30ODOO 1=9﹣2﹣﹣O 1D =OE =2，O 1D ⊥BC ，OE ⊥BC ，∴O 1D ∥OE ，且O 1D =OE ，∴四边形OEDO 1为平行四边形，∵∠OED =90°，∴四边形OEDO 1为矩形，同理四边形O 1O 2HG 、四边形OO 2IF 、四边形OECF 为矩形，又OE =OF ，∴四边形OECF 为正方形，∵∠O 1GH =∠CDO 1=90°，∠ABC =60°，∴∠GO 1D =120°，又∵∠FO 1D =∠O 2O 1G =90°，∴∠OO 1O 2=360°﹣90°﹣90°=60°=∠ABC ，同理，∠O 1OO 2=90°，∴△OO 1O 2∽△CBA ，∴1212OO O ABC C O O C BC ∆∆==12OO O C ∆=15+，即圆心O 运动的路径长为15考点：1．轨迹；2．切线的性质；3．作图—复杂作图；4．综合题．【中考押题】1. （2017山东临沂第10题）如图，AB 是O e 的直径，BT 是O e 的切线，若45ATB ∠=︒，2AB =，则阴影部分的面积是（ ）A ．2B ．3124π- C ．1 D ．1124π+ 【答案】C考点：1、圆的切线，2、圆周角定理，3、等腰直角三角形2. (2017山东日照第9题)如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连结PO并延长交⊙O于点C，连结AC，AB=10，∠P=30°，则AC的长度是（）A．B．C．5 D．【答案】A.试题分析：过点D作OD⊥AC于点D，∵AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，∴AB⊥AP，∴∠BAP=90°，∵∠P=30°，∴∠AOP=60°，∴∠AOC=120°，∵OA=OC，∴∠OAD=30°，∵AB=10，∴OA=5，∴OD= 12AO=2.5，∴= = ，∴故选A．考点：切线的性质．3. （2017山东青岛第12题）如图，直线AB与CD分别与⊙O 相切于B、D两点，且AB⊥CD，垂足为P，连接BD.若BD＝4，则阴影部分的面积为___________________。
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专题提升(十二)与圆的切线有关的计算与证明
类型之一与切线的性质有关的计算或证明
【经典母题】
如图Z12－1，⊙O的切线PC交直径AB的延长线于点P，C为切点，若∠P ＝30°，⊙O的半径为1，则PB的长为__1__．
图Z12－1 经典母题答图
【解析】如答图，连结OC.
∵PC为⊙O的切线，∴∠PCO＝90°，
在Rt△OCP中，∵OC＝1，∠P＝30°，
∴OP＝2OC＝2，
∴PB＝OP－OB＝2－1＝1.
【思想方法】(1)已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径；(2)已知圆的切线，常作过切点的半径，得到切线与半径垂直．
【中考变形】
[2017·天津]已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT＝50°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D.
(1)如图Z12－2①，求∠T和∠CDB的大小；
(2)如图②，当BE＝BC时，求∠CDO的大小．
图Z12－2
解：(1)如答图①，连结AC，
∵AT是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，
∴AT⊥AB，即∠TAB＝90°，
∵∠ABT＝50°，∴∠T＝90°－∠ABT＝40°，
由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝90°－∠ABC＝40°，∴∠CDB＝∠CAB＝40°；
中考变形答图①中考变形答图②
(2)如答图②，连结AD，
在△BCE中，BE＝BC，∠EBC＝50°，
∴∠BCE＝∠BEC＝65°，∴∠BAD＝∠BCD＝65°，
∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD＝65°，
∵∠ADC＝∠ABC＝50°，
∴∠CDO＝∠ODA－∠ADC＝65°－50°＝15°.
【中考预测】
[2017·宿迁]如图Z12－3，AB与⊙O相切于点B，BC为⊙O的弦，OC⊥OA，OA与BC相交于点P.
(1)求证：AP＝AB；
(2)若OB＝4，AB＝3，求线段BP的长．
图Z12－3 中考预测答图解：(1)证明：∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，
∵AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB，
∴∠OBA＝90°，∴∠ABP＋∠OBC＝90°，
∵OC⊥AO，∴∠AOC＝90°，
∴∠OCB＋∠CPO＝90°，∵∠APB＝∠CPO，
∴∠APB＝∠ABP，∴AP＝AB；
(2)如答图，作OH⊥BC于H.在Rt△OAB中，∵OB＝4，AB＝3，∴OA＝32＋42＝5，∵AP＝AB＝3，
∴PO＝2.
在Rt△POC中，PC＝OC2＋OP2＝25，
∵1
2PC·OH＝1
2OC·OP，
∴OH＝OP·OC
PC
＝45
5
，
∴CH＝OC2－OH2＝85
5
，
∵OH⊥BC，∴CH＝BH，∴BC＝2CH＝165
5
，
∴BP＝BC－PC＝165
5－25＝65
5.
类型之二与切线的判定有关的计算或证明
【经典母题】
已知：如图Z12－4，A是⊙O外一点，AO的延长线交⊙O于点C，点B在圆上，且AB＝BC，∠A＝30°，求证：直线AB是⊙O的切线．
图Z12－4经典母题答图
证明：如答图，连结OB，
∵OB＝OC，AB＝BC，∠A＝30°，
∴∠OBC＝∠C＝∠A＝30°，
∴∠AOB＝∠C＋∠OBC＝60°.
∵∠ABO＝180°－(∠AOB＋∠A)＝180°－(60°＋30°)＝90°，
∴AB⊥OB，又∵OB为⊙O半径，∴AB是⊙O的切线．
【思想方法】证明圆的切线常用两种方法“作半径，证垂直”或者“作垂直，证半径”．
【中考变形】
1．[2016·黄石]如图Z12－5，⊙O的直径为AB，点C在圆周上(异于A，B)，AD ⊥CD.
(1)若BC＝3，AB＝5，求AC的值；
(2)若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．
图Z12－5 中考变形1答图
解：(1)∵AB是⊙O直径，C在⊙O上，
∴∠ACB＝90°，又∵BC＝3，AB＝5，
∴由勾股定理，得AC＝4；
(2)证明：如答图，连结OC，
∵AC是∠DAB的平分线，
∴∠DAC＝∠BAC，
又∵AD⊥DC，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴△ADC∽△ACB，∴∠DCA＝∠CBA，
又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠OAC＋∠OBC＝90°，∴∠OCA＋∠ACD＝∠OCD＝90°，
∴直线CD是⊙O的切线．
2．[2017·南充]如图Z12－6，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O 交AB于点D，E为BC的中点，连结DE并延长交AC的延长线点F.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若CF＝2，DF＝4，求⊙O直径的长．
图Z12－6 中考变形2答图【解析】(1)连结OD，欲证DE是⊙O的切线，需证OD⊥DE，即需证∠ODE ＝90°，而∠ACB＝90°，连结CD，根据“等边对等角”可知∠ODE＝∠OCE ＝90°，从而得证；
(2)在Rt△ODF中，利用勾股定理建立关于半径的方程求解．
解：(1)证明：如答图，连结OD，CD.
∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°.
∴∠BDC＝90°.又∵E为BC的中点，
∴DE＝1
2BC＝CE，∴∠EDC＝∠ECD.
∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD.
∴∠EDC＋∠ODC＝∠ECD＋∠OCD＝∠ACB＝90°.
∴∠ODE＝90°，∴DE是⊙O的切线；
(2)设⊙O的半径为x.在Rt△ODF中，OD2＋DF2＝OF2，
即x2＋42＝(x＋2)2，解得x＝3.∴⊙O的直径为6.
【中考预测】
如图Z12－7，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠A＝2∠BCD，点E 在AB的延长线上，∠AED＝∠ABC.
(1)求证：DE与⊙O相切；
(2)若BF＝2，DF＝10，求⊙O的半径．
图Z12－7 中考预测答图解：(1)证明：如答图，连结OD.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A＋∠ABC＝90°，
∵∠BOD＝2∠BCD，∠A＝2∠BCD，
∴∠BOD＝∠A，
∵∠AED＝∠ABC，∴∠BOD＋∠AED＝90°，
∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE，∴DE与⊙O相切；
(2)如答图，连结BD，过点D作DH⊥BF于点H.
∵DE与⊙O相切，∴∠ACD＋∠BCD＝∠ODB＋∠BDE＝90°，∵∠ACD＝∠OBD，∠OBD＝∠ODB，∴∠BDE＝∠BCD，
∵∠AED＝∠ABC，∴∠AFC＝∠DBF，
∵∠AFC＝∠DFB，∴△ACF与△FDB都是等腰三角形，
∴FH＝BH＝1
2－FH2＝3，
2BF＝1，∴HD＝DF
在Rt△ODH中，OH2＋DH2＝OD2，即(OD－1)2＋32＝OD2，∴OD＝5.即⊙O的半径是5.。