圆的切线计算与证明题
答案--如何证明圆的切线
圆的切线证明一、连半径，证垂直要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．1、如图，已知AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD ＝OB ，点C 在圆上，∠CAB ＝30º． 求证：DC 是⊙O 的切线．思路：要想证明DC 是⊙O 的切线，只要我们连接OC ，证明∠OCD ＝90º即可．证明：连接OC ，BC ．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90º．∵∠CAB ＝30º，∴BC ＝21AB ＝OB ． ∵BD ＝OB ，∴BC ＝21OD ．∴∠OCD ＝90º． ∴DC 是⊙O 的切线．【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．本题在证明∠OCD ＝90º时，运用了“在一个三角形中，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，当然也可以从角度计算的角度来求∠OCD ＝90º．2、如图，已知⊙Ｏ是△ABC 的外接圆，AB 是⊙Ｏ的直径，D 是AB 的延长线上的一点，AE ⊥DC 交DC 的延长线于点E ，且AC 平分∠EAB ．求证：DE 是⊙O 的切线．证明：连接OC ，则OA =OC ，所以∠CAO =∠ACO ， 因为AC 平分∠EAB ，所以∠EAC =∠CAO =∠AC Ｏ，所以AE ∥CO ，又AE ⊥DE ， 所以CO ⊥DE ，所以DE 是⊙O 的切线．3、已知⊙O 中，AB 是直径，过B 点作⊙O 的切线，连结CO ，若AD ∥OC 交⊙O 于D ，求证：CD 是⊙O 的切线。
点悟：要证CD 是⊙O 的切线，须证CD 垂直于过切点D 的半径，由此想到连结OD 。
证明：连结OD 。
∵AD ∥OC ，∴∠COB ＝∠A 及∠COD ＝∠ODA∵OA ＝OD ，∴∠ODA ＝∠OAD∴∠COB ＝∠COD∵CO 为公用边，OD ＝OB∴△COB ≌△COD ，即∠B ＝∠ODC∵BC 是切线，AB 是直径，∴∠B ＝90°，∠ODC ＝90°，∴CD 是⊙O 的切线。
微专题十二 与圆的切线有关的计算与证明
微专题十二 与圆的切线有关的计算与证明[见学用《高分作业》PA48]类型一 与切线的性质有关的计算或证明【经典母题】如图Z12－1，⊙O 的切线PC 交直径AB 的延长线于点P ，C 为切点，若∠P ＝30°，⊙O 的半径为1，则PB 的长为__1__．图Z12－1 经典母题答图【解析】 如答图，连结OC .∵PC 为⊙O 的切线，∴∠PCO ＝90°，在Rt △OCP 中，∵OC ＝1，∠P ＝30°，∴OP ＝2OC ＝2，∴PB ＝OP －OB ＝2－1＝1. 【思想方法】 (1)已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径；(2)已知圆的切线，常作过切点的半径，得到切线与半径垂直．【中考变形】[2018·黄冈]如图Z12－2，AD 是⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦，OP ⊥AD ，OP 与AB 的延长线交于点P ，过B 点的切线交OP 于点C .(1)求证：∠CBP ＝∠D ；(2)若OA ＝2，AB ＝1，求线段BP 的长．图Z12－2 中考变形答图解：(1)证明：如答图，连结OB ，∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ABD ＝90°，∴∠A ＋∠D ＝90°，∵BC 为切线，∴OB ⊥BC ，∴∠OBC ＝90°，∴∠OBA ＋∠CBP ＝90°，而OA ＝OB ，∴∠A ＝∠OBA ，∴∠CBP ＝∠D ；(2)∵OP ⊥AD ，∴∠POA ＝90°，∴∠P ＋∠A ＝90°，∵∠D ＋∠A ＝90°，∴∠P ＝∠D ，∴△AOP ∽△ABD ，∴AP AD ＝AO AB ，即1＋BP 4＝21，∴BP ＝7.【中考预测】[2018·白银]如图Z12－3，点O 是△ABC 的边AB 上一点，⊙O 与边AC 相切于点E ，与边BC ，AB 分别相交于点D ，F ，且DE ＝EF .(1)求证：∠C ＝90°；(2)当BC ＝3，sin A ＝35时，求AF 的长．图Z12－3 中考预测答图解：(1)证明：如答图，连结OE ，BE ，∵DE ＝EF ，∴DE ︵＝EF ︵，∴∠OBE ＝∠DBE ，∵OE ＝OB ，∴∠OEB ＝∠OBE ，∴∠OEB ＝∠DBE ，∴OE ∥BC ，∵⊙O 与边AC 相切于点E ，∴OE ⊥AC ，∴BC ⊥AC ，∴∠C ＝90°；(2)在△ABC ，∠C ＝90°，BC ＝3，sin A ＝35，∴AB ＝5，设⊙O 的半径为r ，则AO ＝5－r ，在Rt △AOE 中，sin A ＝OE OA ＝r 5－r＝35， ∴r ＝158，∴AF ＝5－2×158＝54.类型之二 与切线的判定有关的计算或证明【经典母题】已知：如图Z12－4，A 是⊙O 外一点，AO 的延长线交⊙O 于点C ，点B 在圆上，且AB ＝BC ，∠A ＝30°，求证：直线AB 是⊙O 的切线．图Z12－4 经典母题答图证明：如答图，连结OB ，∵OB ＝OC ，AB ＝BC ，∠A ＝30°，∴∠OBC ＝∠C ＝∠A ＝30°，∴∠AOB ＝∠C ＋∠OBC ＝60°.∵∠ABO ＝180°－(∠AOB ＋∠A )＝180°－(60°＋30°)＝90°，∴AB ⊥OB ，又∵OB 为⊙O 半径，∴AB 是⊙O 的切线． 【思想方法】 证明圆的切线常用两种方法“作半径，证垂直”或者“作垂直，证半径”．【中考变形】1．[2018·南充]如图Z12－5，C 是⊙O 上一点，点P 在直径AB 的延长线上，⊙O 的半径为3，PB ＝2，PC ＝4.(1)求证：PC 是⊙O 的切线；(2)求tan ∠CAB 的值．图Z12－5 中考变形1答图解：(1)证明：如答图，连结OC，BC，∵⊙O的半径为3，PB＝2，∴OC＝OB＝3，OP＝OB＋PB＝5，∵PC＝4，∴OC2＋PC2＝OP2，∴△OCP是直角三角形，∴OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线；(2)∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO＋∠OCB＝90°，∵OC⊥PC，∴∠BCP＋∠OCB＝90°，∴∠BCP＝∠ACO，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠A＝∠BCP，在△PBC和△PCA中，∠BCP＝∠A，∠P＝∠P，∴△PBC∽△PCA，∴BCAC＝PBPC＝24＝12，∴tan∠CAB＝BCAC＝12.2．[2018·郴州]如图Z12－6，已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°.(1)求证：直线AD是⊙O的切线；(2)若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长．图Z12－6 中考变形2答图解：(1)证明：如答图，连结AO，∵∠AEC＝30°，∴∠ABC＝30°，∵AB＝AD，∴∠D＝∠ABC＝30°，根据三角形的内角和定理得，∠BAD＝120°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠ABC＝30°，∴∠OAD＝∠BAD－∠OAB＝90°，∴OA⊥AD，∵点A在⊙O上，∴直线AD是⊙O的切线；(2)∵∠AEC＝30°，∴∠AOC＝60°，∵BC⊥AE于M，∴AE＝2AM，∠OMA＝90°，在Rt△AOM中，AM＝OA·sin∠AOM＝4×sin60°＝23，∴AE＝2AM＝4 3.【中考预测】如图Z12－7，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠A＝2∠BCD，点E 在AB的延长线上，∠AED＝∠ABC.(1)求证：DE与⊙O相切；(2)若BF＝2，DF＝10，求⊙O的半径．图Z12－7 中考预测答图解：(1)证明：如答图，连结OD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A＋∠ABC＝90°，∵∠BOD＝2∠BCD，∠A＝2∠BCD，∴∠BOD＝∠A，∵∠AED＝∠ABC，∴∠BOD＋∠AED＝90°，∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE，∴DE与⊙O相切；(2)如答图，连结BD，过点D作DH⊥BF于点H.∵DE与⊙O相切，∴∠ACD＋∠BCD＝∠ODB＋∠BDE＝90°，∵∠ACD＝∠OBD，∠OBD＝∠ODB，∴∠BDE＝∠BCD，∵∠AED＝∠ABC，∴∠AFC＝∠DBF，∵∠AFC＝∠DFB，∴△ACF与△FDB都是等腰三角形，∴FH＝BH＝12BF＝1，∴HD＝DF2－FH2＝3，在Rt△ODH中，OH2＋DH2＝OD2，即(OD－1)2＋32＝OD2，∴OD＝5.即⊙O的半径是5.。
圆的切线性质题 2024高考数学题目及答案
圆的切线性质题 2024高考数学题目及答案
题目：
已知圆O的半径为r，点A在圆上，且AO的长度为3r。
过点A作
圆O的切线，切线与AO的交点为点B。
若AC是圆O的直径，求证：∠ABC = 90°。
解析：
为了证明∠ABC = 90°，我们可以通过几何方法来推导。
首先，连接OB。
由于AB是圆O的切线，根据切线与半径的关系
可知∠OAB = 90°。
因此，三角形OAB是直角三角形。
另一方面，AC是圆O的直径，所以∠OAC = 90°。
根据直径的性质，直径所对的两个角是直角。
由于∠OAB = 90°，且∠OAC = 90°，所以∠OAB = ∠OAC。
根据
等角定理可知，∠ABC = ∠OAB + ∠OAC = ∠OAB + ∠OAB =
2∠OAB = 2 × 90° = 180°。
因为∠ABC = 180°，所以∠ABC是一个平角。
而在平面几何中，平角是不存在的。
所以，我们推断∠ABC只能是90°。
因此，已证明∠ABC = 90°。
答案：已证明∠ABC = 90°。
人教版九年级数学上册作业课件 第二十四章 圆 专题训练(十三) 与圆的切线有关的计算与证明
第二十四章 圆
专题训练(十三) 与圆的切线有关的计算与证明
类型1 已知圆的切线，求角的度数或线段长 1．(山西中考)如图，四边形OABC是平行四边形，以点O为圆心，OC 为半径的⊙O与AB相切于点B，与AO相交于点D，AO的延长线交⊙O于 点E，连接EB交OC于点F.求∠C和∠E的度数．
解：连接 OB，∵⊙O 与 AB 相切于点 B，∴OB⊥AB，∵四边形 ABCO 为平行四边形，∴AB∥OC，OA∥BC，∴OB⊥OC，∴∠BOC＝90°， ∵OB＝OC，∴△OCB 为等腰直角三角形，∴∠C＝∠OBC＝45°，∵
则点 D 为⊙M 与 x 轴的切点，即 PM＝MD，设 P(x，－34 x2＋94 x＋3)， M(x，－34 x＋3)，则 PD＝－34 x2＋49 x＋3，MD＝－34 x＋3，∴(－43 x2 ＋49 x＋3)－(－34 x＋3)＝－34 x＋3，解得 x1＝1，x2＝4(不合题意舍去)， ∴⊙M 的半径为 MD＝－43 ＋3＝94 ；当⊙M 与 y 轴相切时，如图②所示， 延长 PM 交 AB 于点 D，过点 M 作 ME⊥y 轴于点 E，则点 E 为⊙M 与 y 轴的切点，即 PM＝ME，PD－MD＝EM＝x，
6．(天水中考)如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D. 过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC，AB的延长线交于点F.
(1)求证：PC是⊙O的切线； (2)若∠ABC＝60°，AB＝10，求线段CF的长．
解：(1)证明：连接OC，∵OD⊥AC，OD经过圆心O，∴AD＝CD， ∴PA＝PC，∵OP＝OP，∴△OAP≌△OCP(SSS)，∴∠OCP＝∠OAP， ∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°.∴∠OCP＝90°，即OC⊥PC， ∴PC是⊙O的切线
圆的切线的性质与证明
中考数学专题训练（附详解）圆的切线性质与证明二、方法的剖析与提炼例1.如图，ABAC分别是。
0的切线和割线，且/C=45 ,Z BDA=60 , CD= ,6，则切线AB的长是【解析】（根据切线AB和/ C=45得弦切角/ AB[=45° ,这样在AA BD中就有两个特殊角分别是45度和60度，然后过点A作AM L BD得两个特殊三角形即等腰直角三角形和含30度的直角三角形，这样特殊三角形的三边关系，在设AB=x时，其它边AD和AC就可以用x的代数式表示出来，最后带人切割线定理得到的等式AB=AD?A（就可得到方程，最后求方程解得AB的长度。
）【解答】解：过点A作AM L BD与点M••• AB为圆0的切线•••/ ABD MC=45vZ BDA=60 •••/ BAD=75，/ DAM=30，/ BAM=45设AB=,则碍在直角△ AM中, AD=牛由切割线定理得：AB=AD?AC知刊申+解得：x i=6, X2=0 （舍去）故AB=6故答案是：6【解法】过点A作AM L BD与点M,在直角△ AMD中,AD就可以利用AB表示出来，然后依据切割线定理，即可得到一个关于AB的方程, 即可求解。
【解释】在几何中求线段的长或角度的具体度数，往往会采用方程思想，体现数学中重要的数形结合思想。
故本题就采用了其中的常用方法方程思想，那么就需设未知数，抓住题意构造等式，而本题构造等式的突破口就是想到切割线定理，然后想办法利用题目中剩余的条件，把该等式中的相关量都用未知数的代数式表示好，并代入得方程就可解决本题。
例 2.（2020 贺州）如图,AB,BC,CD分别与O O 相切于E,F,G.且AB//CD.BO=6cm, CO=8cm.GD中考数学专题训练(附详解)(1)求证：B0丄CQ(2)求BE和CG的长.【解析】(1)由题目中的AB//CD得/ABC+Z BCD=180，再结合题目条件根据切线长定理得B0平分/ ABC, CO平分/ DCB然后根据角平分线的性质易得/ OBC+Z OCB=9C P,从而得到Z BOC=90,所以BOX CO.(2)根据切线长定理得BE=BF,GC=(再结合第(1)题的结论得RT A BCQ把切点和圆心O 相连，易证RT A BOF^ RT A BCO相似，根据相似三角形对应边成比例求得BF的长,即BE的长.CG的长可由BC-BF得至鷹【解答】(1)证明：：AB / CD•••Z ABC+Z BCD=180o• Z BOC=90, • BO X CO.(2)解：连接OF,贝U OF X BC,oo• BF=3. 6cm, CG=CF=6 4cm.【解法】利用平行线和角平分线的性质完成第(1)题的证明，利用直角三角形的勾股定理和相似三角形对应边成比例的性质完成求解。
2020中考数学 冲刺专题：圆切线的相关证明与计算
2020中考数学冲刺专题：圆切线的相关证明与计算1. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD.过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P.第1题图(1)求证：PD是⊙O的切线；(2)求证：△PBD∽△DCA；(3)当AB＝6，AC＝8时，求线段PB的长．(1)证明：如解图，连接OD，∵圆心O在BC上，∴BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，第1题解图∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠DAC.∵∠DOC＝2∠DAC，∴∠DOC＝∠BAC＝90°，即OD⊥BC.∵PD∥BC，∴OD ⊥PD .又∵OD 是⊙O 的半径， ∴PD 是⊙O 的切线； (2)证明：∵PD ∥BC ， ∴∠P ＝∠ABC . 又∵∠ABC ＝∠ADC ， ∴∠P ＝∠ADC .∵∠PBD ＋∠ABD ＝180°，∠ACD ＋∠ABD ＝180°， ∴∠PBD ＝∠ACD ， ∴△PBD ∽△DCA ；(3)解：∵△ABC 是直角三角形， ∴BC 2＝AB 2＋AC 2＝62＋82＝100， ∴BC ＝10.∵OD 垂直平分BC ， ∴DB ＝DC .∵BC 是⊙O 的直径， ∴∠BDC ＝90°.∵在Rt △DBC 中，DB 2＋DC 2＝BC 2，即2DC 2＝BC 2＝100， ∴DC ＝DB ＝5 2. ∵△PBD ∽△DCA ， ∴PB DC ＝BD CA ，∴PB ＝DC ·BD CA ＝52·528＝254.2．如图，点A在⊙O上，点P是⊙O外一点，P A与⊙O相切于点A，连接OP交⊙O 于点D，作AB⊥OP于点C，交⊙O于点B，连接PB.第2题图(1)求证：PB是⊙O的切线；(2)若PC＝9，AB＝63，求图中阴影部分的面积．(1)证明：连接OB，∵OP⊥AB，∴AC＝BC，∴OP垂直平分AB，∴AP＝BP，又∵OA＝OB，OP＝OP，第2题解图∴△APO≌△BPO(SSS)，∵P A切⊙O于点A，∴AP⊥OA，∴∠P AO＝90°，∴∠PBO＝∠P AO＝90°，∴OB ⊥BP ， 又∵点B 在⊙O 上， ∴PB 与⊙O 相切于点B ；(2)解：∵OP ⊥AB ，OP 经过圆心O ， ∴BC ＝12AB ＝33， ∵∠PBO ＝∠BCO ＝90°，∴∠PBC ＋∠OBC ＝∠OBC ＋∠BOC ＝90°， ∴∠PBC ＝∠BOC ， ∵∠PCB ＝∠BCO ＝90°， ∴△PBC ∽△BOC ， ∴BC OC ＝PC BC ，∴OC ＝BC ·BC PC ＝33×339＝3， ∴在Rt △OCB 中，OB ＝OC 2＋BC 2＝6，tan ∠COB ＝BCOC ＝3，∴∠COB ＝60°，PB ＝OP ·sin60°＝63,∴S △OPB ＝12PB ·BO ＝183，S 扇形DOB ＝6036360 g ＝6π，∴S 阴影＝S △OPB －S 扇形DOB ＝183－6π.3.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，∠A ＝2∠BCD ，点E 在AB 的延长线上，∠AED ＝∠ABC . (1)求证：DE 与⊙O 相切；(2)若BF ＝2，DF ＝10，求⊙O 的半径．第3题图(1)证明：如解图，连接DO，∴∠BOD＝2∠BCD=∠A，∵∠DEA＝∠CBA，第3题解图∴∠DEA+∠DOE＝∠CAB+∠CBA，∵∠ACB＝90°,∴OD⊥DE，又∵OD为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；(2)解：如解图，连接BD，可得△FBD∽△DBO,BD DF BF==，BO OD BD∴BD=DF10∴OB=5.4．如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，连接CO并延长，交⊙O于点D、E，连接AD并延长，交BC于点F，连接BD、BE.第4题图(1)试判断∠CBD 与∠CEB 是否相等，并证明你的结论； (2)求证：BD BE ＝CDBC ；(3)若BC ＝2AB ，求tan ∠CDF 的值． (1)解：∠CBD ＝∠CEB ，证明如下： ∵AB 是⊙O 的直径，BC 切⊙O 于点B ， ∴∠CBD ＝90°－∠OBD ，又∵DE 过⊙O 的圆心，∴∠DBE ＝90°，OB ＝OD ， ∴∠CEB ＝90°－∠ODB ，∠ODB ＝∠OBD ， ∴∠CBD ＝∠CEB ；(2)证明：∵在△CBD 和△CEB 中， ∵∠CBD ＝∠CEB ，∠C ＝∠C ， ∴△CBD ∽△CEB ，∴BD BE ＝CD BC ； (3)解：∵BC ＝2AB ，OB ＝12AB ， ∴在Rt △OBC 中，OC ＝32AB ，∴CD ＝OC －OD ＝AB ，∵DE 是⊙O 的直径， ∴∠DBE ＝90°，∵∠CDF ＝∠ADE ＝∠ABE ＝∠BED ，∴tan ∠CDF ＝tan ∠BED ＝BD BE ＝CD BC ＝AB 2AB ＝22.5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，点E在⊙O 上，CE＝CA，AB和CE的延长线交于点F.(1)求证：CE与⊙O相切；(2)若⊙O的半径为3，EF＝4，求BD的长．第5题图(1)证明：如解图，连接OE，OC，第5题解图∵OA＝OE，CE＝CA，OC共用，∴△OEC≌△OAC(SSS)，∴∠OEC＝∠A＝90°，∵OE是⊙O的半径，∴CE与⊙O相切；(2)解：在Rt△OEF中，OE＝3，EF＝4，∴OF＝OE2＋EF2＝5，∴AF＝8，在Rt△ACF中，设AC＝x，则CF＝CE＋EF＝x＋4，∵AF2＋AC2＝CF2，∴82＋x2＝(x＋4)2，解得x ＝6，则AC ＝6，在Rt △ABC 中，AB ＝6，AC ＝6， ∴BC ＝62，如解图，连接AD ，则AD ⊥BC ， ∴BD ＝12BC ＝3 2.6．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，点E 是AC 的中点，OE 交CD 于点F .(1)若∠BCD ＝36°，BC ＝10，求BD ︵的长； (2)判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由．第6题图(1)解：如解图，连接OD ，∵∠BCD ＝36°， ∴∠BOD ＝2∠BCD ＝2×36°＝72°， ∵BC 是⊙O 的直径，且BC ＝10， ∴l BD ︵＝72π×5180＝2π；第6题解图(2)解：DE 是⊙O 的切线．理由如下： ∵BC 是⊙O 的直径，∴∠ADC ＝180°－∠BDC ＝90°， 又∵点E 是线段AC 的中点， ∴DE ＝AE ＝EC ＝12AC ， 在△DOE 与△COE 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧OD ＝OC OE ＝OE DE ＝CE ， ∴△DOE ≌△COE ， ∵∠ACB ＝90°，∴∠ODE ＝∠OCE ＝90°， ∵OD 是⊙O 的半径， ∴DE 是⊙O 的切线．7.如图，⊙O 的半径OC 垂直弦AB 于点H ，连接BC ，过点A 作弦AE ∥BC ，过点C 作CD ∥BA 交EA 延长线于点D ，延长CO 交AE 于点F . (1)求证：CD 为⊙O 的切线； (2)若BC ＝10，AB ＝16，求OF 的长．第7题图（1）证明：∵OC ⊥AB ，AB ∥CD ， ∴OC ⊥DC ， ∵OC 是⊙O 的半径， ∴CD 是⊙O 的切线； (2)解：如解图，连接BO .设OB ＝x ，∵AB ＝16，OC ⊥AB ， ∴HA ＝BH ＝8， ∵BC ＝10，∴CH ＝6， ∴OH ＝x －6. 在Rt △BHO 中， ∵OH 2＋BH 2＝OB 2，∴(x －6)2＋82＝x 2，解得x ＝253， ∵CB ∥AE ，∴∠CBH ＝∠F AH ， 在△CHB 和△FHA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠CBH ＝∠F AH ∠CHB ＝∠FHA BH ＝AH， ∴△CHB ≌△FHA ，∴CH ＝HF ， ∴CF ＝2CH ＝12，∴OF ＝CF －OC ＝12－253＝113.第7题解图8.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，E 是AC 的中点，OE 交CD 于点F .(1)若∠BCD ＝36°，BC ＝10，求BD ︵的长；(2)判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(3)求证：2CE 2＝AB ·EF.第8题图(1)解：如解图，连接OD ，∵∠BCD ＝36°，∴∠BOD ＝2∠BCD ＝2×36°＝72°， ∵BC 是⊙O 的直径，且BC ＝10，∴l BD ︵＝72π×5180＝2π.第8题解图(2)解：DE 是⊙O 的切线；理由如下：∵BC 是⊙O 的直径，∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°，又∵点E 是线段AC 的中点，∴DE ＝AE ＝EC ＝12AC ，在△DOE 与△COE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧OD ＝OC OE ＝OE DE ＝CE，∴△DOE ≌△COE ； ∵∠ACB ＝90°，∴∠ODE ＝∠OCE ＝90°， ∵OD 是⊙O 的半径，∴DE 是⊙O 的切线；(3)证明：∵△DOE ≌△COE ，∴OE 是线段CD 的垂直平分线，DE ＝CE ， ∴点F 是线段CD 的中点，∵点E 是线段AC 的中点，则EF ＝12AD ，在△ACD 与△ABC 中，⎩⎨⎧∠CAD ＝∠BAC ∠ADC ＝∠ACB， ∴△ACD ∽△ABC ，则AC AB ＝AD AC ，即AC 2＝AB ·AD ，而AC ＝2CE ，AD ＝2EF ， ∴(2CE )2＝AB ·2EF ，即4CE 2＝AB ·2EF ，∴2CE 2＝AB ·EF .。
圆的切线专题证明题
1、.已知：如图，CB是⊙O的直径,BP是和⊙O相切于点B的切线,⊙O的弦AC平行于OP．(1)求证:AP是⊙O的切线．(2)若∠P=60°,PB=2cm，求AC．2、⊿ABC中,AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于D，D E⊥AC于E。
求证:DE为⊙O的切线3、、如图,AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于D,作D E⊥BC于E.（1）求证：DE为⊙O的切线（2）作DG⊥AB交⊙O于G，垂足为F，∠A=30°。
AB=8，求DG的长4、如图，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，CE=BE，E在BC上. 求证：PE是⊙O的切线．APOB5、如图，D是⊙O的直径CA延长线上一点,点B在⊙O上，且AB＝AD＝AO．求证：BD是⊙O的切线；6．如图，在中，，以为直径的分别交、于点、，点在的延长线上，且求证：直线是⊙0的切线；7、如图9，直线n切⊙O于A，点P为直线n上的一点，直线PO交⊙O于C、B,D在线段AP上，连接DB，且AD=DB.（1)判断DB与⊙O的位置关系，并说明理由。
（2）若AD=1，PB=BO，求弦AC的长8、如图10，⊙O直径AB=4，P在AB的延长线上，过P作⊙O切线，切点为C，连接AC。
(1）若∠CPA=30°，求PC的长(2）若P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交AC于点M，你认为∠CMP 的大小是否发生变化？若变化，请说明理由;若不变化，求出∠CMP的值。
9．如图,MN为⊙O的切线，A为切点，过点A作AP⊥MN,交⊙O的弦BC于点P。
若PA=2cm，PB=5cm，PC=3cm，求⊙O的直径．10．已知：如图,同心圆O，大圆的弦AB=CD，且AB是小圆的切线，切点为E．求证：CD是小圆的切线．11、如图,AB为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，FB是⊙O的切线交AD的延长线于点F. （1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE=3,⊙O的半径为5，求BF的长。
初二圆切线练习题
初二圆切线练习题在初二数学学习中，圆和切线是一个重要的概念。
理解圆与切线的关系对于解决相关的练习题至关重要。
本文将介绍一些初二圆切线的练习题，希望能够帮助同学们巩固并提高自己的数学能力。
1. 题目一：已知一条圆的半径为5cm，切线与圆的交点到圆心的距离为4cm，求切线的长度。
解答：根据题目描述，我们可以画出一个示意图。
假设圆心为O，切点为A，切线上的一点为B。
连接OB，OA，OB与切线的交点为C。
由于OC与切线垂直，所以OC是切线的高。
我们可以利用勾股定理来求解该题。
根据题目中的信息，可得到以下关系式：OA² = OC² + AC²OA² = OC² + (AO - OC)²OA² = OC² + AO² - 2AO×OC + OC²OA² = 2OC² - 2AO×OC + AO²又因为OC是切线的高，所以OC = 4cm。
将OC替代为4，即可得到：OA² = 2×4² - 2×5×4 + 5²OA² = 32 - 40 + 25OA² = 17因此，OA = √17，切线的长度为√17cm。
2. 题目二：已知A、B两点在圆的外部，并且切线AB与连线OA的夹角为60度，其中O为圆心，OA的长度为8cm，圆的半径为5cm。
求切线AB的长度。
解答：同样地，我们先画出一个示意图，其中圆心为O，切点为C，切线上的一点为D。
连接OC，OD，AD，BD。
根据题目中的信息，我们可以得到以下关系式：OD = OA - CDOD = 8 - OCOD = 8 - 5OD = 3从图中我们可以发现△ACO为等边三角形，所以∠OAC = ∠OCA= ∠AOC = 60度。
同理可得∠OCB = ∠OBC = ∠BOC = 60度。
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圆的切线证明与计算专题训练
1.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于E，B为切点的切线交OD 延长线于F.
求证：EF与⊙O相切.
2.如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.
求证：PA与⊙O相切.
3.如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于点D，DM⊥AC于M.
求证：DM与⊙O相切.
4.如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=30O，BD=OB，D在AB的延长线上.
求证：DC是⊙O的切线.
5.如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于点E.
求证：AC是⊙D的切线.
6.如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，点D是弧BC的中点，DP⊥AC，垂足为点P.
求证：PD是⊙O的切线.
7.已经⊙O中，AB是直径，过B点作⊙O的切线，连接CO，若AD//OC交⊙O于D.
求证：CD是⊙O的切线.
8.如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90O，弦BD=BA，AB=12，BC=5,BE⊥DC交DC的延长线与点E.
求证：BE是⊙O的切线.
9.如图，在△ABC中，∠C=90O，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点
D.
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BD=5，求AC的长.
10.如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O分别交CA，CB于点E，F，点G是AD的中点.
（1）求证：GE是⊙O的切线；
（2）若OC=5，CE=6，求AE的长.
11.如图，在Rt△ABC中，∠A的平分线交BC于D，E为AB上一点，DE=DC，以D为圆心，以DB的长为半径作圆.
（1）求证：AC是⊙D的切线；
（2）求证：AB+EB=AC.
12.如图，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于D，作DE⊥BC于E.
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）作DG⊥AB交⊙O于G，垂足为F，∠A=30O，AB=8，求DG的长.
13.如图，AB 为⊙O 的直径，D 、T 是圆上的两点，且AT 平分∠BAD ，过点T 作AD 的延长线的垂涎PQ ，
垂足为C.
（1）求证：PQ 是⊙O 的切线； （2）若⊙O 的半径为2，3=TC ，求弦AD 的长.
14.如图，割线ABC 与⊙O 相交与B 、C 两点，D 为⊙O 上一点，E 为弧BC 的中点，OE 交BC 于点F ，DE 交AC 于G ，∠ADG=∠AGD.
（1）求证：AD 是⊙O 的切线；
（2）若AB=2，AD=4,BC=6,EG=2，求⊙O 的半径.
15.如图，线段AB 经过圆心O ，交⊙O 于A 、C 两点，点D 在⊙O 上，∠A=∠B=30O . （1）求证：BD 是⊙O 的切线；
（2）若点N 在⊙O 上，且DN ⊥AB ，垂足为M ，NC=10,求AD 的长.
16.如图，A 是⊙O 上一点，半径OC 的延长线与过点A 的直线交于B 点，OC=BC ，OB AC 2
1
=.
（1）求证：AB 是⊙O 的切线；
（2）若∠ACD=45O ，OC=2,求弦CD 的长.
17.如图，⊙O是△ABC的外接圆，P为圆外一点，PA//BC，且A为劣弧的中点，割线PBD过圆心，交⊙O于另一点D，连接CD.
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）当AB=13，BC=24时，求⊙O的半径及CD的长.
18.如图，在△ABC中，D是AB边上一点，⊙O过D、B、C三点，∠DOC=2∠ACD=90O.
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若∠ACB=75O，⊙O的半径为2，求BD的长.
19.如图，AB是⊙O直径，OD⊥BC与点F，且交⊙O于点E，若∠AEC=∠ODB.
（1）求证：直线BD与⊙O相切；
（2）当AB=10，BC=8时，求BD的长.
20.如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=30O，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，且∠ECF=∠E.
（1）求证：CF与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为1，且AC=CE，求MO的长.。