TSP问题的解决方案
tsp的名词解释
tsp的名词解释TSP，全称为Traveling Salesman Problem，即旅行推销员问题，是一种经典的组合优化问题。
它的提出源于实际销售业务中的需要，也是计算机科学与运筹学中重要的研究对象。
TSP的目标是，在给定一系列城市和计算城市之间的距离的情况下，找到一条最短路径，使得推销员能够访问每个城市一次，最后回到起始城市。
TSP的解决方法解决TSP问题的方法有很多，其中一种经典的方法是穷举法，也称为暴力搜索算法。
穷举法的思想是通过遍历所有可能的路径来寻找最优解。
然而，随着城市数量的增加，路径的组合呈指数级增长，使得穷举法的计算复杂度非常高。
因此，通常需要借助其他启发式算法和优化技术来求解。
除了穷举法，另一种常见的求解TSP的方法是基于贪婪算法的近似解法。
贪婪算法的思想是每次选择距离当前位置最近的未访问城市作为下一个目的地，直到所有城市都被访问过。
然而，贪婪算法只能得到一个较优解，而非最优解。
为了提高解的质量，可以结合其他优化技术，如局部搜索和模拟退火算法。
TSP的应用领域TSP在实际应用中有着广泛的应用领域，尤其在物流领域。
例如，快递员在派送货物时需要找到最佳路线，以节省时间和资源。
通过对TSP的研究和应用，可以帮助快递公司提高派送效率，减少成本。
除了物流领域，TSP也在其他领域中发挥着重要的作用。
在电路设计中，TSP 可以用于确定最佳元件的布局顺序，以减少信号传输的距离和延迟。
在生物学研究中，TSP被用于解决DNA测序的问题，以确定最佳的读取顺序。
此外，TSP还有在机器人路径规划、旅游规划等领域中的应用。
TSP的挑战和发展尽管TSP已经成为组合优化问题中的经典问题之一，但它仍然存在着许多挑战和待解决的问题。
随着数据规模的增大和实际问题的复杂性的增加，如何求解更大规模、更复杂的TSP问题仍然是一个挑战。
目前，学者们正在不断探索和研究改进TSP求解算法的方法，以提高求解效率和解的质量。
除了算法的改进，近年来，一些新的技术也被应用到TSP的求解中。
TSP问题的几种常用求解算法比较共3页
TSP问题的几种常用求解算法比较旅行商问题（Traveling Salesman Problem， TSP）是典型的组合优化问题，很多优化问题都可以直接或间接的转为为TSP问题，而且TSP问题已被证明具有NPC计算复杂性，有很大的求解难度，因此研究TSP问题的求解方法有着很大的实际意义。
本文旨在介绍求解TSP的几种常用解法，并结合实例比较这些算法的性能，为TSP的求解提供一些参考。
1 TSP问题描述TSP问题的数学表述为：一个有穷的城市集合C={C1，C2，…，Cm}，对于每一对城市Ci，Cj∈C有距离d（Ci，Cj）∈R+。
问：经过C中所有城市的旅行路线，记为序列，是否存在最小的正数B，对所有可能的序列都有2 TSP问题几种常用求解方法TSP问题有着很多求解算法，主要有。
2.1 贪婪算法贪婪算法[2]（Greedy algorithm）是求解大规模TSP问题的常用算法之一，是一种求解优化问题的简单、迅速的求解办法。
贪婪法有限考虑当前情况下最优的优化测度，自顶向下，逐步迭代，具有算法简单，耗时短的特点。
但贪婪算法的求解结果往往不是最优的，甚至可能与全局最优解间有不小的差距。
2.2 模拟退火算法模拟退火（Simulated Annealing，SA）算法是求解TSP问题的有效方法之一，容易编程实现，求解速度快。
模拟退火是一种全局优化算法，加入了随机状态模型，使算法以概率选择的方式逼近最优状态，其收敛性可以得到严格的理论证明。
模拟退火算法具有一整套完整的退火搜索计划，包括足够高的初始温度、缓慢的退火速度、大量的迭代次数及足够的概率扰动[3]。
2.3 遗传算法遗传算法（Genetic Algorithm，GA）是一种常用的智能算法，具有全局搜索能力，对TSP问题有良好的效果。
遗传算法是由Michigan大学的J.Holland教授于1975年提出，算法通常由编码、个体适应度评估和遗传运算三部分构成，其中遗传运算包括染色体复制、交叉、变异和倒位等[4]。
智能优化-TSP-旅行商问题
智能优化实验报告基于遗传算法的TSP问题求解研究一、问题描述1、TSP问题的概述旅行商问题 (Traveling Salesman Problem，简称 TSP) 是一个经典的组合化问题。
它可以描述为：一个商品推销员要去若干个城市推销商品，从一个城出发需要经过所有城市后回到出发地，应如何选择行进路线以使总行程短。
从图论的角度看，该问题实质是在一个带权完全无向图中找一个权值最的小回路。
在寻找最短路径问题上，有时不仅要知道两个指定顶点间的最短路径，还需要知道某个顶点到其他任意顶点间的最短路径。
旅行商问题也是经典的组合数学的问题，生活中随处可见这类组合数学问题。
例如，计算下列赛制下的总的比赛次数:n个球队比赛，每队只和其他队比赛一次。
在纸上画一个网络，用铅笔沿着网络的线路走，在笔不离开纸面且不重复线路的条件下，一笔画出网络图。
一个邮递员从邮局出发，要走完他所管辖的街道，他应该选择什么样的路径，这就是著名的“中国邮递员问题”。
一个通调网络怎样布局最节省?美国的贝尔实验室和IBM公司都有世界一流的组合数学家在研究这个问题，这个问题直接关系到巨大的经济利益。
库房和运输的管理也是典型的组合数学问题，怎样安排运输使得库房充分发挥作用，进一步来说，货物放在什么地方最便于存取。
上述的这些例子中，其中一部分就和旅行商问题有关系。
2、TSP问题研究意义解决旅行商问题有着极其重要的理论和现实意义。
从理论层面来讲，解TSP不仅为其他算法提供了思想方法平台，使这些算法广泛地应用于各种组合优化问题；而且经常被用来测试算法的优劣，如模拟退火算法、禁忌搜索、神经网络、进化算法等，都可用旅行商问题来测试。
从实际应用层面来讲，旅行商问题作为一个理想化的问题，尽管多数的研究成果不是为了直接的应用，但却被广泛地转化为许多组合优化问题，最直接的就是其在交通、物流和大规模生产中的应用。
3、TSP问题的解决TSP问题是诸多领域内出现的多种复杂问题的集中概括和简化形式。
邮递员问题最短路径的解法
邮递员问题最短路径的解法邮递员问题，又称旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP），是一个著名的组合优化问题。
它要求找到一条路径，使得邮递员从出发点出发，经过所有的城市且仅经过一次，最后回到出发点，同时路径长度最短。
由于邮递员问题是NP-hard问题，没有多项式时间的解法。
然而，存在一些启发式和近似算法可以在可接受的时间内找到较好的解决方案：1. 蛮力法：尝试所有可能的路径组合，计算每条路径的长度，最终选择最短路径作为解。
这种方法的时间复杂度为O(n!)，适用于较小规模的问题。
2. 最近邻算法：从一个起始点开始，每次选择离当前点最近的未访问过的城市作为下一个访问点，直到所有城市都被访问过，然后回到起始点。
该算法的时间复杂度为O(n^2)，虽然不能保证找到最优解，但是可以在较短的时间内找到较好的解。
3. 2-opt算法：先使用最近邻算法得到一个初始解，然后对路径进行优化。
2-opt算法通过不断交换路径中的两个边来减小路径的长度，直到没有可改进的交换。
该算法可以较快地优化路径，但无法保证找到全局最优解。
4. 遗传算法：使用进化计算的思想来解决TSP问题。
通过生成初始种群，交叉、变异等操作进行迭代优化，逐渐找到更好的路径。
遗传算法可以在较短时间内找到较好的解，但是无法保证找到最优解。
上述算法只是解决TSP问题的一部分方法，具体使用哪种方法取决于问题规模和时间要求。
对于较小规模的问题，可以使用蛮力法或者最近邻算法得到较好的解。
对于更大规模的问题，可以考虑使用启发式算法，如遗传算法等。
此外，还存在其他算法和优化技术用于处理TSP问题，根据具体情况选择合适的方法。
TSP的几种求解方法及其优缺点
TSP的几种求解方法及其优缺点一、什么是TSP问题旅行商问题，简称TSP，即给定n个城市和两两城市之间的距离，要求确定一条经过各城市当且仅当一次的最短路线。
其图论描述为：给定图G=（V，A），其中V为顶点集，A 为各顶点相互连接组成的边集，设D=（dij）是由顶点i和顶点j之间的距离所组成的距离矩阵，要求确定一条长度最短的Hamilton回路，即遍历所有顶点当且仅当一次的最短距离。
旅行商问题可分为如下两类：1）对称旅行商问题（dij=dji，Πi，j=1，2，3，⋯，n）；2）非对称旅行商问题（dij≠dji，ϖi，j=1，2，3，⋯，n）。
非对称旅行商问题较难求解，我们一般是探讨对称旅行商问题的求解。
若对于城市V={v1，v2，v3，⋯，v n}的一个访问顺序为T={t1，t2，t3，⋯，t i，⋯，t n}，其中t i∈V（i=1，2，3，⋯，n），且记t n+1=t1，则旅行商问题的数学模型为：minL=。
TSP是一个典型的组合优化问题，并且是一个NP完全难题，是诸多领域内出现的多种复杂问题的集中概括和简化形式，并且已成为各种启发式的搜索、优化算法的间接比较标准。
因此，快速、有效地解决TSP有着重要的理论价值和极高的实际应用价值。
二、主要求解方法基于TSP的问题特性，构造型算法成为最先开发的求解算法，如最近邻点、最近合并、最近插入、最远插入、最近添加、贪婪插入等。
但是，由于构造型算法优化质量较差，迄今为止已开发了许多性能较好的改进型搜索算法，主要有：1）模拟退火算法2）禁忌搜索算法3）Hopfield神经网络优化算法4）蚁群算法5）遗传算法6）混合优化策略2.1模拟退火算法方法1）编码选择：采用描述TSP解的最常用的一种策略——路径编码。
2）SA状态产生函数的设计：对于基于路径编码的SA状态产生函数操作，可将其设计为：①互换操作（SW AP）；②逆序操作（INV）；③插入操作（INS）。
3）SA状态接受函数的设计：min{1，exp（-△/t）}>random[0，1]准则是作为接受新状态的条件最常用的方案，其中△为新旧状态的目标值差，t为”温度”。
TSP问题的解决与实现讲解
TSP问题的解决与实现讲解1. 问题描述所谓TSP问题是指旅行家要旅行n个城市，要求各个城市经历且仅经历一次，并且要求所走的路程最短。
该问题又称为货郎担问题、邮递员问题、售货员问题，是图问题中最广为人知的问题。
2. 基本要求(1) 上网查找TSP问题的应用实例；(2) 分析求TSP问题的全局最优解的时间复杂度；(3) 设计一个求近似解的算法；(4) 分析算法的时间复杂度。
3. 提交报告课程设计报告提交内容包括：(1) 问题描述；(2) 需求分析；(3) 概要设计；(4) 详细设计；(5) 调试分析；(6) 使用说明；(7) 测试结果；(8) 附录（带注释的源程序）。
参见“数据结构课程设计概述.pdf”和“数据结构课程设计示例.pdf”。
指导教师（签字）：系主任（签字）：批准日期：2014年月日1．问题描述（1）题目要求旅行家要旅行n个城市，要求各个城市经历且仅经历一次，最终要回到出发的城市，求出最短路径。
用图论的术语来说，假如有一个图G=(V,E),其中V是顶点集，E是边集，设D=(d)是由ij顶点i和顶点j之间的距离所组成的距离矩阵。
TSP问题就是求出一条通过每个顶点且每个顶点只通过一次的具有最短距离的回路。
（2）基本要求a. 上网查找TSP 问题的应用实例；b. 分析求TSP 问题的全局最优解的时间复杂度；c. 设计一个求近似解的算法；d. 分析算法的时间复杂度。
（3）测试数据5个城市的TSP 问题：注：由于矩阵所表示的是两个城市之间的距离，所以该矩阵为对称矩阵路程矩阵如图所示：最短路径为v 0v 1v 4v 2v 32.需求分析（1）本程序用于求解n 个结点的最短哈密尔顿回路问题。
（2）程序运行后显示提示信息—“Please insert the number of cities:”，例如用户输入5，则表示结点n 的值为5；接下来程序输出提示信息—“Please insert the distance between one city and another:”，例如用户输入测试数据中给出的路程矩阵，表示任意两个城市之间的距离，比如第一个城市到第0个城市之间的距离为25。
TSP问题的几种解法对比
城市旅行问题之路程短摘要城市旅行问题即旅行商(TSP)问题，要从图G的所有周游路线中求取最小成本的周游路线，而从初始点出发的周游路线一共有(n-1)!条，即等于除初始结点外的n-1个结点的排列数，因此旅行商问题是一个排列问题。
排列问题比子集合的选择问题通常要难于求解得多，这是因为n个物体有n!种排列，只有子集合(n!>O( n2))。
通过枚举(n-1)!条周游路线，从中找出一条具有最小成本的周游路线的算法，其计算时间显然为O(n!)。
这种枚举法运算量相当庞大，随着城市数量呈指数增长。
为此，我们对比应用随机探索的模拟退火算法，线性规划和蚁群算法三种方法：模拟退火算法，利用物理退火达到平衡态时的统计思想，建立数学模型，编写该算法的MATLAB程序，进行求解，得出最短旅行的最短距离为422.13；对TSP的约束条件和目标函数编写LINGO程序，经过多次迭代，得出最短旅行的最短距离也为422.13；蚁群算法：基于自然界蚂蚁觅食的最短路径原理，建立模型，通过MATLAB程序，得出最短旅行距离为427.8971。
关键词模拟退火算法线性规划蚁群算法一．问题重述一个人要到30个不同的城市游玩，每两个城市i和j之间的距离为d ij，如何选择一条路径使得此人走遍所有城市后又回到起点，要求所走路径最短。
二.符号说明三．问题分析与处理便于我们说明和解决问题，先将题中给出的城市编号：表一30座城市的坐标3.1模拟退火方法这是一个典型的TSP组合优化问题[1]，并且是一个N-P难问题。
传统的解决此类问题的方法包括：分枝定界法、线性规划法和动态规划法等等。
随着人工智能的发展，一些智能优化的算法逐渐产生，这其中模拟退火算法因具有高效、稳定、通用、灵活的优点备受专家和学者的青睐。
将模拟退火算法引入STP问题求解，可以有效的避免在求解过程中陷入局部最优。
下面就是我们用模拟退火算法具体解决这个问题。
算法设计步骤：（1）问题的解空间和初始值城市旅行问题的解空间S 是遍访36个城市恰好一次的所有回路，是所有城市排列的集合。
蚁群算法（ACO）解决TSP问题
蚁群算法（ACO）解决TSP问题⼀、蚁群算法1.基本原理蚁群算法（Ant Colony Optimization，ACO）是⼀种基于种群寻优的启发式搜索算法，有意⼤利学者M.Dorigo等⼈于1991年⾸先提出。
该算法受到⾃然界真实蚁群集体在觅⾷过程中⾏为的启发，利⽤真实蚁群通过个体间的信息传递、搜索从蚁⽳到⾷物间的最短路径等集体寻优特征，来解决⼀些离散系统优化中的困难问题。
经过观察发现，蚂蚁在寻找⾷物的过程中，会在它所经过的路径上留下⼀种被称为信息素的化学物质，信息素能够沉积在路径上，并且随着时间逐步挥发。
在蚂蚁的觅⾷过程中，同⼀蚁群中的其他蚂蚁能够感知到这种物质的存在及其强度，后续的蚂蚁会根据信息素浓度的⾼低来选择⾃⼰的⾏动⽅向，蚂蚁总会倾向于向信息素浓度⾼的⽅向⾏进，⽽蚂蚁在⾏进过程中留下的信息素⼜会对原有的信息素浓度予以加强，因此，经过蚂蚁越多的路径上的信息素浓度会越强，⽽后续的蚂蚁选择该路径的可能性就越⼤。
通常在单位时间内，越短的路径会被越多的蚂蚁所访问，该路径上的信息素强度也越来越强，因此，后续的蚂蚁选择该短路径的概率也就越⼤。
经过⼀段时间的搜索后，所有的蚂蚁都将选择这条最短的路径，也就是说，当蚁巢与⾷物之间存在多条路径时，整个蚁群能够通过搜索蚂蚁个体留下的信息素痕迹，寻找到蚁巢和⾷物之间的最短路径。
蚁群算法中，蚂蚁个体作为每⼀个优化问题的可⾏解。
⾸先随机⽣成初始种群，包括确定解的个数、信息素挥发系数、构造解的结构等。
然后构造蚁群算法所特有的信息素矩阵每只妈蚁执⾏蚂蚊移动算⼦后，对整个群体的蚂蚁做⼀评价，记录最优的蚂蚁。
之后算法根据信息素更新算⼦更新信息素矩阵，⾄此种群的⼀次选代过程完成。
整个蚂蚁群体执⾏⼀定次数的选代后退出循环、输出最优解。
2.术语介绍（1）蚂蚁个体。
每只蚂蚁称为⼀个单独的个体，在算法中作为⼀个问题的解。
（2）蚂蚁群体。
⼀定数量的蚂蚁个体组合在⼀起构成⼀个群体，蚂蚁是群体的基本单位。
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《算法设计与分析》实验报告一
学号：姓名：
日期：20161230 得分：
一、实验内容：
TSP问题
二、所用算法的基本思想及复杂度分析：
1、蛮力法
1）基本思想
借助矩阵把问题转换为矩阵中点的求解。
首先构造距离矩阵，任意节点到自身节点的距离为无穷大。
在第一行找到最小项a[1][j]，从而跳转到第j行，再找到最小值a[j][k]，再到第k行进行查找。
然后构造各行允许数组row[n]={1,1…1}，各列允许数组colable[n]={0,1,1….1}，其中1表示允许访问，即该节点未被访问；0表示不允许访问，即该节点已经被访问。
如果改行或该列不允许访问，跳过该点访问下一节点。
程序再发问最后一个节点前，所访问的行中至少有1个允许访问的节点，依次访问这些节点找到最小的即可；在访问最后一个节点后，再次访问，会返回k=0，即实现访问源节点，得出一条简单回路。
2）复杂度分析
基本语句是访问下一个行列中最小的点，主要操作是求平方，假设有n个点，则计算的次
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数为n^2-n。
T(n)=n*(n-1)=O(n^2)。
2、动态规划法
1）基本思想
假设从顶点s出发，令d(i, V’)表示从顶点i出发经过V’(是一个点的集合)中各个顶点一次且仅一次，最后回到出发点s的最短路径长度。
推导：(分情况来讨论)
①当V’为空集，那么d(i, V’)，表示从i不经过任何点就回到s了，如上图的城市3->城市0(0
为起点城市)。
此时d(i, V’)=Cis(就是城市i 到城市s 的距离)、
②如果V’不为空，那么就是对子问题的最优求解。
你必须在V’这个城市集合中，尝试每一个，
并求出最优解。
d(i, V’)=min{Cik +d(k, V’-{k})}
注：Cik表示你选择的城市和城市i的距离，d(k, V’-{k})是一个子问题。
综上所述，TSP问题的动态规划方程就出来了：
2）复杂度分析
和蛮力法相比，动态规划求解tsp问题，把原来时间复杂性O（n！）的排列转化为组合问题，从而降低了时间复杂度，但仍需要指数时间。
3、回溯法
1）基本思想
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确定了解空间的组织结构后，回溯法从开始结点（根结点）出发，以深度优先方式搜索整个解空间。
这个开始结点成为活结点，同时也成为当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。
这个新结点即成为新的活结点，并为当前扩展结点。
如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。
此时，应往回移动（回溯）至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点。
回溯法以这种工作方式递归地在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已无活结点时为止。
回溯法求解TSP问题，首先把所有的顶点的访问标志初始化为0，然后在解空间树中从根节点出发开始搜索，如果从根节点到当前结点对应一个部分解，即满足上述约束条件，则在当前结点处选择第一棵子树继续搜索，否则，对当前子树的兄弟结点进行搜索，如果当前结点的所有子树都已尝试过并且发生冲突，则回溯到当前结点的父节点。
采用邻接矩阵mp[n][n]存储顶点之间边的情况，为避免在函数间传递参数，将数组mp设置为全局变量，设数组x[n]表示哈密顿回路经过的顶点。
2）复杂度分析
在哈密顿回路的可能解中，考虑到约束条件xi!=xj(1<=I,j<=n,i!=j),则可能解应该是（1,2,…,n）的一个排列，对应的解空间树种至少有n!个叶子结点，每个叶子结点代表一种可能解。
当找到可行的最优解时，算法停止。
根据递归条件不同时间复杂度也会不同，这里为O（n！）。
4、分支限界法
1）基本思想
分支界限法以广度优先或以最小耗费（最大效益）优势的方式搜索问题的解空间树。
问题的解空间树是表示问题解空间的一棵有序树，常见的有子集树和排列树。
在搜索问题的解空间树时，分支界限法与回溯法的主要区别在于他们对当前扩展结点所采用的扩展方
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式不同。
在分支界限法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。
活结点一旦成为扩
展结点，就一次性产生其所有儿子结点。
在这些儿子结点中，导致不可行解或导致非最优
解得儿子结点被舍弃，其余儿子结点被加入活结点表中。
算法开始时创建一个最小堆，用
于表示活结点优先队列。
堆中每个结点的子树费用的下界lcost值是优先队列的优先级。
接
着算法计算出图中每个顶点的最小费用出边并用minout记录。
如果所给的有向图中某个顶
点没有出边，则该图不可能有回路，算法即告结束。
如果每个顶点都有出边，则根据计算
出的minout作算法初始化。
2）复杂度分析
目标函数（限界函数），lb分为三部分，第一部分是经过路径的长度相加的2倍，加上第二部分离着路径首尾节点最近的距离相加（不在已知路径上的），加上第三部分除了路径
上节点，矩阵中两个最短的距离相加，最后这三部分和相加，得到的结果除以2便是每个
节点的限界值。
由于限界函数的不同，下界为O（n），上界为O（2^n）,智力特定指出。
三、源程序及注释：
1、蛮力法
int main()
{
int i,j,s=0;
int **a;
printf("输入节点个数：\n");
scanf("%d",&n);
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printf("输入%d维对称矩阵：\n",n);
colable=(int*)malloc((sizeof(int))*n);
colable[0]=0;
//对各列允许矩阵进行赋值
for(i=1;i<n;i++)
{
colable[i]=1;
}
row=(int *)malloc((sizeof(int))*n);
for(i=0;i<n;i++)
{
row[i]=1;
}
a=(int **)malloc((sizeof(int*))*n);
for(i=0;i<n;i++)
{
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a[i]=(int *)malloc((sizeof(int*))*n);
}
for(i=0;i<n;i++)
{
for(j=0;j<n;j++)
{
scanf("%d",&a[i][j])'
}
}
i=0;
while(row[i]==1)
{
j=min(a[i]);
row[i]=0;
colable[j]=0;
printf("访问路径：\n");
printf("\t%d-->%d\n",i,j);
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s=s+a[i][j];
i=j;
}
printf("最短总距离为：%d\n",s);
}
int min(int *a)
{
int j=0,m=a[0],k=0;
while(colable[j]==0||row[j]==0)
{
j++;
m=a[j];
}//求最短距离
for(;j<n;j++)
{
if(colable[j]==1&&row[j]==1)//节点没有被访问
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{
if(m>=a[j])
{
m=a[j];//m始终保持最短距离
k=j;
}
}
}
return k;
}
2、动态规划法
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四、运行输出结果：
（1）蛮力法
（2）动态规划法
（3）回朔法
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（4）分支限界
五、调试和运行程序过程中产生的问题、采取的措施及获得的相关经验教训：
TSP问题在很多地方都可以运用到，并且好多问题都是由TSP问题延伸和发展的，也可以称之为TSP 问题，不过其思路大致相似，于是我们可以运用已学过的算法对其进行解决。
我在学习算法课以前的TSP问题大都用动态规划以及回溯法，究其时间复杂度以及代码的复杂度比较低，思路比较清晰，在解
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决此类延伸问题时容易调试和修改。
学完算法后最有感触的一点就是，算法的精髓并不在于其方式方法，而在于其思想思路。
有了算法的思想，那么潜移默化中问题就可以得到解决
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