粤教版必修二3.2万有引力的应用(1)导学案
粤教版高中物理必修二 3.2 万有引力定律的应用-学案设计
万有引力定律的应用【学习目标】1．会计算天体的质量。
2．会计算人造卫星的环绕速度。
3．知道第二宇宙速度和第三宇宙速度。
【学习重难点】1．根据已有条件求天体的质量和人造卫星的应用。
2．会用已知条件求中心天体的质量。
【学习过程】一、天体质量的计算提出问题引导学生思考：在天文学上，天体的质量无法直接测量，能否利用万有引定律和前面学过的知识找到计算天体质量的方法呢？ 1．基本思路：在研究天体的运动问题中，我们近似地把一个天体绕另一个天体的运动看作匀速圆周运动，万有引力提供天体作圆周运动的向心力。
2．计算表达式：例如：已知某一行星到太阳的距离为r，公转周期为T，太阳质量为多少？分析：设太阳质量为M，行星质量为m，由万有引力提供行星公转的向心力得：分析：应选定一颗绕地球转动的卫星，测定卫星的轨道半径和周期，利用上式求出地球质量。
因此上式是用测定环绕天体的轨道半径和周期方法测被环绕天体的质量，不能测环绕天体自身质量。
对于一个天体，M是一个定值。
所以，绕太阳做圆周运动的行星都有32rKT即开普勒第三定律。
应用万有引力定律计算天体质量的基本思路是：根据行星（或卫星）运动的情况，求出行星（或卫星）的向心力。
二、预测未知天体：利用教材和动画模型，讲述自1781年天王星的发现后，人们发现天王星的实际轨道与由万有引力定律计算出的理论轨道存在较大的误差，进而提出猜想。
然后收集证据提出问题的焦点所在---还有一颗未知的行星影响了天王星的运行，最后亚当斯和勒维烈真的在计算出来的位置上发现了海王星。
三、人造卫星和宇宙速度人造卫星：问题一：1．有1kg 的物体在北京的重力大还是在上海的重力大？问题二：卫星为什么不会掉下来呢？问题三：1．地球在作什么运动？人造地球卫星在作什么运动？通过展示图片为学生建立清晰的图景。
2．作匀速圆周运动的向心力是谁提供的？ 回答：地球与卫星间的万有引力即由牛顿第二定律得：22m v =m r rM G 由以上可求出什么？①卫星绕地球的线速度：V =②卫星绕地球的周期：32③卫星绕地球的角速度：2Tπω= 当轨道半径不变时，则卫星的周期不变、卫星的线速度不变、卫星的角速度也不变。
高中物理3.2《万有引力定律的应用》学案粤教版必修2
1. 关于万有引力和重力的关系
地面上物体所受万有引力 F 可以分解为物体所受的重力 mg和随地球自转而做圆周运动的
Mm 向心力 F’。其中 F G R2
F mr 2
① 当物体在赤道上时， F、 mg、 F’三力同向，此时满足
F’＋ mg＝F
Mm ② 当物体在两极点时， F’＝ 0 ,F=mg= G R2
v2 F 引< m 时，卫
r
14 圈安全返回 10t ，绕地球一周
用心 爱心 专心
的时间约为 90min。已知地球的质量 M＝ 6× 1024kg，万有引力常量 G＝6.67 × 10－ 11N·m2· kg-2 。 设飞船绕地球做匀速圆周运动，由以上提供的信息，解答下列问题： （ 1）“神舟”号离地面的高度为多少 km? （ 2）“神舟”号绕地球飞行的速度是多大？ （ 3）载人舱在将要着陆之前，由于空气阻力作用有一段匀速下落过程，若空气阻力与速度平 方成正比，比例系数为 k，载人舱的质量为 m，则此匀速下落过程中载人舱的速度多大？
T 和半径
r ，由
G
Mm R2
＝
mr
4 T
2 2
得 M＝
4 2r 3 GT 2
，
密度
MM
3 r3
V
4 R3
GT 2 R 3 (R 为天体的半径 ) ，当卫星沿天体表面附近绕天体运动
3
时， r ＝R，则
3 GT 2 。
例 2 已知引力常量 G＝ 6.67 × 10－11N· m2/kg 2, 重力加速度
倍？
解析：（ 1）物体所受地球的万有引力产生了两个效果：一是使物体竖直向下运动的重力，一
是提供物体随地球自转所需的向心力，并且在赤道上这三个力的方向都相同，有 ＝ m(g+a)=m(9.77+3.37 × 10-2)=9.804m(N)
2019-2020学年粤教版必修第二册 3.3 万有引力定律的应用 学案
第三节 万有引力定律的应用1.会用万有引力定律计算天体的质量．2.了解海王星和冥王星的发现过程．3．理解人造卫星的线速度、角速度和周期等物理量与轨道半径的关系，并能用卫星环绕规律解决相关问题．4．知道三个宇宙速度的含义，会推导第一宇宙速度．一、计算天体的质量(以地球为例讨论) 1.基本思路月球绕地球做匀速圆周运动的向心力是由它们之间的万有引力提供的，由此可列方程，从中求得地球的质量．2.计算表达式设M 是地球的质量，m 是月球的质量，T 为月球绕地球做匀速圆周运动的周期，月球到地心的距离为r .则有：G Mm r 2＝m⎝⎛⎭⎫2πT 2r 解得：M ＝4π2r 3GT 2．3.如果已知卫星绕行星(或行星绕中心天体)运动的周期和卫星与行星(或行星与中心天体)之间的距离，也可以算出行星(或中心天体)的质量．1．根据月球绕地球做圆周运动的观测数据，应用万有引力定律求出的天体质量是地球的还是月球的？提示：求出的是地球的质量，因为利用F 万＝F 向只能求出中心天体的质量． 二、理论的威力：预测未知天体历史上天文学家曾经根据万有引力定律计算太阳系中天王星的运动轨道，由于计算值与实际情况有较大偏差，促使天文学家经过进一步的研究先后发现了海王星和冥王星．这两颗星的发现进一步证明了万有引力定律的正确性，而且也显示了万有引力定律对天文学研究的重大意义．三、理想与现实：人造卫星和宇宙速度 1.人造卫星卫星环绕地球做匀速圆周运动，则地球对它的万有引力就是其所需的向心力，所以G Mmr 2＝m v 2r，解得：v ＝GMr. 2.宇宙速度(1)第一宇宙速度：v 1＝7.9__km/s ，这是人造卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动所必须具有的速度，也叫环绕速度．(2)第二宇宙速度：v 2＝11.2__km/s ，当人造卫星的发射速度大于或等于这一速度时，卫星就会挣脱地球引力的束缚，不再绕地球运动，所以第二宇宙速度也叫脱离速度．(3)第三宇宙速度：v 3＝16.7__km/s ，人造卫星要想摆脱太阳引力的束缚，飞出太阳系，其发射速度至少要达到这一速度，所以第三宇宙速度又叫逃逸速度．2．发射一个火星探测器，那么这个探测器大体以多大的速度从地面上发射？提示：发射速度应介于第二宇宙速度和第三宇宙速度之间，即11.2 km /s <v <16.7 km /s .天体质量与密度的计算[学生用书P 37]1.计算天体的质量 (1)利用地球表面的物体若不考虑地球自转，地球表面的物体所受重力等于地球对它的万有引力，即mg ＝G MmR 2.所以地球质量M ＝gR 2G.(2)利用地球的卫星质量为m 的卫星绕地球做匀速圆周运动G Mm r 2＝⎩⎪⎨⎪⎧m ⎝⎛⎭⎫2πT 2r ⇒M ＝4π2r 3GT 2，已知卫星的r 和T 可以求M m v 2r ⇒M ＝rv 2G，已知卫星的r 和v 可以求Mmω2r ⇒M ＝r 3ω2G，已知卫星的r 和ω可以求M 2.计算天体的密度若天体的半径为R ，则天体的密度ρ＝M43πR 3，把M ＝4π2r 3GT 2代入上式得ρ＝3πr 3GT 2R3当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r 等于天体半径R ，则ρ＝3πGT2.(1)计算天体质量的方法不仅适用于地球，也适用于其他任何星体．注意方法的拓展应用．明确计算出的是中心天体的质量．(2)要注意R 、r 的区分．R 指中心天体的半径，r 指行星或卫星的轨道半径．若绕近地轨道运行，则有R ＝r .(多选)利用下列数据，可以计算出地球质量的是( ) A ．已知地球的半径R 和地面的重力加速度gB ．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径r 和周期TC ．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v 和地球半径RD ．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v 和周期T[解析] 设相对地面静止的某一物体的质量为m ，则G Mm R 2＝mg 得M ＝gR 2G ，所以A 符合题意；G Mm r 2＝m 4π2r T 2得M ＝4π2r 3GT 2，所以B 符合题意；由G Mm r 2＝mv 2r 知M ＝rv 2G ，还需要知道卫星的轨道半径，而不是地球的半径，C 不符合题意；由M ＝v 2r G ，v ＝2πr T ，得M ＝v 3T2πG ，所以D 符合题意．[答案] ABD(1)质量的估算最常用的方法有两种：一是“测g 法”，二是“环绕法”．根据题设条件选择合适的方法和合适的公式．(2)密度的估算在质量估算的基础上，由公式ρ＝M V ＝M43πR 3进一步计算得出．1.假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g 0，在赤道的大小为g ；地球自转的周期为T ，引力常量为G .地球的密度为( )A.3πGT 2g 0－gg 0 B.3πGT 2g 0g 0－g C.3πGT2 D.3πGT 2g 0g解析：选B.物体在地球的两极时，mg 0＝G Mm R 2，物体在赤道上时，mg ＋m (2πT )2R ＝G MmR 2，以上两式联立解得地球的密度ρ＝3πg 0GT 2（g 0－g ）.故选项B 正确，选项A 、C 、D 错误．人造卫星的特点[学生用书P 38]1.卫星绕地球的轨道(1)若是椭圆轨道，地心是椭圆的一个焦点，其运动遵循开普勒定律． (2)若是圆轨道，卫星所需的向心力由地球对它的万有引力提供，由于万有引力指向地心，所以卫星圆轨道的圆心必然是地心，即卫星绕地心做匀速圆周运动．(3)轨道平面：卫星的轨道平面可以跟赤道平面重合，也可以跟赤道平面垂直，也可以跟赤道平面成任意角度．轨道平面一定过地心，如图所示．2.人造卫星的线速度、角速度、周期、加速度与半径的关系(1)由G Mm r 2＝m v 2r 得v ＝GM /r ，即v ∝1r ，说明卫星的运动轨道半径越大，其运行线速度就越小． (2)由G Mm r 2＝m rω2得ω＝GM /r 3，即ω∝1r 3，说明卫星的运动轨道半径越大，其角速度越小．(3)由G Mmr 2＝m 4π2T 2r 得T ＝2πr 3GM，即T ∝r 3，说明卫星运动的轨道半径越大，其运行周期越长．(4)由G Mm r 2＝ma 得a ＝G M r 2，即a ∝1r 2，说明卫星运动的轨道半径越大，其加速度越小．3.地球同步卫星(1)周期、角速度与地球自转周期、角速度相同，T ＝24 h.(2)轨道是确定的，地球同步卫星的运行轨道在赤道平面内． (3)在赤道上空距地面高度有确定的值．由万有引力提供向心力得 G Mm （R ＋h ）2＝m⎝⎛⎭⎫2πT 2(R ＋h ) 解得h ＝3GMT 24π2－R ＝3.6×107m. 关于环绕地球运动的卫星，下列说法正确的是( )A ．分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，不可能具有相同的周期B ．沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道不同位置可能具有相同的速率C ．在赤道上空运行的两颗地球同步卫星，它们的轨道半径有可能不同D ．沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面一定会重合[解析] 根据开普勒第三定律，a 3T 2＝恒量，当圆轨道的半径R 与椭圆轨道的半长轴a 相等时，两卫星的周期相等，故选项A 错误；卫星沿椭圆轨道运行且从近地点向远地点运行时，万有引力做负功，根据动能定理，知动能减小，速率减小；从远地点向近地点移动时动能增加，速率增大，且两者具有对称性，故选项B 正确；所有同步卫星的运行周期相等，根据G Mm r 2＝m⎝⎛⎭⎫2πT 2r 知，同步卫星轨道的半径r 一定，故选项C 错误；根据卫星做圆周运动的向心力由万有引力提供，可知卫星运行的轨道平面过某一地点，轨道必过地心，但轨道不一定重合，故北京上空的两颗卫星的轨道可以不重合，选项D 错误．[答案] B行星、人造地球卫星的向心加速度、线速度、角速度、周期都跟轨道半径有关，跟行星、人造地球卫星自身的质量无关．2.如图，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M 和2M 的行星做匀速圆周运动．下列说法正确的是( )A ．甲的向心加速度比乙的小B ．甲的运行周期比乙的小C ．甲的角速度比乙的大D ．甲的线速度比乙的大解析：选A.卫星绕行星做匀速圆周运动的向心力由行星对卫星的引力提供，根据万有引力定律和牛顿第二定律解决问题．根据G Mm r 2＝ma 得a ＝GM r 2，故甲卫星的向心加速度小，选项A 正确；根据G Mmr 2＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2r ，得T ＝2πr 3GM ，故甲的运行周期大，选项B 错误；根据G Mmr 2＝mω2r ，得ω＝GMr 3，故甲运行的角速度小，选项C 错误；根据G Mm r 2＝mv 2r ，得v ＝GMr，故甲运行的线速度小，选项D 错误．发射速度、运行速度和宇宙速度[学生用书P 39]1.发射速度：是指被发射物在离开发射装置时的初速度，要发射一颗人造地球卫星，发射速度不能小于第一宇宙速度．若发射速度大于7.9 km/s ，而小于11.2 km/s ，卫星将环绕地球做椭圆轨道运动．若发射速度大于等于11.2 km/s 而小于16.7 km/s ，卫星将环绕太阳运动．若发射速度大于等于16.7 km/s ，卫星将飞出太阳系．2.运行速度：是指卫星在进入运行轨道后绕地球做匀速圆周运动的线速度，当卫星“贴着”地面运行时，运行速度等于第一宇宙速度，根据v ＝GMr可知，人造卫星距地面越高(即r 越大)，运行速度越小．3.宇宙速度：三个宇宙速度分别是指发射的卫星成为近地卫星、脱离地球引力和脱离太阳引力所需要的最小地面发射速度．4.第一宇宙速度的推导：设地球质量为M ，卫星质量为m ，卫星到地心的距离为r ，卫星做匀速圆周运动的线速度为v ，根据万有引力定律和牛顿第二定律得：G Mm r 2＝m v 2r ，v ＝GMr.应用近地条件r ≈R (R 为地球半径)，取R ＝6 400 km ，M ＝6×1024 kg ，则：v ＝GM R＝7.9 km/s.第一宇宙速度的另一种推导：在地面附近，万有引力近似等于重力，此力提供卫星做匀速圆周运动的向心力．(地球半径R 、地面重力加速度g 已知)由mg ＝m v 2R得v ＝gR ＝9.8×6 400×103 m/s ＝7.9 km/s.已知地球的质量约为火星质量的10倍，地球的半径约为火星半径的2倍，则航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的速率约为( )A ．3.5 km/sB ．5.0 km/sC ．17.7 km/sD ．35.2 km/s[思路点拨] (1)航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动时由万有引力提供向心力．(2)近地卫星的速度与第一宇宙速度(7.9 km /s )相等． (3)计算速率时可以借助于近地卫星采用比值法分析．[解析] 由G Mm r 2＝m v 2r 得，对于地球表面附近的航天器有：G Mm r 2＝mv 21r ，对于火星表面附近的航天器有：G M ′m r ′2＝mv 22r ′，由题意知M ′＝110M 、r ′＝r 2，且v 1＝7.9 km/s ，联立以上各式得v 2≈3.5 km/s ，选项A 正确．[答案] A计算第一宇宙速度的方法(1)应用公式v ＝GMR计算：用于已知天体的质量M 及天体的半径R 的情况． (2)应用公式v ＝gR 计算：用于已知天体的半径R 及天体表面的重力加速度g 的情况．3.(多选)关于地球的第一宇宙速度，下列说法中正确的是( )A ．它是人造地球卫星绕地球运行的最小速度B ．它是近地圆形轨道上人造地球卫星的运行速度C ．它是能使卫星进入近地轨道的最小速度D ．它是能使卫星进入轨道的最大发射速度解析：选BC.卫星绕地球做圆周运动的向心力是地球对卫星的引力，则GMm r 2＝mv 2r ，得v ＝GMr，所以，随着卫星轨道半径的增大，其线速度减小，当其轨道半径最小为地球半径时，线速度最大，这一线速度正是第一宇宙速度，A 选项错，B 选项对．如果不计空气阻力，在地面附近以第一宇宙速度平抛一物体，该物体恰能绕地球做匀速圆周运动，成为地球的卫星，而若以小于第一宇宙速度的速度平抛物体，则物体在重力作用下会落到地面上．所以，第一宇宙速度是发射卫星的最小速度，选项C 对，D 错．规范答题——万有引力定律与抛体运动的综合问题为了探测某星球，宇航员乘飞船沿该星球的近地圆形轨道(可以认为飞船运行半径等于星球半径)绕该星球运行一周，所用时间为T .降落至该星球后，又做了如下两个实验：实验1：将一质量为m 的小球挂在弹簧秤下，静止时读数为F ；实验2：将该小球以一定初速度竖直上抛，经过时间t 小球落回原处； 若不考虑该星球的自转，请回答下列问题：(1)由实验1所给物理量，求出该星球表面的重力加速度g ； (2)求实验2中竖直上抛小球的初速度v 0；(3)若万有引力常数为G ，求该星球的半径R 和质量M . [思路点拨] 解答本题应把握以下三点：(1)根据弹簧秤的示数等于物体的重力，求重力加速度． (2)根据竖直上抛规律求小球的初速度．(3)在天体表面时，物体的重力近似等于万有引力．[解析] (1)由F ＝mg 得该星球表面的重力加速度g ＝Fm .(2)小球上升时间和下落时间相等，均为t2，则：v 0＝gt 2＝Ft 2m.(3)在该星球表面，物体重力等于它所受万有引力，有： mg ＝G mM R2又飞船绕行时，飞船所受万有引力提供向心力，则： G m ′M R 2＝m ′⎝⎛⎭⎫2πT 2R (m ′为飞船的质量) 解得：R ＝FT 24π2mM ＝FR 2mG ＝F 3T 416π4Gm 3.[答案] (1)F m (2)Ft 2m (3)FT 24π2m F 3T 416π4Gm 3在天体的有关计算中，有时要利用弹簧秤的示数或抛体运动(平抛或竖直上抛)求天体表面的重力加速度，然后结合万有引力定律求M 、半径R 或密度ρ.[随堂达标][学生用书P 40]1.若已知行星绕太阳公转的半径为R ，公转周期为T ，万有引力常数为G ，由此可求出( )A ．某行星的质量B ．太阳的质量C ．某行星的密度D ．太阳的密度解析：选B.由G Mm R 2＝mR⎝⎛⎭⎫2πT 2得：太阳的质量为M ＝4π2R 3GT 2，B 对；由上式可知行星的质量m 被约掉，故不能求出某行星的质量及密度，A 、C 错；由于不知道太阳的体积，不能求出太阳的密度，D 错．2.2017年4月，我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道(可视为圆轨道)运行．与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的( )A ．周期变大B ．速率变大C ．动能变大D ．向心加速度变大解析：选C.组合体比天宫二号质量大，轨道半径R 不变，根据GMm R 2＝m v 2R ，可得v ＝GMR ，可知与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的速率不变，B 项错误；又T ＝2πR v ，则周期T 不变，A 项错误；质量变大、速率不变，动能变大，C 项正确；向心加速度a ＝GM R 2，不变，D 项错误．3．(多选)高度不同的三颗人造卫星，某一瞬时的位置恰好与地心在同一直线上，如图所示．若此时它们的飞行方向相同，角速度分别为ω1、ω2、ω3，线速度分别为v 1、v 2、v 3，周期分别为T 1、T 2、T 3，向心加速度分别为a 1、a 2、a 3，则( )A ．ω1>ω2>ω3B ．v 3>v 2>v 1C ．T 1＝T 2＝T 3D ．a 1>a 2>a 3解析：选AD.由题图可知，r 1<r 2<r 3，因三颗卫星都绕地球运行，则由万有引力提供向心力，由G Mm r 2＝m v 2r ，v ＝GMr ， 所以v 1>v 2>v 3，所以B 选项错误．由G Mmr2＝mω2r ，ω＝GMr 3， 所以ω1>ω2>ω3，所以A 选项正确． 由G Mmr 2＝m 4π2T 2r ，T ＝2πr 3GM， 所以T 1<T 2<T 3，所以C 选项错误．由G Mm r 2＝ma ，a ＝GM r2，所以a 1>a 2>a 3，所以D 选项正确．4．若有一颗“宜居”行星，其质量为地球的p 倍，半径为地球的q 倍，则该行星卫星的环绕速度是地球卫星环绕速度的( )A.pq 倍B.qp倍 C.pq倍 D.pq 3 倍解析：选C.设地球质量为M ，半径为R ，根据GMm R 2＝mv 2R 得地球卫星的环绕速度为v ＝GMR，同理该“宜居”行星卫星的环绕速度为v ′＝ GpMqR，故v ′为地球卫星环绕速度的pq倍．选项C 正确． 5.地球绕太阳公转的轨道半径为1.49×1011 m ，公转的周期是3.16×107 s ，太阳的质量是多少？解析：根据牛顿第二定律得：F 向＝ma 向＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2r ①又因为F 向是由万有引力提供的，所以 F 向＝F 万＝G Mmr 2②由①②式联立可得： M ＝4π2r 3GT 2＝4×3.142×（1.49×1011）36.67×10－11×（3.16×107）2 kg ＝1.96×1030 kg. 答案：1.96×1030 kg[课时作业][学生用书P 104(单独成册)]一、单项选择题1.设太阳质量为M ，某行星绕太阳公转周期为T ，轨道可视作半径为r 的圆，已知万有引力常量为G ，则描述该行星运动的上述物理量满足( )A ．GM ＝4π2r 3T 2B ．GM ＝4π2r 2T 2C ．GM ＝4π2r 2T3D ．GM ＝4πr 3T2解析：选A.对行星有GMmr 2＝m 4π2T 2r ，故GM ＝4π2r 3T2，选项A 正确．2.“神舟十号”飞船与“天宫一号”目标飞行器成功实施了交会对接．任务完成后“天宫一号”经变轨升到更高的轨道．变轨前和变轨完成后“天宫一号”的运行轨道均可视为圆轨道，对应的轨道半径分别为R 1、R 2，线速度大小分别为v 1、v 2.则v 1v 2等于( ) A.R 31R 32B. R 2R 1C.R 22R 21D.R 2R 1解析：选B.“天宫一号”运行时所需的向心力由万有引力提供，根据G Mm R 2＝mv 2R 得线速度v ＝GM R ，所以v 1v 2＝R 2R 1，故选项B 正确，选项A 、C 、D 错误． 3.关于我国发射的“亚洲一号”地球同步通讯卫星的说法，正确的是( ) A ．若其质量加倍，则轨道半径也要加倍B ．它在北京上空运行，故可用于我国的电视广播C ．它以第一宇宙速度运行D ．它运行的角速度与地球自转角速度相同解析：选D.从GMm r 2＝m v 2r 得：r ＝GMv 2，可知轨道半径与卫星质量无关，A 错误；同步卫星的轨道平面必须与赤道平面重合，即在赤道上空运行，不能在北京上空运行，B 错误；第一宇宙速度是卫星在最低圆轨道上运行的速度，而同步卫星在高轨道上运行，其运行速度小于第一宇宙速度，C 错误；所谓同步就是卫星保持与地球相对静止，所以同步卫星的角速度与地球自转角速度相同，D 正确．4.如图所示，a 、b 、c 是环绕地球在圆形轨道上运行的3颗人造卫星，它们的质量关系是m a ＝m b <m c ，则( )A ．b 、c 的线速度大小相等，且大于a 的线速度B ．b 、c 的周期相等，且小于a 的周期C ．b 、c 的向心加速度大小相等，且大于a 的向心加速度D ．b 所需向心力最小解析：选D.卫星的线速度v ＝GMr，故v a >v b ＝v c ，A 错．周期T ＝2πr 3GM，故T a <T b ＝T c ，B 错．卫星的向心加速度a ＝GMr 2，故a a >a b ＝a c ，C 错．因为向心力F ＝ma ，a a >a b ＝a c ，m a ＝mb <mc ，故向心力F a >F b ，F c >F b ，D 对．5.利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯．目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍．假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为( )A ．1 hB ．4 hC ．8 hD ．16 h 解析：选B.设地球半径为R ，画出仅用三颗地球同步卫星使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯时同步卫星的最小轨道半径示意图，如图所示．由图中几何关系可得，同步卫星的最小轨道半径r ＝2R .设地球自转周期的最小值为T ，则由开普勒第三定律可得，（6.6R ）3（2R ）3＝（24 h ）2T 2，解得T ≈4 h ，选项B 正确．6.如图，地球赤道上山丘e ，近地资源卫星p 和同步通信卫星q 均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动．设e 、p 、q 的圆周运动速率分别为v e 、v p 、v q ，向心加速度分别为a e 、a p 、a q ，则( )A ．a e <a q <a pB ．a e >a p >a qC ．v e <v p <v qD ．v e >v p >v q解析：选A.由G Mm r 2＝m v 2r可得：v ＝GMr，则v p >v q ，山丘e 与同步卫星q 具有相同的角速度，由v ＝rω可得：v q >v e ，故有v p >v q >v e ，所以C 、D 均错误；由G Mm r 2＝ma 可知a ＝GMr 2，则a p >a q ，由a ＝rω2，则a q >a e ，所以A 正确，B 错误．7．研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时．假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比( )A ．距地面的高度变大B ．向心加速度变大C ．线速度变大D ．角速度变大解析：选A.地球的自转周期变大，则地球同步卫星的公转周期变大．由GMm（R ＋h ）2＝m 4π2T 2(R ＋h )，得h ＝3GMT 24π2－R ，T 变大，h 变大，A 正确．由GMm r 2＝ma ，得a ＝GMr 2，r 增大，a 减小，B 错误．由GMm r 2＝mv 2r，得v ＝GMr ，r 增大，v 减小，C 错误．由ω＝2πT可知，角速度减小，D 错误．二、多项选择题8.第一宇宙速度是物体在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的速度，则有( ) A ．被发射的物体质量越大，第一宇宙速度越大 B ．被发射的物体质量越小，第一宇宙速度越大 C ．第一宇宙速度与被发射物体的质量无关 D ．第一宇宙速度与地球的质量有关解析：选CD.第一宇宙速度v ＝GM R与地球质量M 有关，与被发射物体的质量无关． 9.已知地球的质量为M ，月球的质量为m ，月球绕地球运行的轨道半径为r ，周期为T .万有引力常数为G ，则月球绕地球运转轨道处的重力加速度大小等于( )A.Gm r2 B.GM r 2 C.4π2T2 D.4π2T 2r 解析：选BD.对月球由牛顿第二定律得G Mm r 2＝ma n ＝m 4π2r T2 解得a n ＝GM r 2＝4π2r T2，故B 、D 正确． 10.人造地球卫星可在高度不同的轨道上运转，下列判断正确的是( )A ．各国发射的所有人造地球卫星的运行速度都不超过v m ＝GM R 地B ．各国发射的所有人造地球卫星的运行周期都不超过T m ＝2πR 地R 地GM C ．若卫星轨道为圆形，则该圆形的圆心必定与地心重合D ．地球同步卫星相对地面静止在南极或北极的正上空解析：选AC.由万有引力定律和牛顿第二定律得：G Mm r 2＝m v 2r ＝m 4π2T2r ，解得：v ＝GM r ，T ＝2πr 3GM，因此人造地球卫星轨道越高，速度越小，周期越大，A 选项中的速度为第一宇宙速度的表达式，所有人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大线速度为近地轨道的运行速度，即第一宇宙速度，A 正确；B 选项是近地轨道的周期，为人造地球卫星的最小运行周期，B 错误；卫星的向心力总是指向圆周轨道的圆心，而向心力由万有引力提供，万有引力总是指向地心，故卫星圆周轨道的圆心与地心重合，C 正确；地球同步卫星都在赤道正上方同一轨道上，D 错误．三、非选择题11．两个行星的质量分别为m 1和m 2，绕太阳运动的轨道半径分别为r 1和r 2，求：(1)它们与太阳间的引力之比；(2)它们的公转周期之比．解析：(1)行星与太阳间的引力F ＝G Mm r2 则引力之比F 1F 2＝m 1r 22m 2r 21. (2)行星绕太阳运动时的向心力由太阳对其引力提供，即G Mm r 2＝m 4π2T2r 解得T ＝2π r 3GM则周期之比T 1T 2＝r 31r 32. 答案：(1)m 1r 22∶m 2r 21 (2)r 31∶r 3212.经天文学家观察，太阳在绕着银河系中心的圆形轨道上运行，这个轨道半径约为3×104光年(约等于2.8×1020 m)，转动一周的周期约为2亿年(约等于6.3×1015 s)．太阳做圆周运动的向心力由它轨道内侧的大量星体的引力提供，可以把这些星体的全部质量看作集中在银河系中心来处理问题．(G ＝6.67×10－11 N ·m 2/kg 2)用给出的数据来计算太阳轨道内侧这些星体的总质量．解析：假设太阳轨道内侧这些星体的总质量为M ，太阳的质量为m ，轨道半径为r ，周期为T ，太阳做圆周运动的向心力由这些星体的引力提供，则G Mm r 2＝m 4π2T 2r 故这些星体的总质量为M ＝4π2r 3GT 2＝4×3.142×（2.8×1020）36.67×10－11×（6.3×1015）2kg ≈3.3×1041 kg. 答案：3.3×1041 kg。
粤教版高中物理必修二 3.1 万有引力定律-学案设计
万有引力定律【学习目标】1．了解万有引力定律得出的思路和过程。
2．理解万有引力定律的含义并会推导万有引力定律。
3．知道任何物体间都存在着万有引力，且遵循相同的规律。
【学习重难点】1．万有引力定律的推导。
2．万有引力定律的内容及表达公式。
【学习过程】一、天体究竟做怎样的运动（一）古人对天体运动的看法及发展过程1．让同学自己阅读天体究竟做怎样的运动这一小节，提出问题：（1）人们对天体运动的探索过程存在哪些看法？（2）这些看法的观点是什么？“地心说”和“日心说”课件2．深入探究讨论：（1）“地心说”为什么能占领较长的统治时间？（2）俗话说“眼见为实”，这种说法是否绝对正确？试举例。
（3）“日心说”为什么能战胜“地心说”？（4）“日心说”的观点是否正确？（5）“地心说”和“日心说”理论提出后，即使是错误的理论也包含一定的价值，对人们的生活、生产产生了哪些影响？事实上从“地心说”向“日心说”的过渡经历了漫长的时间，并且科学家们付出了艰苦的奋斗，哥白尼的“日心说”观点不符合当时欧洲统治教会的利益，因而受到了教会的迫害。
然而，科学真理的确立是任何愚昧势力所阻挡不了的。
经过后人的不懈努力和探索，哥白尼的日心说终于取得胜利。
（二）开普勒对行星运动的研究不论“地心说”还是“日心说”，古人把天体的运动看得十分神圣，都认为天体的运动不同于地面物体的运动，天体做的是最完美、最和谐的匀速圆周运动。
后来，开普勒在应用行星绕太阳做椭圆运动的模型描述火星的运动时，发现与他的老师第谷对火星运行轨道的观测值有误差。
开普勒思考：是第谷观察数据错了，还是火星根本就不做圆形轨道运动呢？开普勒坚信第谷的数据是正确的，经过4年多的刻苦计算，先后否定了十九种设想，最后了发现火星运行的轨道不是圆，而是椭圆，并得出了行星运动的规律。
开普勒三大定律[练习]下列说法正确的是：A．太阳是静止不动的，地球和其它行星都绕太阳运动。
B．行星轨道的半长轴越长，自转周期就越大。
2021年高中物理 3.《万有引力定律的应用》教案 粤教版必修
2021年高中物理 3.2《万有引力定律的应用》教案粤教版必修2教学目标：一、知识目标1、会利用万有引力定律计算天体的质量。
2、理解并能够计算卫星的环绕速度。
3、知道第二宇宙速度和第三宇宙速度及其含义。
二、情感、态度与价值观：1、了解万有引力定律在探索宇宙奥秘中的重要作用，感受科学定律的巨大魅力。
2、体会科学探索中，理论和实践的关系。
3、体验自然科学中的人文精神。
三、能力目标培养学生对万有引力定律的理解和利用有限的已知条件进行近似计算的能力。
四、教学重点：1、利用万有引力定律计算天体质量的思路和方法2、发现海王星和冥王星的科学案例3、计算环绕速度的方法和意义4、第二宇宙速度和第三宇宙速度及其含义5、黄金代换和π2＝g两个重要近似五、教学难点：1、天体质量计算2、环绕速度计算和理解教学方法：自主讨论思考、推导、引导分析课时安排：1课时教学步骤：一、导入新课牛顿通过对前人研究结果的总结和假设、推理、类比、归纳，提出了万有引力定律在一百多年后，由英国科学家卡文迪许精确测定了万有引力常数G，从那时候起，万有引力才表现出巨大的威力。
尤其在天体物理学计算、天文观测、卫星发射和回收等天文活动中，万有引力定律可称为最有力的工具。
二、新课教学投影月球绕地转动的动画演示，提出问题：若月球绕地球做匀速圆周运动，其周期为T，已知月球到地心距离为r，如何通过这些条件，应用万有引力定律计算地球质量？（要求学生以讨论小组为单位就此问题展开6分钟讨论，讨论出结果后，提供计算基本思路、计算过程和结果、并总结万有引力定律计算天体质量的方法，教师在教室巡回，找出两个结果比较完整，讨论思路清晰但计算过程略有不同的组，要求其对所讨论的问题进行回答。
）投影：匀速圆周运动，周期T、月球到地心距离r，求：地球质量M教师总结两组的讨论过程和结果，比较后，对所讨论的问题得出一个更加完善的答案。
板书演示，重现这一完整过程，并对问题的答案做出总结。
要求各小组将这个结果和自己小组的结果进行两分钟比较讨论。
粤教版高中物理必修2第三章第二节《万有引力定律的应用》word导学案
第二节 万有引力定律的应用．万有引力定律的表达式 ，其适用条件2．引力常量：表达式中的G 为引力常量，其大小在数值上等于质量各为1kg 的物体相距1m 时的万有引力。
=G 是卡文迪许首先利用扭秤实验装置测出的。
3．分析天体运动的基本思路:把天体的运动看做是 ,所需的向心力由 提供,即=2rMmG= = 。
4．万有引力定律具有普遍性、 、 、 。
5．(单选)对于万有引力定律的表达式221rm Gm F =，下列说法中正确的是( )A ．公式中G 为引力常量，它是由实验测得的，而不是人为规定的B ．当r 趋于零时，万有引力趋于无限大C ．m 1、m 2相等时，两物体受到的引力大小才相等D ．两物体受到的引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力 课前自主预习答案:1.2rMmGF=,两个质点间2.⋅⨯-N 111067.6m 2kg 23.匀速圆周运动,万有引力,r v m 2,r m 2ω,r Tm 224π4.相互性,宏观性,特殊性新知探究卡文迪许把他自己的实验说成是“称地球的质量”，他是根据 “称”地球的质量的。
天体质量不可能直接称量，但可以间接测量．天体卫星做圆周运动所需的向心力由万有引力提供，即GMm r 2＝m v 2r ＝m 4π2T2r ，因此可得M ＝ ，测出天体卫星的环绕周期和环绕半径即可计算天体质量．图3－2－1答案：万有引力定律，4π2r3GT 2重点归纳1．基本方法：把天体(或人造卫星)的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供．2．解决天体圆周运动问题的两条思路(1)在地面附近万有引力近似等于物体的重力，F 引＝mg ，即GMm R2＝mg ，整理得GM ＝gR 2.(2)天体运动都可以近似地看成匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供，即F 引＝F 向 一般有以下几种表达形式：①G Mm r 2＝m v 2r ②G Mm r 2＝m ω2r ③G Mm r 2＝m 4π2T2r3．天体质量和密度的计算(1)“g 、R ”计算法：利用天体表面的物体所受重力约等于万有引力．得：M ＝gR 3G ；ρ＝3g4πRG.(2)“T 、r ”计算法：利用绕天体运动的卫星所需向心力由万有引力提供，再结合匀速圆周运动知识．得：M ＝4π2r 3GT 2；ρ＝3πr3GT 2R3(R 表示天体半径).【例1】为了研究太阳演化进程，需知道目前太阳的质量M .已知地球半径R ＝6.4×106m ，地球质量m ＝6×1024 kg ，日地中心的距离r ＝1.5×1011 m ，地球表面的重力加速度g ＝10 m/s 2,1年约为3.2×107s ，试估算目前太阳的质量M .(保留一位有效数字，引力常数未知)解：设T 为地球绕太阳运动的周期，则由万有引力定律和动力学知识得G Mmr2＝m(2π/T )2r ① 对地球表面物体m ′，有m ′g ＝G mm ′R 2② ①②两式联立，得M ＝4π2mr3gR 2T 2，代入数据得M ＝2×1030 kg.触类旁通1．已知太阳光射到地面约需时间497S ，试估算太阳的质量。
粤教版高中物理必修2第三章第一节《万有引力定律》word导学案
第三章 万有引力定律及其应用第一节 万有引力定律．万有引力定律的表达式 ，其适用条件 .2．引力常量：表达式中的G 为引力常量，其大小在数值上等于质量各为1kg 的物体相距1m 时的万有引力。
=G 是卡文迪许首先利用扭秤实验装置测出的。
3．分析天体运动的基本思路:把天体的运动看做是 ,所需的向心力由 提供,即=2rMmG= = 。
4．万有引力定律具有普遍性、 、 、 。
5．(单选)发现万有引力定律和测出引力常量的科学家分别是 （ ） A ．牛顿、卡文迪许 B ．开普勒、伽俐略 C ．开普勒、卡文迪许 D ．牛顿、伽俐略 课前自主预习答案:1.2r MmGF =,两个质点间2.⋅⨯-N 111067.6m 2kg 23.匀速圆周运动,万有引力,r v m 2,r m 2ω,r Tm 224π4.相互性,宏观性,特殊性面对浩瀚的星空，你知道人们对天体运动的认识曾经存在 和 两种相对立的学说， 的学说更先进，最终发现行星运动的科学家是 。
图3－1－1答案：地心说和日心说，日心说，开普勒。
重点归纳 1．地心说托勒密发展了地心说，他认为地球是宇宙的中心且静止不动，太阳、月亮及其他行星都绕其做圆周运动．2．日心说哥白尼提出日心说，他通过40多年的观察发现，若假设太阳是宇宙的中心，地球和其他行星都围绕太阳运动，对行星运动的描述就会变得更加清晰．3．开普勒定律① 开普勒第一定律(轨道定律)：所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上．② 开普勒第二定律(面积定律)：太阳和行星之间的连线在相等的时间内扫过相同的面积． ③ 开普勒第三定律(周期定律)：所有行星绕太阳公转周期的平方和轨道半长轴的立方成正 4．开普勒三定律透析：①开普勒三定律不仅适用于行星围绕太阳的运动，也适用于卫星绕地球的运动，还适用于其它天体绕某一中心天体的运动。
②比例系数k 是一个与行星质量无关的常量，但不是恒量。
只有围绕同一天体运行的行星或卫星，他们半长轴的立方与公转周期的平方之比才是同一常数。
2018-2019学年粤教版必修2第三章2万有引力定律的应用学案
学案2 万有引力定律的应用[学习目标定位] 1.学会用万有引力定律计算天体的质量.2.了解发现未知天体海王星、冥王星的过程.3.理解人造卫星的运动规律.4.知道三个宇宙速度．一、计算天体的质量行星围绕太阳的运动可以看成是匀速圆周运动，其向心力由太阳对行星的引力提供，因此有G Mm r 2＝mr 4π2T 2，测出行星的公转周期T 和它与太阳的距离r ，就可以算出太阳的质量． 二、预测未知天体 1．海王星的发现英国剑桥大学青年学生亚当斯和法国青年天文学家勒维烈坚信万有引力定律是正确的．根据天王星的观测资料，他们各自独立地计算出天王星轨道外面新行星的轨道参数.1846年9月23日柏林天文台的望远镜对准他们笔下计算出来的位置，发现了一颗新的行星——海王星． 2．冥王星的发现：1930年2月18日，美国天文学家汤苞，用“计算、预测、观察和照相”的方法发现了冥王星． 三、宇宙速度1．第一宇宙速度：v Ⅰ＝7.9_km/s ，又称环绕速度． 2．第二宇宙速度：v Ⅱ＝11.2_km/s ，又称脱离速度 3．第三宇宙速度：v Ⅲ＝16.7_km/s ，又称逃逸速度．一、计算天体的质量 [问题设计]若月球绕地球做匀速圆周运动，其周期为T ，又知月球到地心的距离为r ，由这些条件能计算出地球的质量吗？答案 设地球质量为M ，月球质量为m ，由于月球绕地球做匀速圆周运动的向心力是由它们之间的万有引力提供的，所以G Mm r 2＝m (2πT )2r ，由此可得M ＝4π2r 3GT 2.[要点提炼]1．计算天体质量的方法分析围绕该天体运动的行星(或卫星)，测出行星(或卫星)的运行周期和轨道半径，由万有引力提供向心力即可求中心天体的质量．由GMm r 2＝m 4π2T 2r ，得M ＝4π2r 3GT 2.2．天体密度的计算方法根据密度的公式ρ＝M43πR 3，只要先求出天体的质量就可以代入此式计算天体的密度．(1)由天体表面的重力加速度g 和半径R ，求此天体的密度．由mg ＝GMm R 2和M ＝ρ·43πR 3，得ρ＝3g4πGR.(2)若天体的某个行星(或卫星)的轨道半径为r ，运行周期为T ，中心天体的半径为R ，则由G Mm r 2＝mr 4π2T 2和M ＝ρ·43πR 3，得ρ＝3πr 3GT 2R 3. 注意 R 、r 的意义不同，一般地R 指中心天体的半径，r 指行星或卫星的轨道半径，若绕近地轨道运行，则有R ＝r ，此时ρ＝3πGT 2.二、预测未知天体 [要点提炼] 1．预测未知天体(1)1821年，人们发现天王星的实际运行轨道与根据万有引力定律计算出的理论轨道存在较大的误差．(2)预测在天王星的轨道外面还有一颗未知行星．(3)亚当斯和勒维烈各自独立计算出了这颗行星的质量和轨道参数．(4)1846年9月23日，柏林天文台在亚当斯和勒维烈预言的位置发现了这颗新的行星——海王星．(5)用类似的方法，人们发现了冥王星．2．应用万有引力定律发现未知天体的意义：巩固了万有引力定律的地位，显示了理论对于实践的巨大指导作用． 三、人造卫星和宇宙速度 [问题设计]若地球的质量为M ，人造卫星的环绕半径为r ，请你推导卫星的线速度、角速度、周期的表达式．答案 人造卫星所受万有引力提供向心力，G Mm r 2＝m v 2r ＝mω2r ＝m (2πT)2r ，所以v ＝GMr，ω＝GMr 3，T ＝2π r 3GM. [要点提炼]1．人造卫星绕地球运行的动力学原理人造卫星受到地球对它的万有引力提供它做圆周运动的向心力． 2．卫星的向心加速度、线速度、角速度、周期与轨道半径的关系 根据万有引力提供卫星绕地球运动的向心力，即有：GMm r 2＝ma ＝m v 2r ＝mω2r ＝m (4π2T2)r (1)a ＝GMr2，r 越大，a 越小．(2)v ＝ GMr ，r 越大，v 越小．(3)ω＝ GMr 3，r 越大，ω越小．(4)T ＝2π r 3GM ，r 越大，T 越大．3．宇宙速度(1)第一宇宙速度v Ⅰ＝7.9 km/s ①推导方法一：由G Mm R 2＝m v 2R 得v ＝ GMR方法二：由mg ＝m v 2R得v ＝gR②理解：第一宇宙速度是人造地球卫星的最小发射速度，也是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大运行速度．(2)第二宇宙速度v Ⅱ＝11.2 km/s ，是从地面上发射物体并使之脱离地球束缚的最小发射速度，又称脱离速度．(3)第三宇宙速度v Ⅲ＝16.7 km/s ，是从地面上发射物体并使之脱离太阳束缚的最小发射速度，又称逃逸速度．一、天体质量和密度的计算例1 假设在半径为R 的某天体上发射一颗该天体的卫星．若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T 1，已知万有引力常数为G . (1)则该天体的密度是多少？(2)若这颗卫星距该天体表面的高度为h ，测得在该处做圆周运动的周期为T 2，则该天体的密度又是多少？解析 (1)设卫星的质量为m ，天体的质量为M ，卫星贴近天体表面运动时有G Mm R 2＝m 4π2T 21R ，M ＝4π2R 3GT 21根据数学知识可知天体的体积为V ＝43πR 3故该天体的密度为ρ＝M V ＝4π2R 3GT 21·43πR 3＝3πGT 21.(2)卫星距天体表面距离为h 时，忽略自转有G Mm (R ＋h )2＝m 4π2T 22(R ＋h )M ＝4π2(R ＋h )3GT 22ρ＝M V ＝4π2(R ＋h )3GT 22·43πR3＝3π(R ＋h )3GT 22R 3 答案 (1)3πGT 21 (2)3π(R ＋h )3GT 22R 3 二、人造卫星的运动规律图1例2 (双选)如图1所示，a 、b 、c 是地球大气层外圆形轨道上运行的三颗人造卫星，a 和b 的质量相等，且小于c 的质量，则( ) A ．b 所需向心力最小B ．b 、c 的周期相等且大于a 的周期C ．b 、c 的向心加速度大小相等，且大于a 的向心加速度D ．b 、c 的线速度大小相等，且大于a 的线速度解析 因卫星运行的向心力就是它们所受的万有引力，而b 所受的引力最小，故A 对．由GMm r2＝ma ，得a ＝GMr2，即卫星的向心加速度大小与轨道半径的平方成反比，所以b 、c 的向心加速度大小相等且小于a 的向心加速度，C 错．由GMm r 2＝m 4π2T 2r ，得T ＝2π r 3GM ，即人造地球卫星运行的周期与其轨道半径三次方的平方根成正比，所以b 、c 的周期相等且大于a 的周期，B 对．由GMm r 2＝m v 2r ，得v ＝ GMr ，即人造地球卫星的线速度与其轨道半径的平方根成反比，所以b 、c 的线速度大小相等且小于a 的线速度，D 错．故选A 、B.答案 AB三、宇宙速度的理解例3 (单选)我国发射了一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥一号”．设该卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面．已知月球的质量约为地球质量的181，月球的半径约为地球半径的14，地球上的第一宇宙速度约为7.9 km/s ，则该探月卫星绕月运行的速率约为( ) A ．0.4 km /s B ．1.8 km/s C ．11 km /s D. 36 km/s解析 星球的第一宇宙速度即为围绕星球做圆周运动的轨道半径为该星球半径时的环绕速度，由万有引力提供向心力即可得出这一最大环绕速度． 卫星所需的向心力由万有引力提供， G Mmr 2＝m v 2r，得v ＝ GMr ，又由M 月M 地＝181、r 月r 地＝14，故月球和地球上第一宇宙速度之比v 月v 地＝29，故v 月＝7.9×29 km /s ≈1.8 km/s ，因此B 项正确． 答案 B万有引力定律的应用⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧计算天体的质量：由GMm r 2＝m (2πT )2r 得M ＝4π2r 3GT2计算天体的密度：由G Mm r 2＝mr 4π2T 2及V ＝43πR 3得ρ＝3πr3GT 2R3.若为近地卫星则R ＝r ，有ρ＝3πGT 2.预测未知天体⎩⎪⎨⎪⎧ 发现海王星、冥王星确立万有引力定律的地位人造卫星各物理量与半径的关系⎩⎪⎨⎪⎧线速度v ＝ GMr角速度ω＝GM r 3周期T ＝2π r 3GM宇宙速度⎩⎪⎨⎪⎧v Ⅰ＝7.9 km/s 又叫环绕速度v Ⅱ＝11.2 km/s 又叫脱离速度v Ⅲ＝16.7 km/s 又叫逃逸速度1．(对宇宙速度的理解)(单选)恒星演化发展到一定阶段，可能成为恒星世界的“侏儒”——中子星．中子星的半径较小，一般在7 km ～20 km ，但它的密度大得惊人．若某中子星的半径为10 km ，密度为1.2×1017 kg/m 3，那么该中子星上的第一宇宙速度约为( ) A ．6.0 km /s B ．3.0×102 km/s C ．3.0×103 km /s D ．6.0×104 km/s 答案 D解析 中子星上的第一宇宙速度即为它表面的环绕速度，由G Mm r 2＝m v 2r ，得v ＝ GMr，又由M ＝ρV ＝43ρπr 3，代入上式可得v ＝r 4πGρ3，代入数据得v ≈6.0×104 km/s.2．(天体质量的计算)(单选)“嫦娥三号”探月卫星于2013年12月2日凌晨在西昌卫星发射中心发射，实现了“落月”的新阶段．若已知引力常数为G ，月球绕地球做圆周运动的半径为r 1、周期为T 1，“嫦娥三号”探月卫星做圆周运动的环月轨道半径为r 2、周期为T 2，不计其他天体的影响，根据题目条件可以( )A ．求出“嫦娥三号”探月卫星的质量B ．求出月球的质量C ．得出r 31T 21＝r 32T 22D ．求出地球的密度 答案 B解析 研究月球绕地球的圆周运动根据万有引力提供向心力有GM 地m 月r 21＝m 月4π2T 21r 1，解得M地＝4π2r 31GT 21，因为地球的半径未知，不能得出地球的密度，故D 错误；同理研究嫦娥三号绕月球的圆周运动可得月球的质量M 月＝4π2r 32GT 22，但无法得出“嫦娥三号”的质量，故A 错误，B正确；开普勒第三定律中r3T2是一个常数是指不同天体绕同一中心天体运动时的规律，月球和“嫦娥三号”绕不同的天体运动，则r 31T 21≠r 32T 22，故C 错误．3．(天体密度的计算)(单选)一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行，要测定该行星的密度，仅仅需要( )A ．测定飞船的运行周期B ．测定飞船的环绕半径C ．测定行星的体积D ．测定飞船的运行速度 答案 A解析 取飞船为研究对象，由G Mm R 2＝mR 4π2T 2及M ＝43πR 3ρ，知ρ＝3πGT 2，A 对，故选A.4．(人造卫星运动的规律)(单选)如图2所示，在同一轨道平面上的几个人造地球卫星A 、B 、C 绕地球做匀速圆周运动，某一时刻它们恰好在同一直线上，下列说法中正确的是( )图2A ．根据v ＝gr 可知，运行速度满足v A ＞vB ＞vC B ．运转角速度满足ωA ＞ωB ＞ωC C ．向心加速度满足a A ＜a B ＜a CD ．运动一周后，A 最先回到图示位置 答案 C解析 由G Mm r 2＝m v 2r 得，v ＝ GM r ，r 越大，则v 越小，故v A ＜v B ＜v C ，A 错误；由G Mmr2＝mω2r 得，ω＝ GM r 3，r 越大，则ω越小，故ωA ＜ωB ＜ωC ，B 错误；由G Mmr2＝ma 得，a ＝GM r 2，r 越大，则a 越小，故a A ＜a B ＜a C ，C 正确；由G Mm r 2＝m 4π2T 2r 得，T ＝2πr 3GM，r 越大，则T 越大，故T A ＞T B ＞T C ，因此运动一周后，C 最先回到图示位置，D 错误．题组一 对三个宇宙速度的理解1．(双选)下列关于三种宇宙速度的说法中正确的是( )A ．第一宇宙速度v 1＝7.9 km /s ，第二宇宙速度v 2＝11.2 km/s ，则人造卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度大于等于v 1，小于v 2B ．美国发射的“凤凰号”火星探测卫星，其发射速度大于第三宇宙速度C ．第二宇宙速度是在地面附近使物体可以挣脱地球引力束缚，成为绕太阳运行的人造行星的最小发射速度D ．第一宇宙速度7.9 km/s 是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度 答案 CD 解析 根据v ＝GMr可知，卫星的轨道半径r 越大，即距离地面越远，卫星的环绕速度越小，v 1＝7.9 km/s 是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度，选项D 正确；实际上，由于人造卫星的轨道半径都大于地球半径，故卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度都小于第一宇宙速度，选项A 错误；美国发射的“凤凰号”火星探测卫星，仍在太阳系内，所以其发射速度小于第三宇宙速度，选项B 错误；第二宇宙速度是在地面附近使物体挣脱地球束缚而成为太阳的一颗人造行星的最小发射速度，选项C 正确．2．(单选)若取地球的第一宇宙速度为8 km/s ，某行星的质量是地球质量的6倍，半径是地球半径的1.5倍，此行星的第一宇宙速度约为( ) A ．16 km /s B ．32 km/s C ．4 km /s D ．2 km/s 答案 A解析 第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，对于近地卫星，其轨道半径近似等于星球半径，所受万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力，根据万有引力定律和牛顿第二定律得G Mmr2＝m v 2r ，解得v ＝GM r.因为行星的质量M ′是地球质量M 的6倍，半径R ′是地球半径R的1.5倍，则v ′v ＝GM ′R ′GM R＝ M ′RMR ′＝2，故v ′＝2v ＝2×8 km /s ＝16 km/s ，A 正确． 3．(双选)美国“新地平线”号探测器，已于美国东部时间2006年1月17日13时(北京时间18日1时)借助“宇宙神5”火箭，从佛罗里达州卡纳维拉尔角肯尼迪航天中心发射升空，开始长达九年的飞向冥王星的太空之旅．拥有3级发动机的“宇宙神5”重型火箭将以每小时5.76万千米的惊人速度把“新地平线”号送离地球，这个冥王星探测器因此将成为人类有史以来发射的速度最高的飞行器，此速度( ) A ．大于第一宇宙速度 B ．小于第二宇宙速度 C ．大于第三宇宙速度 D ．小于并接近第三宇宙速度 答案 AD解析 由题中已知条件：5.76×104 km /h ＝16 km/s 以及第一宇宙速度是7.9 km /s ，第二宇宙速度是11.2 km/s ，第三宇宙速度是16.7 km/s ，可以判断A 、D 正确．4．(双选)一颗人造地球卫星以初速度v 发射后，可绕地球做匀速圆周运动，若使发射速度增为2v ，则该卫星可能( ) A ．绕地球做匀速圆周运动 B ．绕地球运动，轨道变为椭圆 C ．不绕地球运动，成为太阳的人造行星D ．挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙去 答案 CD解析 以初速度v 发射后能成为人造地球卫星，可知发射速度v 一定大于第一宇宙速度7.9 km /s ；当以2v 速度发射时，发射速度一定大于15.8 km/s ，已超过了第二宇宙速度11.2 km /s ，也可能超过第三宇宙速度16.7 km/s ，所以此卫星不再绕地球运行，可能绕太阳运行，或者飞到太阳系以外的空间去，故选项C 、D 正确．5．(单选)有一星球的密度与地球的密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面处的重力加速度的4倍，则该星球的质量是地球质量的( ) A.14倍 B ．4倍 C ．16倍 D ．64倍 答案 D解析 由G Mm R 2＝mg 得M ＝gR 2G ，ρ＝M V ＝gR 2G 43πR 3＝3g4πGR所以R ＝3g 4πGρ，则R R 地＝gg 地＝4根据M ＝gR 2G ＝4g 地·(4R 地)2G ＝64g 地R 2地G ＝64M 地，所以D 项正确．6．(双选)火星直径约为地球直径的一半，质量约为地球质量的十分之一，它绕太阳公转的轨道半径约为地球绕太阳公转半径的1.5倍．根据以上数据，下列说法中正确的是( ) A ．火星表面重力加速度的数值比地球表面的小 B ．火星公转的周期比地球的长 C ．火星公转的线速度比地球的大 D ．火星公转的向心加速度比地球的大 答案 AB解析 由G Mm R 2＝mg 得g ＝G M R 2，计算得火星表面的重力加速度约为地球表面的25，A 对；由G Mm r 2＝m (2πT )2r 得T ＝2π r 3GM，公转轨道半径大的周期长，B 对；周期长的线速度小(或由v ＝ GM r 判断轨道半径大的线速度小)，C 错；公转向心加速度a ＝G Mr 2，轨道半径大的向心加速度小，D 错．故选A 、B.7．(单选)一卫星绕某一行星在其表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v .假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m 的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N .已知引力常数为G ，则这颗行星的质量为( )A.m v 2GNB.m v 4GNC.N v 2GmD.N v 4Gm 答案 B解析 设卫星的质量为m ′由万有引力提供向心力，得G Mm ′R 2＝m ′v 2R①m ′v2R ＝m ′g ②由已知条件：m 的重力为N 得 N ＝mg ③由③得g ＝Nm ，代入②得：R ＝m v 2N代入①得M ＝m v 4GN ，故A 、C 、D 三项均错误，B 项正确．题组二 人造卫星运动的规律8．(双选)可以发射一颗这样的人造卫星，使其圆轨道( ) A ．与地球表面上某一纬线(非赤道)是共面同心圆 B ．与地球表面上某一经线所决定的圆是共面同心圆C ．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面是静止的D ．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，但卫星相对地球表面是运动的 答案 CD解析 人造卫星运行时，由于地球对卫星的引力是它做圆周运动的向心力，而这个力的方向必定指向圆心，即指向地心，也就是说人造卫星所在轨道圆的圆心一定要和地球的中心重合，故A 是不对的；由于地球自转，所以卫星的轨道平面也不可能和经线所决定的平面共面，所以B 也是不对的；相对地球表面静止的就是同步卫星，它必须在赤道线平面内，且距地面有确定的高度，这个高度约为三万六千千米，而低于或高于这个轨道的卫星也可以在赤道平面内运动，不过由于它们自转的周期和地球自转周期不同，就会相对于地面运动． 9．(双选)假如一做圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍，仍做圆周运动，则( )A ．根据公式v ＝ωr ，可知卫星运动的线速度将增大到原来的2倍B ．根据公式F ＝m v 2r ，可知卫星所需的向心力将减少到原来的12C ．根据公式F ＝G Mm r 2，可知地球提供的向心力将减小到原来的14D ．根据上述B 和C 中给出的公式，可知卫星运动的线速度将减小到原来的22答案 CD解析 从v ＝GMr 看出，离地球越远的卫星速度越小，当半径加倍时，地球对卫星的万有引力变为原来的14，即地球提供的向心力减小到原来的14，速度变为原来的22倍．10．(单选)2013年6月11日17时38分，“神舟十号”飞船在酒泉卫星发射中心发射升空，航天员王亚平进行了首次太空授课．在飞船进入圆形轨道环绕地球飞行时，它的线速度大小( )A ．等于7.9 km/sB ．介于7.9 km /s 和11.2 km/s 之间C ．小于7.9 km/sD ．介于7.9 km /s 和16.7 km/s 之间 答案 C解析 卫星在圆形轨道上运动的速度v ＝ G Mr.由于轨道半径r ＞地球半径R ，所以v ＜ G MR＝7.9 km/s ，C 正确． 11．(单选)如图1，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M 和2M 的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )图1A ．甲的向心加速度比乙的小B ．甲的运行周期比乙的小C ．甲的角速度比乙的大D ．甲的线速度比乙的大 答案 A解析 甲、乙两卫星分别绕质量为M 和2M 的行星做匀速圆周运动，万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心力．由牛顿第二定律G Mm r 2＝ma ＝m 4π2T 2r ＝mω2r ＝m v 2r ，可得a ＝GM r2，T＝2π r 3GM ，ω＝ GM r 3，v ＝ GMr .由已知条件可得a 甲＜a 乙，T 甲＞T 乙，ω甲＜ω乙，v 甲＜v 乙，故正确选项为A.12．据报载：某国发射了一颗质量为100 kg ，周期为1 h 的人造环月卫星，一位同学记不住引力常数G 的数值，且手边没有可查找的资料，但他记得月球半径为地球半径的14，月球表面重力加速度为地球表面重力加速度的16，经过推理，他认定该报道是则假新闻，试写出他的论证方案．(地球半径约为6.4×103 km ，g 地取9.8 m/s 2) 答案 见解析解析 对环月卫星，根据万有引力定律和牛顿第二定律得GMm r 2＝m 4π2T 2r ，解得T ＝2πr 3GM则r ＝R 月时，T 有最小值，又在月球表面有m ′g 月＝GMm ′R 2月故T min ＝2πR 月g 月＝2π14R 地16g 地＝2π 3R地2g 地代入数据解得T min ≈1.73 h环月卫星最小周期为1.73 h，故该报道是则假新闻．。
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3.2 万有引力定律的应用（1）
班级：姓名：小组：评价：
【学习目标】
一、知识与技能
1、会用万有引力定律计算天体的质量。
2、会推导人造卫星的环绕速度，会解决涉及人造地球卫星运动的较简单的问题。
3、了解海王星和冥王星的发现过程。
二、过程与方法
1、通过自主思考和讨论与交流，认识计算天体质量的思路和方法。
2、通过对海王星发现过程的了解，体会科学理论对未知世界探索的指导作用。
3、了解万有引力定律在天文学上的重要应用，体会科学思想方法。
三、情感态度与价值观
1、认识发现万有引力定律的重要意义；
2、体现科学定律对人类探索未知世界的作用。
【教学重、难点】
重点：计算天体的质量和环绕速度。
难点：会计算天体的质量和环绕速度。
【预习案】
1、宇宙中任何两个有质量的物体之间都存在着引力，引力的大小F= ，其中G= N·m2/kg2
2、做匀速圆周运动的物体具有指向圆心的向心力，向心力的大小为
F= = =
2
2
m⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
T
r
π
3、若把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需的向心力由万有引
力提供，即（F向=F万）；则由此可得到的哪些等式？
4、笔尖下发现的行星是哪一颗行星？它是怎样被发现的？
【探究案】
应用一：计算天体的质量
探究1：若月球绕地球做匀速圆周运动，其周期为T，又知月球到地心的距离为r，从这些条件出发，应用万有引力定律计算地球
的质量。
探究2：（黄金代换）在忽略地球自转的影响时，我们可以认为天体表面处的物体受到的重力等于天体对物体的万有引力。
已知地
球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，从这些条件出发
能否算出地球的质量？
应用二：计算第一宇宙速度
探究3：卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动所需要的速度称为第一宇宙速度，也叫做环绕速度。
已知地球质量M，卫星到地
心的距离近似等于地球的半径R，试结合匀速圆周运动的相关
公式推导出卫星的第一宇宙速度。
探究4：利用黄金代换公式，在已知地球半径为R的前提下，能否算出第一宇宙速度？
【反馈训练】
1、一名宇航员来到某星球上，如果该星球的质量为地球的一半，它的直径也为
地球的一半，那么这名宇航员在该星球上的重力是他在地球上重力的（ ）
A. 4倍
B. 0.5倍
C. 0.25倍
D. 2倍
变式：火星与地球的质量之比为P ，半径之比为q ，则火星表面的重力加速度和
地球表面的重力加速度之比为（ ） A. 2q
p B. 2pq C. q p D. pq 拓展：地球表面处的重力加速度为g ，则在距地面高度等于地球半径处的重力加
速度为（ ）
A. g
B. g/2
C. g/4
D. 2g
2、（双选）若人造卫星绕地球做匀速圆周运动，则下列说法中正确的是（ ）
A ．卫星的轨道半径越大，它的运行速度越大
B ．卫星的轨道半径越大，它的运行速度越小
C ．卫星的质量一定时，轨道半径越大，它需要的向心力越大
D ．卫星的质量一定时，轨道半径越大，它需要的向心力越小
变式：（双选）如图所示，在同一轨道平面上，有绕地球做匀速圆周运动的
卫星A 、B 、C 某时刻在同一条直线上，则（ A.经过一段时间，它们将同时回到原位置
B.卫星C 受到的向心力最小
C.卫星B 的周期比C 小
D.卫星A 的角速度最大
拓展：人造卫星在轨道上绕地球做圆周运动，它所受的向心力F 跟轨道半径r 的关系是（ ）
A ．由公式F =r
m v 2
可知F 和r 成反比 B ．由公式F =m ω2r 可知F 和ω2成正比
C ．由公式F =m ωv 可知F 和r 无关
D ．由公式F =
2
r GMm 可知F 和r 2成反比
【自我检测】
1．若知道太阳的某一颗行星绕太阳运转的轨道半径为r ，周期为T ，引力常量为G ，则可求得( )
A ．该行星的质量
B ．太阳的质量
C ．该行星的平均密度
D ．太阳的平均密度
2．(双选)火星直径约为地球直径的一半，质量约为地球质量的十分之一，它绕
太阳公转的轨道半径约为地球绕太阳公转半径的1.5倍．根据以上数据，下列说法中正确的是( )
A ．火星表面重力加速度的数值比地球表面小
B ．火星公转的周期比地球的长
C ．火星公转的线速度比地球的大
D ．火星公转的向心加速度比地球的大
3．如图所示，在同一轨道平面上的几个人造地球卫星A 、B 、C 绕地球做匀速圆
周运动，某一时刻它们恰好在同一直线上，下列说法中正确的是( )
A ．根据v ＝gr 可知，运行速度满足v A >v
B >v C
B ．运转角速度满足ωA >ωB >ωC
C ．向心加速度满足a A <a B <a C
D ．运动一周后，A 最先回到图示位置
4. 现代宇宙学理论告诉我们，恒星在演变过程中，会形成一种密度很大的天体，
成为白矮星或中子星，1m 3的中子星物质的质量为1.5×1017kg.若某一中子星半径为10km ，求此中子星的第一宇宙速度。
（G=6.67×10-11N ·m 2/kg 2,球体的体积3R 3
4π=V ）
【套餐作业】
A 、阅读课本，了解海王星、冥王星的发现过程。
课后练习1、5
B 、阅读课本，了解海王星、冥王星的发现过程。
课后练习1、4、5。