高中数学知识点之统计及统计案例分析

第十一编统计、统计案例

§11.1 抽样方法

1.为了了解所加工的一批零件的长度，抽取其中200个零件并测量了其长度，在这个

问题中，总体的一个样本是 . 答案 200个零件的长度

2.某城区有农民、工人、知识分子家庭共计2 004户，其中农民家庭1 600户，工人

家庭303户，现要从中抽取容量为40的样本，则在整个抽样过程中，可以用到下列抽样

方法：①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样中的 . 答案①②③

3.某企业共有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，初级职称90人.现

采用分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取的各职称的人数分别为 . 答案 3，9，18

4.（2019·广东理）某校共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表.已知在全

校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取

64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为 .

女生男生

答案 16

5.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，其相应产品数量之比为2∶3∶5，现用

分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A型号产品有16件，那么此样本的容量

n= .答案 80

例1 某大学为了支援我国西部教育事业，决定从2019应届毕业生报名的18名志愿者中，选取6人组成志愿小组.请用抽签法和随机数表法设计抽样方案.解抽签法：第一步：将18名志愿者编号，编号为1，2，3， (18)

第二步：将18个号码分别写在18张外形完全相同的纸条上，并揉成团，制成号签；

第三步：将18个号签放入一个不透明的盒子里，充分搅匀；第四步：从盒子中逐个抽取

6个号签，并记录上面的编号；第五步：所得号码对应的志愿者，就是志愿小组的成员. 随机数表法：

第一步：将18名志愿者编号，编号为01，02，03， (18)

第二步：在随机数表中任选一数作为开始，按任意方向读数，比如第8行第29列的

数7开始，向右读；

第三步：从数7开始，向右读，每次取两位，凡不在01—18中的数，或已读过的数，都跳过去不作记录，依次可得到12，07，15，13，02，09.

第四步：找出以上号码对应的志愿者，就是志愿小组的成员.

例2 某工厂有1 003名工人，从中抽取10人参加体检，试用系统抽样进行具体实施.

解（1）将每个人随机编一个号由0001至1003.（2）利用随机数法找到3个号将这3名工人剔除. (3)将剩余的1 000名工人重新随机编号由0001至1000.（4）分段，取间隔k=（5）从第一段即为0001号到0100号中随机抽取一个号l.

（6）按编号将l，100+l，200+l,…，900+l共10个号码选出，这10个号码所对应的工人组成样本

. 1000

=100将总体均分为10段，每段含100个工人. 10

一年级 373 377

二年级 x 370

三年级 y z

例3 （14分）某一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其中人口比例为

3∶2∶5∶2∶3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程. 解应采取分层抽样的方法. 过程如下：

（1）将3万人分为五层，其中一个乡镇为一层.

5分

（2）按照样本容量的比例随机抽取各乡镇应抽取的样本. 300×300×

3252=60（人）；300×=40（人）；300×=100（人）；300×=40（人）； 151515153

=60（人）， 15

3分

10分 12分 14分

因此各乡镇抽取人数分别为60人，40人，100人，40人，60人. （3）将300人组到一起即得到一个样本.

例4 为了考察某校的教学水平，将抽查这个学校高三年级的部分学生本年度的考试成绩.为了全面反映实际情况，采

取以下三种方式进行抽查（已知该校高三年级共有20个班，并且每个班内的学生已

经按随机方式编好了学号，假定该校每班学生的人数相同）：①从高三年级20个班中任

意抽取一个班，再从该班中任意抽取20名学生，考察他们的学习成绩；②每个班抽取1人，共计20人，考察这20名学生的成绩；③把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从其中共抽取100名学生进行考察（已知该校高三学生共1 000人，若按成绩分，其

中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人）. 根据上面的叙述，试回答下列

问题：

（1）上面三种抽取方式的总体、个体、样本分别是什么？每一种抽取方式抽取的样

本中，样本容量分别是多少？（2）上面三种抽取方式各自采用的是何种抽取样本的方法？（3）试分别写出上面三种抽取方式各自抽取样本的步骤.

解（1）这三种抽取方式的总体都是指该校高三全体学生本年度的考试成绩，个体都

是指高三年级每个学生本年度的考试成绩.其中第一种抽取方式的样本为所抽取的20名学

生本年度的考试成绩，样本容量为20；第二种抽取方式的样本为所抽取的20名学生本年

度的考试成绩，样本容量为20；第三种抽取方式的样本为所抽取的100名学生本年度的考试成绩，样本容量为100. （2）三种抽取方式中，第一种采用的是简单随机抽样法；第

二种采用的是系统抽样法和简单随机抽样法；第三种采用的是分层抽样法和简单随机抽

样法. （3）第一种方式抽样的步骤如下：

第一步，首先用抽签法在这20个班中任意抽取一个班.

第二步，然后从这个班中按学号用随机数表法或抽签法抽取20名学生，考察其考试

成绩. 第二种方式抽样的步骤如下：

第一步，首先用简单随机抽样法从第一个班中任意抽取一名学生，记其学号为a.

第二步，在其余的19个班中，选取学号为a的学生，加上第一个班中的一名学生，

共计20人. 第三种方式抽样的步骤如下：

第一步，分层，因为若按成绩分，其中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人，所以在抽取样本时，应该把全体学生分成三个层次.

第二步，确定各个层次抽取的人数.因为样本容量与总体的个体数之比为：100∶1

000=1∶10，所以在每个层次中抽取的个体数依次为150600250

，，，即15，60，25. 101010

第三步，按层次分别抽取.在优秀生中用简单随机抽样法抽取15人；在良好生中用简

单随机抽样法抽取60人；在普通生中用简单随机抽样法抽取25人