三角恒等变换(讲义)
三角恒等变换（讲义）
➢ 知识点睛
一、两角差的余弦公式推导
如图，在平面直角坐标系x O y 内作单位圆O ，以O x 为始边 作角αβ，，它们的终边与单位圆O 的交点分别为A ，B ．则
(cos sin )OA αα−−→=，，(cos sin )OB ββ−−→
=，，
∴(cos sin )(cos sin )OA OB ααββ−−→−−→⋅==，
，⋅_____________．
（1） （2）
设OA −−→与OB −−→的夹角为θ，
则OA OB −−→−−→⋅=cos OA OB θ−−→−−→
⋅=_____________，
∴______________________________________． 由图1可知，2k αβθ=π++，由图2可知，_____________，
于是αβ-=____________，
∴cos()αβ-=__________________________，
∴cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，记作()C αβ-．
二、两角差的其他公式
利用诱导公式可得
()S αβ-：sin()=sin cos cos sin αβαβαβ--
()T αβ-：tan tan tan()=
1tan tan αβαβαβ
--+ 以β代β-，可得到()C αβ+，()S αβ+，()T αβ+ ()C αβ+：________________________
()S αβ+：________________________
()T αβ+：________________________
()C αβ+，()S αβ+，()T αβ+这三个公式叫做和角公式；
()C αβ-，()S αβ-，()T αβ-这三个公式叫做差角公式．
三、倍角公式
利用()C αβ+，()S αβ+，()T αβ+，令βα=，
得到cos2α=_____________=____________=____________
sin 2α=_____________________
tan 2α=_____________________
四、半角公式
利用22cos 22cos 112sin ααα=-=-可得，以α代2α，
2sin 2α
=__________________
2cos 2α
=__________________ 相除，得到2tan 2α
=_________________
五、形如sin cos a x b x +的化简
sin cos sin()a x b x x ϕ++，
sin cos ϕϕ==其中
➢ 精讲精练
1. 利用和（差）角公式，求值：
（1）若()2
απ∈π，，且4sin 5α=，则=+)4πcos(α________； （2）若tan 3α=，4tan 3
β=，则tan()αβ-=_________； （3）已知3cos 5α=-，()2
απ∈π，，12sin 13β=-，β是第三 象限角，则cos()βα-=_____________．
2. 化简：
（1）sin14cos16sin76cos74︒︒+︒︒=___________；
（21cos 2
x x +=___________； （3）1tan151tan15-︒=+︒
________________； （4）sin 25cos15cos80sin 65sin15sin10︒-︒︒=︒+︒︒
______________．
3. 利用倍（半）角公式求值： （1）若α为第二象限角，且3sin 5
α=
，则sin 2α=________； （2）若3sin()cos cos()sin 5αβααβα---=，则cos 2β=____；
（3）若()42
θππ∈，，sin 2θ=sin θ=__________； （4）若12cos()sin sin()cos 13
x y x x y x +-+=，且y 是第四象限 角，则tan 2
y =____________．
4. 求值：
（1）若21tan()tan()54
αβαβ+=-=，，则tan 2α=_______；
（2）已知αβ，都是锐角，且54sin cos()135
ααβ=+=-，， 则sin β=_________；
（3）若1sin 3
x =，sin()1x y +=，则sin(2)y x +=_________．
5. 若11sin cos cos sin 23
αβαβ-=-=，，则sin()αβ+=______．
6. 若1cos()cos()5αβαβ+=-=，tan αβ=________．
7. 在△ABC 中，若2cos sin sin B A C ⋅=，则△ABC 一定是（ ）
A ．等腰直角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等边三角形
8. 求证：
（1）
sin(2)sin 2cos()sin sin A B B A B A A +-+=；
（2）
sin 2cos .tan 1cos 21cos 2
ααααα=++．
9. 若3sin )()x x x ϕϕ=-∈-ππ，
，，则=ϕ____．
10. 当函数sin 02y x x x =<π≤（）取得最大值时，x 的值为
______________．
11. 函数2cos (sin cos )y x x x =+的最大值是_________，最小正周期是
____________．
12. 函数2()5sin cos f x x x x =-x ∈R ）的单调递增区间是_________________．
13. 化简：
（1）
1sin10︒； （2）sin15cos15sin15cos15︒+︒︒-︒
；
（3）4cos 2sin 22+-；
（4
，其中2απ0<<．
【参考答案】
➢ 知识点睛
一、两角差的余弦公式推导
cos cos sin sin αβαβ+，cos θ，cos cos cos sin sin θαβαβ=+ 2k αβθ=π+-，2k θπ±，cos θ
二、两角差的其他公式
cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+
tan tan tan()1tan tan αβαβαβ
++=- 三、倍角公式
2222cos sin 2cos 112sin αααα---，，
2sin cos αα，22tan 1tan αα
- 四、半角公式
1cos 2α-，1cos 2α+，1cos 1cos αα-+ ➢ 精讲精练
1. （1）10-；（2）13；（3）3365
-
2. （1）12；（2）sin()6
x π+；（3）3；（4）tan15︒ 3. （1）2425-；（2）725
；（3）34；（4）23- 4. （1）1318；（2）5665
；（3）13 5. 5972
6. 12
7. C
8. 证明略
9. 6
π 10. 56
π
11. ，π
12. 5[]1212
Z k k k ππ-+π+π∈，，
13. （1）4；（2）；（3）2；（4）cos 2α-。
三角恒等变形讲义
三角恒等变换专题讲义李 霞知识点1：两角和与差的正弦、余弦和正切公式1.两角和与差的余弦公式βαβαβαsin sin cos cos )-cos(+=βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+注： 1.公式中两边的符号正好相反（一正一负）2.式子右边同名三角函数相乘再加减，且余弦在前正弦在后3.会逆用及其变形2.两角和与差的正弦βαβαβαsin cos -cos sin )-sin(=βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+注： 1.公式中两边的符号相同2.式子右边异名三角函数相乘再加减3.会逆用及其变形3.两角和与差的正切公式 tan(α+β)=,tan tan 1tan tan βαβα-+ tan(α-β)=.tan tan 1tan tan βαβα+- 注：1.两角和时，上加下减2.两角差时，上减下加3.会逆用及其变形考点1：求值问题【例】求下列各式的值（1）cos75°（2）cos75°cos15°－sin255°sin15°(3） sin47°－sin47°cos30cos17°（4） 1+tan75°1－tan75°（5）tan20°+tan40°+3tan20°tan40°考点2：化简问题【例】化简下列各式(1)－23sinx+21cosx(2)23sinx －21cosx知识点2：两倍角的正弦、余弦和正切公式1.两倍角的正弦公式Sin2α=2sin αcos α2.两倍角的余弦公式Cos2α=.cos ²α-sin ²α=2cos ²α－1=1－2sin ²α3.两倍角的正切公式t an2α=αα2tan 1tan 2-注：对以上三个公式会逆用及其变形考点：求值问题【例1】已知：sinα－cos α=2，α），（π0∈，则sin2α=【例2】计算求值10sin 1－ 10cos 3知识点3：简单的三角恒变形1.半角公式（1）2cos 12sinαα-±= （2）2cos 12cos αα+±=（3）αααααsin cos 1cos 1sin 2tan -=+= 2. 和差化积 （1）2cos 2sin 2sin sin βαβαβα-+=+（2）2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=- （3）2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+ （4）2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=- 3. 积化和差（1）)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=（2）)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=（3）)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++= （4）)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=4. 辅助角公式 辅助角公式：()22sin cos a x b x a b x θ+=++(其中θ角所在的象限由a , b 的符号确定，θ角的值由tan b aθ=确定)在求最值、化简时起着重要作用 考点1：化简求值问题 （1）升幂化简【例1】若32(,)αππ∈111122222cos α++【例2】化简： 440sin 12-【例3】α是第三象限角，化简 ααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+【例4】化简 ),2(cos 1cos 1cos 1cos 1ππθθθθθ∈-+++-（2）降幂化简【例1】求函数22cos sin 2y x x =+的最小值【例2】函数22cos 14y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭最小正周期为【例3】函数2553f (x )sin x cos x x =-532(x R )∈的单调递增区间为___________（3）切化弦【例1】求sin50°（1+3tan10°）的值【例2】（tan10°－3）50sin 10cos（4）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等）【例1】已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，求tan()4πα+的值【例2】已知02πβαπ<<<<，且129cos()βα-=-，223sin()αβ-=，求的值 cos()αβ+【例3】已知：锐角α和β，满足sin （α－β）=53，sin α=54，求sin β的值【例4】已知：tan （α+6π）=21，tan （β－6π）=21，求tan （α＋β）的值（5）辅助角【例1】已知函数3()2cos sin()32f x x x π=+- （1）求函数()f x 的最小正周期及取得最大值时x 的取值集合（2）求函数()f x 图像的对称轴方程【例2】已知函数23()2cos sin cos 2f x a x b x x =+-，且3(0)2f =，1()42f π=。
简单的三角恒等变换(讲义)
简单的三角恒等变换【学习目标】1．能用二倍角公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式； 2．掌握公式应用的常规思路和基本技巧； 3．了解积化和差、和差化积公式的推导过程，能初步运用公式进行互化； 4．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会 换元思想的作用，发展推理能力和运算能力；5．通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识发展过程，体会特殊与一般的关系，培养利用联系的观点处理 问题的能力．要点梳理】要点一：升（降）幂缩（扩）角公式升幂公式：22 1 cos2 2cos ， 1 cos2 2sin 降幂公式：21 cos2 2 1 cos2 cos ， sin 22要点诠释：利用二倍角公式的等价变形： 1 cos 2sin 2 ， 1 cos 2cos 2 进行“升、降幂”变换，即由左边的22 “一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换． 要点二：辅助角公式1．形如 asinx b cosx 的三角函数式的变形：asin x bcosxasin x b cosx = a 2 b 2 sin x cosa 2b 2 sin(x )（其 中 角所在 象限由 a,b 的 符号确 定， 角的值 由 tan b 确定， 或由 sin b 和 a确定， 或由a 2b 2acos 共同确定．）a2 b22．辅助角公式在解题中的应用通过应用公式 asinx bcosx = a 2 b 2 sin （x ）（或 asinx bcosx = a 2 b 2 cos （ ） ），将形如 asinx bcosx （ a, b 不同时为零）收缩为一个三角函数a 2b 2 sin （x ）（或 a 2 b 2 cos （ ））．这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数， 这样做有利于函数式的化 简、求值等．aa 2b 2sinxcosx令cosaa 2b 2,sincosxsinba 2b 2b要点三：半角公式 （ 以下公式只要求会推导，不要求记忆 ）以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的．sin 1 costan ,tan2 1 cos 2 sin以上两个公式称作半角正切的有理式表示．要点四：积化和差公式2、只有系数绝对值相同的同名三角函数的和与差，才能直接应用公式化成积的形式．如能直接化积，应先化成同名三角函数后，再用公式化成积的形式．3、三角函数的和差化积，常因采用的途径不同，而导致结果在形式上有所差异，但只要没有运算错误，其 结果实质上是一样的．4、为了能把三角函数的和差化成积的形式，有时需要把某些特殊数值当作三角函数值，如sin cos cos cos要点诠释：2[sin( [cos(2 ) sin( )] ) cos( )]cos sin sin sin2[sin([cos( 2) sin( )] ) cos( )]规律 1： 公式右边中括号前的系数都有 1 ．2规律 2： 中括号中前后两项的角分别为和规律 3： 每个式子的右边分别是这两个角的同名函数．要点五：和差化积公式x y x y sin x sin y2sin cos 22 x y x y cosx cosy 2cos cos 22 要点诠释：规律 1： 在所有的公式中，右边积的系数中都有2．sin x sin y x yxy2cos sin222sin x y x y cosx cosysin22规律 2： A B 与 A2 在第三个公式中，左边是两个余弦相加，右边是两个余弦相乘，于是得出“扣（ 在所有的公式中，左边都是角 A 与 B 的弦函数相加减，右边都是规律 扣”；而第四个公式中，左边是两个余弦相减，右边没有余弦相乘，于是得出“扣减扣等于没扣” 规律4： 两角正弦相加减时，得到的都是正弦、余弦相乘．注意1、公式中的“和差”与“积” ，都是指三角函数间的关系，并不是指角的关系．3：B 的弦函数相乘．2cos ）加扣等于俩sin cos 就不cos221π cos cos cos23ππ2sin sin6 2 6 25、三角函数式和差化积的结果应是几个三角函数式的最简形式．典型例题】类型一：利用公式对三角函数式进行证明变式 1】求证： sinsin 2sincos22类型二：利用公式对三角函数式进行化简 例 3 ． 已知 32 ，试化简 1 sin 1 sin例 1．求证： tan2 sin1 cos1 cos sin2tan1tan 22, cos2, tan1 tan 21tan 2222tan 2例 2．求证：（1） cos cos[cos( 2) cos( )](2) cosx cosy2cosx y cosx y22变式 2】求证：3x x tan tan222sin x cosx cos2x变式 1】求证： sin1 tan2 2类型三：利用公式进行三角函数式的求值1例 4．已知 sin(3 ) ，4( 1)求 cos 2 的值；2)求cos( )cos [cos( ) 1] cos( cos( 2 ) 的值2 )cos( ) cos( )【变式 1】2 已知 sin x － sin y ＝－ ， 2cos x － cos y ＝ ，且 x ，y 为锐角，则 sin( x ＋y ) 的值是 ()3 3A ．1B ．－ 111C.D.321)求 sin(2 ) 的值，2)求 tan(23)的值．变式 1】化简32 ,2变式 2】已知角α终边逆时针旋转与单位圆交于点 63 10 10(10 , 10 ) ，且 tan(类型四：三角恒等变换的综合应用3例5．求函数y sinx cosx sin xcosx ；x [ , ] 的值域442变式1】已知函数f （x） acos2x sin x cos x（ x R）的图象经过点M （1）求a 的值及函数f（x）的最小正周期T；3（2）当x [ , ]时，求函数f（x）的最值及相应的x 值．841,12），其中常数a∈R．。
高中数学 三角函数 板块三 三角恒等变换完整讲义(学生版)
学而思高中完整讲义：三角函数.板块三.三角恒等变换.学生版题型一：两角和与差的正弦、余弦、正切公式【例1】 cos79cos34sin79sin34+=（ ）。
A 12B 1 2 3【例2】 已知4cos 5α=-，(,)2παπ∈，则cos()4πα-=（ ）。
2 B 2C 7272 【例3】 在平面直角坐标系中，已知两点(cos80,sin80)A =，(cos20,sin 20)B =，则||AB 的值是（ ）A 12 2 3D 1【例4】 若3sin sin 1αβ-=，1cos cos 2αβ-=-，则cos()αβ-=（ ） A 12B 12- C 33 【例5】 已知3sin(30)5α+=，60150α<<，则cos α=（ ）343- 343+ 433- 433+【例6】 sin15cos15+=（ ）。
A 12B223 6【例7】 若α，β为锐角，且满足4cos 5α=，3cos()5αβ+=，则sin β的值是（ ）。
A 1725B 35C725D 15【例8】 已知1sin 4α=-，3(,)2παπ∈，3(,2)2πβπ∈，则αβ+是（ ） A 第一象限角 B 第二象限角典例分析C 第三象限角D 第四象限角【例9】 已知向量(cos75,sin 75)a =，(cos15,sin15)b =，那么||a b -的值为（ ）A 12B2D 1【例10】 已知34παβ+=，则(1tan )(1tan )αβ--=（ ）A 2B 2-C 1D 1-【例11】 sin163sin 223sin 253sin313+=（ ）。
A 12- B 12C【例12】 已知1tan 41tan αα-=+tan()4πα-=（ ）。
A4 B 4 C 4-- D 4-【例13】 已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+=（ ） A 1318B 1322C322D 16【例14】 已知sin cos θθ-，(0)2πθ≤≤，则sin cos θθ+=（ ）B 23C 13D 1【例15】 在ABC 中，sin cos A A +的取值范围是（ ）A(1,- B (, C (,2] D (1,1]- 【例16】 sin70sin30cos70cos30a =+，cos71cos30sin71sin30b =+，则,a b 的大小关系是 。
5.5 三角恒等变换 课件(21张PPT)(2024年)
2
α是 的二倍角,
2是的二倍角，在倍角公式cos 2α=1－2sin2α中，利用换
元法，
用代替2，用
2
代替，得
cos α=1－2sin2
2
1－
2
=
2
2
新知探究
同理，在倍角公式cos
2
2α=2cos α－1中，用代替2，用
cos
2
α=2
2
−1
2
1+
(1)sin αcos β＝
2
(2)sin θ＋sin φ=2sin θ＋φcos θ－φ
2
2
思考1:(2)式与(1)式有什么相同点和不同点？
θ＋φ
θ－φ
(换元法)如果我们令α＝
，β＝
,
2
2
θ＋φ θ－φ
θ＋φ θ－φ
即α＋β＝
+
= ，α－β＝
=φ，代入(1)中得
2
2
2
2
θ＋φ
θ－φ
2sin
cos
＝sin θ＋sin φ
(＋)＋(－)
同理，我们还可以得到公式
cos αsin
cos αcos
1
β＝
2
1
β＝
2
(＋)－(－)
(＋)＋(－)
1
2
sin αsin β＝ (－)－(＋)
我们把以上四个公式叫做“积化和差公式”
例2、求证：
1
[sin(α＋β)＋sin(α－β)]
2
2
2
， 2 ，2 .
新知探究
例1、试以cos α表示2
三角恒等变换(讲义及答案)
5. 若 sin cos 1 ，cos sin 1 ，则 sin( ) ______．
2
3
6. 若 cos( ) 1 ，cos( ) 3 ，则 tan tan =________．
5
5
7. 在△ABC 中，若 2cos B sin A sin C ，则△ABC 一定是（ ）
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
8. 求证：
（1） sin(2A B) 2cos(A B) sin B ；
sin A
sin A
（2）
1
sin 2 cos 2
.1cocsos
tan
2
．
4
9. 若 3sin x 3 cos x 2 3 sin(x ) ， ( ，) ，则 ____．
以 代 ，可得到 C( ) ， S( ) ， T( )
C( ) ：________________________
S( ) ：________________________
T( ) ：________________________ C( ) ， S( ) ， T( ) 这三个公式叫做和角公式； C( ) ， S( ) ， T( ) 这三个公式叫做差角公式．
三角恒等变换（讲义）
知识点睛
一、两角差的余弦公式推导 如图，在平面直角坐标系 xOy 内作单位圆 O，以 Ox 为始边 作角 ， ，它们的终边与单位圆 O 的交点分别为 A，B．则
OA (cos ，sin ) ， OB (cos ，sin ) ，
∴ OA OB (cos ，sin ) (cos ，sin ) _____________．
1
三、倍角公式 利用 C( ) ， S( ) ， T( ) ，令 ， 得到 cos 2 =_____________=____________=____________ sin 2 =_____________________
简单的三角恒等变换讲义
简单的三角恒等变换讲义一、知识梳理1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C (α－β))，cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C (α＋β))sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S (α－β))，sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S (α＋β))tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(T (α－β))，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T (α＋β)) 2．二倍角公式sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 注意：1．降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2. 2．升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α.3．辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2. 二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( ) (2)对任意角α都有1＋sin α＝)2cos 2(sin αα+2.( ) (3)y ＝3sin x ＋4cos x 的最大值是7.( )(4)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( ) 题组二：教材改编 2．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin )4(πα+等于( ) A ．－210 B.210 C ．－7210 D.72103．sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝ .4．tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝ .题组三：易错自纠5．化简：cos 40°cos 25°·1－sin 40°＝ . 6．若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝ . 三、典型例题题型一：和差公式的直接应用1．已知sin α＝35，α∈),2(ππ，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为( ) A ．－211 B.211 C.112 D ．－1122．已知角α为锐角，若sin )6(πα-＝13，则cos )3(πα-等于( ) A.26＋16B.3－28C.3＋28D.23－16 3．计算sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为 ． 思维升华：(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．题型二：和差公式的灵活应用命题点1：角的变换典例 (1)设α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝ . (2)已知cos(75°＋α)＝13，则cos(30°－2α)的值为 ． 命题点2：三角函数式的变换 典例 (1)求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°)5tan 5tan 1( -. 思维升华：(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．跟踪训练 (1)计算：cos 10°－3cos (－100°)1－sin 10°＝ .(用数字作答) (2)已知α∈)20(π，，β∈)20(π，，且cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，则sin β＝ . 四、反馈练习1．若cos θ＝23，θ为第四象限角，则cos )4(πθ+的值为( )A.2＋106 B.22＋106 C.2－106 D.22－1062．若sin α＝45，则sin )4(πα+－22cos α等于( ) A.225 B ．－225 C.425 D ．－425 3．已知α是第二象限角，且tan α＝－13，则sin 2α等于( ) A ．－31010B.31010 C ．－35 D.354．设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°sin 127°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．a >c >b5．已知sin α＝35且α为第二象限角，则tan )42(πα+等于( ) A ．－195 B ．－519 C ．－3117 D ．－17316．已知sin 2α＝23，则cos 2)4(πα+等于( ) A.16B.13C.12D.23 7．2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是( ) A.12B.32C. 3D.28．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝16，tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3，则α，β的大小关系是( ) A ．α<π4<β B ．β<π4<α C.π4<α<β D.π4<β<α9．若tan )4(πα-＝16，则tan α＝ . 10．化简：2tan (45°－α)1－tan 2(45°－α)·sin αcos αcos 2α－sin 2α＝ . 11．已知sin α＋cos α＝13，则sin 2)4(απ-＝ . 12．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝35，β是第三象限角，则sin )45(βπ+＝ . 13．若α∈)2(ππ，，且3cos 2α＝sin )4(απ-，则sin 2α的值为( )A ．－118 B.118 C ．－1718 D.171814．已知cos )4(θπ+cos )4(θπ-＝14，则sin 4θ＋cos 4θ的值为 ． 15．设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为 ．16．已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)·sin 2x ＋12cos 4x . (1)求f (x )的最小正周期及单调递减区间；(2)若α∈(0，π)，且f )84(πα-＝22，求tan )3(πα+的值．。
三角函数与三角恒等变换讲义
三角函数、解三角形第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数一、基础知识1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }．终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同． 2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：有关角度与弧度的两个注意点(1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．二、常用结论汇总——规律多一点(1)一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)三角函数定义的推广设点P (x ，y )是角α终边上任意一点且不与原点重合，r ＝|OP |，则sin α＝y r ，cos α＝xr ，tan α＝yx(x ≠0)．(3)象限角(4)轴线角考点一 象限角及终边相同的角[典例] (1)若α是第二象限角，试分别确定2α，2α，3α的终边所在的位置。
(2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________．[题组训练]1．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪k π≤α≤k π＋π4，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )2.在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．3.（1）用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合，如图所示（不包括边界）。
3三角恒等变换-简单难度-讲义
三角恒等变换知识讲解一、三角恒等变换1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式1）sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; 2）cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=m ;3）tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=m (2k k Zπαβαβπ+??，，，);变形式tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ??m ()2k k Z παβαβπ+??，，，．2.二倍角公式1）sin22sin cos ααα=;变形式1sin cos sin 22ααα=．2）2222cos2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=-;变形式2cos21cos 2αα+=；21cos2sin 2x α-=． 3）22tan tan 21tan ααα=-．3.辅助角公式()22222222sin cos (sin cos )sin y a b a b a b a b a b αααααϕ=+=++=++++，其中ϕ所在的象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan baϕ=确定． 4.化简中常用1的技巧“1”的代换221sin cos αα=+；212cos cos2αα=-，21cos2sin αα=+，1tan4π=．经典例题一．选择题（共15小题）1．（2018•新课标Ⅱ）若f （x ）=cosx ﹣sinx 在[0，a ]是减函数，则a 的最大值是（ ） A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π2．（2018•新课标Ⅱ）若f （x ）=cosx ﹣sinx 在[﹣a ，a ]是减函数，则a 的最大值是（ ） A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π3．（2018•新课标Ⅱ）若sinα=13，则cos2α=（ ）A ．89B ．79C ．﹣79D ．﹣894．（2018•东莞市模拟）cos 2(x −π4)+sin 2(x +π4)=（ ）A ．1B ．1﹣cos2xC ．1+cos2xD ．1+sin2x5．（2018•绵阳模拟）若tan(α−π4)=2，则tan2α=（ ）A．﹣3B．3C．−34D．346．（2018•延边州模拟）已知sinα−cosα=43，则cos2(π4−α)=（）A．19B．29C．49D．597．（2018•佛山一模）已知tanθ+1tanθ=4，则cos2(θ+π4)=（）A．12B．13C．14D．158．（2018•开封三模）已知sin（π4+α）=35，则sin（3π4−α）=（）A．45B．−45C．35D．−359．（2018•全国一模）已知s in(π3−a)=13，则cos(5π6−a)=（）A．13B．−13C．2√23D．−√2310．（2018•三模拟）已知cos（π﹣α）=13，sin(π2+β)=23（其中，α，β∈（0，π）），则sin （α+β）的值为（ ） A ．4√2−√59B ．4√2+√59C ．−4√2+√59D ．−4√2−√5911．（2018•河南一模）log 2(cos 7π4)的值为（ ）A ．﹣1B ．−12C ．12D ．√2212．（2018•淮南一模）设α∈(0，π2)，β∈(0，π4)，且tanα=1+sin2βcos2β，则下列结论中正确的是（ ） A ．2α﹣β=π4B ．2α+β=π4C ．α﹣β=π4D ．α+β=π413．（2018•唐山二模）若x ∈[0，π]，则函数f （x ）=cosx ﹣sinx 的增区间为（ ） A ．[0，π4] B ．[π4，π] C ．[0，3π4]D ．[3π4，π]14．（2018•榆林二模）已知cosθsinθ=3cos(2π+θ)，|θ|＜π2，则sin2θ=（ ）A ．8√29B ．2√23C ．4√29D ．2√2915．（2018•四平模拟）已知△ABC 满足AB →2=AB →⋅AC →+BA →⋅BC →+CA →⋅CB →，则△ABC 是（ ） A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形D ．钝角三角形二．填空题（共7小题）16．（2018•兰州模拟）若s in(π4−α)=−25，则cos(π4+α)= ．17．（2018春•扬州期末）求值：sin75°•cos75°= ．18．（2017秋•南阳期末）已知：sinα+cosβ=32，则cos2α+cos2β的取值范围是 ．19．（2017•江苏）若tan （α﹣π4）=16．则tanα= ．20．（2017•上海模拟）已知角α的终边过点（﹣2，3），则sin2α= ．21．（2017•江苏一模）已知sinα=3sin （α+π6），则tan （α+π12）= ．22．（2017•上海模拟）函数f(x)=sinx +√3⋅cosx ，若存在锐角θ满足f （θ）=2，则θ= ．三．解答题（共5小题）23．（2018•玉溪模拟）已知tan （α+π4）=﹣3，α∈（0，π2）．（1）求tanα的值；（2）求sin （2α﹣π3）的值．24．（2018•北京模拟）已知函数f （x ）=2√3sin （ax ﹣π4）cos （ax ﹣π4）+2cos 2（ax﹣π4）（a ＞0），且函数的最小正周期为π2． （Ⅱ）求a 的值；（Ⅱ）求f （x ）在[0，π4]上的最大值和最小值．25．（2018•江苏模拟）已知三点A （3，0），B （0，3），C （cosα，sinα），α∈（0，π）．若AC →⋅BC →=25，求（1）cosα+sinα的值；（2）sin(α+π6)的值．26．（2018•河南一模）△ABC 的内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ．已知：（1﹣tanA）（1﹣tanB）=2．（1）求角C；（2）若b=2√2，c=4，求△ABC的面积S△AB C．27．（2018•昌平区二模）已知函数f(x)=2sin(π4−x)cos(π4−x)+√3sin2x．（I）求函数f（x）的最小正周期；（II）求函数f（x）在区间[0，π2]上的最值及相应的x值．。
三角恒等变换讲解
三角恒等变换讲解三角恒等变换是指在三角函数之间相互变换的一系列等式关系，常用于简化和证明三角函数的性质以及求解三角方程。
下面介绍一些常见的三角恒等变换：1. 基本恒等变换：-正弦与余弦的关系：sin²θ+ cos²θ= 1-正切与余切的关系：tanθ= sinθ/ cosθ，cotθ= cosθ/ sinθ-余割与正割的关系：cscθ= 1 / sinθ，secθ= 1 / cosθ2. 倍角恒等变换：-正弦的倍角公式：sin(2θ) = 2sinθcosθ-余弦的倍角公式：cos(2θ) = cos²θ- sin²θ= 2cos²θ- 1 = 1 - 2sin²θ-正切的倍角公式：tan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan²θ)3. 和差恒等变换：-正弦的和差公式：sin(A ±B) = sinAcosB ±cosAsinB-余弦的和差公式：cos(A ±B) = cosAcosB ∓sinAsinB-正切的和差公式：tan(A ±B) = (tanA ±tanB) / (1 ∓tanAtanB)4. 反函数恒等变换：-正弦的反函数：sin⁻¹(x) = θ，其中sinθ= x，-π/2 ≤θ≤π/2-余弦的反函数：cos⁻¹(x) = θ，其中cosθ= x，0 ≤θ≤π-正切的反函数：tan⁻¹(x) = θ，其中tanθ= x，-π/2 < θ< π/2注意，上述恒等变换只是一部分常见的例子，实际上还有许多其他的三角恒等变换。
在解题或证明过程中，根据需要，可以根据题目的要求和三角函数的关系，使用适当的三角恒等变换来简化计算或推导出所需的结果。
三角恒等变换讲义及常用三角函数
1、由二倍角公式引导学生思考：2αα与有什么样的关系？ 例1、试以cos α表示222sin ,cos ,tan 222ααα．解：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题． 因为2cos 12sin 2αα=-，可以得到21cos sin 22αα-=； 因为2cos 2cos 12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=． 又因为222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+． 思考：代数式变换与三角变换有什么不同？例2．试以tan α表示sin 2,cos 2,tan 2ααα分析: 首先寻找式子所包含的各个角之间的联系222222222222sin cos 2tan sin 22sin cos sin cos 1tan cos sin 1tan cos 2cos sin sin cos 1tan αααααααααααααααααα===++--=-==++ 例3、求证：（１）、()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）、sin sin 2sin cos 22θϕθϕθϕ+-+=．证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-．两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-； 即()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦；（２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβϕ+=-=， 那么,22θϕθϕαβ+-==．把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sincos 22θϕθϕθϕ+-+=．思考：在例3证明中用到哪些数学思想？ 要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．三、教学设想：三角函数的和（差）公式，倍角公式三角函数公式是三角变换的理论依据，基本的三角公式包括同角关系公式，诱导公式，和差公式和二倍角公式等（二）新课讲授：1、由二倍角公式引导学生思考：2αα与有什么样的关系？ 例1、试以cos α表示222sin ,cos ,tan 222ααα．解：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题． 因为2cos 12sin 2αα=-，可以得到21cos sin 22αα-=； 因为2cos 2cos 12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=． 又因为222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+． 思考：代数式变换与三角变换有什么不同？例2．试以tan α表示sin 2,cos 2,tan 2ααα分析: 首先寻找式子所包含的各个角之间的联系222222222222sin cos 2tan sin 22sin cos sin cos 1tan cos sin 1tan cos 2cos sin sin cos 1tan αααααααααααααααααα===++--=-==++ 例3、求证：（１）、()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦；（２）、sin sin 2sin cos 22θϕθϕθϕ+-+=．证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-．两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-； 即()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβϕ+=-=， 那么,22θϕθϕαβ+-==．把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sincos 22θϕθϕθϕ+-+=．思考：在例3证明中用到哪些数学思想？ （１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．反三角函数主要是三个：y ＝arcsin(x)，定义域[-1,1] ，值域[-π/2,π/2]图象用红色线条；y=arccos(x)，定义域[-1,1] ， 值域[0,π]，图象用蓝色线条；y=arctan(x)，定义域(-∞,+∞)，值域(-π/2,π/2)，图象用绿色线条；sin(arcsin x)=x,定义域[-1,1],值域 [-1,1] arcsin(-x)=-arcsinx其他公式:三角函数其他公式arcsin(-x)=-arcsinxarccos(-x)=π－arccosxarctan(-x)=-arctanxarccot(-x)=π－arccotxarcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotxsin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)当x∈[—π/2，π/2]时，有arcsin(sinx)=x当x∈[0,π],arccos(cosx)=xx∈(—π/2，π/2),arctan(tanx)=xx∈(0，π),arccot(cotx)=xx〉0,arctanx=π/2-arctan1/x,arccotx类似若(arctanx+arctany)∈(—π/2，π/2),则arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy)本文来自:【爱学啦】原文地址：/shuxue/jiangjie/10816.html同角三角函数间的基本关系式：平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)·积的关系：sinα=tanα*cosαcosα=cotα*sinαtanα=sinα*secαcotα=cosα*cscαsecα=tanα*cscαcscα=secα*cotα·倒数关系：tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边,·三角函数恒等变形公式·两角和与差的三角函数：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)·三角和的三角函数：sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)·辅助角公式：Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)tant=B/AAsinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B·倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]·三倍角公式：sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα·半角公式：sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα·降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]·积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2·其他：sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0三角函数的角度换算公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα(以上k∈Z)。