2019-2020学年福建师大附中高三(上)期中数学试卷(文科)(解析版)

2019-2020学年福建师大附中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1. 已知集合A ={x|x 2−x <0}，B ={x|2x <1}，则( ) A.A ∩B ={x|x <0} B.A ∪B =R C.A ∪B ={x|x >1} D.A ∩B =⌀2. 设向量a →=(1, −2)，b →=(0, 1)，向量λa →+b →与向量a →+3b →垂直，则实数λ＝（ ）A.12B.1C.−1D.−123. “a ＝1”是“直线(2a +1)x +ay +1＝0和直线ax −3y +3＝0垂直”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3−S 2＝6，则S 5＝（ ） A.15 B.30 C.40 D.605. 设l ，m 是条不同的直线，α是一个平面，以下命题正确的是（ ） A.若l // α，m // α，则l // m B.若l // α，m ⊥l ，则m ⊥α C.若l ⊥α，m ⊥l ，则m // α D.若l ⊥α，m ⊥α，则l // m6. 已知函数f(x)=√3sin ωx +cos ωx(ω>0)的最小正周期为π，将f(x)的图象向右平移π6个单位长度得到函数g(x)的图象，有下列四个结论： p 1:g(x)在(−π6, π3)单调递增；p 2:g(x)为奇函数；p 3:y ＝g(x)的图象关于直线x =5π6对称；p 4:g(x)在[0, π2]的值域为[−1, 1]． 其中正确的结论是（ ） A.p 1，p 3 B.p 1，p 4C.p 2，p 3D.p 3，p 47. 已知曲线C 1:x 2+y 2−4y +3＝0与y 轴交于A ，B 两点，P 为C 2:x −y −1＝0上任意一点，则|PA|+|PB|的最小值为（ ） A.2 B.2√5 C.2√2 D.48. 已知直线x +2y +√5=0与直线x −dy +11√5=0互相平行且距离为m ．等差数列{a n }的公差为d ，且a 7⋅a 8＝35，a 4+a 10<0，令S n ＝|a 1|+|a 2|+|a 3|+...+|a n |，则S m 的值为（ ） A.36 B.44 C.52 D.609. 函数f(x)=e |x|2x的部分图象大致为（ ）A. B.C. D.10. 已知函数f(x)＝2sin (ωx +π4)在区间(0, π8)上单调递增，则ω的最大值为（ ）A.12 B.1 C.2 D.411. 玉琮是古代祭祀的礼器，如图为西周时期的“凤鸟纹饰”玉琮，其形对称，呈扁矮方柱状，内圆外方，前后对穿圆孔，两端留有短射，蕴含古人“璧圆象天，琮方象地”的天地思想，该玉琮的三视图及尺寸数据（单位：cm ）如图所示．根据三视图可得该玉琮的体积（单位：cm 3）为（ ）A.256+14πB.256+16πC.256−29πD.256−22π12. 定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x +2)＝f(−x)，且当x ∈[0, 1]时，f(x)＝2x −cos x ，则下列结论正确的是（ ） A.f(20203)<f(20192)<f(2018) B.f(2018)<f(20203)<f(20192)C.f(2018)<f(20192)<f(20203) D.<f(20192)<f(20203)<f(2018)二、填空题：每小题5分，共20分.13 若x ，y 满足约束条件{x +y −2≥0x −y −2≤02x −y −2≥0 ，则z ＝x +2y 的最小值为________．14若直线y ＝x +1与函数f(x)＝ax −ln x 的图象相切，则a 的值为________．15已知函数f(x)=2x2x−1+3sin (x −12)+12，则f(12019)+f(22019)+……+f(20182019)的值为________．16 已知三棱锥A −BCD 的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90∘，AD ＝2，若球O 的表面积为29π，则三棱锥A −BCD 的侧面积的最大值为________．三、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17数列{a n }满足：a 12+a 23+⋯+a n n+1=n 2+n ，n ∈N ∗．(1)求{a n }的通项公式； (2)设b n =1a n，数列{b n }的前n 项和为S n ，求满足S n >920的最小正整数n ．18在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2√3cos αy =2sin α ，其中α为参数，在以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P 的极坐标为(2√2, π4)，直线l 的极坐标方程为ρsin (α−π4)+4√2=0． （1）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；（2）若Q 是曲线C 上的动点，M 为线段PQ 的中点．求点M 到直线l 的距离的最大值．19 已知函数f(x)＝|x −5|−|x +3|． （1）解关于x 的不等式f(x)≥x +1；（2）记函数f(x)的最大值为m ，若a >0，b >0，e a ⋅e 4b ＝e 2ab−m ，求ab 的最小值．20 在如图所示的多面体中，面ABCD 是平行四边形，四边形BDEF 是矩形．（1）求证：AE // 平面BFC（2）若AD ⊥DE ，AD ＝DE ＝1，AB ＝2，∠BAD ＝60∘，求三棱锥F −AEC 的体积．21 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知a sin A+C 2=b sin A ．(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．22 已知函数f(x)＝xe x −a2x 2−ax ． （1）讨论f(x)的单调性；（2）当x ≥−1时，f(x)+a2x 2−a +1≥0，求a 的取值范围．参考答案与试题解析2019-2020学年福建师大附中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1.【答案】 D【考点】子集与交集、并集运算的转换 不等式集合的含义与表示【解析】先分别求出集合A 和B ，由此能求出结果． 【解答】解：∵ 集合A ={x|x 2−x <0}={x|0<x <1}， B ={x|2x <1}={x|x <0}， ∴ A ∩B =⌀． 故选D . 2. 【答案】 B【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】由已知先求出λa →+b →，a →+3b →，然后结合向量数量积的性质可求 【解答】∵ a →=(1, −2)，b →=(0, 1)，∴ λa →+b →=(λ, 1−2λ)，a →+3b →=(1, 1)， ∵ 向量λa →+b →与向量a →+3b →垂直， ∴ λ+1−2λ＝0， 则实数λ＝1 3.【答案】 A【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】根据直线垂直的等价条件求出a 的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】若直线(2a +1)x +ay +1＝0和直线ax −3y +3＝0垂直， 则a(2a +1)+(−3)×a ＝0，得a 2−a ＝0，得a ＝1或a ＝0，则“a ＝1”是“直线(2a +1)x +ay +1＝0和直线ax −3y +3＝0垂直”的充分不必要条件， 4.【答案】 B【考点】等差数列的前n 项和 【解析】根据等差数列的性质和求和公式即可求出． 【解答】∵ S 3−S 2＝a 3， ∴ a 3＝6， ∴ S 5=5(a 1+a 5)2=5a 3＝30，5.【答案】 D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系 【解析】在A 中，l 与m 相交、平行或异面；在B 中，m 与α相交、平行或m ⊂α；在C 中，m // α或m ⊂α；在D 中，由线面垂直的性质定理得l // m ． 【解答】由l ，m 是条不同的直线，α是一个平面，知：在A 中，若l // α，m // α，则l 与m 相交、平行或异面，故A 错误； 在B 中，若l // α，m ⊥l ，则m 与α相交、平行或m ⊂α，故B 错误； 在C 中，若l ⊥α，m ⊥l ，则m // α或m ⊂α，故C 错误；在D 中，若l ⊥α，m ⊥α，则由线面垂直的性质定理得l // m ，故D 正确． 6. 【答案】 A【考点】命题的真假判断与应用 【解析】由两角和的正弦公式和周期公式可得f(x)的解析式，由图象平移可得g(x)的解析式，由正弦函数的单调性可判断p 1；由奇偶性的定义可判断p 2；由正弦函数的对称性可判断p 3；由正弦函数的值域可判断p 4． 【解答】函数f(x)=√3sin ωx +cos ωx(ω>0)的最小正周期为π， 可得f(x)＝2sin (ωx +π6)的周期为T =2πω=π，即ω＝2，即有f(x)＝2sin (2x +π6)，将f(x)的图象向右平移π6个单位长度得到函数g(x)的图象，可得g(x)＝2sin (2x −π3+π6)＝2sin (2x −π6)， 由x ∈(−π6, π3)，可得2x −π6∈(−π2, π2)， 可得g(x)在(−π6, π3)单调递增，故p 1正确；g(x)的图象不关于原点对称，不为奇函数，故p 2错误； 由g(5π6)＝2sin3π2=−2，为最小值，y ＝g(x)的图象关于直线x =5π6对称，故p 3正确；由x ∈[0, π2]，可得2x −π6∈[−π6, 5π6]，即有g(x)在[0, π2]的值域为[−1, 2]，故p 4错误． 7.【答案】 B【考点】直线与圆的位置关系 【解析】化圆的方程为标准方程，画出图形，找A 关于直线的对称点，再由两点间的距离公式求解． 【解答】由C 1:x 2+y 2−4y +3＝0，得x 2+(y −2)2＝1， 取x ＝0，解得y ＝1或y ＝3． 不妨设A(0, 1)，B(0, 3)， 如图，设A(0, 1)关于直线x −y −1＝0的对称点为C(m, n)，则{m2−n+12−1=0n−1m=−1，解得m ＝2，n ＝−1．∴ C(2, −1)．则|PA|+|PB|的最小值为|BC|=√(2−0)2+(−1−3)2=2√5． 8.【答案】 C【考点】 数列的求和 【解析】根据平行线的距离求出d ＝−2，以及m ＝10，再根据等差数列的定义求出通项公式，即可求出和．【解答】由两直线平行得d ＝−2，由两平行直线间距离公式得m =√5−√5|√1+22=10，∵ a 7⋅(a 7−2)＝35得a 7＝−5或a 7＝7． ∵ a 4+a 10＝2a 7<0， ∴ a 7＝−5，∴ a n ＝−2n +9，∴ S n ＝|a 1|+|a 2|+|a 3|+...+|a 10|＝|7|+|5|+|3|+|1|+|−1|+|−3|+|−5|+|−7|+|−9|+|−11|＝52． 9.【答案】 C【考点】函数的图象与图象的变换 【解析】利用函数为奇函数排除A ；再由当x →+∞时，y →+∞，排除B ；利用导数判断单调性且求极值得答案． 【解答】函数的定义域为(−∞, 0)∪(0, +∞)，且f(−x)＝−f(x)，函数为奇函数，排除A ； 又当x →+∞时，y →+∞，排除B ； 而x >0时，f(x)=e x 2x，f′(x)=2xe x −2e x4x 2=e x (x−1)2x 2．可得x ＝1为函数的极小值点，结合图象可知，函数f(x)=e |x|2x的部分图象大致为C ．10.【答案】 C【考点】正弦函数的单调性 【解析】直接利用三角函数的单调性的应用求出结果． 【解答】函数f(x)＝2sin (ωx +π4)在区间(0, π8)上单调递增， 令：−π2+2kπ≤ωx +π4≤2kπ+π2(k ∈Z)， 解得：−3π4ω+2kπω≤x ≤2kπω+π4ω(k ∈Z)， 故：−3π4ω+2kπω<0≤x ≤π8<2kπω+π4ω(k ∈Z)，即：{−3π4ω+2kπω<0π8<2kπω+π4ω ，解得：ω的最大值为2． 11.【答案】 D【考点】组合几何体的面积、体积问题 由三视图求体积【解析】利用几何体的图形以及三视图的数据求解几何体的体积即可． 【解答】由题意几何体是底面边长为8高为4的正四棱柱，挖去一个半径为3的圆柱，两端各一个高为1，半径为4的圆柱挖去一个半径为3的圆柱的几何体，可知几何体的体积为：(8×8−9π)×4+2×(16−9)π×1＝256−22π． 12.【答案】 C【考点】函数奇偶性的性质与判断 【解析】根据f(x)是奇函数，以及f(x +2)＝f(−x)即可得出f(x +4)＝f(x)，即得出f(x)的周期为4，从而可得出f(2018)＝f(0)，f(20192)=f(12)，f(20203)=f(712)，然后可根据f(x)在[0, 1]上的解析式可判断f(x)在[0, 1]上单调递增，从而可得出f(2018)<f(20192)<f(20203)．【解答】∵ f(x)是奇函数；∴ f(x +2)＝f(−x)＝−f(x)； ∴ f(x +4)＝−f(x +2)＝f(x)； ∴ f(x)的周期为4；∴ f(2018)＝f(2+4×504)＝f(2)＝f(0)，f(20192)=f(12+4×251)=f(12)，f(20203)=f(712+4×168)=f(712)；∵ x ∈[0, 1]时，f(x)＝2x −cos x 单调递增； ∴ f(0)<f(12)<f(712)；∴ f(2018)<f(20192)<f(20203)．二、填空题：每小题5分，共20分.13【答案】 2【考点】 简单线性规划 【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数以及可行域，判断最值点的位置，然后求解最小值即可． 【解答】因为线性约束条件所决定的可行域为非封闭区域且目标函数为线性的，最值一定在边界点处取得． 分别将点(43,23),(2,0)代入目标函数，求得：z 1=43+2×23=83,z 2=2+2×0=0，所以最小值为2． 14【答案】 2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】求出函数的导数，设出切点坐标，得到关于a 的方程组，解出即可． 【解答】 f′(x)＝a −1x ， 设切点是（t, f(t)），故f′(t)＝a −1t ，f(t)＝at −ln t ， 由题意得： {a −1t =1at −ln t =t +1， 解得：{t =1a =2 ，15【答案】 3027 【考点】正弦函数的奇偶性和对称性 【解析】根据条件判断函数f(x)关于(12, 32)对称，利用函数的对称性进行求解即可．【解答】将函数f(x)向左平移12的单位得到：f(x +12)=2(x +12)2(x +12)−1+3sin (x +12−12)+12=2x +12x +3sin x +12＝1+12x +3sin x +12=12x +3sin x +32， 此时函数关于(0, 32)对称，则函数f(x)关于(12, 32)对称， 即f(x)+f(1−x)＝3，设S ＝f(12019)+f(22019)+……+f(20182019)， 则S ＝f(20182019)+f(20172019)+……+f(12019)，则两式相加得2S ＝[f(12019)+f(20182019)]×2018＝3×2018． 即S ＝3×1009＝3017， 16【答案】5√2+254【考点】球的表面积和体积柱体、锥体、台体的侧面积和表面积 【解析】根据题意明确三棱锥的形状符合内嵌于长方体，将三棱锥的侧面积表示成数学式子，即可研究该式的最值问题． 【解答】因为DA ⊥平面ABC ，且AB ⊥AC ，所以侧棱AB 、AC 、AD 两两垂直、共点，所以该三棱锥可内嵌于长方体中，如图所示， 设AB ＝a ，AC ＝c ，设侧面积为S ，则S =12⋅2b +12⋅2c +12bc =b +c +12bc ，又因为该三棱锥外接球与长方体相同，设球的半径为R ，由题意知，球的表面积为29π＝4πR 2， ∵ R =√292，∴ 2R =√29=√4+b 2+c 2，∴ b 2+c 2＝25，由均值不等式可知，bc ≤b 2+c 22=252，b 2+c 22≥(b+c 2)2， 解得b +c ≤5√2，都是b ＝c 时等号成立， ∴ S =b +c +12bc ≤5√2+254．三、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17【答案】 解：(1)由题意，a 12+a 23+⋯+a n n+1=n 2+n ，当n ≥2时，a 12+a 23+⋯+a n−1n=(n −1)2+n −1，两式相减得，ann+1=2n ，即a n =2n(n +1)(n ≥2)．当n =1时，a 1=4也符合上式， ∴ a n =2n(n +1). (2)b n =1a n =12n(n+1)=12(1n −1n+1)，∴ S n =12(1−12+12−13+⋯+1n −1n+1) =12(1−1n +1) =n2(n+1)．由S n =n 2(n+1)>920，解得：n >9．∴ 满足S n >920的最小正整数n 为10． 【考点】数列与不等式的综合 数列的求和 数列递推式 【解析】(Ⅰ)由已知数列递推式可得a 12+a 23+⋯+a n−1n=(n −1)2+n −1(n ≥2)，与原递推式作差可得{a n }的通项公式；(Ⅱ)把{a n }的通项公式代入b n =1a n，然后利用裂项相消法求数列{b n }的前n 项和为S n ，再求解不等式得答案．【解答】解：(1)由题意，a12+a 23+⋯+ann+1=n 2+n ，当n ≥2时，a12+a 23+⋯+a n−1n=(n −1)2+n −1，两式相减得，a nn+1=2n ，即a n =2n(n +1)(n ≥2)．当n =1时，a 1=4也符合上式， ∴ a n =2n(n +1).(2)b n =1a n=12n(n+1)=12(1n −1n+1)，∴ S n =12(1−12+12−13+⋯+1n −1n+1) =12(1−1n +1) =n 2(n+1)．由S n =n2(n+1)>920，解得：n >9． ∴ 满足S n >920的最小正整数n 为10．18【答案】∵ 直线l 的极坐标方程为ρsin (α−π4)+4√2=0，即ρsin α−ρcos α+8＝0． 由x ＝ρcos α，y ＝ρsin α，可得直线l 的直角坐标方程为x −y −8＝0． ∵ 曲线C 的参数方程为{x =2√3cos αy =2sin α，其中α为参数，∴曲线C的普通方程为x212+y24=1．…………设Q(2√3cosα, 2sinα)，α∈[0, 2π)．点P的极坐标(2√2, π4)化为直角坐标为(2, 2)．则M(√3cosα+1,sinα+1)．∴点M到直线l的距离d=√3cos√2=|2sin(α+2π3)−8|√2≤5√2．当sin(α+2π3)＝−1时，等号成立．∴点M到直线l的距离的最大值为5√2．…………【考点】参数方程与普通方程的互化圆的极坐标方程【解析】（1）由直线l的极坐标方程能求出直线l的直角坐标方程；由曲线C的参数方程能求出曲线C的普通方程．（2）设Q(2√3cosα, 2sinα)，α∈[0, 2π)．点P的极坐标(2√2, π4)化为直角坐标为(2, 2)．则M(√3cosα+ 1,sinα+1)．由此能求出点M到直线l的距离的最大值．【解答】∵直线l的极坐标方程为ρsin(α−π4)+4√2=0，即ρsinα−ρcosα+8＝0．由x＝ρcosα，y＝ρsinα，可得直线l的直角坐标方程为x−y−8＝0．∵曲线C的参数方程为{x=2√3cosαy=2sinα，其中α为参数，∴曲线C的普通方程为x212+y24=1．…………设Q(2√3cosα, 2sinα)，α∈[0, 2π)．点P的极坐标(2√2, π4)化为直角坐标为(2, 2)．则M(√3cosα+1,sinα+1)．∴点M到直线l的距离d=√3cos√2=|2sin(α+2π3)−8|√2≤5√2．当sin(α+2π3)＝−1时，等号成立．∴点M到直线l的距离的最大值为5√2．…………19【答案】当x≤−3时，由5−x+x+3≥x+1，得x≤7，所以x≤−3；当−3<x<5时，由5−x−x−3≥x+1，得x≤13，所以−3<x≤13；当x≥5时，由x−5−x−3≥x+1，得x≤−9，无解．综上可知，x≤13，即不等式f(x)≥x+1的解集为(−∞, 13]．因为|x−5|−|x+3|≤|x−5−x−3|＝8，所以函数f(x)的最大值m＝8．应为e a⋅e4b＝e2ab−8，所以a+4b＝2ab−8，又a>0，b>0，所以a+4b≥2√4ab=4√ab，所以2ab−8−4√ab≥0，即ab−4−2√ab≥0．令√ab=t，所以t2−2t−4≥0，由于t>0，所以t≥1+√5，√ab≥1+√5，ab≥6+2√5，即ab的最小值为6+2√5．【考点】绝对值不等式的解法与证明绝对值三角不等式【解析】（1）通过讨论x的范围，解不等式，求出不等式的解集即可；（2）根据a>0，b>0，得到a+4b≥2√4ab=4√ab，有(√ab+1)(√ab−2)≥0．解出即可．【解答】当x≤−3时，由5−x+x+3≥x+1，得x≤7，所以x≤−3；当−3<x<5时，由5−x−x−3≥x+1，得x≤13，所以−3<x≤13；当x≥5时，由x−5−x−3≥x+1，得x≤−9，无解．综上可知，x≤13，即不等式f(x)≥x+1的解集为(−∞, 13]．因为|x−5|−|x+3|≤|x−5−x−3|＝8，所以函数f(x)的最大值m＝8．应为e a⋅e4b＝e2ab−8，所以a+4b＝2ab−8，又a>0，b>0，所以a+4b≥2√4ab=4√ab，所以2ab−8−4√ab≥0，即ab−4−2√ab≥0．令√ab=t，所以t2−2t−4≥0，由于t>0，所以t≥1+√5，√ab≥1+√5，ab≥6+2√5，即ab的最小值为6+2√5．20【答案】∵面ABCD是平行四边形，∴AD // BC，∵AD⊄平面BCF，BC⊂平面BCF，∴AD // 平面BCF，∵四边形BDEF是矩形，∴DE // BF，∵DE⊄平面BCF，BF⊂平面BCF，∴DE // 平面BCF，∵AD∩DE＝D，AD⊂平面ADE，DE⊂平面ADE，∴平面ADE // 平面BCF，∵AE⊂平面ADE，∴AE // 平面BCF．设AC ∩BD ＝O ，则O 为AC 中点，连结OE ，OF ， 则V F−ABC ＝V C−AEF ＝2V O−AEF ＝2V A−OEF ，在△ABD 中，∠BAD ＝60∘，AD ＝1，AB ＝2，由余弦定理得BD 2＝AB 2+AD 2−2AB ⋅AD ⋅cos ∠BAD ，∴BD =√3，∴ AB 2＝AD 2+BD 2，∴ AD ⊥BD ，∵ DE ⊥AD ，BD ∩DE ＝D ，BD ⊂平面BDEF ，DE ⊂平面BDEF ， ∴ AD ⊥平面BDEF ，故AD 为A 到平面BDEF 的距离，∵ DE ＝1，∴ S △OEF =12S BDEF =12×OD ×EE =√32， ∴ V A−OEF =13S △OEF ⋅AD =√36， ∴ 三棱锥F −AEC 的体积V F−AEC ＝2V A−OEF =√33．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 直线与平面平行【解析】（1）推导出AD // BC ，从而AD // 平面BCF ，推导出DE // BF ，从而DE // 平面BCF ，进而平面ADE // 平面BCF ，由此能证明AE // 平面BCF ．（2）设AC ∩BD ＝O ，则O 为AC 中点，连结OE ，OF ，则V F−ABC ＝V C−AEF ＝2V O−AEF ＝2V A−OEF ，由此能求出三棱锥F −AEC 的体积． 【解答】∵ 面ABCD 是平行四边形，∴ AD // BC ， ∵ AD ⊄平面BCF ，BC ⊂平面BCF ， ∴ AD // 平面BCF ，∵ 四边形BDEF 是矩形，∴ DE // BF ， ∵ DE ⊄平面BCF ，BF ⊂平面BCF ， ∴ DE // 平面BCF ，∵ AD ∩DE ＝D ，AD ⊂平面ADE ，DE ⊂平面ADE ， ∴ 平面ADE // 平面BCF ，∵ AE ⊂平面ADE ，∴ AE // 平面BCF ．设AC ∩BD ＝O ，则O 为AC 中点，连结OE ，OF ， 则V F−ABC ＝V C−AEF ＝2V O−AEF ＝2V A−OEF ，在△ABD 中，∠BAD ＝60∘，AD ＝1，AB ＝2，由余弦定理得BD 2＝AB 2+AD 2−2AB ⋅AD ⋅cos ∠BAD ，∴ BD =√3，∴ AB 2＝AD 2+BD 2，∴ AD ⊥BD ，∵ DE ⊥AD ，BD ∩DE ＝D ，BD ⊂平面BDEF ，DE ⊂平面BDEF ， ∴ AD ⊥平面BDEF ，故AD 为A 到平面BDEF 的距离，∵ DE ＝1，∴ S △OEF =12S BDEF =12×OD ×EE =√32， ∴ V A−OEF =13S △OEF ⋅AD =√36， ∴ 三棱锥F −AEC 的体积V F−AEC ＝2V A−OEF =√33．21【答案】解：(1)由题设及正弦定理得，sin A sin A+C 2=sin B sin A ,因为sin A ≠0， 所以sinA+C 2=sin B ,由A +B +C =180∘， 可得sinA+C 2=cos B2,故cos B 2=2sin B 2cos B 2， 因为cos B2≠0， 故sin B2=12，因此B =60∘；(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC =√34a ， 由正弦定理得，a =c sin A sin C=sin (120∘−C)sin C=√32tan C +12，由于△ABC 为锐角三角形， 故0∘<A <90∘，0∘<C <90∘，由(1)知A+C=120∘, 所以30∘<C<90∘，故12<a<2，从而√38<S△ABC<√32，因此，△ABC的面积的取值范围是(√38, √32).【考点】二倍角的正弦公式诱导公式三角形的面积公式解三角形正弦定理【解析】（1）运用三角函数的诱导公式和二倍角公式，以及正弦定理，计算可得所求角；（2）运用余弦定理可得b，由三角形ABC为锐角三角形，可得a2+a2−a+1>1且1+a2−a+1>a2，求得a的范围，由三角形的面积公式，可得所求范围．【解答】解：(1)由题设及正弦定理得，sin A sin A+C2=sin B sin A,因为sin A≠0，所以sin A+C2=sin B,由A+B+C=180∘，可得sin A+C2=cos B2,故cos B2=2sin B2cos B2，因为cos B2≠0，故sin B2=12，因此B=60∘；(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC=√34a，由正弦定理得，a=c sin Asin C =sin(120∘−C)sin C=√32tan C+12，由于△ABC为锐角三角形，故0∘<A<90∘，0∘<C<90∘，由(1)知A+C=120∘,所以30∘<C<90∘，故12<a<2，从而√38<S△ABC<√32，因此，△ABC的面积的取值范围是(√38, √32).22【答案】f′(x)＝(x+1)e x−ax−a＝(x+1)(e x−a)．对a分类讨论：①a≤0时，e x−a>0．∴函数f(x)在(−∞, −1)内单调递减，在(−1, +∞)内单调递增．②a>0时，利用f′(x)＝0，解得x＝−1，或x＝ln a．由ln a＝−1，解得a=1e．a>1e时，可得：函数f(x)在(−∞, −1)，(ln a, +∞)上单调递增，在(−1, ln a)内单调递减．若ln a＝−1，则a=1e．f′(x)≥0在R上恒成立，因此f(x)在R单调递增．若ln a<−1，则0<a<1e．∴函数f(x)在(−∞, ln a)，(−1, +∞)上单调递增，在(ln a, −1)内单调递减．综上可得：①a≤0时，函数f(x)在(−∞, −1)内单调递减，在(−1, +∞)内单调递增．②a>0时，a>1e时，函数f(x)在(−∞, −1)，(ln a, +∞)上单调递增，在(−1, ln a)内单调递减．a=1e，f(x)在R单调递增．0<a <1e ．函数f(x)在(−∞, ln a)，(−1, +∞)上单调递增，在(ln a, −1)内单调递减．∵ xe x −ax −a +1≥0，∴ a(x +1)≤xe x +1，当x ＝−1时，0≤−1e+1恒成立．当x >−1时，a ≤xe x +1x+1．令g(x)=xe x +1x+1，g′(x)=e x (x 2+x+1)−1(x+1)．设ℎ(x)＝e x(x 2+x +1)−1，ℎ′(x)＝e x (x +1)(x +2)>0在x ∈(−1, +∞)上恒成立． ∴ ℎ(x)在x ∈(−1, +∞)上单调递增．又∵ ℎ(0)＝0，∴ g(x)在(−1, 0)上单调递减，在(0, +∞)上单调递增． ∴ g(x)min ＝g(0)＝1，∴ a ≤1． ∴ a 的取值范围时(−∞, 1]．【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】（1）f′(x)＝(x +1)e x −ax −a ＝(x +1)(e x −a)．对a 分类讨论，即可得出单调性．（2）由xe x −ax −a +1≥0，可得a(x +1)≤xe x +1，当x ＝−1时，0≤−1e +1恒成立．当x >−1时，a ≤xe x +1x+1．令g(x)=xe x +1x+1，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．【解答】f′(x)＝(x +1)e x −ax −a ＝(x +1)(e x −a)． 对a 分类讨论：①a ≤0时，e x −a >0．∴ 函数f(x)在(−∞, −1)内单调递减，在(−1, +∞)内单调递增．②a >0时，利用f′(x)＝0，解得x ＝−1，或x ＝ln a ．由ln a ＝−1，解得a =1e ． a >1e 时，可得：函数f(x)在(−∞, −1)，(ln a, +∞)上单调递增，在(−1, ln a)内单调递减． 若ln a ＝−1，则a =1e ．f′(x)≥0在R 上恒成立，因此f(x)在R 单调递增． 若ln a <−1，则0<a <1e ．∴ 函数f(x)在(−∞, ln a)，(−1, +∞)上单调递增，在(ln a, −1)内单调递减．综上可得：①a ≤0时，函数f(x)在(−∞, −1)内单调递减，在(−1, +∞)内单调递增．②a >0时，a >1e 时，函数f(x)在(−∞, −1)，(ln a, +∞)上单调递增，在(−1, ln a)内单调递减． a =1e ，f(x)在R 单调递增．0<a <1e．函数f(x)在(−∞, ln a)，(−1, +∞)上单调递增，在(ln a, −1)内单调递减．∵ xe x −ax −a +1≥0，∴ a(x +1)≤xe x +1，当x ＝−1时，0≤−1e +1恒成立． 当x >−1时，a ≤xe x +1x+1．令g(x)=xe x +1x+1，g′(x)=e x (x 2+x+1)−1(x+1)2．设ℎ(x)＝e x (x 2+x +1)−1，ℎ′(x)＝e x (x +1)(x +2)>0在x ∈(−1, +∞)上恒成立． ∴ ℎ(x)在x ∈(−1, +∞)上单调递增．又∵ ℎ(0)＝0，∴ g(x)在(−1, 0)上单调递减，在(0, +∞)上单调递增． ∴ g(x)min ＝g(0)＝1，∴ a ≤1． ∴ a 的取值范围时(−∞, 1]．。