南京大学801高等代数05-11.14年

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801《高等代数》考试大纲

801《高等代数》考试大纲

801 《高等代数》考试大纲一、考试要求1.掌握基本的代数运算方法,包括:行列式的计算,矩阵运算(乘法、求秩、判别方阵的可逆性及求逆、求方阵的特征值及特征向量),线性方程组解的判定及求解,多项式运算(带余除法,辗转相除法,综合除法)等.2.掌握基本的代数分析技巧,包括:向量的线性相关和线性无关性,向量空间的基与维数,线性方程组解的结构, 线性变换和矩阵的关系,方阵可相似对角化的判定,对称矩阵与二次型,一元多项式的整除性及因式分解.3.掌握代数的基本几何背景,理解代数与几何的关系,包括:欧氏空间和酉空间,正交变换与正交矩阵, 对称变换与对称矩阵, 主轴定理, 利用二次型理论化简二次曲面方程.二、考试内容第一部分多项式1.一元多项式的定义和基本运算;2.多项式的带余除法与综合除法,多项式整除性的常用性质;3.多项式的最大公因式概念及性质,辗转相除法;4.不可约多项式的概念及性质,多项式的唯一因式分解定理,多项式的重因式;5.多项式函数与多项式的根的概念及性质;6.代数基本定理,复数域和实数域上多项式的因式分解定理,Vieta定理;7.整系数多项式的有理根,Eisenstein判别法;8.多元多项式概念及字典排列法,对称多项式.第二部分行列式1. 线性方程组和行列式的关系,排列、n阶行列式及其子式和代数余子式;2. 行列式的性质及行列式的基本计算方法;3. 克拉默法则.第三部分线性方程组1.线性方程组求解的消元法;2.矩阵的秩的概念,用矩阵的初等变换求秩;3.线性方程组可解的判别法;4.两个多项式的结式和多项式的判别式.第四部分矩阵1. 矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算法则;2.逆矩阵概念,矩阵可逆的判定条件及可逆矩阵的性质,求可逆矩阵的逆矩阵的方法;3.矩阵的分块法,分块矩阵的运算法则.第五部分向量空间1. 向量空间及子空间的定义;2.向量组线性相关、线性无关的定义,向量组线性相关性的判定条件和性质,向量组的极大无关组;3.向量空间的基与维数,过渡矩阵及坐标变换式;4.向量空间的同构及其性质;5.齐次线性方程组的解空间与基础解系;线性方程组的结构式通解.第六部分线性变换1. 向量空间线性映射概念及其相关性质;2.线性变换的运算和矩阵的相似关系;3.不变子空间及其性质;4.方阵的特征值和特征向量;5.可以对角化的矩阵.第七部分欧氏空间和酉空间1. 向量空间中向量的内积、长度、夹角的定义及性质,规范正交基,Schmidt正交化方法;2. 正交变换与正交矩阵的定义和性质;3. 对称变换与实对称矩阵,实对称矩阵的正交相似对角化;4.酉空间的定义及其基本性质,酉变换和酉矩阵.第八部分二次型1. 二次型与对称矩阵,矩阵的合同关系;2.复数域和实数域上的二次型,用正交变换化实二次型为标准形的方法;3.正定二次型与正定矩阵,实对称矩阵正定的判定条件和性质;4.主轴定理, 利用二次型理论化简二次曲面方程.参考文献1.张禾瑞,郝鈵新《高等代数》(第四版)高等教育出版社 19992.北京大学数学系《高等代数》(第三版)高等教育出版社 20033.丘维声《高等代数》(第二版)高等教育出版社 2003。

名校高等代数考研《830高等代数》考研真题解析库

名校高等代数考研《830高等代数》考研真题解析库

名校高等代数考研《830高等代数》考研真题解析库北大重大第一部分名校考研真题第1章多项式一、判断题1.设Q是有理数域,则P={α+βi|α,β∈Q}也是数域,其中.()[南京大学研]【答案】对查看答案【解析】首先0,1∈P,故P非空;其次令a=α1+β1i,b=α2+β2i其中α1,α2,β1,β2为有理数,故a±b=(α1+β1i)±(α2+β2i)=(α1±α2)+(β1±β2)i∈Pab=(α1+β1i)(α2+β2i)=(α1α2-β1β2)+(α1β2+α2β1)i∈P又令c=α3+β3i,d=α4+β4i,其中α3,α4,β3,β4为有理数且d≠0,即α4≠0,β4≠0,有综上所述得P为数域.2.设f(x)是数域P上的多项式,a∈P,如果a是f(x)的三阶导数f‴(x)的k 重根(k≥1)并且f(a)=0,则a是f(x)的k+3重根.()[南京大学研] 【答案】错查看答案【解析】反例是f(x)=(x-a)k+3+(x-a)2,这里f(a)=0,并且f‴(x)=(k+3)(k+2)(k+1)(x-a)k满足a是f(x)的三阶导数f‴(x)的k重根(k≥1).3.设f(x)=x4+4x-3,则f(x)在有理数域上不可约.()[南京大学研] 【答案】对查看答案【解析】令x=y+1,则f(y)=y4+4y3+6y2+8y+2,故由艾森斯坦因判别法知,它在有理数域上不可约.二、计算题1.f(x)=x3+6x2+3px+8,试确定p的值,使f(x)有重根,并求其根.[清华大学研]解:f′(x)=3(x2+4x+p).且(f(x),f′(x))≠1,则(1)当p=4时,有(f(x),f′(x))=x2+4x+4所以x+2是f(x)的三重因式,即f(x)(x+2)3,这时f(x)的三个根为-2,-2,-2.(2)若p≠4,则继续辗转相除,即当p=-5时,有(f(x),f′(x))=x-1即x-1是f(x)的二重因式,再用(x-1)2除f(x)得商式x+8.故f(x)=x3+bx2-15x+8=(x-1)2(x+8)这时f(x)的三个根为1,1,-8.2.假设f1(x)与f2(x)为次数不超过3的首项系数为1的互异多项式,且x4+x2+1整除f1(x3)+x4f2(x3),试求f1(x)与f2(x)的最大公因式.[上海交通大学研]解:设6次单位根分别为由于x6-1=(x2)3-1=(x2-1)(x4+x2+1),所以ε1,ε2,ε4,ε5是x4+x2+1的4个根.由于ε13=ε53=-1,且x4+x2+1∣f1(x3)+x4f2(x3),所以,分别将ε1,ε5代入f1(x3)+x4f2(x3)可得从而f1(-1)=f2(-1)=0即x+1是f1(x)与f2(x)的一个公因式.同理,将ε2,ε4代入f1(x3)+x4f2(x3)可得f1(1)=f2(1)=0,即x-1是f1(x)与f2(x)的一个公因式.所以(x-1)(x+1)是f1(x)与f2(x)的一个公因式.又因为f1(x),f2(x)为次数不超过3的首项系数为1的互异多项式,所以(f(x),g(x))=x2-1三、证明题1.设不可约的有理分数p/q是整系数多项式f(x)=a0x n+a1x n-1+…+a n-1x+a n的根,证明:q∣a0,p∣a n[华中科技大学研]证明:因为p/q是f(x)的根,所以(x-p/q)∣f(x),从而(qx-p)∣f(x).又因为p,q互素,所以qx-p是本原多项式[即多项式的系数没有异于±l的公因子],且f(x)=(qx-p)(b n-1x n-1+…+b0,b i∈z比较两边系数,得a0=qb n-1,a n=-pb0⇒q∣a0,p∣a n2.设f(x)和g(x)是数域P上两个一元多项式,k为给定的正整数.求证:f (x)∣g(x)的充要条件是f k(x)∣g k(x)[浙江大学研]证明:(1)先证必要性.设f(x)∣g(x),则g(x)=f(x)h(x),其中h (x)∈P(x),两边k次方得g k(x)=f k(x)h k(x),所以f k(x)∣g k(x)(2)再证充分性.设f k(x)∣g k(x)(i)若f(x)=g(x)=0,则f(x)∣g(x)(ii)若f(x),g(x)不全为0,则令d(x)=(f(x),g(x)),那么f(x)=d(x)f1(x),g(x)=d(x)g1(x),且(f1(x),g1(x))=1①所以f k(x)=d k(x)f1k(x),g k(x)=d k(x)g1k(x)因为f k(x)∣g k(x),所以存在h(x)∈P[x](x),使得g k(x)=f k(x)·h(x)所以d k(x)g1k(x)=d k(x)f1k(x)·h(x),两边消去d k(x),得g1k(x)=f1k(x)·h(x)②由②得f1(x)∣g1k(x),但(f1(x),g1(x))=1,所以f1(x)∣g1k-1(x)这样继续下去,有f1(x)∣g1(x),但(f1(x),g1(x))=1故f l(x)=c,其中c为非零常数.所以f(x)=d(x)f1(x)=cd(x)⇒f(x)∣g(x)3.设f(x),g(x)都是P[x]中的非零多项式,且g(x)=s m(x)g1(x),这里m≥1.又若(s(x),g1(x))=1,s(x)∣f(x).证明:不存在f1(x),r(x)∈P[x],且r(x)≠0,∂(r(x))<∂(s(x))使①[浙江大学研]证明:用反证法,若存在f1(x),r(x)使①式成立,则用g(x)乘①式两端,得f(x)=r(x)g1(x)+f1(x)s(x)②因为s(x)∣f(x),s(x)∣f1(x)s(x),由②式有s(x)∣r(x)g1(x).但(s(x),g1(x))=1,所以s(x)∣r(x).这与∂(r(x))<∂(s(x))矛盾.4.设f(x)是有理数域上n次[n≥2]多项式,并且它在有理数域上不可约,但知f (x)的一根的倒数也是f(x)的根.证明:f(x)每一根的倒数也是f(x)的根.[南开大学研]证明:设b是f(x)的一根,1/b也是f(x)的根.再设c是f(x)的任一根.下证1/c也是f(x)的根.令g(x)=f(x)/d,其中d为f(x)的首项系数,不难证明:g(x)与f(x)有相同的根,其中g(x)是首项系数为l的有理系数不可约多项式.设g(x)=x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0,(a0≠0).由于b n+a n-1b n-1+…+a1b+a0=0①(1/b)n+a n-1(1/b)n-1+…+a1(1/b)+a0=0⇒a0b n+a1b n-1+…+a n-1b+1=0⇒b n+(a1/a0)b n-1+…+(a n-1/a0)b+1/ a0=0 ②由g(x)不可约及①,②两式可得1/a0=a0,a i/a0=a n-i(i=1,2,…,n-1).故a0=±1,a i=±a n-i(i=1,2,…,n-1)③由③式可知,当f(c)=0时,有f(c)=0,且g(1/c)=0,从而f(1/c)=0.5.设f(x)是复系数一元多项式,对任意整数n有f(n)都是整数.证明:f(x)的系数都是有理数.举例说明存在不是整系数的多项式,满足对任意整数n,有f (n)是整数.[浙江大学研]证明:设f(x)=g(x)+ih(x),g(x),h(x)∈R[x]由于∀n∈Z,f(n)=g(n)+ih(n)∈Z,所以h(x)=0.下证g(x)∈Q[x].事实上,令g(x)=a0+a1x+…+a m x m,a m≠0,a i∈R,i=1,2,…,m则有a0+a1+…+a m=g(1)∈Z,a0+a1·2+…+a m·2m=g(2)∈Z,⋮a0+a1(m+1)+…+a m(m+1)m=g(m+1)∈Z.记则有(a0,a1,…,a m)T=(g(1),g(2),…,g(m+1))①又显见∣T∣=m!(m-1)!…2!1!≠0,由①式得(a0,a1,…,a m)=(g(1),g(2),…,g(m+1))T-1这里T-1是有理数域上的矩阵,g(1),g(2),…,g(m+1)均为整数,所以a0,a1,…,a m∈Q.因此f(x)=g(x)∈Q[x].取f(x)=x2/2-1/2,有f(x)=(x-n)(x/2+n/2)+(n2-1)/2可见存在不是整系数的多项式f(x),对任一整数n,有f(n)=(n2-1)/2∈Z.第6章线性空间一、选择题1.下面哪一种变换是线性变换().[西北工业大学研]A.B. C.【答案】C查看答案【解析】不一定是线性变换,比如则也不是线性变换,比如给而不是惟一的.2.在n维向量空间取出两个向量组,它们的秩().[西北工业大学研] A.必相等B.可能相等亦可能不相等C.不相等【答案】B查看答案【解析】比如在中选三个向量组(I):0(Ⅱ)(Ⅲ).若选(I)(II),秩秩(II),从而否定A,若选(Ⅱ)(Ⅲ),秩(Ⅲ)=秩(Ⅱ),从而否定C,故选B.二、填空题1.若则V对于通常的加法和数乘,在复数域C上是______维的,而在实数域R上是______维的.[中国人民大学研]【答案】2;4.查看答案【解析】在复数域上令;则是线性无关的.则此即证可由线性表出.在实数域上,令若,其中,则此即在R上线性关.可由线性表出,所以在实数域R上,有三、分析计算题1.设V是复数域上n维线性空间,V 1和V2各为V的r1维和r2维子空间,试求之维数的一切可能值.[南京大学研]解:取的一组基,再取的一组基则=秩2.设U是由生成的的子空间,W是由生成的的子空间,求(1)U+W:(2)L∩W的维数与基底.[同济大学研]解:(1)令可得.所以由于为的一个极大线性无关组,因此又可得且,故为U+W的一组基.(2)令因为秩=3.所以齐次方程组①的基础解系由一个向量组成:再令,则故ζ为U∩W的一组基.3.设A是数域K上的一个m×n,矩阵,B是一个m维非零列向量.令(1)证明:W关于K n的运算构成K n的一个子空间;(2)设线性方程组AX=B的增广矩阵的秩为r.证明W的维数dimW=n-r+1:(3)对于非齐次线性方程组求W的一个基.[华东师范大学研]证明:(1)显然W≠,又因为存在t1,t2使Aα=t1B,Aβ=t2B.所以即kα+lβ∈W,此说明W是K n的子空间.(2)对线性方程组(A,B)X n+1=0,由题设,其解空间V的维数为(n+1)-r (A,B)=n-r+1.任取α∈W,存在t∈K,使所以是线性方程组(A,B)X n+1=0的解.这样,存在W到V的映射,显然,这是W形到V的一个双射.又α1,α2∈W,k∈K,存在t1,t2∈K,使Aα1=t1B,Aα2=t2B,则所以且可见W与V同构,从而有dim W=dim V=n-r+1.(3)由(2)W与如下齐次线性方程组解空间同构.该方程组的一个基础解系为:其在σ之下原像即为W的一组基.4.设V 1,V2均为有限维线性空间V的子空间,且,则和空间与另一个重合.[上海交通大学研]证明:因为所以由题设所以即当时,由得此时当时因为,所以,此时5.设V是数域K上n维线性空间,V1,…,Vs是V的s个真子空间,证明:(1)存在,使得(2)存在V中一组基,使[北京大学研]证明:(1)因V 1,…,Vs是V的真子空间,由上例,存在(2)令,同样有且显然,线性无关.令,则存在,且线性无关,如此继续下去,可得线性无关向量组(构成V的基),且有6.设V是定义域为实数集R的所有实值函数组成的集合,对于f,g∈V,a∈R,分别用下列式子定义f+g与af:则V成为实数域上的一个线性空间.设f0(x)=1,f1(x)=cosx,,f2(x)=cos2x,f3(x)=cos3x,(1)判断f0,f1,f2,f3是否线性相关,写出理由;(2)用<f,g>表示f,g生成的线性子空间,判断<f0,f1>+<f2,f3>是否为直和,写出理由.[北京大学研]解:(1)令k0f0+k1f1+k2f2+k3f3=0,分别取x=0,得解之得k0=k1=k2=k2=0,说明f0,f1,f2,f3线性无关.(2)因为<f,g>=L(f,g),所以从而又,故L(f0,f1,f2,f3)是<f0,f1>与<f2,f3>的直和.。

高等代数考研20051

高等代数考研20051

南开大学2005硕士研究生入学考试试题 高等代数注:本解答所需知识均参照高教社出版的由北大代数小组主编由王萼芳、石生明修订的《高等代数》!一、计算下列行列式2n ?,x x x x x x x x x x x x 1x 1x 1x 1112n n1n n 2n 21n 22n 11n 1n2n 222121n 21≥=+++++++++------解:由行列式性质,2n n1n n 2n 21n 22n 11n 1n2n 2221212n n1n n 2n 21n 22n 11n 1n2n 222121n 212n n 1n n 2n 21n 22n 11n 1n2n 222121n 21x x x x x x x x x x x x 111111x x x x x x x x x x x x x x x 111x x x x x x x x x x x x 1x 1x 1x 111------------------+++++++++++++=+++++++++显然,第二式为0,连续运用此性质得()∏≤<≤----------==+++++++++ni j 1j i1n n1n 21n 12n 2221n 212n n 1n n 2n 21n 22n 11n 1n2n 222121n 21a ax x x x x x x x x 111x x x x x x x x x x x x 1x 1x 1x 111二、设齐次线形方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+=++-=++0ex dx bx 0ex cx ax 0dx cx x 0bx ax x 321421431432的一般解以43x ,x 为自由未知量(1) 求 a,b,c,d,e 满足的条件 (2)求齐次线形方程组的基础解系解:由自由变量数为2,可知,方程组系数矩阵的秩为2,即⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---0e d b e 0c a d c 01b a 10的秩为2,又易得系数矩阵变形⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--0e d b e 0c a b a 10d -c -01。

数学分析与高等代数考研真题详解--中科院卷

数学分析与高等代数考研真题详解--中科院卷

校教师,硕博研究生报名参与本丛书的编写工作,他们在工作学习的过程中挤时间,编写审
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xe x2 + y2 ,
x2 + y2
ye
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⎞ ⎟, x2 + y2 > 0
x2 + y2 ⎟⎠
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南京大学2011研究生招生复试基本分数线

南京大学2011研究生招生复试基本分数线

附件1:南京大学2011年硕士研究生复试基本分数线注释:1、各院(系)在达到复试基本分数线的生源充足情况下,可根据本学科、专业特点向上调整本单位复试分数线,具体以各院(系)通知为准。

2、有关优惠照顾条件(如果符合多项条件,只按最大幅度进行,不累加):(1)参加“大学生志愿服务西部计划”并完成服务期、考核合格的志愿者,符合报考条件,在服务期满后三年内报考硕士研究生,可以享受初试总分加10分的政策;在同等条件下优先录取;(2)目前在内蒙古、广西、海南、贵州、云南、西藏、甘肃、青海、宁夏、新疆就业且定向或委托培养回原单位的考生(户籍在当地),满分为100分的科目可以降低5分,满分超过100分的科目可以降低10分;(3)纳入少数民族高层次骨干人才计划的考生执行该计划的分数线,没有纳入该计划、但工作单位在国务院公布的民族区域自治地方范围,即5个自治区、30个自治州、120个自治县(旗),并报考为原单位定向或委托培养的少数民族在职人员(须提交当地民族事务委员会的证明及核验身份证原件),满分为100分的科目可以降低5分,满分超过100分的科目可以降低10分;(4)动力工程及工程热物理[0807]、水利工程[0815]、地质资源与地质工程[0818]、地质工程(工程硕士)[085217]等照顾专业,满分为100分的科目可以降低5分,满分超过100分的科目可以降低10分,且不得在入学后转到非照顾专业就读。

3、MBA的B线:总分不低于180,综合能力不低于100,外语不低于50。

适用对象必须是:研究生毕业工作4年以上(2007年8月以前获得研究生毕业证书),大学本科毕业工作6年以上(2005年8月以前获得本科毕业证书),大专毕业工作8年以上(2003年8月以前获得专科毕业证书),且满足以下四条中的一条:担任科级及以上管理职务3年以上;获地、市级及以上奖励或表彰;本人创业且公司具有一定规模;承担并主持大型课题、有创造与发明项目、有专利证书等。

南京大学2011年研究生招生专业目录及书目

南京大学2011年研究生招生专业目录及书目
参考书目 《数学分析教程》许绍溥、姜东平、宋国柱、任福贤著,南京大学出版社;《高等代数》(第三版)北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编,王萼芳、石生明修订,高等教育出版社。 复试参考书:《实变函数与泛函分析概要(第一册)》(第二版)郑维行、王声望编,高等教育出版社;《泛函分析讲义(上册)》张恭庆、林源渠编,北京大学出版社;《常微分方程教程》丁同仁、李承治编,高等教育出版社;《代数学引论》聂灵沼、丁石孙编著,高等教育出版社;《点集拓扑讲义》(第三版)熊金城编著,高等教育出版社;《数值计算方法(上、下册)》林成森编著,科学出版社;《运筹学》孙麟平编著,科学出版社;《概率论基础》李贤平著,高等教育出版社。
南京大学2011年研究生招生专业目录及书目
数学系(电话83593117)
专业代码 025200 专业名称 应用统计硕士 招生人数 30
研究方向 01应用统计硕士
考试科目 ①101政治②204英语二③303数学三④432统计学
参考书目 参见相关教指委全国考试大纲
备 注 专业学位,学制3年。不接受单独考试。
考试科目 ①101政治②201英语一③627数学分析④801高等代数 复试:(1)笔试(实变函数、泛函分析、常微分方程、近世代数、点集拓扑、计算方法、运筹学、概率论,考生在以上八门科目中任选三门);(2)口试(专业综合)
参考书目 《数学分析教程》许绍溥、姜东平、宋国柱、任福贤著,南京大学出版社;《高等代数》(第三版)北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编,王萼芳、石生明修订,高等教育出版社。 复试参考书:《实变函数与泛函分析概要(第一册)》(第二版)郑维行、王声望编,高等教育出版社;《泛函分析讲义(上册)》张恭庆、林源渠编,北京大学出版社;《常微分方程教程》丁同仁、李承治编,高等教育出版社;《代数学引论》聂灵沼、丁石孙编著,高等教育出版社;《点集拓扑讲义》(第三版)熊金城编著,高等教育出版社;《数值计算方法(上、下册)》林成森编著,科学出版社;《运筹学》孙麟平编著,科学出版社;《概率论基础》李贤平著,高等教育出版社。

南京大学2013-2008历年分数线-史上最全的

南京大学2013-2008历年分数线-史上最全的

附件1:南京大学2013年硕士研究生复试基本分数线注释:1、各院(系)在达到复试基本分数线的生源充足情况下,可根据本学科、专业特点向上调整本单位复试分数线,具体以各院(系)通知为准。

2、有关优惠照顾条件(如果符合多项条件,只按最大幅度进行,不累加):(1)满足教育部针对“大学生志愿服务西部计划”和“大学生村官项目”等相关优录规定的考生(本人3月12日前提交书面证明材料),可以享受初试总分加10分的政策,在同等条件下优先录取;(2)目前在内蒙古、广西、海南、贵州、云南、西藏、甘肃、青海、宁夏、新疆就业且定向或委托培养回原单位的考生(户籍在当地),原则上破格总分不超过10分;(3)纳入少数民族高层次骨干人才计划的考生执行该计划的分数线,没有纳入该计划、但工作单位在国务院公布的民族区域自治地方范围,即5个自治区、30个自治州、120个自治县(旗),并报考为原单位定向或委托培养的少数民族在职人员(须提交当地民族事务委员会的证明及核验身份证原件),原则上破格总分不超过10分;(4)动力工程及工程热物理[0807]、水利工程[0815]、地质资源与地质工程[0818]、地质工程(工程硕士)[085217]等照顾专业,原则上破格总分不超过10分,且不得在入学后转到非照顾专业就读。

3、B线,总分170分,英语为55分,综合能力不低于100分,面试成绩不低于90分。

适用对象为研究生毕业工作3年(2010年8月以前获得研究生毕业证书),本科毕业工作4年(2009年8月以前获得本科毕业证书),大专毕业工作6-7年(2007年8月以前获得专科毕业证书)。

C线,总分为160分,英语50分,综合能力不低于95分,面试成绩不低于90分。

适用对象为研究生毕业工作4年(2009年8月以前获得研究生毕业证书),本科毕业工作5年(2008年8月以前获得本科毕业证书),大专毕业工作8年(2005年8月以前获得专科毕业证书)。

附件1:南京大学2012年硕士研究生复试基本分数线注释:1、各院(系)在达到复试基本分数线的生源充足情况下,可根据本学科、专业特点向上调整本单位复试分数线,具体以各院(系)通知为准。

高等代数习题解答

高等代数习题解答

教材部分习题解答高等代数/高等学校小学教育专业教材 作者:唐忠明//戴桂生编 出版社:南京大学 ISBN :7305034797 习题1.11.证明两个数域之交是一个数域。

证:设A 、B 是两个数域,则0,1∈A ,0,1∈B 0,1A B ⇒∈。

又 ,,,,u v A B u v A u v B ∀∈⇒∈∈且,u v A u v B ⇒±∈±∈且 所以,u v A B ±∈,类似可得,(0)uv A B u v A B v ∈÷∈≠。

从而证得A B 是数域。

2.证明:F={,,}a bi a b Q +∈( i 是虚数单位)是一个数域。

证明:000,110,0,1i i A =+=+∈,,,u v A u a bi v c di ∀∈⇒=+=+设 ()(),u v a c b d i A ±=±+±∈()()uv ac bd i ad bc =-++,A ∈设0,a bi +≠则0,a bi -≠否则,0,a bi a b ===或矛盾! 所以2222()()()()v c di c di a bi ac db ad cb i u a bi a bi a bi a b a b++-+-===+++-++,A ∈由定义A 是数域。

习题1.2 (1) 213123110113213033312042r r r r ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ …100010001⎡⎤⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ()2123134142(1)3(1)5(1)12321232123221410323032323121077507755062010912010912r r r r r r r r r ------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 12323242232103212321232134032301310131013103230076010912010912002122r r r r r r r r r r -----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−→↔−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦434310341034103010300131013101300130113()()0076007600700010*******00100010001r r r r ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦习题1.3()21313111242121338133813121031210010113411308113080303396r r r r r r -------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---−−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 32133801011340006r r --⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 因为第三行最右的元素非零,其他皆为零,故方程组无解。

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