高等数学全套公式

高等数学（1）一、三角函数1．公式同角三角函数间的基本关系式：·平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=1; tan^2(α)+1=sec^2(α);cot^2(α)+1=csc^2(α)·商的关系：tanα=sinα/cosαcotα=cosα/sinα·倒数关系：tanα·cotα=1; sinα·cscα=1; cosα·secα=1三角函数恒等变形公式：·两角和与差的三角函数：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosαcos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]·半角公式：sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]·积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]2只需记住这两个特殊的直角三角形的边角关系，依照三角函数的定义即可推出上面的三角值。

3诱导公式：记忆规律： 竖变横不变（奇变偶不变），符号看象限（一全，二正弦割，三切，四余弦割即第一象限全是正的，第二象限正弦、正割是正的，第三象限正切是正的，第四象限余弦、余割是正的）二、一元二次函数、方程和不等式 三、因式分解与乘法公式1452145123060322222222332233223223332233222(1)()()(2)2()(3)2()(4)()()(5)()()(6)33()(7)33()(8)222(a b a b a b a ab b a b a ab b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a a b ab b a b a a b ab b a b a b c ab bc ca -=+-++=+-+=-+=+-+-=-+++++=+-+-=-+++++= 21221)(9)()(),(2)n n n n n n a b c a b a b a a b ab b n ----++-=-++++≥ 四、等差数列和等比数列()()()11111 22n n n n a a n d n a a n n n S S na d=+-+-==+1.等差数列　通项公式：　前项和公式或()()1100n n n GP a a qa q -=≠≠2.等比数列 通项公式，()()()11.1111n n n a q q S qna q ⎧-⎪≠=-⎨⎪=⎩前项和公式 五、常用几何公式一、初等函数：()()()()()()()()()1.lim (2.lim 0lim 0,:lim 03.lim 0,:0lim 004.lim 00C C C f x M f x f x f x C C f x f x M f x Cf x C C C C C αααα=≤=⇒⋅==⇒⋅=≤⇒=∞=≠⇒=∞+∞>⎧=⎨-∞<⎩是常值函数）若（即是有界量），（即是无穷小量）， 特别若（即是有界量） 特别()()5.010.,,.(sin ~,1~,ln 1~)x A B x x e x x x -+未定式型分子分母含有相同的零因式消去零因式等价无穷小替换常用()()()()()()()().,,lim,,lim limf x f x f x C f xg x g x g x g x ''''=''洛必达法则：要求存在且存在此时 ()2.,,,.,,...A B C ∞∞型忽略掉分子分母中可以忽略掉的较低阶的无穷大保留最高阶的无穷大再化简计算分子分母同除以最高阶无穷大后再化简计算洛必达法则()型型或转化为数有理化通过分式通分或无理函型"""00",3∞∞∞-∞ ()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∞∞∞=∞∞⋅00100104转化为 ()()()().1lim 170600510或求对数来计算通过型型型求对数求对数e x xx =+∞⋅−−→−∞∞⋅−−→−→∞二、分段函数：,.分段点的极限用左右极限的定义来求解切线方程为：))((000x x x f y y -'=- 法线方程为)()(1000x x x f y y -'-=- 基本初等函数的导数公式(1) 0)(='C ，C 是常数 (2)1)(-='αααx x(3) a a a x x ln )(='，特别地，当e a =时，x xe e ='）（(4) a x x a ln 1)(log ='， 特别地，当e a =(5)x x cos )(sin =' (6) x x sin )(cos -='(7) x x x 22sec cos 1)(tan ==' (8) x xx 22csc sin 1)(cot -=-=' (9) x x x tan )(sec )(sec =' (10) x x x cot )(csc )(csc -=' (11) =')(arcsin x 211x- (12) 211)(arccos xx --='(13)(14) 21(arccot )1x x '=-+ 函数的和、差、积、商的求导法则可导都在点及函数x x v v x u u )()(==，)()(x v x u 及的和、差、商 (除分母为 0的点外) 都在点 x 可导,)()(])()([)1(x v x u x v x u '±'='± )()()()(])()([)2(x v x u x v x u x v x u '+'=')()()()()()()()3(2x v x v x u x v x u x v x u '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡)0)((≠x v基本初等函数的微分公式(1)、0dc =(c 为常数)；(2)、1()d x x dx μμμ-=(μ为任意常数)；(3)、()ln x x d a a adx =，特别地，当e a =时，()x x d e e dx =； (4)、1(log )ln a d x dx x a =，特别地，当e a =时，1(ln )d x dx x=； (5)、(sin )cos d x xdx =； (6)、(cos )sin d x xdx =-； (7)、2(tan )sec d x xdx =； (8)、2(cot )csc d x xdx =-； (9)、(sec )sec tan d x x xdx =； (10)、(csc )csc cot d x x xdx =-； (11)、(arcsin )d x =； (12)、(arccos )d x =；(13)、21(arctan )1d x dx x=+；(14)、21(cot )1d arc x dx x=-+． 曲线的切线方程000'()()y y f x x x -=-幂指函数的导数极限、可导、可微、连续之间的关系条件A ⇒ 条件B ，A 为B 的充分条件 条件B ⇒ 条件A ，A 为B 的必要条件 条件A ⇔ 条件B ，A 和B 互为充分必要条件 边际分析边际成本 MC =()C q '；边际收益 MR =()R q '；边际利润 ML =()L q '，()()()L q R q C q '''=-= MR —MC弹性分析)(x f y =在点0x 处的弹性，()ED pD p Ep D-'= 特别的，需求价格弹性：罗尔定理若函数)(x f 满足： (1) 在闭区间],[b a 连续；(2) 在开区间),(b a 可导；(3) )()(b f a f =，则在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(='ξf ．拉格朗日定理设函数)(x f 满足:(1) 在闭区间],[b a 连续；(2) 在开区间),(b a 可导，则在),(b a 上至少存在一点ξ，使得ab a f b f f --=')()()(ξ ．基本积分公式()()()()()()()()()'ln v x v x u x u x u x v x u x v x u x ⎛⎫'⎡⎤'=+ ⎪⎪⎣⎦⎝⎭00()x x x Eyy x Exy ='=(1) 0dx C =⎰ (2) ()为常数k Ckx kdx +=⎰特别地：dx x C =+⎰(3) ()111-≠μ++μ=+μμ⎰C x dx x(4)C x dx x +=⎰||ln 1（有时绝对值符号也可忽略不写）(5) C aa dx a xx+=⎰ln (6) C e dx e x x +=⎰ (7) C x xdx +=⎰sin cos (8) C x xdx +-=⎰cos sin (9)⎰⎰+==C x xdx x dx tan sec cos 22(10)⎰⎰+-==C x xdx x dx cot csc sin 22(11) C x xdx x +=⎰sec tan sec (12) C x xdx x +-=⎰csc cot csc (13) C x x dx +=+⎰arctan 12（或C x arc x dx +-=+⎰cot 12）(14) C x xdx +=-⎰arcsin 12（或C x xdx +-=-⎰arccos 12）(15)C x xdx +-=⎰|cos |ln tan ，(16) C x xdx +=⎰|sin |ln cot ，(17) C x x xdx ++=⎰|tan sec |ln sec ， (18) C x x dx x +-=⎰|cot csc |ln cot ，(19) C a xa xa dx +=+⎰arctan 122，)0(≠a ，(20) C a x a x a x a dx +-+=-⎰ln 2122，(0)a ≠， (21) C a xx a dx +=-⎰arcsin 22，)0(>a ，(22)C a x x a x dx+±+=±⎰2222ln ，)0(≠a ．常用凑微分公式(1)、()()0,,1≠+=a b a b ax d adx 且为常数xyx(2)、()221x d xdx = (3)、⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x d dx x 112 (4)、x d dx x21=(5)、x d dx xln 1=(6)、x x de dx e = (7)、()sin cos xdx d x =- (8)、x d xdx sin cos = (9)、x d xdx tan sec 2= (10)、x d xdx cot csc 2-= (11)arcsin d x =(12)、x d dx xarctan 112=+一阶线性非齐次微分方程的通解为()()()P x dxP x dx y eQ x e dx C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰平面图形面积的计算公式1)区域D 由连续曲线和直线x=a,x=b 围成,其中 （右图）2)区域D 由连续曲线 和直线x=c,x=d 围成,其中 右图） ()()dyP x y Q x dx+=()()()f x g x a x b ≤≤≤[]()()b a A g x f x dx =-⎰D 的面积　(),()y f x y g x ==(),()x y x y ϕψ==()()()y y c y d ϕψ≤≤≤平面图形绕旋转轴旋转得到的旋转体体积公式1 、绕x 轴的旋转体体积（右图）注意：此时的曲边梯形必须紧贴旋转轴．2、绕y 轴的旋转体体积（右图）注意：此时的曲边梯形必须紧贴旋转轴．由边际函数求总函数000()()((0)q C q f x dx C C C =+=⎰为固定成本） 0()()qR q g x dx =⎰总利润函数为00()()()[()()]qL q R q C q g x f x dx C =-=--⎰。