§2 曲线的弧长和弧长元素

第二章曲线的局部微分几何
§2曲线的弧长和弧长元素
通俗地讲，将曲线的一段想象成软绳的一段，则软绳的所谓“长度”是可以用“直尺”测量出来的．如果软绳并不是太“弯”，则其两个端点的“直线距离”就是其长度的近似值．这种看法在人们的日常生活中经常自觉或不自觉地被加以运用．在数学发展史上，类似的抽象观点被有效利用的年代可以追溯到古希腊的阿基米德时代；而被严格并且广泛地利用于自然科学当中，则是从 Newton 和 Leibniz 创立微积分学开始．粗略地说，在微积分学之中，当曲线“可求长”时，“长度”理解为一族“逼近”曲线的折线列的“长度”的极限值，而构成折线的各个直线段的“长度”被认为总是可以确定的；在此，勾股定理确定了三维 Euclid 空间的基本度量规则．换个角度去看，基本的度量规则确定了所谓的“长度”，同时决定了在抽象理论中适当给“长度”以定义的各种等价方式；而基本度量规则的改变，将导致不同的关于距离的几何学．在学习到第六章内蕴几何学的内容以后，可以再回过头来仔细体会上述说法的含义．
下面，将从几何学的角度给出长度概念及其解释．
一．E3中正则曲线段的长度
给定E3中Descartes直角坐标系O-xyz．设C: r(t) =(x(t),y(t),z(t)) , t∈[a, b] 是正则曲线上的一个弧段．任取参数区间的一个划分
D n: t0=a < t1 < …< t n = b，
对应有曲线上的分点P j: r(t j) , j= 0, 1, …, n．相应折线的长度确定为n
∑j = 1| P j-1P j|=
n
∑
j = 1
|r(t j) - r(t j-1) |=
n
∑
j = 1
(x j-x j-1)2+ (y j-y j-1)2+ (z j-z j-1)2．
由 Taylor 展开式，可写
r(t j) - r(t j-1) = (∆t j) r'(t j-1) +(∆t j)2
2!
R2j，
其中余项R2j= (x"(ξ1j), y"(ξ2j), z"(ξ3j))→r"(t j-1) , 当∆t j=t j-t j-1→0 ．此时||r(t j) - r(t j-1)|-|(∆t j) r'(t j-1)||≤|(∆t j)22!R2j|，
|n∑j = 1|r(t j) - r(t j-1)|-
n
∑
j = 1
|r'(t j-1)|∆t j|≤
n
∑
j = 1
|(∆t j)2
2!
R2j|．
记
||D n||= max{∆t j|j= 0, 1, …, n } ，
x M= max{|x"(t)||t∈[a, b]} ，
y M= max{|y"(t)||t∈[a, b]} ，
z M= max{|z"(t)||t∈[a, b]} ，
则
n ∑j = 1|(∆t j)2
2!
R2j|
≤||D n||x M2+y M2+z M2
n
∑
j = 1
∆t j
=||D n||x M2+y M2+z M2 (b-a)
→0 , 当||D n||→0 ．
按照 Riemann 积分意义，此即证得下述结论．
定理1正则曲线上的弧段C: r(t) = (x(t), y(t), z(t)) , t∈[a, b] 是可求长
的，且长度取值为L(C) =⎰b
a
|r'(t)| d t．
为了说明按分析意义引进的“长度”作为几何概念是合理的，需要验证其为几何不变量．首先，它不依赖于正则参数的选取；这只要在参数变换下验证其不变，而这只要注意到复合求导关系以及定积分变量代换公式便容易得到．其次，它不依赖于E3中Descartes直角坐标系的选取；这只要在正交标架变换或刚体运动下验证其不变（留作习题）．
分析意义下的可求长曲线对连续可微性的要求是可以降低的．关于降低可微阶数的讨论，在一般的场合，并不是本课程中所关心的内容．
二．弧长和弧长参数
定义对正则曲线C: r(t) = (x(t), y(t), z(t)) , t∈(a, b) ，任取t0∈(a, b) ，
称s(t) -s(t0) =⎰t
t0
|r'(u)| d u为曲线C上的从参数t0到t的有向弧长，简称弧长；称d s=|r'(t)|d t为曲线C上的有向弧长元素，简称弧长元素；称函数s(t) -s(t0) 为曲线C上以r(t0) 为起点的有向弧长参数函数，简称弧长参数.
同讨论长度一样，易证（留作习题）弧长元素在保向正则参数变换下
不变，且在刚体运动下不变；弧长参数由正则参数曲线本身确定到相互差某个常数，该常数等于不同起点之间的有向弧长．此外，当一般正则参数转换为相应的弧长参数时，有
d r(t(s)) d s = d r
d t(t(s))
d t
d s =
[r'(t) 1
|r'(t)|
]|t = t(s)=T(t(s)) ．
自然，单位切向作为保向正则参数变换下的不变量，用弧长参数表示以及计算一定有其意义．一般地，由于弧长参数具有明确的几何属性，因而在几何理论研究中被广泛地使用；其重要性表现在简化计算的同时，能突出所讨论对象的几何意义．弧长参数的存在性和特征可以总结成下列结果．定理2对正则曲线C: r (t) = (x(t), y(t), z(t)) , t∈(a, b) ，
①总可以弧长参数化；
②参数t成为弧长参数的充要条件为|r'(t)|≡ 1 , ∀t∈(a, b) ．
约定：以后在不容易混淆时，通常以s表示曲线的弧长参数，通常以 d s表示曲线的弧长元素．
例圆柱螺线参数化为r(t) = (a cos(ωt) , a sin(ωt) , vt) , t∈R，其中三个常数a > 0 , ω≠ 0 和v≠ 0 ．试求其从点 (a, 0, 0) 计起的弧长参数，并确定其一个螺纹的长度．
解：r'(t) = (-aω sin(ωt) , aω cos(ωt) , v) ，
故|r'(t)|=[-aω sin(ωt)]2+ [aω cos(ωt)]2+v2=a2ω2+v2≠ 0 ，t为正则参数，且有
d s=|r'(t)| d t=a2ω2+v2 d t，
s(t) -s(t0) =⎰t
t0|r'(u)| d u=⎰t
t0
a2ω2+v2d u=a2ω2+v2 (t-t0) ．
点 (a, 0, 0) 对应于参数t= 0 ，故从点 (a, 0, 0) 计起的弧长参数为
s(t) -s(0) =a2ω2+v2t．
一个螺纹对应于参数t取值区间为 [t0, t0+2π/|ω|] ，故所求长度为
|s(2π/|ω|) -s(0)|= 2πa2ω2+v2/|ω|．□
习题
⒈证明正则曲线上的弧段的长度在E3的正交标架变换下不变．
⒉证明正则曲线上的弧长元素在保向正则参数变换下不变．
⒊证明正则曲线上的弧长参数由正则参数曲线本身确定到相互差某个常数，该常数
等于不同起点之间的有向弧长．
⒋试求下列曲线段的弧长元素、单位切向和在指定参数范围内的弧长：
①双曲螺线r(t) = (ch t , sh t , t) ; [-1, 1] ；
②悬链线r(t) = (t , ch t , 0) ; [0, 1] ；
③E2中的曳物线r(t) = (cos t , ln(sec t+ tan t) - sin t ) ; [0, t] ．
⒌试求平面极坐标系下方程为ρ =ρ(θ) 的曲线的弧长，其中ρ 和θ分别为极坐标系的
极径和极角．
⒍试求曲线{x3= 3y
2xz= 1 在平面y=
1
3 和y= 9 之间的弧段的长度．
⒎讨论曲线{f(x, y, z) = 0
g(x, y, z) = 0
的单位切向、弧长元素和弧长的算法．。