一题多解求双曲线的离心率
求离心率问题(一题多解)
一题多解及多题一解的研究实验中学 赵战勇一题多解案例1：求曲线离心率问题（09乌市一模11题）若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上横坐标为23a 的点A 到右焦点F 的距离等于半焦距，则双曲线的离心率是（ ）A ．25 B. 2 C.2 D.34解法一：利用焦半径公式：2123230=⇒=-⇒=-∙⇒=-e e e c a e a c a ex 解法二：利用双曲线第二定义：2123232=⇒=-⇒=-e e ee e ca a c解法三：利用两点间距离公式：根据横坐标可以代入双曲线方程求出纵坐标，由|AF|=c 建立等量关系，找到a 与c 的关系，求出e ，这种方法是一种常用的方法，但有时运算量较大，本题若用此法显然运算量较大。
点评：求离心率问题是高考考察的热点问题，关键是建立a 与c 的等量关系，解答时要注意方法的选择。
2009-03-16特值法及数形结合法的运用实验中学 赵战勇案列2：（09乌市一模12题）设向量)a αα= , (sin ,cos )b αα=-，a b a b +-则与的夹角等于A ．30° B. 60° C.120° D.150°解法一：特值法：取90=α°得(1,0)a b ==-，此时可以利用数形结合，将两个向量画在平面直角坐标系上，根据向量的几何性质很容易可以得出a b a b +-与的夹角等于60°；也可以将坐标算出来，然后使用夹角公式。
解法二：数形结合：(sin ,cos )(cos(),sin())22b ππαααα=-=++ ，根据两个向量的坐标可以知道)a αα=终点在半径为3的圆上，与x 轴正半轴的夹角为α，(sin ,cos )b αα=-= απ+2，可知a b 与函数与导数实验中学 赵战勇求参数取值范围问题案例3 已知函数x e x f x -=)(（e 为自然对数底数），设不等式ax x f >)(的解集为P ，且P x x ⊆≤≤}20|{，求实数a 的取值范围。
求解双曲线离心率问题的关键和规律
四种工 具 ： 平面几何基 础知识 、 平 面 向量 、 三 角 函数 、 参 数 方程 。
由Ｆ 。 Ｑ上 Ｐ Ｆ。 ， ０Ｍ上 Ｐ Ｆ ， 得Ｏ Ｍ／ ／Ｆ Ｑ。又 ０
为边 Ｆ Ｆ 的 中点 ， 则０ ＿ Ｍ 为△ Ｆ Ｆ Ｑ 的 中位 线 。
Ｉ Ｐ Ｆ１ ｌ 一２ １ Ｐ Ｑｌ 一２ Ｉ ＱＦ 。 １ —２ （ ２ Ｉ ＭＦ。 １ ） 一４ ６ 。 由双 曲 线 的定 义 ， 得 Ｉ ＰＦ 。 ｌ —ｌ Ｐ Ｆ ｌ 一２ ａ ， 即
式 即可求 出离 心率 的值 。
一 ．
３ ｃ 一２ ｎ ｃ 一５ ａ ＝ ＝ ＝ ０ ＝ ＞ ３ ｅ 一２ Ｐ 一５ —０ ， 解得 Ｐ 一 一１ （ 舍
亡
２
． ． ２
倒 ， 已知 Ｆ 、 Ｆ 分别为双 曲线 一 一１ （ 口
去） 或ｅ － － ÷。
Ｑ（ － Ｘｌ ， 一Ｙ １ ） 、 Ｎ（ Ｏ， ｙ １ ） 。
１
—
（ ｙ ｌ — ２ ） （ １ ＋Ｙ ２ ）
．
２ （ ｚ１ 一 ２ ） （ ｚ１ ＋Ｘ ｚ ）
ｍ ２
２ 。
由Ｐ Ｑ］ ＿ ＰＨ ， 得 ｋ Ｐ Ｑ・ ｋ Ｐ Ｈ ＝ ＝ ＝ 一１ ， 即 一 ： ： ＝ 一１ 。
小 。此外 ， 值得 一提 的是 ： 本题 中利 用 韦达 定 理 求 解 ｚ 比利 用 求根 公 式方 便 得 多， 在 已知 一根 的基 础 上 求解 另一根 ， 利 用韦达 定理 比较便 捷 。 解法 ２ ： Ｖ忌 ＞０ ， 设 点 Ｐ（ ｘ ， Ｙ １ ） 、 Ｈ（ ｘ ， Ｙ 。 ） ， 则 点
ｏ
评析 ： 求解 离心 率 的 问题 中， 题 目中常给 和 过 原 点 的直 线 的特 殊 性 ， 此 解 法 虽 然设有 三 个未 知 元 ， 看似烦琐， 但 在后 续 的计 算 过 程 中， 出现 的代数 式 次数 都 较低 ， 运 算 难度 相 对 较
专题8.7 双曲线及其几何性质-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(解析版)
第八篇平面解析几何专题8.07双曲线及其几何性质【考试要求】了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).【知识梳理】1.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：(1)若a<c时，则集合P为双曲线；(2)若a＝c时，则集合P为两条射线；(3)若a>c时，则集合P为空集.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2【微点提醒】1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2a .2.离心率e ＝ca ＝a 2＋b 2a＝1＋b 2a2. 3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( ) (2)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.( ) (3)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线.( )(4)双曲线x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x m ±yn＝0.( )(5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).( )【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√【解析】 (1)因为||MF 1|－|MF 2||＝8＝|F 1F 2|，表示的轨迹为两条射线. (2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.(3)当m ＞0，n ＞0时表示焦点在x 轴上的双曲线，而m ＜0，n ＜0时则表示焦点在y 轴上的双曲线. 【教材衍化】2.(选修2－1P62A6改编)经过点A (3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________________. 【答案】 x 28－y 28＝1【解析】 设双曲线方程为：x 2－y 2＝λ(λ≠0)，把点A (3，－1)代入，得λ＝8，故所求双曲线方程为x 28－y 28＝1.3.(选修2－1P61A1改编)已知双曲线x 2－y 216＝1上一点P 到它的一个焦点的距离等于4，那么点P 到另一个焦点的距离等于________. 【答案】 6【解析】 设双曲线的焦点为F 1，F 2，|PF 1|＝4，则||PF 1|－|PF 2||＝2，故|PF 2|＝6或2，又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为c －a ＝17－1，故|PF 2|＝6. 【真题体验】4.(2018·浙江卷)双曲线x 23－y 2＝1的焦点坐标是( )A.(－2，0)，(2，0)B.(－2，0)，(2，0)C.(0，－2)，(0，2)D.(0，－2)，(0，2)【答案】 B【解析】 由题可知双曲线的焦点在x 轴上，又c 2＝a 2＋b 2＝3＋1＝4，所以c ＝2，故焦点坐标为(－2，0)，(2，0).5.(2017·全国Ⅲ卷)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________.【答案】 5【解析】 由题意可得3a ＝35，所以a ＝5.6.(2018·北京卷)若双曲线x 2a 2－y 24＝1(a >0)的离心率为52，则a ＝________.【答案】 4【解析】 由题意可得，a 2＋4a 2＝⎝⎛⎭⎫522，即a 2＝16，又a >0，所以a ＝4.【考点聚焦】考点一 双曲线的定义及应用【例1】 (1)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( ) A.14B.35C.34D.45(2)(2019·济南调研)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________. 【答案】 (1)C(2)x 2－y 28＝1(x ≤－1) 【解析】 (1)由x 2－y 2＝2，知a ＝b ＝2，c ＝2.由双曲线定义知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，又|PF 1|＝2|PF 2|， ∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ＝4，由余弦定理，得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝34.(2)如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .根据两圆外切的条件， 得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |， 因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|， 即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 1，C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)， 其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8. 故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1). 【规律方法】 1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程； 2.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|，|PF 2|的联系.【训练1】 (1)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲线C 上，若△AF 1F 2的周长为10a ，则△AF 1F 2的面积为( ) A.215a 2 B.15a 2 C.30a 2D.15a 2(2)(2019·杭州质检)双曲线C 的渐近线方程为y ＝±233x ，一个焦点为F (0，－7)，点A (2，0)，点P 为双曲线第一象限内的点，则当点P 的位置变化时，△PAF 周长的最小值为( ) A.8B.10C.4＋37D.3＋317【答案】 (1)B (2)B【解析】 (1)由双曲线的对称性不妨设A 在双曲线的右支上，由e ＝ca ＝2，得c ＝2a ，∴△AF 1F 2的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|F 1F 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋4a ，又△AF 1F 2的周长为10a ，∴|AF 1|＋|AF 2|＝6a ，又∵|AF 1|－|AF 2|＝2a ，∴|AF 1|＝4a ，|AF 2|＝2a ，在△AF 1F 2中，|F 1F 2|＝4a ， ∴cos ∠F 1AF 2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－|F 1F 2|22|AF 1|·|AF 2|＝（4a ）2＋（2a ）2－（4a ）22×4a ×2a ＝14.又0<∠F 1AF <π，∴sin ∠F 1AF 2＝154， ∴S △AF 1F 2＝12|AF 1|·|AF 2|·sin ∠F 1AF 2＝12×4a ×2a ×154＝15a 2.(2)由已知得双曲线方程为y 24－x 23＝1，设双曲线的另一个焦点为F ′，则|PF |＝|PF ′|＋4，△PAF 的周长为|PF |＋|PA |＋|AF |＝|PF ′|＋4＋|PA |＋3，当F ′，P ，A 三点共线时，|PF ′|＋|PA |有最小值，为|AF ′|＝3，故△PAF 的周长的最小值为10. 考点二 双曲线的标准方程【例2】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( ) A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1D.x 24－y 23＝1 (2)(2018·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点.设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1D.x 29－y 23＝1 【答案】 (1)B (2)C【解析】 (1)由题设知b a ＝52，①又由椭圆x 212＋y 23＝1与双曲线有公共焦点，易知a 2＋b 2＝c 2＝9，②由①②解得a ＝2，b ＝5，则双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.(2)由d 1＋d 2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b ＝3.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以c a ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，所以a 2＋9a 2＝4，解得a 2＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1.【规律方法】 1.利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值.2.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0).【训练2】 (1)(2019·海南二模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C 的标准方程是( ) A.x 212－y 2＝1B.x 29－y 23＝1 C.x 2－y 23＝1D.x 223－y 232＝1 (2)已知双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，且双曲线经过点P (6，2)，则双曲线的方程为 ________________.【答案】 (1)C (2)y 243－x 23＝1【解析】 (1)由双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，可得⎩⎨⎧2a 2－3b 2＝1，b a＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，∴双曲线C 的标准方程是x 2－y 23＝1. (2)由双曲线的渐近线方程为y ＝±23x ，可设双曲线方程为x 29－y 24＝λ(λ≠0).因为双曲线过点P (6，2)，所以69－44＝λ，λ＝－13，故所求双曲线方程为y 243－x 23＝1.考点三 双曲线的性质角度1 求双曲线的渐近线【例3－1】 (一题多解)(2018·全国Ⅱ卷)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( ) A.y ＝±2x B.y ＝±3x C.y ＝±22xD.y ＝±32x【答案】 A【解析】 法一 由题意知，e ＝c a ＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，即ba ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±2x .法二 由e ＝ca＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝3，得b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±2x . 角度2 求双曲线的离心率【例3－2】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点.过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( ) A. 5B.2C. 3D. 2(2)(2018·泰安联考)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0，若双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，则双曲线C 1的离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫1，233B.⎝⎛⎭⎫233，＋∞C.(1，2)D.(2，＋∞)【答案】 (1)C (2)A【解析】 (1)不妨设一条渐近线的方程为y ＝b a x ，则F 2到y ＝b a x 的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b ，在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ，所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中，根据余弦定理得cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－（6a ）22ac ＝－cos ∠POF 2＝－a c ，则3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝ca ＝ 3.(2)由双曲线方程可得其渐近线方程为y ＝±b a x ，即bx ±ay ＝0，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0可化为(x －a )2＋y 2＝14a 2，圆心C 2的坐标为(a ，0)，半径r ＝12a ，由双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，得|ab |a 2＋b 2<12a ，即c >2b ，即c 2>4b 2，又知b 2＝c 2－a 2，所以c 2>4(c 2－a 2)，即c 2<43a 2，所以e ＝c a <233，又知e >1，所以双曲线C 1的离心率的取值范围为⎝⎛⎭⎫1，233.角度3 与双曲线有关的范围(最值)问题【例3－3】 已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B.⎝⎛⎭⎫－36，36 C.⎝⎛⎭⎫－223，223D.⎝⎛⎭⎫－233，233 【答案】 A【解析】 因为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，x 202－y 20＝1，所以MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3<0，即3y 20－1<0，解得－33<y 0<33. 【规律方法】 1.求双曲线离心率或其取值范围的方法 (1)求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2直接求e .(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解.2.与双曲线有关的取值范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解.(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.【训练3】 (1)(2019·上海崇明区调研)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与圆(x －2)2＋(y －1)2＝1相切，则C 的离心率为( ) A.43B.54C.169D.2516(2)已知焦点在x 轴上的双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是________.【答案】 (1)B (2)(0，2)【解析】 (1)双曲线C 的渐近线方程为by ±ax ＝0，结合图形易知与圆相切的只可能是by －ax ＝0，又圆心坐标为(2，1)，则|b －2a |a 2＋b 2＝1，得3a ＝4b ，所以9a 2＝16b 2＝16(c 2－a 2)，则e 2＝2516，又e >1，故e ＝54.(2)对于焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，它的一个焦点(c ，0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为|bc |b 2＋a 2＝b .本题中，双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1即x 28－m －y 2m －4＝1，其焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧8－m >0，m －4>0，解得 4<m <8，则焦点到渐近线的距离d ＝m －4∈(0，2). 【反思与感悟】1.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2b2＝t (t ≠0).2.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程x 2a 2－y 2b 2＝0就是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的两条渐近线方程.【易错防范】1.双曲线方程中c 2＝a 2＋b 2，说明双曲线方程中c 最大，解决双曲线问题时不要忽视了这个结论，不要与椭圆中的知识相混淆.2.求双曲线离心率及其范围时，不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1， ＋∞)这个前提条件，否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围致错.3.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±ab x .【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟) 一、选择题1.(2019·郑州模拟)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( ) A.y ＝±12xB.y ＝±22xC.y ＝±2xD.y ＝±2x【答案】 B【解析】 因为2b ＝2，所以b ＝1，因为2c ＝23，所以c ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x .2.双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F ，过点F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，且交y 轴于B ，若A 为BF 的中点，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.2 D.62【答案】 A【解析】 由题易知双曲线C 的一条渐近线与x 轴的夹角为π4，故双曲线C 的离心率e ＝⎝⎛⎭⎫cos π4－1＝ 2. 3.(2018·全国Ⅲ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4，0)到C 的渐近线的距离为( ) A. 2 B.2C.322D.2 2【答案】 D【解析】 法一 由离心率e ＝ca ＝2，得c ＝2a ，又b 2＝c 2－a 2，得b ＝a ，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x .由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2. 法二 离心率e ＝2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y ＝±x ，∴点(4，0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2. 4.(2019·天津和平区一模)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为32，过右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为M .若△FOM 的面积为5，其中O 为坐标原点，则双曲线的方程为( ) A.x 2－4y 25＝1 B.x 22－2y 25＝1 C.x 24－y 25＝1D.x 216－y 220＝1 【答案】 C【解析】 由题意可知e ＝c a ＝32，可得b a ＝52，取一条渐近线为y ＝bax ，可得F 到渐近线y ＝b a x 的距离d ＝bca 2＋b2＝b ，在Rt △FOM 中，由勾股定理可得|OM |＝|OF |2－|MF |2＝c 2－b 2＝a ，由题意可得12ab ＝5，联立⎩⎨⎧b a ＝52，12ab ＝5，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝5， 所以双曲线的方程为x 24－y 25＝1. 5.已知F 2，F 1是双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的上、下两个焦点，过F 1的直线与双曲线的上下两支分别交于点B ，A ，若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为( )A.y ＝±2xB.y ＝±22xC.y ＝±6xD.y ＝±66x 【答案】 D【解析】 根据双曲线的定义，可得|BF 1|－|BF 2|＝2a ，∵△ABF 2为等边三角形，∴|BF 2|＝|AB |，∴|BF 1|－|AB |＝|AF 1|＝2a ，又∵|AF 2|－|AF 1|＝2a ，∴|AF 2|＝|AF 1|＋2a ＝4a ，∵在△AF 1F 2中，|AF 1|＝2a ，|AF 2|＝4a ，∠F 1AF 2＝120°，∴|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|cos120°，即4c 2＝4a 2＋16a 2－2×2a ×4a ×⎝⎛⎭⎫－12＝28a 2，亦即c 2＝7a 2，则b ＝c 2－a 2＝6a 2＝6a ，由此可得双曲线C 的渐近线方程为y ＝±66x . 二、填空题6.直线l ：y ＝2x ＋10过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)一个焦点且与其一条渐近线平行，则双曲线方程为_________________________________.【答案】 x 25－y 220＝1 【解析】 由题意得一个焦点为F (－5，0)，c ＝5，b a＝2， 又a 2＋b 2＝c 2，所以a 2＝5，b 2＝20，所以双曲线方程为x 25－y 220＝1. 7.设双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________.【答案】 3215 【解析】 a 2＝9，b 2＝16，故c ＝5.∴A (3，0)，F (5，0)，不妨设直线BF 的方程为y ＝43(x －5)，代入双曲线方程解得B ⎝⎛⎭⎫175，－3215.∴S △AFB ＝12|AF |·|y B |＝12·2·3215＝3215. 8.(2019·梅州质检)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点.P 是双曲线在第一象限上的点，直线PO ，PF 2分别交双曲线C 左、右支于M ，N .若|PF 1|＝2|PF 2|，且∠MF 2N ＝60°，则双曲线C 的离心率为________.【答案】 3【解析】 由题意，|PF 1|＝2|PF 2|，由双曲线的定义可得，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，可得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，又|F 1O |＝|F 2O |，|PO |＝|MO |，得四边形PF 1MF 2为平行四边形，又∠MF 2N ＝60°，可得∠F 1PF 2＝60°，在△PF 1F 2中，由余弦定理可得，4c 2＝16a 2＋4a 2－2·4a ·2a ·cos 60°，即4c 2＝20a 2－8a 2，c 2＝3a 2，可得c ＝3a ，所以e ＝c a ＝ 3. 三、解答题9.(2019·安徽江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10).(1)求双曲线的方程；(2)(一题多解)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0.【答案】见解析【解析】(1)解 ∵e ＝2，∴可设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0).∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线的方程为x 2－y 2＝6，即x 26－y 26＝1. (2)证明 法一 由(1)可知，a ＝b ＝6，∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，∴k MF 1＝m 3＋23，k MF 2＝m 3－23， k MF 1·k MF 2＝m 29－12＝－m 23. ∵点M (3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3，故k MF 1·k MF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2.∴MF 1→·MF 2→＝0.法二 由(1)可知，a ＝b ＝6，∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )，∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2，∵点M (3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0，∴MF 1→·MF 2→＝0.10.设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标.【答案】见解析【解析】(1)由题意知a ＝23，∵一条渐近线为y ＝b ax ，即bx －ay ＝0. ∴由焦点到渐近线的距离为3，得|bc |b 2＋a 2＝ 3. 又∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，其中x 0≥2 3.又OM →＋ON →＝tOD →，即(x 1，y 1)＋(x 2，y 2)＝t (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程y ＝33x －2代入双曲线方程x 212－y 23＝1得x 2－163x ＋84＝0，其中Δ＝(163)2－4×84>0， 则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝33(x 1＋x 2)－4＝12. ∴⎩⎨⎧x 0y 0＝433，x 2012－y 203＝1.解得⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3. ∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3).【能力提升题组】(建议用时：20分钟) 11.(2019·河南适应测试)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是双曲线上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为π6，则双曲线的渐近线方程为( ) A.y ＝±2xB.y ＝±12xC.y ＝±22x D.y ＝±2x【答案】 D 【解析】 不妨设P 为双曲线右支上一点，则|PF 1|>|PF 2|，由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .又因为⎩⎪⎨⎪⎧2c >2a ，4a >2a ，所以∠PF 1F 2为最小内角，故∠PF 1F 2＝π6. 由余弦定理，可得（4a ）2＋（2c ）2－（2a ）22·4a ·2c ＝32，即(3a －c )2＝0，所以c ＝3a ，则b ＝2a ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .12.已知点F 为双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，直线y ＝kx (k >0)与E 交于不同象限内的M ，N 两点，若MF ⊥NF ，设∠MNF ＝β，且β∈⎣⎡⎦⎤π12，π6，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A.[2，2＋6]B.[2，3＋1]C.[2，2＋6]D.[2，3＋1]【答案】 D【解析】 如图，设左焦点为F ′，连接MF ′，NF ′，令|MF |＝r 1，|MF ′|＝r 2，则|NF |＝|MF ′|＝r 2，由双曲线定义可知r 2－r 1＝2a ①，∵点M 与点N 关于原点对称，且MF ⊥NF ，∴|OM |＝|ON |＝|OF |＝c ，∴r 21＋r 22＝4c 2②，由①②得r 1r 2＝2(c 2－a 2)，又知S △MNF ＝2S △MOF ，∴12r 1r 2＝2·12c 2·sin 2β，∴c 2－a 2＝c 2·sin 2β， ∴e 2＝11－sin 2β，又∵β∈⎣⎡⎦⎤π12，π6，∴sin 2β∈⎣⎡⎦⎤12，32， ∴e 2＝11－sin 2β∈[2，(3＋1)2].又e >1，∴e ∈[2，3＋1]. 13.(2018·北京卷)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n2＝1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________.【答案】 3－1 2【解析】 设椭圆的右焦点为F (c ，0)，双曲线N 的渐近线与椭圆M 在第一象限内的交点为A ，由题意可知A ⎝⎛⎭⎫c 2，3c 2，由点A 在椭圆M 上得，c 24a 2＋3c 24b 2＝1，∴b 2c 2＋3a 2c 2＝4a 2b 2，∵b 2＝a 2－c 2，∴(a 2－c 2)c 2＋3a 2c 2＝4a 2(a 2－c 2)，∴4a 4－8a 2c 2＋c 4＝0，∴e 4椭－8e 2椭＋4＝0，∴e 2椭＝4±23，∴e 椭＝3＋1(舍去)或 e 椭＝3－1，∴椭圆M 的离心率为3－1.∵双曲线的渐近线过点A ⎝⎛⎭⎫c 2，3c 2，∴渐近线方程为y ＝3x ，∴n m ＝3，故双曲线的离心率e 双＝m 2＋n 2m 2＝2. 14.已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点.(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →＞2(其中O 为原点)，求k 的取值范围.【答案】见解析【解析】(1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)， 则a 2＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1.故C 2的方程为x 23－y 2＝1. (2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1， 得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝（－62k ）2＋36（1－3k 2）＝36（1－k 2）＞0，∴k 2≠13且k 2＜1.① 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2. ∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1. 又∵OA →·OB →＞2，得x 1x 2＋y 1y 2＞2， ∴3k 2＋73k 2－1＞2，即－3k 2＋93k 2－1＞0，解得13＜k 2＜3.② 由①②得13＜k 2＜1， 故k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－33∪⎝⎛⎭⎫33，1. 【新高考创新预测】15.(多填题)已知椭圆x 24＋y 2m ＝1与双曲线x 2－y 2n＝1的离心率分别为e 1，e 2，且有公共的焦点F 1，F 2，则4e 21－e 22＝________，若P 为两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|＝________.【答案】 0 3【解析】 由题意得椭圆的半焦距满足c 21＝4－m ，双曲线的半焦距满足c 22＝1＋n ，又因为两曲线有相同的焦点，所以4－m ＝1＋n ，即m ＋n ＝3，则4e 21－e 22＝4×4－m 4－(1＋n )＝3－(m ＋n )＝0. 不妨设F 1，F 2分别为两曲线的左、右焦点，点P 为两曲线在第一象限的交点， 则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝4，|PF 1|－|PF 2|＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝3，|PF 2|＝1，则|PF 1|·|PF 2|＝3.。
专题50 双曲线-高考数学复习资料(解析版)
的取值范围是( )
33 －， A. 3 3
22 22 －， C. 3 3
33 －， B. 6 6
23 23 －， D. 3 3
【答案】 A
【解析】 因为 F1(－ 3，0)，F2( 3，0)，x20－y20＝1，所以M→F1·M→F2＝(－ 3－x0，－y0)·( 3－x0，－y0) 2
＝x20＋y20－3<0，即 3y20－1<0，解得－
a2 b2
的垂线，垂足为 A，且交 y 轴于 B，若 A 为 BF 的中点，则双曲线的离心率为( )
A. 2
B. 3
C.2
6 D.
2
【答案】 A
π －1
【解析】
由题易知双曲线
C
的一条渐近线与
x
π 轴的夹角为 ，故双曲线
C
的离心率
e＝
cos
4
＝ 2.
4
x2 y2 3．(2019·宁夏模拟)设 P 是双曲线 － ＝1 上一点，F1，F2 分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则
b 2a，即 ＝
2，所以该双曲线
a
a
b 的渐近线方程为 y＝± x＝± 2x.
a
c 法二 由 e＝ ＝
a
b2
b
b
1＋ a ＝ 3，得 ＝ 2，所以该双曲线的渐近线方程为 y＝± x＝± 2x.
a
a
（2）（2017
山东）在平面直角坐标系
xOy
中，双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0，b
0)
的右支与焦点为 F
F1
的直线与双曲
线的上下两支分别交于点 B，A，若△ABF2 为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为( )
2023-2024学年广东省部分名校高二上学期期末教学质量检测数学试题+答案解析
FY2023-2024学年广东省部分名校高二上学期期末教学质量检测数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为双曲线的一条渐近线，则()A. B.1 C. D.272.在等差数列中，若，则()A.4B.6C.8D.33.圆C：和圆D：的位置关系为()A.内切B.相交C.外切D.外离4.在数列中，若，则下列数不是中的项的是()A. B.C.3D.5.若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则()A. B. C. D.或6.如图1，抛物面天线是指由抛物面抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面反射器和位于焦点上的照射器馈源，通常采用喇叭天线组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单､方向性强､工作频带宽等特点.图2是图1的轴截面，两点关于抛物线的对称轴对称，F是抛物线的焦点，是馈源的方向角，记为，若，则F到该抛物线顶点的距离为()A.2B.3C.4D.67.在三棱锥SABC中，，，且，若M满足，则M到AB的距离为()A. B. C. D.8.已知双曲线的左､右焦点分别为过的直线交双曲线C右支于两点，且，则C的离心率为()A.2B.3C.D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列直线与直线平行，且与它的距离为的是()A. B. C. D.10.已知直线，双曲线，则()A.当时，l与C只有一个交点B.当时，l与C只有一个交点C.当时，l与C的左支有两个交点D.当时，l与C的左支有两个交点11.已知数列为等比数列，设的前n项和为，的前n项积为，若，则()A. B.为等比数列C. D.当时，取得最小值12.数学探究课上，小王从世界名画《记忆的永恒》中获得灵感，创作出了如图1所示的《垂直时光》.已知《垂直时光》是由两块半圆形钟组件和三根指针组成的，它如同一个标准的圆形钟沿着直径MN折成了直二面角其中M对应钟上数字对应钟上数字设MN的中点为，若长度为2的时针OA指向了钟上数字8，长度为3的分针OB指向了钟上数字现在小王准备安装长度为3的秒针安装完秒针后，不考虑时针与分针可能产生的偏移，不考虑三根指针的粗细，则下列说法正确的是()A.若秒针OC指向了钟上数字5，如图2，则B.若秒针OC指向了钟上数字5，如图2，则平面OBCC.若秒针OC指向了钟上数字4，如图3，则BC与AM所成角的余弦值为D.若秒针OC指向了钟上数字4，如图3，则四面体OABC的外接球的表面积为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
关于高中数学离心率题型解法的有效解决技巧
关于高中数学离心率题型解法的有效解决技巧【摘要】高中数学中，离心率题型是一个常见但也容易出错的题目。
本文将介绍关于高中数学离心率题型的解法技巧。
在我们将介绍离心率的定义和背景知识。
在我们将详细讲解离心率的性质、解题步骤，并举例说明常见的题型。
我们会提醒大家在解题时需要注意的事项，并进行实战演练。
在我们将总结本文的内容，并探讨离心率在实际生活中的拓展应用，以及如何进一步提升解题能力。
通过本文的学习，读者将能够更加熟练地解决高中数学中关于离心率的题目。
【关键词】高中数学、离心率、题型、解法、有效技巧、引言、定义与性质、解题步骤、常见题型举例、注意事项、实战演练、结论、总结、拓展应用、思考提升。
1. 引言1.1 介绍高中数学中的离心率题型是一种常见而重要的题型，涉及到椭圆、双曲线和抛物线等几何图形的特性和性质。
理解和掌握离心率的计算方法对于解题十分重要，而有效的解决技巧可以帮助学生提高解题效率，提升数学成绩。
在本文中，我们将介绍关于高中数学离心率题型的解题技巧，希望能够为学生们在学习和应试过程中提供指导和帮助。
在接下来的我们将详细介绍离心率的定义和性质，解题步骤以及常见题型举例，同时给出一些注意事项和实战演练，希望能够帮助学生们全面深入地理解和掌握离心率这一重要的数学知识。
通过不断的学习和练习，我们相信每位学生都能够在离心率题型上取得更好的成绩。
1.2 背景知识高中数学中，离心率是一个重要且常见的概念。
在几何学和代数学中，离心率通常用来描述椭圆、双曲线和抛物线等二次曲线的形状。
理解离心率的概念对于解决与二次曲线相关的数学问题非常重要。
离心率的定义是一个数值，用来衡量一个二次曲线的“扁平”程度。
在椭圆和双曲线中，离心率的取值范围是0到1，越接近1表示曲线越扁平；在抛物线中，离心率为1，表示曲线为对称。
在解决与离心率相关的数学题目时，首先要掌握离心率的定义及其性质。
需要了解解题的基本步骤，包括求解离心率、判断曲线类型、求解焦点、导线等。
关于高中数学离心率题型解法的有效解决技巧
关于高中数学离心率题型解法的有效解决技巧离心率是描述椭圆或者双曲线形状的一个重要参数，在高中数学中是一个常见的题型。
解决离心率题型需要掌握一些有效的解决技巧，以下是一些常用的解题方法：1. 确定椭圆或双曲线的方程类型：首先要根据题目中的给定信息确定椭圆或双曲线的方程类型，例如椭圆的方程一般形式为\dfrac{x^2}{a^2}+ \dfrac{y^2}{b^2} = 1，双曲线的方程一般形式为\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1。
2. 求取离心率：当已知椭圆或双曲线的方程时，可以利用离心率的定义求取离心率。
椭圆的离心率为e = \sqrt{1 - \dfrac{b^2}{a^2}}，双曲线的离心率为e =\sqrt{\dfrac{b^2}{a^2} + 1}。
3. 利用离心率性质解题：离心率有许多有用的性质可以用来解决题目。
椭圆的离心率e满足0 < e < 1，即离心率是大于0小于1的实数。
双曲线的离心率e满足e > 1，即离心率是大于1的实数。
4. 求取椭圆或双曲线的焦点：椭圆的焦点可以通过离心率来求取，焦点的坐标为(\pm ae, 0)。
双曲线的焦点的坐标为(\pm ae, 0)和(0, \pm b)。
5. 利用焦点和离心率的性质求取题目所需要的信息：有时候题目会给出椭圆或双曲线的焦点和离心率，需要求取其他相关信息。
可以根据离心率和焦点的坐标来求取椭圆的长轴、短轴长度，以及双曲线的极限。
6. 综合运用多种方法解题：有些题目可能需要综合运用离心率的性质、椭圆、双曲线的方程以及焦点、长轴、短轴等信息来解决。
在解决离心率题型时，需要熟练掌握椭圆和双曲线的基本概念和公式，同时运用离心率的性质来推导和求解。
多做一些题目，加深对离心率和椭圆、双曲线的理解，掌握常见的解决技巧，就能够更有效地解决高中数学离心率题型。
河南省天一大联考高中2025届高考冲刺模拟数学试题含解析
河南省天一大联考高中2025届高考冲刺模拟数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线与圆()2221x y -+=相切，则双曲线的离心率为( )A ．2BCD2．复数5i12i+的虚部是 ( ) A ．iB ．i -C ．1D ．1-3．△ABC 中，AB ＝3，BC =AC ＝4，则△ABC 的面积是（ ）A．BC ．3D ．324．已知函数()ln f x x ax b =++的图象在点(1,)a b +处的切线方程是32y x =-，则a b -=（ ） A ．2B ．3C ．-2D ．-35．已知甲盒子中有m 个红球，n 个蓝球，乙盒子中有1m -个红球，+1n 个蓝球(3,3)m n ≥≥，同时从甲乙两个盒子中取出(1,2)i i =个球进行交换，（a ）交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为(1,2)i p i =.（b ）交换后，乙盒子中含有红球的个数记为(1,2)i i ξ=.则（ ） A ．1212,()()p p E E ξξ>< B．1212,()()p p E E ξξ C ．1212,()()p p E E ξξ>>D ．1212,()()p pE E ξξ<<6．下图是我国第24~30届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图，根据表和统计图，以下描述正确的是（ ）．25 16 22 12 54 26 16 22 12 50 27 28 16 15 59 28 32 17 14 63 29 51 21 28 100 3038272388A ．中国代表团的奥运奖牌总数一直保持上升趋势B ．折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不具有实际意义C ．第30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降D ．统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数的中位数是54.5 7．集合{}2|4,M y y x x ==-∈Z 的真子集的个数为( )A ．7B ．8C ．31D ．328．已知定义在R 上的函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，且()1y f x =-的图象关于1x =对称，若实数a 满足()12log 2f a f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是（ ） A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．1,44⎛⎫⎪⎝⎭D ．()4,+∞9．8x x ⎛ ⎝的二项展开式中，2x 的系数是（ ）A ．70B ．-70C ．28D ．-2810．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．83B ．3C ．113D ．411．已知定义在R 上的函数()2xf x x =⋅，3(log 5)a f =，31(log )2b f =-，(ln 3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c b a >> B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>12．已知双曲线)，其右焦点F 的坐标为，点是第一象限内双曲线渐近线上的一点，为坐标原点，满足，线段交双曲线于点.若为的中点，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．2C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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一、典例分析，融合贯通典例1 【2016年山东卷理科第13题】已知双曲线)>,>(=:0012222b a by －a x E ，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，CD AB ,的中点为E 的两个焦点，且BC 3=AB 2，则E 的离心率为 【解法1】直接法由题意c 2=BC ，所以3c =AB ，于是点),23（c c 在双曲线E 上，代入方程，得1492222=b c －a c ，在由2c b a =+22得E 的离心率为2==a ce .【点睛之笔】直接代入，少走弯路！ 【解法2】通径法易得2b A(c,)a ，2b B(c,)a -，所以22b |AB |a =，|BC |2c =，由2AB 3BC =，222c a b =+得离心率e 2=或1e 2=-（舍去），所以离心率为 2.e =【点睛之笔】通径法，此径通幽！【点睛之笔】几何法，利用图形画出美好未来！ 【解后反思】解法1：直接将数据代入，直奔主题，不走回头路！ 解法2：利用通径，减少计算量！ 解法3：利用数形结合法，以形助数！典例2 【2009全国卷Ⅰ，理4】设双曲线12222=-by a x (a ＞0, b ＞0)的渐近线与抛物线y=x 2+1相切，则该双曲线的离心率等于（ ）A.3 C.5 D.6【点睛之笔】设而不求法，不求也能求！ 【解法2】导数法 设切点00(,)P x y'2,y x = ∴切线斜率02bk x a== ∴02b x a=∴20022,21,2b by xa abya⎧==⎪⎪⎨⎛⎫⎪=+⎪⎪⎝⎭⎩224b a∴= .∴又2222222,45c a b c a a a=+∴=+=5cea∴==，故选C.【点睛之笔】导数法，快速确定解题方向！【解后反思】解法1:设而不求法，再也不求人！解法2：利用导数的几何意义，迅速突破难点，确定解题方略！3.典例3双曲线12222=-byax的离心率为e1,双曲线12222=-axby的离心率为e2, 则=+222111ee_________, e1+e2的最小值为______. e1·e2的最小值为______ .由双曲线离心率定义知：bbaeabae222221,+=+= , 故有2212111e e+=.【点睛之笔】均值不等式，不患寡而患不“均”！【解法2】换元法不妨设1,121>=>=y e x e ，则问题相当于：,11122=+y x 求y x +、xy 的最小值。
由均值不等式得：xy yx y x 21121112222=⋅≥+=，∴ 2≥xy ，等号成立，当且仅当y x = ，即 21e e =，进而推出 ,b a =即122e e ==时.而 822222)(222222=⋅+≥+=++=+xy y x xy y x y x 82222=⋅+≥，∴ 22≥+y x ，等号成立，当且仅当122e e ==时取等号（由,11122=+yx 去分母可得：2222y x y x =+） .故答案依次为：1,22,2 . 【点睛之笔】换元法，换了都说好！ 【解后反思】解法1：一正二定三相等，解起题来不需等！ 解法2：换元法，越换越简练，越换越明了！ 二、精选试题，能力升级1.【2018辽宁省八中模拟】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点为1F 、2F ，在双曲线上存在点P 满足12122PF PF F F +≤,则此双曲线的离心率e 的取值范围是（ ） A. 12e <≤ B. 2e ≥ C. 12e <≤ D. 2e ≥【答案】B2.【2018广东省海珠区一模】已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线均与圆22650x y x +-+=相切，且双曲线的右焦点为该圆的圆心，则C 的离心率为（ ）66355【答案】C【解析】双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线方程为by x a =±，即0bx ay ±=，圆22:650C x y x +-+=化为标准方程()()2234,3,0x y C -+=∴，半径为2， 双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的两条渐近线均和圆22:650C x y x +-+=相切， 2222232,944b b b a b a ∴=∴=++222,944b b a =∴=+()222222224,54b a b c a c a a ∴==-∴-=， 223595,c a c e a ∴=∴==， ∴双曲线离心率对于35，故选C. 3.【2018广西柳州市一模】若双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>上存在一点P 满足以OP 为边长的正方形的面积等于2ab （其中O 为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. 51,2⎛⎤ ⎥ ⎝⎦ B. 71,2⎛⎤⎥ ⎝⎦ C. 5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭ D. 7,2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【答案】C4.【2018湖南省永州市一模】已知点P 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上一点， 12,F F 分别为双曲线的左右焦点，点I 为12PF F ∆的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有121212IPF IPF IF F S S S ∆∆∆-≥成立，则双曲线的离心率取值范围为（ ）A. (]1,2 B. ()1,2 C. (]0,2 D. (]2,3 【答案】A【解析】如图，设圆I 与12F F ∆的三边12F F 、1PF 、2PF 分别相切于点,,E F G ，连接IE 、IF 、IG ，则1212,,IE F F IF PF IG PF ⊥⊥⊥，它们分别是1212,,IF F IPF IPF ∆∆∆的高12112211,2222IPF IPF r r S PF IF PF S PF IG PF ∆∆∴=⨯⨯==⨯⨯=， 121212122IF F rS F F IE F F ∆=⨯⨯=其中r 是12PF F ∆的内切圆的半径，因为121212IPF IPF IF F S S S ∆∆∆-≥所以1212224r r rPF PF F F -≥，两边约去2r 得1212121211,22PF PF F F PF PF F F =+∴-=，根据双曲线定义，得12122,2PF PF a F F c -==， 2a c ∴≥⇒离心率为2ce a=≤，双曲线的离心率取值范围为(]1,2，故选A.5.【2018陕西西工大附中六模】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线28y x =-的准线分别交于,A B 两点， O 为坐标原点，若ABO ∆的面积为3( )A.7213【答案】B6.【2013课标全国Ⅰ，理4】已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ± B ．y ＝13x ± C ．y ＝12x ± D ．y ＝±x 【答案】：C【解析】：∵5c e a ==，∴ 22222254c a b e a a +===.∴a 2＝4b 2，1=2b a ±.∴渐近线方程为12b y x x a =±±.7.【2011全国新课标，理7】设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )A ．2B 3C ． 2D ． 3【答案】B 【解析】8.【2015高考新课标1，理5】已知M （00,x y ）是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF •<，则0y 的取值范围是( )（A ）（-33，33） （B ）（-36，36（C ）（23-，223） （D ）（233-，33）【答案】A【解析】由题知12(3,0),(3,0)F F -，220012x y -=，所以12MF MF •= 0000(3,)(3,)x y x y --•- =2220003310x y y +-=-<，解得03333y -<<，故选A. 9.【2018湖南两市九月调研】已知F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，定点A 为双曲线虚轴的一个端点，过,F A 两点的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右侧的交点为B ，若3AB FA =，则此双曲线的离心率为__________．【答案】4310.【2008全国1，理21】双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、、成等差数列，且BF 与FA 同向． （Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．。