双曲线离心率常见求法整理归纳
离心率的五种求法
离心率的五种求法离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现. 椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ． 一、直接求出,a c ，求解e 已知标准方程或,a c 易求时，可利用离心率公式c e a=来求解。
例1. 过双曲线C ：)0b (1by x 222>=-的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且|AB|=|BC|，则双曲线M 的离心率是（ ）A. 10B. 5C.310 D. 25分析：这里的1,a c ==2b ，即可利用定义求解。
解：易知A （-1，0），则直线l 的方程为1x y +=。
直线与两条渐近线bx y -=和bx y =的交点分别为B)1b b ,1b 1(++-、C )1b b ,1b 1(--，又|AB|=|BC|，可解得9b 2=，则10c =故有10ace ==，从而选A 。
二、变用公式)c e a==双曲线，)c e a==椭圆，整体求出e例2. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为（ ）A. 35B. 34C. 45D. 23分析：本题已知b a =34，不能直接求出a 、c ，可用整体代入套用公式。
解：因为双曲线的一条渐近线方程为43y x =，所以 43b a =，则53c e a ===，从而选A 。
1.设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线21y x =+相切，则该双曲线的离心率等于( C )解：由题双曲线()222200x y a b a b－＝1＞，＞的一条渐近线方程为a bx y =，代入抛物线方程整理得02=+-a bx ax ，因渐近线与抛物线相切，所以0422=-a b ，即224b a =e ∴===2.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =uur uu u r，则双曲线的离心率是 ( )A D 答案：C【解析】对于(),0A a ，则直线方程为0x y a +-=，直线与两渐近线的交点为B ，C ，22,,(,)a ab a ab B C a b a b a b a b ⎛⎫- ⎪++--⎝⎭，22222222(,),,a b a b abab BC AB a b a b a b a b ⎛⎫=-=- ⎪--++⎝⎭，222,4AB BC a b =∴=uur uu u r 因此 ，即224b a =，e ∴===3.过椭圆22221x y a b +=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=，则椭圆的离心率为( )A ．2 B ．3 C ．12 D ．13【解析】因为2(,)b P c a -±，再由1260F PF ∠=有232,b a a =即2223b a =从而可得3e ∴===，故选B三、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
双曲线离心率常见题型
一、求双曲线的离心率及其范围。
例1:已知21,F F 分别是双曲线122
22=-b
y a x 的左右焦点，过1F 垂直于x 轴的直线与双曲线交于B A ,两点，若2ABF ∆是直角三角形，求双曲线的离心率。
答案：21+
=e 变式：
1、若2ABF ∆是等边三角形，求双曲线的离心率。
答案：3=e
2、若2ABF ∆是锐角三角形，求双曲线的离心率。
答案：)21,1(+
∈e 3、若2ABF ∆是钝角三角形，求双曲线的离心率。
答案：),21(+∞+∈e
例2:已知21,F F 分别是双曲线12222=-b
y a x 的左右焦点，过2F 且倾斜角的为 60的直线与双曲线的右支有且仅有一个交点，求双曲线的离心率的取值范围。
答案：),2[+∞∈e
例3:过双曲线122
22=-b
y a x 的右焦点2F 作垂直于渐近线的的直线与双曲线的两支都相交，求双曲线的离心率的取值范围。
答案：),2(+∞∈e
二、直线1-=kx y 与双曲线42
2=-y x 没有公共点，求k 的取值范围 2
5,25>-<k k 或 变式1、直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 有两个公共点，求k 的取值范围
)2
5,1()1,1()1,25(⋃-⋃-- 变式2、直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 只有一个公共点，求k 的取值范围1,2
5±±=k k 或 变式3、直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 的左支有两个公共点，求k 的取值范围 )1,25(--。
双曲线离心率三个公式
双曲线离心率三个公式
双曲线，又称偏态椭圆，是一类椭圆型曲线，它是一类椭圆型曲线中最为普遍的一种。
在平面内，它拥有两个焦点和两条对称的直线，而它的离心率是比较关键的指标，有时依据离心率的大小，可以把它们分开。
许多的重要的数学概念和它们的离心率有关，下面我们就来看看它们的公式：
第一个双曲线离心率公式：
e = c/a
其中，a表示半长轴，c表示半短轴。
第二个双曲线离心率公式：
e = 1 - b^2/a^2
其中，a表示半长轴，b表示半短轴。
第三个双曲线离心率公式：
e =(1 - b^2/a^2)
其中，a表示半长轴，b表示半短轴。
双曲线的离心率是一个最重要的概念，它可以用来描述双曲线的偏态程度，也是双曲线分类的依据之一。
离心率若大于1，则表明双曲线极度偏态，离心率若等于1，则表明它是一个椭圆形，当离心率小于1时，表明双曲线是比较圆滑，两端不太尖锐。
我们以上提到的三个双曲线离心率公式，它们可以求出双曲线的离心率，方便我们研究偏态的曲线，可以准确的描述双曲线的偏态程度，从而用于分类和研究，获得更多的信息。
双曲线离心率的应用广泛，其原理可以运用到多种计算和分析中，比如财务分析，贝叶斯分析，统计分析等等，也运用到重要的物理和数学概念中。
例如，气体爆炸中，我们可以利用双曲线离心率来描述能量的传递，微米级到纳米级的粒子可以利用双曲线离心率来计算其运动的可能性，而在天体的研究中，我们可以利用它来描述和分析椭圆星系的运行方式等。
总之，双曲线离心率是一个非常重要的概念，可以用来衡量双曲线的偏态程度，通过我们上面介绍的三个公式，可以更好的研究、应用及分析双曲线离心率，从而查找和发现更多重要的数学概念和应用。
求离心率的范围问题整理分类
求离心率的范围问题求离心率范围的方法 一、建立不等式法：1.利用曲线的范围建立不等关系。
2.利用线段长度的大小建立不等关系。
F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，PF 1|∈[a －c ，a ＋c ]；F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，|PF 1|≥c －a .3.利用角度长度的大小建立不等关系。
4.利用题目不等关系建立不等关系。
5. 利用判别式建立不等关系。
6.利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系。
7.利用基本不等式，建立不等关系。
二、函数法：1. 根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；2.通过确定函数的定义域；3.利用函数求值域的方法求解离心率的范围.练习利用曲线的范围建立不等关系1.F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，求椭圆的离心率的取值范围.2.A 是椭圆长轴的一个端点，O 是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P ，使∠OPA = , 则椭圆离心率的范围是_________.3.设12,F F 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点,且12||2F F c =,若椭圆上存在点P 使得212||||2PF PF c ⋅=,则椭圆的离心率的最小值为（ ）A ．12B ．13 C．2 D．32π4.5.设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 B.⎝⎛⎦⎥⎤0，33 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 6．已知点()()000,P x y x a ≠±在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上，若点M 为椭圆C 的右顶点，且PO PM ⊥（O为坐标原点），则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．()0,1C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭利用线段长度的大小建立不等关系7. 设点P 在双曲线)0b ,0a (1by a x 2222>>=-的右支上，双曲线两焦点21F F 、，|PF |4|PF |21=，求双曲线离心率的取值范围。
离心率的五种求法
7.设 分别是双曲线 的左、右焦点，若双曲线上存在点 ， 且 ，则双曲线的离心率为（ B ）
A． B． C． D．
解
8．如图， 和 分别是双曲线 （ ）的两个焦点， 和 是以 为圆心，以 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且 是等边三角形，则双曲线的离心率为（）
A B C D
离心率的五种求法
离心率的五种求法
离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现.
椭圆的离心率 ，双曲线的离心率 ，抛物线的离心率 ．
一、直接求出 ，求解
已知标准方程或 易求时，可利用离心率公式 来求解。
例1.过双曲线C： 的左顶点A作斜率为1的直线 ，若 与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是（ ）
A. B. C. D.
解：由已知，直线 的方程为 ，由点到直线的距离公式，得 ，
又 ,∴ ,两边平方，得 ，整理得 ，
得 或 ，又 ，∴ ，∴ ，∴ ，故选A
11.知 、 是双曲线 （ ）的两焦点，以线段 为边作正三角形 ，若边 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）
A. B. C. D.
解：如图，设 的中点为 ，
A． B． CБайду номын сангаас D．
解析：满足 的点 总在椭圆内部，所以c<b.
4.设 ，则双曲线 的离心率 的取值范围是（B）
，又 ，
在 中，由余弦定理，得 ,
即 ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，故选B
3.设 是等腰三角形， ，则以 为焦点且过点 的双曲线的离心率为（ B ）
A． B． C． D．
4.设双曲线的一个焦点为 ，虚轴的一个端点为 ,如果直线 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )
高考离心率知识点总结
高考离心率知识点总结高考是对学生十几年学习成果的一次总结和检验。
其中，数学作为高考的一门重要科目，对于许多学生来说，是十分关键和困惑的。
而在数学中，离心率是一个涉及到椭圆、抛物线和双曲线的重要概念。
本文将对高考中常见的离心率知识点进行总结。
离心率是描述圆锥曲线形状的一个重要参数，它是椭圆、抛物线和双曲线的特征之一。
一般来说，离心率越大，圆锥曲线形状越扁平。
离心率的计算公式如下：离心率=√(1-(b²/a²))其中，a是椭圆的长半轴长度，b是椭圆的短半轴长度。
接下来，我们将通过具体的例子来讨论高考中可能遇到的离心率问题。
1. 椭圆的离心率求解假设有一个椭圆的长轴长度为8，短轴长度为6。
我们可以先计算出椭圆的离心率。
离心率=√(1-(6²/8²))=√(1-36/64)=√(1-9/16)=√(7/16)因此，这个椭圆的离心率为√(7/16)。
2. 抛物线的离心率求解抛物线是一种特殊的圆锥曲线，其离心率定义为1。
所以，无论抛物线的形状如何，其离心率始终为1。
3. 双曲线的离心率求解对于双曲线，其离心率的计算稍微复杂一些。
假设有一个双曲线的方程为x²/16 - y²/9 = 1，我们可以通过方程来求解其离心率。
首先，将方程化简为标准形式，即(x²/16) - (y²/9) = 1。
然后，我们将方程与椭圆的标准方程进行比较，可以发现椭圆的长半轴为4，短半轴为3，进而计算出椭圆的离心率。
离心率=√(1-(3²/4²))=√(1-9/16)=√(7/16)因此，这个双曲线的离心率为√(7/16)。
综上所述，离心率是数学中重要的概念之一，对于高考尤为重要。
本文通过椭圆、抛物线和双曲线的例子，展示了离心率的计算方法。
希望通过这篇文章的阅读，学生们能够对离心率有一个更加清晰的理解，从而在高考中能够更好地应用和运用相关知识。
求解双曲线离心率问题的常见策略
此双曲线离心率的取值范围是 （ ）
解 ：直线与双曲线右支只有一 个交点 知其斜率小于等于渐近线 的斜率 ，即
ｔ ６。 鱼 即 √ 得 ａ ０≤ ６ ， ｎ
，
ｄ
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０ 。 Ｄ～
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设双 曲线 方程 为 一 脯 心率 ｅ：
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１ ７ 创新教 育 ４
． 答 ：
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求 解 双 曲 线 离 心 率 问 题 的 常 见 策 略
ｌ Ｊ
６
即
河北 省 邯 郸 市第 一 中学 赵 静
双曲线中离心率是 重要的几何性 决定双曲线的形状是较开阔 质， 还是较狭窄， 因而高考中常考查离 心率问 Ｐ＝三且口 题． ＋６ ＝ｆ
ｄ
，
只 要找到口 ６ｃ中 ，， 任两个量闻的倍数关系即可求出离心率的值： 心率的范围． 求离 在于建立关于 ｂ ｃ ， ， 的不等式． 进而转化为Ｐ ＝三的
口
不等式求解
一
、
通过坐标与几何关系确定ａ， ， ｂ Ｃ关系求ｅ
例１ 双曲 一 ：ｌ ＞ ， ＞ ） 右 点 ． 线 设 （ ０６ ｏ 的 焦 为Ｆ， 准 与 条 近 交 ， 点， Ａ Ｑ 直角 形， 双 日 右 线， 两 渐 线 于尸 Ｑ两 ￣ Ｐ Ｆ是 三角 求
离心率的五种求法
离心率的五种求法离心率的五种求法一、直接求出a、c，求解e当已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式e=c/a来解决。
例如，已知双曲线2-x^2/y^2=1（a>c）的一条准线与抛物线y^2=-6x的准线重合，则该双曲线的离心率为(3a^2c^2-13c^2)/(2a^2c)。
解法为：抛物线y=-6x的准线是x=2c^2/3，即双曲线的右准线x=c^2/(a-c)=2c^2/3-1/3.由此得到c=2，a=3，e=c/a=2/3.因此，选D。
变式练1：若椭圆经过原点，且焦点为F1(1,0)、F2(-1,0)，则其离心率为√(2/3)。
解法为：由F1(1,0)、F2(-1,0)知2c=2，∴c=1，又∵椭圆过原点，∴a-c=1，a+c=2，解得a=3/2，e=c/a=√(2/3)。
因此，选C。
变式练2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为√13/2.解法为：由题设a=2，2c=6，则c=3，e=c/a=√13/2.因此，选C。
变式练3：点P(-3,1)在椭圆4x^2/a^2+2y^2/b^2=1（a>b）的左准线上，过点P且方向为(2,-5)的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为√113/5.解法为：由题意知，入射光线为y-1=-x/2，关于y=-2的反射光线（对称关系）为y+5=-2(x+3)，解得a=3，c=√5，则e=c/a=√113/5.因此，选A。
二、构造a、c的齐次式，解出e根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。
1到l1的距离，又AB的长为2a，∴XXX的长为a。
设AB的中点为M，则MF1为椭圆的半长轴，由于F1在x轴右侧，∴F1的横坐标为c，且c>a。
设F1为（c，0），则根据椭圆的统一定义，可得c2x2y2a2c2。
其中c为椭圆的半焦距，由题意可得AD的长为a，即MF1的长为a，又MF1为椭圆的半长轴，∴a=c，代入上式得x2y2122c离心率为e=cacc1故选D。
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双曲线离心率求法 在双曲线中，1c e a =>
，c e a ===== 方法一、直接求出a c ，或求出a 与b 的比值，以求解e
1．已知双曲线22221x y a b -=的一条渐近线方程为43
y x =，则双曲线的离心率为 . 2．已知双曲线22212x y a -=
(a >)的两条渐近线的夹角为3
π,则双曲线的离心率为 .
3．已知1F 、2F 是双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的两焦点，以线段12F F 为边作正三角形12MF F ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 .
4．设双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点，如果PQF ∆是直角三角形，则双曲线的离心率=e .
5．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 .
6．设1a >，则双曲线22
221(1)
x y a a -=+的离心率e 的取值范围是 . 7．已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60，则双曲线C 的离心率为 .
8．已知双曲线的渐近线方程为125y x =±，则双曲线的离心率为 . 9.过双曲线122
22=-b
y a x 的一个焦点的直线交双曲线所得的弦长为2a ，若这样的直线有且仅有两条，则离心率为 .
10．双曲线两条渐近线的夹角等于90，则它的离心率为 ．
方法二、构造,a c 的齐次式，解出e
1．过双曲线22
221x y a b
-=((0,0)a b >>)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于________．
2．设1F 和2F 为双曲线22
221x y a b
-=(0,0a b >>)的两个焦点, 若1F 、2F ，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为________．
3．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为________．
方法三、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形
1．已知双曲线22
221,(0,0)x y a b a b
-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为________．
2．双曲线22
221,(0,0)x y a b a b
-=>>的两个焦点为12,F F ,若P 为其上一点，且12||2||PF PF =,则双曲线离心率的取值范围为________．
3．设12,F F 分别是双曲线22
221x y a b
-=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ∠=，且12||3||AF AF =，则双曲线离心率为________．
4．双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12,F F ，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为________．
5．如图，1F 和2F 分别是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且2F AB ∆是等边三角形，则双曲线的离心率为________．
6．设点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>右支上的任意一点，12,F F 分别是其左右焦点，离心率为e ，若12||||PF e PF =，此离
心率的取值范围为________．
方法四、双曲线离心率取值范围问题
例1.(本题需要使用双曲线的第二定义解决)已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若双曲线上存在一点P 使
1221sin sin PF F a PF F c
∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．
例2.已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60的直线与双曲线右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是 ．
例 4.已知点P 在双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的右支上，双曲线两焦点为12,F F ，2
22
1||||PF PF 最小值是8a ，则此双曲线的离心率的取值范围是 ． 例 5.双曲线2222
222211x y y x a b b a
-=-=与的离心率分别是12,,e e 则12e e +的最小值为 ．
与准线有关的题目
1．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为 .
2．已知双曲线)0( 1222>=-a y a
x 的一条准线为23=x ，则该双曲线的离心率为 . 3.设点P 在双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左支上，双曲线两焦点为12,F F ，已知
1PF 是点P 到左准线l 的距离d 和2PF 的比例中项，则此双曲线的离心率的取值范围是 ．
4．已知双曲线22
221x y a b -=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是准线上一点，且12PF PF ⊥，124PF PF ab =，则双曲线的离心率是_______.。