高中数学双曲线离心率求解的基本方法
双曲线离心率常见求法整理归纳
1双曲线离心率求法 在双曲线中，1c e a =>，c e a ===== 方法一、直接求出a c ，或求出a 与b 的比值，以求解e1．已知双曲线22221x y a b -=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为 . 2．已知双曲线22212x y a -=(a >)的两条渐近线的夹角为3π,则双曲线的离心率为 .3．已知1F 、2F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段12F F 为边作正三角形12MF F ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 .4．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点，如果PQF ∆是直角三角形，则双曲线的离心率=e .5．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 .6．设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是 . 7．已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60，则双曲线C 的离心率为 .8．已知双曲线的渐近线方程为125y x =±，则双曲线的离心率为 . 9.过双曲线12222=-by a x 的一个焦点的直线交双曲线所得的弦长为2a ，若这样的直线有且仅有两条，则离心率为 .10．双曲线两条渐近线的夹角等于90，则它的离心率为 ．方法二、构造,a c 的齐次式，解出e1．过双曲线22221x y a b-=((0,0)a b >>)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于________．2．设1F 和2F 为双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的两个焦点, 若1F 、2F ，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为________．3．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为________．方法三、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形1．已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为________．2．双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点为12,F F ,若P 为其上一点，且12||2||PF PF =,则双曲线离心率的取值范围为________．3．设12,F F 分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ∠=，且12||3||AF AF =，则双曲线离心率为________．4．双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12,F F ，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为________．5．如图，1F 和2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且2F AB ∆是等边三角形，则双曲线的离心率为________．6．设点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>右支上的任意一点，12,F F 分别是其左右焦点，离心率为e ，若12||||PF e PF =，此离心率的取值范围为________．方法四、双曲线离心率取值范围问题例1.(本题需要使用双曲线的第二定义解决)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若双曲线上存在一点P 使1221sin sin PF F a PF F c∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．例2.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60的直线与双曲线右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是 ．例 4.已知点P 在双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右支上，双曲线两焦点为12,F F ，2221||||PF PF 最小值是8a ，则此双曲线的离心率的取值范围是 ． 例 5.双曲线2222222211x y y x a b b a-=-=与的离心率分别是12,,e e 则12e e +的最小值为 ．与准线有关的题目1．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为 .2．已知双曲线)0( 1222>=-a y ax 的一条准线为23=x ，则该双曲线的离心率为 . 3.设点P 在双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左支上，双曲线两焦点为12,F F ，已知1PF 是点P 到左准线l 的距离d 和2PF 的比例中项，则此双曲线的离心率的取值范围是 ．4．已知双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是准线上一点，且12PF PF ⊥，124PF PF ab =，则双曲线的离心率是_______.。
双曲线离心率如何求——从一道高考真题谈起
双曲线离心率如何求从一道高考真题谈起ʏ河南省禹州市第一高级中学 冯会远求双曲线的离心率,是高考常考题型㊂那么双曲线的离心率该如何求呢?让我们从一道高考真题谈起㊂题目:(2023年高考新课标Ⅰ卷)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左㊁右焦点分别为F 1㊁F 2,点A 在双曲线C 上,点B 在y 轴上,F 1A ңʅF 1B ң,F 2A ң=-23F 2B ң,则双曲线C 的离心率为㊂分析:方法1:利用双曲线的定义与向量数量积的几何意义得到|A F 2|,|B F 2|,|B F 1|,|A F 1|关于a ,m 的表达式,从而利用勾股定理求得a =m ,最后利用余弦定理得到a ,c 的齐次方程,进行得解㊂方法2:依题意设出各点坐标,从而由向量坐标运算求得x 0=53c ,y 0=-23t ,t 2=4c 2,将点A 代入双曲线C 的方程得到关于a ,b ,c 的齐次方程,最后得解㊂图1解析:(方法1)依题意,如图1,设|A F 2|=2m ,则|B F 2|=3m =|B F 1|,|A F 1|=2a +2m ㊂在R t әA B F 1中,9m 2+(2a +2m )2=25m 2,则(a +3m )(a -m )=0,故a =m 或a =-3m(舍去)㊂所以|A F 1|=4a ,|A F 2|=2a ,|B F 2|=|B F 1|=3a ,则|A B |=5a ㊂故c o s øF 1A F 2=|A F 1||A B |=4a 5a =45㊂所以在әA F 1F 2中,c o søF 1A F 2=16a 2+4a 2-4c 22ˑ4a ˑ2a=45,整理得5c 2=9a 2㊂故e =c a =355㊂(方法2)依题意,得F 1(-c ,0),F 2(c ,0),令A (x 0,y 0),B (0,t )㊂因为F 2Aң=-23F 2B ң,所以(x 0-c ,y 0)=-23(-c ,t ),则x 0=53c ,y 0=-23t ㊂又F 1A ңʅF 1B ң,所以F 1A ң㊃F 1B ң=83c ,-23t㊃(c ,t )=83c 2-23t 2=0,则t 2=4c 2㊂又点A 在双曲线C 上,则259c 2a 2-49t 2b2=1,整理得25c 29a 2-4t 29b 2=1,即25c 29a 2-16c29b2=1㊂所以25c 2b 2-16c 2a 2=9a 2b 2,即25c 2(c 2-a 2)-16a 2c 2=9a 2(c 2-a 2)㊂整理得25c 4-50a 2c 2+9a 4=0㊂则(5c 2-9a 2)(5c 2-a 2)=0,解得5c 2=9a 2或5c 2=a 2㊂又e >1,所以e =355或e =55(舍去)㊂故e =355㊂点评:解决过双曲线焦点的三角形的关键是充分利用双曲线的定义,结合勾股定理与余弦定理得到关于a ,b ,c 的齐次方程,从而得解㊂从这道高考真题的解法可以看出,双曲线离心率的求法主要有两种方法:定义法和方程法㊂我们再来看几个变式题㊂变式1:过双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左焦点F ,作x 2+y 2=a 2的一条切线,设切点为T ,该切线与双曲线E 在第一象限交于点A ,若F A ң=3F T ң,则双曲线E 的离心率为( )㊂A.3 B .5C .132 D .152分析:取线段A T 中点,根据给定条件,结03 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年12月合双曲线定义及勾股定理解答㊂图2解析:如图2,令双曲线E 的右焦点为F ',半焦距为c ,取线段A T 中点M ,连接O T ,A F ',F 'M ㊂因为F A 切圆x 2+y2=a 2于T ,所以O T ʅF A ,|F T |=|O F |2-|O T |2=c 2-a 2=b ㊂因为F A ң=3F T ң,所以|A M |=|M T |=|F T |=b ,|A F '|=|A F |-2a =3b -2a ㊂而O 为F F '的中点,于是F 'M ʊO T ,即F 'M ʅA F ,|F 'M |=2|O T |=2a ㊂在R t әA F 'M 中,(2a )2+b 2=(3b -2a )2,整理得b a =32㊂所以双曲线E 的离心率e =ca=1+b 2a2=132,选C ㊂点评:本题采用了定义法,关键是应用双曲线的定义和几何图形的性质,求出a 与b 的关系式,进而再通过a 2+b 2=c 2,来求a 与c 的关系式,即双曲线的离心率㊂变式2:已知双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左㊁右焦点分别为F 1㊁F 2,点M 在双曲线E 上,әF 1M F 2为直角三角形,O 为坐标原点,作O N ʅM F 1,垂足为N ,若2MN ң=3N F 1ң,则双曲线E 的离心率为㊂分析:根据给定条件,确定直角三角形的直角顶点位置,建立方程并结合双曲线定义求出|M F 1|,|M F 2|,再借助相似三角形性质列式求解㊂图3解析:әF 1M F 2为直角三角形,显然øM F 1F 2ʂ90ʎ,否则N 与F 1重合㊂若øF 1M F 2=90ʎ,由O N ʅM F 1,得O N ʊM F 2,则N 为M F 1的中点,与2MN ң=3N F 1ң矛盾㊂于是øM F 2F 1=90ʎ,即M F 2ʅx 轴,如图3㊂令双曲线半焦距为c ,由x =c ,x 2a 2-y 2b2=1,得y 2=b 4a2㊂因此,|M F 2|=b 2a ,|M F 1|=b2a +2a =a 2+c 2a㊂由2MN ң=3N F 1ң,得|N F 1|=25|M F 1|=2(a 2+c 2)5a㊂显然әO N F 1ʐәM F 2F 1,则|N F 1||F 1F 2|=|O F 1||M F 1|,即a 2+c 25a c =a c a 2+c2,整理得a 2+c 2=5a c ㊂则e 2-5e +1=0,解得e =5+12或e =5-12(舍去),所以双曲线E 的离心率为5+12㊂点评:本题采用了方程法,即通过建立关于离心率的方程来求得离心率,解答的关键是充分利用几何图形中相似三角形的对应边成比例建立方程㊂变式3:双曲线C :x 2a 2-y2b 2=1(a >0,b >),过虚轴端点且平行x 轴的直线交双曲线C 于A ,B 两点,F 为双曲线的一个焦点,且A F ʅB F ,则该双曲线的离心率e 为㊂分析:解决本题的落脚点是 A F ʅB F ,对于解决线线垂直问题,高中阶段我们常用的策略有:(1)两条直线垂直且斜率存在,则两条直线斜率之积等于-1;(2)考虑三边边长,利用勾股定理构造直角三角形;(3)转化为向量问题,两条垂线对应向量的数量积为零;(4)利用直角三角形的几何性质㊂解析:(方法1,利用 两条直线垂直且斜率存在,则两直线斜率之积等于-1)如图4,已知A ,B 两点的纵坐标都为b ,将b 代入双曲线方程得x =ʃ2a ,所以A (-2a ,b ),B (2a ,b )㊂13解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年12月图4设F (c ,0)为双曲线右焦点,则k A F =-bc +2a ,k B F =-bc -2a㊂因为A F ʅB F ,所以k A F ㊃k B F =-b c +2a ㊃-bc -2a=-1,整理得c 2+b 2=2a 2㊂①易知c 2=a 2+b 2㊂②由①②,得b 2a2=12㊂离心率e =1+ba2=62㊂(方法2,әA F B 是直角三角形,利用勾股定理解题)根据方法1可得A (-2a ,b ),B (2a ,b )㊂设F (c ,0)为双曲线的右焦点,则:|A B |=22a ,|A F |=(c +2a )2+b 2,|B F |=(c -2a )2+b 2㊂因为A F ʅB F ,所以由勾股定理得:|A F |2+|B F |2=|A B |2,即(c +2a )2+b 2+(c -2a )2+b 2=8a 2㊂整理得c 2+b 2=2a 2㊂①又在双曲线中有c 2=a 2+b 2㊂②由①②,得b 2a2=12㊂故离心率e =1+ba2=62㊂(方法3,转化为向量求解)根据方法1可得A F ң=(c +2a ,-b ),B F ң=(c -2a ,-b )㊂因为A F ʅB F ,所以A F ңʅB F ң㊂则(c -2a )(c +2a )+b 2=0,整理得c 2+b 2=2a 2㊂①又双曲线中有c 2=a 2+b 2㊂②由①②,得b 2a2=12㊂故离心率e =1+ba2=62㊂(方法4,转化为直角三角形性质求解)由方法2可得|A B |=22a ,如图5,设图5虚轴端点为C ,连接C F ,则|C F |=|A B |2=2a ㊂即c 2+b 2=2a ,c 2+b 2=2a 2㊂后面过程与前三种方法相同㊂(方法5,转化为双曲线定义求解)图6如图6,设虚轴端点为C ,连接C F ,则|C F |=|C A |=|C B |=2a ㊂由题意|A F |-|B F |=2a ,|A F |2+|B F |2=8a 2,得|A F |=(3+1)a ,|B F |=(3-1)a ㊂t a n øF A B =|B F ||A F |=(3-1)a(3+1)a=2-3,则t a nøF C B =t a n 2øF A B =33,故øF C B =30ʎ,øF C O =60ʎ㊂因为s i n øF C O =|O F ||C F |,所以s i n 60ʎ=c2a,则e =62㊂点评:双曲线有两个虚轴端点以及两个焦点,本题未明确给出哪个端点哪个焦点,看似让人无从下手,实则增加了问题的灵活性,同学们只需根据双曲线的对称性,任意选取其中的一个虚轴端点和焦点即可解决本题㊂方法总结:离心率是双曲线最重要的几何性质,求离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:①求出a ,c ,代入公式e =ca ;②只需要根据条件得到关于a ,b ,c 的齐次式,结合b 2=c 2-a 2转化为a ,c 的齐次式,然后等式两边分别除以a 或a 2转化为关于e的方程,解方程即可得离心率e 的值㊂当求双曲线的离心率时一定要注意数形结合思想和双曲线定义的应用㊂(责任编辑 徐利杰)23 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年12月。
如何求双曲线的离心率
%
2 姨 3 －1
%
故选D. = 姨 3 +1，
%
与渐近线y=
b 得出其斜率的乘积为-1， 进而求得b和a， x垂直， c a
点评 ： 本题把双曲线的问题放在正六边形中考查 ， 情境新 颖 ， 综合考查多方面的能力 ， 掌握正六边形的性质是解决本题的 基础 . 利用性质得出计算 2a=|EC|-|FE| 的值是解题的关键 ． 例 6 （2012 年浙江杭州第二中学高三模拟） 如图 3， F2为双
如何 求 双 曲
离心率 的 线
黄 健
筅湖北省广水市育才高中
也可求出渐近线的方程， 即
b % 2 当双曲线的 = 姨e －1 . 但要注意， a x2 y 2 （a>0， － =1 a2 b2
焦点所在的坐标轴不确定时上述两类问题都有两解.
例 1 （2012 年湖北黄冈高三模拟） 双曲线
%
则它的离心率e=______. ） 的一条渐近线方程为y= 姨 2 x， b>0 2 由于新课标降低了对双曲线的要求， 双曲线中基本知识必然 成为高考考查的热点， 考查中常常涉及到双曲线基本量 （a、 b、 c、 ） 之间的关系以及双曲线的渐近线， 特别是双曲线的离心率， 求 e 双曲线离心率涉及到解析几何 、 平面几何、 代数等多个知识点， 综合性强， 方法灵活， 解题关键是挖掘题中的隐含条件， 能够体 现双曲线解题的技巧与方法. 下面通过具体例子分类解析如何 求解双曲线的离心率.
一 、利用渐近线与离心率的关系求解
双曲线的渐近线也是用来反映双曲线的开口大小的程度 的， 所以双曲线的离心率与渐近线之间有着密切的联系， 二者之 间可以互求. 已知渐近线的方程时，可得 b a +b =1+ a a2
巧解双曲线的离心率问题
(1,
2]
，故选A.
典例4：已知双曲线C： a2 － b2 ＝1 (a＞0，b＞0)的左、右焦点
分别为F1，F2，点P为双曲线右支上一点，若|PF1|2＝8a|PF2|，则双曲
线C的离心率的取值范围为
A．(1，3] B．[3，＋∞) C．(0，3) D．(0，3]
（下转第255页）
**注：本文系福建省教育科学“十三五”规划2018年度课题《高中数学教学渗透数学文化的实践与研究》（立项批准号FJJKXB18-605）研究 成果。
角三角形，则双曲线的离心率为( )
几何法：根据几何关系找出 a与c 的关系式 解析：∵△ABF2是直角三角形， ∴∠AF2F1＝45°， |AF1|＝|F1F2|，＝2c. ∴b2＝2ac，∴c2－a2＝2ac，∴e2－2e－1＝0.
解得e＝1± 2 .又e>1，
∴e＝1＋ 2 .
所以选A 二、求离心率的范围
≥
1 2
S∆IF1F2
所以
r 2
PF1
−r 2
PF2
≥r 4
F1F2
，
r 两边约去 2 得 PF1 =
PF2
+
1 2
F1F2
,∴
PF1
−
PF2
=
1 2
F1F2
，
根据双曲线定义，得 PF1 − PF=2 2a, F1F=2 2c ，∴ 2a ≥ c ⇒ 离心
率为 e=
c a
≤
2
，双曲线的离心率x2取值y2范围为
2019 年 9 月
巧解双曲线的离心率问题 *
李建生
（厦门外国语学校石狮分校 ）
摘 要：通过列举各种方法求解双曲线离心率问题，让学生掌握解决双曲线离心率的方法与技巧 关键词：直接法 通径法 几何法 设而不求法 导数法
人教版高中数学选修2-1《求取离心率问题》
e 的取值范围
例4：已知椭圆 (a>b>0)的左顶点
为A，上顶点为B，右焦点为F.设线段AB的中 点 2 2MF MA BF 0 为M，若 ，求该椭圆离心率的 取值范围．
y
B
M
A
o
F
x
《3》根据曲线方程列出含参数的关系式，求
e 的取值范围
例4：已知椭圆 (a>b>0)的左顶点
为A，上顶点为B，右焦点为F.设线段AB的中 点 2 2MF MA BF 0 为M，若 ，求该椭圆离心率的 1 ， 1) 取值范围．[ 2－
(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点， 过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两 点，△ABE是锐角三角形，则该双曲线离心率 e 的取值范围是( B ) A．(1，＋∞) C．(1,1＋ ) B．(1 , 2 )
D．(2,1＋
)
三．归纳小结
1.注意椭圆与双曲线的离心率取值范围. 2.求离心率解题步骤。 3.求离心率的关键。 4.求离心率的题型有两类（1）求值 （2）求取值范围
3 或 D 2
5
例2： 设双曲线的—个焦点为F；虚轴的— 个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条 渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( ) (A)
《2》构建关于a，c的方程求解
2 (B)
3 (C)
3 1 (D) 2
5 1 2
B
F
例2： 设双曲线的—个焦点为F；虚轴的— 个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条 渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( D ) (A)
《2》构建关于a，c的方程求解
2 (B)
3 (C)
3 1 (D) 2
双曲线离心率求解的基本方法
精品文档双曲线离心率的求法、利用双曲线定义 例1.已知椭圆E 上存在点P ,在P 与椭圆E 的两个焦点F 、F 2构成的△ FPF 2中, sin. PF 1F 2 : si n. FfF 2:si n. PF 2F 1 ^7 :10 :11.则椭圆 E 的离心率等于 ________二、利用平面几何性质2 2例2 设点P 在双曲线 冷-爲=1(a . 0,b . 0)的右支上，双曲线两 a b 焦点F 、F 2, I PF I=4| PF 2 I ,求双曲线离心率的取值范围。
三、 利用数形结合例3 (同例2)四、 利用均值不等式2 2务一笃_1(a . 0,b . 0)的右支上，双曲线两焦a b六、 利用直线与双曲线的位置关系2X 2例6已知双曲线—-y = 1(a . 0)与直线I : x • y = 1交于P 、Qa 两个不同的点，求双曲线离心率的取值范围。
七、 利用点与双曲线的位置关系2例7已知双曲线■X 〒一 y 2 = 1(a > 0)上存在p 、Q 两点关于直线a x - 2y =1对称，求双曲线离心率的取值范围。
八、 利用非负数性质2 2例8已知过双曲线 务-花-1(a ■ 0,b . 0)左焦点R ,的直线I 交a b双曲线于 P Q 两点，且OP_OQ ( O 为原点)，求双曲线离心率的取值范围。
九、 利用双曲线性质2 2例9.已知双曲线务-首-1(a 0,b 0)的左、右焦点分别为 F i (-c,0), F 2(C ,0) •若双曲a b 线上存在点P 使si n PF i F 2朋，则该双曲线的离心率的取值范围是 __________________________sin /PF 2F 1 c精品文档 例4已知点P 在双曲线 点为斤、F 2 , |一丄最小值是8a ,求双曲线离心率的取值范围。
|PF 2|五、利用已知参数的范围例5已知梯形ABCD 中, |AB | = 2|CD |，点E 分有向线段AC 所成的比为，，双曲线过 C 、D E 三点，且以 A B 为焦点，当 <3- 4 <- 求双曲线离心率的取值范围。
双曲线的焦点与离心率的计算方法
双曲线的焦点与离心率的计算方法双曲线是经典的数学曲线之一，具有特殊的性质和形态。
焦点和离心率是描述双曲线的重要参数，能够帮助我们深入理解和分析双曲线的性质。
本文将介绍双曲线的定义、焦点与离心率的计算方法，并探讨它们在几何和物理中的应用。
一、双曲线的定义双曲线是具有以下几何性质的曲线：1. 定义域：双曲线的定义域为实数集，即曲线上的每一个点都对应一个实数，而且实数可以取任意值。
2. 对称轴：双曲线有两条对称轴，分别为纵轴和横轴。
对称轴是曲线的镜像轴，将曲线分为两个对称的部分。
3. 四个分支：双曲线由四个分支组成，分别位于对称轴及其延长线的两侧。
4. 渐近线：双曲线有两条渐近线，分别靠近其两个对称轴。
渐近线与双曲线在无穷远处趋于平行。
二、焦点的计算方法焦点是双曲线上的一个特殊点，具有重要的几何和物理意义。
双曲线的焦点计算方法如下：1. 横轴双曲线：设双曲线的中心为原点O(0,0)，焦点距离原点的距离为c，离中心最近的点为F1，离中心最远的点为F2。
则焦点的坐标为F1(c,0)和F2(-c,0)。
2. 纵轴双曲线：设双曲线的中心为原点O(0,0)，焦点距离原点的距离为c，离中心最近的点为F1，离中心最远的点为F2。
则焦点的坐标为F1(0,c)和F2(0,-c)。
三、离心率的计算方法离心率是双曲线的一个重要参数，用来描述双曲线的形态特征。
离心率的计算方法如下：1. 横轴双曲线：设双曲线的焦点为F1(c,0)和F2(-c,0)，顶点为V(a,0)，则离心率e的计算公式为 e = c / a。
2. 纵轴双曲线：设双曲线的焦点为F1(0,c)和F2(0,-c)，顶点为V(0,a)，则离心率e的计算公式为 e = c / a。
离心率e是一个大于1的实数，可以反映出双曲线的独特形状。
当离心率e趋近于1时，双曲线的形状趋近于抛物线；当e大于1时，双曲线的形状更加尖锐。
四、焦点和离心率的应用焦点和离心率是双曲线的重要参数，在几何和物理中具有广泛的应用。
关于高中数学离心率题型解法的有效解决技巧
关于高中数学离心率题型解法的有效解决技巧【摘要】高中数学中，离心率题型是一个常见但也容易出错的题目。
本文将介绍关于高中数学离心率题型的解法技巧。
在我们将介绍离心率的定义和背景知识。
在我们将详细讲解离心率的性质、解题步骤，并举例说明常见的题型。
我们会提醒大家在解题时需要注意的事项，并进行实战演练。
在我们将总结本文的内容，并探讨离心率在实际生活中的拓展应用，以及如何进一步提升解题能力。
通过本文的学习，读者将能够更加熟练地解决高中数学中关于离心率的题目。
【关键词】高中数学、离心率、题型、解法、有效技巧、引言、定义与性质、解题步骤、常见题型举例、注意事项、实战演练、结论、总结、拓展应用、思考提升。
1. 引言1.1 介绍高中数学中的离心率题型是一种常见而重要的题型，涉及到椭圆、双曲线和抛物线等几何图形的特性和性质。
理解和掌握离心率的计算方法对于解题十分重要，而有效的解决技巧可以帮助学生提高解题效率，提升数学成绩。
在本文中，我们将介绍关于高中数学离心率题型的解题技巧，希望能够为学生们在学习和应试过程中提供指导和帮助。
在接下来的我们将详细介绍离心率的定义和性质，解题步骤以及常见题型举例，同时给出一些注意事项和实战演练，希望能够帮助学生们全面深入地理解和掌握离心率这一重要的数学知识。
通过不断的学习和练习，我们相信每位学生都能够在离心率题型上取得更好的成绩。
1.2 背景知识高中数学中，离心率是一个重要且常见的概念。
在几何学和代数学中，离心率通常用来描述椭圆、双曲线和抛物线等二次曲线的形状。
理解离心率的概念对于解决与二次曲线相关的数学问题非常重要。
离心率的定义是一个数值，用来衡量一个二次曲线的“扁平”程度。
在椭圆和双曲线中，离心率的取值范围是0到1，越接近1表示曲线越扁平；在抛物线中，离心率为1，表示曲线为对称。
在解决与离心率相关的数学题目时，首先要掌握离心率的定义及其性质。
需要了解解题的基本步骤，包括求解离心率、判断曲线类型、求解焦点、导线等。
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努力成就未来，综合文档 双曲线离心率的求法 一、利用双曲线定义 例1．已知椭圆E 上存在点P ，在P 与椭圆E 的两个焦点F 1、F 2构成的△F 1PF 2中， 121221sin :sin :sin 7:10:11.PF F F PF PF F ∠∠∠=则椭圆E 的离心率等于
二、利用平面几何性质
例2 设点P 在双曲线)0b ,0a (1b
y a x 22
22>>=-的右支上，双曲线两 焦点21F F 、，|PF |4|PF |21=，求双曲线离心率的取值范围。
三、利用数形结合
例3 （同例2）
四、利用均值不等式
例4 已知点P 在双曲线)0b ,0a (1b
y a x 22
22>>--的右支上，双曲线两焦 点为21F F 、，|
PF ||PF |221最小值是a 8，求双曲线离心率的取值范围。
五、利用已知参数的范围
例5 已知梯形ABCD 中，|CD |2|AB |=，点E 分有向线
段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B
为焦点，当4
332≤λ≤时，求双曲线离心率的取值范围。
六、利用直线与双曲线的位置关系
例6 已知双曲线)0a (1y a
x 222
>=-与直线l ：1y x =+交于P 、Q 两个不同的点，求双曲线离心率的取值范围。
七、利用点与双曲线的位置关系
例7 已知双曲线)0a (1y a
x 222
>=-上存在P 、Q 两点关于直线 1y 2x =+对称，求双曲线离心率的取值范围。
八、利用非负数性质
例8 已知过双曲线)0b ,0a (1b
y a x 22
22>>=-左焦点1F 的直线l 交 双曲线于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥（O 为原点），求双曲线离心率的取值范围。
九、利用双曲线性质
例9.已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -．若双曲线上存在点P 使1221sin sin PF F a PF F c
∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是。