2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(全国甲卷)

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2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（全国甲

卷）

历年真题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

一、选择题：共12题每题5分共60分

1．已知集合A={1,2,3},B={x|x2<9},则A∩B=

A.{-2,-1,0,1,2,3}

B.{-2,-1,0,1,2}

C.{1,2,3}

D.{1,2}

【答案】D

【解析】本题考查一元二次不等式的解法、集合的基本运算,意在考查考生的基本运算能力.易知B={x|-3

【备注】无

2．设复数z满足z+i=3-i,则z=

A.-1+2i

B.1-2i

C.3+2i

D.3-2i

【答案】C

【解析】本题考查复数的基本概念与基本运算,意在考查基础知识.易知z=3-2i,所以

z=3+2i. 故选C.

【备注】解题需熟悉复数的概念与符号表示,一般地,对于复数z=a+b i(a,b∈R),其共轭复数z=a-b i.

3．函数y=A sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则

A.y =2sin(2x-π

6) B.y =2sin(2x-π

3) C.y =2sin(x+π6) D.y =2sin(x+π3) 【答案】A

【解析】本题考查正弦型函数y =A sin(ωx+φ)的图象与性质,由函数图象确定函数的解析式,意在考查考生的基本运算能力与推理论证能力. 由图易知A =2,因为周期T 满足T

2=π

3-(-π

6),所以T =π,

ω=2π

T =2.由x =π

3时,y =2可知2×π

3+φ=π

2+2k π(k ∈Z ),所以φ=-π

6+2k π(k ∈Z ),结合选项可知函数解析式为y =2sin(2x-π

6).故选A.

【备注】由y =A sin(ωx+φ)的图象确定解析式,基本方法如下:先由最大值、最小值确定A ,再由“五点”中的两点横坐标之差确定周期,由周期求出ω,最后利用“五点对应”思想由一点的横坐标确定φ.

4．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为

A.12π

B.32

3

π

C.8π

D.4π

【答案】A

【解析】本题考查正方体及其外接球的空间关系,考查相关的表面积的计算,意在考查考生的空间想象能力与基本运算能力.由正方体的体积为8可知,正方体的棱长a =2.又正方体的体对角线是其外接球的一条直径,即2R =√3a (R 为正方体外接球的半径),所以R =√3,故所求球的表面积S =4πR 2=12π.故选A.

【备注】对于正方体与长方体,其体对角线为其外接球的一条直径,即外接球的半径等于体对角线的一半.

5．设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=k

x

(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k=

A.1

2B.1 C.3

2

D.2

【答案】D

【解析】本题考查抛物线的基本性质,考查两曲线的交点,意在考查考生对基础知识与基本方法的掌握情况.易知抛物线的焦点为F(1,0),设P(x P,y P),由PF⊥x轴可得x P=1,代入抛物线方程得y P=2(-2舍去),把P(1,2)代入曲线y=k

x

(k>0)得k=2.故选D.

【备注】交点是两曲线的“公共点”,可通过一条曲线确定其坐标或特征,再代入另一条曲线确定参数.

6．圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=

A.-4

3B.-3

4

C.√3

D.2

【答案】A

【解析】本题考查圆的方程及其性质,考查点到直线的距离,意在考查考生的基本运算能

力.由题可知,圆心为(1,4),结合题意得

√a2+1=1,解得a=-4

3

.故选A.

【备注】给定圆的一般方程,可由基本公式确定圆心与半径,也可将方程变形为圆的标准方程,得到圆心与半径.

7．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为

A.20π

B.24π

C.28π

D.32π

【答案】C

【解析】本题考查空间几何体的三视图及其表面积,意在考查考生的空间想象能力与运算求解能力.该几何体的表面积由圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面圆的面积组成.其中,圆锥的底面半径为2,母线长为√(2√3)2+22=4,圆柱的底面半径为2,高为4,故所求表面积S=π×2×

4+2π×2×4+π×22=28π.故选C.

【备注】本题中易错点有二,一是对几何体的侧面积公式记忆不准、不清,二是将公式的“母线”与“体高”混淆.

8．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为

A.7

10B.5

8

C.3

8

D.3

10

【答案】B

【解析】本题考查几何概型,意在考查考生的模型转化能力与运算求解能力.记“至少需

要等待15秒才出现绿灯”为事件A,则P(A)=25

40=5

8

.故选B.

【备注】解决几何概型问题,先要清楚变量是什么,从什么角度出发求概率,再结合题意确定所有试验结果构成的区域与符合要求的试验结果构成的区域,最后借助比例求出概率.

9．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,如图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的x=2,n=2,依次输入的a为2,2,5,则输出的s=

A.7

B.12

C.17

D.34

【答案】C

【解析】本题考查秦九韶算法,考查程序框图的应用,意在考查考生的运算求解能力.通性通法第一步,a=2,s=0×2+2=2,k=1;第二步,a=2,s=2×2+2=6,k=2;第三

步,a=5,s=6×2+5=17,k=3>2,跳出循环.故输出的s=17.故选C.

光速解法由秦九韶算法的意义可知s=f(x)=[(0×x+2)x+2]x+5=2x2+2x+5,故输出的

s=f(2)=17. 故选C.

【备注】无

10．下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是

A.y=x

B.y=lg x

C.y =2x

D.y =1

x

【答案】D

【解析】本题考查函数的定义域与值域,意在考查考生的分析能力与运算求解能力.通性通法 函数y =10lg x 的定义域为(0,+∞),又当x >0时,y =10lg x =x ,故函数的值域为(0,+∞).只有D 选项符合. 光速解法 易知函数y =10lg x 中x >0,排除选项A,C;又10lg x 必为正值,排除选项B.故选D. 【备注】无

11．函数f (x )=cos 2x+6cos(π

2

-x )的最大值为 A.4 B.5 C.6 D.7

【答案】B

【解析】本题考查二倍角公式与诱导公式,三角函数的图象与性质,二次函数的最值,意在考查考生的化归与转化能力、运算求解能力及综合应用能力.f (x )=1-2sin 2 x+6sin x =-2(sin x-3

2)2+11

2,因为sin x ∈[-1,1],所以当sin x =1时,f (x )取得最大值,且f (x )max =5.

【备注】函数是一个整体,各部分中的变量相互制约,不能用“分部分求最值,然后再相加”的方法得到整个函数的最值,应先对目标函数进行变形、整理,转化为基本函数后再利用图象或单调性求解.

12．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )=f (2-x ),若函数y =|x 2-2x-3|与y =f (x )图象的交点为

(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x m ,y m ),则∑i=1

m

x i =

A.0

B.m

C.2m

D.4m

【答案】B

【解析】本题考查函数的图象与性质,意在考查考生的数形结合能力、运算求解能力及综合应用能力.通性通法 由f (x )=f (2-x )知f (x )的图象关于直线x =1对称,又函数y =|x 2-2x-3|=|(x-1)2-4|的图象也关于直线x =1对称,所以这两个函数的图象的交点也关于直线x =1对称.不妨设x 1

x 1+x m

2

=1,即x 1+x m =2,同理有x 2+x m-1=2,x 3+x m-2=2,……,又

∑i=1

m

x i =x m +x m-1+…+x 1,所以2∑i=1

m

x i =(x 1+x m )+

(x 2+x m-1)+…+(x m +x 1)=2m ,所以∑i=1

m

x i =m .故选B.

光速解法 取特殊函数f (x )=0(x ∈R),它与y =|x 2-2x-3|的图象有两个交点(-1,0),(3,0),此时m =2,x 1=-1,x 2=3,故∑i=1m

x i =2=m ,只有B 选项符合.故选B.

【备注】无

第II 卷（非选择题）

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二、填空题：共4题 每题5分 共20分

13．已知向量a =(m ,4),b =(3,-2),且a ∥b ,则m = .

【答案】-6

【解析】本题考查向量的运算及两向量平行的条件,意在考查考生对基础知识的掌握情况.由题意得,-2m-12=0,所以m =-6.

【备注】一般地,在坐标形式下,设非零向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ∥b ?x 1y 2-x 2y 1=0,a ⊥b ?x 1x 2+y 1y 2=0.

14．若x ,y 满足约束条件{x ?y +1≥0,

x +y ?3≥0,x ?3≤0,则z =x-2y 的最小值为 .

【答案】-5

【解析】本题考查线性规划问题,考查目标函数的最值,意在考查考生的数形结合能力. 通性通法 作出可行域,如图中阴影部分所示,由z =x-2y 得y =1

2x-1

2z ,作直线y =1

2x 并平移,观察可知,当直线经过点A (3,4)时,z min =3-2×

4=-5. 光速解法 因为可行域为封闭区域,所以线性目标函数的最值只可能在边界点处取得,易求得边界点分别为(3,4),(1,2),(3,0),依次代入目标函数可求得z min =-5.

【备注】无

15．△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若cos A =4

5

,cos C =5

13

,a =1,则b = .

【答案】21

13

【解析】本题考查三角函数与解三角形知识,考查三角形中角之间的关系、同角三角函数的基本关系及两角和的正弦公式,考查正弦定理的应用,意在考查考生的化归与转化能

力及综合应用能力.由条件可得sin A =35,sin C =12

13,从而有sin B =sin[π-(A+C )]=sin(A+C )=sin A cos C+cos A sin C =63

65.由正弦定理

a sinA

=b sinB ,可知b =asinB sinA

=21

13.

【备注】在解三角形时,要梳理题目条件,弄清“已知”与“目标”,进而恰当地选择正、余弦定理解决问题.本题的已知条件的实质是“两角一边”,所以先求第三角,再由正弦定理得到结果.

16．有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的

卡片后说:我与乙的卡片上相同的数字不是2,乙看了丙的卡片后说:我与丙的卡片上相同的数字不是1,丙说:我的卡片上的数字之和不是5,则甲的卡片上的数字是 . 【答案】1和3

【解析】本题考查推理与证明,意在考查考生的分类讨论能力与推理论证能力.由丙所言可能有两种情况.一种是丙持有“1和2”,结合乙所言可知乙持有“2和3”,从而甲持有“1和3”,符合甲所言情况;另一种是丙持有“1和3”,结合乙所言可知乙持有“2和3”,从而甲持有“1和2”,不符合甲所言情况.故甲持有“1和3”.

【备注】本题也可以从甲所言或乙所言出发进行分类讨论,但不如从丙所言出发简明.选择恰当的出发点,可以减少复杂的讨论.

三、解答题：共8题 每题12分 共96分

17．等差数列{a n }中,a 3+a 4=4,a 5+a 7=6.

(Ⅰ)求{a n }的通项公式;

(Ⅱ)设b n =[a n ],求数列{b n }的前10项和,其中[x ]表示不超过x 的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.

【答案】(Ⅰ)设数列{a n }的公差为d ,由题意有2a 1+5d =4,a 1+5d =3. 解得a 1=1,d =2

5.

所以{a n }的通项公式为a n =2n+35

.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,b n =[2n+35

].

当n =1,2,3时,1≤2n+35

<2,b n =1;

当n =4,5时,2<

2n+35

<3,b n =2;

<4,b n=3;

当n=6,7,8时,3≤2n+3

5

<5,b n=4.

当n=9,10时,4<2n+3

5

所以数列{b n}的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24.

【解析】本题考查等差数列的通项公式及数列求和,意在考查考生的运算求解能力. (Ⅰ)设数列{a n}的公差为d,根据题意求出a1和d,从而求出{a n}的通项公式;(Ⅱ)根据数列{b n}的特征,先把{b n}的前10项都求出来,再相加即可.

【备注】数列的递推关系是求数列的通项公式的重要依据,若所给条件是关于通项a n与前n项和S n的等式,在解题时,一般先令n=1,求出a1,再借助a n+1=S n+1-S n,求出数列各项之间的关系,这是判断数列类型的重要依据,也是解题的关键.

18．某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:

随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:

(Ⅰ)记A为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P(A)的估计值;

(Ⅱ)记B为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求

P(B)的估计值;

(Ⅲ)求续保人本年度平均保费的估计值.

【答案】(Ⅰ)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.

=0.55,

由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为60+50

200

故P(A)的估计值为0.55.

(Ⅱ)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.

由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为

30+30

=0.3,

200

故P(B)的估计值为0.3.

(Ⅲ)由所给数据得

调查的200名续保人的平均保费为

0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.192 5a.

因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.

【解析】本题考查概率与统计的知识,意在考查考生的阅读理解能力及应用所学知识解决实际问题的能力.(Ⅰ)先求出一年内出险次数小于2的频数,再除以200即可;(Ⅱ)先求出一年内出险次数大于1且小于4的频数,再除以200即可;(Ⅲ)求出保费对应的频率,再利用平均值的计算公式即可求解.

【备注】求平均值时,要注意每个数据的特征,若不能正确分析出所给数据的特征,直接把各组保费相加,再除以6,则容易得出错误的结果.

19．如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF 交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D'EF的位置.

(Ⅰ)证明:AC⊥HD';

(Ⅱ)若AB=5,AC=6,AE=5

4

,OD'=2√2,求五棱锥D'-ABCFE的体积.

【答案】(Ⅰ)由已知得AC⊥BD,AD=CD.

又由AE=CF得AE

AD =CF

CD

,故AC∥EF.

由此得EF⊥HD,EF⊥HD',所以AC⊥HD'.

(Ⅱ)由EF∥AC得OH

DO =AE

AD

=1

4

.

由AB=5,AC=6得DO=BO=√AB2?AO2=4.

所以OH=1,D'H=DH=3.

于是OD'2+OH2=(2√2)2+12=9=D'H2,故OD'⊥OH.

由(Ⅰ)知,AC⊥HD',又AC⊥BD,BD∩HD'=H,所以AC⊥平面BHD',于是AC⊥OD'. 又由OD'⊥OH,AC∩OH=O,所以OD'⊥平面ABC.

又由EF

AC =DH

DO

得EF=9

2

.

五边形ABCFE 的面积S =12×6×8-12×92×3=69

4. 所以五棱锥D'-ABCFE 的体积V =1

3×

694

×2√2=23√22

.

【解析】本题考查空间中线线垂直的证明及五棱锥体积的求解,通过平面图形的翻折考查考生的空间想象能力及对动态图形的分析能力. (Ⅰ)由条件可得AC ∥EF ,所以只需证EF ⊥HD'即可;(Ⅱ)要求五棱锥的体积,先分析出其高为OD',再求底面面积即可,而底面五边形ABCFE 的面积可以用四边形ABCD 的面积减去△DEF 的面积求解.

【备注】立体几何中的翻折问题通常有一定的难度,在解题时,要注意翻折过程中哪些量发生了变化,哪些量没有发生变化,在本题中,原菱形ABCD 的性质(即对角线互相垂直)要充分利用,还要通过计算,借助勾股定理的逆定理证明垂直,这就要求考生必须弄清翻折前后线段之间的关系,这也是破解此题的关键.

20．已知函数f (x )=(x+1)ln x-a (x-1).

(Ⅰ)当a =4时,求曲线y =f (x )在(1,f (1))处的切线方程; (Ⅱ)若当x ∈(1,+∞)时,f (x )>0,求a 的取值范围. 【答案】(Ⅰ)f (x )的定义域为(0,+∞).当a =4时, f (x )=(x+1)ln x-4(x-1),f '(x )=ln x+1

x -3,f '(1)=-2,f (1)=0.

曲线y =f (x )在(1,f (1))处的切线方程为2x+y-2=0. (Ⅱ)当x ∈(1,+∞)时,f (x )>0等价于ln x-a(x?1)x+1

>0.

设g (x )=ln x-a(x?1)x+1

,则

g'(x )=1

x -2a

(x+1)=

x 2+2(1?a)x+1

x(x+1),g (1)=0.

(i)当a ≤2,x ∈(1,+∞)时,x 2+2(1-a )x+1≥x 2-2x+1>0,故g'(x )>0,g (x )在(1,+∞)上单调递增,因此g (x )>0;

(ii)当a >2时,令g'(x )=0得

x 1=a-1-√(a ?1)2?1,x 2=a-1+√(a ?1)2?1.

由x 2>1和x 1x 2=1得x 1<1,故当x ∈(1,x 2)时,g'(x )<0,g (x )在(1,x 2)上单调递减,此时g (x )

综上,a 的取值范围是(-∞,2].

【解析】本题考查利用导数的几何意义求切线方程、利用导数研究不等式等,意在考查化归与转化思想及分析问题、解决问题的能力.(Ⅰ)先求出导函数,由切点处的导数值得出切线的斜率,再利用直线方程的点斜式即可得出结果;(Ⅱ)先把f (x )>0转化为g (x )=ln x-a(x?1)x+1

>0,再借助导数研究g (x )的单调性即可求解.

【备注】一般情况下,曲线y =f (x )在点(x 0,y 0)处的切线方程为y-y 0=f '(x 0)(x-x 0),因此求导是求切线的关键;而不等式恒成立通常可以利用函数的单调性解决.

21．已知A 是椭圆E :x 24

+y 2

3=1的左顶点,斜率为k (k >0)的直线交E 于A ,M 两点,点N 在E

上,MA ⊥NA .

(Ⅰ)当|AM|=|AN|时,求△AMN 的面积; (Ⅱ)当2|AM|=|AN|时,证明:√30. 由已知及椭圆的对称性知,直线AM 的倾斜角为π

4. 又A (-2,0),因此直线AM 的方程为y =x+2. 将x =y-2代入x 24

+y 2

3=1得7y 2-12y =0.

解得y =0或y =127,所以y 1=12

7. 因此△AMN 的面积S △AMN =2×1

2

×127

×

127

=

14449

.

(Ⅱ)将直线AM 的方程y =k (x+2)(k >0)代入x 24

+y 2

3

=1得(3+4k 2)x 2+16k 2x+16k 2-12=0.

由x 1·

(-2)=16k 2?123+4k 2

得x 1=

2(3?4k 2)3+4k 2

,故|AM|=|x 1+2|√1+k 2=12√1+k 2

3+4k

2

. 由题设,直线AN 的方程为y =-1

k (x+2),故同理可得|AN|=12k√1+k

2

3k 2

+4

. 由2|AM|=|AN|得23+4k 2=k

3k 2+4,即4k 3-6k 2+3k-8=0.

设f (t )=4t 3-6t 2+3t-8,则k 是f (t )的零点.f '(t )=12t 2-12t+3=3(2t-1)2≥0,所以f (t )在(0,+∞)单调递增.又f (√3)=15√3-26<0,f (2)=6>0,因此f (t )在(0,+∞)有唯一的零点,且零点k 在(√3,2)内.所以√3

【解析】本题考查椭圆的标准方程和几何性质、直线与椭圆的位置关系等,意在考查考生的运算求解能力、分析问题与解决问题的能力.(Ⅰ)由|AM|=|AN|,MA ⊥NA 可以求出直线AM 的倾斜角,从而可以得出AM 的方程,把直线AM 的方程与椭圆方程联立,求出点M 的纵坐标,从而求出△AMN 的面积;(Ⅱ)先把直线AM 的方程与椭圆方程联立,借助一元二次方程根与系数的关系及弦长公式建立关于k 的方程,再借助函数的性质即可解决问题. 【备注】当直线与圆锥曲线相交时,通常把直线方程与圆锥曲线方程联立,再利用一元二次方程根与系数的关系,求出两根之和与两根之积,这种方法可以有效避免求方程的根带来的复杂运算,体现了“设而不求法”的应用.

22．如图,在正方形ABCD 中,E ,G 分别在边DA ,DC 上(不与端点重合),且DE =DG ,过D 点

作DF ⊥CE ,垂足为F.

(Ⅰ)证明:B ,C ,G ,F 四点共圆;

(Ⅱ)若AB =1,E 为DA 的中点,求四边形BCGF 的面积. 【答案】(Ⅰ)因为DF ⊥CE ,所以△DEF ∽△CDF ,则有 ∠GDF =∠DEF =∠FCB ,

DF CF

=

DE CD

=

DG CB

,

所以△DGF ∽△CBF ,由此可得∠DGF =∠CBF , 因此∠CGF+∠CBF =180°

,所以B ,C ,G ,F 四点共圆. (Ⅱ)由B ,C ,G ,F 四点共圆,CG ⊥CB 知FG ⊥FB .连接GB .

由G 为Rt △DFC 斜边CD 的中点,知GF =GC ,故Rt △BCG ≌Rt △BFG ,因此,四边形BCGF 的面积S 是△GCB 面积S △GCB 的2倍,即 S =2S △GCB =2×1

2

×1

2

×1=1

2

.

【解析】本题考查四点共圆的证明及四边形面积的求解,意在考查考生利用相似三角形及圆的性质进行分析与计算的能力.(Ⅰ)要证明四点共圆,只需证明对应的四边形的对角互补;(Ⅱ)先将四边形BCGF 的面积转化为△BCG 与△BFG 的面积之和,再利用所给条件证明△BCG ≌△BFG ,只需求出△BCG 的面积即可.

【备注】本题在证明四点共圆之后,不要试图在已知图形中画出圆,而要通过想象圆的位置,利用圆的性质进行解题,否则可能会由于图形过于复杂而影响解题思路.

23．在直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为(x+6)2+y 2=25.

(Ⅰ)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C 的极坐标方程;

(Ⅱ)直线l 的参数方程是{x =tcosα,

y =tsinα(t 为参数),l 与C 交于A ,B 两点,|AB|=√10,求l 的斜率.

【答案】(Ⅰ)由x =ρcos θ,y =ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2+12ρcos θ+11=0.