清北学堂2013国庆数学竞赛冲刺班导学四——数论导学
清北学堂 高中数学--数论同余问题选讲导学
m 的一个简化剩余系，则由上一节简化剩余系质③，
ax1 , ax2 ,, ax ( m) 也 是 模 m 的 简 化 剩 余 系 . 从 而 a x 1, 2 , , m ( 与 ) )且 仅 与 i( i
x1 , x2 , , x m 同余，所以 m ( 中的一个数对模 ) (ax1 )(ax2 ), (ax ( m) ) x1 x2 x ( m) (mod m) ，
1
p 1 ，这里 a 1 为 a 的模 p 的数论倒数，并且认为 0 a 1 p 1.
1 1 （2）若 1 a b p 1, 则 a b (mod p).
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如果已证好上述两个结论，我们可以将 2, 3, , p 2 中的数两两配对（将 a 与 a 配对） ， 得到 ( p 1)! 1 ( p 1) 1(mod p) ，从而命题获证. 事实上， （1 ） 只需排除 a
m ( a ) q
) a n 1(mod m) 。
这与 m (a) 的定义矛盾，故 r 0, 即 m ( a ) n 。 根据上述性质及欧拉定理可知： m ( a ) ( m) 。科别地，当 m 是质数 p 时， p ( a) p 1 。 典型例题精讲 题 1（1）试求使 2 1 被 7 整除的所有正整数 n ；
1
1
1 1 1 或 p 1 这两种可能， 这是显然的； 对 （2 ） ， 若 a b (mod p) ，
1 则 1 ab (mod p) ，进而 b a (mod p ), 与条件矛盾.
（4）中国剩余定理（孙子定理） 设 m1 , m2 ,mk 为两两互质的正数，则对任意整数 c1 , c2 ,, ck , 存在整数 x ，使得
2013清北学堂寒假数学竞赛 集训一几何导学
4 sin 2 4 sin cos 1
3 2 2 sin 2 . 4
因为 2 2 2 2 sin 2 当
2 2 ，所以 2 1 | OD | 2 1. 4
3 7 时， |OD|max = 2 +1；当 时， |OD|min = 8 8
xt .
（3）两条直线的位置关系
cn
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★（5）直线������1 到������2 的角，直线������1 与������2 的夹角 设直线������1 ，������2 的斜率存在，分别为 k1，k2，且������1 到������2 不垂直 若直线������1 ，������2 的角为������ ，则tan������ = 若������1 与������2 的夹角为������ ，则tan������ =
1 / 25
ww w
.q b
①两条不重合的直线������1 ，������2 均有斜率，斜率分别为������1 ，������2 ，则������1 ∥������2 ⟺ ������1 = ������2 ． ②两条直线������1 ，������2 均有斜率，斜率分别为������1 ，������2 ，������1 与������2 相交则⟺ ������1 ≠ ������2 ． ③两条直线������1 ，������2 均有斜率，斜率分别为������1 ，������2 ，������1 ⊥ ������2 ⟺ ������1 ������2 = −1． 由此可得：������1 ：������1 ������ + ������1 ������ + ������1 = 0，������2 ：������2 ������ + ������2 y + ������2 = 0 ������2 ，������2 ，������2 ≠ 0 ，
清北学堂08国庆赠送试题答案
清北学堂08国庆赠送试题答案数学1、 不等式<证法一>()21111x a a +-=41211221-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x a 由柯西不等式： ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∑=n k k x a 12212≤()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑=n k k k x a a 122⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=n k k a11≤()∑=+n k k k x a a 1222只需证:()()21112221121x a a xaa nk kk+-≤+∑= （1）由于()2222xaa kk +<()22222kkka xaa -+=4121122-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x a k -4121122-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a k2()∑∑==⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-<+n k k k nk kkx a x a x aa 1222212224121141211 由于a1<a2<…<an,且均为正整数 ∴21211-≤++k k a a ∴ （1）式成立<证法二> 当()1112-≥a a x 由111≤∑=nk ka ，可设： 21221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑=n k k x a ≤2121⎪⎪⎭⎫⎝⎛∑=n k k x a =212141⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=n k k a x≤()2211212121x a a x +-≤ 当()1112-<a a x 时，显然，()12-<k k a a x ，由柯西不等式只需证：()()21112221121xa a x aa nk kk+-≤+∑= （1） 由于()222222241k k k a x a xa -⎪⎭⎫ ⎝⎛++≥+()22222224122kk kkka x a a xaa -⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤+∴=2222222221121121212x a x a x a x a a kk k k k +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛- 由此可证：()()211221221122211214121121211212x a a x a x a x aa nk kk+-=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-<+⎪⎭⎫ ⎝⎛-<+∑= 2、平面几何如图1-3，连结MN ，BD ，CD ∵FM ⊥AB ，FN ⊥AC∴∠AMN+∠BAE=∠AFN+∠CAF=90°， ∴MN ⊥AD∵∠FMN=∠FAN=∠BAD=∠BCD ，∠FNM=∠DBC ， ∴△MNF ∽△CBD ∴FM DC FN DBMN CB MN CB==，. 对圆内接四边形ABCD 用托勒密定理有 AB ·CD+AC ·BD=AD ·BC ∴···ABC AMDN S FM AB FN ACS MN AD+=△ =··FM AB FN ACMN AD MN AD + =··DC AB DB ACCB AD CB AD + =···DC AB DB ACCB AD +=·1·AD BCCB AD= ∴SAMDN=S △ABC.3、数论 解: 因为22162544OP AD += 所以 224625AD OP += 同理，224625CD OQ +=对于方程224625x y +=2462512y y ≤⇒≤ y 为偶数 (,)(7,12)(15,10)x y =或所以7151210AD CD OP OQ =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩或1571012AD CD OP OQ =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩求得20AC =，ABC ∆中，222cos 2AB BC AC B AB BC++=⨯求得2264005AB BC AB BC +-⨯= 设15AB a =，所以2211256400a BC a BC +-⨯=2211(3)16400BC a a -+=，所以2116400a ≤ 15a ≤ a 可能的值为1,2,3,4,5求得(,)(15,25)(25,15)AB BC =或(20,24)或取(20,24) C=664、组合计数解：分四种情况讨论： （1），用了6种颜色，将1种颜色染下底，则上底有5种染法，按照圆排列，其余4个侧面有3！种染法，共有5×3！=30种，（或6!64⨯） (2), 用5种颜色，选5种颜色有C 56种方法，再选一种染上下底有5种，固定一种颜色朝东，朝西的一面有3种共有C 56⨯56⨯=90种 （3）用4种颜色，再选其中两种各染一对对面，有C 46⨯C 24种，将一对同色的面作为上底，下底，另一对同色的在东西两面，则南北相对两面的颜色交换后仍是同一染法，共有C 4624C ⨯=90种(4)用3种颜色,选三种颜色有36C 种方法,每种染相对两面,染出的都是同一种,共有36C =20种染色法有30+90+90+20=230种物理力学1.解：由水桶在离开水面的情况可知，重心上升距离为h，浮力2.3.4.5.化学1、解：PtNH 2CH 3I I II 2APt I BI NH 2CH 3PtI CNH 2CH 3PtI I H 3CH 2NINH 2CH 3Pt I DI NH 3NH 2CH 3 Pt O ENH 3O COH 2CC O由于AgI 的溶解度大大小于Ag 2CO 3，加入Ag 2CO 3后，可以使D 中的配体I -脱离中心体而利于丙二酸根离子的配位。
清北学堂2013国庆数学竞赛冲刺班导学三——组合导学
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几何特训一导学
北京清北学堂数学竞赛导学材料几何特训一导学一、几个重要定理：1、梅涅劳斯定理：设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若',','C B A 三点共线，则.1''''''=⋅⋅BC AC A B CB C A BA '''AC CB BA，C AP 2=AB 2•BC PC +AC 2•BCBP-BP•PC. 6、欧拉定理、欧拉公式：ΔABC 的外心O ，垂心H ，重心G 三点共线，且.21GH OG =设三角形的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，外心与内心的距离为d ，则d 2=R 2－2Rr ． 二、三角形的五心三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心. 1． 重心：三角形的三条中线交于一点。
（1）设G 为△ABC 的重心，连结AG 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点，且:2:1AG GD =；（2）重心坐标公式：设G 为△ABC 的重心，则(,)33A B C A B Cx x x y y y G ++++（3）设G 为△ABC 的重心，则ABC ACG BCG ABG S S S S ∆∆∆∆===31； （4）设G 为△ABC 的重心，过G 作DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，过G 作PF ∥AC 交AB 于P ，交BC 于F ，过G 作HK ∥AB 交AC 于K ，交BC 于H ，则（2）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍； （3）垂心H 关于△ABC 的三边的对称点，均在△ABC 的外接圆上；（4）△ABC 的垂心为H ，则△ABC ，△ABH ，△BCH ，△ACH 的外接圆是等圆； （5）设O ，H 分别为△ABC 的外心和垂心，则HCA BCO ABH CBO HAC BAO ∠=∠∠=∠∠=∠,,．（6）由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利. （7）垂线定理：2222BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥．高线长：C b B c A abcc p b p a p p ah a sin sin sin ))()((2===---=． 3． 内心：三角形的三条角分线的交点—内切圆圆心。
数学奥赛培训北大教授代数 数论 几何 组合的解题技巧
f
md
m
m Hale Waihona Puke 1
1
m
,
m
1,
2,
3,
f m,２ m m 1 m , m 1, 2,3,
记x＝1，y＝1 1 ，则x，y为无理数且 1 1 ＝1。则
xy
xm | m＝1，2，3， ，ym | m＝1，2，3， 合起来恰好组成正整数列，
由于 pn pn 1 1 ＝ pn
pq pq pq pq
pn 1
p
q
pn pq
pn pq
m 1
pn 1
p
q
1
pn pq
pn 1
p
q
an
b1＝1。
p
任取正整数s，则bs＝
j＝1
ａ sj
p
，bs+1＝
j＝1
ａ
s+1
j
。设a
s＝m
k，a
s+1＝n
。
l
由1的定义可知mk和nl之间不存在M中的数，即不存在正整数q和
j{1，2， ，p}使得
mk q j nl
即
，p}使得a
n＝m
。显然
k
n=#sl | sl mk , s 1, 2, , l {1，2， ，p},
其中＃ 表示集合 中元素的个数。由于
数学完整系统课程
爱尖子-高中数学联赛加试初级课程（共5期）
A62.【2018暑】高中数学联赛加试初级课程
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A161.爱尖了【2020寒】数学高联寒假集训营提高班8天16讲（强化二试内容）
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A156.北斗学友【2020寒】数学竞赛集训（姚博文）
清北学堂（适合二试专题学习）
2020春季清北学堂数论线上课程(纪春岗老师)
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M03-【2020寒】数学竞赛三阶课程-CMO几何7讲
M04.2020春-数学竞赛三阶课程-CMO代数-15讲
M11.【2020五一】数学竞赛综合集训[达到cmo难度]付云皓
M13.【2020国庆】数论专题班（基础知识+思想方法+新题为主）11讲吴宇培
M36.【2020秋】2020数学CMO集训营27讲苏宇坚、潘成华、
清北学堂 2013《化学竞赛VIP班》导学4-结构化学(晶体结构)
结构化学/晶体结构【竞赛要求】1.晶体结构。
晶胞。
原子坐标。
晶格能。
2.晶胞中原子数或分子数的计算及与化学式的关系。
3.分子晶体、原子晶体、离子晶体和金属晶体。
4.配位数。
5.晶体的堆积与填隙模型。
6.常见的晶体结构类型，如NaCl、CsCl、闪锌矿（ZnS）、萤石（CaF2）、金刚石、石墨、硒、冰、干冰、尿素、金红石、钙钛矿、钾、镁、铜等。
7.点阵的基本概念。
晶系。
宏观对称元素。
十四种空间点阵类型。
【知识梳理】一、晶体结构1、晶体的结构特征人们对晶体的印象往往和晶莹剔透联系在一起。
公元一世纪的古罗马作家普林尼在《博物志》中，将石英定义为―冰的化石‖，并用希腊语中―冰‖这个词来称呼晶体。
我国至迟在公元十世纪，就发现了天然的透明晶体经日光照射以后也会出现五色光，因而把这种天然透明晶体叫做"五光石"。
其实，并非所有的晶体都是晶莹剔透的，例如，石墨就是一种不透明的晶体。
日常生活中接触到的食盐、糖、洗涤用碱、金属、岩石、砂子、水泥等都主要由晶体组成，这些物质中的的晶粒大小不一，如，食盐中的晶粒大小以毫米计，金属中的晶粒大小以微米计。
晶体有着广泛的应用。
从日常电器到科学仪器，很多部件都是由各种天然或人工晶体而成，如，石英钟、晶体管，电视机屏幕上的荧光粉，激光器中的宝石，计算机中的磁芯等等。
晶体具有按一定几何规律排列的内部结构，即晶体由原子(离子、原子团或离子团)近似无限地、在三维空间周期性地呈重复排列而成。
这种结构上的长程有序，是晶体与气体、液体以及非晶态固体的本质区别。
晶体的内部结构称为晶体结构。
晶体的周期性结构，使得晶体具有一些共同的性质：（1）均匀性晶体中原子周期排布的周期很小，宏观观察分辨不出微观的不连续性，因而，晶体内部各部分的宏观性质(如化学组成、密度)是相同的。
（2）各向异性在晶体的周期性结构中，不同方向上原子的排列情况不同，使得不同方向上的物理性质呈现差异。
如，电导率、热膨胀系数、折光率、机械强度等。
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