杨辉三角与中考数学

杨辉三角与中考

杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家。在他所著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是世界的一大重要研究成果。

一、二项式定理与杨辉三角

( 1 ) 1 (a+b)0= 1

( 1+1=2 ) 1 1 (a+b)1= a1+b1

(1+2+1=4 ) 1 2 1 (a+b)2=a2+2ab+b2

(1+3+3+1=8 ) 1 3 3 1 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

(1+4+6+4+1=16 ) 1 4 6 4 1 (a+b)4=a4+ 4a3b+6a2b2+ 4ab3+b4

(1+5+10+10+5+1=32 ) 1 5 10 10 5 1 (a+b)5=a5+5a4b+ 10a3b2+10a2b3+5ab4+b5

(1+6+15+20+15+6+1=64 )1 6 15 20 15 6 1

……………………

1、每个数等于它上方两数之和。

2、每行数字左右对称，由1开始逐渐变大又逐渐变小为1。

3、第n行的数字有n项。

4、第n行数字和为2(n-1)。

5、(a+b)n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。每项次数都是n次方，a的次数由第一项的n次，逐渐变n-1次，n-2次，……，1次，0次；b的次数由第一项的0次，逐渐就为1次，2次，……，n次

二、杨辉三角中斜行和水平行之间的关系

(1)

1 (2) n=1

1 1 (3) n=2

1 2 1 (4) n=3

1 3 3 1 (5) n=4

1 4 6 4 1 (6) n=5

1 5 10 10 5 1 n=6

1 6 15 20 15 6 1 n=7

把斜行(1)中第7行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6

把斜行(2)中第7行之前的数字相加得1+2+3+4+5=15

把斜行(3)中第7行之前的数字相加得1+3+6+10=20 把斜行(4)中第7行之前的数字相加得1+4+10=15 把斜行(5)中第7行之前的数字相加得1+5=6 把斜行(6)中第7行之前的数字相加得1 将上面得到的数字与杨辉三角中的第7行中的数字对比，我们发现它们是完全相同的。

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 1 1

2 1 1

3 3 1 1

…………………………（a +b ）1 …………………………（a +b ）2 …………………………（a +b ）3 …………………

(a+b)0........ ......... ....... ① (a+b)1...... ............ ① ① (a+b)2....... ......... ① ② ① (a+b)3..... ...... ① ③ ③ ① (a+b)4..... ..... ① ④ ⑥ ④ ①

(a+b)5..... ... ① ⑤ ⑩ ⑩ ⑤ ①

... ...

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1、我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋

数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，

用如图的三角形解释二项和（a +b ）n 的展开式的各项系数，

此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算（a +b ）20的展开式中第

三项的系数为（ ）A ．2017 B ．2016 C ．191 D ．190

2、我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉

三角”．这个三角形给出了(a ＋b)n (n ＝1，2，3，4…)的展开式的系数规律

(按a 的次数由大到小的顺序)：请依据上述规律：写出(x －2x

)2016展开式中含x 2014项的系数是________．

3、我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例。如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了()n

a b +（n 为正整数）的展开式（按a 的次数由大到小的顺序排列）的系数规律。例如，在三角形中第三

行的三个数1，2，1，恰好对应()2222a b a ab b +=++展开式中的系数;第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着()3322233a b a a b ab b +=+++展开式中的系数等等。

（1）根据上面的规律，写出()5a b +的展开式。（2）利用上面的规律计算：5432252102102521-?+?-?+?-

4、我国古代数学的许多创新和发展都位于世界前列，如南宋数学家

杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角

形解释二项和（a+b ）n 的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉

三角”.根据“杨辉三角”请计算(a+b)10的展开式中第四项的系

数 ；

5、如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒， a b c d 、、、是相邻两行的前四个数

（如图所示）．那么当8a =时，c = ．d = ．

1

2 2

3 4 3

4 7 7 4

5 11 14 11 5 ·····································

a b ···································

c d ·········································

6、如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”．它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了（a+b）n（n为非负整数）的展开式中a按次数从大到小排列的项的系数．例如，（a+b）2=a2+2ab+b2展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字；再如，（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字．请认真观察此图，写出（a﹣b）4的展开式，（a﹣b）4=_________．