传递函数
传递函数概念
传递函数概念
在数学中，函数是一种关系，将一个集合的每个元素（输入）映
射到另一个集合的唯一元素（输出）。
传递函数就是在这种映射关系
中的一种特殊情况，指的是当一个元素作为一个函数的输入时，该函
数的输出可以作为另一个函数的输入。
也就是说，如果存在两个函数f 和g，当f(x)的输出作为g的输入时，g(f(x))的输出与g(x)的输出相等，那么函数g被称为f的传递函数。
反过来，如果函数f是g的传
递函数，则我们也可以称g为f的逆传递函数。
传递函数在数学、物理、计算机科学等领域中都有广泛的应用。
在数学和物理中，传递函数可以用来描述信号、电路等物理系统的行为。
在计算机科学中，传递函数可以用来优化计算机程序的执行速度。
此外，在控制论、信号处理、通信等领域中，传递函数也是不可或缺
的概念。
总之，传递函数是一种重要的数学概念，在实际应用中具有广泛
的应用价值。
通过研究传递函数，我们可以进一步理解复杂的物理系统、计算机程序等，并为实际问题提供更好的解决方案。
2.2 传递函数
3、典型环节的形式
G (s) K
( s 1) (T s 1)
j 1 j i 1 n i
m
上式中 τi──分子各因子的时间常数 ； Tj──分母各因子的时间常数 ；
K ──时间常数形式传递函数的增益；通常称为传递系数。
五、传递函数的求取
1、解析法
建立微分方程，根据微分方程按定义求取
介绍一种方法：复阻抗法
i
U R
du iC dt
i
1 udt L
U (s) I (s) R
U (s) I (s) Z (s)
I ( s) CsU ( s) U ( s )
1 Cs
1 Cs
I (s)
U (s) Ls
R
Ls
1 , Ls 分别成为电阻、电容和电感的复阻抗 把 R, Cs
传递函数是经典控制理论中最重要的数学模型之 一。利用传递函数，在系统的分析和综合中可解决如 下问题：
不必求解微分方程就可以研究初始条件为零的系统在输 入信号作用下的动态过程。 可以研究系统参数变化或结构变化对系统动态过程的影 响，因而使分析系统的问题大为简化。 可以把对系统性能的要求转化为对系统传递函数的要求， 使综合问题易于实现。
11/17/2013 8:53:46 PM
3
一、定义
零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换 与输入量的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数，
记为G(s)，即：
L[ y (t )] Y ( s ) G( s) L[r (t )] R( s )
意义：
R( s )
G (s )
Y ( s)
Y (s) R(s)G(s)
1 1 Y ( s) G s) R s) （ （ Ts 1 s
传递函数
2-6 传递函数求解控制系统的微分方程，可以得到在确定的初始条件及外作用下系统输出响应的表达式，并可画出时间响应曲线，因而可直观地反映出系统的动态过程。
如果系统的参数发生变化，则微分方程及其解均会随之而变。
为了分析参数的变化对系统输出响应的影响，就需要进行多次重复的计算。
微分方程的阶次愈高，这种计算愈复杂。
因此，仅仅从系统分析的角度来看，就会发现采用微分方程这种数学模型，当系统阶次较高时，是相当不方便的。
以后将会看到，对于系统的综合校正及设计，采用微分方程这一种数学模型将会遇到更大的困难。
目前在经典控制理论中广泛使用的分析设计方法——频率法和根轨迹法，不是直接求解微分方程，而是采用与微分方程有关的另一种数学模型——传递函数，间接地分析系统结构参数对响应的影响。
所以传递函数是一个极其重要的基本概念。
一、传递函数的概念及定义在[例2-7]中，曾建立了RC 网络微分方程，并用拉氏变换法对微分方程进行了求解。
其微分方程（2-44）为)()(t u t u dtdu RC r c c =+ 假定初始值0)0(=c u ，对微分方程进行拉氏变换，则有)()()1(s U s U RCs r c =+网络输出的拉氏变换式为)(11)(s U RCs s U r c += （2-48）这是一个以s 为变量的代数方程，方程右端是两部分的乘积；一部分是)(s U r ，这是外作用（输入量）的拉氏变换式，随)(t u r 的形式而改变；另一部分是11+RCs ，完全由网络的结构参数确定。
将上式（2-48）改写成如下形式 11)()(+=RCs s U s U r c 令11)(+=RCs s G ，则输出的拉氏变换式可写成 )()()(s U s G s U r c =可见，如果)(s U r 给定，则输出)(s U c 的特性完全由)(s G 决定。
)(s G 反映了系统（网络）自身的动态本质。
这很显然，因为)(s G 是由微分方程经拉氏变换得到的，而拉氏变换又是一种线性变换，只是将变量从实数t 域变换（映射）到复数s 域，所得结果不会改变原方程所反映的系统本质，对照)(s G 与原微分方程（2-44）的形式，也可看出二者的联系。
数学模型-传递函数
1 1 ， j ，Ti zj pi ( pi )
( z j )
m
(3) 二项式表示法：
如 p1 . p2为一对共轭复数，则有
1 1 2 ( s p1 )( s p2 ) s 2 n s n 2
1 1 2 2 或 (T1 s 1)(T2 s 1) T s 2Ts 1
当初始条件为零时有：
3
第二章 数学模型
传 递 函 数(续)
C ( s ) b0 s m b1 s m 1 bm 1 s bm 则G ( s ) R( s ) a 0 s n a 1 s n 1 a n 1 s a n
s j 为复数， G (s ) 是复变量s 的函数， 故称为复放大系数。
i 1
m
(s z )
当s
z j时，G(s) = 0. z j 为传函的零点。
10
当 s pi 时，G(s) = , pi 为传函的极点。
第二章 数学模型
而 K g b0 ——传递系数。(根轨迹中叫根轨迹增益)
a0
(2）时间常数表示法：
bm d m s m d m 1 s m 1 d 1 s 1 G( s ) a n c n s n c n 1 s n 1 c 1 s 1
其传递函数为
6. 齿轮系
m
Z1
Z2
c
第二章 数学模型
§2-2 传 递 函 数
用拉氏变换求解微分方程，虽思路清晰,简单实用,但 如果系统参数改变，特征方程及其解都会随之改变。 要了解参数变化对系统动态响应的影响，就必须多次 计算，方程阶次愈高，计算工作量越大，故引入另一 种数模—传递函数。它是控制理论中的重要概念和工具， 也是经典理论中两大分支—根轨迹和频率响应的 基础。利用传递函数不必求解微方就可研究初始条件 为零的系统在输入信号作用下的动态过程。
第二章 传递函数-梅逊公式
2.3 传递函数与系统动态结构图
2.3.1 传递函数的定义
设系统的标准微分方程为
an
dnc(t) dt n
a n1
dn1c(t) dt n 1
……
a1
dc(t) dt
a0c(t)
bm
dmr(t) dt m
bm1
d m 1r ( t ) dt m1
……
b1
dr(t) dt
点
上图所示的是
G(s)
(s
(s 1)(s 2) 3)(s 2 2s
2)
的零、极点分布图。
2.2 传递函数
比
比例环节（无惯性环节）： c(t)=kr(t)
例
传递函数：G(S)=C(S)/R(S)=k
c(t)
环
阶跃响应：R(S)=1/S
r(t)
节
C(S)=kR(S)=k/S C(t)=k
0
方框图： R(S) k/s C(S)
3
传
递
积分调节器：
C
在A点列方程可得：
函 数
Ur(t)
R
i2
i1
A
Uc(t) i2=i1, i1=Uc(t)/R Uc(t)=1/C∫i2(t)dt=1/(RC)∫Uc(t)dt
设RC＝T（积分时间常数），则有：Uc(t)=1/T∫Uc(t)dt
拉氏变换后为：Uc(S)=1/(TS)Uc(S)
5）传递函数具有正、负号（输入量和输出量的变化方向）。
6）传递函数的单位是输出量的单位与输入量的单位之比。
m
(s z j )
7）传递函数可以写成
G(s)
Kg
j1 n
自控理论 2-2传递函数
当 ui ( t ) = 1( t )时,
− t 1 −1 τs 则u0 ( t ) = L ⋅ =e τ τs + 1 s 1
图2-8 RC电路 电路
当 τ << 1 时，可近似认为 G ( s ) ≈ τs
5. 振荡环节
d 2 c( t ) dc( t ) 2 T + 2ζT + c( t ) = Kr ( t ) 2 dt dt
运放 2
U 2 ( s ) τs + 1 G2 ( s) = = U 1 ( s) Ts
( 2 − 38)
式中
τ = R3C
T = R2C
功放
U a ( s) G3 ( s) = = K2 U 2 ( s)
( 2 − 39)
附:电枢控制直流电动机的微分方程 电枢控制直流电动机的微分方程
dmc d 2n dn TaTm 2 + Tm + n = K u ua − K m (Ta + mc ) dt dt dt La ; 电磁时间常数 Ta = Ra 传递系数 1 Ku = Ce 机电时间常数 Tm Km = J ( 2 − 10)
m m −1
∏ (s − z
j =1 n i =1
m
j
)
∏ (s − p )
i
式中
z j ( j = 1 , 2 L m )为传递函数的零点； 为传递函数的零点； p i ( i = 1 , 2 L n )为传递函数的极点； 为传递函数的极点； K 1 = b0 为传递系数或根轨迹增 益。
② 时间常数表达式
n≥m
当初始条件均为零时，两边取拉氏变换 当初始条件均为零时，
(s
自动控制原理传递函数
y(t) y kt
S平面 j
x(t) 1(t)
0
t
0 Re
有一个0值极点。在图中极点用“ ”表示，零点用“ ”
表示。K表示比例系数，T称为时间常数。
3/18/2024 2:47:29 AM
20
积分环节实例
积分环节实例：
①
C
R
ui
ui (s) uo (s)
R
1 Cs
uo
uo (s) 1
LCs 2
1 RCs
1
3/18/2024 2:47:28 AM
2
传递函数的定义： 系统初始条件为零时，输出变量的拉普拉
斯变换与输入变量的拉普拉斯变换之比，称为 系统的传递函数。 记做： Y (s) G(s) 或 Y (s) G(s)U (s)
U (s)
U(s)
Y(s)
G(s)
3/18/2024 2:47:28 AM
R2 I2 (s) UO (s)
G(s) U0 (s) 1 1 Ts Ui (s) 1 Ts
T R1R2C R1 R2
R1 R2
R2
3/18/2024 2:47:28 AM
7
复习拉氏变换
②性质：
⑴线性性质：L[f1(t) f2 (t)] F1(s) F2 (s)
⑵微分定理：L[ f (t)] sF (s) f (0)
L[ f(t)] s2F (s) sf (0) f (0)
L[ f (n) (t)] sn F (s) sn1 f (0) sn2 f (0) ... f (n1) (0)
⑶积分定理：（设初值为零）
L[
f
(t)dt]
F (s) s
⑷时滞定理：L[ f (t T )] est f (t T )dt esT f (s) 0
第六章 传递函数
第六章 传递函数对于线性定常系统，传递函数是常用的一种数学模型，它是在拉氏变换的基础上建立的。
用传递函数描述系统可以免去求解微分方程的麻烦，间接地分析系统结构及参数与系统性能的关系，并且可以根据传递函数在复平面上的形状直接判断系统的动态性能，找出改善系统品质的方法。
因此，传递函数是经典控制理论的基础，是一个极其重要的基本概念。
第一节 传递函数的定义一、传递函数的定义1、定义对于线性定常系统，在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉()()C s R s ==零初始条件输出信号的拉氏变换传递函数输入信号的拉氏变换2、推导设线性定常系统的微分方程的一般形式为1011110111()()()()()()()()n n n n nn m m m m mm d d d a c t a c t a c t a c t dtdtdtd d d b r t b r t b r t b r t dtdtdt------++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++◆ 式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，r(t)、c(t)及其各阶导数在t=0时的值均为零，即零初始条件。
◆a ， 1a ，…，na 及b ， 1b ，…，mb 均为系统结构参数所决定的实常数。
对上式中各项分别求拉氏变换，并令C(s)＝L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，可得s 的代数方程为：11011011[]()[]()nn mm n n m m a s a sa s a C sb sb sb s b R s ----++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++于是，由定义得到系统的传递函数为：10111011()()()()()m m m m nn n nb s b sb s b C s M s G s R s a s a sa s a N s ----++⋅⋅⋅++===++⋅⋅⋅++其中，1011()m m m m M s b s b s b s b --=++⋅⋅⋅++ 1011()n n n n N s a s a s a s a --=++⋅⋅⋅++ N(s)=0称为系统的特征方程，其根称为系统特征根。
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一、定义
零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与输入量 的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数，记为G(s)，即：
G(s) L[ y(t)] Y (s) L[r(t)] R(s)
意义：
R(s) G(s) Y (s)
Y (s) R(s)G(s)
二、传递函数的求法
线性定常系统微分方程式的一般表达式可写为
方框图：
R(s)
n2
Y (s)
s2 2n s n2
【例2.2.6】弹簧—质量—阻尼系统 由【例2.1.1】可得出其微分方程为
振荡环节阶跃响应
m
d2 dt
x
2
f
dx dt
kx
F (t)
它的传递函数为
G(s)
1
F (s) X (s)
ms 2
1 fs k
T 2s2 2Ts 1
n2 s2 2ns n2
微分方程： 传递函数：
方框图：
y(t) r(t)dt
G(s) 1 s
R(s) 1/s Y (s)
特点：输出正比于输入对时间的积分。
【例2.2.5】如图所示积分调节器电路，在单位阶跃输入信号作用下，
求输出量 y(t) 。
解：输入为阶跃信号时，
C
R
R(s) 1 s
r (t )
A
y (t )
Y (s) G(s)R(s)
Gm
(
s)
Ua(s) M c (s)
四、传递函数的一般表达式
1、定义的形式
G(s)
bm s m an s n
bm1sm1 ... b1s b0 an1sn1 ... a1s a0
说明：
1）实际系统传递函数中，分母多项式的阶数n 总是大于分子多项 式的阶数m ，即n m 。
2）分母的阶数：n 阶系统
特点：
1、输出和输入相同仅延迟时间τ；不失真 2、与其他环节同时存在。人体、计算机系统、液压机械 传动、气动传动。
原因：延时效应。信号输入环节后，由于环节传递信号的速 度有限。输出响应要延迟一段时间τ才能产生。
典型环节
传递函数
比例环节 惯性环节 积分环节 微分环节
G(s) K
G(s) 1 Ts 1
令M c (s) 0 ，得转速对电枢电压的传递函数：
Gu
(s)
(s) Ua (s)
Ku TaTms2 Tms
1
令Ua (s) 0 ，得转速对负载力矩的传递函数：
Gm (s)
(s) M c (s)
最后利用叠加原理得转速表示为：
Km (Tas 1) TaTms2 Tms 1
(s) Gu (s)Ua (s) Gm (s)M c (s) Gu (s)
【例2.2.3】如图a所示的电压分压器即为一典型比例环节，当输入 量r(t)为阶跃变化信号时，输出量y(t)的变化如图b所示。
二、 惯性环节
一阶微分方程： T dy(t) y(t) r(t) dt
传递函数：G(s) Y (s) 1 (T是时间常数） R(s) Ts 1
方框图：
R(s) 1/(Ts+1) Y (s)
G(s)
1 s
理想: G(s) Td s
一阶: G(s) Td s 1
振荡环节 延迟环节
二阶: G(s) Td 2s2 2Td s 1
实际:
G( s )
Td s Td s 1
G(s)
T
2s2
1
2Ts
1
G(s) e s
特点
同步变化,不失真,不延时 跟随输入,存在时间上的延迟
输出随时间无限的增加
b0 r (t )
b0R(s)
y(0) 0, y' (0) 0L yn1(0) 0
零初始条件下,输入量r(t)的拉普拉斯变换为R(s)=L[r(t)]、输出量y(t)的拉 普拉斯变换为Y(s)=L[y(t)]。对上式两边同时进行拉普拉斯变换,可得
[ansn an1sn1 ... a1s a0 ]Y (s)
R1
//
1 Cs
R2 R1
(R1Cs
1)
K (Td s
1)
其中， K R2 R1
Td R1c
二阶微分环节
微分方程： 传递函数：
y(t)
T
2
d 2r(t) dt 2
2 T
dr(t) dt
r(t)
G(s) T 2s2 2 Ts 1
这些微分环节的传递函数没有极点，只有零点。纯微
分环节的零点为零，一阶微分环节和二阶微分环节的零点 分别为实数和一对共轭复数。
六、 延迟环节
r(t) 微分方程：
y(t) r(t )
0
t 传递函数： G(s) e s
y(t)
0
方框图： t
R(s) e s Y (s)
将延迟环节的传递函数展开为泰勒级数：
G(s) e s
1 e s
1s
1
1 2s2
L
2!
当延迟时间很小时，可近似为惯性环节：
G(s) e s 1
1 s
可得出输出量的拉氏变换
Y (s) G(s)R(s)
当传递函数和输入已知时，通过拉氏反变换可求出时域表达式 y(t)。
三、传递函数的性质
➢传递函数只适用于零初始条件下的线性定常系统。它与线性常系
数微分方程一一对应。且与系统的动态特性一一对应。
➢传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物理性质。物理性质和学
Kg
bm an
-pj ──分母多项式N(s)的根，称为极点。
N(s)=0是控制系统的特征方程式。－zi、－pj可为实数、虚数、或复数。 若为虚数、或复数，必为共轭虚数、或共轭复数。
3、典型环节的形式（时间常数形式）
m
(is 1)
G(s) K
i 1 n
(Tjs 1)
j 1
上式中 τi──分子各因子的时间常数 ； Tj──分母各因子的时间常数 ；
Ts 1 s s s 1
T
y(t) 1 et T
t0
r(t) 1.0
0.8
y(t)
0.95 0.98 0.99
0.6
0.87
0.4
0.63
在单位阶跃输入 信号的作用下， 惯性环节的输出 信号是指数函数。 当 时 间 t=(3~4)T
0.2
时，输出量才接
T 2T 3T 4T 5T
t
近其稳态值。
三、 积分环节
s 3）分子分母都是 的有理多项式。
2、零极点形式
m
G(s) Kg (s z1)L (s zm ) (s p1)L (s pn )
Kg
n
(s
i 1
(s
zi ) pj)
M (s) N (s)
j 1
上式中
Kg ──零极点形式传递函数的根轨迹增益 ；
-zi ──分子多项式M(s)=0的根，称为零点；
2.2 传递函数
2.2.1 传递函数的定义和性质
一个控制系统性能的好坏，取决于系统的内在因素，即系统的结构参 数，而与外部施加的信号无关。因而，对于一个控制系统品质好坏的评价 可以通过对系统结构参数的分析来达到，而不需要直接对系统输出响应进 行分析。
传递函数 是在拉氏变换基础之上引入的描述线性定常系统或 元件输入、输出关系的函数。它是和微分方程一一对应的一种 数学模型，它能方便地分析系统或元件结构参数变化对系统响 应的影响。
控制系统中常用的典型环节有，比例环节、惯性环节、 微分环节、 积分环节和振荡环节等。以下介绍这些环节的传递函数及其推导。
一、比例环节
微分方程： y(t) Kr(t)
传递函数： G(s) K (增益、放大系数）
方框图：
R(s)
Y (s)
K
特点：输出量与输入量成正比，并且同步变化，不失真也不延时。 举例：这种类型的环节很多，机械系统中略去弹性的杠杆、作为测 量元件的测速发电机(输入为角速度，输出为电压时)以及电子放大器等， 在一定条件下都可以认为是比例环节。
➢传递函数是s的有理分式，对实际系统而言分母的阶次n大于分子的
阶次m，此时称为n阶系统。
[例]求电枢控制式直流电动机的传递函数。
[解]已知电枢控制式直流电动机的微分方程为：
TaTm
d 2
dt 2
Tm
d
dt
Kuua
Km (Ta
Байду номын сангаасdmc dt
mc )
方程两边求拉氏变换为：
(TaTms2 Tms 1)(s) KuU a (s) Km (Ta s 1)M c (s)
学模型时，将其与典型环节的数学模型对比，即可知其由 什么样的典型环节组成。由于典型环节的动态性能和响应 是已知的，因而给分析、研究系统性能提供很大的方便。
（3）典型环节的概念只适用于能够用线性定常数学模 型描述的系统。
特点：惯性环节的特点是其输出量不能立即跟随输入量变化， 存在时间上的延迟。其中时间常数越大，环节的惯性越大，则延迟 的时间也越长。
【例2.2.4】一阶惯性环节的输入信号为单位阶跃信号，其拉普拉斯变
换 R(s) 1 s ，求输出量 y(t) 。
解： Y (s) G（s) R（s) 1 1 1 1
纯微分电路
G(s) Uo(s) Ui (s)
R 1
RCs Ts
(T =RC)
Cs
特点：输出反映了输入的变化率，即输入变化 的激烈程度
(2)实际微分环节 微分方程：
Td
dy(t) dt
y(t)
Td
dr(t) dt
传递函数：
G s Td s
Td s 1