组合优化问题及算法
组合优化问题及算法
启发式算法
邻域概念 对于组合优化问题(D,F,f),D上的一个映射： N:SD N(S)2D
称为一个邻域映射，其中2D表示D的所有子集构成的集合，N(S)称为S的邻域。 邻域的构造依赖于问题决策变量的表示，邻域的结构在现代化优化算法中起重要作用。
5. 二维装箱问题（平面上的套裁问题） 原料的尺寸大于需求的尺寸，需求的品种尺寸可以不同，最终的目标是在满足需求的前提下，使边角余
料最小。 6. 车间作业调度问题(job shop scheduling) n个工件，J1,…,Jn在m台机器M1,M2,…,Mm上加工。每个工件Ji有ni个工序，Oi1,…,Oini,第Oij工序的加工
类似可定义k-opt(k2)
启发式算法
局部最优与全局最优
若s*满足 f(s*)()f(s),其中sN(s*)F,
则称s*为f在F上的局部(local)最小（最大）解。 若s*满足 f(s*)()f(s),其中sF,
则称s*为f在F上的全局(global)最小（最大）解。
启发式算法
启发式算法定义 一个基于直观或经验构造的算法，在可接受的花费（计算时间、占用空间等）下给出待解决问题
s.t. xij 1, i 1,, n
j1
n
xij 1, j 1,, n
i1
xij | S | 1, 2 | S | n 2,
i, jS
xij {0,1}, i, j 1,, n, i j.
S {1,2,, n}
一些例子
3.有约束的机器调度问题(capacitated machine scheduling) n个加工量为{di|i=1,2,…,n}的产品在一台机器上加工，机器在第t个时段的工作能力为ct,求完成所有
组合优化问题及算法
启发式算法
邻域概念
TSP问题解的另一种表示法为
D={S=(i1,i2,…,in)是1,2,…,n的一个排列} 可以定义它的邻域映射为2-opt，即S中的两个 元素对换。
如4个城市的TSP问题，当S=(1,2,3,4)时， N(S)={(2,1,3,4),(3,2,1,4),(4,2,3,1),(1,3, 2,4),(1,4,3,2),(1,2,4,3)}.
i 1
xi {0,1},
i 1,, n
一些例子
2. 旅行商问题(TSP，traveling salesman problem)
一个商人欲到n个城市推销商品，每两个城市i和j之
间的距离为dij，如何选择一条道路使得商人每个城市正 好走一遍后回到起点且所走路径最短。
n
min dij xij
i j
n
组合优化问题及算法
引言
组合最优化（combinatorial optimization)是通过 对数学方法的研究去寻找离散事件的最优编排、分组、次 序或筛选等，是运筹学(operations research)中的一个 重要分支。所研究的问题涉及信息技术、经济管理、工业 工程、交通运输、通信网络等领域。该问题可用数学模型 描述为：
邻域的构造依赖于问题决策变量的表示，邻 域的结构在现代化优化算法中起重要作用。
启发式算法
邻域概念
例如，前面例子2给出的TSP问题模型。由解空间 D={x{0,1}n(n-1)}，可以定义它的一种邻域为：
N (x) {y |yx| |yijxij|k, y D }
i,j
k为一个正整数。 TSP问题解的另一种表示法为 D={S=(i1,i2,…,in)是1,2,…,n的一个排列}
组合优化问题的算法设计与实现
组合优化问题的算法设计与实现组合优化问题是一类经典的数学问题，它们常见于实际生产和生活中的众多领域，如供应链管理、生产调度、货物配送等等。
本文就组合优化问题的算法设计与实现进行阐述和探讨。
一、组合优化问题的简介组合优化问题是一类在已有许多元素的情况下，从其中选取某些元素的问题。
在该类问题中，需要进行最大化或最小化的优化目标往往是某种“价值函数”或“代价函数”。
在现实中，许多问题都可以转化为组合优化问题，如流水线调度问题、背包问题、旅行商问题等。
二、组合优化问题的算法设计1.暴力搜索暴力搜索，也称穷举搜索，是最基本的求解组合优化问题的方法，其实现思路是将问题的所有可能解都列出来，再从中选择出最优解。
虽然暴力搜索具有通用性和简单性，但是由于复杂度太高，所以仅适用于数据规模较小的问题。
2.贪心算法贪心算法是一种运用最优化策略的算法，其思路是在每一步中选择当前最优解。
贪心算法的思想相对简单，实现复杂度也较低，但是其常常只能得到局部最优解。
3.动态规划算法动态规划算法是一种通过综合后效性来减小问题规模的方法，其实现思路是将原问题划分成几个子问题，再结合最优策略，逐步求解。
动态规划算法具有较高的复杂度和较高的求解精度，适用于大部分组合优化问题。
4.分支定界算法分支定界算法是一种将问题的解空间“树形”表示，然后从根节点向下逐步求解的方法。
在每次求解时，分支定界算法都会选择一个“分支点”，并根据分支点的优先级进行分支，然后再按照最优子树进行搜索。
分支定界算法具有较高的求解精度和通用性，但是实现复杂度较高。
三、组合优化问题算法的实现组合优化问题的算法实现，主要包括以下几个步骤：1.问题建模对组合优化问题建立数学模型，明确优化目标和变量，描述问题的约束条件。
2.算法选择依据问题的特点和规模，选择合适的算法。
3.程序设计利用计算机语言实现选择的算法。
4.数据测试对程序进行测试，验证算法的求解精度和效率。
总之，组合优化问题的算法设计和实现需要考虑诸多因素，包括问题的性质、规模、复杂度等等。
组合优化问题与算法研究进展
组合优化问题与算法研究进展在当今数字化和信息化的时代，组合优化问题在各个领域中扮演着至关重要的角色。
从物流运输的路径规划，到生产制造中的资源分配，再到通信网络的频谱分配，组合优化问题无处不在。
这些问题的解决不仅影响着企业的运营效率和成本，也关系到社会资源的合理利用和可持续发展。
因此，对组合优化问题及其算法的研究具有重要的理论意义和实际应用价值。
组合优化问题是一类在给定的有限集合中寻找最优解的问题。
其特点是可行解的数量通常是有限的，但可能非常庞大，以至于无法通过穷举法来找到最优解。
例如，旅行商问题（Travelling Salesman Problem，TSP）就是一个经典的组合优化问题，要求找到一个推销员在给定的城市集合中旅行的最短路径，且每个城市只能访问一次。
这个问题的可行解数量随着城市数量的增加呈指数增长，对于较大规模的问题，直接求解几乎是不可能的。
为了解决组合优化问题，人们提出了各种各样的算法。
这些算法大致可以分为精确算法和启发式算法两大类。
精确算法能够保证找到问题的最优解，但通常只适用于规模较小的问题。
常见的精确算法包括分支定界法、动态规划法等。
以分支定界法为例，它通过将问题的解空间逐步分解为子空间，并对每个子空间进行评估和剪枝，从而缩小搜索范围，最终找到最优解。
然而，当问题规模较大时，精确算法的计算时间和空间复杂度往往会急剧增加，使其在实际应用中受到很大限制。
相比之下，启发式算法虽然不能保证找到最优解，但能够在合理的时间内给出一个较好的近似解。
启发式算法通常基于问题的特征和经验知识，通过一定的策略来搜索解空间。
常见的启发式算法包括贪心算法、局部搜索算法、模拟退火算法、遗传算法等。
贪心算法在每一步都选择当前看起来最优的决策，虽然简单高效，但容易陷入局部最优解。
局部搜索算法则从一个初始解出发，通过在其邻域中搜索来逐步改进解的质量。
模拟退火算法借鉴了物理中固体退火的过程，在搜索过程中以一定的概率接受较差的解，从而有可能跳出局部最优。
组合优化问题的求解理论及方法
组合优化问题的求解理论及方法组合优化问题是一类经典的数学问题，其求解不仅对于理论探讨具有重要意义，而且对于实际应用也有着极为广泛的应用。
在组合优化问题的求解中，涉及到了许多经典的算法和数学工具，同时也给研究人员提供了很多研究的方向和挑战。
一、组合优化问题的定义组合优化问题是指在一组给定元素中进行选择，使得满足一定条件下达到最优化目标的问题。
其中，选择元素的方式形成了一个特定的组合。
组合优化问题还可以抽象为一个图结构的问题，图中的点代表元素，边表示元素间的关系，通过仔细定义每个元素的权重，以及元素之间的相关性，可以通过定义函数来表征优化目标的特点。
组合优化问题在实际中有很多的应用，例如：金融领域中的投资组合问题、物流领域中的配送路线问题和制造业中的物资调配等问题，都可以表述为组合优化问题。
二、组合优化问题的求解方法1.枚举法在计算机科学的发展初期，通过枚举的方法进行求解是最为直观又最为简单的方法。
也就是说，将每一种可能都进行尝试，直到找到最优解为止。
这种方法可以处理的问题非常少，并且需要耗费极长的时间。
但是在某些特殊的情况下，这种方法可以成为划算的解法。
2.贪心算法贪心算法也是一种比较简单的算法，在求解组合优化问题时适用范围比较广泛。
其核心思想是：在当前状态下，总是选择局部最优的元素，并且相信所做出此类选择是最优的。
此时，需要找到一个能够同时满足多个需求因素的方案。
3.回溯算法回溯算法的思想就是通过穷举所有可能的解，一步一步的逼近最优解。
在每一步操作中，都需要对每一种情况进行扫描，并且在扫描时需要注意状态的影响。
当需要进行下一步操作时，需要取消之前的操作，换而套用其他更优的状态。
尽管回溯算法在解决问题时非常耗时，但是其在组合优化问题的求解中十分实用。
4.动态规划算法动态规划算法是一种相对较新的算法，其思想基于递归和分治的思想，透过过程中存储每一个小步骤的状态，最终得到最优解。
其中，通过定义一个状态转移方程式，可以将原本几乎无解或需要极长时间进行处理的问题转化为一个适宜的计算模型。
组合优化问题求解算法研究
组合优化问题求解算法研究一、组合优化问题简介组合优化问题是指在给定约束条件下，从若干可能的选择中选择一组元素，使得某个目标函数的值最大或最小。
它在日常生活中具有广泛的应用，如路线设计、工作安排等。
二、暴力枚举算法暴力枚举算法是指将所有可能的情况枚举出来，再从中找出最优解的算法。
它的时间复杂度为O(2^n)，因此在元素数量较小的情况下可以使用。
但随着元素数量的增加，暴力枚举算法无法满足实际需求。
三、贪心算法贪心算法是一种基于贪心思想的算法，它在每个阶段选择最优解，以期望最终结果最优。
由于贪心算法不考虑未来的后果，因此不一定能得到最优解。
但在一些特定的问题中，贪心算法可以得到最优解，如硬币找零问题。
四、动态规划算法动态规划算法是一种通过分解问题为子问题来求解复杂问题的算法。
它可以避免不必要的重复计算，并将问题转化为容易求解的子问题。
典型的应用包括背包问题和最长公共子序列问题。
动态规划算法的时间复杂度为O(n^2)或O(n^3)，因此可以在元素数量较大的情况下使用。
五、分支限界算法分支限界算法是一种基于搜索树的算法，它通过遍历搜索树，依次扩展所有可能的路径，最终找到最优解。
由于搜索树会随着元素数量的增加指数级增长，因此分支限界算法只适用于元素数量较小的情况。
六、遗传算法遗传算法是一种基于遗传学和进化论的算法。
它将问题转化为个体的基因编码，通过选择、交叉和变异等操作来逐步优化个体，最终找到最优解。
遗传算法在处理组合优化问题中具有较强的灵活性和鲁棒性，可以应用于大规模的问题求解。
七、模拟退火算法模拟退火算法是一种基于统计物理学的随机搜索算法。
它通过随机选择解，并根据一定的概率接受较差的解，从而避免陷入局部最优解。
模拟退火算法通常可以得到接近最优解的结果，并可以应用于处理复杂的非线性组合优化问题。
八、粒子群算法粒子群算法是一种基于群体智能的优化算法。
它通过模拟群体中粒子的运动来搜索最优解，具有全局收敛能力和高效性，可应用于大规模、高维的组合优化问题中。
组合优化问题与算法研究进展
组合优化问题与算法研究进展组合优化指的是在有限状态和约束下进行优化问题的数学学科，它涉及到众多领域，例如计算机科学、数学、物理学和工程学等方面。
组合优化算法的研究一直是计算机科学、工业制造和决策科学等领域中的一个重要研究方向。
本文将介绍组合优化问题的基本概念、模型和算法，以及它们在实际应用中的研究进展和挑战。
一、基本概念组合优化的基础是集合系统、图论和离散结构等数学问题。
集合系统是指一个元素集合和若干个子集的组合，图论是研究带有边和点的图，离散结构是指具有离散性质的对象的结构。
组合优化问题通常包括最小化或最大化某种目标函数，如路径长度、割集权重等。
这类问题可以抽象为某种图或集合系统，并且有固定的约束条件，如路径必须是连通的、边必须是相互连通的等。
二、模型与算法组合优化问题模型主要包括线性规划、整数规划、网络流、图着色、集合覆盖和旅行商问题等。
这些问题在计算机科学、工业制造和决策科学中都有广泛的应用。
1.线性规划线性规划是求解一个线性函数在一组线性约束下的最大值或最小值的数学模型。
2.整数规划整数规划是将线性规划问题中，最大或最小目标函数的系数与约束条件中的系数都限制为整数，这样求解的问题称为整数规划问题。
整数规划问题非常常见，如生产调度、航线规划等。
3.网络流网络流是在一个网络中找到从源点到汇点的最大流的数学模型。
网络流算法主要包括Ford-Fulkerson算法、Dinic算法等。
4.图着色图着色问题是在一个无向图的每一个节点上，为了保证相邻节点的颜色不同，给每个节点染上不同的颜色。
5.集合覆盖集合覆盖问题是在一组元素中选出最小的子集合，使得这些子集合覆盖了所有的元素。
6.旅行商问题旅行商问题是在给定一组城市和它们之间的距离，在访问每个城市且只访问一次的条件下，找出一条最短路径的数学模型。
旅行商问题是组合优化中的NP问题之一，也是著名的NP完全问题之一，尚未找到高效求解方法。
三、应用与挑战组合优化问题的应用非常广泛，包括电路设计、物流调度、金融投资、制造过程优化、路线规划等等。
组合优化问题的算法优化
组合优化问题的算法优化组合优化问题是指在给定的一组限制条件下寻求最优解问题，其中限制条件是由可选项的组合形成的。
该问题的性质通常是确定性的，即在给定的限制条件下可求解最优解，但随着可选项数量增加，该问题的规模会逐渐增大，从而导致求解困难。
因此，如何优化组合优化问题的算法成为了当前热门研究方向之一。
本文将从算法的角度出发，介绍组合优化问题的算法优化方法。
一、贪心算法贪心算法(或称“贪心策略”)通常是指局部最优解推导全局最优解。
所谓局部最优解是指每一个步骤中所能求得的最优解，而全局最优解则是指所有步骤中所能得到的优解。
在组合优化问题中，贪心算法通常被用于求解图的最小生成树问题和集合覆盖问题等。
例如，对于集合覆盖问题，如果某一个集合包含了当前未涵盖元素最多，那么我们就选择这个集合，当所有元素都被覆盖时，得到的结果即为全局最优解。
二、分支定界算法分支定界算法(或称“深度优先搜索算法”)是指在搜索过程中对可能的解空间进行搜索，而在该搜索过程中，对当前的解空间中的每一个节点进行截短，以减少搜索空间。
分支定界算法通常被用于求解NP难问题(即非多项式时间问题)，包括制造进程调度问题和旅行商问题等。
例如，在旅行商问题中，我们将待求的旅行路线看作图，然后通过深度搜索得到符合约束条件的最优解。
三、动态规划算法动态规划算法(或称“最优子结构算法”)在求解组合优化问题中也有广泛应用。
动态规划算法基于以下原则：求解问题的最优解可以由求解该问题的子问题的最优解来推导得到。
对于动态规划算法和分支定界算法相比较，其时间复杂度较低，但其要求问题具有最优子结构性质。
例如，在0/1背包问题中，我们可以使用动态规划算法，推导出在限定的承重下，最大的总价值。
四、遗传算法遗传算法(或称“遗传优化算法”)是一种模拟自然遗传过程的优化方法。
遗传算法通常包含以下核心环节：选择、交叉和变异。
在该算法中，由一个初始种群开始，然后每一次通过选择、交叉和变异改进种群，直到达到目标解。
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一个基于直观或经验构造的算法，在可接受 的花费（计算时间、占用空间等）下给出待解决 问题每一个实例的一个可行解，该解与最优解的 偏离程度不一定能预计。
启发式算法是一种技术，使在可接受的计算 开销内寻找最好的解，但不一定能保证所得解的 可行性和最优性，甚至多数情况下，无法给出所 得解同最优解的近似程度。
-6-
一些例子
7. 最大截问题(MCP,Max Cut Problem)
8. 图的顶点着色问题（GCP,Graph Colouring Problem)
9. 独立集问题（ISP,Independent Set Problem) 10.调度问题(SCP,Scheduling Problem) 11.划分问题(PAP,Partition Problem) 12.布局问题（PLP, Placement Problem)……
min d ij xij
i j n n
s.t.
n
x
j 1 ij ij
ij
1,
i 1, , n j 1, , n 2 | S | n 2, S {1,2, , n}
i , jS
x x
i 1
1,
| S | 1,
xij {0,1}, i, j 1, , n, i j.
上述问题都是NP-hard问题，目前人们认为它们不存在 求解最优解的多项式时间算法，大规模情形只有尝试用一 些近似算法或启发式算法求解。
-7-
启发式算法
邻域概念
对于组合优化问题 (D,F,f),D 上的一个映射： N:SD N(S)2D 称为一个邻域映射，其中 2D 表示 D 的所有子集构 成的集合，N(S)称为S的邻域。
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启发式算法
近似算法定义
记问题A的任何一个实例I的最优解和启发式 算法 H 解的目标值分别为 zopt(I) 和 zH(I), 若对某 个正数0，有 |zH(I)-zopt(I)| |zopt(I)|，IA
MATHEMATICA MODEL
组合优化问题 及其算法
制作: 龚劬
引言
组合最优化（ combinatorial optimization) 是通过 对数学方法的研究去寻找离散事件的最优编排、分组、次 序或筛选等，是运筹学 (operations research) 中的一个 重要分支。所研究的问题涉及信息技术、经济管理、工业 工程、交通运输、通信网络等领域。该问题可用数学模型 描述为：
邻域的构造依赖于问题决策变量的表示，邻 域的结构在现代化优化算法中起重要作用。
-8-启发式算法源自邻域概念例如，前面例子2给出的TSP问题模型。由解空间 D={x{0,1}n(n-1)}，可以定义它的一种邻域为：
N ( x) { y | y x | | y ij x ij | k ,
-4-
一些例子
3. 有 约 束 的 机 器 调 度 问 题 ( capacitated machine scheduling)
n 个加工量为 {di|i=1,2,…,n} 的产品在一台机器上加工， 机器在第 t 个时段的工作能力为 ct,求完成所有产品加工所需时 minT 段数最少的调度方案
s.t.
min f ( x ) s.t. g ( x ) 0 xD
其中D表示有限个点组成的集合。
-2-
一些例子
1. 0-1背包问题 设有一个容积为b的背包，n个体积分别为
ai(i=1,2,…,n), 价值分别为ci (i=1,2,…,n) 的物品，如 何以最大的价值装包？
max c i x i
i 1 n n
i, j
y D}
k为一个正整数。
TSP问题解的另一种表示法为 D={S=(i1,i2,…,in)是1,2,…,n的一个排列}
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启发式算法
邻域概念
TSP问题解的另一种表示法为
D={S=(i1,i2,…,in)是1,2,…,n的一个排列} 可以定义它的邻域映射为 2-opt，即 S 中的两个 元素对换。 如4个城市的TSP问题，当S=(1,2,3,4)时， N(S)={(2,1,3,4),(3,2,1,4),(4,2,3,1),(1,3, 2,4),(1,4,3,2),(1,2,4,3)}. 类似可定义k-opt(k2)
n
x
t 1 i 1 i
T
it
1, ct ,
i 1, , n t 1,2 , T
d x
it
x it {0,1}, i 1, , n, t 1,2, , T
其中xit,T为决策变量,xit=1表示产品i在第t时段加工
-5-
一些例子
4. 装箱问题(bin packing) 如何把 n 个尺寸不超过 1 的物品装入尺寸为 1 的箱子，并使 所用的箱子个数最少。 5. 二维装箱问题（平面上的套裁问题） 原料的尺寸大于需求的尺寸，需求的品种尺寸可以不同， 最终的目标是在满足需求的前提下，使边角余料最小。 6. 车间作业调度问题(job shop scheduling) n 个工件， J1,…,Jn 在 m 台机器 M1,M2,…,Mm 上加工。每个工 件Ji有ni个工序，Oi1,…,Oini,第Oij工序的加工时间为pij，必须 按工序进行加工且每一工序必须一次加工完成。一台机器在任 何时刻最多只能加工一个产品，一个工件不能同时在两台机器 上加工，如何安排才能使最后一个完工的工件完工时间最小？
-10-
启发式算法
局部最优与全局最优
若s*满足
f(s*)()f(s),其中sN(s*)F, 则称s*为f在F上的局部(local)最小（最大）解。 若s*满足 f(s*)()f(s),其中sF, 则称 s* 为 f 在 F 上的全局 (global) 最小（最大） 解。
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启发式算法
s.t.
a x
i 1 i
i
b i 1, , n
-3-
x i {0,1},
一些例子
2. 旅行商问题(TSP，traveling salesman problem)
一个商人欲到 n个城市推销商品，每两个城市 i和j之 间的距离为 dij，如何选择一条道路使得商人每个城市正 好走一遍后回到起点且所走路径最短。