二次函数交点式
二次函数的四种形式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
(1)一般式：
y＝ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0),则称y为x的二次函数。
顶点坐标(-
b/2a,(4ac-b^2)/4a)
(2)顶点式：
y＝a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a,h,k为常数，a≠0).
(3)交点式（与x轴）：
y=a(x-x1)(x-x2)
(4)两根式：
y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠
0.
说明：
(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点.
(2)当抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c＝0有实数根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2),二次函数y＝ax2+bx+c可转化为两根式y＝a(x-x1)(x-x2).
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二次函数公式顶点式交点式两根式
二次函数公式顶点式交点式两根式二次函数是中学数学中的一个重要概念，也是数学基本的一种函数类型。
在解题中，对于二次函数的不同公式形式的掌握以及它们的应用是非常重要的。
本文将详细介绍二次函数的三种常用公式形式：顶点式、交点式和两根式。
一、顶点式：顶点式也叫标准式，它是二次函数最常用的一种表示形式。
顶点式的一般形式为：y=a(x-h)²+k，其中a表示抛物线开口的方向和大小，当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下；(h,k)表示抛物线的顶点坐标。
顶点式提供了抛物线的顶点坐标，因此很容易确定抛物线的最值。
当a>0时，抛物线的最小值为k，当a<0时，抛物线的最大值为k。
此外，顶点式也可以很方便地求出对称轴的方程，对称轴的方程为x=h。
顶点式的一个重要应用是求解二次函数的最值问题。
通过求解顶点的坐标，可以得到二次函数的最值点，进而解决各种最值问题，如求抛物线经过的点中的最大或最小值等。
二、交点式：交点式是通过已知抛物线上两个点求解二次函数的一种表示形式。
交点式的一般形式为：y=a(x-x₁)(x-x₂)，其中(x₁,y₁)和(x₂,y₂)表示抛物线上两个已知点的坐标。
交点式提供了抛物线上的两个点，通过已知两点可以直接写出二次函数的全式形式。
交点式也可以通过展开得到全式形式，展开后，得到二次函数的一般形式y=ax²+bx+c，其中a、b、c的数值可以通过已知的两个点求解。
交点式的一个重要应用是求解二次函数的方程，通过已知的两个点，可以将二次函数的方程写成交点式的形式，从而可以直接解出二次方程，求出解的个数以及具体的解。
三、两根式：两根式也是二次函数的一种常见表示形式，它主要用于求解二次方程的两个根（零点）。
两根式的一般形式为：y=a(x-x₁)(x-x₂)，其中(x₁,y₁)和(x₂,y₂)表示抛物线与x轴相交的两个点的坐标。
两根式主要通过已知抛物线与x轴相交的两个点来求解二次方程的两个根。
二次函数公式：顶点式、交点式、两根式
二次函数公式：顶点式、交点式、两根式
二次函数公式：顶点式、交点式、两根式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：(1)一般式：y=ax2+bx+c (a，b，c为常数，a0)，则称y为x的二次函数。
顶点坐标(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)
(2)顶点式：y=a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a，h，k为常数，a0)。
(3)交点式(与x轴)：y=a(x-x1)(x-x2)
(4)两根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2是抛物线与x 轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，a0.
说明：
(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式
y=a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h，k)，h=0时，抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上;当k=0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上;当h=0且k=0时，抛物线y=ax2的顶点在原点。
(2)当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c=0有实数根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，二次函数y=ax2+bx+c可转化为两根式y=a(x-x1)(x-x2)。
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求二次函数的解析式(交点式)
利用抛物线与x轴的交点坐标，可以求出抛物线的顶点坐标 。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 02
交点式求解方法
已知两个点的坐标
总结词
当已知二次函数的两个点坐标时，可以通过这两个点的坐标 来求解二次函数的解析式。
详细描述
首先，设二次函数为$y = a(x - x_1)(x - x_2)$，其中$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$是已知的两个点的坐标。然后，将这两个 点的坐标代入上述方程中，解出$a$的值，即可得到二次函数的 解析式。
已知的四个点的坐标。然后，将这四个点的 坐标代入上述方程中，解出$a$的值，即可得
到二次函数的解析式。
03
交点式应用场景
求解二次函数与x轴的交点
交点式
$y = a(x - x_1)(x - x_2)$，其中 $x_1$和$x_2$是二次函数与x轴的 交点横坐标。
求解方法
将交点的横坐标代入交点式，解 出$a$的值。
求解二次函数的最值
最值点
二次函数的最值点是其顶点，顶点的横坐标为对称轴，纵坐标为最值。
求解方法
利用对称轴公式$x = -frac{b}{2a}$求出对称轴，再代入交点式求出最值。
求解二次函数的对称轴
对称轴公式
$x = -frac{b}{2a}$。
求解方法
将对称轴公式代入交点式，解出$a$的值，再代回公式求出对称轴的方程。
求二次函数的解析式(交点式)
$number {01}
目 录
• 交点式定义 • 交点式求解方法 • 交点式应用场景 • 交点式与其他形式的比较 • 交点式的注意事项
01
交点式定义
交点式的形式
交点式定义
二次函数交点式公式
二次函数的交点式
设baiy=ax²+bx+c此函数与x轴有两交点,, 即ax²+bx+c=0有两根分别du为 x1,x2,
a(x²+bx/a+c/a)=0 根据韦达定理 a[x²-(x1+x2)x+x1*x2]=0
十字交叉相zhi乘：
1x -x1
1x -x2
a(x-x1)(x-x2) 就是这样推出的。
定义与表达式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
y=ax²+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大.）
则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
抛物线与x轴
交点个数
Δ=b²-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
Δ=b²-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。
系数表达的意义
a决定抛物线的开口方向和大小.当a>0时,抛物线向上开口；当a<0时,抛物线向下开口。
b和a共同决定对称轴的位置.当a与b同号时（即ab>0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0）,对称轴在y轴右。
c决定抛物线与y轴交点.抛物线与y轴交于（0,c）。
二次函数交点式公式
二次函数交点式公式
[仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线]
在解决与二次函数的图象和x轴交点坐标有关的问题时，使用交点式较为方便。
y=a(x-x1)(x-x2) 找到函数图象与X轴的两个交点，分别记为x1和x2,代入公式，再有一个经过抛物线的点的坐标，即可求出a的值。
将a、X1、X2代入y=a(x-x1)(x-x2)，即可得到一个解析式，这是y=ax²;+bx+c因式分解得到的，将括号打开，即为一般式。
X1,X2是关于ax²+bx+c=0的两个根。
设y=ax²+bx+c此函数与x轴有两交点,即ax²+bx+c=0有两根分别为x1,x2,
a(x²+bx/a+c/a)=0 根据韦达定理a[x²-(x1+x2)x+x1*x2]=0 2.二次函数的性质
（1）抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.
（2）函数的图像与的符号关系.
①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；
②当时抛物线开口向下顶点为其最高点.
（3）顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为 .
3.二次函数的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线.
4.二次函数用配方法可化成：的形式，其中 .
5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；
④；⑤ .
6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.。
二次函数交点式公式
二次函数交点式公式交点式：y=a(X-x1)(X-x2) ,仅限于与x轴有交点A（x1,0）和B（x2,0）的抛物线在解决与二次函数的图象和x轴交点坐标有关的问题时,使用交点式较为方便.y=a(x-x1)(x-x2) 找到函数图象与X轴的两个交点,分别记为x1和x2,代入公式,再有一个经过抛物线的点的坐标,即可求出a的值. 将a、X1、X2代入y=a(x-x1)(x-x2),即可得到一个解析式,这是y=ax²;+bx+c因式分解得到的,将括号打开,即为一般式.X1,X2是关于ax²+bx+c=0的两个根.如果(x1,0),(x2,0)是二次函数y=ax^2+bx+c的两个交点,那么x1,x2必是一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根, 从而ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2).我们把y=a(x-x1)(x-x2)称为二次函数的交点式.一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：(1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0),则称y为x的二次函数。
顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)(2)顶点式：y＝a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a,h,k为常数，a≠0).(3)交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2)(4)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0.说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y 轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k ＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点.(2)当抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c＝0有实数根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2),二次函数y＝ax2+bx+c可转化为两根式y＝a(x-x1)(x-x2).。
二次函数公式：顶点式、交点式、两根式
二次函数公式：顶点
式、交点式、两根式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：(1)一般式：y=ax2+bx+c (a，b，c为常数，
a0)，则称y为x的二次函数。
顶点坐标(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)(2)顶点式：y=a(x-h)2+k或
y=a(x+m)^2+k(a，h，k为常数，a0)。
(3)交点式(与x轴)：y=a(x-x1)(x-x2)(4)两根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，a0.说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h，k)，h=0时，抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上;当k=0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上;当h=0且k=0时，抛物线y=ax2的顶点在原点。
(2)当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c=0有实数根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，二次函数y=ax2+bx+c可转化为两根式y=a(x-x1)(x-x2)。
2。
二次函数交点式公式
二次函数交点式：y=a(X-x1)(X-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线][仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线] 在解决与二次函数的图象和x轴交点坐标有关的问题时，使用交点式较为方便。
y=a(x-x1)(x-x2) 找到函数图象与X轴的两个交点，分别记为x1和x2,代入公式，再有一个经过抛物线的点的坐标，即可求出a的值。
将a、X1、X2代入y=a(x-x1)(x-x2)，即可得到一个解析式，这是y=ax²;+bx+c因式分解得到的，将括号打开，即为一般式。
X1,X2是关于ax²+bx+c=0的两个根。
考点一、平面直角坐标系（3分）1、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。
2、点的坐标的概念点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。
平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。
考点二、不同位置的点的坐标的特征（3分）1、各象限内点的坐标的特征点P(x,y)在第一象限：X>0，Y>0点P(x,y)在第二象限：X<0，Y>0点P(x,y)在第三象限：X<0，Y<0点P(x,y)在第四象限：X>0，Y<02、坐标轴上的点的特征点P(x,y)在x轴上，x为任意实数，y=0点P(x,y)在y轴上，y为任意实数，x=0点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
二次函数公式：顶点式、交点式、两根式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
(1)一般式：y=ax2+bx+c (a，b，c为常数，a≠0)，则称y为x的二次函数。
顶点坐标(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)
(2)顶点式：y=a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a，h，k为常数，a≠0)。
(3)交点式(与x轴)：y=a(x-x1)(x-x2)
(4)两根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，a≠0.
说明：
(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h，k)，h=0时，抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上;当k=0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上;当h=0且k=0时，抛物线y=ax2的顶点在原点。
(2)当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c=0有实数根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，二次函数y=ax2+bx+c可转化为两根式y=a(x-x1)(x-x2)。
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二次函数交点式 This model paper was revised by LINDA on December 15, 2012.
第三讲 二次函数交点式
知识要点一.二次函数的三种形式
例题讲解 1.用十字相乘法分解因式：
①322--x x ②1072+-x x ③6822++x x 2.将下列二次函数改写成交点式并求出抛物线与x 轴的交点坐标：
①322--=x x y ②342++=x x y ③6822++=x x y
坐标： 归纳：
(1)若二次函数c bx ax y ++=2与x 轴交点坐标是（01，
x ）、（02，x ），则该函数还可以表示为 的形；
(2)反之若二次函数是()()21x x x x a y --=的形式，则该抛物线与x 轴的交点坐标
是 ，故我们把这种形式的二次函数关系式称为 式. (3)二次函数的图象与x 轴有2个交点的前提条件是 ，因此这也是 式存在的前提条件. 基础练习
1.把下列二次函数改写成交点式，并写出它与坐标轴的交点坐标.
⑴232+-=x x y ⑵91202---=x x y ⑶4622+-=x x y
与x 轴的交点坐标是： 与y 轴的交点坐标是： 2.已知二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（3,0），（1,0），且函数的最值是3. (1)求对称轴和顶点坐标； (2)画出它的简图；
(3)求出该二次函数的解析式；
(4)若二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（3,0），（-1,0），则对称轴是 ；
若二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（-3,0），（1,0），则对称轴是 ；
若二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（-3,0），（-1,0），则对称轴
是 .
3.已知一条抛物线的开口大小、方向与2x y -=均相同，且与x 轴的交点坐标是（2,0）、（-3,0），则该抛物线的关系式是 .
4.已知一条抛物线与x 轴有两个交点，其中一个交点坐标是（-1,0）、对称轴是直线1=x ，则另一个交点坐标是 .
5.已知一条抛物线与x 轴的两个交点之间的距离为4，其中一个交点坐标是（0,0）、则另一个交点坐标是 ，该抛物线的对称轴是 .
6.二次函数()()43-+-=x x y 与x 轴的交点坐标是 ，对称轴是 .
7.请写出一个二次函数，它与x 轴的交点坐标是（-6,0）、（-3,0）： . 知识要点二．求二次函数的解析式
一般地，已知图像上的三点或者三对y x 、的值或已知c b a 、、其中之一，我们通常设一般式 ，已知 ，我们通常设顶点式 ，已知图像与x 轴两个交点的坐标，我们通常设交点式 . 例题讲解
1．求满足下列条件的二次函数解析式： (1)顶点是（2,1），且过点（0,3）； (2)过点（-1,0）（3,0）（2,4）； (3)过点（0,2）（1,3）（2,4）
2.二次函数的图像经过点A （4，-3），当3=x 时，有最大值-1，则二次函数的解析式是 .
3.如果抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是x ＝-2，且开口方向与形状与抛物线2
23
x y -=相同，又过原点，那么a ＝ ，b ＝ ，c ＝ .
综合提升
1.已知一条抛物线的开口大小、方向与2x y =均相同，且与x 轴的交点坐标是（-2,0）、（-3,0），则该抛物线的关系式是 .
2.已知一条抛物线的形状与22x y =相同，但开口方向相反，且与x 轴的交点坐标是（1,0）、（4,0），则该抛物线的关系式是 .
3.已知一条抛物线与x 轴的两个交点之间的距离为3，其中一个交点坐标是（1,0）、则另一个交点坐标是 ，该抛物线的对称轴是 .
4.二次函数()()43---=x x y 与x 轴的交点坐标是 ，对称轴是 .
5.已知二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（-1,0），（5,0），且函数的最值是-3.则该抛物线开口向 ，当x 时，y 随的增大而增大.
6.请写出一个开口向下、与x 轴的交点坐标是（1,0）、（-3,0）的二次函数关系式： .
7.已知二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（-1,0），（5,0），且函数的最值是3.求出该二次函数的关系式.
解法1： 解法2：
8.二次函数的图象与x 轴有两个交点，其中一个交点坐标是（0,0），对称轴是直线
2=x ，且函数的最值是4.
⑴求另一个交点的坐标. ⑵求出该二次函数的关系式.
9.已知关于x 的一元二次方程2x 2＋4x ＋k －1＝0有实数根，k 为正整数． (1)求k 的值；
(2)当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数y ＝2x 2＋4x ＋k －1的图象向下平移8个单位长度，求平移后的图象的解析式；
(3)在(2)的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线
b x y +=
2
1
(b ＜k )与此图象有两个公共点时，b 的取值范围．。