2.5-6随机微分方程
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微分方程模型——数学建模真题解析
请你参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮 酒后血液中酒精含量的数学模型，并讨论以下问题： 1. 对大李碰到的情况做出解释； 2. 在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾 车就会违反上述标准，在以下情况下回答： 酒是在很短时间内喝的； 酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的。 3. 怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。 4. 根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？ 5. 根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文， 给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。
方程)。 (2)微元法。
微分方程的稳定性理论： 对微分方程组
dx f ( x) dt
若f(x0)=0，则称x0是方程组的平衡点。
如果在平衡点x0处，f(x)的Jacobi矩阵
f1 f1
x1
x2
Df D( f1, f2 , Dx D(x1, x2 ,
, ,
fn ) xn )
f2 x1
f2 x2
fn fn x1 x2
f1
xn
f2 xn
fn xn
的所有特征值的实部都小于0，则x0是稳定的平衡点， 如果存在某个特征值的实部大于0，则x0是不稳定的 平衡点。
稳定的平衡点的实际意义： 如果微分方程存在稳定的平衡点，设x(t)是微分方 程的解，则当t时， x(t)趋向于某个稳定的平衡 点。
养老金的发放与职工在职时的工资及社会平均工资有着密 切关系；工资的增长又与经济增长相关。近30年来我国经 济发展迅速，工资增长率也较高；而发达国家的经济和工 资增长率都较低。我国经济发展的战略目标，是要在21世 纪中叶使我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平。 现在我国养老保险改革正处于过渡期。养老保险管理的一 个重要的目标是养老保险基金的收支平衡，它关系到社会 稳定和老龄化社会的顺利过渡。影响养老保险基金收支平 衡的一个重要因素是替代率。替代率是指职工刚退休时的 养老金占退休前工资的比例。按照国家对基本养老保险制 度的总体思路，未来基本养老保险的目标替代率确定为 58.5%. 替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基 金收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准 就高，养老保险基金收支平衡较难维持，可能出现缺口。 所谓缺口，是指当养老保险基金入不敷出时出现的收支之 差。
随机微分方程
一、一维分岔 考虑一维随机微分方程()()()()()()()()()dX = m X dt +X dB t =m X +X X /2dt +X dB t 6.141σσσσ'-⎡⎤⎣⎦ 生成的连续动态系统()()()()()()tt00t x =x +m s x dx + s x dB s 6.142ϕϕσϕ-⎰⎰ () 它是以 x 为初值的（6.1-41）之唯一强解。
假定()()m 0 = 00 = 0 6.143σ-，（）从而0是ϕ的一个固定点。
对此固定点，dB(t)是随机参激。
设m(x)有界，对所有x 0≠满足椭圆性条件 ()0 6.144x σ≠-()这保证最多只有一个平稳概率密度。
求解与（6.1-41）相应的平稳FPK 方程得平稳概率密度()()()()122m u p x C x exp[ ] 6.145u xdu σσ-=-⎰（） 于是，上述动态系统有两种可能的平稳状态：不动点（平衡状态）与非平凡平稳运动。
前者的不变测度0δ的密度为()x δ，后者的不变测度ν的密度为（6.1-45）。
为研究 D-分岔，需计算这两个不变测度的Lyapunov 指数。
为此，考虑（6.1-41）的线性化方程()()()()dV =m X Vdt +X V dB t =[m (X)((X)(X))/2]Vdt VdB t 6.146σσσσ''''''++- （）利用（2.5-6）之解（2.5-11），得（6.1-46）之解()()()()()ttV t =V 0exp[(m +/2)X ds +X dB s ] 6.147 σσσ''''-⎰⎰（）动态系统ϕ关于测度μ的Lyapunov 指数定义为()()1lim ln V t 6.148t tϕλμ→∞=-（）（6.1-47）代入（6.1-48），注意()00σ=，得不动点Lyapunov 指数()()()()()()()()001()lim [ln 000]00 lim0(6.1-49)?t tt t B t V m ds dB s m m ttϕλδσσ→∞→∞'''''=++=+=⎰⎰对以（6.1-45）为密度的不变测度ν，（6.1-47）代入（6.1-48）， 假定σ'有界，m /2σσ'''+可积，得Lyapunov 指数()01 lim (m /2)(X)ds [m (x)(x)(x)/2]p(x)dx 6.150tt Rt ϕλνσσσσ→∞''''''=+=+-⎰⎰（）进行分部积分，并利用（6.1-45），最后得()2m(x) -2p(x)dx 0 6.151(x)R ϕλνσ⎡⎤=<-⎢⎥⎣⎦⎰（） 随机跨临界分岔考虑（6.1-41）的特殊情形()()2dX X X dt X dB t 6.152ασ=-+- （）生成的动态系统族αϕ()0exp[()] 6.1531[()]tx t B t t x x s B s dsαασϕασ+=-++⎰ （）（6.1-53）是以 x 为初值的（6.1-52）之解。
随机微分方程数值解法
随机微分方程数值解法
2013年11月18日
随机微分方程数值解法
1.随机微分方程概述
1.1 布朗运动介绍 1.2 随机积分 1.3 两种形式的随机微分方程
2.随机微分方程数值方法介绍
2.1 随机Taylor 展开 2.1 Euler 方法 2.2 Milstein 方法
3. 数值试验
3.1 精度数值试验 3.2 稳定性数值试验
E( W ( t ) ? W ( s ) | F s ) ? 0 a .s ., 此外，对随机过程{ X ( t ), t ? 0}, T ? 0, 引入以下三个条件：
X ( t )关于 [0, T ] ? ? 可测；
(1)
? t ? 0, X ( t ) ? F t , 即 X ( t )为 F t 可测的；
称随机变量{W (t),t ? 0}的运动遵循(标准)维纳过程或者布朗运
动。
若? 2 ? 1，则称W ( t ) 为标准布朗运动或标准Wiener 过程。
注：
1）布朗运动是处处连续的，并且它是处处是不可微的。直观 上来看，这意味着它的运动轨迹相当曲折。
2）对于标准布朗运动，? W N (0, ? t ) ，即? W ? t N (0,1), 若记随机变量? N (0,1), 则有 ? W ? ? ? t . 形式上看，当
下假设Wiener 过程 W (t ), t ? 0 定义在概率空间 (? , F , P )上，
{Ft , t
?
0}
F 为 11
的上升滤子（即
Ft
?
F ,且对 ? 0 ? t1 ?
t2 , Ft1 ?
F
t
)
2
，对任意 0 ? s ? t ，W ( s )关于 F t 可测，且满足
2013年11月18日
随机微分方程数值解法
1.随机微分方程概述
1.1 布朗运动介绍 1.2 随机积分 1.3 两种形式的随机微分方程
2.随机微分方程数值方法介绍
2.1 随机Taylor 展开 2.1 Euler 方法 2.2 Milstein 方法
3. 数值试验
3.1 精度数值试验 3.2 稳定性数值试验
E( W ( t ) ? W ( s ) | F s ) ? 0 a .s ., 此外，对随机过程{ X ( t ), t ? 0}, T ? 0, 引入以下三个条件：
X ( t )关于 [0, T ] ? ? 可测；
(1)
? t ? 0, X ( t ) ? F t , 即 X ( t )为 F t 可测的；
称随机变量{W (t),t ? 0}的运动遵循(标准)维纳过程或者布朗运
动。
若? 2 ? 1，则称W ( t ) 为标准布朗运动或标准Wiener 过程。
注：
1）布朗运动是处处连续的，并且它是处处是不可微的。直观 上来看，这意味着它的运动轨迹相当曲折。
2）对于标准布朗运动，? W N (0, ? t ) ，即? W ? t N (0,1), 若记随机变量? N (0,1), 则有 ? W ? ? ? t . 形式上看，当
下假设Wiener 过程 W (t ), t ? 0 定义在概率空间 (? , F , P )上，
{Ft , t
?
0}
F 为 11
的上升滤子（即
Ft
?
F ,且对 ? 0 ? t1 ?
t2 , Ft1 ?
F
t
)
2
，对任意 0 ? s ? t ，W ( s )关于 F t 可测，且满足
随机微分方程数值计算介绍
Si,n+1 = Si,n + ai (Sn , tn ) h +
j
k,l
bij (Sn , tn ) ∆Wj,n
with b and its derivatives evaluated at (S(0), 0).
Milstein Method
This then leads to
Si (h) ≈ Si (0)+ai h+ bij Wj (h)+
L LT = Cov(∆Wn )
MC Lecture 9 – p. 1/19 MC Lecture 9 – p. 2/19
Euler-Maruyama method
Provided a and b are sufficiently smooth:
O(h) weak convergence (for almost all payoffs?) √ O( h) strong convergence
j j,k,l
Lévy areas
Itô calculus gives us
h
∂bij blk ∂Sl
Wk (t) dWj (t)
0
d(Wj Wk ) = Wj dWk (t) + Wk dWj (t) + ρjk dt
where ρjk is the correlation between dWj and dWk . Hence,
Euler-Maruyama method
For the vector SDE
Numerical Methods II
Prof. Mike Giles
giles@
dS = a(S, t) dt + b(S, t) dW
j
k,l
bij (Sn , tn ) ∆Wj,n
with b and its derivatives evaluated at (S(0), 0).
Milstein Method
This then leads to
Si (h) ≈ Si (0)+ai h+ bij Wj (h)+
L LT = Cov(∆Wn )
MC Lecture 9 – p. 1/19 MC Lecture 9 – p. 2/19
Euler-Maruyama method
Provided a and b are sufficiently smooth:
O(h) weak convergence (for almost all payoffs?) √ O( h) strong convergence
j j,k,l
Lévy areas
Itô calculus gives us
h
∂bij blk ∂Sl
Wk (t) dWj (t)
0
d(Wj Wk ) = Wj dWk (t) + Wk dWj (t) + ρjk dt
where ρjk is the correlation between dWj and dWk . Hence,
Euler-Maruyama method
For the vector SDE
Numerical Methods II
Prof. Mike Giles
giles@
dS = a(S, t) dt + b(S, t) dW
几种随机微分方程数值方法与数值模拟(李炜)
武汉理工大学硕士学位论文摘要随机微分方程的理论广泛应用于经济生物物理自动化等领域然而在很长一段时间里由于缺乏有效的求解随机系统的数值方法以及足够强大的计算机计算能力在实际问题中以随机微分方程组为代表的描述物理现象的许多复杂的数学模型或者被束之高阁或者被迫通过忽略随机因素而简化均不能得到很好的应用
分类号 UDC
研究生签名：_____________日期：_________
关于论文使用授权的说明
本人完全了解武汉理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即学校有权保 留、送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部 分内容，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。
(保密的论文在解密后应遵守此规定)
研究生签名： ______________导师签名： _________________日期： _______摘 要
随机微分方程的理论广泛应用于经济、生物、物理、自动化等领域，然而在 很长一段时间里， 由于缺乏有效的求解随机系统的数值方法以及足够强大的计算 机计算能力，在实际问题中，以随机微分方程(组)为代表的描述物理现象的许多 复杂的数学模型或者被束之高阁，或者被迫通过忽略随机因素而简化，均不能得 到很好的应用。可喜的是近十年来，在随机微分方程数值解方面已取得了一些成 就，这意味着由某些随机微分方程描述的数学模型可以借助于计算机进行研究。 本文首先介绍了随机微分方程的背景知识及其理论解的重要性质。 其中通过 随机积分导出了 Ito 型和 Stratonovich 型两种重要形式的随机微分方程，并给出 了计算随机积分期望的相关引理；介绍了随机微分方程强解的存在唯一性定理， 对于线性随机微分方程， 给出了解的解析表达式； 推导了解的随机 Taylor 展开式。 由于随机系统的复杂性，一般情况很难得到方程理论解的解析表达式。这样 一来，数值方法的构造显得尤为重要。现在对随机微分方程数值解的研究还处在 初级阶段。 为了构造有效的数值方法， 首先要考虑到数值方法的收敛性和稳定性。 本文介绍了随机微分方程理论解的随机渐进稳定性和均方(MS)稳定性， 同时介绍 了数值解的 MS-稳定性和 T-稳定性。 在主体部分， 本文分别通过直接截断随机 Taylor 展开式和比较理论解与随机 Runge-Kutta 格式的 Taylor 展开式的方法分别得到了数值求解随机微分方程的 Taylor 方法和 Runge-Kutta 方法，并对具体方法进行了 MS-稳定性分析，对实际 算例进行了数值模拟。 其中显式 Euler-Mayaruma 方法和 Milstein 方法是求解 Ito 型随机微分方程的 基本方法。本文在此基础上介绍了相应的半隐式 Euler-Mayaruma 方法、Milstein 方法和隐式 Euler-Taylor 方法、Milstein 方法，并通过截断随机 Taylor 展开式的 方式推导了 1.5 阶 Taylor 方法。 在推导具体的 Runge-Kutta 方法时，本文首先介绍了 Runge-Kutta 方法在常 微分方程中的应用，形式上类比得到了随机 Runge-Kutta 方法。通过应用有根树 理论简化了 Runge-Kutta 格式的 Taylor 展开式，应用阶条件构造了 3 级显式(M2) 和 3 级半隐式(SIM1)两个具体的 Runge-Kutta 格式。 稳定性分析表明各种数值方法的隐式格式稳定性优于相应的显式格式和半 隐式格式。数值模拟表明新格式 M2 和 SIM1 与经典的 Runge-Kutta 格式(如 4 级 显式(M3)和 2 级对角隐式(DIM1))一样具有较高的数值精度。 关键词： 随机微分方程；收敛性；稳定性；Taylor 方法；Runge-Kutta 方法
分类号 UDC
研究生签名：_____________日期：_________
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(保密的论文在解密后应遵守此规定)
研究生签名： ______________导师签名： _________________日期： _______摘 要
随机微分方程的理论广泛应用于经济、生物、物理、自动化等领域，然而在 很长一段时间里， 由于缺乏有效的求解随机系统的数值方法以及足够强大的计算 机计算能力，在实际问题中，以随机微分方程(组)为代表的描述物理现象的许多 复杂的数学模型或者被束之高阁，或者被迫通过忽略随机因素而简化，均不能得 到很好的应用。可喜的是近十年来，在随机微分方程数值解方面已取得了一些成 就，这意味着由某些随机微分方程描述的数学模型可以借助于计算机进行研究。 本文首先介绍了随机微分方程的背景知识及其理论解的重要性质。 其中通过 随机积分导出了 Ito 型和 Stratonovich 型两种重要形式的随机微分方程，并给出 了计算随机积分期望的相关引理；介绍了随机微分方程强解的存在唯一性定理， 对于线性随机微分方程， 给出了解的解析表达式； 推导了解的随机 Taylor 展开式。 由于随机系统的复杂性，一般情况很难得到方程理论解的解析表达式。这样 一来，数值方法的构造显得尤为重要。现在对随机微分方程数值解的研究还处在 初级阶段。 为了构造有效的数值方法， 首先要考虑到数值方法的收敛性和稳定性。 本文介绍了随机微分方程理论解的随机渐进稳定性和均方(MS)稳定性， 同时介绍 了数值解的 MS-稳定性和 T-稳定性。 在主体部分， 本文分别通过直接截断随机 Taylor 展开式和比较理论解与随机 Runge-Kutta 格式的 Taylor 展开式的方法分别得到了数值求解随机微分方程的 Taylor 方法和 Runge-Kutta 方法，并对具体方法进行了 MS-稳定性分析，对实际 算例进行了数值模拟。 其中显式 Euler-Mayaruma 方法和 Milstein 方法是求解 Ito 型随机微分方程的 基本方法。本文在此基础上介绍了相应的半隐式 Euler-Mayaruma 方法、Milstein 方法和隐式 Euler-Taylor 方法、Milstein 方法，并通过截断随机 Taylor 展开式的 方式推导了 1.5 阶 Taylor 方法。 在推导具体的 Runge-Kutta 方法时，本文首先介绍了 Runge-Kutta 方法在常 微分方程中的应用，形式上类比得到了随机 Runge-Kutta 方法。通过应用有根树 理论简化了 Runge-Kutta 格式的 Taylor 展开式，应用阶条件构造了 3 级显式(M2) 和 3 级半隐式(SIM1)两个具体的 Runge-Kutta 格式。 稳定性分析表明各种数值方法的隐式格式稳定性优于相应的显式格式和半 隐式格式。数值模拟表明新格式 M2 和 SIM1 与经典的 Runge-Kutta 格式(如 4 级 显式(M3)和 2 级对角隐式(DIM1))一样具有较高的数值精度。 关键词： 随机微分方程；收敛性；稳定性；Taylor 方法；Runge-Kutta 方法
求解随机微分方程的两种数值方法
硕士学位论文
求解随机微分方程的两种数值方法
TWO NUMERICAL METHODS OF SOLVING THE STOCHASTIC DIFFERENTIAL EQUATIONS
吴赛楠
哈尔滨工业大学 2013 年 6 月
国内图书分类号：O175.14 国际图书分类号：517.9
学校代码：10213 密级：公开
理学硕士学位论文
求解随机微分方程的两种数值方法
硕 士 研 究 生 ： 吴赛楠 导 师 ： 李冬松副教授
申 请 学 位： 理学硕士 学 科： 计算数学
所 在 单 位： 数学系 答 辩 日 期： 2013 年 6 月 授予 学位 单位 ： 哈尔滨工业大学
Classified Index: O175.14 U.D.C: 517.9
-I-
哈尔滨工业大学理学硕士学位论文
Abstract
Stochastic differential equation originated in the 20th century. In the past 100 years not only the relative theory has been through rapid development, but it is also widely used in real life. In the past, many scholars applied deterministic mathematical model to study phenomenon appears in the physical, biological, economic, and contrology and other areas. However, with the rapid development of science, they found that only the certainty factors are not enough to completely reflect the actual situation. There are many external factors that need to be considered into the phenomenon we study. Therefore, it is necessary for us to think over uncertainty factors when we are study mathematical models. Due to all the reasons mentioned above, stochastic differential equation gets attention and rapid development. Although it is hard to obtain the exact solutions of the equation, we still treat it as a goal. Therefore, whether the numerical method that we used to solve the stochastic differential equation is effective or not becomes important. If we want to obtain effective numerical method, it is necessary to discuss the convergence of the numerical method. This paper discusses the stochastic differential equation (SDEs) and constructs a split-step θ method for solving SDEs, namely the split-step θ method and do research into the convergence and stability of this numerical method. We obtain the mean-square convergence of the split-step θ method. And the mean-square order is 0.5. Besides, we also build up another method for solving SDEs, called a split-step balanced θ method. After that, we still consider the convergence and stability of this method. Finally, we do the numerical experimentation in order to verify our conclusion. Keywords: Stochastic differential equation, split-step θ method, split-step balanced θ method, Mean-square convergence, Mean-square stability
求解随机微分方程的两种数值方法
TWO NUMERICAL METHODS OF SOLVING THE STOCHASTIC DIFFERENTIAL EQUATIONS
吴赛楠
哈尔滨工业大学 2013 年 6 月
国内图书分类号：O175.14 国际图书分类号：517.9
学校代码：10213 密级：公开
理学硕士学位论文
求解随机微分方程的两种数值方法
硕 士 研 究 生 ： 吴赛楠 导 师 ： 李冬松副教授
申 请 学 位： 理学硕士 学 科： 计算数学
所 在 单 位： 数学系 答 辩 日 期： 2013 年 6 月 授予 学位 单位 ： 哈尔滨工业大学
Classified Index: O175.14 U.D.C: 517.9
-I-
哈尔滨工业大学理学硕士学位论文
Abstract
Stochastic differential equation originated in the 20th century. In the past 100 years not only the relative theory has been through rapid development, but it is also widely used in real life. In the past, many scholars applied deterministic mathematical model to study phenomenon appears in the physical, biological, economic, and contrology and other areas. However, with the rapid development of science, they found that only the certainty factors are not enough to completely reflect the actual situation. There are many external factors that need to be considered into the phenomenon we study. Therefore, it is necessary for us to think over uncertainty factors when we are study mathematical models. Due to all the reasons mentioned above, stochastic differential equation gets attention and rapid development. Although it is hard to obtain the exact solutions of the equation, we still treat it as a goal. Therefore, whether the numerical method that we used to solve the stochastic differential equation is effective or not becomes important. If we want to obtain effective numerical method, it is necessary to discuss the convergence of the numerical method. This paper discusses the stochastic differential equation (SDEs) and constructs a split-step θ method for solving SDEs, namely the split-step θ method and do research into the convergence and stability of this numerical method. We obtain the mean-square convergence of the split-step θ method. And the mean-square order is 0.5. Besides, we also build up another method for solving SDEs, called a split-step balanced θ method. After that, we still consider the convergence and stability of this method. Finally, we do the numerical experimentation in order to verify our conclusion. Keywords: Stochastic differential equation, split-step θ method, split-step balanced θ method, Mean-square convergence, Mean-square stability
随机微分方程
利用X(t)的表达式可以得到其数字特征.即
mX (t)=E[ X (t)]
t
E[
X
0
a(u )du
e t0
t
t
Y
(s)
eபைடு நூலகம்
s
a(u
)
du
)
ds]
t0
RX (s,t) E[X (s)X (t)]
定理 一阶线性微分方程（1）的解的均值函数 和相关函数为
t
mX
(t)
(EX
0
)
e
t0
a (u ) du
))nn
( ) (m) ij nn
EX (1, 2,..., n )
B (cov( X , X )) (ij )nn
则 (u) e X (m)
j ( m) uT 1uB( m)uT
2
X
(u)
lim
m
X
(m)
(u)
j ( m )uT 1uB( m )uT
lim e
2
m
juT 1 uBuT
定理2 n维正态随机向量序列的均方极限 仍是n维正态随机向量．即
设X m
(
X (m) 1
,L
,
X
(m) n
)为一列n维正态随机向量,m=1,2,…
若l.i.m X m X ,即对每个 k 1, 2 m
, n,均有
l.i.m
m
X (m) k
Xk,
则X ( X1, X 2,L , X n )是n维正态随机向量．
因为
l.i.m
n
Xn
X ,由均方收敛性质得
(t)
lim
n
n
随机微分方程
Let function f(t) be given in [0,T], and Π
be a partition of the interval [0,T]:
0 t0 t1 tN T
the quadratic variation of f(t) is defined
by
Q f tk 1 f tk
^ ^ where tk k ,1 k N 1; 0;0 t2 , t1 T .
利用二项分布的性质，方差的定义
中心极限定理
For any random sequence
k
where the random variable X~ N(0,1),
above, when k Ri defined 1 R X, k
Sk (t ), t tk , 线性插值 S (t ) t t t t k k 1 S Sk , tk t tt k 1. k 1
随机游动的分布
Let T=1,N=4,Δ=1/4,
S 0,
0
1, head Ri ( ) , (i 1, 2, ) 1, down
are independent. 0 t1 t2
tn ,
2：随机积分
需要指出的是用布朗运动刻画的粒子运
动的每一条轨线是连续的，但不可导。 高等数学中的积分定义是通过： （1）分割（2）近似（3）求和（4）取 极限
Definition of Quadratic Variation（二次变差）
S1 1/ 4 R1 1/ 2,1/ 2 ,
S2 1/ 4( R1 R2 ) 1, 0,1 ,
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t
d d , s , t t0
也可以解下列普通微分方程得到
RX ( s, t ) a(t ) RX ( s, t ) RXY ( s, t ) t R ( s, t ) E[ X ( s)X ] 0 0 X RXY ( s, t ) a( s)RXY ( s, t ) RY ( s, t ) s R (t , t ) E[ X 0Y (t )] XY 0
s
t
t0 t0tຫໍສະໝຸດ sa ( u )du )
t
t0
E[ X 0Y ( )]e
a ( u ) du
t
t
d
a ( u )du
t
t0
a ( u )du E[ X 0 Y ( )]e d
s
t0
t
t0
RY ( , ) e
s
a ( u )du
a ( u ) du
CX (s, t ) RX (s, t ) mX (s)mX (t ) 2 , s, t 0
DX (t ) CX (t, t ) 2 , t 0
六 正态过程的随机分析
正态过程是一种重要的二阶矩过程. 内容:
1.正态随机变量序列(正态过程)的均方极限
2.均方可导的正态过程性质
t
a(t ) X (t ) Y (t )
即 X (t ) a(t ) X (t ) Y (t )
注意 一阶线性微分方程（1）的解X(t)仍然是S.P. 利用X(t)的表达式可以得到其数字特征.即
mX (t )=E[ X (t )] E[ X 0 e
t0 a (u ) du
t
t
t0
a ( u ) du ) s Y ( s) e ds]
t
RX (s, t ) E[ X (s)X (t )]
定理 一阶线性微分方程（1）的解的均值函数 和相关函数为
mX (t ) ( EX 0 ) e
t0
t
a ( u ) du
t
t0
a ( u ) du s mY ( s) e ds, t 0
n
E[ X ] 2 D[ X ]
1 22 jt n n t 2 1 jt 2t 2 2
因为 l.i.m X n X ,由均方收敛性质得
(t ) lim n (t ) lim e
n n
=e
所以X是正态随机变量
说明 以上定理中,若Xn为一族随机变量也成立.即 推论 若{X(t).t∈T}为一族正态随机变量,且
其中mX (t ), CX (s, t )分别是均值函数和协方差函数．
证明 设a t0 t1
tn b是[a, b]的任一划分,对于每一tk ,
(k =1,2, ,n)a s0 s1
snk t k 是[a, tk ]的任一划分,
1k nk
令k max sl( k ) , max k .对ul( k ) [sl 1 , sl ],
有解，其解为
X (t ) X 0 e
t0 a (u ) du
t
t
t0
a ( u ) du s Y ( s) e ds
t
X (t ) a(t ) X 0 e
t0
t
a ( u ) du
a ( u ) du s ( Y ( s) e ds) t t0
t
a(t ) X 0 e a(t ) X 0 e
a(t ) X 0 e
t0 a (u ) du
t
t
( Y (s) e
t0
t
t0 a (u ) du t0 a (u ) du
t
s
t
s
ds) ds)
ds
t0 a (u ) du
t0 a (u ) du
t
(e
t0 a (u ) du
t
t
Y ( s) e
（m） lim B =B
( m) ( m) 其中 ( m) EX ( m) (1( m) , 2 ,..., n )
( m) B( m) (cov( X i( m) , X i( m) ))nn (ij )nn
EX ( 1, 2 ,..., n )
B (cov( X , X )) ( ij )nn
3.正态过程的均方不定积分性质
定理1 正态随机变量序列的均方极限仍是正态随机变量 .
即若 { X n , n 1}为正态随机变量序列，且 l.i.m X n X , 则X是正态随机变量．
n
证明 记 n (t ) E[e jtX n ], (t ) E[e jtX ]
n E[ X n ], n 2 D[ X n ],
则X ( X1 , X 2 ,
, X n )是n维正态随机向量．
证 设X(m) (u),X (u)分别是X（m） 和X的特征函数
由 l.i.m X m X , 得
m
lim
m
m （m） k
k
m m
m） lim （ ij = ij
（m） 因此 lim
试求 此微分方程的解,解的均值函数,相关函数以及 一维概率密度函数 解
mX (t ) 0，RX (s, t ) 2ea( st ) , s, t 0 所以X (t ) N (0, 2e2at ),即解{X (t ), t 0}一维概率密度为
f (t; x) 1 2 e
n 1, t1, t2 ,
, tn T ,以下2n维向量是正态r.v.
, X (tn ), X (tn t ))
( X (t1 ), X (t1 t ), X (t2 ), X (t2 t ),
X (t1 t ) X (t1 ) X (t2 t ) X (t2 ) ( , , t t
X (tn t ) X (tn ) , ) t
( X (t1 ), X (t1 t ), X (t2 ), X (t2 t ),
1 t 1 t 0 0 0 0 0 0 1 t 1 t 0 0 0 0 0 1 t 1 t 2 n n 0
,n
所以导数过程是正态过程.
再利用导数过程的数字特征与原过程数字特征的关系得
(t1 , , tn ; u1 , , un ) exp[ j uk m X (tk )
k 1
n
1 n n 2 uk ul C X (tk , tl )] 2 k 1 l 1 st
定理4 设{X (t ), t [a, b]}为一均方连续的正态过程，
at
由公式解为 X (t ) X 0eat , t 0
e
x2 2 2 e2 at
,t 0
2. 求解下列随机微分方程，并求其解的数字特征
X (t ) gt , t 0 X (0) X 0
其中g是常数. 解
X 0 ~ N (0, 2 ).
t
1 2 由公式解为 X (t ) X 0 0 gsds X 0 gt , t 0 2 1 2 1 2 mX (t ) gt , t 0 RX ( s, t ) ( gst ) 2 s, t 0 2 4
l.i.m X (t ) X ,
t t0
则X是正态随机变量．
定理2 n维正态随机向量序列的均方极限
仍是n维正态随机向量．即
设X m ( X1(m) ,
( m) , Xn )为一列n维正态随机向量,m=1,2,…
若 l.i.m X m X ,即对每个 k 1, 2 , n,均有 l.i.m X k( m ) X k , m m
五 均方随机微分方程
在许多科学领域中,存在大量的随机微分方程问题.
如: 随机干扰下的控制问题
通讯技术中的滤波问题……
要解决相关的问题,必须研究和求解随机微分方程.
定理 设二阶矩过程{Y (t ), t t0} 均方连续，a(t)是 普通函数，X0是二阶矩变量，则一阶线性随机 微分方程
X (t ) a(t ) X (t ) Y (t ), t t0 X (t0 ) X 0 (1)
则 X ( m ) (u ) e
m
1 j ( m ) uT uB( m )uT 2
X (u) lim X ( m ) (u)
lim e
m
j
( m ) uT
1 uB ( m )uT 2
e
1 j uT uBuT 2
X 是n维正态随机变量.
推论 若{X1 (t ),
则 l.i.m X (ul( k ) )sl( k ) Y (tk ), k 1, 2,
t 0 l 1
nk
,n
又因为{X(t).t∈[a,b]}为一正态过程,所以
(1) ( X (u1(1) ), X (u2 ) (1) , X (un ), 1 (n) , X (u1( n ) ), X (u2 ), ( n) , X (un ))
t t0
, X n (t ), t T } 为一族n维正态随机向量，
, n, 则X ( X1 ,
且 l.i.m X k (t ) X k , k 1,
, Xn )
是n维正态随机向量．
定理３设{X(t).t∈T}为一正态过程,若对任意的t∈T,