数学建模随机微分方程法
数学建模的主要建模方法
数学建模的主要建模方法数学建模是指运用数学方法和技巧对复杂的实际问题进行抽象、建模、分析和求解的过程。
它是解决实际问题的一个重要工具，在科学研究、工程技术和决策管理等领域都有广泛的应用。
数学建模的主要建模方法包括数理统计法、最优化方法、方程模型法、概率论方法、图论方法等。
下面将分别介绍这些主要建模方法。
1.数理统计法：数理统计法是基于现有的数据进行概率分布的估计和参数的推断，以及对未知数据的预测。
它适用于对大量数据进行分析和归纳，提取有用的信息。
数理统计法可以通过描述统计和推断统计两种方式实现。
描述统计主要是对数据进行可视化和总结，如通过绘制直方图、散点图等图形来展示数据的分布特征；推断统计则采用统计模型对数据进行拟合，进行参数估计和假设检验等。
2.最优化方法：最优化方法是研究如何在给定的约束条件下找到一个最优解或近似最优解的方法。
它可以用来寻找最大值、最小值、使一些目标函数最优等问题。
最优化方法包括线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划等方法。
这些方法可以通过建立数学模型来描述问题，并通过优化算法进行求解。
3.方程模型法：方程模型法是通过建立数学方程或函数来描述问题，并利用方程求解的方法进行求解。
这种方法适用于可以用一些基本的方程来描述的问题。
方程模型法可以采用微分方程、代数方程、差分方程等不同类型的方程进行建模。
通过求解这些方程，可以得到问题的解析解或数值解。
4.概率论方法：概率论方法是通过概率模型来描述和分析不确定性问题。
它可以用来处理随机变量、随机过程和随机事件等问题。
概率论方法主要包括概率分布、随机变量、概率计算、条件概率和贝叶斯推理等内容。
利用概率论的方法，可以对问题进行建模和分析，从而得到相应的结论和决策。
5.图论方法：图论方法是研究图结构的数学理论和应用方法。
它通过把问题抽象成图，利用图的性质和算法来分析和求解问题。
图论方法主要包括图的遍历、最短路径、最小生成树、网络流等内容。
随机微分方程求解
随机微分方程求解随机微分方程（RandomDifferentialEquations）是一类重要的数学方程，可以用来描述现实世界中复杂的动力系统及随机驱动的物理系统。
该方程可以广泛用于描述金融市场、海洋系统、生物系统、社会及经济系统等领域的复杂性。
因此，随机微分方程的求解十分重要。
本文将详细介绍随机微分方程求解的方法和步骤。
首先，我们需要了解随机微分方程的定义。
随机微分方程是一种连续不断变化的动力系统，它用来描述随时间变化的系统性质和活动。
其次，我们需要研究随机微分方程的结构。
它是一种传递函数方程，由延迟、偏微分和随机部分组成。
其中，延迟表示系统状态对历史影响的程度，而偏微分表示系统状态的变化率，随机部分表示其他外部因素的影响。
然后，接下来就是根据随机微分方程的结构，求解该方程的结果。
首先，我们需要根据延迟和偏微分项构造含有时间变量的传递函数。
接着，要计算出响应函数，以确定系统在不同时间点的状态。
最后，我们需要根据传递函数和响应函数求解该随机微分方程，从而得出最终的结果。
在求解随机微分方程时，要运用到一些数学知识，包括微积分、线性系统理论、概率论及数值方法等。
这些数学知识和工具可以帮助我们构建出准确的模型，从而更准确地预测随机微分方程的解。
最后，我们可以使用一些数值方法解决随机微分方程。
常用的数值方法有有限差分法、有限元法和有限元积分法等。
这些数值方法可以用来解决复杂的随机微分方程，并得出准确的结果。
以上就是随机微分方程求解的方法及步骤，可以作为学术研究和实际应用的基础和指南。
此外，为了更好地解决随机微分方程，还需要不断完善数学建模的方法，使其能够更加准确地捕捉现实世界的复杂性。
数学建模十大经典算法( 数学建模必备资料)
建模十大经典算法1、蒙特卡罗算法。
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时通过模拟可以来检验自己模型的正确性。
2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。
3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题。
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo、MATLAB软件实现。
4、图论算法。
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。
5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中。
6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法。
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。
7、网格算法和穷举法。
网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。
8、一些连续离散化方法。
很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。
9、数值分析算法。
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
10、图象处理算法。
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理。
历年全国数学建模试题及解法赛题解法93A非线性交调的频率设计拟合、规划93B足球队排名图论、层次分析、整数规划94A逢山开路图论、插值、动态规划94B锁具装箱问题图论、组合数学95A飞行管理问题非线性规划、线性规划95B天车与冶炼炉的作业调度动态规划、排队论、图论96A最优捕鱼策略微分方程、优化96B节水洗衣机非线性规划97A零件的参数设计非线性规划97B截断切割的最优排列随机模拟、图论98A一类投资组合问题多目标优化、非线性规划98B灾情巡视的最佳路线图论、组合优化99A自动化车床管理随机优化、计算机模拟99B钻井布局0-1规划、图论00A DNA序列分类模式识别、Fisher判别、人工神经网络00B钢管订购和运输组合优化、运输问题01A血管三维重建曲线拟合、曲面重建01B 公交车调度问题多目标规划02A车灯线光源的优化非线性规划02B彩票问题单目标决策03A SARS的传播微分方程、差分方程03B 露天矿生产的车辆安排整数规划、运输问题04A奥运会临时超市网点设计统计分析、数据处理、优化04B电力市场的输电阻塞管理数据拟合、优化05A长江水质的评价和预测预测评价、数据处理05B DVD在线租赁随机规划、整数规划06A 出版资源配置06B 艾滋病疗法的评价及疗效的预测 07A 中国人口增长预测 07B 乘公交，看奥运 多目标规划 数据处理 图论 08A 数码相机定位 08B 高等教育学费标准探讨09A 制动器试验台的控制方法分析 09B 眼科病床的合理安排 动态规划 10A 10B赛题发展的特点：1.对选手的计算机能力提出了更高的要求：赛题的解决依赖计算机，题目的数据较多，手工计算不能完成，如03B ，某些问题需要使用计算机软件，01A 。
高三数学建模知识点梳理
高三数学建模知识点梳理数学建模是一项将现实世界中的问题转化为数学模型，并通过数学方法进行求解和分析的技术。
对于高三学生来说，掌握数学建模的基本知识点对于提高数学素养和解决实际问题具有重要意义。
本文将对高三数学建模的知识点进行梳理，帮助大家更好地理解和应用。
1. 数学建模的基本概念1.1 什么是数学建模数学建模是一种模拟现实世界问题的方法，通过将实际问题抽象为数学模型，并用数学语言和符号进行表述，从而为问题的求解和分析提供一种数学框架。
1.2 数学建模的步骤数学建模的一般步骤包括：问题分析、假设与简化、模型的建立、模型的求解、模型的验证与改进、模型的应用。
2. 数学建模的方法与技巧2.1 建立模型的方法建立模型的方法主要有以下几种：（1）解析模型：通过数学公式和逻辑推理来描述系统的运行规律。
（2）数值模型：通过数值模拟和计算来近似描述系统的行为。
（3）统计模型：通过统计分析和概率论方法来描述系统的随机性。
（4）机器学习模型：通过训练数据和算法来发现数据的规律性。
2.2 模型的求解方法模型的求解方法主要有以下几种：（1）微分方程法：利用微分方程来描述系统的动态变化。
（2）代数方程法：利用代数方程来描述系统的静态关系。
（3）线性规划法：利用线性规划来求解优化问题。
（4）非线性规划法：利用非线性规划来求解优化问题。
（5）最优化方法：利用各种优化算法来求解最优化问题。
2.3 模型的验证与改进模型的验证与改进主要包括以下几个方面：（1）模型的一致性：确保模型与实际问题在数学表述上的一致性。
（2）模型的准确性：通过实验数据和实际应用来检验模型的准确性。
（3）模型的适应性：根据实际情况对模型进行调整和改进。
3. 数学建模的应用领域数学建模广泛应用于自然科学、社会科学、工程技术等各个领域，具体包括：（1）物理科学：如天体运动、量子力学、热力学等。
（2）生物科学：如遗传算法、神经网络、生态模型等。
（3）经济学：如市场预测、优化生产、经济博弈等。
数学建模 微分方程模型讲解
量在初始阶段的增长情况比较相符。
（2）由（3—19）式推得，t=0 时显然 x=0,这一结果自然与
事实不符。产生这一错误结果的原因在于我们假设产品是自然推
销的，然而，在最初产品还没卖出之时，按照自然推销的方式，
便不可能进行任何推销。事实上，厂家在产品销售之初，往往是
通过广告、宣传等各种方式来推销其产品的。
? 1. 新产品推销模型 ? 一种新产品问世，经营者自然要关心产
品的卖出情况。下面我们根据两种不同 的假设建立两种推销速度的模型。
模型 A 假设产品是以自然推销的方式卖出，换句话说，被卖出的产品
实际上起着宣传的作用， 吸引着未来购买的消费者。 设产品总数与时刻 t 的关
系为 x(t), 再假设每一产品在单位时间内平均吸引 k 个顾客，则 x(t) 满足微
样，从根本上解决了模型 A 的不足。 由（3—20）式易看出， dx ? 0 ，即 x(t) 是关于时刻 t 的单调增
dt
加函数，实际情况自然如此，产品的卖出量不可能越卖越少。另外，
对（3—20）式两端求导，得
d 2x dt 2
?
k(M
?
2 x)
dx dt
故令 d 2x
dt 2
?
0 ，得到 x(t0 ) ?
Nm N0
)e? n
易看出，当t→? 时，当Ｎ（t） →Ｎm。这个模型称为Logistic 模型，其结果 经过计算发现与实际情况比较吻合。上面所画的是 Logistic 模型的的图形。
你也可从这个图形中，观察到微分方程解的某些性态。
捕鱼问题
在鱼场中捕鱼，捕的鱼越多，所获得的经济效益越大。但捕捞的鱼过多，
根据上面的假设，我们建立模型
dS ? P ? A(t) ? ??1 ? S (t) ?? ? ? S(t )
数学建模,第三章-微分方程模型
8小时20分－2小时57分＝5小时23分
即死亡时间大约在下午5:23，因此张某不能被 排除在嫌疑犯之外。
理学院
3.2 目标跟踪模型
例1 饿狼追兔问题 黑 龙 现有一直兔子，一只狼，兔子位于狼的正西100米处，假 江 科 设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的 技 巢穴跑，而狼在追兔子，已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度 学 是兔子的2倍。兔子能否安全回到巢穴? 整理得到下述模型： 院 解：设狼的行走轨迹为y=f(x),则有：
理பைடு நூலகம்院
本章将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的 一般方法。在连续变量问题的研究中，微分方程是十分常 用的数学工具之一。
在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系 较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较 为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题，
黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模
数 学 建 模
B
60
2 2xf' ' x 1 f' x y' x 0 , y 0 100 x 100 解得狼的行走轨迹为： 100 0 100 (0,h) 0, f' f 假设在某一时刻，兔子跑到 处，而狼在 (x,y)处，则有：
理学院
y y0 g e
g
车间空气中CO2浓度y 与时间t的数学模型
黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模
3.4 学习模型
一般认为，对一项技术工作，开始学得较快，但随着学 得越来越多时，内容也越来越复杂，学员学得就会越来越慢。
员学习的速度，则随y的增长而下降。
dy 设y%表示已经掌握了这项工作的百分数， dt
数学建模知识点总结
数学建模知识点总结本文对数学建模的知识点进行总结，旨在帮助读者快速了解数学建模的核心概念和方法。
一、数学建模的基础知识1. 数学建模的定义：数学建模是通过数学方法解决实际问题的过程，包括问题的分析、建立数学模型、求解模型、结果的分析和验证等步骤。
2. 常用的数学模型：常见的数学模型包括线性模型、非线性模型、离散模型、连续模型等，不同类型的模型适用于不同的问题。
3. 数学建模的步骤：数学建模一般包括问题的形式化、模型的建立、模型的求解、模型的验证和结果的分析等步骤，每个步骤都需要仔细思考和合理选择方法。
二、数学建模的常用方法1. 数理统计方法：数理统计是数学建模中常用的方法之一，通过对问题数据的统计分析来获得问题的特征和规律，从而建立数学模型。
2. 最优化方法：最优化是数学建模中求解优化问题的常用方法，通过选择合适的优化目标函数和约束条件，求解出问题的最优解。
3. 微分方程方法：微分方程是数学建模中描述变化和关系的常用工具，通过建立微分方程模型，可以有效地描述问题的动态变化情况。
4. 图论方法：图论是数学建模中研究图结构和图算法的重要分支，通过构建问题的图模型，可以利用图论的方法解决相关问题。
5. 随机过程方法：随机过程是数学建模中研究随机事件发生的规律和模式的数学工具，通过建立随机过程模型，可以对问题进行概率分析和预测。
三、数学建模的案例应用1. 交通流量预测：通过建立交通流量模型，预测不同时间段和不同路段的交通流量，以便制定合理的交通管理策略。
2. 股票价格预测：通过建立股票价格模型，预测未来股票价格的变动趋势，为投资者提供参考和决策依据。
3. 环境污染控制：通过建立环境污染模型，分析污染源和传播规律，提出合理的环境保护措施和污染治理方案。
4. 生产优化调度：通过建立生产优化模型，分析生产过程中的瓶颈和制约因素，优化生产调度方案，提高生产效率。
5. 疾病传播模拟：通过建立疾病传播模型，分析疾病传播的潜在风险和影响因素，制定合理的防控措施。
数学建模中的差分方程与微分方程
数学建模是一门研究如何用数学方法解决实际问题的学科，它在现代科学、工程技术以及社会经济领域中扮演着重要的角色。
在数学建模的过程中，我们经常会遇到需要描述连续或离散变化的问题，而差分方程与微分方程则成为了解决这类问题的有力工具。
差分方程是描述离散变化的方程，它将一个变量与它在前一时刻或前几个时刻的取值联系起来。
在数学建模中，差分方程常常被用来描述离散的时间或空间变化，比如物种数量的变化、金融市场的波动等。
差分方程最简单的形式是递推式，它用一个前一时刻的变量的值来表示当前时刻的变量的值。
例如，一个典型的一阶差分方程可以写作：$x_{n+1}=f(x_n)$，其中$x_n$表示第$n$个时刻的变量的值，$f(x_n)$表示根据$x_n$计算出的$x_{n+1}$的函数。
通过递推式，我们可以得到变量在不同时刻的取值，进而研究它的变化规律。
微分方程是描述连续变化的方程，它涉及到变量对时间的导数或各个变量之间的关系。
微分方程在数学建模中的应用非常广泛，尤其在物理学、生物学等自然科学领域中经常被用来描述变化的物理现象。
微分方程的形式多种多样，比如一阶线性微分方程、二阶非线性微分方程等等。
一阶微分方程的一般形式可以写作：$\frac{dx}{dt}=f(x,t)$，其中$x$表示一个或多个变量，$t$表示时间，$f(x,t)$表示$x$和$t$的关系。
通过求解微分方程，我们可以得到变量随时间的变化规律，并进一步分析问题。
在实际问题中，差分方程与微分方程往往会相互呼应和融合，一些问题既可以用差分方程描述离散变化，也可以用微分方程描述连续变化。
这时，我们可以通过将差分方程转化为微分方程或将微分方程离散化为差分方程来求解问题。
例如，在人口增长的问题中，我们可以通过建立一个差分方程来描述每一年的人口数量，而利用微分方程的分析方法可以得到人口增长的长期行为。
又例如，在物理学中，连续介质的运动可以用微分方程描述，而粒子的运动可以用差分方程描述。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
t0.5 ,
ii) 一般化维纳过程 ( generalized wiener process )
在基本维纳过程的基础上, 还可以定义一个广义类型的维纳过程.
设随机变量 x 满足以下等式 : dx = a dt + b dz ( # )
其中 a 和 b 为常数 , 变量 z 遵循基本维纳过程 , 则称变量 x 遵循
一般化维纳过程.
从一般化维纳过程的定义式 ( # ) 可以看出, adt 项表明 x 是时间 t 的线性函数, 而 bdz 项可被看作是添加到 x 的变动轨迹上的噪声或 波动. 换言之 , 一个线性变化过程与一个基本维纳 ( 随机 ) 过程的 叠加结果便是一个一般化维纳 ( 随机 ) 过程.
如果变量 z 遵循 基本维纳过程 , 则 Δz 必须满足两个基本性质:
(a) z t (*) 其中ε是服从标准正态分布的一个随机变量 .
当
Δt
→0
时,
方程
(*)
可以写为
,
..
:
dz dt
(b) 对于任何两个不同时间间隔 Δt , Δz 的值是相互独立的.
从性质 (a) , 我们推得 Δz 本身具有正态分布, 其中 :
从而导致这种股票的价格当即上扬, 变成了每股20元， 结果这种所谓 已被 “察觉” 的一个月后必然获利机会瞬间就会消失 .
这说明上面的 “根据股票价格的历史发展情况可以推断出股票价格的
今后发展情况” 的 假定 是不成立的.
股票价格变化的这个性质被称为 “股价具有弱市场有效性 ” (the we
form of market efficiency).
因为 假定 根据过去一段时间内某种股票价格变化的情况, 可以判断 出 在未来的一段时间内, 例如在一个月后，这种股票将从现在价格
每股10元上涨到每股15元左右. 由于一个成熟的市场上, 所有的信息在市场上都能有效地 ( 均匀、同 时地 ) 传播, 这种股票价格变动的特征立即会被众多的投资者发现, 投资者第二天开市就会马上买入这种股票, 对这种股票的需求也会 立即增加,
过程表明只有变量的当前值与未来的预测有关, 而变量过去的历史 和变量从过去到现在的演变方式与未来的预测不相关. 或者说, 随机 变量过去的取值与今后的取值是相互独立的.
因此 ,在建立股票价格的数学模型时,通常的假设是: 股票价格遵循 马尔科夫过程 . 在以下提及的一个的实例中，我们可以看到，这样的
假设能经受实践的检验。
(2) 维纳 ( Wiener) 过程
i) 基本维纳过程
在马尔科夫随机过程的数学研究中,有一种特殊的马尔科夫过程,它
被称为 基本维纳过程 (wiener processes) .物理学中最早用它来描 绘某个粒子受到大量小分子碰撞的运动,有时它也被称为 布朗运动
(Brownian motion) .
Δz的均值 = E(z) E( t ) t E( ) t 0 0
Δz的方差 = D(z) D( t ) ( t )2 D( ) t 1 t
Δz的标准差 = D(z) t 性质 (b) 则隐含 z 遵循 马尔科夫过程 .
下面我们考虑在一段相当长的时间 T 中 z 值的变化量, 我们将它表示 为: z ( T ) – z ( 0 ) .
dz dt
对于维纳过程而言, 我们常称其随机变量在某个时刻的平均值为该 变量在该时刻的 “平均漂移”, 而称在单位时间处的平均漂移为该维 纳过程的漂移率 ; 同时还称此随机变量在单位时间处的方差值为该 维纳过程的方差.率. 上面讨论到的维纳过程, 其漂移率应是 0 , 方差 率应是 1 . 这里 , 漂移率为 0 , 意味着在未来任何时刻 , z 的期望值 等于它的当前值 ; 方差率为 1 , 意味着在长度为 T 的一段时间段后, z 的变化的方差为 1×T = T .
§13. 常见的数学建模方法(8) ---- 随机微分方程法
实例: 股票价格模型 1. 股票价格的随机变化过程
(1) 股票价格的马尔科夫性质
在实际经济生活中, 投资者都非常密切地注视着股票市场的变化,
总想试图通过各种各样的分析, 从股票市场的变化中寻找有用的信息
而从中获利.
但事实上, 这是不可能的 !
漂移率为 0、方差率为 1 的维纳过程,我们常称之为 基本维纳过 程. 生成 基本维纳过程 的 Mathematica 软件程序可以写为：
t 0.01; z 1 10; Do
N zi 1 z i Random Real, 10, 10 i, 1, 100 ;
a Table z i , i, 1, 100 ; ListPlot a, PlotJoined True,
弱市场有效性 主要是有两点内涵:
其一, 现在的价格是过去所有信息的完全反映, 没有任何信息的作用 会持续到以后 ;
其二, 对于某种资产的任何新信息,市场会立即作出反映.
从数学上来说, 这是一种称之为马尔科夫随机过程 所具有的性质.
马尔科夫过程 (Markov process) 是一种特殊类型的随机过程. 这个
N
i1
N i1
i 1
t D(i ) t = N Δt = T ,
i 1
i 1
因此, , 遵循维纳过程的随机变量 , 在任意长度为 T 的时间间隔内的
变化量服从于均值为 0、标准差为 T 的正态分布 .
当 Δt →0时, 体现维纳过程性质 (a) 的方程 (*) 可以写为 :
这可以被看作是在 N 个长度为 Δt 的小时间间隔中 z 的变化总量. 这里 N = T /Δt .
N
N
因此 , z ( T ) – z ( 0 ) = zi i t
i1
i1
其中 εi 服从标准正态分布, 且是相互独立的.
由此可得 z ( T ) – z ( 0 ) 是正态分布的,T) – z(0)] 的均值 = E( zi ) E( i t ) E(i t )
i1
i1
i1
N
t E( ) 0 i
i 1
N
N
N
[z(T) – z(0)] 的方差 = D( zi ) D(i t ) D(i t )