数学模型 微 分 方 程
微分方程模型(全)
第四步：了解问题中所涉及的原则或物理定律。
第五步：依据 第二、第三、第四步 建立微分 方程。 还有已知的对应某个 t 的 y 的值（可 能还有 y 的导数的值）就是求解微分方程所 需要的初始值。
第六步：求微分方程的解并给出问题的答案。 下面我们从易到难给出微分方程模型之应 用案例
例1 火车启动
例 1：火车启动
y ce .
kt
(2)
y( 24) 400.
初始值:
y(0) 100,
代入（2）求得: 因此:
c 100, k (ln 4) / 24.
t ln 4 / 24
y 100e
.
我们要求的是:
y(12) 100e
(12 / 24) ln 溶液浓度
如果有一个实际问题，要找一个量 y ， 与另一个量 t（时间或其他变量）的关系， 这种关系涉及量 y 在每个 t 时的瞬时变化率， 而且这个瞬时变化率与量 y 与 t 的关系可以 确定，那么这样的问题通常可以通过微分 方程来解决。 利用微分方程解决这样的问题的一般 步骤如下： （分为六步）
第一步:
题目：一列火车从静止开始启动，均匀地加速，
五分钟时速度达到 300 千米。问：这段时间内 该火车行进了多少路程？
例1 火车启动
解 这个问题相对比较简单，问题与“加速”、 “速度”有关，所以与导数有关； 涉及的量为： “时间”（小时），“路程”（千米），“速 度”（千米/小时），“加速度”（常数 a ）;
例2 细菌增长
解 这个问题也比较简单。 问题与“增长率”有关，所以与导数有关；
涉及的量为： “时间”（小时），“细菌总数”（个）， “速度”（个/小时）; 有（待定）函数关系的两个量定为： 细菌总数 y ，时间 t ； 涉及的原则或物理定律： 导数＝增长率.
微分方程(组)模型
③
(2) 方程③是一阶线性微分方程，通解为②当n>0时，有特解y=0.
求微分方程（组）的解析解命令: dsolve(‘方程1’, ‘方程2’,…‘方程n’, ‘初始条件’, ‘自 变量’) 符号说明：在表达微分方程时，用字母D表示求微分， D2、D3等表示求2阶、3阶等微分。任何D后所跟的 字母为因变量，自变量可以指定或由系统规则选定为 确省。 d2y
方法：
• 规律分析法：根据相关学科的定理或定律、规律（这些涉及 到某些函数变化率）建立微分方程模型，如曲线的切线性质. • 微元分析法:应用一些已知规律和定律寻求微元之间的关系式. • 近似模拟法：在社会科学、生物学、医学、经济学等学科的 实际问题中，许多现象的规律性不清楚，常常用近似模拟的 方法建立微分方程模型.
4.符号说明
• • • • • • • a---某人每天在食物中摄取的热量 b---某人每天用于新陈代谢（及自动消耗）的热量 α ---某人每天从事工作、生活每千克体重必需消耗的热量 β---某人每天从事体育锻炼每千克体重消耗的热量 w---体重(单位：千克) w0---体重的初始值 t---时间（单位：天）
若Q(x)≡0,则称为一阶线性齐次方程，一阶线性微分方程通解为 P ( x ) dx P ( x ) dx ② y ( x) e ( Q( x)e dx C )
从而可得
dz (1 n) P ( x) z (1 n)Q ( x) dx
dz dy (1 n) y n dx dx
一、微分方程模型 二、微分方程的数学形式 三、微分方程（组）的MATLAB解法 四、减肥的数学模型 五、人口增长数学模型 六、兰彻斯特（Lanchester）作战模型 七、硫磺岛战役案例
微分方程模型
6.1 微分方程模型的建模步骤 6.2 作战模型
6.3 传染病模型 习题
6.1 微分方程模型的建模步骤
例1 某人的食量是10467焦/天，其中5038焦/天用于基本的新
陈代谢（即自动消耗）。在健身训练中，他每天大约每千克
体重消耗69焦的热量。 假设以脂肪形式贮藏的热量100%地有效，而1千克脂肪含 热量41868焦，试研究此人的体重随时间变化的规律。
模型分析
甲乙两支部队互相交战，在整个战争期间，双方的兵力 在不断发生变化，而影响兵力变化的诸多因素转化为数量非 常困难。为此，我们作如下假定把问题简化。
模型假设
1. x(t) , y(t) 表示甲乙双方在时刻 t 的人数， x(0)=x0 ,y(0)=y0 表示甲乙双方开战时的人数，x0 > 0, y0 >0； 2.设x(t) , y(t)是连续变化的，并且充分光滑； 3.每一方的战斗减员率取决于双方的兵力，不妨以f(x,y) ,
投入多大的初始兵力。不妨设 100 x0
S 活动区域 x 0.1
p， 0.1 rx， x
ry 2
， 平
平方千米，乙方射击的有效面积 1 sy
y0 2 0.1 0.1 106 100 x 2 1 100 0
2
方米，则可得乙方获胜的条件为：
a
时甲方兵力
降为“零”，从而乙方获胜。同理可知，K 0
甲方获胜。而当 K 0 时，双方战平。 2 2 甲方获胜的充要条件为 bx0 ay0 0
时，
代入a 、b 的值，有甲方获胜的充要条件为
2 2 rx p x x 0 r y p y y 0
故可找到一个用于正规作战部队的综合战斗力的评价函数：
微分方程模型方法
物理现象模型
总结词
物理现象模型是利用微分方程来描述物理现象的动态变化过程，如力学、电磁学、光学 等。
详细描述
物理现象模型可以帮助科学家深入理解物理现象的本质和规律，预测新现象和新技术的 发展。例如，通过建立微分方程来描述电磁波的传播过程，可以研究电磁波的传播规律
和特性。
05 微分方程模型的发展趋势 与挑战
人口动态模型
总结词
人口动态模型是利用微分方程来描述人 口数量随时间变化的规律，预测未来人 口规模和结构。
VS
详细描述
人口动态模型可以用来研究人口增长、出 生率、死亡率、迁移率等指标的变化趋势 ，为政策制定者提供依据，以制定合理的 计划生育政策。例如，Logistic模型是一 种常用的人口动态模型，通过建立微分方 程来描述人口数量的增长规律。
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数学软件
选择适合的数学软件，如MATLAB、 Python等，以便进行模型建立和求解。
建立微分方程模型
模型类型
根据问题类型和目标，选择合适的微分方程模型类型，如常微分方程、偏微分方 程等。
参数估计
根据收集到的数据和信息，估计模型中的参数，使模型能够更好地描述实际问题 。
03 微分方程模型的求解方法
确定研究范围
根据问题与目标，确定研究的范围和 边界条件，为建立模型提供基础。
收集数据与信息
数据来源
根据研究问题，确定合适的数据来源，如实验数据、观测数据、历史数据等。
数据处理
对收集到的数据进行预处理，包括数据清洗、缺失值处理、异常值剔除等，以 确保数据质量。
选择合适的数学工具
数学基础
根据问题类型和目标，选择合适的数 学基础，如线性代数、微积分、常微 分方程等。
第四章 微分方程数学模型
3)、若s0
1
, 则i(t )先增加，当 s
1
1
时，i(t )达到最大
im 1
(1 ln s0 ), 然后减小趋于0, s(t ) s
若s0
1
, 则i(t )单调趋于0，(i)单调趋于s s
i0
i0
1
i
1
i
1
O
1
1
1
t
i0
O
t
O
t
1 1 i ( ) 0 1
1 1
1 ~ 阈值
1 i (t )
感染期内有效接触感染的 i0小 i(t )按S曲线增长 健康人数不超过病人数
直接求解方程，亦可得到上述结果
di i (1 i ) i dt i (0) i0
时
i0 i (t ) i0 t 1
1
时
1 ( ) t e i(t ) i 0
x s0
i0小， 0 1 s
x x ln(1 ) 0 s0 1
x x2 x ( 2)0 s0 2 s 0 1
x 2s0 ( s0
1
)
令 s0 1 , 又 较小, s0 1)
x 2
模型检验 医疗机构一般依据r(t)来统计疾病的波及人数 ，从广 义上理解，r(t)为t时刻已就医而被隔离的人数，是康 复还是死亡对模型并无影响。
代数方程组 f ( x, y ) 0, g ( x, y ) 0. 的实根x = x0, y = y0称为方程(4-3)的平衡点, 记作P0 (x0, y0). 它也是方程(4-3)的解.
微分方程(模型)
dx 2 或 x 0.03 dt 100 t 这是一阶线性非齐次方程，且有初值条件 x(0) 10,；利用8.3节的公式（5），可得此 C 方程的通解：x (t ) 0.01(100 t ) (100 t ) 2 有初值条件可得C 9 10 4，所以容器内含盐 量x随时间t的变化规律为 9 10 4 x 0.01(100 t ) 2 (100 t )
微分方程模型
重庆邮电大学
数理学院
引言
微分方程模型
当我们描述实际对象的某些特性随时间（空 间）而演变的过程、分析它的变化规律、预测它 的未来形态、研究它的控制手段时。通常要建立 对象的动态模型。
在研究某些实际问题时，经常无法直接得 到各变量之间的联系，问题的特性往往会给出关 于变化率的一些关系。利用这些关系，我们可以 建立相应的微分方程模型。在自然界以及工程技 术领域中，微分方程模型是大量存在的。它甚至 可以渗透到人口问题以及商业预测等领域中去， 其影响是广泛的。
四. 悬链线方程问题
将一均匀柔软的绳索两端固定，使之仅受重力的作 用而下垂，求该绳索在平衡状态下的曲线方程（铁塔 之间悬挂的高压电缆的形状就是这样的曲线）。 解 以绳索所在的平面为xoy 平面，设绳索最低点 为y轴上的P点，如图8－1所示。考察绳索上从点p到 l 另一点Q(x,y)的一段弧 PQ ，该段弧长为 ，绳索线密 度为 l ,则这段绳索所受重力为gl 。由于绳索是软 的，
y x 2 2.
微分方程的几个应用实例
许多实际问题的解决归结为寻找变量间的函数关 系。但在很多情况下，函数关系不能直接找到，而只 能间接的得到这些量及其导数之间的关系，从而使得 微分方程在众多领域都有非常重要的应用。本节只举 几个实例来说明微分方程的应用。进一步的介绍见第 十章。 一. 嫌疑犯问题
微分方程模型介绍
微分方程模型介绍在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型。
微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。
求解微分方程有三种方法：1）求解析解；2）求数值解（近似解）；3）定性理论方法。
建立微分方程模型的方法：1）利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。
2）微元分析法利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律3）模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。
下面我们以生态学模型为例介绍微分方程模型的建立过程： 一. 单种群模型1. 马尔萨斯(Malthus)模型假定只有一个种群，()N t 表示t 时刻生物总数，r 表示出生率，0t 表示初始时刻，则生物总数增长的数学模型为()()()00d ,d (1)t t N t rN t t N t N =⎧=⎪⎨⎪=⎩不难得到其解为()0()0r t t N t N e-=.2. 密度制约模型由马尔萨斯模型知，种群总数将以几何级数增长，显然与实际不符，因为种群密度增大时，由于食物有限，生物将产生竞争，或因为传染病不再按照增长率r 增长，因而有必要修改，在(1)式右端增加一项竞争项。
()()()d (1)(2)d N t N t rN t tK=-其中K 为最大容纳量，可以看出当()N t K =时，种群的规模不再增大。
这个模型就是著名的Logistic 模型，可以给出如下解释：由于资源最多仅能维持K 个个体，故每个个体平均需要的资源为总资源的1K，在t 时刻个体共消耗了总资源的()N t K此时资源剩余()1N t K-，因此Logistic 模型表明：种群规模的相对增长率与当时所剩余的资源份量成正比，这种种群密度对种群规模增长的抑制作用。
数学建模微分方程模型
我国是世界第一人口大国，地球上每九 个人中就有二个中国人，在20世纪的一段 时间内我国人口的增长速度过快，如下表：
年 1908 1933 4.7 1953 6.0 1964 7.2 1982 10.3 1990 11.3 2000 12.95
人口（亿）3.0
有效地控制人口的增长，不仅是使我国全面进 入小康社会、到21世纪中叶建成富强民主文明的社 会主义国家的需要，而且对于全人类社会的美好理 想来说，也是我们义不容辞的责任。
1.人口模型
问题的提出 假设和定义 模型的建立 分析和求解 结论和讨论
1 问题的提出
人口问题是当今世界上最令人关注的问题之一， 一些发展中国家的人口出生率过高，越来越威胁着 人类的正常生活，有些发达国家的自然增长率趋于 零，甚至变为负数，造成劳动力紧缺，也是不容忽 视的问题。另外，在科学技术和生产力飞速发展的 推动下，世界人口以空前的规模增长，统计数据显 示：
模型的缺点
缺点：当t→∞时，I(t) → n，这表示所有的人最
终都将成为病人，这一点与实际情况不 符合
原因：这是由假设〔1)所导致，没有考虑病人可
以治愈及病人病发身亡的情况。 思考题：考虑有病人病发身亡的情况，再对模型 进行修改。
模型三 有些传染病（如痢疾)愈后免疫力很低，还有可能再
次被传染而成为病人。 模型假设： （1）健康者和病人在总人数中所占的比例分别为s(t)、i(t)， 则： s(t)+i(t)＝1 （2）一个病人在单位时间内传染的人数与当时健康人数成 正比，比例系数为k （3）病人每天治愈的人数与病人总数成正比，比例系数为 μ(称日治愈率)，病人治愈后成为仍可被感染的健康者， 称1/ μ为传染病的平均传染期(如病人数保持10人，每 天治愈2人， μ ＝1/5，则每位病人平均生病时间为 1/ μ ＝5天)。
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数学模型 13.人体注射葡萄糖溶液时，血液中葡萄糖浓度g(t)的增长率与注射速率r 成正比，与人体血液容积v 成反比，而由于人体组织的吸收作用，g(t)的减少率与g(t)本身成正比。
分别在以下几种假设下建立模型，并讨论稳定情况。
（1）人体血液容积v 不变。
（2）v 随着注入溶液而增加。
（3）由于排泄等因素v 的 增加有极限值
解：模型假设：
本模型中主要符号说明为：
葡萄糖浓度g(t)
注射速率r
人体血液容积v
基本模型为：
g k V
r k dt dg 21-= (1k ,02>k ,常数) ⑴ (1)V 为常数时，平衡点V k r k g 210=
稳定。
如果以g 为横轴、
dt dg 为纵轴作出方程的图形（图1），可以分析葡萄糖浓度增长速度dt
dg 随着g 的增加而变化的情况，从而大概地看出g(t)的变化规律。
令2.01=k ，5.02=k ,利用Mathematica 在操作窗口中输入以下代码命令： Plot[0.2/100-0.5g,{g,0,100},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0]}]
得到：
图1
dt
dg ～g 曲线 再利用matlab 在操作窗口中输入以下代码命令：
g=dsolve('Dg=k1*r/v-k2*g','g(0)=g0','t')
其解为
g =k1*r/v/k2+exp(-k2*t)*(-k1*r+g0*v*k2)/v/k2
整理得到：
2
20112)(vk vk g r k e v r k t g t
k +-+=- ⑵ 令2.01=k ，5.02=k ，利用Mathematica 在操作窗口中输入以下代码命令： Plot[0.2/100+Exp[-0.5t],{t,0,100},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0]}]
得到：
图2 g ～t 曲线
由图可以知道它在平衡点V k r k g 210=
稳定。
(2)不妨设
β=dt
dV （0>β，常数） ⑶ 方程⑴，⑵不存在平衡点。
若由⑵解出t V t V β+=0)(代入⑴，得到 g k t
V r k dt dg 201-+=β ⑷ 则⑷不能是自治方程。
因为平衡点及稳定性的概念只是对自治方程而言才有意义，而⑷不能是自治方程，所以不能考虑它的稳定性。
(3)不妨设
V ）（V dt
dV -=1μ （0>μ，常数） ⑸ 如果以V 为横轴、dt
dV 为纵轴作出方程的图形（图3），可以分析人体血液容积V 增长速度dt
dV 随着V 的增加而变化的情况，从而大概地看出V(t)的变化规
律。
令5.0=u ，20001=V ,利用Mathematica 在操作窗口中输入以下代码命令： Plot[0.5(2000-v),{v,0,2000},PlotStyle->{RGBColor[0,1,0]}]
得到：
图3
dt
dV ～V 曲线 再利用matlab 在操作窗口中输入以下代码命令：
v=dsolve('Dv=u*(v1-v)','v(0)=v0','t')
得到：
v =v1+exp(-u*t)*(-v1+v0)
整理得到： t e V V V t V μ---=)()(011 ⑹
令5.0=u ，20001=V ,，利用Mathematica 在操作窗口中输入以下代码命令： Plot[2000-Exp[-0.5t](2000-1000),{t,0,100},PlotStyle->{RGBColor[0,1,0]}] 得到：
图4 V ～t 曲线
由图可以知道它在平衡点1V V =稳定.
方程⑴，⑸存在平衡点：),(),(1121**V V k r k V g =，它是稳定的，若由⑸解出t e V V V t V μ---=)()(011代入⑴，得到：
g k e
V V V r k dt dg ut 20111)(---=- ⑺ 则⑺不能是自治方程，所以不能考虑它的稳定性。