车辆路径问题
车辆路径问题
车辆路径问题一、车辆路径问题描述和建模 1. 车辆路径问题车辆路径问题（Vehicle Routing Problem, VRP）,主要研究满足约束条件的最优车辆使用方案以及最优化车辆路径方案。
定义：设G={V,E}是一个完备的无向图，其中V={0,1,2…n}为节点集，其中0表示车场。
V,={1,2,…n}表示顾客点集。
A={(i,j),I,j∈V,i≠j}为边集。
一对具有相同装载能力Q的车辆从车场点对顾客点进行配送服务。
每个顾客点有一个固定的需求qi和固定的服务时间δi。
每条边（i,j）赋有一个权重，表示旅行距离或者旅行费用cij。
标准车辆路径问题的优化目标为：确定一个具有最小车辆数和对应的最小旅行距离或者费用的路线集，其满足下列约束条件：⑴每一条车辆路线开始于车场点，并且于车场点约束；⑵每个顾客点仅能被一辆车服务一次⑶每一条车辆路线总的顾客点的需求不超过车辆的装载能力Q⑷每一条车辆路线满足一定的边约束，比如持续时间约束和时间窗约束等。
2.标准车辆路径的数学模型:对于车辆路径问题定义如下的符号：cij：表示顾客点或者顾客点和车场之间的旅行费用等 dij：车辆路径问题中，两个节点间的空间距离。
Q：车辆的最大装载能力 di：顾客点i的需求。
δi：顾客点i的车辆服务时间m:服务车辆数，标准车辆路径问题中假设所有的车辆都是同型的。
R：车辆集，R={1,2….，m}Ri:车辆路线，Ri={0，i1,…im,0},i1,…im?V,,i?R。
一般车辆路径问题具有层次目标函数，最小化车辆数和最小化车辆旅行费用，在文献中一般以车辆数作为首要优化目标函数，在此基础上使得对应的车辆旅行费用最小，下面给出标准车辆路径问题的数学模型。
下面给出标准车辆路径问题的数学模型。
对于每一条弧（I,j）,定义如下变量:xijv=1 若车辆v从顾客i行驶到顾客点j0 否则yiv=1 顾客点i的需求由车辆v来完成0 否则mnnmminF x =M ni=1 i=1x0iv+ i=0 j=0 v=1xijv.cij (2.1)车辆路径问题的数学模型可以表述为：n, mv=1 i=0xijv≥1 ?j∈V (2.2)nni=0xipv? j=0xpjv=0 ?p∈V,v∈R (2.3) , mv=1yiv=1 ?i∈V (2.4) ni=1diyiv≤Q ?v∈R (2.5) ,yiv=ni=1xijv ?j∈V,v∈R (2.6)式中，F x 表示目标函数，M为一个无穷大的整数，通过在目标函数中引入参数M，能够保证算法在求解车辆路径问题时以车辆数为第一优化目标，以车辆旅行费用作为第二优化目标，也就是一个具有较少车辆数的解比一个具有较大车辆数但是较小车辆旅行距离的解好。
车辆路径问题的求解方法
车辆路径问题的求解方法
车辆路径问题是指在给定的地图或路网上，寻找一条最优路径或最短路径，使得车辆从起点到终点能够在最短时间或最小代价内到达目的地。
常见的车辆路径问题包括最短路问题、最小生成树问题、最优化路径问题等。
以下是常见的车辆路径问题的求解方法：
1. Dijkstra算法：Dijkstra算法是求解单源最短路径问题的经典算法，它通过不断更新起点到各个节点的最短距离来求解最短路径。
该算法适用于路网较小的情况。
2. Floyd算法：Floyd算法是一种求解任意两点间最短路径的算法，它通过动态规划的思想，逐步计算出任意两点之间的最短路径。
该算法适用于路网较大的情况。
3. A*算法：A*算法是一种启发式搜索算法，它通过估计每个节点到终点的距离，来选择最优的扩展节点。
该算法适用于需要考虑路况等因素的情况。
4. 蚁群算法：蚁群算法是一种模拟蚂蚁觅食行为的算法，它通过模拟蚂蚁在路径上的行走过程，来寻找最优路径。
该算法适用于需要考虑多个因素的情况。
5. 遗传算法：遗传算法是一种模拟生物进化过程的算法，它通过不断交叉、变异、选择等操作，来寻找最优解。
该算法适用于需要考虑多个因素的情况。
以上是常见的车辆路径问题的求解方法，不同的问题需要选择不同的算法来求解。
车辆路径规划问题研究综述
车辆路径规划问题研究综述车辆路径规划问题是指在特定条件下，对车辆的路线进行规划，以达到最优或最优化的目标。
它是一种典型的组合优化问题，涉及到多个领域，如计算机科学、数学、人工智能、交通运输、物流管理等。
研究这些问题的主要目的是为了解决一系列实际应用问题，如物流配送、智能交通管理、货车配送等。
本文将从路线规划问题的定义、算法、应用等方面进行综述。
一、定义车辆路径规划问题可以分为两大类：静态路径规划问题和动态路径规划问题。
静态路径规划问题是指在已知起点和终点的情况下，寻找一条最优路线，使得路线具有一定的性质或满足一定的限制条件。
这些限制条件可以是时间限制、路程限制、交通流限制、成本限制等。
常见算法如Dijkstra算法、A*算法、Floyd算法等。
而动态路径规划问题则是指车辆在运行过程中，需要实时调整路线，以适应环境变化或路况变化。
动态规划问题相对于静态规划问题而言，难度更大，需要更加复杂的算法来求解。
常见算法如遗传算法、模拟退火算法、福尔摩斯算法等。
二、算法1.贪心算法贪心算法是一种基于局部最优原则作出选择的策略。
该算法对于寻找单个最优解十分有效，但在寻找多个最优解或全局最优解时，可能会产生局部最优解而不是全局最优解的问题。
2.动态规划算法动态规划算法是一种可解决具有重叠子问题和最优子结构的问题的算法。
它以自底向上、递推的方式求解问题，具有高效、简单的特点。
该算法可以使我们更加深入地理解问题，在计算机视觉、自然语言处理等领域有广泛的应用。
3.遗传算法遗传算法是一种仿生优化算法，通过模拟进化的过程求解最优解。
在车辆路径规划问题中，该算法一般用于实现路线的优化，通过对种群的遗传进化，不断优化路线，达到最优化的目标。
4.强化学习算法强化学习算法是一种在不断试错过程中学习，以最大化预期收益的方法。
在车辆路径规划问题中，该算法可以用于实现车辆的自主控制和智能驾驶，根据环境变化或路况变化，快速做出反应和调整。
cvrp问题算例
CVRP（车辆路径问题）是一个经典的组合优化问题，旨在为一系列客户分配车辆，使得一定数量的车辆能够以最短的总成本满足所有客户的运输需求。
以下是一个简单的CVRP问题算例：
**问题描述**：
假设有一个物流公司需要在若干城市之间进行货物配送。
公司拥有一定数量的车辆，每辆车的载重量是有限的。
每个城市都有一定的货物需求，且每对城市之间的距离是已知的。
目标是找到一个车辆路径方案，使得所有车辆都能完成配送任务，且总成本最小。
**算例数据**：
* 数据集名称：A-n32-k5
* 最小用车量：5辆
* 最优解路径总长度：784
* 问题类型：CVRP
* 节点数（城市数量）：32
* 边的权重类型：2D欧几里得距离
* 车辆最大载重：100单位
* 节点坐标（部分示例）：1 8276, 2 9644, 3 505, 4 498 ...
**解决方案**：
解决CVRP问题的常见方法包括启发式算法、精确算法和元启发式算法。
对于大规模问题，元启发式算法（如遗传算法、模拟退火算法等）通常是最有效的选择。
**结论**：
通过使用合适的算法和数据结构，可以有效地解决CVRP问题，并找到最优或近似最优的车辆路径方案，从而降低运输成本并提高物流效率。
车辆路径问题的粒子群算法研究
车辆路径问题（Vehicle Routing Problem，简称VRP）是指在满足一定条件下，一批需要送货的客户，使得送货车辆的路线总长度最小或者送达所有客户的总成本最小的问题。
VRP的研究在物流管理、智能交通系统等领域具有重要意义。
粒子群算法（Particle Swarm Optimization，简称PSO）是一种优化算法，它模拟鸟群或鱼群中个体之间的信息共享和合作，通过群体中个体的协作来寻找最优解。
本文将探讨如何利用粒子群算法解决车辆路径问题，并对其研究进行深入分析。
一、车辆路径问题的基本概念1.1 车辆路径问题的定义车辆路径问题是指在满足一定条件下，一批需要送货的客户，使得送货车辆的路线总长度最小或者送达所有客户的总成本最小的问题。
该问题最早由Dantzig和Ramser于1959年提出，随后在实际应用中得到了广泛的关注和研究。
1.2 车辆路径问题的分类车辆路径问题根据不同的约束条件和优化目标可分为多种类型，常见的包括基本车辆路径问题、时间窗车辆路径问题、多车型车辆路径问题等。
1.3 车辆路径问题的解决方法针对不同类型的车辆路径问题，可以采用不同的解决方法，常见的包括启发式算法、精确算法、元启发式算法等。
其中，粒子群算法作为一种元启发式算法，在解决VRP问题中具有一定优势。
二、粒子群算法的基本原理2.1 粒子群算法的发展历程粒子群算法是由Kennedy和Eberhart于1995年提出的一种优化算法，其灵感来源于鸟群或鱼群中个体之间的信息共享和合作。
该算法通过模拟群体中个体的协作来寻找最优解，在解决多种优化问题方面具有良好的性能。
2.2 粒子群算法的基本原理粒子群算法模拟了鸟群或鱼群中个体之间的信息共享和合作过程，其中每个个体被称为粒子，它们以一定的速度在搜索空间中移动，并通过个体最优和群体最优来不断调整自身的位置和速度，最终找到最优解。
2.3 粒子群算法的应用领域粒子群算法在函数优化、特征选择、神经网络训练等领域都得到了广泛的应用，并在一定程度上取得了较好的效果。
车辆路径问题专题—VehicleRoutingProblem
Periodic VRP (PVRP)
• In classical VRPs, typically the planning period is a single day. In the case of the Period Vehicle Routing Problem (PVRP), the classical VRP is generalized by extending the planning period to M days. • We define the problem as follows: Objective: The objective is to minimize the vehicle fleet and the sum of travel time needed to supply all customers. Feasibility: A solution is feasible if all constraints of VRP are satisfied. Furthermore a vehicle may not return to the depot in the same day it departs. Over the M-day period, each customer must be visited at least once.
Capacitated VRP (CPRV)
• CVRP is a VRP in which a fixed fleet of delivery vehicles of uniform capacity must service known customer demands for a single commodity from a common depot at minimum transit cost. That is, CVRP is like VRP with the additional constraint that every vehicles must have uniform capacity of a single commodity. We can find below a formal description for the CVRP: • Objective: The objective is to minimize the vehicle fleet and the sum of travel time, and the total demand of commodities for each route may not exceed the capacity of the vehicle which serves that route. • Feasibility: A solution is feasible if the total quantity assigned to each route does not exceed the capacity of the vehicle which services the route.
车辆路径问题模型及算法研究
车辆路径问题模型及算法研究车辆路径问题（Vehicle Routing Problem, VRP）是指对于一些地点的需求，如何安排一定数量的车辆在给定的时间内从仓库或中心出发，服务这些地点并返回仓库或中心，使得总运输成本最小的优化问题。
该问题是组合优化领域中的NP-hard问题，对于大规模问题，需要高效的求解算法，以实现实际应用的可行性。
本论文旨在探讨车辆路径问题模型及算法研究，介绍其应用领域和目前的研究现状，探究主要的求解策略和方法，分析其优缺点并比较其结果。
一、车辆路径问题的应用领域车辆路径问题有着广泛的应用领域，如物流配送、货物集中运输、公共交通车辆的调度等。
在工业中，车辆路径问题常被用来确定设备或原材料的运输路线，以最少的时间和成本满足客户的需求，实现物资顺畅流通和经济效益最大化。
在城市交通领域，车辆路径问题被应用于公共交通和出租车的调度，通过优化路线和时间，减少运营成本和不必要的耗时，提升效率和服务质量。
此外，车辆路径问题还被应用于邮政快递配送、应急救援等领域。
二、车辆路径问题建模车辆路径问题的建模一般分为节点表示和弧表示两种。
在节点表示中，将车辆路径问题抽象为有向无环图（DAG），其中每个节点表示一个客户点或者仓库，每个边表示从一个节点到另一个节点的连线，代表可行的路径集合。
在弧表示中，将车辆路径问题表示为一张图，其中边权表示该路径需要花费的时间或者距离，该图同样也可能存在环。
1.节点表示法以Capacitated Vehicle Routing Problem（CVRP）为例，将每个顾客的需求为Q[i]，仓库的容量为C，每个顾客的坐标为(x[i],y[i])，仓库的坐标为(x[0], y[0])，顾客之间的欧氏距离为d[i,j]。
则模型可以表示为：\begin{aligned} min\left\{\sum_{(i,j) \in A}d_{i,j}X_{i,j} : \sum_{j = 1}^{n} X_{i,j} = 1, \sum_{i=1}^{n} X_{i,j} = 1\\ \sum_{j \in S} Q_{j} X_{i,j} <= C, X_{i,j} =\{0, 1\} \end{aligned}其中，X[i,j] = 1表示第i个点到第j个点有连线，0表示没有连线，S为与仓库联通的点集合。
车辆路径问题分解课件
公共交通系统的线路规划
总结词
公共交通系统的线路规划是车辆路径问题在 城市交通管理中的重要应用，旨在优化公交 线路，提高公共交通的便利性和效率。
详细描述
在城市交通管理中，如何合理规划公交线路 、站点和发车时间，以满足市民出行需求和 提高公共交通效率，是车辆路径问题的一个 重要应用。通过对公交线路的优化规划，可 以减少乘客的出行时间和成本，提高公共交 通的便利性和效率，缓解城市交通拥堵问题
特点
VRP具有NP难解特性，随着问题规模的增大，求解变得极为复杂。它涉及到运 筹学、优化算法、计算机科学等多个领域，是物流配送、车辆调度等实际应用领 域的基础问题。
问题的起源和背景
起源
VRP的起源可以追溯到20世纪50年代，当时美国兰德公司（Rand Corporation）的研究人员为了解决美国空军 飞机调度问题而首次提出该问题。
详细描述
蚁群算法通过模拟蚂蚁的信息素传递过程来寻找最优解。在算法中，蚂蚁根据信息素浓度选择移动路 径，同时释放新的信息素，形成正反馈机制。随着迭代次数的增加，最优解逐渐显现。
其他优化算法
总结词
除了上述算法外，还有许多其他用于解决车 辆路径问题的优化算法，如粒子群算法、人 工神经网络等。
详细描述
这些算法在解决车辆路径问题时各有优缺点 ，可以根据问题的具体情况选择合适的算法 。例如，粒子群算法通过模拟鸟群、鱼群等 生物群体的行为来寻找最优解，人工神经网 络则通过模拟人脑神经元之间的连接和信号 传递来寻找最优解。
01
02
03
04
识别问题
明确车辆路径问题的定义 和约束条件，为分解提供 基础。
设计分解结构
根据选择的方法，设计合 适的分解结构，将问题划 分为若干个子问题或功能 模块。
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（一）起讫点不同的单一路线选择问题
车辆路线的实际问题包括配送中心配送、公共汽 车路线制定、信件和报纸投递、航空和铁路时间表 安排、工业废品收集等。
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车辆路径问题的类型
一般而言车辆路线问题大致可以分为以下三种 类型（Ballou，1992）：
1、相异的单一起点和单一终点。
2、相同的单一起点和终点。
3、多个起点和终点。
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车辆路线问题研究现状
1995年，Fisher曾将求解车辆路线问题的算法分 成三个阶段。第一阶段是从1960年到1970年，属于 简单启发式方式，包括有各种局部改善启发式算法 和贪婪法（Greedy）等；第二阶段是从1970年到 1980年，属于一种以数学规划为主的启发式解法， 包括指派法、集合分割法和集合涵盖法；第三阶段 是从1990开始至今，属于较新的方法，包括利用严 谨启发式方法、人工智能方法等。
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成本比较法
某公司欲将产品从座落位置A的工厂运往座落位置B的公 司自有仓库，年运量D为700,000件，每件产品的价格C为30元， 每年的存货成本I为产品价格的30％。公司希望选择使总成本 最小的运输方式。据估计，运输时间每减少一天，平均库存 可以减少1％。各种运输服务的参数如图。 在途运输年存货成本为ICDT/365，两端储存点的存货 成本各为，但其中C值有差别，工厂的储存点C为产品的价格， 购买者储存点的C为产品价格加上运费之和。 问题：选择哪种运输方式的方案最优？
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数学解析法
1、分枝界限法把问题的可行解展开如树的分枝，再 经由各个分枝中寻找最佳解。
2、整数规划法在数学模式中加入变量必须为整数的 限制式，将问题列出目标方程序以及限制式来求 解，能够将实际情形化做限制条件加入模式中， 让一般人较容易理解及方便使用。这个解法会随 限制式的增加而趋于复杂，使得演算复杂度大为 提高。
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制定车辆运行路线
采用扫描法制定行车路线，由两个阶段组成：
•
将停留点的货运量分配给送货车；
• 安排停留点在路线上的顺序。 扫描法的步骤：
• 在地图上或者方格图中确定所有站点（含仓 库）的位置；
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自仓库开始沿任一方向向外划一直线，沿着顺时针 或者逆时针方向旋转该直线与某点相交。同时要考
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先分群再排路线
2 1 3 0 5
6
4 7 8
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先排路线再分群
2 1 3 0 5
6
4 7 8
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节省法
5+6-4=7
2
4
1
6+4-8=2
8 4 4
3
6 6
0
5 5 10
5+4-10=-1
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虑如果在某线路上再增加该站点，是否会超过车辆
的载货能力？如没有，继续旋转该直线直到与下一 个站点相交。再次计算累计货运量是否超过车辆的
运载能力（先使用最大的车辆）。如超过，就去掉
最后的站点，并确定路线。最后，从不包括在上一 条路线中的站点开始，继续旋转以寻找新路线。直 到所有点被安排在路线中； 排定各路线上每个站点的顺序，使行车路线最短。
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车辆路线问题研究现状
求解方法
综合过去有关车辆路线问题的求解方法，可以分 为 精 确 算 法 （ exact algorithm ） 与 启 发 式 解 法 （heuristics），其中精密算法有分支界限法、分 支切割法、集合涵盖法等；启发式解法有节约法、 模拟退火法、确定性退火法、禁忌搜寻法、基因 算法、神经网络、蚂蚁算法等。
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他们再将每月的运输总支出，根据运送的次数进 行了计算，并对单程与往返、自营与外包进行了比较， 见表2。
结果发现，不论是以单程还是以往返计算，如果 货流量足以使运送次数保持在3趟或以上，自营将比 “外包”更经济。由于自营车辆每辆每月的最大往返 次数为5趟，所以只有在货流量在6～7趟时，对于自 营车辆无力运送的部分才可能采取外包。
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车辆路径问题的概念
由 此 定 义 不 难 看 出 ， 旅 行 商 问 题 （ Traveling Saleman Problem,TSP ） 是 VRP 的 特 例 ， 由 于 Gaery已证明TSP问题是NP难题，因此，VRP也属 于NP难题。
车辆路线问题自1959年提出以来，一直是网络优 化问题中最基本的问题之一，由于其应用的广泛性 和经济上的重大价值，一直受到国内外学者的广泛 关注。车辆路线问题可以描述如下（如图1）：
不同运输方式的技术和经济运作特征对比
铁路 成本 速度 频率 可靠性 可用性 距离 规模 能力
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公路 中 快 很高 好 有限 中，短 小 强
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航空 高 很快 高 好 有限 很长 小 弱
水路 低 慢 有限 有限 很有限 很长 大 最强
管道 很低 很慢 连续 很好 专业化 长 大 最弱
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1000
3000 2000
4000
2000 3000 3000
1000 2000 2000
汽车站 2000 停留点提货量数据
2000
1000 3000 2000
4000
2000 3000
3000
1000 汽车站 2000 2000
2000
2000
扫描法解决方案
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人机互动法
人机互动法是利用人的经验和计算机的运算所 合成的方法，而根据Bodin(1983)等人的描述，人机 互动法是一种将人的反应能力，纳入问题求解过程 的一般性解法。其具备人的实际情况和计算机强力 的计算能力等综合优势，这种方法是先将使用者或 是规划者的规划直觉、经验、及能力纳入求解的重 要因子，并数据话统整后交由计算机依一定的公式 来运算其派车路线的最佳解，并在获得路线的解只 后再重新由使用者依据现实层面的考虑因素进行修 改更正。
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数学解析法
3、动态规划法主要是将一个大问题分解成几 个小问题来求解，以反向工作的方式，求 解路径中连接两点的最短距离，但是动态 规划法缺乏效率，比较适合小问题和批次 问题。Bodin（1983）等人同时也指出，此 类方法虽然可以求得最佳解，但其求解范 围太小，当需求点数目大于25时便无法使 用。
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车辆路线问题研究现状
车 辆 多 次 使 用 的 车 辆 路 线 问 题 （ vehicle
routingproblems with multiple use of vehicle ， VRPM ） 、 考 虑 收 集 的 车 辆 路 线 问 题 （ vehicle routingproblems with backhauls，VRPB）、随机 需求车辆路线问题（vehicle routing problem with stochastic demand，VRPSD）等。
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车辆路径问题的概念
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车辆路径问题的概念
设有一场站（depot），共有M 辆货车，车辆容 量为Q，有N位顾客（customer），每位顾客有其需 求量D。车辆从场站出发对客户进行配送服务最后 返回场站，要求所有顾客都被配送，每位顾客一次 配送完成，且不能违反车辆容量的限制，目的是所 有车辆路线的总距离最小。
改善或交换法
1.线路内路线交换或节点交换 2.路线间部分线路交换
3.路线间节点交换
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车辆路线问题研究现状
经过几十年的研究发展，车辆路线问题研究取 得了大量成果。下面从车辆路线问题的现有研究型 态和求解方法两个方面介绍车辆路线问题的研究现 状。
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高开周
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数学解析法
最佳解法又称“精确解法”、数学解析法， 就是标准的”最佳化法”，将车辆配送问题， 通过严谨的数学模型或计算机数据结构规划， 利用数学法则或数据结构搜寻的方式，求得 问题的解1。
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数学解析法
常见的有:
分枝界限法（Branch and Bound）、 整数规划法（Integer Programming）、 动态规划法（Dynamic Programming）。
安排车辆运行时间
将所有运输路线首尾相连顺序排列，使车辆的 空闲时间最短，就此决定车辆数，并排出配车计划。
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最优运输计划安排表
1号线 9号线 5号线 2号线
10号线 4号线 8号线 7号线 3号线
6号线
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单一路线选择
• 运输线路的选择影响到运输设备和人员的 利用，正确地确定合理的运输线路可以缩 短运输时间，降低运输成本，因此运输线 路的的选择是运输决策的一个重要领域。 • 运输线路选择问题尽管种类繁多，但我们 可以简单划分为单一路线选择和多起讫点 路线选择两种类型。