上海市七宝中学2020届高三下学期摸底考试(4月月考)数学试卷 (含答案)
2020届上海市七宝中学高三高考押题卷数学试卷(1)及答案解析
2020届上海市七宝中学高三高考押题卷数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题或开始呈现相应的症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格:已知该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，若从上述1000名患者中抽取200人，得到如下联表.则表格中的位置分别应填入数字是（ ） A.①35；②65；③45 B.①45；②45；③45 C.①65；②35；③45D.①70；②30；③452.已知行列式102131x P y z =-，则“12()3x y k k R z ⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=∈⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭”是“0P =”的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件3.已知MN 是正方体内切球的一条直径，点P 在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则PM PN →→⋅的取值范围为（ ） A.[]0,4B.[]0,2C.[]1,4D.[]1,24.如图，已知函数()y f x =与y x =的图象有唯一交点()1,1，无穷数列{}()*n a n N ∈满足点()1,n n n P a a +()*n N∈均落在()y f x =的图象上，已知()13,0P ，()20,2P ，有下列两个命题：（1）lim 1n n a →∞=；（2）{}21n a -单调递减，{}2n a 单调递增；以下选项正确的是（ ）A.（1）是真命题，（2）是假命题B.两个都是真命题C.（1）是假命题，（2）是真命题D.两个都是假命题第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）5.已知集合}41,A x x k k Z ==±∈，{}2,B y y n n Z ==∈，则AB =________.6.已知圆225x y +=和点()2,1A -，则过点A 的圆的切线方程为._________7.满足()12log 24x x -+=的实数x =________.8.已知复数13z i =-+（i 是虚数单位）是实系数一元二次方程20ax bx c ++=的一个虚根，则::a b c =________.9.已知向量()1,2AB =，()4,2AC =-，则ABC 的面积为_____________ .10.为了支持“新冠肺炎”的湖北抗疫工作，上海市某医院某科室拟从2名男性，3名女性医务人员中抽调两人前往湖北支援，则抽调的两人刚好为一男一女的概率为________.11.已知函数()2,021,0x x f x x x ⎧<=⎨+≥⎩的反函数是()1f x -，则()112f f --⎡⎤=⎣⎦________. 12.已知O 是ABC 内部一点，20OA OB OC ++=，4BA BC ⋅=，且6ABC π∠=，则OAC 的面积为________.13.音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”频率变为原来的32，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的34，得到“商”；……依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶，设“宫”的频率为1，则“角”的频率为________.14.过双曲线221168x y -=的左焦点1F 作倾斜角为α的直线与y 轴交于点A ，与双曲线的右支位于第四象限的部分交于点B ，若()112OA OB OF =+，则α=________. 15.若0>ω，函数()f x 3sin 4cos 03x x x πωω⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭的值域为[]4,5，则cos 3πω⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围是________.16.已知x R ∈，[]x 表示小于x 的最大整数，{}[]x x x =-，令{}{}M x 0x 100,1x =≤≤=，则M 中元素之和为________.三、解答题（题型注释）17.如图，一智能扫地机器人在A 处发现位于它正西方向的B 处和北偏东6π方向上的C 处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B 的距离比到C 的距离少0.4米，于是选择沿A B C →→路线清扫，已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2米/秒，10秒钟完成了清扫任务（忽略机器人吸入垃圾及在B 处旋转所用时间）（1）B 、C 两处垃圾的距离是多少？（2）求智能扫地机器人此次清扫过程中旋转角的最小值？请指出旋转方向. 18.将函数()2sin 2f x x =的图象向右平移()0ϕϕ>个长度单位，得到()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把()g x 的图象上各点的横坐标缩小到原来的23（纵坐标不变），得到函数()h x 的图象.（1）求ϕ的最小值和()h x 的解析式； （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()h x 的单调递减区间. 19.如图，四边形11ABB A 是圆柱1OO 的轴载面，4AB =，12OO =，以圆柱上底面为底面作高为2的圆锥1PO ，C 、1C 分别在AB 、11A B 上，2AOC π∠=，1113AO C π∠=.（1）求这个几何体的表面积和体积； （2）求二面角111O AC C --的余弦值.20.已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）经过1,0A ，()0,B b 两点.O 为坐标原点，且AOB的面积为4.过点()0,1P 且斜率为k （0k >）的直线l 与椭圆C 有两个不同的交点M ，N ，且直线AM ，AN 分别与y 轴交于点S ，T . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求直线l 的斜率k 的取值范围；（Ⅲ）设PS PO λ=，PT PO μ=，求λμ+的取值范围. 21.对于数列{}n a 、{}n b 、{}()*n d n N∈，若()()2211nn n n n n da b d a d ++-=对任意的*n N ∈恒成立，则称数列{}n a 、{}n b 、{}n d 具有性质P .设121nk n k a a a a ==+++∑；（1）证明：数列{}n a 、{}n b 、{}n d 具有性质P 的一个充分条件为：1n n n nn n a b d b a d +=⎧⎨=⎩；（2）若()*tan3n n d n N π=∈，{}n a 、{}n b 、{}n d 满足（1）的充分条件，求()2020221nn n ab =+∑；（3）若{}n a 、{}n b 、{}3n d 的每一项均为有理数，但{}n d 每一项均为无理数，试给出数列{}n a 、{}n b 、{}n d 具有性质P 的充要条件.若在此条件下令13332n nd =⨯，试探究数列{}n b 的一些性质（如单调性，极限，{}n b 的最大项等）.参考答案1.C【解析】1.计算出200人中潜伏期6≤天的人数，结合表格中的数据可计算出①②③处应填入的数字. 由分层抽样可知，从上述1000名患者中抽取200人，其中潜伏期6≤天的人数为852053102001201000++⨯=，所以，①处应填的数字为1205565-=，②处应填的数字为1006535-=，③处应填的数字为1005545-=. 故选：C. 2.A【解析】2.利用行列式展开法则推导出“12()3x y k k R z ⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=∈⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭”是“0P =”的充分条件，举反例说明“12()3x y k k R z ⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=∈⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭”不是“0P =”的必要条件，由此能求出结果． 行列式102131x P y z =-，“12()3x y k k R z ⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=∈⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭”，2355230P x z x y x y z k k k ∴=-+-+=-++=-++=， ∴ “12()3x y k k R z ⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=∈⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭”是“0P =”的充分条件，当50P x y z =-++=时，有可能52y z x ==， ∴ “12()3x y k k R z ⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=∈⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭”不是“0P =”的必要条件，∴ “12()3x y k k R z ⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=∈⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭”是“0P =”的充分不必要条件．故选：A ．3.B【解析】3.利用向量的线性运算和数量积运算律可将所求数量积化为21PO →-，根据正方体的特点可确定PO →的最大值和最小值，代入即可得到所求范围. 设正方体内切球的球心为O ，则1OM ON ==，2PM PN PO OM PO ON PO PO OM ON OM ON →→→→→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，MN 为球O 的直径，0OM ON →→∴+=，1OM ON →→⋅=-，21PM PN PO →→→∴⋅=-，又P 在正方体表面上移动，∴当P 为正方体顶点时，PO →P 为内切球与正方体的切点时，PO →最小，最小值为1，[]210,2PO →∴-∈，即PM PN →→⋅的取值范围为[]0,2.故选：B . 4.B【解析】4.根据函数()y f x =的图象和()11f =可得出n a 的取值范围，再根据函数()y f x =的单调性判断{}21n a -和{}2n a 的单调性，结合数列各项的取值范围和单调性可得数列的极限值.()1n n a f a +=，当01n a <<时，由图象可知，112n a +<<；当13n a <<时，101n a +<<.13a =，20a =，32a =，401a ∴<<，512a <<，601a <<，712a <<，，因为函数()y f x =在区间()0,3上单调递减，因为5302a a <<=，()()53f a f a ∴>，即64a a >，()()64f a f a <，即75a a <，()()75f a f a >，即86a a >，，以此类推，可得1357a a a a >>>>，数列{}21n a -单调递减，2468a a a a <<<<，数列{}2n a 单调递增，命题（2）正确；当2n ≥时，2112n a -<≤，201n a <<，且数列{}21n a -单调递减，{}2n a 单调递增，所以，lim 1n n a →∞=，命题（1）正确. 故选：B. 5.Z【解析】5.分析出集合A 为奇数集，集合B 为偶数集，由此可计算得出AB .{}{}41,41,A x x k k Z x x k k Z ==+∈⋃=-∈{}(){}{}221,2211,21,x x k k Z x x k k Z x x m m Z ==⋅+∈⋃=⋅-+∈==+∈，则集合A 为奇数集，{}2,B y y n n Z ==∈为偶数集， 因此，Z AB =.故答案为：Z . 6.250x y --=【解析】6.经分析不存在切线斜率不存在的情况，设出切线方程：()21y k x =--，根据相切时圆心到直线的距离为圆的半径求解出k 的值，即可写出切线方程. 设切线方程为：()21y k x =--，=2k =，所以切线方程为：()221y x =--，即250x y --=. 故答案为：250x y --=. 7.3【解析】7.本题可通过对数与指数的运算得出结果.()12log 24x x -+=，1242x x -+=，1224x x --=，112224x x --⨯-=， 124x -=，解得3x =，故答案为：3. 8.1:2:10【解析】8.利用求根公式可知，一个根为13i -+，另一个根为13i --，利用韦达定理即可求出a 、b 、c 的关系，从而可得 ::a b c利用求根公式可知，一个根为13i -+，另一个根为13i --，由韦达定理可得()()()13131313b i i ac i i a ⎧-++--=-⎪⎪⎨⎪-+--=⎪⎩ ，整理得：210ba c a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以2b a =，10c a =，所以:::2:101:2:10a b c a a a == 故答案为：1:2:10 9.5【解析】9.根据向量的坐标可得向量垂直，从而得到三角形为直角三角形，求出向量的模长，即可得答案；因为AB AC ==0AB AC ⋅=，所以90BAC ∠=︒，所以152ABCS==． 故答案为：5． 10.35【解析】10.本题首先可以令2名男性分别为A 、B ，3名女性分别为a 、b 、c ，然后列出抽调两人的所有可能情况，再然后列出刚好为一男一女的所有可能情况，最后根据古典概型的概率计算公式即可得出结果.令2名男性分别为A 、B ，3名女性分别为a 、b 、c ，从中抽调两人的所有可能情况为：AB 、Aa 、Ab 、Ac 、Ba 、Bb 、Bc 、ab 、ac 、bc 共十种，满足刚好为一男一女的所有可能情况：Aa 、Ab 、Ac 、Ba 、Bb 、Bc 共六种， 则抽调的两人刚好为一男一女的概率63105P ==，故答案为：35. 11.1-【解析】11. 先求出()1fx -，再计算1(2)f - ，即可得()112f f --⎡⎤⎣⎦的值.当0x <时()20,1x y =∈，可得2log x y =，即()12log f x x -=，()0,1x ∈，当0x ≥时，[)211,y x =+∈+∞，可得12y x -=，即11()2x f x --=，[)1,x ∈+∞， 所以函数()2,021,0x x f x x x ⎧<=⎨+≥⎩的反函数是()21log ,011,12x x f x x x -<<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，1211(2)22f --==， ()1112112log 122f f f ---⎛⎫⎛⎫⎡⎤===- ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭， 故答案为：1-【解析】12.由20OA OB OC ++=可得()12BO OA OC =+，设D 为AC 中点，则()12OD OA OC =+，可得BO OD =，从而可得O 为BD 的中点，进而可得12AOC ABC S S =△△，由4BA BC ⋅=可得83BA BC ⋅=12||||sin ABC BA AB S BC C ⋅⋅=∠△即可求出. 在ABC 中，由20OA OB OC ++=可得()12BO OA OC =+， 设D 为AC 中点，则()12OD OA OC =+， BO OD ∴=，∴O 为BD 的中点，12AOCABCSS ∴=，4BA BC ⋅=，3cos 42BA BC BA BC ABC BA BC ∴⋅=⋅⋅∠=⋅⋅=， 83BA BC ∴⋅=111||||sin 22323ABCS BA BC ABC ∠∴=⋅⋅=⨯⨯=12AOCS==.故答案为：3. 13.8164【解析】13.根据已知条件经过一次“损”频率变为原来的32，经过一次“益”，频率变为原来的34，依次损益交替变化求概率即可.由“宫”的频率为1，“宫”经过一次“损”得到“徵”的频率变为32， “徵”经过一次“益”，得到商的频率为339248⨯=， “商”经过一次“损”，得到“羽”的频率为93278216⨯=， “羽”经过一次“益”，得到“角”的频率为2738116464⨯=， 所以“角”的频率为8164， 故答案为：816414.απ=-【解析】14.由双曲线方程求得左焦点坐标，由直线的倾斜角可得直线的斜率，写出直线方程，得到直线在y 轴上的截距，由向量等式可知A 为1F B 的中点，由中点坐标公式求得B 点坐标，代入双曲线方程可得tan α，再由反三角函数求得角α值．如图，由双曲线221168x y -=，得1(F -，直线AB 的斜率为tan (αα为钝角），直线方程为tan (y x α=+， 取0x =，得y α=，则)A α， 由11()2OA OB OF =+，可得A 为1F B 的中点，设(,)B x y ，则00x y α⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，B ∴)α． B 在双曲线上，∴224961168tan α-=，即tan 12α=-． α为钝角，απ∴=-．故答案为：απ=- 15.74,255⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】15.首先利用辅助角公式对()f x 化简，可得()()5sin f x x ωϕ=+，再利用()f x 的值域，可求出23ππωϕπϕ≤+≤-的范围，即得0223ππϕωπϕπ<-≤≤-<，再结合余弦函数的单调性，4sin 5ϕ=，3cos 5ϕ=，即可求出cos 3πω⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围. ()34f 3sin 4cos =5sin cos 55x x x x x ωωωω⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦()5sin x ωϕ=+，其中4sin 5ϕ=，3cos 5ϕ=， 因为03x π≤≤，所以3x πϕωϕωϕ≤+≤+，令x t ωϕ+=，则5sin y t =的值域为[]4,5，可得sin y t =的值域为4,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦又因为4sin 5ϕ=，所以23ππωϕπϕ≤+≤-， 即0223ππϕωπϕπ<-≤≤-<，且cos y x =单调递减，因为4cos sin 25πϕϕ⎛⎫-==⎪⎝⎭，()221697cos 2cos 2sin cos 252525πϕϕϕϕ-=-=-=-=， 所以cos 3πω⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围是74,255⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：74,255⎡⎤⎢⎥⎣⎦16.5050【解析】16.本题首先可根据题意确定集合{}0,1,2,3,4,,100M =，然后根据等差数列求和公式即可得出结果.因为{}[]x x x =-，0x 100≤≤，{}1x =， 所以集合{}0,1,2,3,4,,100M =，则M 中元素之和为010001210010150502， 故答案为：5050.17.（1）1.4m （2）11cos 14arc π-，方向见解析.【解析】17.（1）利用余弦定理，结合a c +列方程组，解方程组求得BC .（2）利用余弦定理求得cos B 的值，由此求得旋转角的最小值，并判断出旋转方向.（1）依题意可知2263A πππ∠=+=，设,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则 2222220.21020.40.42cos a c a c b c b c a b c bc A a b c bc +=⨯+=⎧⎧⎪⎪-=⇒-=⎨⎨⎪⎪=+-=++⎩⎩， 将2,0.4 2.4c a b c a =-=+=-代入222a b c bc =++化简得2 6.67.280a a -+=，即()()1.4 5.20a a --=，由于0.2102a <⨯=，所以()()1.4 5.20a a --=解得 1.4m a =. 且20.6m, 2.41m c a b a =-==-=.（2）由余弦定理得222 1.960.361 1.3211cos 22 1.40.6 1.6814a cb B ac +-+-====⨯⨯，由于23A π=，所以B 为锐角. 所以旋转角的最小值为11cos 14arc π-，方向沿顺时针方向旋转. 18.（1）ϕ的最小值为6π，()2sin 33h x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）5,182ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】18.（1）利用三角函数的图象变换可得出关于ϕ的表达式，进而可求得正数ϕ的最小值，再利用正弦型函数的伸缩变换可求得函数()y h x =的解析式； （2）求得函数()y h x =在R 上的单调递减区间，与区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦取交集可得出结果. （1）将函数()2sin 2f x x =的图象向右平移()0ϕϕ>个长度单位， 可得到函数()()()2sin 22sin 22g x x x ϕϕ=-=-⎡⎤⎣⎦的图象，又()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()223k k Z πϕπ∴-=-+∈，可得()6k k Z πϕπ=-∈，0ϕ>，当0k =时，ϕ取最小值6π，将函数()2sin 23g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标缩小到原来的23（纵坐标不变）， 可得到函数()2sin 33h x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，因此，()2sin 33h x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭；（2）令()3232232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，解得()52112183183k k x k Z ππππ+≤≤+∈， 所以，函数()y h x =在R 上的单调递减区间为()52112,183183k k A k Z ππππ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦，50,,2182A πππ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.因此，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()y h x =的单调递减区间为5,182ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 19.（1）表面积为(12π+，体积为323π；（2.【解析】19.（1）计算出圆锥的母线长，利用圆锥的侧面积公式和圆柱的侧面积、底面积公式可计算出几何体的表面积，结合柱体和锥体的体积公式可求得几何体的体积；（2）以点O 为坐标原点，OA 、OC 、OP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，利用空间向量法可求得二面角111O AC C --的余弦值. （1）由题意可知，圆柱的底面半径为22ABr ==， 因为1PO 为圆锥的高，且12PO =，所以，圆锥的母线长为1PA==，又12OO =，因此，该几何体的表面积为(22+222212S ππππ=⨯⨯⨯+⨯=+.该几何体的体积为22132222233V πππ=⨯⨯+⨯⨯⨯=； （2）以点O 为坐标原点，OA 、OC 、OP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系O xyz -，则点()10,0,2O ，()12,0,2A，()1C ，()0,2,0C ，设平面11A CC 的一个法向量为(),,m x y z =，()11AC =-，()12,2,2AC =--， 由11100m AC m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得02220x x y z ⎧-+=⎪⎨-+-=⎪⎩，令x =1y =，1z =，所以，平面11A CC的一个法向量为(3,1,1m =，易知平面111O AC 的一个法向量为()0,0,1n =，(cos ,m n m nm n⋅<>===⋅，由图象可知，二面角111O AC C --20.（Ⅰ）2221x y +=（Ⅱ）2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭（Ⅲ）)2【解析】20.（Ⅰ）把点A 坐标代入椭圆的方程得1a =.由AOB 12ab =得b ，进而得椭圆C 的方程.（Ⅱ）设直线l 的方程为1y kx=+，()11,M x y ，()22,N x y .联立直线l 与椭圆C 的方程可得关于x 的一元二次方程.>0∆，进而解得k 的取值范围.（Ⅲ）因为1,0A ，()0,1P ，()11,M x y ，()22,N x y ，写出直线AM 的方程，令0x =，解得111y y x -=-.点S 的坐标为110,1y x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭.同理可得：点T 的坐标为220,1y x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭.用坐标表示PS ，PT ，PQ ，代入PS PO λ=，PT PO μ=，得111111111y kx x x λ+=+=+--.同理22111kx x μ+=+-.由（Ⅱ）得122421kx x k +=-+，122121x x k =+，代入λμ+，化简再求取值范围.（Ⅰ）因为椭圆C ：22221x y a b+=经过点1,0A ，所以21a =解得1a =. 由AOB124ab =，解得2b =所以椭圆C 的方程为2221x y +=.（Ⅱ）设直线l 的方程为1y kx =+，()11,M x y ，()22,N x y .联立22211x y y kx ⎧+=⎨=+⎩，消y 整理可得：()2221410k x kx +++=.因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以()22164210k k ∆=-+>，解得212k >. 因为0k >，所以k的取值范围是⎫+∞⎪⎪⎝⎭.（Ⅲ）因为1,0A ，()0,1P ，()11,M x y ，()22,N x y . 所以直线AM 的方程是：()1111y y x x =--. 令0x =，解得111y y x -=-. 所以点S 的坐标为110,1y x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭. 同理可得：点T 的坐标为220,1y x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭.所以110,11y PS x ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭，220,11y PT x ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭，()0,1PO =-. 由PS PO λ=，PT PO μ=，可得：1111y x λ--=--，2211y x μ--=--， 所以111111111y kx x x λ+=+=+--. 同理22111kx x μ+=+-. 由（Ⅱ）得122421kx x k +=-+，122121x x k =+， 所以()()()1212121212122121122111kx x k x x kx kx x x x x x x λμ+-+-+++=++=+---++ ()222214212212121412121k k k k k k k k ⎛⎫⋅+--- ⎪++⎝⎭=+⎛⎫++ ⎪++⎝⎭()22224422121421k k k k k k -+-+=++++()()2121k k -+=++)12221k k ⎛⎫=-+∈> ⎪ ⎪+⎝⎭ 所以λμ+的范围是)2.21.（1）证明见解析；（2）40394；（3）单调递减，lim 0n n b →∞=，()max637n b =.【解析】21.（1）将1n n n n n na b d b a d +=⎧⎨=⎩代入验证等式()()2211n n n n n n d a b d a d ++-=即可证得结论成立；（2）根据条件1n n n n n na b d b a d +=⎧⎨=⎩求得22n n a b +关于n 的表达式，进而可求得()2020221n n n a b =+∑的值；（3）根据题意求得数列{}n a 、{}n b 、{}n d 具有性质P 的充要条件为636111n nnn n a d d b d ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，由结合13332nn d =⨯可推导出数列{}n b 的单调性、极限以及最大项.（1）1n n n a b d +=，n n n b a d =，所以，()()()()()22222211111n n n n n n n n n n n n n d a b d a d d a d d a d a ++-=+-=--+()()223111n n n n n n n n n d b d a d d b a d =-+=-+=，因此，数列{}n a 、{}n b 、{}n d 具有性质P 的一个充分条件为：1n n n nn n a b d b a d +=⎧⎨=⎩；（2）1n n n n n n a b d b a d +=⎧⎨=⎩，且tan 3n n d π=，可得tan 13tan3n n n n n a b n b a ππ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以，222211cos 31tan sin 331cos 3n n a n n n ππππ===++，tansin cos 333n n n n n b a πππ==， 所以，224222222cossin cos cos cos sin cos 3333333n n n n n n n n n a b πππππππ⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭121cos 23n π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ()()()2222122123cos cos cos 2333n k k k nn n n a b πππ+=++⎡⎤+=+++⎢⎥⎣⎦∑12222224243cos cos cos sin sin cos cos sin sin 2333333333n n n n n πππππππππ⎛⎫=+++++ ⎪⎝⎭1212212233cos cos cos 23232323232n n n n n πππππ⎛⎫=+-+--= ⎪ ⎪⎝⎭， 202036731=⨯+，因此，()2020222211131220191201940396731cos 2232424nn n ab a b π=⎛⎫+=++⨯=++=+= ⎪⎝⎭∑； （3）()()2211nn n n n n da b d a d ++-=，23421n n n n n n n n n n n a d a b d b d a d a d ∴+++--=，()331n n n n n n n a b d d b a d ∴++-=，{}n a 、{}n b 、{}3n d 为有理数列，{}n d 为无理数列，3310n n n n n n a b d b a d ⎧+=⎨-=⎩，所以636111n nnn n a d d b d ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩， 当13332n nd =⨯时，则332nn d =⨯，则32111943232nn nn nb ⨯==+⨯+⨯⨯，令326n t =⨯≥，由双勾函数的单调性可知，函数1y t t=+在区间[)6,+∞上单调递增，所以，数列{}n b 单调递减，1lim lim13232n n n n nb →∞→∞==+⨯⨯，数列{}n b 的最大项为12661637b ==+.。
上海市2020〖人教版〗高三数学复习试卷模拟试题五及答案
上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷模拟试题五及答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)设全集}7,5,3,1{=U ，集合,|},5|,1{U M a M ⊆-=M C U =}7,5{，则a 的值为（ ） A ．2或8- B ．8-或－2 C ．－2或8 D ．2或8 (2)复数4312i i++的实部是（ ）A ．-2B ．2C ．3D ．4(3) “sin x ＝1”是 “cos x ＝0”的(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 (4) 在等比数列{a n }中，若a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＝16，则a 8＋a 9＝(A) 128 (B) －128 (C) 256 (D) －256(5)1-=m 是直线03301)12(=++=+-+my x y m mx 和直线垂直的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 (6)设F 是抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0) 的焦点, 点A 是抛物线与双曲线C 2：22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的一个公共点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为2(7) 函数axxxxf+--=93)(23（）A．0>a B．0<a C．3010<<-a D．275<<-a(8) 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S(A) 1 (B)12(C)14(D)18(9) 若实数a，b，c，满足对任意实数x，y有 x＋2y－3≤ax＋by＋c≤x＋2y＋3，则a＋2b－3c的最小值为(A) －6 (B) －4 (C) －2 (D)0(10) 设U为全集，对集合X，Y*”，X*Y＝(X∩Y)．对于任意集合X，Y，Z，则 ( X*Y)*Z＝(A) (X Y)∩Z X∩Y Z X Y )∩Z(D) ( X∩Y )∪Z二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分。
上海市2020〖人教版〗高三数学复习试卷模拟试题四及答案
上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷模拟试题四及答案创作人：百里安娜 创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂王会创作单位： 明德智语学校一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题只有一个选项是正确） 1．设集合A=｛直线｝，B={双曲线}，则集合B A 的元素的个数为A ．0B ．0或1或2C ．0或1D ．1或2 2．复数1iz i=+的共轭复数在复平面上对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．“32b a >是“64b a >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．执行如图所示的程序框图，输出的k 值是 A ．5 B ．6 C ．7 D ．85．若满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥-a y y x y x 020的整点(x ，y)恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为 A ．-3 B ．-2 C ．-1 D ．06．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D 中，若点P 是棱上一点，则满足12PA PC 的点P 的个数为为A ．3B ．6C ．9D ．127．在△ABC 中，角A ，B,C 的对边分别为a,b,c,若C a c b cos 21=-，则A ．c,a,b 成等差数列 B.A,B,C 成等比数列 C ．C,A,B 成等差数列 D.c,a,b 成等比数列8．市内某公共汽车站10个候车位（成一排），现有4名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有5个连续空座位的候车方式的种数是A ．240B ．480C ．600D ．7209 9． 点P 是双曲线2222221222x y a bC :-=1(a>0,b>0)与圆C :x +y =a +b 的一个交点,且2∠PF 1F 2=∠PF 2F 1，其中F 1、F 2分别为双曲线C 1的左右焦点，则双曲线C 1的离心率为A1BCD ．110． 如图，点p 是球O 的直径AB 上的动点，PA x =，过点P 且与AB 垂直的截面面积记为y ，则()y f x =的图像是二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共20分） 11．数列{}n a 中，6,321==a a ，2+n a 是1+⋅n n a a 的个位数，则=2013a . 12．在△ABC 中，若AC AB BC 2,2==,则BA BC ⋅的取值范围为. 13．如果函数()sin()(0)4f x x πωπω=->在区间（－1，0）上有且仅有一条平行于y 轴的对称轴，则ω的最大值是. 14．已知是椭圆22+=11612x y 的右焦点，点M 在椭圆上，当||||MF MA +取得最小值时，点M 的坐标为. 15．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+-=,0),1ln(,0,21)(2x x x x x x f 若函数kx x f y -=)(有三个零点， BOB ．C ．D ．则k 的取值范围为.三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16（本小题满分12分）已知函数)3sin(2sin 2)(π-+=x x x f .(1)求f(x)的单调递增区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a,b ，c ．已知b a A f 3,3)(==，证明:B C 3=． 17．（本小题共12分）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品.（1）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验.求至少有1件是合格品的概率;（2）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收.求该商家可能检验出不合格产品数ξ的分布列及期望ξE ，并求该商家拒收这批产品的概率. 18．（本小题共12分） 已知椭圆C 1:22143x y +=,抛物线C 2:2()2(0)y m px p -=>,且C 1、C 2的公共弦AB 过椭圆C 1的右焦点.(1)当AB ⊥x 轴时,求m 、p 的值，并判断抛物线C 2的焦点是否在直线AB 上；(2)是否存在m 、p 的值，使抛物线C 2的焦点恰在直线AB 上？若存在，求出符合条件的m 、p 的值；若不存在，请说明理由.19．（本小题共12分）如图，PCBM 是直角梯形，∠PCB ＝90°，PM ∥BC ，PM ＝1，BC ＝2，又AC ＝1，∠ACB ＝120°，AB ⊥PC ，直线AM 与直线PC 所成的角为60°.（1）求证：平面PAC ⊥平面ABC ; （2）求二面角B AC M --的的余弦值; （3）求三棱锥MAC P -的体积.20．（本小题共13分） 已知函数()e x f x kx x =-∈R ，（1）若e k =，试确定函数()f x 的单调区间；（2）若0k >，且对于任意x ∈R ，()0f x >恒成立，试确定实数k 的取值范围； （3）设函数()()()F x f x f x =+-，求证：12(1)(2)()(e2)()n n F F F n n +*>+∈N ．21．（本小题共14分）若对于正整数k ，g （k ）表示k 的最大奇数因数，例如g(3)=3，g(10)=5．设)2()4()3()2()1(n n g g g g g S +++++= .(1)求g(6)，g(20)的值； (2)求S 1，S 2，S 3的值； (3)求数列{S n }的通项公式．参考答案一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分)．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ADBACBCBAA11． 812．)8,38(13．4514．)3,2(-15．⎪⎭⎫⎝⎛1,21三、解答题（本大题共6小题，共75分）16．解：(1))3sin(2sin 2)(π-+=x x x f )cos 23sin 21(sin 2x x x -+=由Z k k x k ∈+≤-≤-,22622πππππ，得：Z k k x k ∈+≤≤-,32232ππππ. 所以f(x)的单调递增区间为)](322,32[Z k k k ∈+-ππππ(2)因为3)(=A f ，所以21)6sin(=-πA ．因为π<<A 0，所以πππ6566<-<-A ．所以3π=A因为Bb A a sin sin =，b a 3=，所以21sin =B . 因为a>b ，3π=A ，6π=B ，2π=C .所以B C 3=．17．解：（1）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A用对立事件A 来算，有()()4110.20.9984P A P A =-=-= （2）ξ可能的取值为0,1,2()2172201360190C P C ξ===，()11317220511190C C P C ξ===，()2322032190C P C ξ=== 记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B ，则商家拒收这批产品的概率()136271119095P P B =-=-=所以商家拒收这批产品的概率为2795 18．解：（1）当AB ⊥x 轴时，点A 、B 关于x 轴对称，所以m ＝0，直线AB 的方程为x =1，从而点A 的坐标为（1，23）或（1，－23）.因为点A 在抛物线上，所以p 249=，即89=p .此时C 2的焦点坐标为（169，0），该焦点不在直线AB 上.（2）解法一 当C 2的焦点在AB 时，由（Ⅰ）知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为)1(-=x k y .由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 消去y 得01248)43(2222=-+-+k x k x k . ……①设A 、B 的坐标分别为（x 1,y 1）, （x 2,y 2）, 则x 1,x 2是方程①的两根，x 1＋x 2＝22438kk +.因为AB 既是过C 1的右焦点的弦，又是过C 2的焦点的弦，所以)(214)212()212(2121x x x x AB +-=-+-=，且1212()()22p pAB x x x x p =+++=++.从而121214()2x x p x x ++=-+.所以12463px x -+=，即22846343k p k -=+. 解得6,62±==k k 即.因为C 2的焦点),32(m F '在直线)1(-=x k y 上，所以k m 31-=.即3636-==m m 或.当36=m 时，直线AB 的方程为)1(6--=x y ； 当36-=m 时，直线AB 的方程为)1(6-=x y .解法二 当C 2的焦点在AB 时，由（Ⅰ）知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为)1(-=x k y . 由⎪⎩⎪⎨⎧-==-)1(38)(2x k y xm y 消去y 得x m k kx 38)(2=--. ……① 因为C 2的焦点),32(m F '在直线)1(-=x k y 上，所以)132(-=k m ，即k m 31-=.代入①有x k kx 38)32(2=-.即094)2(342222=++-k x k x k .……②设A 、B 的坐标分别为（x 1,y 1）, （x 2,y 2）,则x 1,x 2是方程②的两根，x 1＋x 2＝223)2(4k k +.由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 消去y 得01248)43(2222=-+-+k x k x k .……③由于x 1,x 2也是方程③的两根，所以x 1＋x 2＝22438kk +.从而223)2(4k k +＝22438k k +. 解得6,62±==k k 即. 因为C 2的焦点),32(m F '在直线)1(-=x k y 上，所以k m 31-=.即3636-==m m 或.当36=m 时，直线AB 的方程为)1(6--=x y ； 当36-=m 时，直线AB 的方程为)1(6-=x y .19．（1）∵,,PC AB PC BC AB BC B ⊥⊥=∴PC ABC ⊥平面，又∵PC PAC ⊂平面 ∴PAC ABC ⊥平面平面（2）在平面ABC 内，过C 作CD CB ⊥，建立空间直角坐标系C xyz -（如图）由题意有31,02A ⎫-⎪⎪⎝⎭，设()()000,0,0P z z >，则()()000310,1,,,,,0,0,2M z AM z CP z ⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭由直线AM 与直线PC 所成的解为060，得0cos60AM CP AM CP ⋅=⋅⋅，即2200032z z z π=+，解得01z =∴()310,0,1,,02CM CA ⎛⎫==- ⎪⎪⎝⎭，设平面MAC 的一个法向量为{}111,,n x y z =，则111101022y z y z +=⎧-=⎩，取11x =，得{1,3,n = 平面ABC 的法向量取为()0,0,1m = 设m 与n 所成的角为θ，则3cos 7m n m nθ⋅-==⋅显然，二面角M AC B --的平面角为锐角，故二面角M AC B --的余弦值为721 （3）取平面PCM 的法向量取为()11,0,0n =，则点A 到平面PCM 的距离113CA n h n ⋅== ∵1,1PC PM ==，∴11111326P MAC A PCM V V PC PM h --===⨯⋅⋅=⨯⨯=20．（1）由e k =得()e e x f x x =-，所以()e e x f x '=-．由()0f x '>得1x >，故()f x 的单调递增区间是(1)+∞，， 由()0f x '<得1x <，故()f x 的单调递减区间是(1)-∞，． （2）由()()f x f x -=可知()f x 是偶函数． 于是()0f x >对任意x ∈R 成立等价于()0f x >对任意0x ≥成立． 由()e 0x f x k '=-=得ln x k =．①当(01]k ∈，时，()e 10(0)x f x k k x '=->->≥． 此时()f x 在[0)+∞，上单调递增． 故()(0)10f x f =>≥，符合题意．②当(1)k ∈+∞，时，ln 0k >．依题意，ln 0k k k ->，又11e k k >∴<<，．综合①，②得，实数k 的取值范围是0e k <<．（3）()()()e e x x F x f x f x -=+-=+，12()()F x F x ∴=12121212121212()()e e e e e e 2e 2x x x x x x x x x x x x x x +-+--++-+++++>++>+， 1(1)()e 2n F F n +∴>+，由此得，21[(1)(2)()][(1)()][(2)(1)][()(1)](e 2)n n F F F n F F n F F n F n F +=->+ 故12(1)(2)()(e 2)n n F F F n n +*>+∈N ，．21．解：(1)5)20(,3)6(==g g . …………2分(2)211)2()1(1=+=+=g g S ；61311)4()3()2()1(2=+++=+++=g g g g S ；)8()7()6()5()4()3()2()1(3g g g g g g g g S +++++++=.2217351311=+++++++=…………6分(3)由(1)(2)对*N m ∈，m 与2m 的奇数因数相同，则)()2(m g m g =． ………8分所以当2≥n 时，)4()3()2()1(g g g g S n +++=)2()12(n n g g +-++114--+=n n S ……11分于是114--=-n n n S S ，*,2N n n ∈≥.所以112211)()()(S S S S S S S S n n n n n +-++-+-=---3234241)41(41+=+--=-n n ，*,2N n n ∈≥. (13)分 又21=S ，满足上式，所以对*N n ∈，)24(31+=n n S . …………14分。
上海市七宝中学2022届高三下学期高考模拟数学试题(含答案解析)
上海市七宝中学2022届高三下学期高考模拟数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．设全集{}3,U x x x =<∈Z ，集合{}1,1A =-，则U A =ð__．2．已知a ∈R ，函数2()log ()f x x a =+的反函数为1()y f x -=，且1(2)1f -=，则(5)f =__．3．若π4sin 16x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则πcos 23x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__．4．已知公比不为等于1的无穷等比数列{}n a 各项均为整数,且{}n a 有连续四项在集合{}96,24,36,48,192--中,请写出数列{}n a 的一个通项公式:________（写出一个正确的即可）．5．已知复数z 对应的点在复平面第一象限内，甲､乙､丙､丁四人对复数z 的陈述如下（i为虚数单位）：甲：2z z +=；乙：z z -=；丙：4z z ⋅=；丁：22z z z =.在甲､乙､丙､丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数z =___________.6．若1F ，2F 是双曲线()222210,0y x a b a b -=>>与椭圆2251162x y +=的共同焦点，点P 是两曲线的一个交点，且12PF F △为等腰三角形，则该双曲线的渐近线为______．7．已知函数()f x 的定义域为{}4,0,4-，值域为{}2,3，则函数()f x 是偶函数的概率为__．8．已知四面体的棱长为1或2，且该四面体不是正四面体，则这样的不同四面体的个数为__．9．在数列{}n a 中，13a =，11231n n a a a a a +=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，记n T 为数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则lim n n T →∞=___________.10．已知AB 为圆O 的直径，M 为圆O 的弦CD 上一动点，AB ＝8，CD ＝6，则MA MB⋅的取值范围是________．11．设函数()y f x =的定义域为R ，给出下列命题：①若对任意x ∈R ，均有()1f x =，则()f x 一定不是奇函数；②若对任意x ∈R ，均有()()f x f x -=，则()f x 为奇函数或偶函数；③若对任意x ∈R ，均有()()f x f x -=，则()f x 必为偶函数；④若对任意x ∈R ，均有()()f x f x -=，且()f x 为R 上增函数，则()f x 必为奇函数；其中为真命题的序号为__（请写出所有真命题的序号）．12．已知各项均为正数的等比数列{}n a 前n 项和为n S ，对任意的*n ∈N ，都满足14n n S a +≤，若111n nn n S S m S S +++-<对*n ∈N 均成立，则实数m 的取值范围是__．二、单选题13．“6n =”是“1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中存在常数项”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．已知直线的参数方程为3sin 202cos70x t y t ⎧=-⎨=+⎩，则该直线的倾斜角为（）A ．20B ．45C ．110D ．13515．如图，棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为CC 1的中点，点P ，Q 分别为面A 1B 1C 1D 1和线段B 1C 上动点，则△PEQ 周长的最小值为（）A．BCD．16．已知0ω>，曲线πsin 4y x ω⎛⎫⎪⎝=⎭+在区间()0,1内恰有一条对称轴和一个对称中心，给出下述两个命题，命题p ：对任意ω，存在()00,1x ∈，使得0πsin 04x ω⎛⎫+< ⎪⎝⎭；命题q ：存在()00,1x ∈，对任意ω，满足0πsin 04x ω⎛⎫+< ⎪⎝⎭．下列说法正确的是（）A ．命题p 是真命题，命题q 是假命题B ．命题p 是假命题，命题q 是真命题C ．命题p 和命题q 都是真命题D ．命题p 和命题q 都是假命题三、解答题17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA 垂直于平面ABCD ，4AB =，3AD =，PC =E 、M 分别在线段AB 、PC 上，其中E 是AB 中点，PMMCλ=，连接ME ．(1)当1λ=时，证明：直线ME 平行于平面PAD ；(2)当2λ=时，求三棱锥M BCD -的体积．18．ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos cos cos sin cos B A C B C b+=．（1）求角C 的大小；（2）若6c =，且AB 边上的中线4CD =，求ABC 的面积．19．有一正方形景区EFGH ，EH 所在直线是一条公路，该景区的垃圾可送到位于F 点的垃圾回收站或公路EH 上的流动垃圾回收车，于是，景区分为两个区域1S 和2S ，其中1S 中的垃圾送到流动垃圾回收车较近，2S 中的垃圾送到垃圾回收站较近，景区内1S 和2S 的分界线为曲线C ，现如图所示建立平面直角坐标系，其中原点O 为EF 的中点，点F 的坐标为(1,0)．(1)求景区内的分界线C 的方程；(2)为了证明1S 与2S 的面积之差大于1，两位同学分别给出了如下思路，思路①：求分界线C 在点G 处的切线方程，借助于切线与坐标轴及景区边界所围成的封闭图形面积来证明；思路②：设直线L ：y x b =+，分界线C 恒在直线L 的下方（可以接触），求b 的最小值，借助于直线L 与坐标轴及景区边界所围成的封闭图形面积来证明．请选择一个思路，证明上述结论．20．已知函数()y f x =的定义域为D ，值域为A ．若D A ⊆，则称()f x 为“M 型函数”；若A D ⊆，则称()f x 为“N 型函数”．(1)设258()x x f x x-+=，[1,4]D =，试判断()f x 是“M 型函数”还是“N 型函数”；(2)设12()f x x =，()(2)(2)g x af x bf x =++-，若()g x 既是“M 型函数”又是“N 型函数”，求实数,a b 的值；(3)设2()2f x x ax b =-+，[1,3]D =，若()f x 为“N 型函数”，求(2)f 的取值范围．21．对于无穷数列{}n a ，设集合*{|,N }n A x x a n ==∈，若A 为有限集，则称{}n a 为“—T 数列”．(1)已知数列{}n a 满足12a =，*11(2,N 1n n a n n a -=≥∈-），判断{}n a 是否为“—T 数列”，并说明理由；(2)已知()364f x x x =+-+，数列{}n a 满足*1(),N n n a f a n +=∈，若{}n a 为“—T 数列”，求首项1a 的值；(3)已知()sin πn a t n =，若{}n a 为“—T 数列”，试求实数t 的取值集合．参考答案：1．{}2,0,2-【分析】解绝对值不等式可求得全集U ，根据补集定义可得结果.【详解】{}{}{}3,33,2,1,0,1,2U x x x x x x =<∈=-<<∈=--Z Z ，{}1,1A =-，{}2,0,2U A ∴=-ð.故答案为：{}2,0,2-.2．3【分析】由条件可得(1)2f =，然后求出a 的值，然后可得答案.【详解】因为1(2)1f -=，所以(1)2f =，所以2log (1)2a +=，所以3a =，所以2(5)log (53)3f =+=．故答案为：33．78##0.875【分析】解出πsin 6x ⎛⎫- ⎪⎝⎭,将πcos 23x ⎛⎫- ⎪⎝⎭用倍角公式写成2π12sin 6x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,将πsin 6x ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入即可得出结果.【详解】因为π4sin 16x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,所以π1sin 46x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,所以2πππ7cos 2co 6s 212sin 368x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故答案为:784．()132n n a -=⋅-（答案不唯一）【分析】求出96,24,36,48,192--五个数的因数,分析得出连续的四项,进而得到公比,写出{}n a 的通项公式,根据{}n a 各项均为整数,判断首项的可能取值即可.【详解】解:由题知{}96,24,36,48,192--,因为()24122,36123,48124,-=⨯-=⨯=⨯()96128,1921216-=⨯-=⨯,要使{}n a 有连续四项在集合{}96,24,36,48,192--中,所以{}n a 中连续四项为()24122,48124,-=⨯-=⨯()96128,1921216-=⨯-=⨯,因为{}n a 各项均为整数,所以公比为-2,即()112n n a a -=⋅-,因为()()32412232-=⨯-=⨯-,所以1a 可为:3,-6,12,-24,故()()1*12N ,n n a n a -=⋅-∈,1a 为3,-6,12,-24,其中一个即可.故答案为:()132n n a -=⋅-（答案不唯一）.5．1i+【分析】设()0,0z a bi a b =+>>，由此可计算出z z +，z z -，z z ⋅和zz，根据数字对比可发现丙丁、乙丁不能同时成立；又甲乙丙任意两个正确，则第三个一定正确，由此可得到只能甲丁正确，由此可求得z .【详解】设()0,0z a bi a b =+>>，则z a bi =-，2z z a ∴+=，2z z bi -=，22z z a b ⋅=+，222z z z a b =+.4z z ⋅= 与22z z z =不可能同时成立，∴丙丁不能同时正确；z z -= 时，232b =>，22z z z ∴=不成立，∴乙丁不能同时正确；当甲乙正确时：1a =，b =当甲丙正确时：1a =，b =当乙丙正确时：b =1a =，则甲也正确，不合题意；∴甲丁陈述正确，此时1a b ==，1z i ∴=+.故答案为：1i +.6．4y =±【分析】根据给定条件求出两曲线的共同焦点，再由椭圆、双曲线定义求出a ，b 即可计算作答.【详解】椭圆2251162x y +=的焦点12(0,3),(0,3)F F -，由椭圆、双曲线的对称性不妨令点P 在第一象限，因12PF F △为等腰三角形，由椭圆的定义知：12||||10PF PF +=，则112||||6PF F F ==，2||4PF =，由双曲线定义知：122||||2a PF PF =-=，即1a =，b ==a b =，所以双曲线的渐近线为：4y x =±.故答案为：4y =±【点睛】易错点睛：双曲线22221x y a b -=(a>0,b>0)的渐近线方程为b y x a =±，而双曲线22221y x a b -=(a>0,b>0)的渐近线方程为a y x b=±(即bx y a =±)，应注意其区别与联系.7．13【分析】列举出()f x 的所有解析式，再找出其中的偶函数，即可得答案.【详解】解：因为()f x 的定义域为{}4,0,4-，关于原点对称，值域为{}2,3，所以有2,4()3,0x f x x =±⎧=⎨=⎩，或2,0()3,4x f x x =⎧=⎨=±⎩，或2,40()3,4x f x x =⎧=⎨=-⎩或或3,40()2,4x f x x =⎧=⎨=-⎩或，或2,40()3,4x f x x =-⎧=⎨=⎩或，或3,40()2,4x f x x =-⎧=⎨=⎩或，共6种情况；而当2,4()3,0x f x x =±⎧=⎨=⎩和2,0()3,4x f x x =⎧=⎨=±⎩时，满足()()f x f x -=是偶函数，有2种情况，所以()f x 是偶函数的概率13P =．故答案为：138．3【分析】分析出1和2可以构成的三角形有哪些，进而可分性出符合条件的四面体的个数.【详解】四面体的棱长为1或2，但该四面体不是正四面体，可以构成一个底面边长为1的正三角形，侧棱长均为2的正三棱锥，1和2可以构成的三角形有：边长为1的正三角形，边长为2的正三角形，边长为1，2，2的三角形，除了上述正三棱锥外，还可以是四个1，2，2的三角形拼成的三棱锥；两个边长为2的正三角形和两个1，2，2的三角形拼成的三棱锥，综上，这样的不同四面体的个数为3．故答案为：3.9．23【分析】当2n ≥时，构造12311n n a a a a a -=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，再变形得111n n n a a a +-=-，变形得()11111111n n n n n a a a a a +==----，有111111n n n a a a +=---，2n ≥，再代入求n T ，并利用数列{}n a 的单调性，最后求极限.【详解】解：11231n n a a a a a +=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，可得12311n n a a a a a -=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，(2)n ≥，又112312311,1n n n n a a a a a a a a a a +--=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，两式相除可得111n n n a a a +-=-，即11(1)n n n a a a +-=-，则()11111111n n n n na a a a a +==----，即有111111n n n a a a +=---，2n ≥，所以1233411111111111111n n n T a a a a a a a +=+-+-+⋅⋅⋅+-------111112133131n n a a ++=+-=---，由11a >，11231n n a a a a a +=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，可得1n a >，且{}n a 为递增数列，当n →+∞时，n a →+∞，则10n a →，即有1101n a +→-，所以1212lim lim 313n n n n T a →∞→∞+⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭.故答案为：23.【点睛】关键点点睛：本题的关键是递推公式的变形，111111n n n a a a +=---，计算数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，利用裂项相消法求和.10．[]9,0-【解析】以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴建立坐标系，设(,)M x y ，表示出MA MB ⋅，求出它的最值即可.【详解】如图所示，以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，且圆O 的圆心为坐标原点，设(,)M x y ，则(4,0),(4,0)A B -，(4,)MA x y =--，(4,)MB x y =--- 222(4)(4)()16MA MB x x y x y ⋅=---+-=+-，又M 是弦CD 上的一个动点，且6CD =，所以2216916x y -≤+≤，即22716x y ≤+≤，其中最小值在CD 的中点处取到，所以MA MB ⋅的取值范围是[9,0]-.故答案为：[9,0]-【点睛】本题考查了平面向量的数量积以及坐标表示，运用几何意义是解题的关键，考查了运算能力，属于中档题.11．①③④【分析】根据函数奇偶性的定义一一判断求解.【详解】对于①，对任意x ∈R ，均有()1f x =，则()01f =，但奇函数中(0)0f =，矛盾，所以()f x 一定不是奇函数，①正确；对于②，()()f x f x -=等价于[][]()()()()0f x f x f x f x --+-=，若[]1,1x ∈-时满足()()0f x f x --=，()(),11,x ∈-∞-⋃+∞时满足()()0f x f x +-=，则函数在x ∈R 上为非奇非偶函数，②错误；对于③，对任意x ∈R ，均有()()f x f x -=，则()()()f x f x f x =-=，所以()()()f x f x f x -==，所以函数必为偶函数，③正确；对于④，当0x >时，()()f x f x -=等价于[][]()()()()0f x f x f x f x --+-=，又因为()f x 为R 上增函数，所以()()f x f x >-，则()()0f x f x --≠，所以()()0f x f x +-=，所以()f x 必为奇函数，④正确，故答案为:①③④.12．77,32⎛⎤ ⎝⎦【分析】已知条件可知，利用等比数列的通项公式及前n 项和公式求出等比数列的公比，即可得1(21)n n S a =-，最后利用对勾函数的性质可求出实数m 的取值范围.【详解】由题意得公比0q >，又114n n a S a +<≤，所以141n q ->恒成立，所以1q >，此时11111(1)441n n n n a q S a a q q+-+-=≤=-，所以1114(1)n n q q q +--≤-，即12(2)1n q q --≤对任意N n *∈恒成立，若2q ¹，因为1q >，则n 足够大时，12(2)1n q q -->，不合题意，所以2q =，此时11111(12)(21)12n n n a S a +++-==--，1(21)n n S a =-，令112112(2,3]2121n n n n n S t S ++-===+∈--，则原式化为11t m t +-<恒成立，所以1111t m t t t +-<<++恒成立，因为1510,23t t ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦，所以77,32m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．故答案为：77,32⎛⎤⎥⎝⎦.13．A【分析】根据二项展开式通项依次判断充分性和必要性即可.【详解】1n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为：211C C rr n r rn r r n n T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭；当6n =时，61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的第4项为常数项，充分性成立；当20n r -=时，1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中存在常数项，如84n r =⎧⎨=⎩，必要性不成立；∴“6n =”是“1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中存在常数项”的充分不必要条件.故选：A.14．D【分析】根据直线参数方程可确定斜率，由斜率和倾斜角关系可得结果.【详解】由参数方程可知：直线斜率2cos 7013sin 20y k x -===--- ，∴直线倾斜角为135 .故选：D.15．B【分析】通过对称转换,,PQ QE EP ，由三点共线求得三角形PEQ 周长的最小值.【详解】在平面11B C CB 上，设E 关于B 1C 的对称点为M ，根据正方形的性质可知1CM =，E 关于B 1C 1的对称点为N ，111C E C N CE ===，连接MN ，当MN 与B 1C 1的交点为P ，MN 与B 1C 的交点为Q 时，则MN 是△PEQ 周长的最小值，1,3CM CN ==，MN ==∴△PEQ 故选：B16．A 【分析】利用整体代换法求得πsin 4y x ω⎛⎫ ⎪⎝=⎭+的对称轴和对称中心，根据其在()0,1内的对称轴和对称中心个数可构造不等式组求得ω的范围，进而结合正弦型函数值域的求法依次判断两个命题即可.【详解】由()πππ42x k k ω+=+∈Z 得：()ππ4k x k ωω=+∈Z ，即πsin 4y x ω⎛⎫ ⎪⎝=⎭+的对称轴为()ππ4k x k ωω=+∈Z ；由()ππ4x k k ω+=∈Z 得：()ππ4k x k ωω=-+∈Z ，即πsin 4y x ω⎛⎫ ⎪⎝=⎭+的对称中心为()ππ,04k k ωω⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ；πsin 4y x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 在()0,1内恰有一条对称轴和一个对称中心，且0ω>，π14ππ14ππ14π2π14ωωωωωωω⎧<⎪⎪⎪+≥⎪∴⎨⎪-+<⎪⎪⎪-+≥⎩，解得：3π5π44ω<≤；对于命题p ，当()0,1x ∈时，πππ,444x ωω⎛⎫+∈+ ⎝⎭，又π3ππ42ω<+<，∴当πππ,44x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭时，πsin 04x ω⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即存在()00,1x ∈，使得0πsin 04x ω⎛⎫+< ⎪⎝⎭，则命题p 为真命题；对于命题q ，当()0,1x ∈时，πππ,444x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，又π3ππ42ω<+<，则对任意ω，πsin 4y x ω⎛⎫ ⎪⎝=⎭+总存在大于0的部分，则命题q 为假命题.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数性质的综合应用问题，解题关键是能够利用整体代换法求得正弦型函数的对称轴和对称中心，进而根据区间内的对称轴和对称中心个数确定ω的取值范围.17．(1)证明见解析(2)2【分析】（1）取PD 中点N ，联结MN 、AN ，证明四边形AEMN 为平行四边形，然后得到//ME AN 即可；（2）首先求出PA 的长度，然后可得点M 到平面ABCD 的距离，然后可求出答案.【详解】（1）取PD 中点N ，联结MN 、AN ，因为MN 是PCD 的中位线，故//MN CD ，且12MN CD =，又//AE CD ，且12AE CD =，故四边形AEMN 为平行四边形，所以//ME AN ，又ME 不在平面PAD 内，AN 在平面PAD 内，所以ME 平行于平面PAD ；（2）因为4AB =，3AD =，PC =，PA 垂直于平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PA AC ⊥，3PA =，因为2PM MC=，所以点M 到平面ABCD 的距离为1，所以11431232M BCD V -=⨯⨯⨯⨯=．18．（1）3C π=；（2【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得tan C 的值，进而求得C 的大小.（2）利用cos cos 0BDC ADC ∠+∠=得到2250a b +=，利用余弦定理求得ab ，由此求得三角形ABC 的面积.【详解】（1）因为cos cos cos sin cos B A C B C +=cos cos cos sin cos B A C B C +=所以cos()cos cos sin cos A C A C B C-++sin sin sin cos A C A C =．又因为sin 0A ≠，所以tan C (0,)C π∈，所以3C π=（2）因为cos cos 0BDC ADC ∠+∠=，所以22222234340234234a b +-+-+=⨯⨯⨯⨯，得2250a b +=；又因为22262cos 3a b ab ab π+-==，所以14ab =，所以11sin 1422S ab C ==⨯=19．(1)()2401,02y x x y =≤≤≤≤；(2)证明见解析【分析】（1）根据给定信息，可得分界线上任意点到点F 与直线EH 距离相等，再列出方程化简作答.（2）选①，求出分界线C 在点G 处的切线方程，再求出该切线与y 轴分正方形所成两部分面积差即可；选②，借助恒成立求出b 的最小值得直线L ，再求出直线L 与y 轴分正方形所成两部分面积差即可.【详解】（1）分界线C 上任意点到点F 与直线EH 距离相等，直线EH ：=1x -，点()1,0F ，设分界线C 上任意一点为(,)x y ，于是得|1|x +=()2401,02y x x y =≤≤≤≤，所以景区内的分界线C 的方程：()2401,02y x x y =≤≤≤≤.（2）选①：点G 的坐标为(1,2)，显然切线斜率存在，设切线方程为2(1)y k x -=-，0k ≠，由22(1)4y k x y x-=-⎧⎨=⎩，得24840y y k k -+-=，由21632Δ160k k =-+=，得1k =，因此分界线C 在点G 处的切线方程为1y x =+，设切线交y 轴于点M ，则(0,1)M ，梯形OMGF 面积013(||||)||22S OM FG OF =+⋅=，显然2032S S <=，因此12542S S =->，所以121S S ->．选②：依题意，x b +≥对[0,1]x ∈恒成立，即b x ≥-+而21)11x -+=--+≤，当且仅当1x =时取等号，则1b ≥，即b 的最小值为1，直线L 方程为1y x =+，设直线L 交y 轴于点M ，则(0,1)M ，梯形OMGF 面积013(||||)||22S OM FG OF =+⋅=，显然2032S S <=，因此12542S S =->，所以121S S ->．20．(1)()f x 是“M 型函数”；(2)11a b =-⎧⎨=⎩(3)[1,2]．【分析】(1)利用基本不等式以及双勾函数的性质求出函数的值域可求解；(2)分0,0a b ><和0,0a b <>结合函数的单调性分类讨论求解；(3)分a 不同的取值结合“N 型函数”的定义即可求范围.【详解】（1）当[1,4]x ∈时，2588()545x x f x x x x-+==+-≥，当且仅当x =由于(1)4,(4)1f f ==，所以函数()f x 的值域为5,4]A =，因为51<，所以D A ⊆，所以()f x 是“M 型函数”；（2）()g x =，定义域为[2,2]-，由题意得函数()g x 的值域也为[2,2]-，显然0ab <，否则值域不可能由负到正，当0,0a b ><时，()g x 在[2,2]-上单调递增，则(2)22(2)22g a g b ==⎧⎨-==-⎩，得11a b =⎧⎨=-⎩；当0,0a b <>时，()g x 在[2,2]-上单调递减，则(2)22(2)22g a g b ==-⎧⎨-==⎩，得11a b =-⎧⎨=⎩；（3）222()2()f x x ax b x a b a =-+=-+-，[1,3]D =，由题意得函数()f x 的值域[1,3]A ⊆，当1a ≤时，()f x 的最小值(1)121f a b =-+≥，当13a <£时，()f x 的最小值2()1f a b a =-≥，当3a ≥时，()f x 的最小值(3)961f a b =-+≥，当2a ≤时，()f x 的最大值(3)963f a b =-+≤，当2a >时，()f x 的最大值(1)123f a b =-+≤，因为(2)44f a b =-+，由点(,)a b 所在的可行域，得当2,6a b ==时，(2)f 取最大值，最大值为2，当(2)44f a b =-+与21b a =+相切，即2,5a b ==时，(2)f 取最小值，最小值为1，因此(2)f 的取值范围是[1,2]．21．(1){}n a 是“—T 数列”；理由见解析.(2)12a =-；(3)Q t ∈.【分析】（1）由递推公式得到3n n a a +=，判断出12,1,2A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，结合“—T 数列”的定义即可证明；（2）先利用单调性判断出()min 2f x =-，结合“—T 数列”的定义，分类讨论求出12a =-；（3）分类讨论：当t 为有理数时，设q t p=，结合“—T 数列”的定义，证明出符合题意；当t 为无理数时，利用反证法证明出不符合题意.【详解】（1）由题意得12a =，21a =-，312a =，42a =，51a =-……因此3n n a a +=.所以{}*1|,N 2,1,2n A x x a n ⎧⎫==∈=-⎨⎬⎩⎭为有限集，因此{}n a 是“—T 数列”；（2）()222,36441042,224x x f x x x x x x x +≥-⎧⎪=+-+=---≤<-⎨⎪--<-⎩所以在(),2-∞-上单调递减，在()2,-+∞上单调递增，所以()()min 22f x f =-=-.当2x >-时，()22f x x x =+>（*），因此当12a =-时，()212a f a ==-，()322a f a ==-，即*2,N n a n =-∈，此时{}n a 为“—T 数列”，当12a ≠-时，()212a f a =>-，由（*）得()3222a f a a =>>-，()4332a f a a =>>-，因此1n n a a +>，{}n a 显然不是“—T 数列”，综上所述：12a =-；（3）当t 为有理数时，必存在*N ,Z p q ∈∈，使得q t p=，则()2sin π2sin π2πsin πn p n q q q a n p n q n a p p p +⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+== ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭，因此集合*{|,N }n A x x a n ==∈中元素个数不超过2p ，为有限集；当t 为无理数时，对任意*,N ,m n m n ∈≠，下用反证法证明m n a a ≠，若m n a a =，即()()sin πsin πt n t m =，则ππ2πt n t m k =+或πππ2πt n t m k =-+，其中Z k ∈，则2Q k t n m =∈-或22Q k t n m+=∈+，矛盾，所以m n a a ≠，因此集合*{|,N }n A x x a n ==∈必为无限集.综上，t 的取值集合是全体有理数，即Q t ∈．。
上海市七宝中学2020届高三下学期模拟数学试题(wd无答案)
上海市七宝中学2020届高三下学期模拟数学试题一、填空题(★) 1. 已知集合，，则________(★★) 2. 若直线方程的一个法向量为，则此直线的倾斜角为________ (★) 3. 已知复数满足（为虚数单位），则__________．(★★) 4. 已知、、是任意实数，能够说明“若，则”是假命题的一个有序整数组可以是________(★★) 5. 函数（，是虚数单位）的图象与直线有且仅有一个交点，则实数________(★★) 6. 直角坐标系内有点，将四边形 ABCD绕直线旋转一周，所得到的几何体的体积为____(★★) 7. 在中，，，为的中点，则___________. (★★) 8. 通过手机验证码登录哈喽单车 App，验证码由四位数字随机组成，如某人收到的验证码满足，则称该验证码为递增型验证码，某人收到一个验证码，那么是首位为2的递增型验证码的概率为________(★★★) 9. 已知函数（）的反函数为，当时，函数的最大值为，最小值为，则________(★★) 10. 欧拉公式，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”，已知数列的通项公式为（），则数列前2020项的乘积为________(★★★★)11. 用表示函数在闭区间I上的最大值．若正数a满足，则 a的最大值为________．(★★★) 12. 已知数列的首项为，且满足，则下列命题：① 是等差数列；② 是递增数列；③设函数，则存在某个区间，使得在上有唯一零点；则其中正确的命题序号为________二、单选题(★★) 13. 设、分别是直线、的方向向量，则“ ∥ ”是“ ∥ ”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件(★★) 14. 某学校有2500名学生，其中高一600人，高二800人，高三1100人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高二抽取样本本数分别为、，且直线与以为圆心的圆交于、两点，且，则圆的方程为（）A．B．C．D．(★★) 15. 函数的图像按向量平移后所得图像的函数解析式为，当函数为奇函数时，向量可以等于（）A．B．C．D．(★★★) 16. 已知为抛物线的焦点，、、为抛物线上三点，当时，则存在横坐标的点、、有（）A．0个B．2个C．有限个，但多于2个D．无限多个三、解答题(★★★) 17. 如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，.（1）证明：；（2）求直线与平面所成的角的大小.(★★) 18. 设、、分别是△ 内角、、所对的边，. （1）求角的大小；（2）若，且△ 的面积为，求△ 的周长.(★★★) 19. 受疫情影响，某电器厂生产的空调滞销，经研究决定，在已有线下门店销售的基础上，成立线上营销团队，大力发展“网红”经济，当线下销售人数为（人）时，每天线下销售空调可达（百台），当线上销售人数为（人）（）时，每天线上销量达到（百台）.（1）解不等式：，并解释其实际意义；（2）若该工厂大有销售人员（）人，按市场需求，安排人员进行线上或线下销售，问该工厂每天销售空调总台数的最大值是多少百台？(★★★★) 20. 已知椭圆的两焦点为，，且椭圆上一点，满足，直线与椭圆交于、两点，与轴、轴分别交于点、，且.（1）求椭圆的方程；（2）若，且，求的值；（3）当△ 面积取得最大值，且点在椭圆上时，求的值.(★★★★) 21. 已知数列满足：对任意，若，则，且，设，集合中元素的最小值记为；集合，集合中元素最小值记为.（1）对于数列：，求，；（2）求证：；（3）求的最大值.。
2020届上海市上海中学高三下学期高考模拟(4月)数学试题(解析版)
2020届上海市上海中学高三下学期高考模拟（4月）数学试题一、单选题 1．若复数1i()2im z m +=∈+R 为纯虚数，则m =（ ） A ．2 B ．1C ．1-D ．2-【答案】D【解析】结合复数的四则运算及纯虚数的概念，可求出答案. 【详解】1i (1i)(2i)2i 2i 221i 2i (2i)(2i)555m m m m m m z ++--+++-====+++-. 复数z 为纯虚数,得20210m m +=⎧⎨-≠⎩解得2m =-.故选：D. 【点睛】本题考查复数的运算、纯虚数的概念，考查运算求解能力以及函数与方程思想，属于基础题.. 2．“sin 0α=”是“cos 1α=”的（ ）.A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】判断两个命题：sin 0α=⇒cos 1α=和cos 1α=⇒sin 0α=的真假即可得． 【详解】由于22sin cos 1αα+=，且sin 0α=，得到cos 1α=±，故充分性不成立；当cos 1α=时，sin 0α=，故必要性成立.故选：B. 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，解题方法是根据充分必要条件的定义．即判断两个命题p q ⇒和q p ⇒的真假．3．如图所示的程序框图中，输出的S 为 （ ）A ．99223-B ．100223-C ．101223-D ．102223- 【答案】C 【解析】【详解】执行循环得：123410002(1)22(1)22S =+-++-+++L1001012(1(2))221(2)3----==--,选C.4．如图，已知F 为抛物线22y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，3OA OB ⋅=u u u v u u u v（其中O 为坐标原点），则ABO V 与BFO V 面积之差的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．35D 10【答案】C【解析】设直线AB 的方程为(0)x my n n =+>，由22x my n y x=+⎧⎨=⎩消去x 整理得2220y my n --=， 显然2480m n ∆=+>，设112212(,),(,)(0,0)A x y B x y y y ><，则122y y n =-，∴2221212121224y y OA OB x x y y y y n n ⋅=+=+=-u u u v u u u v ，由题意得223n n -=，即2230n n --=， 解得3n =或1n =-（舍去）． ∴直线AB 与x 轴的交点为(3,0)C ∴122122*********()2222224ABO BFO S S OC y y OF y y y y y y ∆∆-=--=-+⨯=-1131522y y =+≥=当且仅当1131522y y =，即1y =故ABO V 与BFO V面积之差的最小值是C ． 点睛：（1）设直线方程时，当直线斜率是否存在不知道时，为了避免讨论，可将直线方程设为x my n =+的形式，其中当0m =时表示斜率不存在的情形．（2）解析几何中求最值时，可将所需求最值的量用某一参数表达出来，然后根据目标函数的形式借助函数的知识或基本不等式求得最值．若用基本不等式求最值，不要忘了等号成立的条件．二、填空题5．已知实数集合{}1,2,3,x 的最大元素等于该集合的所有元素之和，则x =__________． 【答案】-3【解析】根据题意求元素的关系． 【详解】解：因为实数集合{}1,2,3,x 的最大元素等于该集合的所有元素之和， 所以123x x +++=（无解）或者1233x +++=， 解得：3x =-． 故答案为：-3． 【点睛】本题考查集合元素的关系，属于基础题． 6．sin limn nn→∞=__________．【解析】根据分子的有界性，分母的极限性即可求解． 【详解】解：因为[]sin 1,1y x =∈-， 而x →+∞时，y x =→+∞， ∴sin lim0n nn→∞=．故答案为：0． 【点睛】本题考查极限的求解，属于基础题目．7．已知向量(),2a m =r ，()1,1b =r，若a b a b +=+r r r r ，则实数m =__________．【答案】2【解析】根据题意，求出向量a b →→+的坐标，进而可得向量a b →→+与a →、b →的模，分析m 的值，即可得答案． 【详解】解：根据题意，向量(),2a m →=，()1,1b →=， 则()1,3a b m →→+=+，则a b →→+=a →=b →=，若a b a b →→→→+=+ 解可得：2m =； 故答案为：2． 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算和模的计算，考查运算能力．8．101x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为__________． 【答案】-120【解析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于4，求得r 的值，即可求得含4x 的项的系数．解：101x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()1021101r rr r T C x -+=⋅-⋅，令1024r -=，求得3r =，故展开式中4x 的系数为310120C -=-.故答案为：-120． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数．9．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若m 为大于1的正整数，且2111m m m a a a -+-+=，2111m S -=，则m =__________．【答案】6【解析】本题先根据等差中项的性质有112m m m a a a -++=，代入题干表达式可得到关于m a 的方程，解出m a 的值，然后根据等差数列的求和公式转化计算21m S -，再次利用等差中项的性质，代入m a 的值，即可计算出m 的值． 【详解】解：依题意，112m m m a a a -++=，由2111m m m a a a -+-+=，可得 221m m a a -=，整理，得2210m m a a -+=，解得：1m a =．()()()121212121222m m m m a a m a S ---+-⋅==()2121m m a m =-⋅=-，∵2111m S -=，∴2111m -=， 解得：6m =． 故答案为：6 【点睛】本题考查等差中项的应用和等差数列的求和公式的应用，考查了转化与化归思想和数学10．若A 、B 、C 、D 、E 五位同学站成一排照相，则A 、B 两位同学不相邻的概率为__________． 【答案】35【解析】基本事件总数55120n A ==，A 、B 两位同学不相邻包含的基本事件个数323472m A A ==，由此能求出A 、B 两位同学不相邻的概率．【详解】解：A 、B 、C 、D 、E 五位同学站成一排照相，基本事件总数55120n A ==，A 、B 两位同学不相邻包含的基本事件个数323472m A A ==，∴A 、B 两位同学不相邻的概率为7231205m p n ===． 故答案为：35． 【点睛】本题考查概率的求法，运用了排列组合和利用捆绑法解决不相邻问题，考查运算求解能力．11．不等式22sin cos 0-≥x x 的解集为__________． 【答案】π3ππ,π44k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z 【解析】利用二倍角的余弦函数公式化简可得cos20x ≤，进而根据余弦函数的图象和性质即可求解． 【详解】解：∵22sin cos cos 20x x x -=-≥， ∴cos20x ≤，可得π3π2π22π22k x k +≤≤+，k ∈Z ， 解得π3πππ44k x k +≤≤+，k ∈Z ， ∴不等式22sin cos 0-≥x x 的解集为π3ππ,π44k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ，故答案为：π3ππ,π44k k⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k∈Z．【点睛】本题考查了二倍角的余弦函数公式，余弦函数的图象和性质的综合应用，考查了函数思想．12．对于任意满足不等式22x y m+≤的实数x、y，都能使得不等式组2224x yx y⎧+≤⎪⎨-≤⎪⎩成立，则m的最大值是__________．【答案】165【解析】根据题意，再结合半径最大的圆22x y m+=应与直线相切，求出半径的最大值，即可求出结论．【详解】解：由题意可知，不等式组2224x yx y⎧+≤⎪⎨-≤⎪⎩表示的可行域如图：以()0,0为圆心的圆在不等式组2224x yx y⎧+≤⎪⎨-≤⎪⎩半径最大的圆22x y m+=应与直线相切，圆心到240x y--=的距离为：()1200445512d--==+-，圆心到20x y+-=的距离为：2220022211d--==+，由于12d d<，∴符合题意的最大的圆为：22165x y+=，∴m 的最大值是：165． 故答案为：165． 【点睛】本题考查了简单线性规划，涉及直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式的应用，考查转化思想和计算能力．13．半径为2的球面上有,,,A B C D 四点，且,,AB AC AD 两两垂直，则ABC ∆，ACD ∆与ADB ∆面积之和的最大值为______． 【答案】8【解析】AB ，AC ，AD 为球的内接长方体的一个角，故22216x y z ++=，计算三个三角形的面积之和，利用基本不等式求最大值． 【详解】如图所示，将四面体A BCD -置于一个长方体模型中，则该长方体外接球的半径为2．不妨设AC x =，AD y =，AB z =2222x y z ++=，即22216x y z ++=．记111222ABC ACD ADB S S S S yz xy zx =++=++△△△． 从而有()()()()222222240x y zS x y y z z x ++-=-+-+-≥，即432S ≤，从而8S ≤．当且仅当x y z ==，即该长方体为正方体时等号成立．从而最大值为8． 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值问题，考查了学生解决交汇性问题的能力．解答关键是利用构造法求球的直径．14．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，3c =，2C B =，则ABC V 的面积为______．【答案】15716【解析】由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式可求cos B 的值，根据同角三角函数基本关系式可求sin B 的值，利用二倍角公式可求sin C ，cos C 的值，根据两角和的正弦函数公式可求sin A 的值，即可利用三角形的面积公式计算得解． 【详解】2b =Q ，3c =，2C B =，∴由正弦定理sin sin b c B C =，可得：23sin sin B C =，可得：233sin sin22sin cos B B B B ==，∴可得：3cos 4B =，可得：sin B ==，∴可得：sin sin22sin cos C B B B ===21cos cos22cos 18C B B ==-=，()13sin sin sin cos cos sin 84A B C B C B C ∴=+=+=+=，11sin 23221616S bc A ∴==⨯⨯⨯=．． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.15．已知x 、y 都是正数，则2232x xy y x y++++的最小值为__________．【答案】2【解析】利用换元法结合二次函数，基本不等式即可求解最小值. 【详解】解：令x y t +=，那么222232243x xy y x t t x y t+++-++=+22723734882t x t t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=≥+≥当且仅当3x y ==时取等号， 所以2232x xy y x y ++++的最小值为2．故答案为：2． 【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，考查分析运算能力．16．设()()ln ,024,24x x f x f x x ⎧<<⎪=⎨-<<⎪⎩，方程()f x m =有四个不相等的实根()1,2,4i x i =，则22221234x x x x +++的取值范围为__________．【答案】()20,20.5【解析】不防令1234x x x x <<<，由题意()f x 的图象是关于2x =对称的，可得14234x x x x +=+=．助于ln x 的图象可以得到1x ，2x 之间的关系，最终将22221234x x x x +++表示成2x 的函数，再借助于换元法最终将问题转化为二次函数的最值问题． 【详解】解：∵24x <<时，()()4f x f x =-，∴()f x 在()2,4与()0,2上的图象关于2x =对称， 作出图象如下：不防令1234x x x x <<<，可得14234x x x x +=+=，12ln ln x x -=，∴121=x x ． ∴121x x =，4214x x =-，324x x =-，∴()22222221234222221144x x x x x x x x ⎛⎫+++=++-+- ⎪⎝⎭22222112828x xx x ⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()21,2x ∈，令22152,2t x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭， 则原式化为：()22828h t t t =-+，52,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，其对称轴2t =，开口向上，故()h t 在52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭递增， ∴()2020.5h t <<，∴22221234x x x x +++的取值范围是()20,20.5．故答案为：()20,20.5．【点睛】本题考查利用函数图象研究函数零点的问题，以及构造函数求值域的方法，体现了对数形结合、函数思想以及运算能力的考查．三、解答题17．如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，AB =2，AD =23，∠BAD =90°． （Ⅰ）求证：AD ⊥BC ；（Ⅱ）求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值； （Ⅲ）求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)13；(Ⅲ)3．【解析】分析：（Ⅰ）由面面垂直的性质定理可得AD⊥平面ABC，则AD⊥BC．（Ⅱ）取棱AC的中点N，连接MN，ND．由几何关系可知∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角．计算可得1132MNcos DMNDM∠==．则异面直线BC与MD所成角的余弦值为13．（Ⅲ）连接CM．由题意可知CM⊥平面ABD．则∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．计算可得34CMsin CDMCD∠==．即直线CD与平面ABD所成角的正弦值为3．详解：（Ⅰ）证明：由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC．（Ⅱ）取棱AC的中点N，连接MN，ND．又因为M为棱AB的中点，故MN∥BC．所以∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角．在Rt△DAM中，AM=1，故DM22=13AD AM+因为AD⊥平面ABC，故AD⊥AC．在Rt△DAN中，AN=1，故DN22=13AD AN+在等腰三角形DMN中，MN=1，可得1132cosMNDMNDM∠==．所以，异面直线BC与MD13（Ⅲ）连接CM．因为△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故CM⊥AB，CM3又因为平面ABC⊥平面ABD，而CM⊂平面ABC，故CM⊥平面ABD．所以，∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．在Rt △CAD 中，CD =22AC AD +=4．在Rt △CMD 中，3sin CM CDM CD ∠==． 所以，直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为34． 点睛：本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．18．王老师在做折纸游戏，现有一张边长为1的正三角形纸片ABC ，将点A 翻折后恰好落在边BC 上的点F 处，折痕为DE ，设BD x =，BF y =．（1）求x 、y 满足的关系式； （2）求x 的取值范围．【答案】（1）2210y xy x -+-=；（2）(0,423-【解析】（1）连接DF ，由翻折的特点可得DF 垂直平分AF ，则AD DF =，在BDF V 中，运用余弦定理可得x ，y 的关系式；（2）由（1）的关系式，解得x 关于y 的式子，换元后，运用基本不等式可得所求范围，注意等号成立的条件． 【详解】解：（1）如图连接DF ，由点A 翻折后恰好落在边BC 上的点F 处， 折痕为DE ，可得DE 垂直平分AF ，则AD DF =， 由等边三角形ABC 的边长为1，且BD x =， 可得1AD x =-，1DF x =-， 在BDF V 中，60B ∠=o ，由余弦定理可得：2222cos DF BD BF BD BF B =+-⋅⋅ 即()2221122x x y xy -=+-⋅， 化简可得：2210y xy x -+-=，即x 、y 满足的关系式为：2210y xy x -+-=；（2）由（1）可得2210y xy x -+-=，解得：212y x y -=-，设2y t -=，由01y <<，可得：21t -<<-， 则2y t =+，()2213334442423t x t t t tt t t +-⎛⎫==++=--+≤--⋅=- ⎪--⎝⎭，当且仅当t 3=-，即()230,1y =-∈，等号成立， 则x 的取值范围是：(0,423⎤-⎦．【点睛】本题考查平面几何的翻折问题，考查解三角形的余弦定理，以及变量的取值范围的求法，注意运用换元法和基本不等式，考查运算能力．19．已知{}n a 是等差数列，13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n a b -是等比数列．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设cos πn n c b n =，求数列{}n c 的前n 项和n S ．【答案】（1）3n a n =，132n n b n -=+（2）()()33121,2233121,23n n n n n S n n ⎧⎛⎫-+++ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪+-⎪⎩为奇数为偶数【解析】（1）由已知可求得等差数列的公差，得到数列{}n a 的通项公式，再由{}n n a b -是等比数列，求得公比2q =，从而求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）化简()1cos π32cos πn n n c b n n n -==+，分类讨论后利用数列的分组求和以确定数列{}n c 的前n 项和n S ． 【详解】解：（1）∵{}n a 是等差数列，13a =，412a =， ∴41341a a d -==-， ∴()3313n a n n =+-=， ∵{}n n a b -是等比数列，且11341a b -=-=-，4412208a b -=-=-， ∴2q =，∴112n n n a b --=-⋅，∴132n n b n -=+；（2）()1cos π32cos πn n n c b n n n -==+，①当n 为奇数时，()()()()()()2131629431232n n n S n n --=-+++-+++-+-+L ()()()136********n n n -=-+-++--+-+-+-L L ()11332123nn n -⎡⎤=⨯-+--⎣⎦()()3112123nn ⎡⎤=-++--⎣⎦()()3112123n n ⎡⎤=-+++⎢⎥⎣⎦，②当n 为偶数时，()()()()()()2131629431232n n n S n n --=-+++-++--+++L ()()()136********n n n -=-+-+--++-+-++L L ()132123nn ⎡⎤=⨯+--⎣⎦()312123n n =+-． 综上所述，()()33121,2233121,23n n n n n S n n ⎧⎛⎫-+++ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪+-⎪⎩为奇数为偶数． 【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的应用，同时考查了数列的通项公式和前n 项和的求法及分类讨论的思想应用．20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长是焦距的2倍，且过点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求椭圆C 的方程；（2）设(),P x y 为椭圆C 上的动点，F 为椭圆C 的右焦点，A 、B 分别为椭圆C 的左、右顶点，点P '满足()4,0PP x →'=-．①证明：PP PF→→'为定值；②设Q 是直线:4l x =上的动点，直线AQ 、BQ 分别另交椭圆C 于M 、N 两点，求MF NF +的最小值．【答案】（1）22143x y +=（2）①见解析②3【解析】（1）由题意可得2a c =又过一点，及a ，b ，c 之间的关系求出a ，b ，进而求出椭圆的方程；（2）①由（1）可得右焦点F ，A ，B 的坐标，求出向量PP →'的模，及向量PF →的模可证得PP PF→→'为定值；②由题意方程可得4x =为右准线，设Q 的坐标，求出直线AQ ，BQ 的直线与椭圆联立求出M ，N 的横坐标，再由椭圆的性质到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率可得MF NF +用M ，N 的横坐标表示，由均值不等式可得其最小值. 【详解】解：（1）由题意可得2a c =，221914a b+=，222a b c =+， 解得：24a =，23b =，所以椭圆的方程为：22143x y +=；（2）由（1）可得()2,0A -，()2,0B ，()1,0F ， ①因为(),P x y 为椭圆C 上的动点，点P '满足()4,0PP x →'=-，所以22143x y +=；所以4PP x →'=-()()222211314x PF x y x →⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭()221112444422x x x x =-+=-=-， 所以：42142PP x x PF→→'-==⋅-，所以可证PP PF→→'为定值2．②由题意设()4,Q t ，所以426AQ t t k ==+， 所以直线AQ 的方程为：()26ty x =+，联立直线AQ 与椭圆的方程：()222634120t y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+-=⎩ 整理可得：()22222744108txt t +++-，所以224108227M t x t --⋅=+，所以2225427M t x t -+=+，同理422BQ t tk ==-，所以直线BQ 的方程：()22t y x =-， ()222234120t y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+-=⎩整理可得：()2222344120t x t x t +-+-=， 所以2241223N t x t -=+，所以22263N t x t-=+， 因为4x =为右准线，所以由到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率12e =， 可得：()()()111448222M N M N MF NF x x x x +=-+-=-- 2222273442273M Nx x t t t t ⎛⎫+-+-=-=-+ ⎪++⎝⎭22484438130t t=-≥=++， 当且仅当481t =，即3t =±时取等号． 所以MF NF +的最小值为3． 【点睛】本题考查椭圆的标准方程的求法，涉及椭圆的简单几何性质的应用和直线与椭圆的综合，以及向量的模的求法，考查解题运算能力．21．若函数()f x 对任意的x ∈R ，均有()()()112f x f x f x -++≥，则称函数()f x 具有性质P ．（1）判断下面两个函数是否具有性质P ，并说明理由．①()1xy aa =>；②3y x =．（2）若函数()f x 具有性质P ，且()()()*002,N f f n n n >∈==，求证：对任意{}1,2,3,,1i n ∈-L 有()0f i ≤；（3）在（2）的条件下，是否对任意[]0,x n ∈均有()0f i ≤．若成立给出证明，若不成立给出反例． 【答案】（1）①()1xy aa =>具有性质P ；②3y x =不具有性质P ，见解析；（2）见解析（3）不成立，见解析【解析】（1）①根据已知中函数的解析式，结合指数的运算性质，计算出()()()112f x f x f x -++-的表达式，进而根据基本不等式，判断其符号即可得到结论；②由3y x =，举出当1x =-时，不满足()()()112f x f x f x -++≥，即可得到结论；（2）由于本题是任意性的证明，从下面证明比较困难，故可以采用反证法进行证明，即假设()f i 为()()()1,2,,1f f f n -L 中第一个大于0的值，由此推理得到矛盾，进而假设不成立，原命题为真；（3）由（2）中的结论，我们可以举出反例，如()()2,,x x n x f x x x ⎧-=⎨⎩为有理数为无理数，证明对任意[]0,x n ∈均有()0f x ≤不成立． 【详解】证明：（1）①函数()()1xf x aa =>具有性质P ，()()()11111222x x x x f x f x f x a a a a a a -+⎛⎫-++-=+-=+- ⎪⎝⎭，因为1a >，120xa a a ⎛⎫+->⎪⎝⎭， 即()()()112f x f x f x -++≥， 此函数为具有性质P ；②函数()3f x x =不具有性质P ，例如，当1x =-时，()()()()11208f x f x f f -++=-+=-，()22f x =-，所以，()()()201f f f -+<-， 此函数不具有性质P ．（2）假设()f i 为()()()1,2,,1f f f n -L 中第一个大于0的值， 则()()10f i f i -->， 因为函数()f x 具有性质P ， 所以，对于任意*n ∈N ，均有()()()()11f n f n f n f n +-≥--，所以()()()()()()11210f n f n f n f n f i f i --≥---≥≥-->L ， 所以()()()()()()110f n f n f n f i f i f i =--+++-+>⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦L ， 与()0f n =矛盾，所以，对任意的{}1,2,3,,1i n ∈-L 有()0f i ≤． （3）不成立．例如，()()2,,x x n x f x x x ⎧-=⎨⎩为有理数为无理数证明：当x 为有理数时，1x -，1x +均为有理数，()()()112f x f x f x -++-()()()2221121122x x x n x x x =-++---++-=，当x 为无理数时，1x -，1x +均为无理数，()()()()()2221121122f x f x f x x x x -++-=-++-=所以，函数()f x 对任意的x ∈R ， 均有()()()112f x f x f x -++≥， 即函数()f x 具有性质P ．而当[]()0,2x n n ∈>且当x 为无理数时，()0f x >． 所以，在（2）的条件下，“对任意[]0,x n ∈均有()0f x ≤”不成立．如()()()01x f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为有理数为无理数，()()()01x f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为整数为非整数，第 21 页 共 21 页 ()()()20x f x xx ⎧⎪=⎨⎪⎩为整数为非整数等． 【点睛】 本题考查了函数的新定义及其应用，涉及指数函数和幂函数的性质，反证法，其中在证明全称命题为假命题时，举出反例是最有效，快捷，准确的方法．。
2020届上海市高考数学4月模拟试题和答案详细解析及备考策略
2020届上海市高考数学4月模拟试题一、填空题1．（3分）已知i为虚数单位，复数z满足＝i，则|z|＝．2．（3分）设a＞0且a≠1，若函数f（x）＝a x﹣1+2的反函数的图象经过定点P，则点P的坐标是．3．（3分）在平面直角坐标系内，直线l：2x+y﹣2＝0，将l与两坐标轴围成的封闭图形绕y轴旋转一周，所得几何体的体积为．4．（3分）已知sin2θ+sinθ＝0，θ∈（，π），则tan2θ＝．5．（3分）设定义在R上的奇函数y＝f（x），当x＞0时，f（x）＝2x﹣4，则不等式f（x）≤0的解集是．6．（3分）在平面直角坐标系xOy中，有一定点A（1，1），若OA的垂直平分线过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，则抛物线C的方程为．7．（3分）记的展开式中第m项的系数为b m，若b3＝2b4，则n＝．8．（3分）从棱长为1的正方体的8个顶点中任取3个点，则以这三点为顶点的三角形的面积等于的概率是．9．（3分）若数列{a n}的所有项都是正数，且++…+＝n2+3n（n∈N*），则（）＝．10．（3分）甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有20道选择题，每题均有4个选项，答对得3分，答错或不答得0分，甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们有2道题的选项不同，如果甲最终的得分为54分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为．11．（3分）对于函数f（x）＝，其中b＞0，若f（x）的定义域与值域相同，则非零实数a的值为．12．（3分）已知a＞0，函数（x∈[1，2]）的图象的两个端点分别为A、B，设M 是函数f（x）图象上任意一点，过M作垂直于x轴的直线l，且l与线段AB交于点N，若|MN|≤1恒成立，则a的最大值是．二、选择题13．（3分）“sinα＝0”是“cosα＝1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件14．（3分）下列命题正确的是（）A．若直线l1∥平面α，直线l2∥平面α，则l1∥l2B．若直线l上有两个点到平面α的距离相等，则l∥αC．直线l与平面α所成角的取值范围是（0，）D．若直线l1⊥平面α，直线l2⊥平面α，则l1∥l215．（3分）已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（﹣）•（﹣）＝0，则||的最大值是（）A．1 B．2 C．D．16．（3分）已知函数f（x）＝，若存在实数x1，x2，x3，x4满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），其中x1＜x2＜x3＜x4，则x1x2x3x4取值范围是（）A．（60，96）B．（45，72）C．（30，48）D．（15，24）三、解答题17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝AA1＝2，D为侧棱AA1的中点（1）求证：BC⊥平面ACC1A1；（2）求二面角B1﹣CD﹣C1的大小（结果用反三角函数值表示）18．已知函数f（x）＝sinωx+cos（ωx+）+cos（ωx﹣）﹣1（ω＞0），x∈R，且函数的最小正周期为π：（1）求函数f（x）的解析式；（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若f（B）＝0，•＝，且a+c＝4，试求b的值．19．定义在D上的函数f（x），若满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．（1）设f（x）＝，判断f（x）在[﹣，]上是否有有界函数，若是，说明理由，并写出f（x）上所有上界的值的集合，若不是，也请说明理由；（2）若函数g（x）＝1+2x+a•4x在x∈[0，2]上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．20．如图，设F是椭圆+＝1的下焦点，直线y＝kx﹣4（k＞0）与椭圆相交于A、B两点，与y轴交于点P（1）若＝，求k的值；（2）求证：∠AFP＝∠BFO；（3）求面积△ABF的最大值．21．已知正项数列{a n}，{b n}满足：对任意正整数n，都有a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列，且a1＝10，a2＝15．（Ⅰ）求证：数列是等差数列；（Ⅱ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅲ）设，如果对任意正整数n，不等式恒成立，求实数a的取值范围．2020届上海市高考数学4月模拟试题答案一、填空题1．1； 2．（3，1）； 3．； 4．； 5．（﹣∞，﹣2]∪[0，2]； 6．y2＝4x； 7．5；8．； 9．2； 10．{48，51，54，57，60}； 11．﹣4； 12．6+4；二、选择题13．B； 14．D； 15．C； 16．B；三、解答题17．； 18．； 19．； 20．； 21．；疫情期间如何有效复习由于疫情的影响，很多地区的学校推迟开学时间，面对这样的状况，作为即将迎来高考的学子们如何在疫情期间有效复习，不让自己的成绩滑档？针对这个特殊的“加长版寒假”兰州普瑞眼科医院温馨提示广大高考学子：可以采取以下的五种方式、三个原则、一个注意方式，让自己即在家能够专心复习又能够保证身心健康。
2020届上海市七宝中学高三下学期4月月考数学试题解析
绝密★启用前2020届上海市七宝中学高三下学期4月月考数学试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，则“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的（）. A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件答案：B化简cos cos a A b B =得到A B =或2A B π+=，再判断充分必要性.解：cos cos a A b B =，根据正弦定理得到：sin cos sin cos sin 2sin 2A A B B A B =∴=故22A B A B =∴=或222A B A B ππ=-∴+=，ABC ∆为等腰或者直角三角形.所以“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的必要非充分条件 故选B 点评：本题考查了必要非充分条件，化简得到A B =或2A B π+=是解题的关键，漏解是容易发生的错误.2．已知函数()f x 为R 上的单调函数，1()f x -是它的反函数，点(2,3)A -和点(2,1)B 均在函数()f x 的图像上，则不等式1|(3)|2x f -<的解集为（） A ．(0,1) B ．(1,3) C ．(1,1)- D ．(0,3)答案：A由()f x 给出的已知两点确定单调性，再由()f x 与1()f x -的对应关系进一步求解即可 解： 由311222AB k -==---和()f x 为R 上的单调函数，可得()f x 为R 上的单调递减函数，则1()f x -在定义域内也为单调递减函数；原函数过点(2,3)A -和点(2,1)B ，则1()f x -过()()1,2,3,2- 则11|(3)|22(3)2133x x x f f --<⇔-<<⇔<<，解得(0,1)x ∈ 故选：A 点评：本题考查原函数与反函数的性质，原函数若单调，则原函数与反函数单调性相同，原函数定义域（值域）与反函数值域（定义域）相同，属于中档题3．有红色、黄色小球各两个，蓝色小球一个，所有小球彼此不同，现将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有() A ．24种 B ．48种 C ．72种 D ．120种答案：B由排列组合及简单的计数问题得，将五个球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有542322542322248A A A A A A -+=.解：解：将五个球排成一行共有55A 种不同的排法， 当两个红色球相邻共有4242A A 种不同的排法， 当两个黄色球相邻共有4242A A 种不同的排法，当两个黄色球、两个红色球分别相邻共有322322A A A 种不同的排法，则将五个球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有542322542322248A A A A A A -+=种， 故选：B 点评：此题考查了排列组合及简单的计数问题，属于中档题.4．如图为正方体1111ABCD A B C D -，动点M 从1B 点出发，在正方体表面沿逆时针方向运动一周后，再回到1B 的运动过程中，点M 与平面11A DC 的距离保持不变，运动的路程x 与11 l MA MC MD =++之间满足函数关系() l f x =，则此函数图象大致是()A ．B ．C ．D ．答案：C先由题意，得到点M 在1B AC ∆的边上沿逆时针方向运动，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，取线段1B A 的中点为N ，根据题意确定当动点M 运动到点N 时，111 =++<==N A B C l NA NC ND l l l ，同理得到动点M 运动到线段AC 或1CB 的中点时，也符合上式，根据变化情况，结合选项，即可得出结果. 解：由题意可知：点M 在1B AC ∆的边上沿逆时针方向运动，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，取线段1B A 的中点为N ， 则当动点M 运动到点N 时，11126232=++=<+===N A B C l NA NC ND l l l ， 同理，当动点M 运动到线段AC 或1CB 的中点时，计算得11126232=++=<+===A B C l MA MC MD l l l . 符合C 选项的图像特征. 故选C点评：本题主要考查空间几何体中的轨迹问题，熟记空间几何体的结构特征即可，属于常考题型. 二、填空题5．设全集U ＝R ，若A ＝{x |21x x-＞1}，则∁U A ＝_____． 答案：{x |0≤x ≤1}先解得不等式,再根据补集的定义求解即可 解：全集U ＝R ,若A ＝{x |21x x-＞1}, 所以211x x -＞,整理得10x x-＞,解得x ＞1或x ＜0, 所以∁U A ＝{x |0≤x ≤1} 故答案为：{x |0≤x ≤1} 点评：本题考查解分式不等式,考查补集的定义6．某校三个年级中，高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，高三年级有学生340人，现采用分层抽样的方法从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为________. 答案：17由于分层抽样是按比例抽取，若设高三年级的学生抽取了x 人，则有40034020x=，求出x 的值即可解：解：设高三年级的学生抽取了x 人，则由题意得40034020x=，解得17x = 故答案为：17点评：此题考查分层抽样，属于基础题.7．过点()1,2-且到原点距离最大的直线方程为________. 答案：250x y -+=若设点P 的坐标为()1,2-，则所求的直线为过点P 且与OP 垂直的直线，先求出直线OP 的斜率，则可得所求直线的斜率，然后利用点斜式可求得直线方程.解：解：设点P 的坐标为()1,2-，则过点P 且到原点距离最大的直线方程为与OP 垂直的直线，因为2OP k =-，所以所求直线的斜率为12， 所以所求的直线方程为12(1)2y x -=+，即250x y -+= 故答案为：250x y -+= 点评：此题考查两直线的位置关系，直线方程的求解，属于基础题.8．设无穷等比数列n a 的公比为q ，首项10a >，231lim()2n n a a a a →∞+++>L 则公比q 的取值范围是________ 答案：2,13⎛⎫⎪⎝⎭利用无穷等比数列极值的运算法则、化简，即可求解，得到答案． 解：因为21231lim()211n n a a qa a a a q q→∞•+++==>--L ，又10a >且01q <<， 解得2,13q ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 点评：本题主要考查了无穷等比数列的极限，以及数列极限运算法则的应用，考查计算能力，属于基础题．9．满足约束条件||2||2x y +≤的目标函数z y x =-的最大值是_____. 答案：2作出可行域，再作目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解． 解：作出约束条件||2||2x y +≤所表示的平面区域如图所示(阴影部分),易知z y x =-在点(-2，0)上取得最大值，此时0(2)2z =--=， 故答案为：2.点评：本题考查简单的线性规划，解题关键是作出可行域．本题可行域不是直接用二元一次方程组给出，而是由绝对值不等式给出，因此要由绝对值定义转化得到．10．若复数z 满足0|||3|4z z z i -+-=且复数z 对应的点的轨迹是椭圆，则复数0z 满足的条件是________. 答案：0034z i <-<根据椭圆的定义可知，03i 4z -<，从而得到复数0z 满足的条件是复数0z 在以(0,3)为圆心，4为半径的圆的内部. 解：解：因为复数z 满足0|||3|4z z z i -+-=且复数z 对应的点的轨迹是椭圆， 所以03i 4z -<，根据复数差的几何意义可知03i 4z -<表示复数0z 到(0,3)的距离小于4，即复数0z 满足的条件是复数0z 在以(0,3)为圆心，4为半径的圆的内部，如图所示。
上海市2020〖人教版〗高三数学复习试卷月考试卷一数学文科
上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷月考试卷一数学文科创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01审核人：北堂王会创作单位：明德智语学校第I卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1.已知集合，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化简集合A，根据交集的定义写出A∩B．【详解】，∴故选：A【点睛】在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】利用两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质化简复数z，求出其共轭复数，从而得到答案.【详解】∵复数===﹣1﹣3i，∴，它在复平面内对应点的坐标为（﹣1，3），故对应的点位于在第二象限，故选：B．【点睛】本题主要考查两个复数代数形式的除法，共轭复数，虚数单位i 的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．3.执行如图所示的程序图，如果输入，，则输出的的值为A. 7B. 8C. 12D. 16【答案】B【解析】【分析】根据程序框图，依次判断是否满足条件即可得到结论．【详解】若输入a=1，b=2，则第一次不满足条件a＞6，则a=2，第二次不满足条件a＞6，则a=2×2=4，第三次不满足条件a＞6，则a=4×2=8，此时满足条件a＞6，输出a=8，故选：B．【点睛】本题主要考查程序框图的识别和运行，依次判断是否满足条件是解决本题的关键，比较基础．4.若变量x，y满足约束条件，则的最大值为A. 1B. 3C. 4D. 5【答案】D【解析】【分析】画出满足条件的平面区域，求出A点的坐标，将z=2x+y转化为y=﹣2x+z，结合函数图象求出z的最大值即可．【详解】画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得：A（2，1），由z=2x+y得：y=﹣2x+z，显然直线y=﹣2x+z过（2，1）时，z最大，故z的最大值是：z=4+1=5，故选：D．【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.5.已知回归直线的斜率的估计值是1．23，样本点的中心为（4，5），则回归直线的方程是A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据回归直线方程一定经过样本中心点这一信息，即可得到结果．【详解】由条件知，，设回归直线方程为，则.∴回归直线的方程是故选：C【点睛】求解回归方程问题的三个易误点：（1）易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．（2）回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过(，)点，可能所有的样本数据点都不在直线上．（3）利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质上是预测值(期望值)．6.在数列中，，数列是以3为公比的等比数列，则等于A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由等比数列通项公式得到，再结合对数运算得到结果.【详解】∵，数列是以3为公比的等比数列，∴∴故选：B【点睛】本题考查等比数列通项公式，考查指对运算性质，属于基础题.7.设，且，则等于A. 2B.C. 8D.【答案】C【解析】【分析】由题意利用诱导公式求得 asinα+bcosβ=﹣3，再利用诱导公式求得f （）的值．【详解】∵∴即而=8故选：C【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，体现了整体的思想，属于基础题．8. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为圆锥的一半，那么该几何体的表面积为该圆锥表面积的一半与轴截面面积的和．又该半圆锥的侧面展开图为扇形，所以侧面积为，底面积为，由三视图可知，轴截面为边长为2的正三角形，所以轴截面面积为，则该几何体的表面积为．选D考点：几何体的表面积，三视图9.将函数的图象向右平移个单位后得到的函数为，则函数的图象A. 关于点（，0）对称B. 关于直线对称C. 关于直线对称D. 关于点（）对称【答案】C【解析】【分析】利用平移变换得到，然后研究函数的对称性.【详解】将的图象右移个单位后得到图象的对应函数为，令得，，取知为其一条对称轴，故选：C.【点睛】函数的性质(1) .(2)周期由求对称轴由求增区间;由求减区间.10.若函数且）的值域是［4，＋∞），则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出当x≤2时，f（x）≥4，则根据条件得到当x＞2时，f（x）=3+log a x≥4恒成立，利用对数函数的单调性进行求解即可．【详解】当时，，要使得函数的值域为，只需的值域包含于，故，所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：A【点睛】本题主要考查函数值域的应用，利用分段函数的表达式先求出当x≤2时的函数的值域是解决本题的关键．11.已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是钝角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图，根据双曲线的对称性可知，若是钝角三角形，显然为钝角，因此，由于过左焦点且垂直于轴，所以，，，则，，所以，化简整理得：，所以，即，两边同时除以得，解得或（舍），故选择D.点睛：求双曲线离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围，在列方程或不等式的过程中，要考虑到向量这一重要工具在解题中的应用.求双曲线离心率主要以选择、填空的形式考查，解答题不单独求解，穿插于其中，难度中等偏高，属于对能力的考查.12.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为△ABC所在平面内一点，则的最小值是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．【详解】以为轴，的垂直平分线为轴，为坐标原点建立坐标系，则,设，所以，所以，，故选：A【点睛】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解决本题的关键．第II卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试題考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小題，每小题5分，共20分13.锐角中，，△ABC的面积为，则＝_______。
上海市七宝中学2020-2021学年高二下学期4月月考数学试题
上海市七宝中学2020-2021学年高二下学期4月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________． 2．若事件E 与F 相互独立，且1()()4P E P F ==，则()P E F 的值为_______（用最简分数表示）.3．12x ⎛⎝的二项式展开式中的常数项为________（用数值作答）.4．计算：103237n nn n C C -+++=________（用数值作答）5．从总体中抽取6个样本：4，5，6，10，7，4，则总体方差的点估计值为________. 6．从正方体的6个面中取3个，其中有2个面不相邻的概率为________（用最简分数表示）.7．直线155x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数，t R ∈）与曲线2sin cos sin cos x y θθθθ=⎧⎨=-⎩（θ为参数，[0,2)θπ∈）的公共点的坐标为________.8．在5(231)x y -+在展开式中，不含y 的所有项的系数和为________（用数值作答）. 9．从集合{}23|1,n M z z i i i i n N ==+++++∈中任取两个元素相加，则所得复数________（用最简分数表示）. 10．已知袋中有()*82,n n n N+≥∈个大小相同的编号球，其中黄球8个，红球n 个，从中任取两个球，取出的两球是一黄一红的概率为n P ，则n P 的最大值为________（用最简分数表示）.11．已知关于x 的实系数方程2220x x -+=和2210x mx ++=的四个不同的根在复平面内对应的点共圆。