高数上期末考试试卷及答案
高数期末考试题(复习题)附答案
大一上学期高数期末考试一、单项选择题1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x+（C ）1x - （D ）2x +.5、设22sin y x y e y -=，则dydx=（ ） (A) 22cos 2y xy y e + (B) 222cos yxy e y x+- (C) 0 (D) 222cos 2y xy y e x +- 6、设函数11()1xx f x e-=-，则（ ）。
(A) 0,1x x ==都是()f x 的第一类间断点； (B) 0,1x x ==都是()f x 的第二类间断点；(C) 0x =是()f x 的第一类间断点, 1x =是()f x 的第二类间断点； (D) 0x =是()f x 的第二类间断点, 1x =是()f x 的第一类间断点。
大学高数期末试题及答案
大学高数期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = xD. f(x) = sin(x)答案：C2. 函数f(x) = 2x + 1在x=2处的导数是：A. 3B. 4C. 5D. 6答案：B3. 曲线y = x^2 + 1在点(1, 2)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C4. 定积分∫(0到1) x dx的值是：A. 0.5B. 1C. 2D. 3答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是______。
答案：12. 函数y = ln(x)的不定积分是______。
答案：xln(x) - x + C3. 微分方程dy/dx + y = e^(-x)的通解是______。
答案：y = -e^(-x) + Ce^(-x)4. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的极值点是______。
答案：x = 1, x = 2三、解答题（每题15分，共30分）1. 求函数f(x) = x^2 - 4x + 3的极值。
答案：函数f(x)的导数为f'(x) = 2x - 4。
令f'(x) = 0，解得x = 2。
将x = 2代入原函数，得到f(2) = 3，这是函数的极小值。
2. 计算定积分∫(0到π) sin(x) dx。
答案：根据定积分的性质，∫(0到π) sin(x) dx = [-cos(x)](0到π) = -cos(π) + cos(0) = 2。
四、证明题（每题15分，共15分）1. 证明函数f(x) = x^3在R上是连续的。
答案：对于任意实数x，有f(x) = x^3。
因为多项式函数在其定义域内处处连续，所以f(x) = x^3在R上是连续的。
高等数学上期末试卷(含答案)
一． 选择题：（每小题3分，共15分）1. 若当0x →时，arctan x x -与nax 是等价无穷小，则a = ( ) B A. 3 B.13 C. 3- D. 13- 2. 下列函数在[1,1]-上满足罗尔定理条件的是 ( )C A. ()f x x = B. 3()f x x =C. ()e e xxf x -=+ D. 1,10()0,01x f x x -≤≤⎧=⎨<≤⎩3. 如果()e ,xf x -=则(ln )d f x x x'=⎰ ( )B A. 1C x -+ B. 1C x+ C. ln x C -+ D. ln x C + 4.曲线y x=渐近线的条数是( ) C A. 1 B. 2 C. 3 D. 45. 设函数()f x 与()g x 在[,]a a -上均具有二阶连续导数，且()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，则[()()]d aa f x g x x -''''+=⎰( ) DA. ()()f a g a ''+B. ()()f a g a ''-C. 2()f a 'D. 2()g a '二． 填空题：（每小题3分，共15分）1. 要使函数2232()4x x f x x -+=-在点2x =连续，则应补充定义(2)f = .142. 曲线2e x y -=在区间 上是凸的.(,22-序号3．设函数322(21)e ,x y x x x =+++则(7)(0)y =______________.77!2+4. 曲线231x t y t⎧=+⎨=⎩在2t =点处的切线方程是 . 37.y x =- 5.定积分11(cos x x x -+=⎰ .π2三．解下列各题：（每小题10分，共40分）1．求下列极限（1）22011lim .ln(1)x x x →⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦. 解：原式=2240ln(1)lim x x x x→-+ …………..2分 2302211lim.42x xx x x →-+== ………….3分 （2）()22220e d lim e d xt xx t t t t-→⎰⎰.解：原式= ()222202e d e limext x x x t x --→⋅⎰………….3分 22000e d e =2lim2lim 2.1x t xx x t x--→→==⎰ …………..2分2. 求曲线0πtan d (0)4x y t t x =≤≤⎰的弧长.解：s x x == …………..5分ππ440sec d ln sec tan |ln(1x x x x ==+=+⎰ ………..5分 3. 设()f x 满足e ()d ln(1e ),x x f x x C =-++⎰求()d .f x x ⎰解：1(),1e xf x -=+ …………..4分 1e ()d d d 1e 1e xx xf x x x x ---=-=++⎰⎰⎰ …………..3分 ln(1e ).x C -=++ …………..3分4. 已知2lim e d ,xc x x x c x x x c -∞→+∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭⎰求常数.c 解：2lim e ,xc x x c x c →+∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭………….4分 221e d (24cxc c x x -∞=-⎰ …………. 4分 5.2c = …………. 2分四．解下列各题：（每小题10分，共30分）1. 设()f x 在[,]a b 上连续，且()0,f x >且1()()d d ,()xba xF x f t t t f t =-⎰⎰求证： （1）[,],()2;x a b F x '∀∈≥（2）()F x 在(,)a b 内恰有一个零点.证明：（1）1()()2,()F x f x f x '=+≥= ……3分 （2）()F x 在[,]a b 上连续 ……1分11()()d d d 0,()()a bb aaa F a f t t t t f t f t =-=-<⎰⎰⎰ ……2分1()()d d ()d 0,()b bb aba Fb f t t t f t t f t =-=>⎰⎰⎰ ……2分由零点定理，()F x 在(,)a b 内至少有一个零点. ……1分 又()F x 在[,]a b 上严格单调增，从而()F x 在(,)a b 内恰有一个零点.……1分2. 设直线(01)y ax a =<<与抛物线2y x =所围成图形的面积为1,S 它们与直线1x =围成图形的面积为2.S（1）确定a 的值，使12S S S =+取得最小值，并求此最小值; （2）求该平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.解：22(0,0),(,)y ax a a y x=⎧⇒⎨=⎩ ……..2分 1220()d ()d a aS ax x x x ax x =-+-⎰⎰31,323a a =-+21()0,22S a a a '=-=⇒=唯一驻点()20,S a a ''=>最小值2(.26S = ……..4分1222222π[()()]d π[()()]d 22x V x x x x x x =-+-1π.30+=……..4分 3. 设()f x 在[0,1]上二次可微，且(0)(1)0,f f ==证明：存在(0,1),ξ∈使得()()0.f f ξξξ'''+=证明：令()(),F x xf x '=则()F x 在[0,1]上可微， ……..3分(0)(1)0,f f ==()f x 在[0,1]上可微，由罗尔定理存在(0,1),η∈使()=0f η'……..3分(0)()0,F F η==由罗尔定理存在(0,)(0,1),ξη∈⊂使()=0F ξ' ()()()，F x f x xf x ''''=+(0,1),()()=0.f f ξξξξ'''∴∈+ ……..4分。
高数上册期末试题及答案
高数上册期末试题及答案一、选择题1. 设函数f(x) = x^2 + 3x - 2，对于f(x)在区间[-2, 2]上的极值，以下说法正确的是（）。
A. f(x)在x = 0处有极小值B. f(x)在x = 1处有极大值C. f(x)在x = -2处有极小值D. f(x)在x = 2处有极大值答案：C. f(x)在x = -2处有极小值2. 给定函数f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c，若f(1) = 5，f'(1) = 3，f''(1) = 6，则a, b, c的值分别为（）。
A. a = -3, b = -3, c = 4B. a = 2, b = -1, c = 4C. a = 3, b = 2, c = 1D. a = 1, b = -2, c = 3答案：C. a = 3, b = 2, c = 13. 设函数f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 8，下面哪个集合是f(x)的定义域（）。
A. RB. [-2, 1]C. [0, 3]D. [-∞, +∞]答案：A. R（实数集合）4. 函数f(x) = (x + 1) ln(x - 1)在(1, +∞)上的导函数为（）。
A. ln(x - 1) + 1B. ln(x - 2) + 1C. q(x - 1) + 1D. ln(x - 1)答案：B. ln(x - 2) + 15. 函数y = f(x)的图像经过点(1, 2)，且在点(1, 2)的切线的斜率为3，则f'(1)的值为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C. 3二、计算题1. 求极限lim{x→0} [ (e^x - 1) / x ]。
答案：12. 求函数f(x) = x^4 - 4x^3的驻点和极值。
答案：驻点：x = 0, x = 3极小值：f(0) = 0极大值：f(3) = 273. 求不定积分∫(sin^3x + cos^3x)dx。
大一(第一学期)高数期末考试题及答案
页眉内容大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(l i m .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且)(0=⎰πx d x f ，cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)c o s ()()x ye y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：101233()2x f x dx xe dx x x dx---=+-⎰⎰⎰123()1(1)xxd e x dx--=-+--⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰ 令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
高数(大一上)期末试题及答案
高数(大一上)期末试题及答案第一学期期末考试试卷（1）课程名称：高等数学（上）考试方式：闭卷完成时限：120分钟班级：学号：姓名：得分：一、填空（每小题3分，满分15分）1.lim (3x^2+5)/ (5x+3x^2) = 02.设 f''(-1) = A，则 lim (f'(-1+h) - f'(-1))/h = A3.曲线 y = 2e^(2t) - t 在 t = 0 处切线方程的斜率为 44.已知 f(x) 连续可导，且 f(x)。
0，f(0) = 1，f(1) = e，f(2) = e，∫f(2x)dx = 1/2ex，则 f'(0) = 1/25.已知 f(x) = (1+x^2)/(1+x)，则 f'(0) = 1二、单项选择（每小题3分，满分15分）1.函数 f(x) = x*sinx，则 B 选项为正确答案，即当x → ±∞ 时有极限。
2.已知 f(x) = { e^x。
x < 1.ln x。
x ≥ 1 }，则 f(x) 在 x = 1 处的导数不存在，答案为 D。
3.曲线 y = xe^(-x^2) 的拐点是 (1/e。
1/(2e))，答案为 C。
4.下列广义积分中发散的是 A 选项，即∫dx/(x^2+x+1)在区间 (-∞。
+∞) 内发散。
5.若 f(x) 与 g(x) 在 (-∞。
+∞) 内可导，且 f(x) < g(x)，则必有 B 选项成立，即 f'(x) < g'(x)。
三、计算题（每小题7分，共56分）1.lim x^2(e^(2x)-e^(-x))/((1-cosx)sinx)lim x^2(e^(2x)-e^(-x))/((1-cosx)/x)*x*cosxlim x(e^(2x)-e^(-x))/(sinx/x)*cosxlim (2e^(2x)+e^(-x))/(cosx/x)应用洛必达法则)2.lim {arcsin(x+1) + arcsin(x-1) - 2arcsin(x)}/xlim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - 2arcsin(x)/√(1+x^2)}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin(x/√(1+x^2)) + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - arcsin(x/√(1+x^2))}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin(x/√(1+(x+1)^2)) + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - arcsin(x/√(1+(x-1)^2))}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)]} π/2 (应用洛必达法则)3.y = y(x) 由 x + y - 3 = 0 确定，即 y = 3 - x，因此 dy/dx = -1.4.f(x) = arctan(2x-9) - arctan(x-3) 的导数为 f'(x) = 1/[(2x-9)^2+1] - 1/[(x-3)^2+1]，因此 f'(x)。
高等数学上期末考试试题及参考答案
高等数学上期末考试试题及参考答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 函数 \( f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \) 的反函数\( f^{-1}(x) \) 的定义域为（）A. \( (-\infty, 1) \cup (1, +\infty) \)B. \( [0, +\infty) \)C. \( (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) \)D. \( (-1, 1) \)答案：C2. 设函数 \( f(x) = \ln(2x - 1) \)，则 \( f'(x) \) 的值为（）A. \( \frac{2}{2x - 1} \)B. \( \frac{1}{2x - 1} \)C. \( \frac{2}{x - \frac{1}{2}} \)D. \( \frac{1}{x - \frac{1}{2}} \)答案：A3. 设 \( f(x) = e^x + e^{-x} \)，则 \( f''(x) \) 的值为（）A. \( e^x - e^{-x} \)B. \( e^x + e^{-x} \)C. \( 2e^x + 2e^{-x} \)D. \( 2e^x - 2e^{-x} \)答案：D4. 下列函数中，哪一个函数在 \( x = 0 \) 处可导但不可微？（）A. \( f(x) = |x| \)B. \( f(x) = \sqrt{x} \)C. \( f(x) = \sin x \)D. \( f(x) = \cos x \)答案：A5. 设 \( \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} = 2 \)，则 \( f'(0) \) 的值为（）A. 1B. 2C. 0D. 无法确定答案：B二、填空题（每题5分，共25分）6. 函数 \( f(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) \) 的导数 \( f'(x) \) 为_________。
高数期末考试题及答案大全
高数期末考试题及答案大全试题一：极限的概念与计算问题：计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
答案：根据洛必达法则，当分子分母同时趋向于0时，可以对分子分母同时求导，得到：\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cosx}{1} = \cos(0) = 1.\]试题二：导数的应用问题：设函数 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\)，求其在 \(x=1\) 处的切线方程。
答案：首先求导数 \(f'(x) = 3x^2 - 6x + 2\)。
在 \(x=1\) 处，导数值为 \(f'(1) = -1\)，函数值为 \(f(1) = 0\)。
切线方程为 \(y - 0 = -1(x - 1)\)，即 \(y = -x + 1\)。
试题三：不定积分的计算问题：计算不定积分 \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx\)。
答案：这是一个基本的三角换元积分问题，令 \(x = \tan(\theta)\)，\(dx = \sec^2(\theta) d\theta\)。
则 \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx = \int \frac{1}{\tan^2(\theta) + 1} \sec^2(\theta) d\theta = \int \cos^2(\theta) d\theta\)。
利用二倍角公式，\(\cos^2(\theta) = \frac{1 +\cos(2\theta)}{2}\)。
积分变为 \(\int \frac{1}{2} d\theta + \frac{1}{2} \int\cos(2\theta) d\theta = \frac{\theta}{2} +\frac{\sin(2\theta)}{4} + C\)。
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1. 证明: 当x
>
0 时,cos x
>
1
−
x2 2
.
姓名
线
学号
订
2. 某工厂欲建造一个容积为V 的带盖圆柱形桶,问底半径r 和桶高h 如何确定,才能 使所用材料最省?
2. 设f(x )在[0,1]上可导,且0 < f (x) < 1, f ′(x) ≠ 1 ,证明方程f(x ) = x 在 (0,1)内 有唯一实根.
内至少有一实根;………………………………………………………………………………………………（4 分）
假设方程 f (x) = x 还有一个实根x 2 ∈ (0,1) ,不妨设 x 1 < x 2 ,则 F(x )在[x 1,x 2 ] 上满足 Rolle 定理, 故存在ξ ∈ (x1,x 2 ) ⊂ (0,1) ,使F '(ξ ) = f '(ξ ) − 1 = 0 ,
所以函数在 x = 1处可导,从而连续………………………………………………………………… （2 分）
四. 计算题 II
1.
方程两端关于 x
求导得 2y
dy dx
− 2y
−
2x
dy dx
= 0 …………………………………………（4 分）
dy
y
所以 dx = y − x ………………………………………………………………………………（2 分）
x 0
cost 2dt x
=
lim
x →0
cos x 1
2
…………… (4 分)
= 1 …………………………….( 2 分)
2.f−'(1) =
lim x 2 − 1 x →0 x − 1
=
2 ………（2 分）, f+'(1) =
lim 2x − 2 x →0 x − 1
=
2 ……………..（2 分）
专业班级
装
∫ = (1 + cos 2t )dt = t + sin t cos t + C ………………………………………………（2 分）
= arcsin x
x +
2 − x 2 + C ………………………………………………………………（1 分）
2
2
∫ ∫ ∫ 4.
1xe − xdx = −
0
1xde − x
1. 求极限lim 0
.
x →0
x
2.
讨论函数f(x ) =
⎧ x2, x ⎩⎨2x − 1,x
≤ 1在x >1
= 1处的连续性和可导性.
专业班级
装
院(系)
姓名
兰州理工大学 年 季学期 高等数学 1 试题
得分
四. 计算题Ⅱ(每小题 6 分，共 30 分)
1. 求由方程y 2
− 2xy
+9
= 0 所确定的隐函数y
专业班级
装
院(系)
姓名
兰州理工大学 年 季学期《高等数学 1》参考答案与评分标准
答案共 1 张第 1 张
一. 单项选择题 二. 填空题
1. A
2. A
3. D
4. D
5. B
所以 x = 3 是极小值点,极小值为-22, x = −1 是极大值点,极大值为 10.………………（2 分）
五. 应用题
兰州理工大学 年 季学期 高等数学 1 试题
共 3 张第 1 张
姓名
线
学号
订
题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 得分
得分
一. 单项选择题(每小题 3 分,共 15 分)
1. 数列{x n }有界是数列{x n }收敛的 （A）必要但不充分条件
【】 （B）充分但不必要条件
（C）充分必要条件
1. a ;
2. 2 cos(2x
+ 1)dx ;
3. x
−y
+ 1 = 0;
4. 1 (x 2
− sin x ) + C ; 5. − ln 2 .
∫ 1. 解：（1）面积S
=
2x 3dx
0
=
1 4
x4
|20 =
4 ……………………………………………… （3 分）
三. 计算题 I
∫ 1. lim x →0
1. 证明： 令f(x ) =
cos x
+
x2 2
− 1 ,则f '(x ) =
x
− sin x …………………………（2 分）
∫ 3. 令 x = 2 sin t ,则 dx = 2 cos t ,原式 = 2 cos2tdt …………………….（3 分）
当 x > 0 时f '(x ) > 0 ,所以f(x )单调递增,即f(x ) > f(0).………………………………（2 分）
又f(0) =
0 ,从而f(x ) =
cos x
x2 +
2
−1 >
0 ,即cos x
> 1−
x2
.…………（3 分）
2
2. 证明：令F(x ) = f(x ) − x ,则F(x )在[0,1]上连续,且F(0)F(1) = f(0)[f(1) − 1] < 0
由零点定理,存在x1 ∈ (0,1),使F(x1 ) = f(x1 ) − x1 = 0 ,即f(x ) = x 在 (0,1)
………………………（1 分）
5
2.解：由πr 2h = V 解得h = V …………………………………………………………………（2 分） πr 2
带盖圆柱形桶的表面积为S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πr V πr 2
……………… （2 分）
S'
=
4πr
−
2V r2
= 0 得唯一驻点r
0
= −xe −x |10
+ 1e − xdx …………………………………………（4 分） 0
∫ = −e −1 −
1e − xd
0
−x
=
1
−
2 e ………………………………………………..（2 分）
5. y ' = 3x 2 − 6x − 9 = 3(x + 1)(x − 3) = 0 ,得驻点x1 = −1,x 2 = 3 ……（2 分） 又 y '' = 6x − 6 , y '' |x = −1 = −12 < 0,y '' |x =3 = 12 > 0,……………………….（2 分）
1. lim 2n sin a
n → +∞
2n
=
.
2. 设y = sin(2x + 1),则dy =
.
3. 曲线y = e x 在点(0,1)处的切线方程为
.
4. 求 ∫ sin2
x dx 2
=
.
∫ 5. 求 −1 1dx
−2 x
.
得分
三. 计算题 Ⅰ(每小题 6 分,共 12 分)
∫x cost 2dt
院(系)
兰州理工大学 年 季学期 高等数学 1 试题
共 3 张第 3 张
得分
五. 应用题(每小题 7 分,共 14 分)
1. 设曲线y = x 3 ,直线x = 2 及y = 0 所围成的平面图形为 D,求 (1) 平面图形 D 的面积; (2) 平面图形 D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积.
得分
=
y(x)的导数dFra bibliotek dx.
∫ 4. 求定积分 1xe − xdx . 0
共 3 张第 2 张
2.
求由参数方程
⎪⎧x ⎨
⎪⎩y
= =
t2 2 1−
t
所确定函数的二阶导数 d 2y dx 2
.
5. 求函数y = x 3 − 3x 2 − 9x + 5 的极值.
线
学号
订
专业班级
装
3. 求不定积分 ∫ 2 − x 2dx .
3. 下列广义积分发散的是
【】
∫ （A） 0 arctan xdx
−∞ 1 + x 2
∫ （C）
p
>
1时
+∞ 1
1 dx xp
∫ （B） + ∞ 1 dx
−∞ 1 + x 2
∫ （D） 1 1 dx
x −1 2
4. 设 F(x )是f(x )的一个原函数,则下列结论正确的是
【】
（A） d dx
[∫
f(x )dx]
=
F(x )
（B） ∫ dF(x ) = f(x ) + C
（C） ∫ f '(x )dx = F(x ) + C
（D） d dx
[∫
f(x )dx]
=
f(x )
5. 计算曲线y
=
2
3
x 2 上相应于 x
从 0 到 3 的一段弧的长度是
3
（A）2
（B） 14 3
（C）1
（D） 16 3
【】
得分
二. 填空题(每小题 3 分,共 15 分)
dy 2. dx
=
dy dt
/
dx dt
1 = −t
……………………………………………………………………… （4 分）
∫ ∫ ∫ ∫ （2）体积V