北师大版八年级数学上册知识点归纳：第一章勾股定理
北师版八年级数学第1章 勾股定理
一．知识归纳
１．勾股定理
内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=
勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方
２.勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理
常见方法如下：
方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2
ab b a c ⨯+-=，化简可证． c b
a H
G F
E
D
C B A
方法二：
b a
c b a c
c
a b c a b
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422
S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++
所以222a b c +=
方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222
ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证 a b c
c
b a E D
C B A
３.勾股定理的适用范围
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形
４.勾股定理的应用
①已知直角三角形的任意两边长，求第三边
在ABC ∆中，90C ∠=︒
，则c
，b =
，a
②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系
③可运用勾股定理解决一些实际问题
５.勾股定理的逆定理
如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边
①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；
②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边
③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形
６.勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数
②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等
③用含字母的代数式表示n 组勾股数：
221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；
2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）
2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）
７．勾股定理的应用
勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ８.．勾股定理逆定理的应用
勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．
９.勾股定理及其逆定理的应用
勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：
A B C 30°
D C
B A A
D B C
C
B D A。
北师大版八年级上册数学第一章勾股定理全章知识点及习题(经典)
cbaD CAB第一章 勾股定理学问点一：勾股定理定义画一个直角边为3和4的直角△，量的长；一个直角边为5和12的直角△，量的长 发觉32+42及52的关系，52+122和132的关系，对于随意的直角三角形也有这特性质吗？ 直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
〔即：a 22＝c 2〕 1．如图，直角△的主要性质是：∠90°，〔用几何语言表示〕⑴两锐角之间的关系： ； ⑵假设D 为斜边中点，那么斜边中线 ；⑶假设∠30°，那么∠B 的对边和斜边： ；〔给出证明〕 ⑷三边之间的关系： 。
学问点二：验证勾股定理学问点三：勾股定理证明〔等面积法〕例1。
：在△中，∠90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
求证：a 2＋b 22。
证明：例2。
：在△中，∠90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
求证：a 2＋b 22。
证明：学问点四：勾股定理简洁应用 在△中，∠90°(1) ：6, 8，求c (2) ：5，13，求a 学问点五：勾股定理逆定理假如三角形的三边长为c b a ,,，满意222c b a =+，那么，这个三角形是直角三角形． 利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤： ①先找出最大边〔如c 〕②计算2c 及22a b +，并验证是否相等。
假设2c =22a b +，那么△是直角三角形。
假设2c ≠22a b +，那么△不是直角三角形。
1.以下各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是△的是〔 〕 72425 72424 6810345ab c b a 2)(22+=+,那么这个三角形是( )A. 等边三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 锐角三角形0)10(862=-+-+-z y x ,那么由此z y x ,,为三边的三角形是 三角形.学问点六：勾股数〔1〕满意222c b a =+的三个正整数，称为勾股数．bbbbccccaaaabbb ba accaaACBD5米3米〔2〕勾股数中各数的一样的整数倍，仍是勾股数，如3、4、5是勾股数，6、8、10也是勾股数． 〔3〕常见的勾股数有：①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25； ⑤11、60、61；⑥9、40、41．a 、b 、c 是直角三角形的三边,那么a 、b 、c 不行能的是〔 〕.A.3,5,4B. 5,12,13C.2,3,4D.8,17,15 1. 假设线段a ，b ，c 组成△，那么它们的比可以是〔 〕 ∶3∶∶4∶6 C.5∶12∶∶6∶7 学问点七：确定最短路途1.一只长方体木箱如下图，长、宽、高分别为5、4、3, 有一只甲虫从A 动身，沿外表爬到C '，最近间隔 是多少？2.如图,一圆柱高8,底面半径2,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,学问点八：逆定理推断垂直1．在△中，2－2＝2，那么△的形态是( )A ．锐角三角形；B ．直角三角形；C ．钝角三角形；D 2．如图，正方形网格中的△，假设小方格边长为1，那么△是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D 学问点九：勾股定理应用题1.在我国古代数学著作?九章算术?中记载了一道好玩的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，假如把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？2.如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,方案在楼梯外表铺地毯,地毯的长度至少须要米.3.一根直立的桅杆原长25m ，折断后，桅杆的顶部落在离底部的5m 处，那么桅杆断后两部分各是多长？4.某中学八年级学生想知道学校操场上旗杆的高度，他们发觉旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发觉下端刚好触地面，你能帮他们把旗杆的高度和绳子的长度计算出来吗？综合练习一一、选择题1、下面几组数:①7,8,9;②12,9,15;③m 2+ n 2, m 2– n 2, 2(均为正整数>);④2a ,12+a ,22+a .其中能组成直角三角形的三边长的是( )A.①②;B.①③;C.②③;D.③④ 2一个△的两边长分别为3和4，那么第三边长的平方是〔 〕A.25.14ab c b a 2)(22+=+,那么这个三角形是( )A. 等边三角形;B. 钝角三角形;C. 直角三角形;D. 锐角三角形. 4.△的三边为a 、b 、c 且()()2，那么( )边的对角是直角 边的对角是直角5.以以下各组中的三个数为边长的三角形是直角三角形的个数有〔 〕①6、7、8，②8、15、17，③7、24、25，④12、35、37，⑤9、40、41 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个6.将直角三角形的三边扩大一样的倍数后，得到的三角形是 ( )A7.假设△的三边a 、b 、c 满意()(a 222)=0，那么△是 ( )8.如图，∠C =∠B =90°，AB =5，BC =8，CD =11，那么AD 的长为 〔 〕A 、10B 、11C 、12D 、139.如图、山坡AB 的高BC =5m ，程度间隔 AC =12m m 栽一棵茶树,那么从上到下共 ( )A 、19棵B 、20棵C 、21棵D 、22棵10△中，∠C =90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，假设c =2，那么2a 2b 2c 的值是 〔 〕A 、6B 、8C 、10D 、4 11.以下各组数据中，不能构成直角三角形的一组数是〔 〕Ａ、9，12，15 B 、45，1，43C 、0.2，0.3，0.4D 、40，41，9 12.，一轮船以16海里/时的速度从港口A 动身向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 动身向东南方向航行，分开港口2小时后，那么两船相距〔 〕二、填空题△中，∠90°，①假设5，12，那么；②假设15，25，那么；③假设61，60，那么；④假设a ∶3∶4，10那么△cm 、3cm 、4cm 、5cm 的木棒，从中任取三根，能组成直角三角形，那么其周长为 cm ．3.勾股定理的作用是在直角三角形中，两边求 ；勾股定理的逆定理的作用是用来证明 ．4.如图中字母所代表的正方形的面积：A = B = ． △中，∠C ＝90°，假设 a ＝5，b ＝12，那么 c ＝ ．6.△中，17，16，那么高 ，S △ = 。
北师大版八年级上册数学知识点归纳汇总
最新北师大版八年级上册数学知识点汇总第一章 勾股定理1、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。
第二章 实数"一、实数的概念及分类1、实数的分类 正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数 \2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数 :实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。
2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。
（|a|≥0）。
零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。
3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
. 5、估算三、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。
八年级上册期中考试知识点归纳(北师大版)
八年级上册期中考试知识点归纳(北师大版)八年级上册期中考试知识点归纳(北师大版)北师大版《数学》（八年级上册）知识点总结第一章勾股定理1、勾股定理（1）直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2b2c2根据勾股定理可求AC，只要求出EC即可。
解：在Rt△ACB中，AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=4，∴AC=2∵BD=0.5，∴CD=2222.2222.25在RtECD中，5∴EC=1.5（2）勾股定理的验证：测量、数格子、拼图法、面积法，如青朱出入图、五巧板、玄图、总统证法（通过面积的不同表示方法得到验证，也叫等面积法或等积法）（3）勾股定理的适用范围：尽限于直角三角形2、勾股定理的逆定理15.05.答：梯子顶端下滑了0.5米。
点拨：要考虑梯子的长度不变。
例5.如图所示的一块地，AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，算术平方根定义如果一个非负数某的平方等于a，即某2a那么这个非负数某就叫做a的算术平方根，记为a，算术平方根为非负数a0正数的平方根有2个，它们互为相反数平方根0的平方根是0负数没有平方根2.无理数的表示定义：如果一个数的平方等于a，即某2a，那么这个数就叫做a的平方根，记为a正数的立方根是正数立方根负数的立方根是负数0的立方根是0如果三角形的三边长a，b，c有关系a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股数：满足a2b2c2的三个正整数a，b，c，称为勾股数。
常见的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）规律：（1），短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。
即当a为奇数且a＜b时，如果b+c=a2那么a,b,c就是一组勾股数.如（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）（2）大于2的任意偶数，2n(n＞1)都可构成一组勾股数分别是：2n,n2 -1,n2+1如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）4、常见题型应用：（1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线/周长/面积（2）已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度//斜边上的高线/周长/面积（3）判定三角形形状：a2+b2＞c2锐角~，a2+b2=c2直角~，a2+b2＜c2钝角~判定直角三角形a..找最长边；b.比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系；c.确定形状（4）构建直角三角形解题例1.已知直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边为10。
北师大版八年级数学上册第1章勾股定理本章归纳总结
作等腰直角三角形ABD,使∠ABD=90°,连接CD,则线段
CD的长为
。5或 13
例3 一张直角三角形纸片,两直角边 AC=6cm,BC=8cm,将△ABC折叠,使点B与点A重合, 折痕是DE（如图所示）,求CD的长.
分析：设CD为 x,∵AD=BD,∴AD=8-x. ∴在△ACD中,根据勾股定理列出 关于x的方程即可求解.
分析：∵点P的坐标为(- 2.3), O P （- 2）2 32 13. ∵点A ，P均在以点O 为圆心，O P为半径的圆上， O A O P 13. ∵9＜13＜16，3＜ 13小于4. 又∵点A 在x轴负半轴上， 点A 的横坐标介于- 4和- 3之间，故选A .
例2 在△ABC中,AB=2 ,BC=1,∠ABC=45°以AB为一边
3.曲面两点间的距离问题 在解决曲面中两点间的距离时,往往是要将曲面问题转 化为同一平面内两点之间的距离,这是解决问题的关键.
典例精析,复习新知
例1：如图所示,在平面直角会标系中,点P的坐标为(-2,3),以点 O为圆心,以OP的长为半径画弧,交x轴的负半轴于点A,则点A的 横坐标介于( )
A.-4和-3之间 B.3和4之间 C.-5和-4之间 D.4和5之,在底部A处有一只壁虎,C′处 有一只蚊子,壁虎急于捕捉到蚊子充饥. （1）试确定壁虎所走的最短路线； （2）若立方体礼盒的棱长为20cm,则壁虎如果想在半分钟内 捕捉到蚊子,每分钟至少要爬行多少厘米？（保留整数）
分析：求几何表面的最短距离时, 通常可以将几何体表面展开,把立 体图形转化为平面图形.
本章归纳总结
知识结构
释疑解惑,加深理解
1.勾股定理的证明： 勾股定理的证明方法有多种,一般是采用剪拼的方法,它 把“数与形”巧妙地联起来,是几何体与代数沟通的桥梁,同 时也为后面的四边形、圆、图形交换,三角函数等的互化的学 习提供了方法和依据。
北师大版八年级上册数学第一章勾股定理全章知识点及习题
cbaD CA B第一章 勾股定理学问点一：勾股定理定义画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，量AB 的长；一个直角边为5和12的直角△ABC ，量AB 的长发觉32+42及52的关系，52+122和132的关系，对于随意的直角三角形也有这特性质吗？直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
（即：a 2+b 2＝c 2）1．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）⑴两锐角之间的关系： ； ⑵若D 为斜边中点，则斜边中线 ；⑶若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ；（给出证明） ⑷三边之间的关系： 。
学问点二：验证勾股定理学问点三：勾股定理证明（等面积法）例1。
已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
求证：a 2＋b 2=c 2。
证明：ACBD例2。
已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
求证：a 2＋b 2=c 2。
证明：学问点四：勾股定理简洁应用 在Rt △ABC 中，∠C=90°(1) 已知：a=6, b=8，求c (2) 已知：b=5，c=13，求a学问点五：勾股定理逆定理假设三角形的三边长为c b a ,,，满意222c b a =+，那么，这个三角形是直角三角形． 利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤： ①先找出最大边（如c ）②计算2c 及22a b +，并验证是否相等。
若2c =22a b +，则△ABC 是直角三角形。
若2c ≠22a b +，则△ABC 不是直角三角形。
1.下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt △的是（ ） A.a=7,b=24,c=25 B.a=7,b=24,c=24C.a=6,b=8,c=10D.a=3,b=4,c=52.三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( )A. 等边三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 锐角三角形 3.已知0)10(862=-+-+-z y x ,则由此z y x ,,为三边的三角形是 三角形. 学问点六：勾股数bbba（1）满意222c b a =+的三个正整数，称为勾股数．（2）勾股数中各数的一样的整数倍，仍是勾股数，如3、4、5是勾股数，6、8、10也是勾股数．（3）常见的勾股数有：①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25； ⑤11、60、61；⑥9、40、41．1.设a 、b 、c 是直角三角形的三边,则a 、b 、c 不行能的是（ ）.A.3,5,4B. 5,12,13C.2,3,4D.8,17,151.若线段a ，b ，c 组成Rt △，则它们的比可以是（ ）A.2∶3∶4B.3∶4∶6C.5∶12∶13D.4∶6∶7学问点七：确定最短路途1.一只长方体木箱如图所示，长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm,有一只甲虫从A 动身，沿外表爬到C '，最近间隔 是多少？2.如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程（π 取3）是 .学问点八：逆定理推断垂直1．在△ABC 中，已知AB 2－BC 2＝CA 2，则△ABC 的形态是( )A ．锐角三角形；B ．直角三角形；C ．钝角三角形；D ．无法确定．2．如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．以上答案都不对学问点九：勾股定理应用题1.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道好玩的问题，这个问题的意思是：有一个水ABCD A 'B 'C 'D 'ABC5米3米池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，假设把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？2.如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,安排在楼梯外表铺地毯,地毯的长度至少须要________米.3.一根直立的桅杆原长25m，折断后，桅杆的顶部落在离底部的5m处，则桅杆断后两局部各是多长？4.某中学八年级学生想知道学校操场上旗杆的高度，他们发觉旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发觉下端刚好触地面，你能帮他们把旗杆的高度和绳子的长度计算出来吗？综合练习一一、选择题1、下面几组数:①7,8,9;②12,9,15;③m 2 + n 2, m 2 – n 2, 2mn(m,n 均为正整数,m >n);④2a ,12+a ,22+a .其中能组成直角三角形的三边长的是( )A.①②;B.①③;C.②③;D.③④2已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）A.25B.14C.7D.7或253.三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( )A. 等边三角形;B. 钝角三角形;C. 直角三角形;D. 锐角三角形. 4.△ABC 的三边为a 、b 、c 且(a+b)(a-b)=c 2，则( )A.a 边的对角是直角B.b 边的对角是直角C.c 边的对角是直角D.是斜三角形5.以下列各组中的三个数为边长的三角形是直角三角形的个数有（ ）①6、7、8，②8、15、17，③7、24、25，④12、35、37，⑤9、40、41 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个6.将直角三角形的三边扩大一样的倍数后，得到的三角形是 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不是直角三角形7.若△ABC 的三边a 、b 、c 满意(a-b)(a 2+b 2-c 2)=0，则△ABC 是 ( ) A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形8.如图，∠C =∠B =90°，AB =5，BC =8，CD =11，则AD 的长为 （ ）A 、10B 、11C 、12D 、139.如图、山坡AB 的高BC =5m ，程度间隔 AC =12m ，若在山坡上每隔0.65m 栽一棵茶树,则从上到下共 ( )A 、19棵B 、20棵C 、21棵D 、22棵10.Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，若c =2，则2a +2b +2c 的值是 （ ）A 、6B 、8C 、10D 、4 11.下列各组数据中，不能构成直角三角形的一组数是（ ）Ａ、9，12，15 B 、45，1，43 C 、0.2，0.3，0.4 D 、40，41，9 12.已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A 动身向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 动身向东南方向航行，分开港口2小时后，则两船相距（ ）A.25海里B.30海里C.35海里D.40海里二、填空题1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a ∶b=3∶4，c=10则S Rt △ABC =________2.现有长度分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm 的木棒，从中任取三根，能组成直角三角形，则其周长为 cm ．3.勾股定理的作用是在直角三角形中，已知两边求 ；勾股定理的逆定理的作用是用来证明 ．4.如图中字母所代表的正方形的面积：A = B = ．400225AB812255.在△ABC中，∠C＝90°，若a＝5，b＝12，则c＝．6.△ABC中，AB=AC=17cm，BC=16cm，则高AD= ，S△ABC = 。
北师大版八年级上册第一章知识点
北师大版八年级上册第一章知识点一、勾股定理。
1. 定理内容。
- 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
如果直角三角形的两条直角边长度分别为a和b，斜边长度为c，那么a^2+b^2=c^2。
- 例如，一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边的平方c^2=3^2+4^2=9 + 16=25，所以斜边c = 5。
2. 勾股定理的证明。
- 常见的证明方法有赵爽弦图证明法等。
- 赵爽弦图：以直角三角形的斜边c为边长的正方形的面积等于以直角边a、b 为边长的四个直角三角形与一个小正方形面积之和。
即c^2=4×(1)/(2)ab+(b - a)^2，化简后可得c^2=a^2+b^2。
3. 勾股定理的应用。
- 已知直角三角形的两边求第三边。
- 当已知两条直角边a、b时，斜边c=√(a^2)+b^{2}。
- 当已知一条直角边a和斜边c时，另一条直角边b=√(c^2)-a^{2}。
- 解决实际问题中的直角三角形问题。
- 例如，在一个长方形中求对角线长度（长方形的相邻两边与对角线构成直角三角形）；在一个梯形中，通过作高构造直角三角形来求相关线段长度等。
二、勾股定理的逆定理。
1. 定理内容。
- 如果三角形的三边长a、b、c满足a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形。
2. 判断直角三角形的方法。
- 首先计算三边的平方，看是否满足两短边的平方和等于长边的平方。
- 例如，三角形三边分别为3、4、5，因为3^2+4^2=9 + 16 = 25=5^2，所以这个三角形是直角三角形，其中边长为5的边所对的角为直角。
3. 勾股数。
- 满足a^2+b^2=c^2的三个正整数，称为勾股数。
常见的勾股数有(3,4,5)、(5,12,13)、(8,15,17)等。
- 如果(a,b,c)是一组勾股数，那么ka、kb、kc（k为正整数）也是一组勾股数。
例如，(3,4,5)是勾股数，那么(6,8,10)（k = 2时）也是勾股数。
北师大版八年级上册第一章探索勾股定理精讲
勾股定理第一节 探索勾股定理●应知 基础知识1、勾股定理（1）勾股定理的内容：在直角三角形中，两直角边的 等于 的平方．（2）勾股定理的表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为,a b ，斜边为c ，那么有 。
2、理解（1）勾股定理存在和运用的前提条件是在直角三角形中，如果不是直角三角形，那么三边之间不存在这种关系。
（2）勾股定理把“图形”与“数量”有机地结合起来，即把直角三角形的“形”与三边关系的“数”结合起来，是数形结合思想的典型代表之一。
（3）利用勾股定理，可以在直角三角形中已知两边长的情况下，求出未知的第三边长。
一般情况下，用,a b 表示直角边，c 表示斜边，则有：222222222a b c b c a a c b +==-=- 在运用勾股定理求第三边时，首先应确定是求直角边还是求斜边，在选择利用勾股定理的原形公式还是变形公式。
【例1】在ABC ∆中，90C ︒∠=， （1）若3,4,a b ==则c = ； （2）若6,10a c ==，则b = ；（3）若:3:4,15a b c ==，则a = ，b = 。
【例2】已知直角三角形的两边长分别是3和4，如果这个三角形是直角三角形，求以第三边为边长的正方形的面积。
3、勾股定理的验证至少掌握勾股定理的三种验证方法，并从中体会到这种验证方法所体现的数学思想。
【例3】2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾 股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所 示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短直角边为a ，较长 直角边为b ，那么2()a b 的值为（ ）．A ．13B ．19C ．25D ．169 ●应会 基本方法1、如何利用勾股定理求长度利用勾股定理求长度，关键是找出直角三角形或构造直角三角形，把实际问题转化为直 角三角形问题。
在已知两边求第三边时，关键是弄清已知什么边，要求什么边，用平方和还 是平方差。
初二数学上册知识点.复习及配套练习(新北师大版本)
.新北师大版八年级数学上册知识点复习第一章勾股定理1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；即 2 2 2a b c 。
2．勾股定理的证明：用三个正方形的面积关系进行证明（两种方法）。
2 2 23．勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c 满足a b c ，那么这个三角形是2 2 2直角三角形。
满足a b c 的三个正整数称为勾股数。
第二章实数1．平方根和算术平方根的概念及其性质：（1）概念：如果 2x a，那么x 是a 的平方根，记作： a ；其中 a 叫做a 的算术平方根。
（2）性质：①当a≥0 时， a ≥0；当a ＜０时， a 无意义；②2a ＝a ；③ 2a a 。
2．立方根的概念及其性质：（1）概念：若（2）性质：①33 a ；x a ，那么x 是a 的立方根，记作：33 a3 a ；② 3 a a；③ 3 a ＝ 3 a3．实数的概念及其分类：（1）概念：实数是有理数和无理数的统称；（2）分类：按定义分为有理数可分为整数的分数；按性质分为正数、负数和零。
无理数就是无限不循环小数；小数可分为有限小数、无限循环小数和无限不循环小数；其中有限小数和无限循环小数称为分数。
4．与实数有关的概念：在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义与有理数范围内的意义完全一致；在实数范围内，有理数的运算法则和运算律同样成立。
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的。
因此，数轴正好可以被实数填满。
a a5．算术平方根的运算律：（a ≥0，b ≥0）；（a ≥0，b ＞0）。
a b a bb b第三章位置与坐标1．直角坐标系及坐标的相关知识。
2．点的坐标间的关系：如果点A、B横坐标相同，则AB ∥y 轴；如果点A、B 纵坐标相同，则AB∥x 轴。
3．将图形的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的1倍，所得到的图形与原图形关于y 轴对称；将图形的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的1倍，所得到的图形与原图形关于x 轴对称；将图形的横、纵坐标都变为原来的1倍，所得到的图形与原图形关于原点成中心对称。
北师大版八年级数学上册知识点归纳：第一章勾股定理
北师版八年级数学第1章 勾股定理一．知识归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． c ba HG FEDC B A方法二：b ac b a cca b c a b四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证 a b ccb a E DC B A３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b =，a②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：A B C 30°D CB A AD B CCB D A。
北师大版八年级数学上册全部知识点归纳
北师大版初二上册知识点总结第一章 勾股定理1、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股数：满足的三222c b a =+个正整数，称为勾股数。
第二章 实数一、实数的概念及分类1、实数的分类一是分类是：正数、负数、0； 另一种分类是：有理数、无理数将两种分类进行组合：负有理数，负无理数，0，正有理数，正无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。
2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。
（|a|≥0）。
零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。
3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
5、估算三、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。