简单迭代法流程图
C语言迭代法详细讲解
迭代法迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程,跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。
迭代法又分为精确迭代和近似迭代。
“二分法”和“牛顿迭代法”属于近似迭代法。
迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。
它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。
利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：一、确定迭代变量。
在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。
二、建立迭代关系式。
所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。
迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。
三、对迭代过程进行控制。
在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。
不能让迭代过程无休止地重复执行下去。
迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。
对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。
例 1 ：一个饲养场引进一只刚出生的新品种兔子，这种兔子从出生的下一个月开始，每月新生一只兔子，新生的兔子也如此繁殖。
如果所有的兔子都不死去，问到第12 个月时，该饲养场共有兔子多少只？分析：这是一个典型的递推问题。
我们不妨假设第 1 个月时兔子的只数为u 1 ，第 2 个月时兔子的只数为u 2 ，第 3 个月时兔子的只数为u 3 ，……根据题意，“这种兔子从出生的下一个月开始，每月新生一只兔子”，则有u 1 ＝ 1 ，u 2 ＝u 1 ＋u 1 ×1 ＝ 2 ，u 3 ＝u 2 ＋u 2 ×1＝ 4 ，……根据这个规律，可以归纳出下面的递推公式：u n ＝u n － 1 × 2 (n ≥ 2)对应u n 和u n － 1 ，定义两个迭代变量y 和x ，可将上面的递推公式转换成如下迭代关系：y=x*2x=y让计算机对这个迭代关系重复执行11 次，就可以算出第12 个月时的兔子数。
2.2 迭代法
= ϕ ' (ξ )( x * − x * *) ≤ L x * − x * *
又， L < 1
⇒ x* = x * *
计算方法
② ∀x0 ∈ [a, b] 则 xk +1 − x *= ϕ ( xk ) − ϕ ( x*) = ϕ ' (ξ )( xk − x*)
≤ L xk − x * ≤ L2 xk −1 − x * x k +1 − x *
计算方法
二、收敛性分析
定理2.1 （全局收敛定理） 全局收敛定理） 定理
在区间[a,b]上可导 上可导 设ϕ ( x )在[a, b] 在区间
a （1）当a ≤ x ≤ b时， ≤ ϕ ( x ) ≤ b;
( 2) ∀x ∈ [a, b], | ϕ ' ( x ) |≤ L < 1 ( L为常数） 为常数）
ϕ ′( x ) ≤ L < 1
计算方法
则对于任意的初始值 x0 ∈ S ，由迭代公式 收敛于方程的根。 产生的数列 { xn } 收敛于方程的根。 （这时称迭代法在 α 的S邻域具有局部收敛性。） 邻域具有局部收敛性。）
x n +1 = ϕ ( x n )
Remark1：全局与局部收敛定理中的条件都是充分 Remark1： 条件，条件满足则迭代法收敛，不满足则不能判定， 条件，条件满足则迭代法收敛，不满足则不能判定， 此时可以用试算来判定迭代法的是收敛性。 此时可以用试算来判定迭代法的是收敛性。
p! p!
由迭代公式 xk +1 = ϕ ( xk ) 及 x * = ϕ ( x * ) 有 ϕ ( p ) (ξ ) * * p
′( x* ) = ϕ ′′( x* ) = L = ϕ ( p−1) ( x* ) = 0, ϕ ( p ) ( x* ) ≠ 0 ϕ 邻域是p阶收敛的。 则迭代过程在 x * 邻域是p阶收敛的。
第三章 迭代法s4 解线性方程组的迭代法
得 x(1) = ( 0.5000, 2.8333, -1.0833 )T
x(9) = ( 2.0000, 3.0000, -1.0000 )T
举例（续）
SOR 迭代格式
( x1( k 1) (1 ) x1( k ) 1 x2k ) 2 ( k 1) (k ) ( k 1) (k ) x2 (1 ) x2 8 x1 x3 3 ( k 1) ( ( x3 (1 ) x3k ) 5 x2k 1) 2
( k ( k 在计算 xi( k 1) 时，如果用 x1 k1) ,, xi(11) 代替 x1 k ) ,, xi(1) ，则 可能会得到更好的收敛效果。此时的迭代公式为
x1( k 1) ( x2k 1) ( k 1) xn
( ( ( b1 a12 x2k ) a13 x3k ) a1n xnk ) a11 ( ( b2 a21 x1( k 1) a23 x3k ) a2 n xnk ) a22
解得
x
x ( k 1) (1 ) x ( k ) D 1 b Lx ( k 1) Ux ( k )
( k 1)
D L
1
1
(1 ) D U x
(k )
D L b
1
GS D L
Jacobi 迭代 x( k 1) D1 ( L U ) x( k ) D1b
M = D, N = M – A = -(L + U)
GS 迭代
x
( k 1)
L D Ux
1
(k )
迭代法
迭代法
迭代法也叫辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法(或者称为一次解法)，即一次性解决问题。
对非线性方程，利用递推关系式，从开始依次计算，来逼近方程的根的方法，若仅与有关，即，则称此迭代法为单步迭代法，一般称为多步迭代法；对于线性方程组，由关系从开始依次计算来过近方程的解的方法。
若对某一正整数，当时，与k 无关，称该迭代法为定常迭代法，否则称之为非定常迭代法。
称所构造的序列为迭代序列。
求通项公式的方法（用迭代法）已知数列{An},a1=2,an=2a(n-1)-1(n>或=2）求通项公式
an=2a(n-1)-1 an-1=2(a(n-1)-1 ) n>或=2
所以an-1 为等比数列
an-1=(a1-1)*2^(n-1)
an-1=2^(n-1)
an=2^(n-1)+1
牛顿迭代法求开方
数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。
方法使用函数的泰勒级数的前面几项来寻找方程的根。
牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收
敛。
另外该方法广泛用于计算机编程中。
用迭代法求平方根
对于A>1,求其平方根可构造用如下公式迭代：
f(x)=(1/a)(x+a/x),a=A/(A-1),迭代初值x0=[√A]+1,[x]为x的取整.如想求70的平方根,可令初值x0=9.
对于A1,用如上方法求出平方根后,在成10^(-n),即得结果.。
4.2简单迭代法
( x) L 1对 x[a, b] 成立。
则① 方程x=φ(x)在[a,b]上有唯一根x*; ② 任取 x0[a, b]，由 xk+1 = φ(xk) 得到的序列 x k k 0 收敛于x*。并且有误差估计式： ③ x * x k
L xk xk ห้องสมุดไป่ตู้ 1 L
显然 ( x)在[1, 2]上单调增加。
而(1) 3 2 1，( 2) 3 3 2
即 ( x ) [(1), ( 2)] [1,2]， 所以( x )满足条件（I）。
又
2 1 1 3 | ' ( x ) || ( x 1) | 3 L 1 3 3 4
③ ③
L x * xk xk xk 1 1 L
k ？ ④ | x*x | L | x x | k 0 ？ 1 L 1
x * xk L | x * xk 1 | L | ( x * xk ) ( xk xk 1 ) |
L x * xk xk xk 1 1 L
3 x2 2 x1 1 3
3 x3 2 x2 1 55
显然迭代法发散
(2) 如果将原方程化为等价方程 仍取初值
x0 0
x
3
x 1 2
迭代格式
xk 1
3
xk 1 2
x1 3 x2 3
依此类推,得
1 x0 1 3 0.7937 2 2 x1 1 3 1.7937 0.9644 2 2
( k = 1, 2, … )
可用 | xk xk 1 | 来控制迭代过程
Lk | x1 x0 | ④ | x * xk | 1 L
迭代法-牛顿迭代法
迭代法-⽜顿迭代法迭代法在程序设计中也是⼀种常见的递推⽅法，即：给定⼀个原始值，按照某个规则计算⼀个新的值，然后将这个计算出的新值作为新的变量值带⼊规则中进⾏下⼀步计算，在满⾜某种条件后返回最后的计算结果；⽜顿迭代法是⽤于多项式⽅程求解根的⽅法，在只有笔和纸的年代，这个⽅法给了⼈们⼀个⽆限逼近多项式⽅程真实解的重要思路，⽜顿也太⽜了.....求解f(x)=0的解，⽤⽜顿迭代法步骤如下：1、在y=f(x)这个函数上任取⼀点(x0,f(x0)),在这个点上做曲线y=f(x)的切线L,可以计算出切线L的表达式为y=f(x0)+f~(x0)(x-x0),这⾥f~(x0)表⽰L在点(x0,f(x0))处的斜率2、得出了切线L的表达式，我们就可以计算出L与X轴相交点的值x1=x0-f(x0)/f~(x0),此时x1要⽐x0更接近f(x)曲线与x轴相交点的真实值3、将刚才得出的x1带⼊到f(x)函数中，得到点(x1,f(x1)),再在点(x1,f(x1))出做曲线f(x)的切线，同样会得到新的切线的表达式：y=f(x1)+f~(x1)(x-x1),将得出的切线与X周相交,同样会得到相交点的值x2=x1-f(x1)/f~(x1)4、重复以上计算，会得出⼀个计算规则：,这个是真实值的n+1次近似值。
可以如下图近似表⽰。
根据以上描述，设计⼀个求解X~2-C=0的正根的⽅程，X~2表⽰X的平⽅，先得出迭代公式：；设计代码如下：public static void main(String[] args){System.out.println(calculate(2.0,2.0,0,1e-15));System.out.println(calculate(2.0,1e-15));}public static double calculate(double c,double x,double y,double precision){y=(x+c/x)/2;if(Math.abs(x-y)>precision){x=y;y=(x+c/x)/2;return calculate(c,x,y,precision);}return x;}public static double calculate(double c,double precision){double x=c,y=(x+c/x)/2;while(Math.abs(x-y)>precision){x=y;y=(x+c/x)/2;}return x;}从以上代码可以看出，迭代⽤法是⾸先给定⼀个初始值，然后按照某种规则进⾏计算，将得出的计算结果重新带⼊规则进⾏再次计算，直到满⾜某个条件退出程序。
迭代法的基本步骤
迭代法的基本步骤嘿，咱今儿就来聊聊迭代法的基本步骤哈！你说这迭代法啊，就好像是我们走路，一步一步地朝着目标靠近。
先来说第一步，那就是得有个起始点呀！这就好比你要去一个陌生的地方，总得先知道自己从哪儿开始吧。
没有这个起始点，那不就像无头苍蝇一样乱撞啦！这个起始点很关键哦，它决定了你出发的位置，可不能马虎呢。
然后呢，就是根据一些规则或者公式，来计算下一个点。
这就好像你走路的时候，要根据地图或者指示牌来决定往哪儿走。
这一步一步的计算，可不就是在不断地探索前进的方向嘛。
你想想，如果计算错了，那可就跑偏啦，说不定就走到死胡同里去了，那多冤呐！接着呀，不断重复这个过程。
就跟你走路一样，走一步，再走一步，不停地走下去。
每一次的重复，都是在靠近目标呢。
这是不是很神奇呀？就这么一步一步地，慢慢地就接近答案啦。
这迭代法啊，就像盖房子，一砖一瓦地搭建起来。
每一次的计算，都是为了让这个房子更牢固，更完美。
你可别小看这每一次的小进步，积少成多，最后就能得到一个让你惊喜的结果呢。
咱再打个比方，迭代法就像你减肥，每天少吃一点，多运动一点，一天两天可能看不出啥效果，但是时间长了，那效果可就明显啦！这不就是通过一次次的小改变，最终实现大目标嘛。
你说这迭代法是不是很有意思？它能帮我们解决很多复杂的问题呢。
就像一把钥匙，能打开那些看似很难打开的锁。
而且啊，它在很多领域都有应用呢，什么数学啦，科学啦，工程啦，到处都有它的身影。
所以啊，咱可得好好掌握这迭代法的基本步骤。
就像学走路一样，一开始可能会跌跌撞撞，但只要坚持下去，总会走得稳稳当当的。
咱可不能因为它有点复杂就退缩了呀，那多没出息呀！要勇敢地去尝试，去探索，相信自己一定能搞明白的。
总之呢，迭代法的基本步骤就是这么神奇，这么重要。
咱可得把它学好，用好，让它为我们的学习和工作助力呀！你说是不是这个理儿？。
迭代法—搜狗百科
迭代法—搜狗百科例1 ：一个饲养场引进一只刚出生的新品种兔子，这种兔子从出生的下一个月开始，每月新生一只兔子，新生的兔子也如此繁殖。
如果所有的兔子都不死去，问到第 12 个月时，该饲养场共有兔子多少只？分析：这是一个典型的递推问题。
我们不妨假设第1 个月时兔子的只数为 u 1 ，第 2 个月时兔子的只数为 u 2 ，第 3 个月时兔子的只数为 u 3 ，……根据题意，“这种兔子从出生的下一个月开始，每月新生一只兔子”，则有u 1 = 1 ，u 2 = u 1 + u 1 × 1 = 2 ，u 3 = u 2 + u 2 × 1 = 4 ，……根据这个规律，可以归纳出下面的递推公式：u n = u(n － 1）× 2 (n ≥ 2）对应 u n 和 u(n － 1），定义两个迭代变量 y 和 x ，可将上面的递推公式转换成如下迭代关系：y=x*2x=y让计算机对这个迭代关系重复执行 11 次，就可以算出第 12 个月时的兔子数。
参考程序如下：clsx=1for i=2 to 12y=x*2x=ynext iprint yend例 2 ：阿米巴用简单分裂的方式繁殖，它每分裂一次要用 3 分钟。
将若干个阿米巴放在一个盛满营养参液的容器内， 45 分钟后容器内充满了阿米巴。
已知容器最多可以装阿米巴220,220个。
试问，开始的时候往容器内放了多少个阿米巴？请编程序算出。
分析：根据题意，阿米巴每3 分钟分裂一次，那么从开始的时候将阿米巴放入容器里面，到45 分钟后充满容器，需要分裂45/3=15 次。
而“容器最多可以装阿米巴2^ 20 个”，即阿米巴分裂15 次以后得到的个数是 2^20。
题目要求我们计算分裂之前的阿米巴数，不妨使用倒推的方法，从第 15 次分裂之后的 2^20 个，倒推出第 15 次分裂之前（即第 14 次分裂之后）的个数，再进一步倒推出第 13 次分裂之后、第 12 次分裂之后、……第 1 次分裂之前的个数。
线性代数方程组迭代法PPT课件
超松弛法
收敛速度快
总结词
总结词
计算量较大
ABCD
详细描述
超松弛法具有较快的收敛速度，尤其对于大型线 性方程组，能够显著减少迭代次数。
详细描述
由于超松弛法的计算量较大，因此在实际应用中 可能需要考虑计算效率的问题。
CHAPTER 04
迭代法的实现步骤
初始化
设置初值
为方程组的解向量设定一个初始值。
迭代法的应用场景
当方程组的系数矩阵难以直接求解时 ，迭代法可以作为一种有效的替代方 案。
在科学计算、工程技术和经济领域中 ，许多问题可以转化为线性代数方程 组求解，而迭代法在这些领域有广泛 的应用。
迭代法的优缺点
优点
迭代法通常比直接法更加灵活和通用，对于大规模和高维度的线性代数方程组， 迭代法更加高效。
缺点
迭代法需要选择合适的迭代公式和参数，并且需要满足收敛条件，否则可能无 法得到正确的解。此外，迭代法的计算过程比较复杂，需要较高的计算成本。
CHAPTER 02
迭代法的基本原理
迭代法的数学模型
迭代法是一种求解线性代数方程组的数值方法，通过不断迭代逼近方程的 解。
迭代法的数学模型通常表示为：$x_{n+1} = T(x_n)$，其中$x_n$表示第 $n$次迭代时的近似解，$T(x)$表示迭代函数。
03
非线性方程组的迭代法在求解优化问题、控制问题 等领域有广泛应用。
在优化问题中的应用
01
迭代法在优化问题中也有广泛应用，如求解无约束优化问题、 约束优化问题和多目标优化问题等。
02
常见的优化问题迭代法包括梯度下降法、牛顿法和共轭梯度法
等。
这些方法通过不断迭代来逼近最优解，广泛应用于机器学习、
第2章迭代法
图 2.5
表 2―3
因此用迭代公式
由表可见
x exk k 1
为方程
x x10
x ex
例 对方程 x3 x 2 1 0 在区间[1.4，1.6]建立两种收敛的迭代格
例 求方程 x=e –x在x=0.5附近的一个根，按5位小数计算， 结果的精度要求为ε=10 –3.
解
迭代公式 xk+1=e –xk ，取φ (x)=e –x,
| (0.5) || (e0.5 ) | e0.5 0.61 1
迭代公式 xk+1=e –xk 收敛。
x0=0.5,
一个实根 x*。
微分中值定理 如果函数 f (x) 在 [a, b] 连续，在
（ a,b)可微，则在（ a,b)内至少有一点 存在，使
f (b) f (a ) f ( )(b a )
a b
§2 迭代法
迭代法的基本思想是:首先将方程(2.1)改写成某种 等价形式,由等价形式构造相应的迭代公式,然后选取方 程的某个初始近似根x0,代入迭代公式反复校正根的近 似值,直到满足精度要求为止。迭代法是一种数值计算 中重要的逐次逼近方法。
lim
k
ek 1 ek p
c
则称序列 xk 是 p 阶收敛的。c 称渐进误差常数。 特别地， p 1称为线性收敛， p 2 称为平方
收敛， p 1时称为超线性收敛。
迭代函数的导数和收敛阶。
定理 对迭代过程 xk1 (xk ) ，若 ( p) (x) 在所求根 x* 邻近
33 (1 1.42 )2