平行线的判定和性质知识点详解(推荐文档)
初中数学知识点总结：平行线
初中数学知识点总结：平行线
初中数学知识点总结：平行线
知识点总结
一、平行线
1.概念：在同一平面上，两条直线没有公共点，就称为这两条直线平行。
说明：(1)平行线的两个特征：①在同一平面内;②两条直线;③互不相交;
(2)两条线段或射线平行是指它们所在的直线平行。
2.平行公理：
经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行.
3.平行线的传递性：
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行.也简称为平行于同一条直线的两条直线平行，也就是说：如果b∥a,c∥a,那么b∥c.
二、平行线的性质与判定
1.平行线的判定方法：
同位角相等，两直线平行;内错角相等，两直线平行;同旁内角互补，两直线平行;
另：平行于同一条直线的两条直线相互平行;垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
2.平行线的性质：
互余，得∠DBC+∠CAE=90°，∴∠CAE=70°，故本题选C。
北师大版七年级下册第二单元相交线与平行线单元——平行线的性质(知识梳理与考点分类讲解)
北师大版七年级下册第二单元相交线与平行线单元——平行线的性质（全章知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】平行线的判定方法11.方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简称为：同位角相等，两直线平行.2.表达方式：因为∠1=∠2,（已知）所以a//b（同位角相等，两直线平行）特别提醒：“同位角相等，两直线平行”是通过两个同位角的大小关系（相等）推导出两直线的位置关系（平行）.它是构建起角的大小关系与直线的位置关系的桥梁.【知识点二】平行线的画法过直线外一点画已知的直线平行线的步骤一落：把三角尺的一边落在一直的直线上；二靠：紧靠三角尺的另一边放一直尺；三移：把三角尺沿着直尺移动使其经过已知点；四画：沿三角尺的一边画直线.此直线即为已知直线的平行线.特别提醒：1.经过直线上一点不可以作已知直线的平行线.2.画线段或射线的平行线是画它们所在直线的平行线.3.移动是要始终保持紧靠.【知识点三】平行线的性质及其推论1.平行线的性质：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.2.表达方式：如果a//b,b//c,那么a//b.特别提醒：平行线的性质的前提是“过直线外一点”，若点在直线上，则不可能有平行线.【考点目录】【平行线性质求角的等量关系】【考点1】同位角相等两直线平行；【考点2】内错角相等两直线平行；【考点3】同旁内角互补两直线平行；【平行线性质探究角的关系】【考点4】平行线判探究角的关系或求角度；【平行线性质性质与判定综合】【考点5】平行线判定与性质求角度；【考点6】平行线判定与性质证明;【平行线间的距离】【考点7】平行线间的距离（应用）.【平行线性质求角的等量关系】【考点1】同位角相等两直线平行【答案】相等；理由见分析【分析】根据平行投影可得∠B＝∠E，再根据垂直可得∠C＝∠F＝90°，然后利用“角边角”证明△ABC 和△DEF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证．解：两根旗杆的高度相等．理由如下：∵太阳光线AB与DE是平行，∴∠B＝∠E，∵两根旗杆都垂直于地面放置，∴∠C＝∠F＝90°，∵两根旗杆在太阳光下的影子一样长，∴BC ＝EF ，∵在△ABC 和△DEF 中B E BC EF C F ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝∴△ABC ≌△DEF （ASA ），∴AC ＝DF ，即两根旗杆的高度相等．【点拨】本题考查了全等三角形的应用，根据题意找出三角形全等的条件，然后证明两三角形全等是解题的关键．【变式1】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，把一块三角板的30︒角顶点A 放在直尺的一边BC 上，若1:23:7∠∠=，则2∠=（）A ．126︒B ．118︒C ．105︒D ．94︒【答案】C 【分析】根据平行线的性质和平角的定义即可得到结论．解：如图，由题意知：DE BC ∥，∴31∠=∠，∵1:23:7∠∠=，∴3:23:7∠∠=，∴3327∠=∠，∵2330180∠+∠+︒=︒，∴322301807∠+∠+︒=︒，∴2105∠=︒．故选：C ．【点拨】本题考查的是平行线的性质和平角的定义．熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．【变式2】（2022·甘肃嘉峪关·校考一模）如图两平行线a、b被直线l所截，且∠1=60°，则∠2的度数为.【答案】60°/60度【分析】由a∥b，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠3=∠1=60°，又由对顶角相等，即可求得答案．解：∵a∥b，∴∠3=∠1=60°，∴∠2=∠3=60°．故答案为：60°．【点拨】此题考查了平行线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．【考点2】内错角相等两直线平行【例2】（2014下·贵州铜仁·七年级统考期末）已知：如图，点D、E分别在AB、BC上，DE AC∥，165∠=︒，265∠=︒，请说明：F CBF ∠=∠．（不必注明依据）【答案】证明见分析【分析】根据平行线的性质得出165C ∠=∠=︒，得出2C ∠=∠，根据平行线的判定得出AF BC ∥，再根据平行线的性质即可得证．解：∵DE AC ∥，165∠=︒，265∠=︒，∴165C ∠=∠=︒，∴2C ∠=∠，∴AF BC ∥，∴F CBF ∠=∠．【点拨】本题考查平行线的判定和性质，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解题的关键．【变式1】（2023·吉林白城·校联考三模）已知，如图，AB ∥CD ，∠A=70°，∠B=40°，则∠ACD=（）A ．55°B ．70°C ．40°D ．110°【答案】B解：AB CD ∥.A ACD ∴∠=∠70.A ∠=︒ 70.ACD ∠=︒故选B.【点拨】两直线平行，内错角相等.【变式2】（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，直线a b ，直线l 与直线a 相交于点P ，直线l 与直线b 相交于点Q ，PM l ⊥于点P ，若155∠=︒，则2∠=.︒【答案】35【分析】本题主要考查平行线性质以及垂线的性质．根据平行线性质得3155∠=∠=︒，利用垂线性质即可求得2∠．解：直线a b ，3155∴∠=∠=︒，又PM l ⊥ 于点P ，90MPQ ∴∠=︒，2903905535∴∠=︒-∠=︒-︒=︒．故答案为：35．【考点3】同旁内角互补两直线平行【例3】（2023下·山东烟台·六年级统考期末）如图，ABD ∠和BDC ∠的角平分线交于点E ，BE 交CD 于点F ，1290∠+∠=︒．（1）试说明：//AB CD ．（2）若228∠=︒，求3∠的度数．【答案】（1）见分析；（2）62︒【分析】（1）根据角平分线的定义，结合1290∠+∠=︒，可得180ABD BDC ∠+∠︒＝，进而即可得到结论；（2）由228∠=︒，得162∠=︒，进而得62ABF ∠=︒，结合//AB CD ，即可得到答案．解：（1）∵ABD ∠和BDC ∠的角平分线交于点E ，∴21ABD ∠∠＝，22BDC ∠∠＝，又∵1290∠+∠=︒，∴2(12)180ABD BDC ∠+∠∠+∠=︒＝，∴//AB CD ；（2）∵228∠=︒，1290∠+∠=︒，∴162∠=︒，又∵BF 平分ABD ∠，∴162ABF ∠=∠=︒，又∵//AB CD ，∴362ABF ∠=∠=︒．【点拨】本题主要考查角平分线的定义，平行线的判定和性质定理，掌握“同旁内角互补，两直线平行”，“两直线平行，内错角相等”，是解题的关键．【变式1】（2012下·广东茂名·七年级统考期中）两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的比为4：5，则这两个角中较小的角的度数为（）A ．20︒B ．80︒C ．100︒D ．120︒【答案】B【分析】根据比例设两个角为4x 、5x ，再根据两直线平行，同旁内角互补列式求解即可．解：设两个角分别为4x 、5x ，∵这两个角是两平行线被截所得到的同旁内角，∴45180x x +=︒，解得20x =︒，480x =︒，5100x =︒，所以较小的角的度数等于80︒．故选：B ．【点拨】本题考查了平行线的性质，主要利用了两直线平行，同旁内角互补的性质，熟记性质是解题的关键．【变式2】（2023下·辽宁大连·七年级统考期末）如图，AB ∥CD ，射线AE 交CD 于点F ，若∠1＝116°，则∠2的度数等于．【答案】64°【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可求出∠AFD 的度数，然后根据对顶角相等求出∠2的度数．解：∵AB ∥CD ，∴∠1+∠AFD =180°．∵∠1=116°，∴∠AFD =64°．∵∠2和∠AFD 是对顶角，∴∠2=∠AFD =64°．故答案为64°．【点拨】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补．【平行线性质探究角的关系】【考点4】平行线判探究角的关系或求角度【例4】（2017下·北京东城·七年级统考期中）已知：直线AB CD ，点M 、N 分别在直线AB 、直线CD 上，点E 为平面内一点，（1）如图1，请写出AME ∠，E ∠，ENC ∠之间的数量关系，并给出证明；（2）如图2，利用（1）的结论解决问题，若30AME ∠=︒，EF 平分MEN ∠，NP 平分ENC ∠，EQ NP ∥，求FEQ ∠的度数；（3）如图3，点G 为CD 上一点，AMN m EMN ∠=∠，GEK m GEM ∠=∠，EH MN 交AB 于点H ，GEK ∠，BMN ∠，GEH ∠之间的数量关系（用含m 的式子表示）是．【答案】（1）MEN AME ENC ∠=∠+∠，证明见分析；（2）15︒；（3）180GEK BMN m GEH ∠+∠-∠=︒．【分析】（1）过点E 作EE AB ' ，根据平行线的性质进行证明即可；（2）利用EF 平分MEN ∠，NP 平分ENC ∠，可得11,22NEF MEN ENP ENC ∠=∠∠=∠，再根据MEN AME ENC ∠=∠+∠，进行等量代换进行计算即可；（3）由已知条件可得11,22NEF MEN ENP ENC ∠=∠∠=∠，1EMN HEM AMN m∠=∠=∠，再根据平行线的性质进行各角的等量转换即可．解：（1）MEN AME ∠=∠+∠，证明如下：如图1所示，过点E 作EE AB ' ，∵AB CD ，∴AB CD EE 'P P ，∴1,2AME ENC ∠=∠∠=∠，∵12MEN ∠=∠+∠，∴MEN AME ENC ∠=∠+∠．（2）∵EF 平分MEN ∠，NP 平分ENC ∠，∴11,22NEF MEN ENP ENC ∠=∠∠=∠．∵EQ NP ∥，30AME ∠=︒，∴12QEN ENP ENC ∠=∠=∠．∵MEN AME ENC ∠=∠+∠，∴30MEN ENC AME ∠-∠=∠=︒，∴111130152222FEQ FEN QEN MEN ENC AME ∠=∠-∠=∠-∠=∠=⨯︒=︒．（3）180GEK BMN m GEH ∠+∠-∠=︒．证明如下：∵AMN m EMN ∠=∠，GEK m GEM ∠=∠，∴1EMN AMN m ∠=∠，1GEM GEK m∠=∠．∵EH MN ，∴1EMN HEM AMN m∠=∠=∠，∵11GEH GEM HEM GEK AMN m m ∠=∠-∠=∠-∠，∴m GEH GEK AMN ∠=∠-∠，∵180AMN BMN ∠=︒-∠，∴()180m GEH GEK BMN ∠=∠-︒-∠，180GEK BMN m GEH ∠+∠-∠=︒．故答案为：180GEK BMN m GEH ∠+∠-∠=︒．【点拨】本题考查了平行线的判定和性质，角的平分线，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．【变式1】（2022下·贵州黔南·七年级统考期中）如图，在五边形ABCDE 中，AE BC ∥，则C D E ∠+∠+∠=（）A ．540︒B ．360︒C ．270︒D ．180︒【答案】B 【分析】首先过点D 作DF AE ∥，交AB 于点F ，由AE BC ∥，可证得AE DF BC ∥∥，然后由两直线平行，同旁内角互补可知180E EDF Ð+Ð=°，180CDF C Ð+Ð=°，继而证得结论．解：过点D 作DF AE ∥，交AB 于点F ，AE BC ∥，AE DF BC ∴∥∥，180E EDF ∴∠+∠=︒，180CDF C Ð+Ð=°，360C CDE E \Ð+Ð+Ð=°．故选：B ．【点拨】此题考查了平行线的性质，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．【变式2】（2023下·广东江门·七年级统考期末）如图，AB ∥CD ，∠ABF =23∠ABE ，∠CDF =23∠CDE ，则∠E ：∠F 等于【答案】3：2解：如图，过点E、F分别作EG∥AB、FH∥AB，又因AB∥CD，根据平行线的传递性可得AB∥EG∥FH∥CD，∵AB∥FH，∴∠ABF=∠BFH，∵FH∥CD，∴∠CDF=∠DFH，∴∠BFD=∠DFH+∠BFH=∠CDF+∠ABF；同理可得∠BED=∠DEG+∠BEG=∠ABE+∠CDE；∵∠ABF=23∠ABE，∠CDF=23∠CDE，∴∠BFD=∠DFH+∠BFH=∠CDF+∠ABF=23（∠ABE+∠CDE）=23∠BED，∴∠BED：∠BFD=3：2．故答案为：3：2．【点拨】本题主要考查了平行线的性质，解决这类题目要常作的辅助线（平行线），充分运用平行线的性质探求角之间的关系是解题的关键．【平行线性质性质与判定综合】【考点5】平行线判定与性质求角度【例5】（2023上·广东潮州·八年级校考阶段练习）如图，A B、两处是灯塔，船只在C处，B处在A 处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，求船只与两灯塔的视角ACB的度数．【答案】85°【分析】根据方向角的定义，可得∠BAE=45°，∠CAE=15°，∠DBC=80°，然后根据平行线的性质与三角形内角和定理即可求解．解：如图，根据方向角的定义，可得∠BAE=45°，∠CAE=15°，∠DBC=80°．∵∠BAE=45°，∠EAC=15°，∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=45°+15°=60°．∵AE ，DB 是正南正北方向，∴BD ∥AE ，∵∠DBA=∠BAE=45°，又∵∠DBC=80°，∴∠ABC=80°-45°=35°，∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-60°-35°=85°．题的关键．【变式1】（2023下·甘肃白银·八年级统考期末）如图所示，已知AB EF ∥，那么BAC ACE CEF ∠+∠+∠=（）A ．180°B ．270°C ．360°D ．540°【答案】C 【分析】先根据平行线的性质得出180180BAC ACD DCE CEF ∠+∠=︒∠+∠=︒，，进而可得出结论．解：过点C 作CD EF ∥，∥Q AB EF ，AB CD EF \∥∥，∴180180BAC ACD DCE CEF ∠+∠=︒∠+∠=︒①，②，由①②+得，360BAC ACD DCE CEF ∠+∠+∠+∠=︒，即360BAC ACE CEF Ð+Ð+Ð=°．故选：C ．【点拨】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．【变式2】（四川省成都市金牛区2020-2021学年七年级下学期期末数学试题）一副直角三角板如图放在直线m 、n 之间，且//m n ，则图中1∠=度．【答案】15【分析】如图，过点A 作AC ∥m ，则有////AC m n ，然后可得,45BAC CAD CAD ADE ∠=∠∠=∠=︒，进而问题可求解．解：如图所示，过点A 作AC ∥m ，∵//m n ，∴////AC m n ，∴1,45BAC CAD ADE ∠=∠∠=∠=︒，∵60BAC CAD ∠+∠=︒，∴115BAD CAD ∠=∠-∠=︒；故答案为15．【点拨】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．【考点6】平行线判定与性质证明【例6】（2023下·七年级课时练习）如图，BD 平分ABC ∠，ED BC ∥，130∠=︒，4120∠=︒．（1）求2∠，3∠的度数；（2）证明：DF AB ．【答案】（1）230∠=︒，360∠=︒；（2）见详解【分析】（1）根据BD 平分ABC ∠，112ABD ABC ∠=∠=∠，即有130ABD ∠=∠=︒，60ABC ∠=︒，再结合ED BC ∥，即可求解；（2）由60ABC ∠=︒，4120∠=︒可得ABC ∠4=180+∠︒，则DF AB ，问题得解．解：（1）∵BD 平分ABC ∠，130∠=︒，∴112ABD ABC ∠=∠=∠，∴130ABD ∠=∠=︒，60ABC ∠=︒，∵ED BC ∥，∴2130∠=∠=︒，360ABC ∠=∠=︒，即：230∠=︒，360∠=︒；（2）∵60ABC ∠=︒，4120∠=︒，∴ABC ∠4=180+∠︒，∴DF AB ．【点拨】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质等知识，掌握两直线平行同位角相等；两直线平行同位角相等；两直线平行，同旁内角互补是解答本题的关键．【变式1】（2020上·河南洛阳·七年级统考期末）如图，若12∠=∠，DE BC ∥，则下列结论：①FG DC ；②AED ACB ∠=∠；③CD 平分ACB ∠；④190B ∠+∠=︒；⑤BFG BDC ∠=∠．其中，正确结论的个数为（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B 【分析】由平行线的性质得出内错角相等、同位角相等，得出②正确；再由已知条件证出2DCB =∠∠，得出FG DC ，①正确；由平行线的性质得出⑤正确；即可得出结果．解：DE BC ∥，1DCB ∴∠=∠，AED ACB ∠=∠，故②正确；12∠=∠ ，2DCB ∴∠=∠，FG DC ∴∥，故①正确；BFG BDC ∴∠=∠，故⑤正确；而CD 不一定平分ACB ∠，1B ∠+∠不一定等于90︒，故③，④错误；故选：B ．【点拨】本题考查了平行线的判定与性质；熟练掌握平行线的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．【变式2】（2021下·江苏盐城·七年级统考期中）如图a b ，c 与a 相交，d 与b 相交，下列说法：①若12∠=∠，则3=4∠∠；②若14180∠+∠=︒，则c d ∥；③4231∠-∠=∠-∠；④1234360∠+∠+∠+∠=︒正确的有（填序号）【答案】①②③【分析】根据平行线的性质和判定逐一进行判断即可．解：如图，①若∠1=∠2，则b ∥e ，则∠3=∠4，故原说法正确；②若∠1+∠4=180°，则c ∥d ；故原说法正确；③由a ∥b 得到∠1=∠6，∠5+∠4=180°，由∠2+∠3+∠5+180°-∠6=360°得，∠2+∠3+180°-∠4+180°-∠1=360°，则∠4-∠2=∠3-∠1，故原说法正确；④由③得，只有∠1+∠4=∠2+∠3=180°时，∠1+∠2+∠3+∠4=360°．故原说法错误．正确的有①②③，故答案为：①②③．【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．【平行线间的距离】【考点7】平行线间的距离（应用）【例7】（2022下·贵州遵义·七年级校考阶段练习）如图，直线a b ∥，AB 与a ，b 分别交于点A ，B ，且AC AB ⊥，AC 交直线b 于点C ．（1）若160∠= ，求2∠的度数；（2）若6,8AC AB ==，10BC =，求直线a 与b 的距离．【答案】（1）30︒；（2）245【分析】（1）由直线a b ∥，根据平行线的性质得出3160∠=∠=︒，再由AC AB ⊥，根据垂直的定义即可得到结果；（2）过A 作AD BC ⊥于D ，根据1122ABC S AB AC BC AD =⨯⨯=⨯⨯ ，即可求解．解：（1）∵a b∥∴3160∠=∠=︒又∵AC AB⊥∴290330∠=︒-∠=︒（2）如图，过A 作AD BC ⊥于D ，则AD 的长即为直线a 与b 的距离∵6,8AC AB ==，10BC =，ABC 是直角三角形∵1122ABC S AB AC BC AD =⨯⨯=⨯⨯ ∴8624105AB AC AD BC ⨯⨯===∴直线a 与b 的距离245【点拨】本题考查了平行线的性质及三角形的面积，解题的关键是掌握：从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．【变式1】（2021下·安徽合肥·八年级统考期末）如图，123////l l l ，且相邻两条直线间的距离都是2，A ，B ，C 分别为1l ，2l ，3l 上的动点，连接AB 、AC 、BC ，AC 与2l 交于点D ，90ABC ∠=︒，则BD 的最小值为（）A．2B．3C．4D．5【答案】A【分析】求BD的最小值可以转化为求点B到直线AC的距离，当BD⊥AC时，BD有最小值，根据题意求解即可．解：由题意可知当BD⊥AC时，BD有最小值，此时，AD=CD，∠ABC=90°，∴BD=AD=BD=12AC=2，∴BD的最小值为2．故选：A．【点拨】本题考查平行线的性质，需结合图形，根据平行线的性质推出相关角的关系从而进行求解．【变式2】（2019下·上海金山·七年级统考期中）已知直线a∥b∥c，a与b的距离是5cm，b与c的距离是3cm，则a与c的距离是．【答案】8cm或2cm【分析】直线c的位置不确定，可分情况讨论．（1）直线c在直线b的上方，直线a和直线c之间的距离为5cm+3cm=8cm；（2）直线c在直线a、b的之间，直线a和直线c之间的距离为5cm-3cm=2cm．解：（1）直线c在直线b1：直线a和直线c之间的距离为5cm+3cm=8cm；（2）直线c在直线a、b的之间，如图2：直线a和直线c之间的距离为5cm-3cm=2cm；所以a与c的距离是8cm或2cm，故答案为8cm或2cm．【点拨】此题考查两线间的距离，本题需注意直线c的位置不确定，需分情况讨论．。
平行线的性质知识点
平行线的性质知识点平行线是几何学中常见的概念，其性质和特点对于理解和解决几何问题非常重要。
本文将介绍平行线的定义、性质以及与平行线相关的定理。
一、平行线的定义平行线是指在同一个平面内永远不会相交的直线。
简单来说，如果两条直线在同一个平面内，并且它们永远不会相交，那么它们就是平行线。
二、平行线的判定方法1. 同位角判定法：当一条直线与另外两条直线相交时，如果同位角对应相等（即两条直线被切分的同位角互相相等），则这两条直线是平行线。
2. 内错角判定法：当一条直线与另一条直线相交时，如果内错角互相补角相等（即两条直线被切分的内错角互为补角），则这两条直线是平行线。
3. 平行线判定定理：如果两条直线的斜率相等且不相交，则这两条直线是平行线。
三、平行线的性质1. 平行线具有等倾斜角性质：对于两条平行线上的任意一对相对应的同位角，它们的角度相等。
2. 平行线具有同旁内错角性质：对于两条平行线上的任意一对相对应的内错角，它们是互补角。
3. 平行线具有同旁外错角性质：对于两条平行线上的任意一对相对应的外错角，它们是对应角或互补角。
4. 平行线具有同旁错角成比例性质：对于两条平行线上的任意一对相对应的错角，它们成比例关系。
5. 平行线之间的距离始终相等：如果从两条平行线上任意取一对相对应的点，连接这两条点所在直线上的线段，得到的线段与两条平行线之间的距离是相等的。
四、平行线的相关定理1. 平行线定理：如果一条直线与两条平行线相交，那么这条直线的同位角对应相等。
2. 平行线外角定理：如果一条直线与两条平行线相交，那么这条直线的外错角互补。
3. 平行线内角定理：如果一条直线与两条平行线相交，那么这条直线的内错角互补。
4. 平行线内外角定理：如果一条直线与两条平行线相交，那么这条直线的内错角与外错角是对应角或互补角。
总结：平行线是几何学中的重要概念，具有许多重要性质和特点。
通过掌握平行线的定义、判定方法、性质以及相关定理，可以在解决几何问题时更加灵活运用平行线的知识，加深对几何学的理解和掌握。
平行线的知识点归纳(两篇)
引言概述：平行线是几何学中一个重要的概念，它在数学和物理学等领域具有广泛的应用。
在本文中，我们将进一步归纳平行线的一些重要知识点，包括平行线的定义、性质以及平行线与其他几何元素的关系。
通过深入理解这些知识点，我们将能够更好地应用平行线的概念解决实际问题。
正文内容：1. 平行线的定义1.1 平行线的定义平行线是指在同一个平面内不相交且不重合的两条直线。
平行线可以永远延伸而不会相交。
1.2 平行线的表示方法平行线可以用符号“∥”来表示。
例如，若AB∥CD，我们可以写成AB∥CD来表示线段AB与线段CD平行。
1.3 平行线的判定方法判定两条直线是否平行有多种方法，常用的方法包括使用同位角、平行线定理以及垂线的性质等。
2. 平行线的性质2.1 平行线的夹角关系当两条平行线被一条横截线相交时，它们所成的对应角、内错角、同位角具有一些特定的关系。
例如，对应角相等、内错角互补、同位角互等等。
2.2 平行线的影子定理若一条横截线与两条平行线分别相交，那么这两条平行线上的对应线段与其所分割的横截线上的线段成比例。
2.3 平行线的平行四边形定理若一条对角线把平行四边形分成两个三角形，那么这两个三角形中的对角线之间的向量是相等的。
3. 平行线与其他几何元素的关系3.1 平行线与角度的关系平行线与角度之间有密切的关系。
例如，当平行线被一条横截线相交时，不同角对应的角度关系等。
3.2 平行线与多边形的关系平行线与多边形的性质也有一定的关系。
例如，对于平行四边形来说，两组对边是平行的。
3.3 平行线与圆的关系平行线与圆的关系也是几何学中一个重要的知识点。
例如，在圆内部的任意两条平行线都会与圆的弦垂直。
4. 平行线的应用4.1 平行线的测量在实际应用中，我们经常需要测量平行线间的距离。
通过使用测量仪器和几何定理，我们可以准确地测量平行线的距离。
4.2 平行线与平行线的相交当两组平行线相交时，我们可以利用平行线的性质推导出一些重要的结论。
平行线与垂直线的认识知识点总结
平行线与垂直线的认识知识点总结平行线和垂直线是几何学中常见的两种线性关系，它们在我们的日常生活和数学研究中都起到重要的作用。
本文将对平行线和垂直线的概念、性质和应用进行总结，以帮助读者更好地理解和运用这两种线性关系。
一、平行线的概念和性质1. 平行线的定义：两条直线在平面内不相交，并且它们的所有点到另一直线的距离相等，则称这两条直线为平行线。
2. 平行线的判定：有以下几种方法可以判定两条直线是否平行：- 通过观察直线的方程是否满足平行线的定义；- 通过观察直线的斜率是否相等；- 通过观察直线的平行关系是否可以推导出等比例关系。
3. 平行线的性质：- 平行线之间不存在交点；- 平行线的斜率相等；- 平行线的夹角为180度；- 平行线之间的距离在平面上保持不变。
二、垂直线的概念和性质1. 垂直线的定义：两条直线相交，且相交的角度为90度，则称这两条直线为垂直线。
2. 垂直线的判定：有以下几种方法可以判定两条直线是否垂直：- 通过观察直线的方程是否满足垂直线的定义；- 通过观察直线的斜率之积是否为-1；- 通过观察直线之间的角度是否为90度。
3. 垂直线的性质：- 垂直线之间存在交点；- 垂直线的斜率之积为-1；- 垂直线之间的角度为90度；- 垂直线的斜率为正无穷和负无穷。
三、平行线和垂直线的应用1. 平行线的应用：- 在建筑设计中，平行线的概念被广泛运用于保持建筑物的平衡和稳定性；- 在地理测量中，通过观察地平线和水平线的关系，可以判断两条线是否平行；- 在艺术创作中，平行线的运用可以帮助构建透视效果。
2. 垂直线的应用：- 在建筑施工中，垂直线的运用可以保证建筑物的结构稳定；- 在地理测量中，通过使用测量仪器可以确定地表的垂直线；- 在数学和物理实验中，垂直线的概念被广泛运用于实验数据的分析和计算。
总结起来，平行线和垂直线是几何学中重要的概念，它们在日常生活和学术研究中都起到了至关重要的作用。
通过对平行线和垂直线的概念、性质和应用的总结，希望读者能够更好地理解和运用这两种线性关系，进一步提升数学和几何学方面的知识和能力。
高一数学平行线的知识点
高一数学平行线的知识点一、平行线的定义和性质平行线是指在同一平面上，永不相交且不在同一直线上的两条直线。
关于平行线的定义和性质有以下几点：1. 定义：如果两条直线在同一平面内永远不相交，那么它们就是平行线。
2. 特征：平行线间的所有角相等；平行线与截面直线构成的对应角相等。
3. 垂直交线定理：如果两条直线同时与一条直线垂直相交，且两条直线分别与第三条直线垂直相交，那么这两条直线互相平行。
4. 平行线的判定定理：如果两条直线与另一条直线分别相交，且交角相等，那么这两条直线是平行的。
二、平行线的证明方法在数学中，常用的平行线证明方法主要有以下几种：1. 直线夹角法：通过证明两条直线夹角的关系可以推断两条直线平行。
2. 三角形内角和法：通过证明两个三角形的内角和相等可以推断两条直线平行。
3. 反证法：通过假设两条直线不平行，然后推导出矛盾的结论，从而证明两条直线平行。
三、平行线的应用平行线的知识在实际生活中有广泛的应用，以下是几个常见的应用场景：1. 建筑工程：在建筑设计和施工中，平行线的概念可以用来判断墙壁、地板等的水平性，确保建筑物的稳定性和美观性。
2. 道路设计：在道路规划和标线划定中，平行线的概念可以用来设计车道、停车位等，并保证交通的顺畅和有序。
3. 图形绘制：在绘制图形和制作模型中，平行线可以用来构建各种几何形状，如矩形、平行四边形等。
4. 制造业：在机械制造和加工过程中，平行线的知识可以用来设计和加工零件，保证产品的质量和精度。
结论平行线是数学中重要的基础概念，它的定义、性质以及应用都与我们日常生活密切相关。
通过学习平行线的知识，我们可以更好地理解和应用数学，在解决实际问题时更加灵活和准确。
因此，对于高一学生来说，掌握平行线的知识点是非常重要的。
通过不断的巩固和练习，我们可以提升自己的数学能力，并在将来的学习和工作中获得更多的机会和成就。
(完整版)平行线知识点+四大模型
平行线四大模型平行线的判定与性质l、平行线的判定根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行．判定方法l：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行，判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行，如上图：若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．另有平行公理推论也能证明两直线平行：平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．2、平行线的性质利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质．性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称：两直线平行，内错角相等性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补本讲进阶平行线四大模型模型一“铅笔”模型点P在EF右侧，在AB、CD内部“铅笔”模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.模型二“猪蹄”模型（M模型）点P在EF左侧，在AB、CD内部“猪蹄”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.模型三“臭脚”模型点P在EF右侧，在AB、CD外部“臭脚”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.模型四“骨折”模型·点P在EF左侧，在AB、CD外部“骨折”模型结论结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.巩固练习平行线四大模型证明（1）已知AE // CF ,求证∠P +∠AEP +∠PFC = 360°. （2）已知∠P=∠AEP+∠CFP，求证AE∥CF．（3）已知AE∥CF，求证∠P=∠AEP-∠CFP.（4）已知∠P= ∠CFP -∠AEP,求证AE //CF.模块一平行线四大模型应用例1（1）如图，a∥b,M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠l+∠2+∠3= ．(2)如图，AB∥CD，且∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是．(3)如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE =140°，则∠BCD= .(4) 如图，射线AC∥BD，∠A= 70°，∠B= 40°，则∠P= ．练(1)如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C= 20°，则∠EAB的度数为．(2) 如图，AB∥CD，∠B=30°，∠O=∠C．则∠C= .例2如图，已知AB ∥DE ，BF 、 DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、 ∠F 的关系.练如图，已知AB ∥DE ，∠FBC =n 1∠ABF ，∠FDC =n1∠FDE . (1)若n =2,直接写出∠C 、∠F 的关系 ； (2)若n =3，试探宄∠C 、∠F 的关系；(3)直接写出∠C 、∠F 的关系 （用含n 的等式表示）.例3如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．求证：∠E= 2 (∠A+∠C) .练如图，己知AB∥DE，BF、DF分别平分∠ABC、∠CDE，求∠C、∠F的关系.例4如图，∠3==∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D= 180°．练（武昌七校2015-2016 七下期中）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠l+∠2= 90°，M、N分别是BA、CD的延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线相交于点F则∠F的度数为（）．A. 120°B. 135°C. 145°D. 150°模块二平行线四大模型构造例5如图，直线AB∥CD，∠EF A= 30°，∠FGH= 90°，∠HMN=30°，∠CNP= 50°，则∠GHM= .练如图，直线AB∥CD，∠EFG=100°，∠FGH=140°，则∠AEF+ ∠CHG= .例6 已知∠B =25°，∠BCD=45°，∠CDE =30°，∠E=l0°，求证：AB∥EF．练已知AB∥EF，求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.(1)如图(l)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n，∠B1、∠B2…∠B n-1之间的关系．(2)如图(2)，己知MA1∥NA4，探索∠A1、∠A2、∠A3、∠A4，∠B1、∠B2之间的关系．(3)如图(3)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n之间的关系．如图所示，两直线AB∥CD平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．。
七年级数学上册-5.3平行线的性质 解析版
5.3平行线的性质【考点梳理】考点一：平行线的性质考点二：根据平行线性质探究角的关系考点三：根据平行线性质求角的大小考点四：平行线性质在生活应用问题考点五：平行线之间的距离问题考点六：与命题有关的问题考点七：平行线的判定和性质的综合问题知识一：平行线的性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单地说:两直线平行，同位角相等.2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单地说:两直线平行，内错角相等.3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单地说:两直线平行，同旁内角互补.注意：是先有两直线平行，才有以上的性质，前提是“线平行”。
一个结论：平行线间的距离处处相等。
例如：应用于说明矩形（包括长方形、正方形）的对边相等，还有梯形的对角线把梯形分成分别以上底为底的两等面积的三角形，或以下底为底的两等面积的三角形。
（因为梯形的上底与下底平行，平行线间的高相等，所以，就有等底等高的三角形。
）知识二、命题判断一件事情的语句叫命题。
命题包括“题设”和“结论”两部分，可写成“如果……那么……”的形式。
例如：“明天可能下雨。
”这句语句______命题，而“今天很热，明天可能下雨。
”这句语句_____命题。
(填“是”或“不是”)1命题分为真命题与假命题，真命题指题设成立，结论也成立的命题（或说正确的命题）。
假命题指题设成立，但结论不一定或根本不成立的命题（或说错误的命题）。
2逆命题：将一个命题的题设与结论互换位置之后，形成新的命题，就叫原命题的逆命题。
注：原命题是真命题，其逆命题不一定仍为真命题，同理，原命题为假命题，其逆命题也不一定为假命题。
题型一：平行线的性质1．（2023下·广西贺州·七年级统考期末）如图，直线a ，b 被直线c 所截，若a b ∥，∠1＝70°，则∠2的度数是（）A ．50°B ．60°C ．70°D ．110°【答案】C 【分析】由a b ∥，∠1＝70°，可得2170,Ð=Ð=°从而可得答案．【详解】解：∵a b ∥，∠1＝70°，∴2170,Ð=Ð=°故选C【点睛】本题考查的是平行线的性质，掌握“两直线平行，同位角相等”是解本题的关键．2．（2024上·河南周口·七年级河南省淮阳中学校考期末）如图，沿路线A B C D →→→行走，若AB CD ∥，122B ∠=︒，则C ∠=（）A ．58︒B ．122︒C ．128︒D ．132︒【答案】B 【分析】本题考查平行线性质，根据两直线平行，内错角相等，即可解题．【详解】解： AB CD ∥，122B ∠=︒，C ∴∠=122B ∠=︒，故选：B ．3．（2024上·河南周口·七年级统考期末）如图，AB CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ，EG 平分BEF ∠，170=︒∠，则3∠的度数为（）A ．70︒B ．80︒C ．40︒D ．30︒【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质；根据角平分线的定义求出BEF ∠，再根据平行线的性质即可求出3∠．【详解】解：∵170=︒∠，EG 平分BEF ∠，∴170BEG ∠=∠=︒，∴1140BEF BEG ∠=∠+∠=︒，∵AB CD ，∴318040BEF ∠=︒-∠=︒，故选：C ．题型二：根据平行线性质探究角的关系4．（2024下·七年级课时练习）如图，直线a ，b 被c ，d 所截，且a b ∥，则下列结论中正确的是（）A ．14∠=∠B ．23180∠+∠=︒C ．3=4∠∠D ．24180∠+∠=︒【答案】C 【分析】根据平行线的性质，逐项判断即可求解．【详解】解：A ．由a b ，无法判断1∠和4∠的大小，故本选项错误，不符合题意；B ．由a b ，无法得出23180∠+∠=︒，故本选项错误，不符合题意；C ．因为a b ，所以3=4∠∠，故本选项正确，符合题意；D ．由a b ，无法得出24180∠+∠=︒，故本选项错误，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．5．（2023下·山东德州·七年级校考阶段练习）如图：,AB CD OE ∥平分,,,40BOC OF OE OP CD ABO ∠⊥⊥∠=︒，则下列结论：①OF 平分BOD ∠②POE BOF ∠=∠③70BOE ∠=︒④2POB DOF ∠=∠，其中结论正确的序号是（）A ．只有①②③B ．只有①③④C ．①②③④D ．只有①④【答案】A 【分析】根据AB ∥CD 可得40BOD ABO ∠=∠=︒，利用平角得到140COB ∠=︒，再根据角平分线的定义得到70BOE ∠=︒，则③正确；利用OP CD ⊥，AB ∥CD ，40ABO ∠=︒，可得50OB ∠=︒，20BOF ∠=︒，20FOD ∠=︒，进而可得OF 平分BOD ∠，则①正确；由70EOB ∠=︒，50POB ∠=︒，20POE ∠=︒，由20BOF POF POB ∠=∠-∠=︒，进而可得POE BOF ∠=∠，则②正确；由②可知50POB ∠=︒，20FOD ∠=︒，则④不正确．【详解】③AB ∥CD ，40BOD ABO ∴∠=∠=︒，18040140COB ∴∠=︒-︒=︒，又OE 平分BOC ∠，BOE ∴∠=12COB ∠=1214070⨯︒=︒，故③正确；①OP CD ⊥ ，90POD ∴∠=︒，又AB ∥CD ，90BPO ∴∠=︒，又40ABO ∠=︒ ，904050POB ∴∠=︒-︒=︒，907020BOF EOF EOB ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，402020FOD ∠=︒-︒=︒，OF ∴平分BOD ∠，故①正确；②70EOB ∠=︒ ，904050POB ∠=︒-︒=︒，705020POE ∴∠=︒-︒=︒，POE BOF ∴∠=∠，故②正确；④由①可知904050POB ∠=︒-︒=︒，402020FOD ∠=︒-︒=︒，故2POB DOF ∠≠∠，故④不正确．故结论正确的是①②③，故选A ．【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是要注意将垂直、平行、角平分线的定义结合应用，弄清图中角和角的关系，再进行解答．6．（2024上·四川巴中·七年级统考期末）如图，AB CD ∥，E 为AB 上一点，且EF CD ⊥垂足为F ，90CED ∠=︒，CE 平分AEG ∠，且CGE α∠=，则下列结论：①1902AEC α∠=︒-；②DE 平分GEB ∠；③CEF GED ∠=∠；④180FED BEC ∠+∠=︒；其中正确的有（）A ．①②B ．②③④C ．①②③④D ．①③④【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，熟记“一般地，从一个角的顶点出发，在角的内部把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线”，“当两直线所组成的角为直角时，称它们互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线”的相关概念，利用α表示各个角度．根据角平分线的性质，角平分线和垂线的定义逐个分析计算即可．【详解】解：CGE α∠= ，AB CD ∥，CGE GEB α∴∠=∠=，180AEG α∴∠=︒-，CE 平分AEG ∠，119022AEC CEG AEG α∴∠=∠=∠=︒-，故①正确；90CED ∠=︒ ，1122DEB GEB α∴∠==∠，即DE 平分GEB ∠，故②正确；EF CD ⊥ ，AB CD ∥，90AEF ∴∠=︒，90AEC CEF ∴∠+∠=︒，12CEF α∴∠=，12GED GEB DEB α∠=∠-∠= ，CEF GED ∴∠=∠，故③正确；190902FED BED α∠=︒-∠=︒- ，1180902A BEC EC α∠=∠=︒-︒+，180FED BEC ∴∠+∠=︒故④正确；综上所述，正确的有①②③④，故选：C ．题型三：根据平行线性质求角的大小7．（2024下·全国·七年级专题练习）如图，直线m n ∥，含有45︒角的三角板的直角顶点O 在直线m 上，点A 在直线n 上，若120∠=︒，则2∠的度数为（）A ．15︒B ．25︒C ．35︒D ．45︒【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，过B 作BK m ∥，推出BK n ∥，由平行线的性质得到120OBK ∠=∠=︒，2ABK ∠=∠，求出25ABK ABO OBK ∠=∠-∠=︒，即可得到225∠=︒．【详解】解：过B 作BK m ∥，∵m n ∥，∴BK n ∥，∴120OBK ∠=∠=︒，2ABK ∠=∠，∵45ABO ∠=︒，∴452025ABK ABO OBK ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴225ABK ∠=∠=︒．故选：B ．8．（2024上·重庆沙坪坝·七年级重庆南开中学校考期末）如图，直线MN PQ ∥，点A C 、分别在直线MN PQ 、上，AD 平分BAN ∠，CD 平分110ECQ B ∠∠︒，＝，若DCQ α∠=，则1∠等于（）A ．30α︒+B ．30α︒-C ．35α︒+D ．35α︒-【答案】C 【分析】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解题的关键．过点B 作BG PQ ∥交AD 于点G ，由CD 平分ECQ DCQ α∠∠=，可知2ECQ α∠=，故2EBG ECQ α∠=∠=，由110ABE ∠=︒可知1102ABG ABE EBG α∠=∠-∠=︒-，再由MN PQ BG PQ ∥，∥可知()1801801102BAN ABG α∠=︒-∠=︒-︒-，根据AD 平分BAN ∠可得出NAD ∠的度数，进而得出结论．【详解】解：如图，过点B 作BG PQ ∥交AD 于点G ，∵CD 平分ECQ DCQ α∠∠=，，∴2ECQ α∠=，∴2EBG ECQ α∠=∠=，∵110ABE ∠=︒，∴1102ABG ABE EBG α∠=∠-∠=︒-，∵MN PQ BG PQ ∥，∥，∴()1801801102702BAN ABG αα∠=︒-∠=︒-︒-=︒+，∵AD 平分BAN ∠，∴1352NAD BAN α∠=∠=︒+，∴135NAG α∠=∠=︒+．故选：C ．9．（2024·全国·七年级竞赛）如图，82BAC ∠=︒，68CDE ∠=︒，AF 平分BAC ∠，若AF D E ⊥，则ACD ∠的度数为（）A ．18︒B ．19︒C ．20︒D ．21︒【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的性质，掌握平行线的性质，角平分线的性质，垂直的性质，合理作出平行线是解题的关键．如图所示，作DG AF 交AC 于G ，作CH AF ∥，根据平行线的性质可求出ACH ∠的度数，根据垂直的性质可求出CDG ∠的度数，最后根据ACD ACH DCH ∠=∠-∠即可求解．【详解】解：如图所示，作DG AF 交AC 于G ，作CH AF ∥，∵AF 平分BAC ∠，∴82241CAF ∠=︒÷=︒，∴41AGD ACH CAF ∠=∠=∠=︒，∵68DE AF CDE ⊥∠=︒，，∴906822DCH CDG ∠=∠=︒-︒=︒，∴412219ACD ACH DCH ∠=∠-∠=︒-︒=︒．题型四：平行线性质在生活应用问题10．（2023上·吉林长春·七年级统考期末）如图，一条街道有两个拐角ABC ∠和BCD ∠，已知AB CD ∥，若150ABC ∠=︒，则BCD ∠的度数是（）A ．30︒B ．120︒C ．130︒D ．150︒【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等，由AB CD ，根据两直线平行，内错角相等，可得BCD ∠的度数，解题的关键是将实际问题转化为数学问题求解．【详解】∵150AB CD ABC ∠=︒，∴150BCD ABC ∠=∠=︒（两直线平行，内错角相等）．故选：D ．11．（2023下·江西抚州·七年级统考期中）一辆行驶中的汽车经过两次拐弯后，仍向原方向行驶，则两次拐弯的角度可能是（）A ．先右转30︒，后左转60︒B ．先左转30︒，后右转60︒C ．先右转30︒，后左转150︒D ．先右转30︒，后左转30︒【答案】D【分析】利用平行的性质：两直线平行，同位角相等来选择即可．【详解】解：两次拐弯后，仍在原来的方向上平行行驶，即转弯前与转弯后的道路是平行的，因而右转的角与左转的角应相等，理由是两直线平行，同位角相等．故选：D ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，能够根据条件，找到解决问题的依据是解决本题的关键．12．（2023下·河北邢台·七年级校考期中）生活中常见一种折叠拦道闸如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为如图2所示的几何图形，其中BA AE ⊥，垂足为A ，CD AE ∥，则ABC BCD ∠+∠=（）A ．270︒B ．250°C ．230︒D ．200︒【答案】A 【分析】过B 作BF CD ∥，然后根据平行线的性质和垂线的定义即可得解．【详解】解：如图，过B 作BF CD ∥，∵CD AE ∥，则BF AE ，∴180BCD CBF ∠+∠=︒，∵BA AE ⊥，∴90BAE ∠=︒，∴18090ABF BAE ∠=︒-∠=︒，∴270ABC BCD ABF CBF BCD ∠+∠=∠+∠+∠=︒，故选：A ．【点睛】本题考查平行线的综合应用，熟练掌握平行线的性质和垂线的定义是解题关键．题型五：平行线之间的距离问题13．（2023下·湖南娄底·七年级统考期末）如图，∥MN AB ，P ，Q 为直线MN 上的任意两点，PAB 和QAB 的面积关系是()A ．PAB QAB S S >△△B ．PAB QABS S =△△C ．PAB QAB S S <△△D ．无法确定【答案】B 【分析】根据两条平行线之间的距离处处相等，可知PAB 与QAB 底边AB 边上的高相等，从而得到它们的面积相等．【详解】解：因为∥MN AB ，所以点P 与点Q 到直线AB 的距离相等，即PAB 与QAB 是同底等高的两个三角形，故PAB QAB S S =△△．故选：B ．【点睛】本题考查两条平行线之间的距离处处相等，掌握这一性质是解题的关键．14．（2023下·广西桂林·七年级校联考期末）如图，AD BC ∥，5BC =，点E 在BC 上，8BE =，DCE △的面积为6，则ABE 的面积为（）A ．6B ．12C ．16D ．20【答案】C 【分析】ABE 的边BE 上的高和DCE △的边CE 上的高长度相同，设高为h ，可求得ABE S 和DCE S 之间的数量关系．【详解】∵5BC =，8BE =，∴853CE BE BC =-=-=．∵AD BC ∥，∴ABE 的边BE 上的高和DCE △的边CE 上的高长度相同．设ABE 的边BE 上的高和DCE △的边CE 上的高为h ．根据题意，得1322DCE S h CE h == △，142ABE S h BE h == △．∴8861633ABE DCE S S ==⨯=△△．故选：C ．【点睛】本题主要考查两条平行线之间的距离（如果两条直线平行，那么其中一条直线上每个点到另一条直线的距离都相等，这个距离，叫做这两条平行线之间的距离），牢记两条平行线之间的距离的定义是解题的关键．15．（2022下·河北石家庄·七年级校考期末）如图，点P 、Q 为平面内两个定点，定直线a PQ ∥，M 是直线a 上一动点，对下列各值：①PQM 的周长；②PQM 的面积；③点M 到PQ 的距离；④PMQ ∠的大小.其中会随点M 的移动而变化的是（）A ．②③B ．②④C ．①④D ．①③【答案】C 【分析】根据平行线间的距离不变即可判断③；根据三角形的周长和点M 的运动变化可判断①④；根据同底等高的三角形的面积相等可判断②；进而可得答案．【详解】解：∵直线a PQ ∥，∴点M 到直线PQ 的距离不会随点M 的移动而变化，故③正确；∵PM ，QM 的长随点M 的移动而变化，∴PQM 的周长会随点M 的移动而变化，PMQ ∠的大小会随点M 的移动而变化，故①④错误；∵点M 到直线PQ 的距离不变，PQ 的长度不变，∴PQM 的面积不会随点M 的移动而变化，故②正确；综上，不会随点M 的移动而变化的是①④．故选：C ．【点睛】本题主要考查了平行线间的距离和同底等高的三角形的面积相等等知识，属于基础题型，熟练掌握平行线间的距离的概念是关键．题型六：与命题有关的问题16．（2024下·全国·七年级专题练习）下列各命题的逆命题是假命题的是（）A ．两直线平行，同旁内角互补B ．若两个数0a b +=，则这两个数为相反数C ．对顶角相等D．如果22a b=，那么a b=【答案】C【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出一个命题的逆命题，写出命题的逆命题后判断正误即可．【详解】解：A、逆命题为同旁内角互补，两直线平行，是真命题，不符合题意；a b+=，是真命题，不符合题意；B、逆命题为如果两个数互为相反数，那么0C、逆命题为相等的角为对顶角，是假命题，符合题意；D、逆命题为如果a b=，那么22a b=，是真命题，不符合题意．故选：C．17．（2023下·辽宁鞍山·七年级校考阶段练习）下列命题：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线；④从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；⑤垂直于同一条直线的两条直线垂直，其中的假命题有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【分析】此题主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题；②在同一平面上，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是假命题；③把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线，原命题是真命题；④从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短是真命题；⑤垂直于同一条直线的两条直线平行，原命题是假命题，故选：B．18．（2023下·广西玉林·七年级统考期中）下列命题；①内错角相等；②两个锐角的和是钝角；③a ，b ，c 是同一平面内的三条直线，若a b ，b c P ，则a c P ；④a ，b ，c 是同一平面内的三条直线，若a b ⊥r r ，b c ⊥，则a c P ；其中真命题的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】本题考查了命题与定理的知识．利用平行线的性质及判定方法分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：①两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；②两个锐角的和不一定是钝角，错误，是假命题，不符合题意；③a ，b ，c 是同一平面内的三条直线，若a b ，b c P ，则a c P ；正确，是真命题，符合题意；④a ，b ，c 是同一平面内的三条直线，若a b ⊥r r ，b c ⊥，则a c P ，正确，是真命题，符合题意；真命题有2个，故选：B ．题型七：平行线的判定和性质的综合问题19．（2024上·江苏南通·七年级统考期末）如图，AE BD ∥，A BDC ∠=∠，AEC ∠的平分线交CD 的延长线于点F ．(1)求证：AB CD ∥；(2)探究A ∠，AEC ∠，C ∠之间的数量关系，并说明理由；(3)若140BDC ∠=︒，20F ∠=︒，求C ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)360A AEC C ∠+∠+∠=︒，理由见解析(3)100C ∠=︒【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质，添加适当的辅助线是解此题的关键．（1）由平行线的性质可得180A ABD ∠+∠=︒，求出ABD BDF ∠=∠，即可得证；（2）作EG AB ∥，则180A AEG ∠+∠=︒，EG CD ∥，再由平行线的性质可得180C CEG ∠+∠=︒，即可得出答案；（3）作EG AB ∥，则180A AEG ∠+∠=︒，求出40AEG =︒∠，得出EG CD ∥，由平行线的性质可得20GEF F ∠=∠=︒，从而得出60AEF GEF AEG ∠=∠+∠=︒，由角平分线的定义可得2120AEC AEF ∠=∠=︒，由（2）可得360A AEC C ∠+∠+∠=︒，由此即可得出答案．【详解】（1）证明：AE BD ∥ ，180A ABD ∴∠+∠=︒，180BDC BDF A BDC ∠+∠=︒∠=∠ ，，ABD BDF ∴∠=∠，AB CD ∴∥；（2）解：360A AEC C ∠+∠+∠=︒，理由如下：如图，作EG AB ∥，，则180A AEG ∠+∠=︒，由（1）可得AB CD ∥，EG CD ∴∥，180C CEG ∴∠+∠=︒，360A AEG C CEG ∴∠+∠+∠+∠=︒，AEG CEG AEC ∠+∠= ，360A AEC C \Ð+Ð+Ð=°；（3）解：如图，作EG AB ∥，，则180A AEG ∠+∠=︒，140BDC A BDC ∠=︒∠=∠ ，，40AEG ∴∠=︒，由（1）可得AB CD ∥，EG CD ∴∥，20GEF F ∴∠=∠=︒，204060AEF GEF AEG ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，AEC ∠的平分线交CD 的延长线于点F ，2120AEC AEF ∴∠=∠=︒，由（2）可得：360A AEC C ∠+∠+∠=︒，360100C A AEC ∴∠=︒-∠-∠=︒．20．（2024下·全国·七年级专题练习）如图，已知：ABC 中，D 、E 、F 、G 分别在BC 、AC 和AB 上，连接DE 、BF 和FG ，AGF ABC ∠=∠，180GFB EDB ∠+∠=︒．(1)判断BF 与DE 的位置关系，并证明；(2)若BF AC ⊥，150EDB ∠=︒，求AFG ∠的度数．【答案】(1)BF DE ∥，理由见详解(2)60︒【分析】本题考查了平行线的性质和判定，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．（1）先证明GF BC ∥，可得GFB FBD =∠∠，等量代换后可得180FBD EDB ∠+∠=︒，继而得到BF DE ∥；（2）由平行线同旁内角互补，可得18030DBF EDB ∠=︒-∠=︒，根据平行线内错角相等可得30GFB DBF ∠=∠=︒，依据90AFB ∠=︒，可计算出AFG ∠．【详解】（1）解：BF DE ∥，理由如下：∵AGF ABC ∠=∠，∴GF BC ∥，∴GFB FBD =∠∠，又∵180GFB EDB ∠+∠=︒．∴180FBD EDB ∠+∠=︒，∴BF DE ∥．（2）由（1）可知，GF BC ∥，BF DE ∥．∵150EDB ∠=︒，∴18030DBF EDB ∠=︒-∠=︒，∵GF BC ∥，∴30GFB DBF ∠=∠=︒，∵BF AC ⊥，∴90AFB ∠=︒，∴9060AFG GFB ∠=︒-∠=︒．21．（2024上·湖南衡阳·七年级衡阳市华新实验中学校考期末）问题情境1：如图1，AB CD ∥，P 是ABCD 内部一点，P 在BD 的右侧，探究B ∠，P ∠，D ∠之间的关系？（1）如图2，过P 作PE AB ，可得B ∠，P ∠，D ∠之间满足______关系．（直接写出结论）问题情境2如图3，AB CD ∥，P 是AB ，CD 内部一点，P 在BD 的左侧，（2）得B ∠，P ∠，D ∠之间满足______关系．（直接写出结论）问题迁移：请合理的利用上面的结论解决以下问题：已知AB CD ∥，ABE ∠与CDE ∠两个角的角平分线相交于点F ．（3）如图4，若80E ∠=︒，求BFD ∠的度数；（写证明过程）（4）如图5中，13ABM ABF ∠=∠，13CDM CDF ∠=∠，写出M ∠与E ∠之间数量关系并证明结论．【答案】（1）360B BPD D ∠+∠+∠=︒；（2）B D BPD ∠+∠=∠；（3）140︒；（4）6360E M ∠+∠=︒，证明见解析【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义：（1）先证明PE AB CD ∥∥，再由平行线的性质得到180180B BPE D DPE +=︒+=︒∠∠，∠∠，进而可得360B BPD D ∠+∠+∠=︒；（2）如图所示，过P 作PE AB ，先证明PE AB CD ∥∥，再由平行线的性质得到B BPE D DPE ==∠∠，∠∠，进而可得B D BPD ∠+∠=∠；（3）由（1）（2）的结论可得F ABF CDF ∠=∠+∠，360E ABE CDE ++=︒∠∠∠，则可求出280ABE CDE ∠+∠=︒，再由角平分线的定义可得1114022F ABF CDF ABE CDE =+=+=︒∠∠∠∠∠；（4）由（1）（2）的结论可知M ABM CDM ∠=∠+∠，360E ABE CDE ++=︒∠∠∠，进而得到3ABF CDF M +=∠∠∠，再由角平分线的定义得到6ABE CDE M +=∠∠∠，则6360E M ∠+∠=︒．【详解】解：（1）∵AB CD ∥，PE AB ，∴PE AB CD ∥∥，∴180180B BPE D DPE +=︒+=︒∠∠，∠∠，∴360B BPE D DPE +++=︒∠∠∠∠∵BPD BPE DPE =+∠∠∠，∴360B BPD D ∠+∠+∠=︒，故答案为：360B BPD D ∠+∠+∠=︒；（2）如图所示，过P 作PE AB ，∵AB CD ∥，PE AB ，∴PE AB CD ∥∥，∴B BPE D DPE ==∠∠，∠∠，∴B D BPE DPE+=+∠∠∠∠∵BPD BPE DPE =+∠∠∠，∴B D BPD ∠+∠=∠，故答案为：B D BPD ∠+∠=∠；（3）由（1）（2）的结论可知F ABF CDF ∠=∠+∠，360E ABE CDE ++=︒∠∠∠，∵80E ∠=︒，∴360280ABE CDE E ∠+∠=︒-∠=︒，∵ABE ∠与CDE ∠两个角的角平分线相交于点F ，∴1122ABF ABE CDF CDE ==∠∠，∠∠，∴1114022F ABF CDF ABE CDE =+=+=︒∠∠∠∠∠；（4）6360E M ∠+∠=︒，证明如下：由（1）（2）的结论可知M ABM CDM ∠=∠+∠，360E ABE CDE ++=︒∠∠∠，∵13ABM ABF ∠=∠，13CDM CDF ∠=∠，∴1133M ABM CDM ABF CDF =+=+∠∠∠∠∠，∴3ABF CDF M +=∠∠∠，∵ABE ∠与CDE ∠两个角的角平分线相交于点F ，∴22ABE ABF CDE CDF ∠∠∠∠=，=，∴()2226ABE CDE ABF CDF ABF CDF M ∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠，∴6360E M ∠+∠=︒．一：选择题22．（2024下·黑龙江绥化·七年级校考）如图，已知直线c 与直线a b ，都相交．若145a b ∠=︒，∥，则2∠=（）A ．145︒B ．135︒C ．55︒D ．45︒【答案】B 【分析】本题考查邻补角互补，平行线的性质．熟练掌握平行线的性质是解题关键．根据两直线平行同位角相等即可得出3145∠=∠=︒，再根据邻补角互补求解即可．【详解】解：如图，∵a b ∥，∴3145∠=∠=︒，∴21803135∠∠︒︒=-=．故选B ．23．（2024下·全国·七年级假期作业）下列语句中，是命题的个数为（）①若两个角相等，则它们是对顶角；②等腰三角形两底角相等；③画线段1cm AB =；④同角的余角相等；⑤同位角相等．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C 【分析】本题主要考查命题，熟练掌握命题的概念是解题的关键；因此此题可根据“一般的，在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题”进行排除选项．【详解】解：①②④⑤符合命题的定义，而③不能写出题设与结论出来，故不是命题，所以是命题的个数有4个；故选C ．24．（2024上·河南南阳·七年级统考期末）如图，直线a b ∥，直线c 与直线a 、b 分别相交于A 、B 两点，AC AB ⊥于点A ，交直线b 于点C ．如果138∠=︒，那么2∠的度数为（）A ．52︒B ．48︒C ．38︒D ．32︒【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补，进行求解即可．【详解】解：∵AC AB ⊥，∴90BAC ∠=︒，∵a b ∥，∴12180BAC ∠+∠+∠=︒，∴2180903852∠=︒-︒-︒=︒；故选：A ．25．（2024上·江苏南通·七年级统考期末）将一直尺和一块含30︒角的三角尺按如图放置，若40CDE ∠=︒，则BFA ∠的度数为（）A ．40︒B ．50︒C ．130︒D ．140︒【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，根据题意知AF DE ∥，进而可得40CFA CDE ∠=∠=︒，再由邻补角定义即可求解，准确识图是解题的关键．【详解】解：由题意可知AF DE ∥，∵40CDE ∠=︒，∴40CFA CDE ∠=∠=︒，∴180140BFA CFA ∠=︒-∠=︒，故选：D ．26．（2024下·全国·七年级专题练习）如图，已知：ABC 中，D 、E 、F 、G 分别在BC 、AC 和AB 上，连接DE 、BF 和FG ，AGF ABC ∠=∠，180GFB EDB ∠+∠=︒．(1)判断BF 与DE 的位置关系，并证明；(2)若BF AC ⊥，150EDB ∠=︒，求AFG ∠的度数．【答案】(1)//BF DE ，理由见解析(2)60︒【分析】本题考查了平行线的判定与性质和余角的计算，熟练掌握平行线的相关判定和性质是解题关键．（1）由AGF ABC ∠=∠，根据“同位角相等，两直线平行”得GF BC ∥，再根据“两直线平行，内错角相等”得GFB FBD =∠∠，再利用“同旁内角互补，两直线平行”，即可证得结论；（2）由GF BC ∥，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可求出30DBF ∠=︒，再根据“两直线平行，内错角相等”得30GFB DBF ∠=∠=︒，然后根据余角定义即可求出AFG ∠的度数．【详解】（1）解：BF DE ∥，理由如下：AGF ABC ∠=∠，GF BC \∥，∴GFB FBD =∠∠，又 180GFB EDB ∠+∠=︒，∴180FBD EDB ∠+∠=︒，∴BF DE ∥．（2）解：由（1）可知，GF BC ∥，BF DE ∥，150EDB ∠=︒，∴18015030DBF ∠=︒-︒=︒，∴30GFB DBF ∠=∠=︒，BF AC ⊥，∴90AFB ∠=︒，∴9060AFG GFB ∠=︒-∠=︒．27．（2024上·浙江金华·七年级统考期末）如图，已知AB AC ⊥于点A ，90C EDC ∠+∠=︒．(1)试说明180BAE E +=︒∠∠．（填空）已知AB AC ⊥，得90BAC ∠=︒，所以C ∠+______90=︒，又已知90C EDC ∠+∠=︒，根据______，得B EDC ∠=∠，根据______，得AB DE ∥，根据______，得180BAE E +=︒∠∠．(2)若,55C EAC E ∠=∠∠=︒，求B ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)55B ∠=︒．【分析】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定方法和性质，是解题的关键．（1）根据互余关系，平行线的判定和性质，作答即可；（2）根据C EAC ∠=∠，得到AE BC ∥，进而得到EDC E ∠=∠，根据EDC B ∠=∠，即可得出结果．【详解】（1）解：已知AB AC ⊥，得90BAC ∠=︒，所以90C B ∠+∠=︒，又已知90C EDC ∠+∠=︒，根据同角的余角相等，得B EDC ∠=∠，根据同位角相等，两直线平行，得AB DE ∥，根据两直线平行，同旁内角互补，得180BAE E +=︒∠∠；故答案为： B ∠，同角的余角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；（2）∵C EAC ∠=∠，∴AE BC ∥，∴EDC E ∠=∠，由（1）知：EDC B ∠=∠，∴55B E ∠=∠=︒．一、单选题28．（2024上·四川宜宾·七年级统考期末）如图，BD 是ABC ∠的角平分线，DE AB ∥，EF 是DEC ∠的角平分线，有下列四个结论：①BDE DBE ∠=∠；②EF BD ∥；③ABF FEC BFE ∠=∠+∠；④ABF ABED S S =△四边形．其中，正确的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【分析】此题考查了角平分线的定义，平行线的判定及性质，平行线间的距离处处相等等相关内容，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．利用DE AB ∥，BD 平分ABC ∠，EF 平分DEC ∠，可以判断出①②正确；再证明DBF BFE ∠=∠，再利用FEC DBC ABD ∠=∠=∠，可判断出③正确；根据EF BD ∥，推出BDF V 与BDE 是等底等高的三角形，最后利用等式性质可得到④正确．【详解】解：∵DE AB ∥，∴ABD BDE ∠=∠，ABC DEC ∠=∠，∵BD 平分ABC ∠，EF 平分DEC ∠，∴12ABD DBE ABC ∠=∠=∠，12DEF FEC DEC ∠=∠=∠，∴BDE DBE ∠=∠，FEC DBC ABD ∠=∠=∠，∴EF BD ∥，故①②正确；∵EF BD ∥，∴DBF BFE ∠=∠，∵ABF ABD DBF ∠=∠+∠，FEC ABD ∠=∠，∴ABF FEC BFE ∠=∠+∠，故③正确；∵EF BD ∥，∴BDF V 与BDE 是等底等高的三角形，∴BDF BDE S S =△△，∴ABF ABED S S =△四边形，故④正确，∴①②③④正确．故选：D ．29．（2024上·山西长治·七年级统考期末）如图，AB CD ，130PAB ∠=︒，120PCD ∠=︒，则APC ∠的度数为（）A ．140︒B ．130︒C ．120︒D ．110︒【答案】D 【分析】此题考查的是平行线的判定及性质，掌握构造平行线的方法是解决此题的关键．过P 作直线∥MN AB ，根据两直线平行，同旁内角互补即可求出APN ∠，然后根据平行于同一条直线的两直线平行可得MN CD ∥，进而可求出NPC ∠，从而求出APC ∠．【详解】解：过P 作直线∥MN AB ，如下图所示，∵∥MN AB ，130PAB ∠=︒，∴180PAB APN ∠+∠=︒（两直线平行，同旁内角互补），∴18050APN PAB ∠=︒-∠=︒，∵∥MN AB ，AB CD ，120PCD ∠=︒，∴MN CD ∥，∴180PCD NPC ∠+∠︒＝，∴60NPC ∠︒＝，∴6050110APC NPC APN ∠=∠+∠=︒+︒=︒，故选：D ．30．（2024上·福建泉州·七年级统考期末）如图，AB CD ∥，直线l 分别交AB ，CD 于点E ，F ，且满足1BEP BEF n ∠∠=，1DFP DFE n ∠∠=，则P ∠的度数为（）A ．1801n + B ．180n C ．1801n -o D ．不确定【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，过P 作PG AB ∥，由平行的判定方法得PG AB CD ∥∥，由平行线的性质得1EPG BEP BEF n ∠=∠=∠，1FPG DFP DFE n ∠=∠=∠，180BEF DFE ∠+∠=︒，等量代换计算得180EPG DFP n︒∠+∠=，即可求解；掌握性质，作出辅助线求解是解题的关键．【详解】解：如图，过P 作PG AB ∥，PG AB CD ∴∥∥，1EPG BEP BEF n ∴∠=∠=∠，1FPG DFP DFE n∠=∠=∠，180BEF DFE ∠+∠=︒，BEF n EPG ∴∠=∠，DFE n DFP ∠=∠，180n EPG n DFP ∴∠+∠=︒，180EPG DFP n︒∴∠+∠=，180P n ︒∴∠=；故选：B ．31．（2024上·重庆九龙坡·七年级重庆实验外国语学校校考期末）如图，,AB CD A BCD ∠=∠∥，点M 是边AD 上一点，连接BM ，延长BM 、CD 交于点P ．点N 是边BC 上一点，连接MN ，使得NMC MCN ∠=∠，作NMP ∠的平分线MQ 交CP 于点Q ．若CMQ α∠=，则AMP ∠的度数用含α的式子表示为（）A ．180α︒-B ．1802α︒-C ．45α︒+D ．90α︒+【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题．证明2PMD α∠=，可得结论．【详解】解：设NMC x ∠=．∥ AB CD ，A ADP ∴∠=∠，A BCD ∠=∠ ，APD BCD ∴∠=∠，AD BC ∴∥，NM NC = ，NMC NCM x ∴∠=∠=，CMD NCM x ∴∠=∠=，MQ 平分NMP ∠，QMP QMN x α∴∠=∠=+，()2PMD PMQ QMD x x ααα∴∠=∠+∠=++-=，1801802AMP PMD α∴∠=︒-∠=︒-．故选：B ．32．（2024上·重庆巴南·七年级校考期末）如图，,AB CD BF ∥平分,EBA DG ∠平分,CDE E α∠∠=，则H ∠的度数用含α的式子表示为（）A ．180α︒-B ．12αC ．1902α︒+D ．1902α︒-【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出辅助线．根据角平分线得出12,34,∠=∠∠=∠过H 作,HM DC ∥过E 作,EN AB ∥证出2123,513,FHG FHM α=∠-∠∠=∠-∠=∠-∠即可得结论；【详解】BF 平分,EBA DG ∠平分,CDE Ð12,34,∴∠=∠∠=∠过H 作,HM DC ∥过E 作,EN AB ∥,AB CD ∥Q ,AB CD HM EN ∴∥∥∥15,216,35,623,FHM FHG CDE α∴∠=∠=∠+∠∠=+∠∠=∠∠=∠=∠2123,513,FHG FHM α∴=∠-∠∠=∠-∠=∠-∠.2FHG α∴∠=故选：B ．33．（2023下·山东济南·七年级山东省济南稼轩学校校考阶段练习）下列结论：①如图1，AB CD ∥，则180A E C ∠+∠+∠=︒；②如图2，AB CD ∥，则P A C ∠=∠-∠；③如图3，AB CD ∥，则1E A ∠=∠+∠；④如图4，直线AB CD EF ∥∥，点O 在直线EF 上，则180αβγ∠-∠+∠=︒．正确的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【分析】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质；①过点E 作直线EF ∥AB ，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论；②如图2，先根据三角形外角的性质得出1C P ∠=∠+∠，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断；③如图3，过点E 作直线EF ∥AB ，由平行线的性质可得出1180A AEC ∠+∠-∠=︒，即得1801AEC A ∠=︒+∠-∠；④如图4，根据平行线的性质得出BOF α∠=∠，180COF γ∠+∠=︒，再利用角的关系解答即可．【详解】解：①如图1，过点E 作直线EF AB ∥，AB CD ∥，∴AB CD EF ∥∥，1180A ∴∠+∠=︒，2180C ∠+∠=︒，12360A C ∴∠+∠+∠+∠=︒，360A AEC C ∴∠+∠+∠=︒，故①错误；②如图2，1∠ 是CEP 的外角，1C P ∴∠=∠+∠，AB CD ∥，1A ∴∠=∠，即P A C ∠=∠-∠，③如图3，过点E 作直线EF AB ∥，AB CD ∥，∴AB CD EF ∥∥，3180A ∴∠+∠=︒，12∠=∠，1180A AEC ∴∠+∠-∠=︒，即1801AEC A ∠=︒+∠-∠，故③错误；④如图4，AB EF ∥，BOF α∴∠=∠，CD EF ∥，180COF γ∴∠+∠=︒，BOF COF β∠=∠+∠ ，COF αβ∴∠=∠-∠，180γαβ∴∠+∠-∠=︒，故④正确；综上结论正确的个数为2，故选：B ．二、填空题34．（2024下·江苏·七年级周测）如图，一辆汽车经过一段公路两次拐弯后，和原来的行驶方向相同，也就是拐弯前后的两条路互相平行．第一次拐的角B ∠等于142︒，第二次拐的角∠C 的度数为．【答案】142︒/142度【分析】此题考查了平行线的性质，根据平行线的性质得出B C ∠=∠，解题的关键是熟练掌握平行线的性质及其应用．【详解】∵原来的行驶方向相同，也就是拐弯前后的两条路互相平行，∴142C B ∠=∠=︒（两直线平行，内错角相等）．35．（2024上·山东济南·七年级统考期末）如图，将三角板与直尺贴在一起，使三角板的直角顶点A 与直尺的一边重合，若130∠=︒，则2∠的度数是°．【答案】60【分析】本题考查了平行线的性质，互余关系；由13∠∠，互余可求得3∠，再由平行线的性质即可求得结果．【详解】解：如图，∵1+3=90∠∠︒，130∠=︒，∴390160∠=︒-∠=︒；∵直尺的两边平行，∴2360∠=∠=︒，故答案为：60．36．（2024上·河南南阳·七年级统考期末）将一副三角板按如图所示重叠放置，其中45BOA ∠=︒，30DOC ∠=︒，90BAO ∠=︒，90DCO ∠=︒，30︒和45︒的两个角顶点重合在一起．若将三角板AOB 绕点O 旋转，在旋转过程中，当AB OC ∥时，BOC ∠=．【答案】45︒或135︒【分析】本题考查了平行线的性质，旋转的性质，直角三角板的角的度数的知识，熟记性质是解题的关键．根据题意画出图形，由平行线的性质可得出答案．【详解】解：如图1，当AOB 绕点O 顺时针旋转90︒时，AB OC ∥，此时45BOC ABO ∠=∠=︒．。
5.2.2平行线的判定知识总结(实用含解析)
5.2.2平行线的判定知识点总结1、平行线的概念在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
平行用符号“‖”表示，如“AB‖CD”，读作“AB平行于CD”。
同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。
注意：(1)平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交。
(2)当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行。
2、平行线公理及其推论平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
3、平行线的判定平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。
简称：同位角相等，两直线平行。
平行线的两条判定定理：(1)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。
简称：内错角相等，两直线平行。
(2)两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。
简称：同旁内角互补，两直线平行。
补充平行线的判定方法：(1)平行于同一条直线的两直线平行。
(2)垂直于同一条直线的两直线平行。
(3)平行线的定义。
公理：同位角相等，两直线平行。
定理1：内错角相等，两直线平行。
条件2：同旁内角互补，两直线平行。
注：这三个判定都是由角的数量关系(相等或互补)来确定直线的位置关系(平行)的，因此能否找到两直线平行的条件，关键是能否正确地找到或识别出同位角，内错角或同旁内角。
补充平行线的判定方法：(1)平行于同一条直线的两条直线平行。
(2)垂直于同一条直线的两直线平行。
(3)平行线的定义。
定理1：两直线平行，同位角相等。
定理2：两直线平行，内错角相等。
定理3：两直线平行，同旁内角互补。
定理：平行于同一条直线的两条直线平行复习提纲1、平行线判定定理1：同位角相等，两直线平行。
如下图所示，只要满足∠1＝∠2（或者∠3＝∠4；∠5＝∠7；∠6＝∠8），就可以得到AB//CD。
2、平行线判定定理2：内错角相等，两直线平行。
中考数学黄金知识点系列专题13平行线的证明
专题13 平行线的证明聚焦考点☆温习理解一.命题1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题.2.真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫真命题.3.假命题：如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫假命题．4.互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是另一个命题的结论，而第一个命题的结论是另一个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.二、平行线的判定与性质（1）平行线的性质如果两直线平行，那么同位角相等；如果两直线平行，那么内错角相等；如果两直线平行，那么同旁内角互补.（2）平行线的判定同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.2.平行线的基本事实（即平行公理）经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.名师点睛☆典例分类考点典例一、推理论证【例1】小聪，小玲，小红三人参加“普法知识竞赛”，其中前5题是选择题，每题10分，每题有A、B两个选项，且只有一个选项是正确的，三人的答案和得分如下表，试问：这五道题的正确答案（按1～5题的顺序排列）是选手答案题1 2 3 4 5 得分号小聪 B A A B A 40小玲 B A B A A 40小红 A B B B A 30【答案】BABBA【解析】考点：推理与论证．【点睛】解答推理问题，要先从已知条件出发，通过类比、分类讨论等方法找出矛盾点，得出结论，解题时容易出错的地方是不能根据得分推导小聪、小玲有可能做错的题目而导致结论错误.【举一反三】如图，淇淇和嘉嘉做数学游戏：假设嘉嘉抽到牌的点数为x，淇淇猜中的结果应为y，则y=（）A．2 B．3 C．6 D．x+3【答案】B．【解析】考点：整式的加减．考点典例二、命题的真假【例2】（2016年福建龙岩第4题）下列命题是假命题的是（）A．若|a|=|b|，则a=bB．两直线平行，同位角相等C．对顶角相等D．若b2﹣4ac＞0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实数根【答案】A.【解析】试题分析：选项A：若a=1，b=-1，则|a|=|b|，但a≠b，此命题为假命题；选项B：两直线平行，同位角相等是真命题；选项C：对顶角相等是真命题；选项D：若b2﹣4ac＞0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实数根是真命题.故选A.考点：命题与定理.【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是掌握有关的知识.．【举一反三】（2016内蒙古包头第10题）已知下列命题：①若a＞b，则a2＞b2；②若a＞1，则（a﹣1）0=1；③两个全等的三角形的面积相等；④四条边相等的四边形是菱形．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】D．【解析】考点：命题与定理．考点典例三、平行线的判定【例3】如图，能判定EB∥AC的条件是（）A．∠C=∠ABE B．∠A=∠EBD C．∠C=∠ABC D．∠A=∠ABE【答案】D．【解析】试题分析：在复杂的图形中具有相等关系的两角首先要判断它们是否是同位角或内错角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．试题解析：A、∠C=∠ABE不能判断出EB∥AC，故A选项不符合题意；B、∠A=∠EBD不能判断出EB∥AC，故B选项不符合题意；C、∠C=∠ABC只能判断出AB=AC，不能判断出EB∥AC，故C选项不符合题意；D、∠A=∠ABE，根据内错角相等，两直线平行，可以得出EB∥AC，故D选项符合题意．故选：D．考点：平行线的判定．【点睛】正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．【举一反三】1.如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是（）A．同位角相等，两直线平行B．内错角相等，两直线平行C．两直线平行，同位角相等D．两直线平行，内错角相等【答案】A．【解析】考点：作图—基本作图；平行线的判定．2.如图，直线a，b被直线e，d所截，若∠1=∠2，∠3=125°，则∠4的度数为（）.A. 55°B. 60°C.70°D. 75°【答案】A.【解析】试题分析：∵∠1=∠2，∴a∥b,∴∠3的对顶角＋∠4=180º，∠3的对顶角=∠3=125°，∴∠4=180º-125º=55º，故选A.考点：平行线的性质与判定.考点典例四、平行线的性质【例3】（2016内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟第7题）如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，若∠1=70°，则∠BAC的大小为（）A．40° B．30° C．70° D．50°【答案】A．【解析】考点：等腰三角形的性质；平行线的性质．【点睛】利用平行线的性质求角的大小的方法有两种：一是先根据平行线的性质求得与已知角互补或相等的角，再利用互补或相等关系得到答案；二是先求得与已知角互补或相等的角，再利用平行线的性质求得所求的角的大小.【举一反三】1.（2016贵州遵义第4题）如图，在平行线a，b之间放置一块直角三角板，三角板的顶点A，B分别在直线a，b上，则∠1+∠2的值为（）A．90°B．85°C．80°D．60°【答案】A．【解析】考点：平行线的性质．2.（2016广西来宾第2题）如图，在下列条件中，不能判定直线a与b平行的是（）A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠3=∠5 D．∠3+∠4=180°【答案】C．【解析】试题分析：A．∵∠1与∠2是直线a，b被c所截的一组同位角，∴∠1=∠2，可以得到a∥b，∴不符合题意，B．∵∠2与∠3是直线a，b被c所截的一组内错角，∴∠2=∠3，可以得到a∥b，∴不符合题意，C．∵∠3与∠5既不是直线a，b被任何一条直线所截的一组同位角，内错角，∴∠3=∠5，不能得到a∥b，∴符合题意，D．∵∠3与∠4是直线a，b被c所截的一组同旁内角，∴∠3+∠4=180°，可以得到a∥b，∴不符合题意，故选C．考点：平行线的判定．课时作业☆能力提升一、选择题1.（2016湖南永州第7题）对下列生活现象的解释其数学原理运用错误的是（）A．把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理B．木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的原理C．将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理D．将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理【答案】B ．【解析】考点：线段的性质；垂线段最短；圆的认识；三角形的稳定性．2. （2016湖南娄底第4题）下列命题中，错误的是（ ）A ．两组对边分别平行的四边形是平行四边形B ．有一个角是直角的平行四边形是矩形C ．有一组邻边相等的平行四边形是菱形D ．内错角相等【答案】D ．【解析】试题分析：选项A ，根据平行四边形的判定可知，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，正确．选项B ，根据矩形的判定可知，有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确．选项C ，根据菱形的判定可知，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确．选项D ，内错角相等，错误，缺少条件两直线平行，内错角相等．故答案选D ．考点：命题.3.下列命题中，真命题的个数是（ ） ①若112x -<<- ，则121x -<<-； ②若12x -≤≤，则214x ≤≤；③凸多边形的外角和为360°；④三角形中，若∠A +∠B =90°，则sinA =cosB ．A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B ．【解析】考点：命题与定理．4. （2016广西河池第2题）如图，AB∥CD，∠1=50°，则∠2的大小是（）A．50°B．120°C．130°D．150°【答案】C．【解析】试题分析：如图，∵AB∥CD，∴∠A+∠3=180°，∴∠3=130°，∴∠1=∠3=130°．故选C．考点：平行线的性质．5.（2016贵州贵阳第3题）如图，直线a∥b，点B在直线a上，AB⊥BC，若∠1=38°，则∠2的度数为（）A．38°B．52°C．76°D．142°【答案】B．【解析】考点：平行线的性质．6.（2016青海第6题）如图，已知∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC，且AD是∠EAC的平分线，若∠B=71°，则∠BAC= ．【答案】38°．【解析】试题分析：用平行线求性质可得∠EAD=∠B=71°，再用角平分线求出∠EAC=2∠EAD=2×71°=142°，最后用邻补角求出∠BAC=38°．考点：三角形的外角性质；平行线的性质．7.（2016辽宁营口第4题）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，AB∥OC，DC与OB 交于点E，则∠DEO的度数为（）A．85°B．70°C．75°D．60°【答案】C．【解析】试题分析：∵AB∥OC，∠A=60°，∴∠A+∠AOC=180°，∴∠AOC=120°，∴∠BOC=120°﹣90°=30°，∴∠DEO=∠C+∠BOC=45°+30°=75°；故选C．考点：平行线的性质．8.（2016江苏盐城第6题）如图，已知a、b、c、d四条直线，a∥b，c∥d，∠1=110°，则∠2等于（）A．50°B．70°C．90°D．110°【答案】B．【解析】考点：平行线的性质．二、填空题9.如图，AB∥CD，∠CDE=119°，GF交∠DEB的平分线EF于点F，∠AGF=130°，则∠F= ．【答案】9.5°．【解析】考点：平行线的性质．10.如图，已知AB∥CD，∠A＝56°，∠C＝27°则∠E的度数为__________.【答案】29°【解析】试题分析：因为AB∥CD，∠A＝56°所以∠DFE＝∠A＝56°，又因为∠DFE＝∠C+∠E，∠C＝27°所以∠E=∠DFE-∠C=56°-27°=29°，故答案为29°.考点：1.平行线的性质；2.三角形的外角性质.11.如图，∠1=∠2=40°，MN平分∠EMB，则∠3=°.【答案】110.【解析】试题分析：∵∠1=∠2= 40°,∴∠1=MEN=40°,∴AB∥CD,∴∠EMB=180-40=140°,∵MN平分∠EMB,∴∠BMN=140÷2=70°,∴∠3=180-70=110°.考点：平行线的判定与性质的应用.12.如图，平面上直线a，b分别过线段OK两端点(数据如图)，则a，b相交所成的锐角是________．【答案】30°【解析】考点：三角形的内角和及其推论．13.（2016山东淄博第18题）（5分）如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1=50°，∠2=50°，∠3=130°，找出图中的平行线，并说明理由．【答案】OA∥BC，OB∥AC,理由详见解析.【解析】试题分析：根据已知可得∠1=∠2，∠2+∠3=180°，由同位角相等，两直线平行即可得OB∥AC，由同旁内角互补，两直线平行可得OA∥BC．试题解析：OA∥BC，OB∥AC,理由如下：∵∠1=50°，∠2=50°，∴∠1=∠2，∴OB∥AC，∵∠2=50°，∠3=130°，∴∠2+∠3=180°，∴OA∥BC．考点：平行线的判定.三、解答题[注：单循环比赛就是小组内的每一个队都要和其他队赛一场]．【答案】至少7分才能保证一定出线．【解析】若A队两胜一负，积6分．如表格所示，根据规则，这种情况下，A队不一定出线．同理，当A队积分是5分、4分、3分、2分时不一定出线．总之，至少7分才能保证一定出线．考点：推理与论证．【答案】50°【解析】考点：平行线的性质16.如图，直线a∥b，点B在直线上b上，且AB⊥BC，∠1=55°，求∠2的度数．【答案】35°．【解析】试题分析：根据垂直定义和邻补角求出∠3，根据平行线的性质得出∠2=∠3，代入求出即可．试题解析：∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠1+∠3=90°，∵∠1=55°，∴∠3=35°，∵a∥b，∴∠2=∠3=35°．考点：平行线的性质．。
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平行线的判定和性质（综合篇）一、重点和难点：重点：平行线的判定性质。
难点：①平行线的性质与平行线的判定的区分②掌握推理论证的格式。
二、例题：这部分内容所涉及的题目主要是从已知图形中辨认出对顶角、同位角、内错角或同旁内角。
解答这类题目的前提是熟练地掌握这些角的概念，关键是把握住这些角的基本图形特征，有时还需添加必要的辅助线，用以突出基本图形的特征。
上述类型题目大致可分为两大类。
一类题目是判断两个角相等或互补及与之有关的一些角的运算问题。
其方法是“由线定角”，即运用平行线的性质来推出两个角相等或互补。
另一类题目主要是“由角定线”，也就是根据某些角的相等或互补关系来判断两直线平行，解此类题目必须要掌握好平行线的判定方法。
例1．如图，已知直线a,b,c被直线d所截，若∠1=∠2，∠2+∠3=180°，求证：∠1=∠7分析：运用综合法，证明此题的思路是由已知角的关系推证出两直线平行，然后再由两直线平行解决其它角的关系。
∠1与∠7是直线a和c被d所截得的同位角。
须证a//c。
法（一）证明：∵d是直线（已知）∴∠1+∠4=180°（平角定义）∵∠2+∠3=180°，∠1=∠2（已知）∴∠3=∠4（等角的补角相等）∴a//c（同位角相等，两直线平行）∴∠1=∠7（两直线平行，同位角相等）法（二）证明：∵∠2+∠3=180°，∠1=∠2（已知）∴∠1+∠3=180°（等量代换）∵∠5=∠1，∠6=∠3（对顶角相等）∴∠5+∠6=180°（等量代换）∴a//c （同旁内角互补，两直线平行）∴∠1=∠7（两直线平行，同位角相等）。
例2．已知如图，∠1+∠2=180°，∠A=∠C，AD平分∠BDF，求证：BC平分∠DBE。
分析：只要求得∠EBC=∠CBD，由∠1+∠2=180°推出∠1=∠BDC，从而推出AE//FC，从而推出∠C=∠EBC而∠C=∠A于是可得∠A=∠EBC。
因此又可得AD//BC，最后再运用平行线性质和已知条件便可推出∠EBC=∠DBC。
证明：∵∠2+∠BDC=180°（平角定义）又∵∠2+∠1=180°（已知）∴∠BDC=∠1（同角的补角相等）∴AE//FC（同位角相等两直线平行）∴∠EBC=∠C（两直线平行内错角相等）又∵∠A=∠C（已知）∴∠EBC=∠A（等量代换）∴AD//BC（同位角相等，两直线平行）∴∠ADB=∠CBD（两直线平行，内错角相等）∠ADF=∠C（两直线平行，同位角相等）又∵DA平分∠BDF（已知）∴∠ADB=∠ADF（角平分线定义）∴∠EBC=∠DBC（等量代换）∴BC平分∠DBE（角平分线定义）说明：这道题反复应用平行线的判定和性质，这是以后在证题过程中经常使用的方法，见到“平行”应想到有关的角相等，见到有关的角相等，就应想到能否判断直线间的平行关系。
把平行线的判定与性质紧密地结合在一起也就是使直线平行和角相等联系在一起，这样解题能得心应手，灵活自如。
三、小结：证明角相等的基本方法1、第一章、第二章中已学过的关于两个角相等的命题：（1）同角（或等角）的余角相等；（2）同角（或等角）的补角相等；（3）对顶角相等；（4）两直线平行，同位角相等；内错角相等；同旁内角互补。
以上四个命题是我们目前论证两个角相等的武器，但是何时用这些武器，用什么武器，怎样使用，这是遇到的一个具体问题，需要认真进行分析。
首先必须分析，在题设中给出了哪些条件，与其相关的图形是什么！其次再分析一下要证明的两个角在图形的具体位置，与已知条件有什么关联，怎样运用一次推理或几个一次推理的组合而来完成题设到结论的过渡。
例3，如图∠1=∠2=∠C，求证∠B=∠C。
分析：题设中给出三个相等的角，其中∠2和∠C是直线DE和BC被AC所截构成的同位角，由∠2=∠C则DE//BC。
再看题中要证明的结论是∠B=∠C，由于∠C=∠1，所以只要证明∠1=∠B，而∠1与∠B是两条平行直线DE，BC被直线AB所截构成的同位角，∠1=∠B是很显然的，这样我们就理顺了从已知到求证的途径：证明：∵∠2=∠C（已知），∴DE//BC（同位角相等，两直线平行），∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），又∵∠1=∠C（已知），∴∠B=∠C（等量代换）。
例4、已知如图，AB//CD，AD//BC，求证：∠A=∠C，∠B=∠D。
分析：要证明∠A=∠C，∠B=∠D，从这四个角在图中的位置来看，每一组既不构成同位角，也不是内错角或同旁内角，由此不可能利用题设中的平行关系，经过一次推理得到结论，仍然如同例10一样通过等角进行转化，从题设条件出发，由AB//CD，且AB与CD被直线BC所截，构成了一对同旁内角，∠B、∠C，因此∠B+∠C=180o，同时∠B又是另一对平行线AD、BC被直线AB所截，构成的一对同旁内角∠B、∠A，∠B+∠A=180o，通过∠B的中介，就可以证明得∠A=∠C。
同理，也可得到∠B=∠D，整个思路为：证明：AD//BC（已知），∴∠A+∠B=180o（两直线平行，同旁内角互补），∵AB//CD（已知），∴∠B+∠C=180o（两直线平行，同旁内角互补），∴∠A=∠C（同角的补角相等），同理可证∠B=∠D。
例5、已知如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E=∠3，求证：∠1=∠2。
分析：要证明∠1=∠2，而从图中所示的∠1和∠2的位置来看，根据题设或学过的定义、公理、定理无法直接证明这两个角相等，因我们可将视野再拓广一下，寻找一下∠1、∠2与周边各角的关系，我们看到直线AD与GE被直线AE所截，形成同位角∠1、∠E；被AB所截，形成内错角∠2、∠3；而题设明确告诉我们∠3=∠E，于是目标集中到证明AD//GE，根据题设中AD⊥BC，EG⊥BC，我们很容易办到这一点，总结一下思路，就可以得到以下推理程序：证明：∵AD⊥BC于D（已知），∴∠ADC=90o（垂直定义），∵EG⊥BC于G（已知），∴∠EGD=90o（垂直定义），∴∠ADC=∠EGD（等量代换），∴EG//AD（同位角相等，两直线平行），∴∠1=∠E（两直线平行同位角相等），∠2=∠3（两直线平行内错角相等），又∵∠E=∠3（已知），∴∠1=∠2（等量代换）。
四、两条直线位置关系的论证。
两条直线位置关系的论证包括：证明两条直线平行，证明两条直线垂直，证明三点在同一直线上。
1、学过证明两条直线平行的方法有两大类（一）利用角；（1）同位角相等，两条直线平行；（2）内错角相等，两条直线平行；（3）同旁内角互补，两条直线平行。
（二）利用直线间位置关系：（1）平行于同一条直线的两条直线平行；*（2）垂直于同一条直线的两条直线平行。
例6、如图，已知BE//CF，∠1=∠2，求证：AB//CD。
分析：要证明AB//CD，由图中角的位置可看出AB与CD被BC所截得一对内错角∠ABC 和∠DCB，只要证明这对内错角相等，而图中的直线位置关系显示，∠ABC=∠1+∠EBC，∠BCD=∠2+∠FCB，条件中又已知∠1=∠2，于是只要证明∠EBC=∠BCF。
证明：∵BE//CF（已知），∴∠EBC=∠FCB（两直线平行，内错角相等）∵∠1=∠2（已知），∴∠1+∠EBC=∠2+FCB（等量加等量其和相等），即∠ABC=∠BCD（等式性质），∴AB//CD（内错角相等，两直线平行）。
例7、如图CD⊥AB，EF⊥AB，∠1=∠2，求证：DG//BC。
分析：要证明DG//BC，只需证明∠1=∠DCB，由于∠1=∠2，只需证明∠2=∠DCB，∠2与∠DCB又是同位角，只需证明CD//EF。
根据题设CD⊥AB，EF⊥AB，CD//EF，很容易证得，这样整个推理过程分成三个层次。
（1）（平行线的判定）（2）CD//EF∠2=∠DCB（平行线的性质）（3）∠1=∠DCB DG//BC（平行线判定）在这三个推理的环节中，平行线的判定和性质交替使用，层次分明。
证明：∵CD⊥AB于D（已知），∴∠CDB=90o（垂直定义），∵EF⊥AB于F（已知），∴∠EFB=90o（垂直定义），∴∠CDB=∠EFB（等量代换），∴CD//EF（同位角相等，两直线平行），∴∠2=∠DCB（两直线平行，同位角相等）又∵∠1=∠2（已知），∴∠1=∠DCB（等量代换），∴DG//BC（内错角相等，两直线平行）。
说明：从以上几例我们可以发现，证明两条直线平行，必须紧扣两直线平行的条件，往往归结于求证有关两个角相等，根据图形找出两直线的同位角、内错角或同旁内角，设法证明这一组同位角或内错角相等，或同旁内角互补。
而证明两角相等，又经常归于证明两直线平行。
因此，交替使用平行线的判定方法和平行线的性质就成为证明两直线平行的常用思路。
2、已经学过的证明两直线垂直的方法有如下二个：（1）两直线垂直的定义（2）一条直线和两条平行线中的一条垂直，这条直线也和另一条垂直。
（即证明两条直线的夹角等于90o而得到。
）例8、如图，已知EF⊥AB，∠3=∠B，∠1=∠2，求证：CD⊥AB。
分析：这是一个与例14同样结构的图形，但证明的目标却是两条直线垂直。
证明CD⊥AB，根据“一条直线垂直于两条平行线中的一条，必垂直于另一条。
”又由于已知条件EF⊥AB，只要证明EF//CD，要证EF//CD，结合图形，只要证明∠2=∠DCB，因为∠1=∠2，只需证明∠DCB=∠1，而∠DCB与∠1是一对内错角，因而根据平行线的性质，就需证明DG//BC，要证明DG//BC 根据平行线的判定方法只需证明∠3=∠B，而这正是题设给出的条件，整个推理过程经过以下几个层次：∠3=∠B DG//BC∠DCB=∠2（1）平行线判定（2）平行线性质CD⊥AB（3）平行线判定性质（4）垂直定义证明：∵∠3=∠B（已知），∴DG//BC（同位角相等，两直线平行）∴∠1=∠DCB（两直线平行，内错角相等），∵∠1=∠2（已知），∴∠DCB=∠2（等量代换），∴DC//EF（同位角相等，两直线平行），有括号部分的五步也可以用以下证法：接DC//EF（同位角相等，两直线平行），又∵EF⊥AB（已知），∴CD⊥AB（一条直线和两条平行线中的一条垂直，这条直线也和另一条垂直。
）3、已经学过的证明三点共线的方法在前面的几讲中已分析过，若证明E、O、F三点共线，通常采用∠EOF=180o，利用平角的定义完成三点共线证明。
此方法不再举例。
五、一题多解。
例9、已知如图，∠BED=∠B+∠D。
求证：AB//CD。
法（一）分析：要证明AB//CD，从题设中条件和图形出发考虑，图形中既不存在“三线八角”，又不存在与AB、CD同时平行的第三条直线或与AB、CD同时垂直的直线，这样就无法利用平行线公理的推理或平行线的判定方法来证明两条直线平行。