概率论与数理统计习题详解周概容习题解
P{X = 1,Y = 1} = P{U > −1,U > 1} = P{U > 1} = 1 ．
4
于是 X 和Y 的联合概率分布为
(
X
,
Y
)
~
⎜⎛ ⎜
(−1,−1) 1
(−1,1) 0
(1,−1) 1
(11,1)⎟⎟⎞ ．
⎝4
2 4⎠
3.2 假设一批产品中有 4 件不合格品和 16 件合格品，接连从中随机地抽出两件，以 X 和
8
P{X = −1, Y = 1} = P{U ≤ −1,V > 1/ 2} = 0；
P{X = 1, Y = −1} = P{U > −1,V ≤ 1/ 2} = 6；
8
P{X = 1, Y = 1} = P{U > −1,V > 1/ 2} = 1．
8
于是，得 X 和 Y 的联合概率分布为：
(
X
由联合分布函数求边缘分布函数．现在我们用后一种方法来求 X 和 Y 的分布函数 F1(x) 和 F2 ( y) ．易见，当 x < 0 时， F1(x) =0；当 x > 1时， F1(x) =1；现在设 0 ≤ x ≤ 1 ，有
F1(x) = F(x,+∞) = P{X ≤ x,Y ≤ +∞} = P{X ≤ x,Y ≤ 1} = F(x,1) = 0.4.
于是得 X 和Y 的联合概率分布
(
X
,Y
)
~
⎜⎜⎝⎛
(0,0) 0.12
(0,1) 0.28
(1,0) 0.18
(1,1) 0.42
⎟⎟⎠⎞
．
现 在 求 X 和 Y 的 联 合 分 布 函 数 F (x, y) ． 显 然 ， 若x < 0或y < 0，则 F (x, y) =0 ； 对 于
0 ≤ x < 1，0 ≤ y < 1，
∞
∞
∫ ∫ f1(x) = xe−x(1+y)dy = e−x(1+y)dx(1 + y) = e−x ．
G 1/2
x+y=1
0x
O 1/2
x
其中 G 是以点 (0,0),(0,1),(1/ 2,1/ 2) 顶点的三角形区域(见插图)．
例 3.6 插图
3.7 假设随机变量 X 和 Y 联合密度为
f
(x,
y)
=
⎪⎧C ⎨
sin( x
+
y) ，若0
≤
x
≤
π 2
，0
≤
y
≤
π 2
，
⎪⎩ 0 ，若不然．
(1) 求未知常数 C 以及 X 概率密度 f1(x) ；
F (x, y) = P{X ≤ x,Y ≤ y} = P{X = 0,Y = 0} = 0.12 ；
对于 x ≥ 1，0 ≤ y < 1
F(x, y) = P{X ≤ x,Y ≤ y} = P{X = 0,Y = 0}+ P{X = 1,Y = 0} = 0.30；
对于 0 ≤ x < 1，y ≥ 1，
≤ ≥
x < 1，0 ≤ 1，0 ≤ y <
y< 1，
1，
⎪⎪0.40，若0 ≤ x < 1，y ≥ 1，
⎪⎩ 1 ，若x ≥ 1，y ≥ 1．
现在求 X 和Y 的联合分布函数的边缘分布函数．可以通过两个途径求边缘分布函数：一是，
首先由 X 和Y 的联合分布分别求 X 和Y 的概率分布，然后由概率分布求分布函数；二是，直接
∞
∞
∫ ∫ f1(x) = f (x, y)dy = e− ydy = e−x (x > 0)；
−∞
x
于是
∞
y
∫ ∫ f2 ( y) = f (x, y)dx = e−ydx = ye−y ( y > 0)；
−∞
0
f1 (
x)
=
⎧e−x，若x > 0，
⎨ ⎩0
，若x
≤
0；
f2
(
y)
=
⎧ ⎨ ⎩
ye− 0
1/4
0
0 1/ 2 0
1/2
1
1/ 4 0 0
1/4
Σ
1/4 1/2 1/4
1
3.5 假设随机变量 (U ,V ) 的概率密度在以 (−2,0),(2,0),(0,1),(0,−1) 为顶点的四边形上为常
数，而在此四边形之外为 0；考虑随机变量
X
=
⎧−1, 若U
⎨ ⎩
1 , 若U
≤ −１, > −１；
5
⎟⎞ ⎟⎠
．
3.3 假设射手甲、乙的命中率相应为 0.6 和 0.7．二人各独立地进行一次射击，分别以 X
和Y 表示他们命中的次数（0 或 1），求 X 和Y 的联合分布函数及其边缘分布函数．
解 首先求 X 和Y 的联合分布．引进事件 A = {甲命中}， B = {乙命中}．由条件知事件 A
和 B 独立， P(A) = 0.6, P(B) = 0.7 ；显然 A = {X = 1} ， B = {Y = 1} ； ( X ,Y ) 有 4 个可能值：
,Y
)
~
⎜⎛ ⎜
(−1,−1) 1
(−1,1) 0
(1,−1) 6
(1,1) 1
⎟⎞ ⎟
；
⎝8
8 8⎠
(2) 由 X 和 Y 的联合概率分布可见，X 和 Y 的联合分布函数为：
⎧ 0 ，若 x < −1或 y < −1；
F
(x,
y)
=
⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪
1 8 7 8
，若 ，若
−1 ≤ x < 1，y ≥ −1； x ≥ 1，−1 ≤ y < 1；
习题三 多元随机变量的分布
3.1 假设随机变量U 在区间[−2,2] 服从均匀分布，随机变量
X
=
⎧−1, 若U
⎨ ⎩
1 , 若U
≤ −1, > −1；
Y
=
⎧ ⎨ ⎩
−1, 若U 1 , 若U
≤ 1, > 1．
求 X 和Y 的联合概率分布． 解 随机向量 ( X ,Y ) 有 (−1,−1), (−1,1), (1,−1), (1,1) 等 4 个可能值，
于是， X 的分布函数为
⎧ 0 ，若x < 0, F1(x) = ⎪⎨0.4，若0 ≤ x ≤ 1,
⎪⎩ 1 ，若x > 1．
类似可得Y 的分布函数
—习题解答●3.2—
⎧ 0 ，若x < 0, F2 ( y) = ⎪⎨0.3，若0 ≤ x ≤ 1,
⎪⎩ 1 ，若x > 1．
3.4 设随机变量 X 和Y 各只有－1,0,1 等三个可能值，且同分布并满足条件：
Y
=
⎧ ⎨ ⎩
−1, 若V 1 , 若V
≤ 1/ 2, > 1/ 2．
(1) 试求 X 和 Y 的联合概率分布；
(2) 试求 X 和 Y 的联合分布函数．
v
解 以 (−2,0),(2,0),(0,1),(0,−1) 为顶点的四边形
1
是菱形，记作 G ．以 f (x, y) 表示 (U ,V ) 的概率密
(2) 求Y 关于 X = x 的条件密度 f2 ( y | X = x) ．
解 (1) 求未知常数 C 和 f1(x) ．
∞∞
π /2 π /2
1 = ∫ ∫ f (x, y)dxdy = C ∫ dx ∫ sin(x + y)dy
−∞−∞
0
0
∫ ∫ =
π
−C
/ 0
2
⎢⎣⎡cos⎜⎝⎛
x
+
π 2
⎟⎞ ⎠
F(x, y) = P{X ≤ x,Y ≤ y} = P{X = 0,Y = 0}+ P{X = 0,Y = 1} = 0.40；
对于 x ≥ 1，y ≥ 1，显然 F (x, y) =1．于是， X 和Y 的联合分布函数为
⎧ 0 ，若x < 0或y < 0，
F
(x,
y)
=
⎪⎪⎪⎨00..3102，，若若0x
(0,1) 16 × 4
(1,0) 4 ×16
(1,1) 4×3
⎟⎞ ⎟
⎝ 20 ×19 20 ×19 20 ×19 20 ×19 ⎠ ．
=
⎜⎛ ⎜
(0,0) 60
(0,1) 16
(1,0) 16
(1,1) 3
⎟⎞ ⎟
．
⎝ 95 95 95 95 ⎠
(2) X 和Y 都有 0 和 1 两个可能值，由全概率公式，有
y，若y ，若y
> ≤
0， 0．
—习题解答●3.4—
(2) X +Y 不大于 1 的概率
y
∫∫ ∫∫ P{X + Y ≤ 1} = f (x, y)dxdy = f (x, y)dxdy
x+ y≤1
G
1
y>x y=x
1/2 1−x
∫ ∫ = dx e−ydy = 1 + e−1 − 2e−1/ 2 ，
Y 分别表示先后抽到不合格品的件数（0 或 1），试求，(1) X 和Y 的联合分布；(2) 由 X 和Y 的
联合分布求 X 和Y 的概率分布．
解 (1) 按古典型概率公式分别计算 ( X ,Y )取(0,0),(0,1),(1,0),(1,1) 为值的概率，得
(
X
,
Y
)
~
⎜⎛ ⎜
概率论与数理统计课后习题答案1-8章-习题解答
第一章 思 考 题1．事件的和或者差的运算的等式两端能“移项”吗？为什么？2．医生在检查完病人的时候摇摇头“你的病很重，在十个得这种病的人中只有一个能救活. ”当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说“但你是幸运的.因为你找到了我，我已经看过九个病人了，他们都死于此病，所以你不会死” ，医生的说法对吗？为什么？３．圆周率 1415926.3=π是一个无限不循环小数, 我国数学家祖冲之第一次把它计算到小数点后七位, 这个记录保持了1000多年! 以后有人不断把它算得更精确. 1873年, 英国学者沈克士公布了一个π的数值, 它的数目在小数点后一共有707位之多! 但几十年后, 曼彻斯特的费林生对它产生了怀疑. 他统计了π的608位小数, 得到了下表:675844625664686762609876543210出现次数数字你能说出他产生怀疑的理由吗?答：因为π是一个无限不循环小数，所以，理论上每个数字出现的次数应近似相等，或它们出现的频率应都接近于0.1，但7出现的频率过小.这就是费林产生怀疑的理由.4．你能用概率证明“三个臭皮匠胜过一个诸葛亮”吗？５．两事件A 、B 相互独立与A 、B 互不相容这两个概念有何关系？对立事件与互不相容事件又有何区别和联系？６．条件概率是否是概率？为什么？习 题1．写出下列试验下的样本空间： （1）将一枚硬币抛掷两次答：样本空间由如下4个样本点组成{(,)(,)(,)(,)}Ω=正正，正反，反正，反反 （2）将两枚骰子抛掷一次答：样本空间由如下36个样本点组成{(,),1,2,3,4,5,6}i j i j Ω==（3）调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支出答：结果可以用（x ，y ）表示，x ，y 分别是烟、酒年支出的元数.这时，样本空间由坐标平面第一象限内一切点构成 .{(,)0,0}x y x y Ω=≥≥2．甲，乙，丙三人各射一次靶，记-A “甲中靶” -B “乙中靶” -C “丙中靶” 则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件： (1) “甲未中靶”： ;A (2) “甲中靶而乙未中靶”： ;B A (3) “三人中只有丙未中靶”： ;C AB(4) “三人中恰好有一人中靶”： ;C B A C B A C B A (5)“ 三人中至少有一人中靶”： ;C B A(6)“三人中至少有一人未中靶”： ;C B A 或;ABC (7)“三人中恰有两人中靶”： ;BC A C B A C AB(8)“三人中至少两人中靶”： ;BC AC AB (9)“三人均未中靶”： ;C B A (10)“三人中至多一人中靶”： ;C B A C B A C B A C B A(11)“三人中至多两人中靶”： ;ABC 或;C B A 3 .设,A B 是两随机事件，化简事件 (1)()()AB A B (2) ()()A B A B解:(1)()()AB A B AB AB B B ==,(2) ()()AB AB ()A BA B B A A B B ==Ω=.4．某城市的电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求电话号码由五个不同数字组成的概率.解：51050.302410P P ==.5．n 张奖券中含有m 张有奖的，k 个人购买，每人一张，求其中至少有一人中奖的概率。
概率论和数理统计浙江大学第四版-课后习题答案解析[完全版]
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概率论与数理统计习题答案 第四版 盛骤 (浙江大学)浙大第四版（高等教育出版社） 第一章 概率论的基本概念1.[一] 写出下列随机试验的样本空间（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1）⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯=n n nn o S 1001, ，n 表小班人数（3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。
（[一] 2）S={10，11，12，………，n ，………}（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。
（[一] (3)）S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，}2.[二] 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。
（1）A 发生，B 与C 不发生。
表示为：C B A 或A － (AB+AC )或A － (B ∪C )（2）A ，B 都发生，而C 不发生。
表示为：C AB 或AB －ABC 或AB －C（3）A ，B ，C 中至少有一个发生表示为：A+B+C（4）A ，B ，C 都发生， 表示为：ABC（5）A ，B ，C 都不发生，表示为：C B A 或S － (A+B+C)或C B A ⋃⋃（6）A ，B ，C 中不多于一个发生，即A ，B ，C 中至少有两个同时不发生 相当于C A C B B A ,,中至少有一个发生。
故 表示为：C A C B B A ++。
（7）A ，B ，C 中不多于二个发生。
相当于：C B A ,,中至少有一个发生。
故 表示为：ABC C B A 或++ （8）A ，B ，C 中至少有二个发生。
相当于：AB ，BC ，AC 中至少有一个发生。
概率论与数理统计习题详解 周概容 习题4解
⎧ 5 − X，若 0 ≤ X < 5，
T
=
g(X
)
=
⎪⎪25 −
⎨ ⎪50
−
X，若 5 ≤ X，若25 ≤
X X
< 25， < 50，
⎪⎩65 − X，若50 ≤ X < 60．
因此，等候时间的数学期望为
∫ ∫ ET = Eg(X ) =
∞
g(x) f (x)dx =
1
60
g ( x)dx
−∞
60 0
−1
cosπ
x)dx
=
1 4
⎢⎣⎡ x
+
1 π
sinπ
x
⎤1 ⎥⎦ −1
=
1， 2
DY2
= EY22
− (EY2 )2
=
1− 4 2 π2
= π 2 −8； 2π 2
∫ ∫ ∫ EY3
=
E|
X
|=
∞
|
x|
f
( x)dx
=
1 2
1
|
x | dx
=
1
xdx
=
1， 2
−∞
−1
0
∫ EY32
=
Ex 2
=
1 2
(2) 随机变量 X 的概率分布为
X
~
⎜⎜⎝⎛
1 qk
k +1 1− qk
⎟⎟⎠⎞
．
因此， μ = EX = qk + (k + 1)(1 − qk ) = k + 1 − kqk ．
—习题解答● 4.3—
(3) 设 p=0.10，n=1000，k=4，则总共分成 r=250 组．对于每一组期望化验次数 μ = 2.3756 ， 因此 M= rμ ≈ 594 ．
概率论与数理统计课后习题答案(非常全很详细)
0.8 0.1
4 0.3077
0.8 0.1 0.2 0.9 13
即考试不及格的学生中努力学习的学生占 30.77%.
26. 将两信息分别编码为 A 和 B 传递出来，接收站收到时，A 被误收作 B 的概率为 0.02，而
B 被误收作 A 的概率为 0.01.信息 A 与 B 传递的频繁程度为 2∶1.若接收站收到的信息是
P( A1
B)
P( A1B) P(B)
P(B
A 1
)
P(
A1
)
2
P(B Ai )P( Ai )
i0
2 / 31/ 3
1
1/ 31/ 3 2 / 31/ 3 11/ 3 3
28. 某工厂生产的产品中 96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率
为 0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为 0.05，求在被检查后认为是合格品产品确
≤M）正品（记为 A）的概率.如果： （1） n 件是同时取出的； （2） n 件是无放回逐件取出的； （3） n 件是有放回逐件取出的.
【解】（1）
P（A）=
C
m M
Cnm N M
/ CnN
(2) 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有 PNn 种，n 次抽取中有 m
次为正品的组合数为
C
m n
种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从
M
件正
品中取
m
件的排列数有 PMm
种，从
NM
件次品中取
nm
件的排列数为
Pnm N M
种，
故
P（A）=
Cmn PMm
Pnm N M
PNn
概率论与数理统计习题详解 周概容 习题2解
P{X = 1} = F (1) − F (1 − 0) = 0.6 − 0.5 = 0.1，
P{X = 2} = F (2) − F (2 − 0) = 0.8 − 0.6 = 0.2，
P{X = 3} = F (3) − F (3 − 0) = 0.9 − 0.8 = 0.1，
= 3 ×2×7 = 7 ， 10 9 8 120
P{X = 4} = 1− 7 − 7 − 7 = 1 ．
10 30 120 120
X
~
⎜⎛ ⎜
1 7
2 7
3 7
4 1
⎟⎞ ⎟
．
⎝ 10 30 120 120 ⎠
2.5 已知离散型随机变量 X 的分布函数为 F(x) ，求 X 的概率分布，其中
⎧ 0 ，若x < 0，
33
2.12 已知随机变量 X 的概率密度为
f
(x)
=
⎪⎧ax2e−λx，若x > 0， ⎪⎩⎨ 0 ，若x ≤ 0，
其中 λ > 0 是参数，试求，
= P( A1B1)P( A2 ) + P( A1B1)P( A2B2 )
= 0.6 × 0.5 × 0.4 + 0.62 × 0.52 = 0.3× 0.7；
P{X = 3} = P( A1B1A2B2 A3 ) + P( A1B1A2B2 A3B3 )
= P( A1B1)P( A2B2 )P( A3 )
立，因此 X 的概率分布为
P{X = n} = P( A1 Λ An−1An ) = P( A1)Λ P( An−1)P( An ) = 0.7 × 0.3n−1 (n = 1,2,Λ )．
概率论与数理统计习题详解（周概容）——习题7解
—习题解答●7.1— 7.1 假设总体X服从参数为??的泊松分布，nXXX21??是来自总体X的简单随机样本，X是样本均值，2S是样本方差，对于任意实数??，证明12SXE是??的无偏估计量．熟知，对于任何总体，样本均值X是总体数学期望的无偏估计量，样本方差2S是总体方差的无偏估计量；对于泊松分布的总体，数学期望和方差都等于分布参数??，因此．11122SXSXEEE 7.2 设总体X服从参数为??的泊松分布；21nXXX??是来自X的简单随机样本，求2??的无偏估计量．熟知XXDE．设X为样本均值，则．，2222221nnXnXnXXXEEDE 由此可见2??的无偏估计量为．XnX12?? 7.3 设21mXXX??是来自正态总体2NX的简单随机样本，统计量1121niiiXXkD 是总体方差2??的无偏估计量，求常数k．由条件知：222XE．由于统计量D是总体方差2??的无偏估计量，则．22112221112211121122222 nkkXXXXkXXkDniniiiiiniiiEEE 由此可见121nk．7.4 总体2??aNX2??bNY；基于分别来自总体X和Y的两个相互独立的简单随机样本21mXXX??和21nYYY??，得样本均值X和Y及样本方差2xS和2yS；证明总体X和Y的联合样本方差1121222yxxySnSmnmS 是总体X和Y的共同方差2??的无偏估计量，并且计算其方差．熟知，对于任意总体，样本方差2xS和2yS都是2??的无偏估计量，可见22221121yxxySnSmnmSE，—习题解答●7.2—即联合样本方差2xyS是2??的无偏估计量．由正态总体的抽样分布，知2222 xySnm?? 服从自由度为2 nm＝??的2??分布；而自由度为??的2??变量的方差等于2??：事实上，设??UUU21??是独立标准正态分布随机变量，则服从自由度为??的2??分布的随机变量X可以表示为：22221??UUUX．由于10NUi，可见21102iUUUiiiEDE；．33de23e21de2122223244222 iuuuiUuuuuuUEE ??????．由此可见21UXEE．因此．22222222422222222 nmnmnmnmSnmnmSxyxy????????????DDD2 7.5 设总体X 服从参数为pm的二项分布，其中m已知；21nXXX??是来自X的简单随机样本，1 求未知参数p的最大似然估计量；2 证明所得估计量是无偏的．1 总体X的概率函数可以表示为．，若不然；，若；0 10 1Cmxpppxpxmxxm?? 参数p的似然函数为XnmnXnniXmniipppXppLi1C11；，其中X为样本均值．对数似然方程为0111ln1lnlnClnln1pXnmnpXnppLpXnm npXnpLniXmi；其解mXp即未知参数p的最大似然估计量．2 由于总体X的数学期望为mp，而对于任何总体X，样本均值X是其数学期望的无偏估计量，可见X 是mp的无偏估计量，从而mXp是未知参数p的无偏估计量．—习题解答●7.3—7.6 设总体X服从区间0??上的均匀分布，21nXXX??是来自X的简单随机样本，1 求未知参数??的最大似然估计量；2 假如所得估计量是有偏估计量，将其修正为无偏估计量． 1 总体X的概率密度函数为．，若不然；，若；001xxf 未知参数??的似然函数为，若不然．；，若；0 0111nnniiXXXfL?? 易见，似然函数??L无驻点．需要直接求??L的最大值点，记nnXXXXmax21；由于nX，且??L随??减小而增大，所以当??nX 时??L达到最大值，故??nX就是未知参数??的最大似然估计量．2 现在验证估计量??nX的无偏性．为此，首先求??nX的概率分布．总体X的分布函数为．，若，，若，若 1 0 0 0 xxxxxF 由于nXXX21??独立同分布，可见??nX的分布函数为，11nnnnnxFxXxXxXxXxXxFPPPP???? 其概率密度为．，若不然，，若0 0dd11xnxxFxFnxFxxfnnnnn 因此，有1dd01??nnxnxxxxxfXnnnnE．这样，??nX是??的有偏估计量．容易验证，??的无偏估计量为1nXnn??．7.7 已知随机变量X的概率密度为若不然．若0 101xxxf 试根据来自X的简单随机样本21nXXX??，求未知参数??的最大似然估计量．—习题解答●7.4—未知参数??的似然函数和对数似然函数为．；；10ln1lnln21n1112111niinnniiXXXXnLXXXXfL??????????由此，得似然方程n1 0lnlniiXnL；其惟一解是niinXnXXn11lnln??????．于是，就是未知参数??的最大似然估计量．7.8 设ugt??是严格单调函数且有惟一反函数．证明，若是未知参数??的最大似然估计量，则gtgT????是的最大似然估计量．设??L是未知参数??的似然函数．记th是??gt??的惟一反函数，则??LthL??．设D是函数??gt??的值域，由“是未知参数??的最大似然估计量”，可见maxmax??thLLLThLDt，即gT??是??gt??的最大似然估计量．7.9 设21nXXX??是来自总体X的简单随机样本，总体X的概率密度为：；，，，若若xxxfx0e 试求未知参数??的最大似然估计量1和矩估计量2． 1 参数??的似然函数为．nXniXniiniiiXfL??1ee11 由此可见，其似然方程无解，需要直接求其似然函数，，，若不然若0 exp211nniiXXXnXL?? 的最大值．当nXXX21??时0L，而当nXXX21??，即nXXXmin21??时??L随??的增大而增大，可见当nXXXmin21??时??L达到最大值．参数??的最大似然估计量为nXXXmin??211??．—习题解答●7.5— 2 求参数??的矩估计量．总体X 的数学期望为：．1edeeded xxxxxxxxxxxfXE 用样本均值X估计XE：1??2X，可得参数??的矩估计量为1??2??X＝??．7.10设每次射击的命中率为p．接连不断独立地进行射击直到命中目标为止，nkkk21??是n轮射击各轮实际射击的次数，求命中率p 的最大似然估计量和矩估计量．1 设X表示实际射击的次数，则X服从参数为p的几何分布，而nkkk21??是来自总体X的简单随机样本．总体X的概率函数为2111xpppxpx．命中率p的似然函数为．，1lnlnln1111111pnkpnpLpppppkppLniininknkniiniii将该式两侧对p求导数并令其等于0，得似然方程：．011dlnd1pnkpnppLnii 其惟一解niiknp1 ?? 就是命中率p的最大似然估计量． 2 设X是实际射击的次数，而nkkk21??是来自总体X的简单随机样本，则样本均值为pXknXnii111E，．于是，由pX??1 ??，得未知参数p的矩估计量niiknXp1 1??．7.11 设来自总体X的简单随机样本21nXXX??，总体X的概率分布为22112321????????X，其中0lt??lt1．试求—习题解答●7.6—1 未知参数??的最大似然估计量1；2 未知参数??的矩估计量2；3 当样本值为（112132）时的最大似然估计值1和矩估计值2． 1 求参数??的最大似然估计量．分别以2121n和表示21nXXX?? 中1，2和3出现的次数，则似然函数和似然方程为．，，01222dlnd1ln22ln22lnln1211221212121222222212122121 nLnLLnn 似然方程的惟一解就是参数??的最大似然估计量：n22??211．2 求参数??的矩估计量．总体X的数学期望为221314XE．在上式中用样本均值X估计数学期望XE，可得??的矩估计量：321??2X． 3 对于样本值（112132），由上面得到的一般公式，可得最大似然估计值；321223222??211n?????? 矩估计值326523321??2X??．7.12 设随机变量X的分布函数为．，若，，若＝1 0 111xxxxF 其中参数1．设nXXX21??为来自总体X的简单随机样本，求 1 未知参数??的矩估计量；2 未知参数??的最大似然估计量．由条件知随机变量X的概率密度为．，若，，若1 0 11xxxxf 1 X的数学期望为1d11xxxXE．用样本均值X估计XE得—习题解答●7.7— 1X，1XX?? 就是未知参数??的矩估计量．2 未知参数??的似然函数和对数似然函数为；，，，若不然；若ininnnniiXnLXXXXXXXfL1211211ln1lnln 01 似然方程为0lndlnd1niiXnL??????，其唯一解niiXn1ln???? 就是未知参数??的最大似然估计量．7.13 设随机变量X的分布函数为．，，，＝xxxxF 0 122 其中0．设nXXX21??为来自总体X的简单随机样本，求未知参数??的最大似然估计量．由条件知随机变量X的概率密度为．，若，，若xxxxf 0 232 未知参数??的似然函数为．若若，，，nnnnnniiXXXXXXXXXXfL ***********??????似然函数??L显然无驻点，需要直接求其最大值点．由??L值随??增大而增大，可见??L的最大值点为nXXXmin??21??．于是nXXXmin??21??就是未知参数??的最大似然估计量．7.14 为观察一种橡胶制品的耐磨性，从这种产品中各随意抽取了5件，测得如下数据：—习题解答●7.8— 185.82，175.10，217.30，213.86，198.40．假设产品的耐磨性2NX，求2和的无偏估计值．样本容量n5．经计算，得样本均值X198.10，样本方差23.3240063.1822S．于是??的无偏估计值；10.198X?? 23.3242??S是2??的无偏估计．7.15 对某种袋装食品的质量管理标准规定：每袋平均重500克，标准差10克．现在从一商店的一批这种袋装食品中随意抽取了14袋，测量每袋的重量，得如下数据：500.90，490.01，501.63，500.73，515.87，511.85，498.39，514.23，487.96，525.01，509.37，509.43，488.46，497.15．假设这种袋装食品每袋的重量X服从正态分布2N．试利用??和??的0.95置信区间，说明抽查结果是否表明这一批袋装食品每袋平均重??和标准差??符合标准．经计算样本均值，64.503??X样本标准差11.11??S正态总体的数学期望??的1置信区间的一般形式为：XX，其中??的表达式区分202已知和2??未知两种情形：未知，若，已知，若 1 00nStnun 其中??u是标准正态分布水平??双侧分位数（附表3），1??nt??是自由度为1n??的t分布水平??双侧分位数（附表4）。
概率论与数理统计 -课后习题及答案解析(下)
3． x1 , x 2 , L , x 2 n 相互独立且都服从参数为 1 的指数分布， X i = min{x i , x 2 n -i +1 }
(i = 1,2,L , n) ．
解： （1） P{ X i = 1, X j = 1} =
50 ´ 49 50 50 ¹ ´ = P{ X i = 1} × P{ X j = 1} ， 100 ´ 99 100 100
2 2 ü ì ü ì ï ï1 æ X1 X 2 ö ï ïæ X 1 X 2 ö ÷ ç ÷ ³ = + ³ P íç + 79 . 72 P 39 . 86 ý í ý ÷ ç ÷ çX X3 ø 2 X X3 ø ï ï ï ï þ î è 3 þ îè 3 2
= P{F (1,1) ³ 39.86} = 0.10 。
（2） 由 Dç ç
æ 15S 2 2 è s
30s 4 2 2 ö 15 2 2 2 ÷ D S = = 2 ´ 15 = 30 ， ( ) 30 ， 得 D ( S ) = = s 。 4 ÷ s 15 15 2 ø
内
E ( X ) = E ( X ) = n ， D( X ) =
D ( X ) 2n n = = ， E ( S 2 ) = D ( X ) = 2n 。 10 10 5
仅
ìS2 ü £ 2.041ý ，其中 S 2 是样本方差； 2 îs þ
2．求 D ( S 2 ) ．
(n - 1) S 2 15S 2 2 ~ c ( n 1 ) ， 得 ~ c 2 (15) ， 2 2 s s
ì15S 2 ü ìS2 ü P í 2 £ 2.041ý = P í 2 £ 15 ´ 2.041ý = P{c 2 (15) £ 30.615} îs þ î s þ = 1 - P{c 2 (15) > 30.615} = 1 - 0.01 = 0.99 。
(完整版)概率论与数理统计习题答案详解版(廖茂新复旦版)
概率论与数理统计习题答案详解版（廖茂新复旦版）习题一1. 设A，B，C 为三个事件，用A，B，C 的运算式表示下列事件：（1）A 发生而B与 C 都不发生；（2）A，B，C 至少有一个事件发生；（3）A，B，C 至少有两个事件发生；（4）A，B，C 恰好有两个事件发生；（5）A，B至少有一个发生而 C 不发生；（6）A，B，C 都不发生.解：（1）A BC或 A B C或 A （B∪C）.（2）A∪B∪C.（3）（AB）∪（AC）∪（BC）.（4）（AB C ）∪（AC B ）∪（BC A）.（5）（A∪B）C.（6） A B C 或ABC.2. 对于任意事件A，B，C，证明下列关系式：（1）（A+B）（A+B ）（ A + B）（ A + B ）= ；（2）AB+A B +A B+A B AB= AB；(3)A-(B+C)= (A-B)-C. 证明：略.3.设A，B为两事件，P（A）=0.5,P（B）=0.3,P（AB）=0.1，求：（1）A发生但B不发生的概率；（2）A，B 都不发生的概率；（3）至少有一个事件不发生的概率.解（1）P（A B ）=P（A-B）=P（A-AB）=P（A）-P（AB）=0.4；（2） P（AB）=P（ A B）=1-P（A∪B）=1-0.7=0.3；（3） P（A∪B）=P（AB ）=1-P（AB）=1-0.1=0.9.4.调查某单位得知。
购买空调的占15％，购买电脑占12％，购买DVD 的占20%；其中购买空调与电脑占6%，购买空调与DVD占10%，购买电脑和DVD占5％，三种电器都购买占2％。
求下列事件的概率。
（1）至少购买一种电器的；（2）至多购买一种电器的；（3）三种电器都没购买的.解：（1）0.28, （2）0.83, （3）0.725.10 把钥匙中有 3 把能打开门，今任意取两把，求能打开门的概率。
解：8/156. 任意将10 本书放在书架上。
其中有两套书，一套 3 本，另一套4 本。
《概率论与数理统计》课后习题及答案解析(上)
891010
1113
即有P(A)P(A1)P(A1A2)P(A1A2A3).
10101010
解法2沿用解法1的记号，知
P(A)1P(拨号3次都接不通)1P(A1A2A3)
1P(A|AA)P(A|A)P(A)17893.
312211
891010
五、某类产品毎百件成批，出厂验收时，规定从毎批中任意挑选5件为样品，若样品中发现有废品，则整批不予出厂．今有一批产品100件，其中有6件废品，问这批产品被拒绝出厂的概率有多大？
N(S)3
四、甲、乙两艘油轮驶向一个不能同时停泊两艘油轮的码头，它们都将在某日8时至
20时抵达码头，甲轮卸完油要1小时，乙轮要2小时，假设毎艘油轮在8时至20时的毎一时刻抵达码头的可能性相同.
1.求甲、乙两轮都不需要等候空出码头的概率；
2.设A表示甲、乙同一时刻抵达码头，问A是否为3C1C2C3C3C3
P(B)=P(Ai)P(B|Ai)393 983 9796
i0
C3C3C3C3C3C3C3C3
1212121212121212
121
2714277
211
(21)2
441
0.1458
220552205555445511553025
211
2.利用贝叶斯公式求得P(A
解：P(B|AUB)
P(AUB)
P(BAUBB)
P(A)P(B)P(AB)
P(AB)
P(A)P(B)P(AB)
P(A)P(AB)
0.60.5
0.10.125
P(A)P(B)P(AB)
0.60.70.50.8
2．某人有一笔资金，他投入基金的概率为0.58，购买股票的概率为0.28，两项投资都
概率论和数理统计课后习题答案解析
随机事件及其概率1.1 随机事件习题1试说明随机试验应具有的三个特点．习题2将一枚均匀的硬币抛两次，事件A，B，C分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”，试写出样本空间及事件A，B，C中的样本点.1.2 随机事件的概率1.3 古典概型与几何概型1.4 条件概率1.5 事件的独立性复习总结与总习题解答习题3. 证明下列等式：习题6.习题7习题9习题10习题12习题13习题14习题15习题16习题18习题20习题21习题23习题24习题26第二章随机变量及其分布2.1 随机变量习题1随机变量的特征是什么？解答：①随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数.②随机变量的取值是随机的，事先或试验前不知道取哪个值.③随机变量取特定值的概率大小是确定的.习题2试述随机变量的分类.解答：①若随机变量X的所有可能取值能够一一列举出来，则称X为离散型随机变量；否则称为非离散型随机变量.②若X的可能值不能一一列出，但可在一段连续区间上取值，则称X为连续型随机变量.习题3盒中装有大小相同的球10个，编号为0,1,2,⋯,9, 从中任取1个，观察号码是“小于5”，“等于5”，“大于5”的情况，试定义一个随机变量来表达上述随机试验结果，并写出该随机变量取每一个特定值的概率.解答：分别用ω1,ω2,ω3表示试验的三个结果“小于5”，“等于5”，“大于5”，则样本空间S={ω1,ω2,ω3},定义随机变量X如下：X=X(ω)={0,ω=ω11,ω=ω2,2,ω=ω3则X取每个值的概率为P{X=0}=P{取出球的号码小于5}=5/10,P{X=1}=P{取出球的号码等于5}=1/10,P{X=2}=P{取出球的号码大于5}=4/10.2.2 离散型随机变量及其概率分布习题1设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P{X=1}=P{X=2}, 求λ.解答：由P{X=1}=P{X=2}, 得λe-λ=λ^2/2e^-λ,解得λ=2.习题2设随机变量X的分布律为P{X=k}=k15,k=1,2,3,4,5,试求(1)P{12<X<52; (2)P{1≤X≤3};(3)P{X>3}.解答：(1)P{12<X<52=P{X=1}+P{X=2}=115+215=15;(2)P{≤X≤3}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=115+215+315=25;(3)P{X>3}=P{X=4}+P{X=5}=415+515=35.习题3已知随机变量X只能取-1,0,1,2四个值，相应概率依次为12c,34c,58c,716c, 试确定常数c, 并计算P{X<1∣X≠0}.解答：依题意知，12c+34c+58c+716c=1, 即3716c=1,解得c=3716=2.3125.由条件概率知P{X<1∣X≠0}=P{X<1,X≠0}P{X≠0}=P{X=-1}P{X≠0}=12c1-34c=24c-3=26.25=0.32.习题4一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.解答：随机变量X的可能取值为3,4,5.P{X=3}=C22⋅1C53=110, P{X=4}=C32⋅1C53=310, P{X=5}=C42⋅1C53=35,所以X的分布律为求因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率.解答：因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为：P{3X>60}, 即P{X>20},P{X>20}=P{X=30}+P{X=40}=0.6.就是说，加油站因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为0.6.习题6设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=0.1, 当生产过程中出现废品时立即进行调整，X代表在两次调整之间生产的合格品数，试求：(1)X的概率分布；(2)P{X≥5};(3)在两次调整之间能以0.6的概率保证生产的合格品数不少于多少?解答：(1)P{X=k}=(1-p)kp=(0.9)k×0.1,k=0,1,2,⋯;(2)P{X≥5}=∑k=5∞P{X=k}=∑k=5∞(0.9)k×0.1=(0.9)5;(3)设以0.6的概率保证在两次调整之间生产的合格品不少于m件，则m应满足P{X≥m}=0.6,即P{X≤m-1}=0.4. 由于P{X≤m-1}=∑k=0m-1(0.9)k(0.1)=1-(0.9)m,故上式化为1-0.9m=0.4, 解上式得m≈4.85≈5,因此，以0.6的概率保证在两次调整之间的合格品数不少于5.习题7设某运动员投篮命中的概率为0.6, 求他一次投篮时，投篮命中的概率分布.解答：此运动员一次投篮的投中次数是一个随机变量，设为X, 它可能的值只有两个，即0和1.X=0表示未投中，其概率为p1=P{X=0}=1-0.6=0.4,X=1表示投中一次，其概率为p2=P{X=1}=0.6.则随机变量的分布律为设X表示取出3件产品的次品数，则X的所有可能取值为0,1,2,3. 对应概率分布为P{X=0}=C73C103=35120, P{X=1}=C73C31C103=36120,P{X=2}=C71C32C103=21120, P{X=3}=C33C103=1120.X的分布律为2.3 随机变量的分布函数习题1F(X)={0,x<-20.4,-2≤x<01,x≥0,是随机变量X的分布函数，则X是___________型的随机变量.解答：离散.由于F(x)是一个阶梯函数，故知X是一个离散型随机变量.习题2设F(x)={0x<0x20≤1,1x≥1问F(x)是否为某随机变量的分布函数.解答：首先，因为0≤F(x)≤1,∀x∈(-∞,+∞).其次，F(x)单调不减且右连续，即F(0+0)=F(0)=0, F(1+0)=F(1)=1,且F(-∞)=0,F(+∞)=1,(2)P{X<2∣X≠1}=P{X=-1}P{X≠1}=23.习题5设X的分布函数为F(x)={0,x<0x2,0≤x<1x-12,1≤x<1.51,x≥1.5,求P{0.4<X≤1.3},P{X>0.5},P{1.7<X≤2}.解答：P{0.4<X≥1.3}=P{1.3}-F(0.4)=(1.3-0.5)-0.4/2=0.6,P{X>0.5}=1-P{X≤0.5}=1-F(0.5)=1-0.5/2=0.75,P{1.7<X≤2}=F(2)-F(1.7)=1-1=0.习题6设随机变量X的分布函数为F(x)=A+Barctanx(-∞<x<+∞),试求：(1)系数A与B; (2)X落在(-1,1]内的概率.解答：(1)由于F(-∞)=0,F(+∞)=1,可知{A+B(-π2)A+B(π2)=1=0⇒A=12,B=1π,于是F(x)=12+1πarctanx,-∞<x<+∞;(2)P{-1<X≤1}=F(1)-F(-1)=(12+1πarctan1)-[12+1πarctanx(-1)]=12+1π⋅π4-12-1π(-π4)=12.习题7在区间[0,a]上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标.设这个质点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例，试求X的分布函数.解答：F(x)=P{X≤x}={0,x<0xa,0≤x<a.1,x≥a2.4 连续型随机变量及其概率密度习题1设随机变量X的概率密度为f(x)=12πe-(x+3)24(-∞<x<+∞),则Y=¯∼N(0,1).解答：应填3+X2.由正态分布的概率密度知μ=-3,σ=2由Y=X-μσ∼N(0,1), 所以Y=3+X2∼N(0,1).习题2已知X∼f(x)={2x,0<x<10,其它, 求P{X≤0.5};P{X=0.5};F(x).解答：P{X≤0.5}=∫-∞0.5f(x)dx=∫-∞00dx+∫00.52xdx=x2∣00.5=0.25,P{X=0.5}=P{X≤0.5}-P{X<0.5}=∫-∞0.5f(x)dx-∫-∞0.5f(x)dx=0.当X≤0时，F(x)=0;当0<x<1时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫0x2tdt=t2∣0x=x2;当X≥1时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫0x2tdt+∫1x0dt=t2∣01=1,故F(x)={0,x≤0x2,0<x<1.1,x≥1习题3设连续型随机变量X的分布函数为F(x)={A+Be-2x,x>00,x≤0,试求：(1)A,B的值；(2)P{-1<X<1}; (3)概率密度函数F(x).解答：(1)\becauseF(+∞)=limx→+∞(A+Be-2x)=1, ∴A=1;又\becauselimx→0+(A+Be-2x)=F(0)=0, ∴B=-1.(2) P{-1<X<1}=F(1)-F(-1)=1-e-2.(3)f(x)=F′(x)={2e-x,x>00,x≤0.习题4服从拉普拉斯分布的随机变量X的概率密度f(x)=Ae-∣x∣, 求系数A及分布函数F(x).解答：由概率密度函数的性质知，∫-∞+∞f(x)dx=1,即∫-∞+∞Ae-∣x∣dx=1,而∫-∞+∞Ae-∣x∣dx=∫-∞0Aexdx+∫0+∞Ae-xdx=Aex∣-∞0+(-Ae-x∣0+∞)=A+A=2A或∫-∞+∞Ae-xdx=2∫0+∞Ae-xdx=-2Ae-x∣0+∞=2A,所以2A=1, 即A=1/2.从而f(x)=12e-∣x∣,-∞<x<+∞,又因为F(x)=∫-∞xf(t)dt,所以当x<0时，F(x)=∫-∞x12e-∣t∣dt=12∫-∞xetdt=12et∣-∞x=12ex;当x≥0时，F(x)=∫-∞x12e-∣x∣dt=∫-∞012etdt+∫0x12e-tdt=12et∣-∞0-12e-t∣0x=12-12e-x+12=1-12e-x,从而F(x)={12ex,x<01-12e-x,x≥0.习题5某型号电子管，其寿命(以小时计)为一随机变量，概率密度f(x)={100x2,x≥1000,其它,某一电子管的使用寿命为X, 则三个电子管使用150小时都不需要更换的概率.解答：设电子管的使用寿命为X, 则电子管使用150小时以上的概率为P{X>150}=∫150+∞f(x)dx=∫150+∞100x2dx=-100x∣150+∞=100150=23,从而三个电子管在使用150小时以上不需要更换的概率为p=(2/3)3=8/27.习题6设一个汽车站上，某路公共汽车每5分钟有一辆车到达，设乘客在5分钟内任一时间到达是等可能的，试计算在车站候车的10位乘客中只有1位等待时间超过4分钟的概率.解答：设X为每位乘客的候车时间，则X服从[0,5]上的均匀分布. 设Y表示车站上10位乘客中等待时间超过4分钟的人数. 由于每人到达时间是相互独立的.这是10重伯努力概型. Y服从二项分布，其参数n=10,p=P{X≥4}=15=0.2,所以P{Y=1}=C101×0.2×0.89≈0.268.习题7设X∼N(3,22).(1)确定C, 使得P{X>c}=P{X≤c};(2)设d满足P{X>d}≥0.9,问d至多为多少?解答：因为X∼N(3,22), 所以X-32=Z∼N(0,1).(1)欲使P{X>c}=P{X≤c},必有1-P{X≤c}=P{X≤c},即P{X≤c}=1/2,亦即Φ(c-32)=12, 所以 c-32=0, 故c=3.(2)由P{X>d}≥0.9可得1-P{X≤d}≥0.9,即P{X≤d}≤0.1.于是Φ(d-32)≤0.1,Φ(3-d2)≥0.9.查表得3-d2≥1.282,所以d≤0.436.习题8设测量误差X∼N(0,102), 先进行100次独立测量，求误差的绝对值超过19.6的次数不小于3的概率. 解答：先求任意误差的绝对值超过19.6的概率p,p=P{∣X∣>19.6}=1-P{∣X∣≤19.6}=1-P{∣X10∣≤1.96=1-[Φ(1.96)-Φ(-1.96)]=1-[2Φ(1.96)-1]=1-[2×0.975-1]=1-0.95=0.05.设Y为100次测量中误差绝对值超过19.6的次数，则Y∼b(100,0.05).因为n很大，p很小，可用泊松分布近似，np=5=λ,所以P{Y≥3}≈1-50e-50!-51e-51!-52e-52!=1-3722-5≈0.87.习题9某玩具厂装配车间准备实行计件超产奖，为此需对生产定额作出规定. 根据以往记录，各工人每月装配产品数服从正态分布N(4000,3600).假定车间主任希望10%的工人获得超产奖，求：工人每月需完成多少件产品才能获奖？解答：用X表示工人每月需装配的产品数，则X∼N(4000,3600).设工人每月需完成x件产品才能获奖，依题意得P{X≥x}=0.1,即1-P{X<x}=0.1,所以1-F(x)=0.1, 即1-Φ(x-400060)=0.1, 所以Φ(x-400060)=0.9.查标准正态人分布表得Φ(1.28)=0.8997,因此x-400060≈1.28,即x=4077件，就是说，想获超产奖的工人，每月必须装配4077件以上.习题10某地区18岁女青年的血压(收缩压，以mm-HG计)服从N(110,122). 在该地区任选一18岁女青年，测量她的血压X.(1)求P{X≤105},P{100<X≤120};(2)确定最小的x, 使P{X>x}≤0.005.解答：已知血压X∼N(110,122).(1)P{X≤105}=P{X-11012≤-512≈1-Φ(0.42)=0.3372,P{100<X≤120}=Φ(120-11012)-Φ(100-11012)=Φ(0.833)-Φ(-0.833)=2Φ(0.833)-1≈0.595.(2)使P{X>x}≤0.05,求x, 即1-P{X≤x}≤0.05, 亦即Φ(x-11012)≥0.95,查表得x-10012≥1.645,从而x≥129.74.习题11设某城市男子身高X∼N(170,36), 问应如何选择公共汽车车门的高度使男子与车门碰头的机会小于0.01.解答：X∼N(170,36), 则X-1706∼N(0,1).设公共汽车门的高度为xcm，由题意P{X>x}<0.01, 而P{X>x}=1-P{X≤x}=1-Φ(x-1706)<0.01,即Φ(x-1706)>0.99, 查标准正态表得x-1706>2.33, 故x>183.98cm.因此，车门的高度超过183.98cm时，男子与车门碰头的机会小于0.01.习题12某人去火车站乘车，有两条路可以走. 第一条路程较短，但交通拥挤，所需时间(单位：分钟)服从正态分布N(40,102); 第二条路程较长，但意外阻塞较少，所需时间服从正态分布N(50,42), 求：(1)若动身时离开车时间只有60分钟，应走哪一条路线？(2)若动身时离开车时间只有45分钟，应走哪一条路线？解答：设X,Y分别为该人走第一、二条路到达火车站所用时间，则X∼N(40,102),Y∼N(50,42).哪一条路线在开车之前到达火车站的可能性大就走哪一条路线.(1)因为P{X<60}=Φ(60-4010)=Φ(2)=0.97725,P{Y<60}=Φ(60-504)=Φ(2.5)=0.99379,所以有60分钟时应走第二条路.(2)因为P{X<45}=Φ(45-4010)=Φ(0.5)=0.6915,P{X<45}=Φ(45-504)=Φ(-1.25)=1-Φ(1.25)=1-0.8925=0.1075所以只有45分钟应走第一条路.2.5 随机变量函数的分布当c>0时，fY(y)={1c(b-a),ca+d≤y≤cb+d0,其它,当c<0时，fY(y)={-1c(b-a),cb+d≤y≤ca+d0,其它.习题4设随机变量X服从[0,1]上的均匀分布，求随机变量函数Y=eX的概率密度fY(y).解答：f(x)={1,0≤x≤10,其它,f=ex,x∈(0,1)是单调可导函数，y∈(1,e), 其反函数为x=lny, 可得f(x)={fX(lny)∣ln′y,1<y<e0,其它={1y,1<y<e0,其它.习题5设X∼N(0,1)，求Y=2X2+1的概率密度.解答：因y=2x2+1是非单调函数，故用分布函数法先求FY(y).FY(y)=P{Y≤y}=P{2X2+1≤y}(当y>1时)=P{-y-12≤X≤y-12=∫-y-12y-1212πe-x2dx,所以fY(y)=F′Y(y)=22πe-12⋅y-12⋅122y-1,y>1, 于是fY(y)={12π(y-1)e-y-14,y>10,y≤1.习题6设连续型随机变量X的概率密度为f(x), 分布函数为F(x), 求下列随机变量Y的概率密度：(1)Y=1X; (2)Y=∣X∣.解答：(1)FY(y)=P{Y≤y}=P{1/X≤y}.①当y>0时，FY(y)=P{1/X≤0}+P{0<1/X≤y}=P{X≤0}+P{X≥1/y}=F(0)+1-F(1/y),故这时fY(y)=[-F(1y)]′=1y2f(1y);；②当y<0时，FY(y)=P{1/y≤X<0}=F(0)-F(1/y),故这时fY(y)=1y2f(1y);③当y=0时，FY(y)=P{1/X≤0}=P{X<0}=F(0),故这时取fY(0)=0, 综上所述fY(y)={1y2⋅f(1y),y≠00,y=0.(2)FY(y)=P{Y≤y}=P{∣X∣≤y}.①当y>0时，FY(y)=P{-y≤X≤y}=F(y)-F(-y)这时fY(y)=f(y)+f(-y);②当y<0时，FY(y)=P{∅}=0, 这时fY(y)=0;③当y=0时，FY(y)=P{Y≤0}=P{∣X∣≤0}=P{X=0}=0,故这时取FY(y)=0, 综上所述fY(y)={f(y)+f(-y),y>00,y≤0.习题7某物体的温度T(∘F)是一个随机变量, 且有T∼N(98.6,2), 已知θ=5(T-32)/9, 试求θ(∘F)的概率密度.解答：已知T∼N(98.6,2). θ=59(T-32), 反函数为T=59θ+32,是单调函数，所以fθ(y)=fT(95y+32)⋅95=12π⋅2e-(95y+32-98.6)24⋅95=910πe-81100(y-37)2.习题8设随机变量X在任一区间[a,b]上的概率均大于0, 其分布函数为FY(x), 又Y在[0,1]上服从均匀分布，证明:Z=FX-1(Y)的分布函数与X的分布函数相同.解答：因X在任一有限区间[a,b]上的概率均大于0, 故FX(x)是单调增加函数，其反函数FX-1(y)存在，又Y在[0,1]上服从均匀分布，故Y的分布函数为FY(y)=P{Y≤y}={0,y<0y,0≤y≤11,y>0,于是，Z的分布函数为FZ(z)=P{Z≤z}=P{FX-1(Y)≤z}=P{Y≤FX(z)}={0,FX(z)<0FX(z),0≤FX(z)≤1,1,FX(z)>1由于FX(z)为X的分布函数，故0≤FX(z)≤1.FX(z)<0和FX(z)>1均匀不可能，故上式仅有FZ(z)=FX(z), 因此，Z与X的分布函数相同.总习题解答习题1从1∼20的整数中取一个数，若取到整数k的概率与k成正比，求取到偶数的概率.解答：设Ak为取到整数k, P(Ak)=ck, k=1,2,⋯,20.因为P(⋃K=120Ak)=∑k=120P(Ak)=c∑k=120k=1，所以c=1210,P{取到偶数}=P{A2∪A4∪⋯∪A20} =1210(2+4+⋯+20)=1121.习题2若每次射击中靶的概率为0.7, 求射击10炮,(1)命中3炮的概率;(2)至少命中3炮的概率;(3)最可能命中几炮.解答：若随机变量X表示射击10炮中中靶的次数. 由于各炮是否中靶相互独立，所以是一个10重伯努利概型，X服从二项分布，其参数为n=10,p=0.7, 故(1)P{X=3}=C103(0.7)3(0.3)7≈0.009;(2)P{X≥3}=1-P{X<3}=1-[C100(0.7)0(0.3)10+C101(0.7)1(0.3)9+C102(0.7)2(0.3)8]≈0.998;(3)因X∼b(10,0.7), 而k0=[(n+1)p]=[(10+1)]×0.7=[7.7]=7,故最可能命中7炮.习题3在保险公司里有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险，在1年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交120元保险费，而在死亡时家属可从保险公司里领20000元赔偿金，求:(1)保险公司亏本的概率;(2)保险公司获利分别不少于100000元, 200000元的概率.解答：1)以“年”为单位来考虑，在1年的1月1日，保险公司总收入为2500×120元=30000元.设1年中死亡人数为X, 则X∼b(2500,0.002), 则保险公司在这一年中应付出200000X(元)，要使保险公司亏本，则必须200000X>300000即X>15(人).因此，P{保险公司亏本}=P{X>15}=∑k=162500C2500k(0.002)k×(0.998)2500-k≈1-∑k=015e-55kk!≈0.000069,由此可见,在1年里保险公司亏本的概率是很小的.(2)P{保险公司获利不少于100000元}=P{300000-200000X≥100000}=P{X≤10}=∑k=010C2500k(0.002)×(0.998)2500-k≈∑k=010e-55kk!≈0.986305,即保险公司获利不少于100000元的概率在98%以上.试求：(1)q的值；(2)X的分布函数.解答：(1)\because离散型随机变量的概率函数P{X=xi}=pi, 满足∑ipi=1,且0≤pi≤1,∴{1/2+1-2q+q2=10≤1-2q≤1q2≤1,解得q=1-1/2. 从而X的分布律为下表所示：(2)由F(x)=P{X≤x}计算X的分布函数F(x)={0,1/2,2-1/2,1,x<-1-1≤x<00≤x<0x≥1.习题7设随机变量X的分布函数F(x)为F(x)={0,x<0Asinx,0≤x≤π/2,1,x>π/2则A=¯,P{∣X∣<π/6}=¯.解答：应填1;1/2.由分布函数F(x)的右连续性，有F(π2+0)=F(π2)⇒A=1.因F(x)在x=π6处连续，故P{X=π6=12,于是有P{∣X∣<π6=P{-π6<X<π6=P{-π6<X≤π6=F(π6)-F(-π6)=12..习题8使用了x小时的电子管，在以后的Δx小时内损坏的概率等于λΔx+o(Δx),其中λ>0是常数，求电子管在损坏前已使用时数X的分布函数F(x)，并求电子管在T小时内损坏的概率.解答：因X的可能取值充满区间(0,+∞),故应分段求F(x)=P{X≤x}.当x≤0时，F(x)=P{X≤x}=P(∅)=0;当x>0时，由题设知P{x<X≤x+Δx/X}=λΔx+o(Δx),而P{x<X≤x+Δx/X}=P{x<X≤x+Δx,X>x}P{X>x}=P{x<X≤x+Δx}1-P{X≤x}=F(x+Δx)-F(x)1-F(x),故F(X+Δx)-F(x)1-F(x)=λΔx+o(Δx),即F(x+Δx)-F(x)Δx=[1-F(x)][λ+o(Δx)Δx],令o(Δx)→0,得F′(x)=λ[1-F(x)].这是关于F(x)的变量可分离微分方程，分离变量dF(x)1-F(x)=λdx,积分之得通解为C[1-F(x)]=e-λx(C为任意常数).注意到初始条件F(0)=0, 故C=1.于是F(x)=1-e-λx,x>0,λ>0,故X的分布函数为F(x)={0,x≤01-e-λx,x>0(λ>0),从而电子管在T小时内损坏的概率为P{X≤T}=F(T)=1-e-λT.习题9设连续型随机变量X的分布密度为f(x)={x,0<x≤12-x,1<x≤20,其它,求其分布函数F(x).解答：当x≤0时，F(x)=∫-∞x0dt=0;当0<x≤1时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00tdt+∫0xtdt=12x2;当1<x≤2时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫01tdt+∫1x(2-t)dt=0+12+(2t-12t2)∣1x=-1+2x-x22;当x>2时，F(x)=∫-∞00dt+∫01tdt+∫12(2-t)dt+∫2x0dt=1,故F(x)={0,x≤212x2,0<x≤1-1+2x-x22,1<x≤21,x>2.习题10某城市饮用水的日消费量X(单位：百万升)是随机变量，其密度函数为：f(x)={19xe-x3,x>00,其它,试求：(1)该城市的水日消费量不低于600万升的概率；(2)水日消费量介于600万升到900万升的概率.解答：先求X的分布函数F(x). 显然，当x<0时，F(x)=0, 当x≥0时有F(x)=∫0x19te-t3dt=1-(1+x3)e-x3故F(x)={1-(1+x3)e-x3,x≥00,x<0,所以P{X≥6}=1-P{X<6}=1-P(X≤6}=1-F(6)=1-[1-(1+x3)e-x3]x=6=3e-2,P{6<X≤9}=F(9)-F(6)=(1-4e-3)-(1-3e-2)=3e-2-4e-3.习题11已知X∼f(x)={cλe-λx,x>a0,其它(λ>0),求常数c及P{a-1<X≤a+1}.解答：由概率密度函数的性质知∫-∞+∞f(x)dx=1,而∫-∞+∞f(x)dx=∫-∞a0dx+∫a+∞cλe-λxdx=c∫a+∞e-λxd(λx)=-ce-λx\vlinea+∞=ce-λa,所以ce-λa=1,从而c=eλa.于是P{a-1<X≤a+1}=∫a-1a+1f(x)dx=∫a-1a0dx+∫aa+1λeλae-λxdx=-eλae-λx\vlineaa+1=-eλa(e-λ(a+1)-e-λa)=1 -e-λ.注意，a-1<a, 而当x<a时，f(x)=0.习题12已知X∼f(x)={12x2-12x+3,0<x<10,其它, 计算P{X≤0.2∣0.1<X≤0.5}.解答：根据条件概率;有P{X≤0.2∣0.1<X≤0.5}=P{X≤0.2,0.1<X≤0.5}P{0.1<X≤0.5}=P{0.1<X≤0.2}P{0.1<X≤0.5}=∫0.10.2(12x2-12x+2) dx∫0.10.5(12x2-12x+3)dx=(4x3-6x2+3x)∣0.10.2(4x3-6x2+3x)∣0.10.5=0.1480.256=0.578125.习题13若F1(x),F2(x)为分布函数，(1)判断F1(x)+F2(x)是不是分布函数，为什么？(2)若a1,a2是正常数，且a1+a2=1. 证明：a1F1(x)+a2F2(x)是分布函数.解答：(1)F(+∞)=limx→+∞F(x)=limx→+∞F1(x)+limx→+∞F2(x)=1+1=2≠1故F(x)不是分布函数.(2)由F1(x),F2(x)单调非减，右连续，且F1(-∞)=F2(-∞)=0,F1(+∞)=F2(+∞)=1,可知a1F1(x)+a2F2(x)单调非减，右连续，且a1F1(-∞)+a2F2(-∞)=0,a1F1(+∞)+a2F2(+∞)=1.从而a1F1(x)+a2F2(x)是分布函数.习题14设随机变量X的概率密度ϕ(x)为偶函数，试证对任意的a>0, 分布函数F(x)满足：(1)F(-a)=1-F(a); (2)P{∣X∣>a}=2[1-F(a)].解答：(1)F(-a)=∫-∞-aϕ(x)dx=∫a+∞ϕ(-t)dt=∫a+∞ϕ(x)dx=1-∫-∞aϕ(x)dx=1-F(a).(2)P{∣X∣>a}=P{X<-a}+P{X>a}=F(-a)+P{X≥a}F(-a)+1-F(a)=2[1-F(a)].习题15设K在(0,5)上服从均匀分布，求x的方程4x2+4Kx+K+2=0有实根的概率.解答：因为K∼U(0,5), 所以fK(k)={1/5,0<k<50,其它,方程4x2+4Kx+K+2=0有实根的充要条件为(4K)2-4⋅4(K+2)≥0,即K2-K-2≥0,亦即(k-2)(K+1)≥0,解得K≥2(K≤-1舍去), 所以P{方程有实根}=P{K≥2}=∫2515dx=35.习题16某单位招聘155人，按考试成绩录用，共有526人报名，假设报名者考试成绩X∼N(μ,σ2), 已知90分以上12人，60分以下83人，若从高分到低分依次录取，某人成绩为78分，问此人是否能被录取？解答：要解决此问题首先确定μ,σ2, 因为考试人数很多，可用频率近似概率.根据已知条件P{X>90}=12/526≈0.0228,P{X≤90}=1-P{X>90}≈1-0.0228}=0.9772;又因为P{X≤90}=P{X-μσ≤90-μσ, 所以有Φ(90-μσ)=0.9772, 反查标准正态表得90-μσ=2 ①同理：P{X≤60}=83/526≈0.1578; 又因为P{X≤60}=P{X-μσ≤60-μσ,故Φ(60-μσ)≈0.1578.因为0.1578<0.5,所以60-μσ<0, 故Φ(μ-60σ)≈1-0.1578=0.8422, 反查标准正态表得μ-60σ≈1.0 ②联立①，②解得σ=10,μ=70, 所以，X∼N(70,100).某人是否能被录取，关键看录取率. 已知录取率为155526≈0.2947, 看某人是否能被录取，解法有两种：方法1：P{X>78}=1-P{X≤78}=1-P{x-7010≤78-7010=1-Φ(0.8)≈1-0.7881=0.2119,因为0.2119<0.2947(录取率), 所以此人能被录取.方法2：看录取分数线. 设录取者最低分为x0, 则P{X≥x0}=0.2947(录取率),P{X≤x0}=1-P{X≥x0}=1-0.2947=0.7053,P{X≤x0}=P{x-7010≤x0-7010=Φ{x0-7010=0.7053,反查标准正态表得x0-7010≈0.54, 解得x0≈75. 此人成绩78分高于最低分，所以可以录取.习题17假设某地在任何长为t(年)的时间间隔内发生地震的次数N(t)服从参数为λ=0.1t的泊松分布，X表示连续两次地震之间间隔的时间(单位：年).(1)证明X服从指数分布并求出X的分布函数；(2)求今后3年内再次发生地震的概率；(3)求今后3年到5年内再次发生地震的概率.解答：(1)当t≥0时，P{X>t}=P{N(t)=0}=e-0.1t,∴F(t)=P{X≤t}=1-P{X>t}=1-e-0.1t;当t<0时，F(t)=0,∴F(x)={1-e-0.1t,x≥00,x<0,X服从指数分布(λ=0.1);(2)F(3)=1-e-0.1×3≈0.26;(3)F(5)-F(3)≈0.13.习题18100件产品中，90个一等品，10个二等品，随机取2个安装在一台设备上，若一台设备中有i个(i=0,1,2)二等品，则此设备的使用寿命服从参数为λ=i+1的指数分布.(1)试求设备寿命超过1的概率；(2)已知设备寿命超过1，求安装在设备上的两个零件都是一等品的概率 .解答：(1)设X表示设备寿命. A表示“设备寿命超过1”，Bi表示“取出i个二等品”(i=0,1,2)，则X的密度函数为fX(x)={λe-λx,x>00,x≤0 (λ=i+1,i=0,1,2),P(B0)=C902C1002, P(B1)=C901C102C1002, P(B2)=C102C1002,P(A∣B0)=∫1+∞e-xdx=e-1, P(A∣B1)=∫1+∞2e-2xdx=e-2,P(A∣B2)=∫1+∞3e-3xdx=e-3,由全概率公式：P(A)=∑i=02P(Bi)P(A∣Bi)≈0.32.(2)由贝叶斯公式：P(B0∣A)=P(B0)P(A∣B0)P(A)≈0.93.试求Y=X2的分布律.解答：所以注：随机变量的值相同时要合并，对应的概率为它们概率之和.习题20设随机变量X的密度为fX(x)={0,x<02x3e-x2,x≥0,求Y=2X+3的密度函数.解答：由Y=2X+3, 有y=2x+3,x=y-32,x′=12,由定理即得fY(x)={0,y<3(y-32)3e-(y-32),y≥3.习题21设随机变量X的概率密度fX(x)={e-x,x>00,其它,求Y=eX的概率密度.解答：因为α=min{y(0),y(+∞)}=min{1,+∞}=1,β=max{y(0),y(+∞)}=max{1,+∞}=+∞.类似上题可得fY(y)={fX[h(y)]∣h′(y)∣,1<y<+∞0,其它={1/y2,1<y<+∞0,其它.习题22设随便机变量X的密度函数为fX(x)={1-∣x∣,-1<x<10,其它,求随机变量Y=X2+1的分布函数与密度函数.解答：X的取值范围为(-1,1), 则Y的取值范围为[1,2). 当1≤y<2时，FY(y)=P{Y≤y}=P{X2+1≤y}=P{-Y-1≤x≤y-1}=∫-y-1y-1(1-∣x∣)dx=2∫0y-1(1-x)dx=1-(1-y-1)2,从而Y的分布函数为FY(y)={0,y<11-(1-y-1)2,1≤y<2,1,其它Y的概率密度为fY(y)={1y-1-1,1<y<20,其它.第三章多维随机变量及其分布3.1 二维随机变量及其分布求a.解答：由分布律性质∑i⋅jPij=1, 可知1/6+1/9+1/18+1/3+a+1/9=1,解得a=2/9.习题2(1)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：(1)P{a<X≤b,Y≤c};解答：P{a<X≤b,Y≤c}=F(b,c)-F(a,c).习题2(2)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：(2)P{0<Y≤b};解答：P{0<Y≤b}=F(+∞,b)-F(+∞,0).习题2(3)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：(3)P{X>a,Y≤b}.解答：P{X>a,Y≤b}=F(+∞,b)-F(a,b).习题3(1)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：试求：(1)P{12<X<32,0<Y<4;解答：P{12<X<23,0<Y<4P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}=P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}=14+0+0=14.习题3(2)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：试求：(2)P{1≤X≤2,3≤Y≤4};解答：P{1≤X≤2,3≤Y≤4}=P{X=1,Y=3}+P{X=1,Y=4}+P{X=2,Y=3}+P{X=2,Y=4}=0+116+0+14=516.习题3(3)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：试求：(3)F(2,3).解答：F(2,3)=P(1,1)+P(1,2)+P(1,3)+P(2,1)+P(2,2)+P(2,3)=14+0+0+116+14+0=916.习题4设X,Y为随机变量，且P{X≥0,Y≥0}=37,P{X≥0}=P{Y≥0}=47,求P{max{X,Y}≥0}.解答：P{max{X,Y}≥0}=P{X,Y至少一个大于等于0} =P{X≥0}+P{Y≥0}-P{X≥0,Y≥0}=47+47-37=57.习题5(X,Y)只取下列数值中的值：(0,0),(-1,1),(-1,13),(2,0)且相应概率依次为16,13,112,512, 请列出(X,Y)的概率分布表，并写出关于Y的边缘分布.解答：(1)因为所给的一组概率实数显然均大于零，且有16+13+112+512=1, 故所给的一组实数必是某二维随机变量(X,Y)的联合概率分布. 因(X,Y)只取上述四组可能值，故事件：{X=-1,Y=0}, {X=0,Y=13, {X=0,Y=1},{X=2,Y=13,{X=2,Y=1}均为不可能事件，其概率必为零. 因而得到下表：(2)P{Y=0}=P{X=-1,Y=0}+P{X=0,Y=0}+P{X=2,Y=0} =0+16+512=712,同样可求得P{Y=13=112,P{Y=1}=13,关于的Y边缘分布见下表：Y 01/31pk 7/121/121/3习题6设随机向量(X,Y)服从二维正态分布N(0,0,102,102,0), 其概率密度为f(x,y)=1200πex2+y2200,求P{X≤Y}.解答：由于P{X≤Y}+P{X>Y}=1，且由正态分布图形的对称性，知P{X≤Y}=P{X>Y},故P{X≤Y}=12.习题7设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={k(6-x-y),0<x<2,2<y<40,其它,(1)确定常数k; (2)求P{X<1,Y<3}; (3)求P{X<1.5}; (4)求P{X+Y≤4}.解答：如图所示(1)由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=1,确定常数k.∫02∫24k(6-x-y)dydx=k∫02(6-2x)dx=8k=1,所以k=18.(2)P{X<1,Y<3}=∫01dx∫2318(6-x-y)dy=38.(3)P{X<1.5}=∫01.5dx∫2418(6-x-y)dy=2732.(4)P{X+Y≤4}=∫02dx∫24-x18(6-x-y)dy=23.习题8已知X和Y的联合密度为f(x,y)={cxy,0≤x≤1,0≤y≤10,其它,试求：(1)常数c; (2)X和Y的联合分布函数F(x,y).解答：(1)由于1=∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=c∫01∫01xydxdy=c4,c=4.(2)当x≤0或y≤0时，显然F(x,y)=0;当x≥1,y≥1时，显然F(x,y)=1;设0≤x≤1,0≤y≤1,有F(x,y)=∫-∞x∫-∞yf(u,v)dudv=4∫0xudu∫0yvdv=x2y2.设0≤x≤1,y>1,有F(x,y)=P{X≤1,Y≤y}=4∫0xudu∫01ydy=x2.最后，设x>1,0≤y≤1,有F(x,y)=P{X≤1,Y≤y}=4∫01xdx∫0yvdv=y2.函数F(x,y)在平面各区域的表达式F(x,y)={0,x≤0或y≤0x2,0≤x≤1,y>1x2y2,0≤x≤1,0≤y≤1.y2,x>习题9设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={4.8y(2-x),0≤x≤1,x≤y≤10,其它,求边缘概率密度fY(y).解答：fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy={∫0x4.8y(2-x)dy,0≤x≤10,其它={2.4x2(2-x),0≤x≤10,其它.fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx={∫0y4.8y(2-x)dx,0≤y≤10,其它={2.4y(4y-y2),0≤y≤10,其它.习题10设(X,Y)在曲线y=x2,y=x所围成的区域G里服从均匀分布，求联合分布密度和边缘分布密度.解答：区域G的面积A=∫01(x-x2)dx=16, 由题设知(X,Y)的联合分布密度为f(x,y)={6,0≤x≤1,x2≤y≤x0,其它,从而fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy=6∫x2xdy=6(x-x2),0≤x≤1,即fX(x)={6(x-x2),0≤x≤10,其它fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx=6∫yydx=6(y-y),0≤y≤1,即fY(y)={6(y-y),0≤y≤10,其它.3.2 条件分布与随机变量的独立性对应X的值,将每行的概率相加,可得P{X=i}.对应Y的值(最上边的一行), 将每列的概率相加，可得P{Y=j}.(2)当Y=51时,X的条件分布律为P{X=k∣Y=51}=P{X=k,y=51}P{Y=51}=pk,510.28, k=51,52,53,54,55.列表如下:故(1)在Y=1条件下，X的条件分布律为(2)在X=2的条件下，Y的条件分布律为表(a)表(b)解答：由X与Y相互独立知P{X=xi,Y=yi}=P{X=xi}P{Y=yj),从而(X,Y)的联合概率分布为亦即表P{X+y=1}=P{X=-2,y=3}+P{X=0,Y=1}=116+148=112,P{X+Y≠0}=1-P{X+Y=0}=1-P{X=-1,Y=1}-P{X=12,Y=-12=1-112-16=34.习题6某旅客到达火车站的时间X均匀分布在早上7:55∼8:00, 而火车这段时间开出的时间Y的密度fY(y)={2(5-y)25,0≤y≤50,其它,求此人能及时上火车站的概率.解答：由题意知X的密度函数为fX(x)={15,0≤x≤50,其它, 因为X与Y相互独立，所以X与Y的联合密度为：fXY(x,y)={2(5-y)125,0≤y≤5,0≤x≤50,其它,故此人能及时上火车的概率为P{Y>X}=∫05∫x52(5-y)125dydx=13.习题7设随机变量X与Y都服从N(0,1)分布，且X与Y相互独立，求(X,Y)的联合概率密度函数.解答：由题意知，随机变量X,Y的概率密度函数分别是fX(x)=12πe-x22，fY(y)=12πe-y22因为X与Y相互独立，所以(X,Y)的联合概率密度函数是f(x,y)=12πe-12(x+y)2.习题8设随机变量X的概率密度f(x)=12e-∣x∣(-∞<x<+∞),问：X与∣X∣是否相互独立？解答：若X与∣X∣相互独立，则∀a>0, 各有P{X≤a,∣X∣≤a}=P{X≤a}⋅P{∣X∣≤a},而事件{∣X∣≤a}⊂{X≤a},故由上式有P{∣X∣≤a}==P{X≤a}⋅P{∣X∣≤a},⇒P{∣X∣≤a}(1-P{X≤a})=0⇒P{∣X≤a∣}=0或1=P{X≤a}⋅(∀a>0)但当a>0时，两者均不成立，出现矛盾，故X与∣X∣不独立.习题9设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在(0,1)上服从均匀分布，Y的概率密度为fY(y)={12e-y2,y>00,y≤0,(1)求X与Y的联合概率密度；(2)设有a的二次方程a2+2Xa+Y=0, 求它有实根的概率.解答：(1)由题设易知fX(x)={1,0<x<10,其它,又X,Y相互独立，故X与Y的联合概率密度为f(x,y)=fX(x)⋅fY(y)={12e-y2,0<x<1,y>00,其它;(2)因{a有实根}={判别式Δ2=4X2-4Y≥0}={X2≥Y},故如图所示得到：P{a有实根}=P{X2≥Y}=∫∫x2>yf(x,y)dxdy=∫01dx∫0x212e-y2dy=-∫01e-x22dx=1-[∫-∞1e-x22dx-∫-∞0e-x22dx] =1-2π[12π∫-∞1e-x22dx-12π∫-∞0e-x22dx]=1-2π[Φ(1)-Φ(0),又Φ(1)=0.8413,Φ(0)=0.5,于是Φ(1)-Φ(0)=0.3413,所以P{a有实根}=1-2π[Φ(1)-Φ(0)]≈1-2.51×0.3413=0.1433.3.3 二维随机变量函数的分布习题1设随机变量X和Y相互独立，且都等可能地取1,2,3为值，求随机变量U=max{X,Y}和V=min{X,Y}的联合分布.解答：由于U≥V,可见P{U=i,V=j}=0(i<j).此外，有P{U=V=i}=P{X=Y=i}=1/9(i=1,2,3), P{U=i,V=j}=P{X=i,Y=j}+P{X=j,Y=i}=2/9(i>j),于是，随机变量U和V的联合概率分布为试求：(1)Z=X+Y; (2)Z=XY; (3)Z=X/Y; (4)Z=max{X,Y}的分布律.解答：与一维离散型随机变量函数的分布律的计算类型，本质上是利用事件及其概率的运算法则.注意，Z的相同值的概率要合并.于是(1)(2)Z的分布密度为fZ(z)={ze-z22,z>00,z≤0.习题5设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={12(x+y)e-(x+y),x>0,y>00,其它,(1)问X和Y是否相互独立？(2)求Z=X+Y的概率密度.解答：(1)fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy={∫0+∞12(x+y)e-(x+y)dy,x>00,x≤0\under2line令x+y=t{∫x+∞12te-tdt=12(x+1)e-x,x>00,x≤0,由对称性知fY(y)={12(y+1)e-y,y>00,y≤0,显然f(x,y)≠fX(x)fY(y),x>0,y>0,所以X与Y不独立.(2)用卷积公式求fZ(z)=∫-∞+∞f(x,z-x)dx.当{x>0z-x>0 即{x>0x<z时，f(x,z-x)≠0,所以当z≤0时，fZ(z)=0;当z>0时，fZ(z)=∫0z12xe-xdx=12z2e-z.于是，Z=X+Y的概率密度为fZ(z)={12z2e-z,z>00,z≤0.习题6设随机变量X,Y相互独立，若X服从(0,1)上的均匀分布，Y服从参数1的指数分布，求随机变量Z=X+Y 的概率密度.解答：据题意，X,Y的概率密度分布为fX(x)={1,0<x<10,其它, fY(y)={e-y,y≥00,y<0,由卷积公式得Z=X+Y的概率密度为fZ(z)=∫-∞+∞fX(x)fY(z-x)dx=∫-∞+∞fX(z-y)fY(y)dy =∫0+∞fX(z-y)e-ydy.由0<z-y<1得z-1<y<z,可见：当z≤0时，有fX(z-y)=0, 故fZ(z)=∫0+∞0⋅e-ydy=0;当z>0时，fZ(z)=∫0+∞fX(z-y)e-ydy=∫max(0,z-1)ze-ydy=e-max(0,z-1)-e-z,即fZ(z)={0,z≤01-e-z,0<z≤1e1-z-e-z,z>1.习题7设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={be-(x+y),0<x<1,0<y<+∞,0,其它.（1）试确定常数b；（2）求边缘概率密度fX(x),fY(y)；（3）求函数U=max{X,Y}的分布函数.解答：（1）由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=1，确定常数b. ∫01dx∫0+∞be-xe-ydy=b(1-e-1)=1，所以b=11-e-1，从而f(x,y)={11-e-1e-(x+y),0<x<1,0<y<+∞,0,其它.（2）由边缘概率密度的定义得fX(x)={∫0+∞11-e-1e-(x+y)dy=e-x1-e-x,0<x<1,0,其它，fY(x)={∫0111-e-1e-(x+y)dx=e-y,0<y<+∞,0,其它（3）因为f(x,y)=fX(x)fY(y)，所以X与Y独立，故FU(u)=P{max{X,Y}≤u}=P{X≤u,Y≤u}=FX(u)FY(u)，其中FX(x)=∫0xe-t1-e-1dt=1-e-x1-e-1,0<x<1，所以FX(x)={0,x≤0,1-e-x1-e-1,0<x<1,1,x≥1.同理FY(y)={∫0ye-tdt=1-e-y,0<y<+∞,0,y≤0，因此FU(u)={0,u<0,(1-e-u)21-e-1,0≤u<1,1-e-u,u≥1.。