裂项求和计算
数列中的裂项法求和举例
数列中的裂项法求和举例杨恒运江苏省扬中高级中学 （212200）数列中的求和问题是一个基本问题，应该根据通项公式的形式确定用什么方法求数列的前 n 项和。
裂项法求和的是数列求和中一种常用方法，应用非常广泛,下面就举例说明之。
1. 求通项公式例1 已知数列｛n a ｝满足：121321,,n n a a a a a a a ---- 是首项为1公比为13的等比数列，求通项n a由于121321n n n a a a a a a a a -+-+-++-= 很容易求出通项113n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭2. 求等差数列前 n 项和例2 在数列{}n a 中,若21n n a n n s =+，求前项和 学生在求和中，数列中的基本元素及求和公式都会搞错，若用裂项法就很容易求出其前n 项和 略解:显然22(1)n a n n =+-12222222221 (21)(32)(1) (1)12(1)n nn s a a a n n n n na a n d=+++=-+-+++-=+-=+=+- 则一般地，若等差数列()()1 1221211()3(21)22d 3 = n+12231122 =na (1)2n n a dn a d d n a dn a d d s n a d n nn d=+-=++-⎛⎫⎡⎤-+- ⎪⎣⎦⎝⎭⎛⎫⎡⎤∴=+-+- ⎪⎣⎦⎝⎭+-则3．求等比数列前n 项和对于等比数列前n 项和的推导及记忆应用都是一个难点，若用裂项法的思想，就可以化繁为简例3 在数列{}n a 中,若2n nn a n s =，求前项和{}()111n 111n 102111121122222a (1)a a =()q-11(1) (1)11n n n n n n n n nn n n n n n n a s a a q q q q as a a a q q q q q q q a a q q q q++---==-∴=-=≠-∴=++=-+-+---=-=-- 略解：一般地在等比数列中 若则 4．求通项是等差数列与等比数列对应项乘积的数列的前n 项和 对这种数列的前n 项和问题更是一个难点，求和的方法是错位相减法，即使学生记得此方法，但运算正确的也很少，若用裂项法，则运算很简捷。
幂级数裂项求和方法总结
幂级数裂项求和方法总结幂级数是数学中常见的一种级数形式，它可以表示为多个项的无穷和。
然而，有时我们需要对幂级数中的某些项进行求和，而非对全部项进行求和。
本文总结了一些常见的幂级数裂项求和方法。
1. 裂项求和方法裂项求和是指在求和过程中将幂级数的某些项拆分或调整，以便将部分项进行简化或消除。
以下是一些常用的裂项求和方法：1.1 取反求和有时候，我们可以通过取反求和的方式，将幂级数的某些项进行简化。
例如，对于幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$，我们可以取反相邻的两个项相加来进行求和，得到以下结果：$$S(x) = \frac{1}{1-x} + \frac{1}{1+x} = \frac{2-2x^2}{1-x^2}$$1.2 调整系数求和有时候，我们可以通过调整幂级数的系数，使得部分项的系数相等，从而进行简化。
例如，对于幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} (a_n - a_{n+1}) x^n$，我们可以调整系数使得相邻项的系数相等，得到以下结果：$$S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (a_n - a_{n+1}) x^n = a_0 + (a_1 -a_1) x + (a_2 - a_1) x^2 + \ldots = a_0$$1.3 利用等比数列求和对于具有等比数列性质的幂级数，我们可以利用等比数列的求和公式进行简化。
例如，对于幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a r^n$，如果 $|r| < 1$，则该幂级数的求和可以表示为以下公式：$$S(x) = \frac{a}{1-r}$$2. 注意事项和应用场景在使用幂级数裂项求和方法时，需要注意以下事项：- 裂项求和方法可能会改变幂级数的收敛性。
因此，在裂项求和之后，需要重新评估幂级数的收敛性。
- 裂项求和方法适用于特定的幂级数形式和求和要求。
在应用时，需要根据具体情况来选择合适的裂项求和方法。
数列中裂项求和的几种常见模型
数列中裂项求和的几种常见模型模型一：数列{}n a 是以d 为公差的等差数列,且),3,2,1(0,0 =≠≠n a d n ,则)11(1111++-=n n n n a a d a a 例1已知二次函数()y f x =＝3x 2－2x ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上.（Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ）设11n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n mT <对所有n N *∈都成立的最小正整数m; (2006年湖北省数学高考理科试题)解：（Ⅰ）因为点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上，所以n S ＝3n 2－2n.当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2＝6×1－5,当n ≥2时, a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n ）－[])1(2)132---n n （＝6n －5。
（n=1也符合） 所以，a n ＝6n －5 （n N *∈) （Ⅱ）分析：恒成立问题.求m 则m 为参数，n 为变量由（Ⅰ）得知13+=n n n a a b ＝[]5)1(6)56(3---n n ＝)161561(21+--n n ,故T n ＝∑=ni i b 1＝21⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++-+-)161561(...)13171()711(n n ＝21（1－161+n ). 因此,要使21(1－161+n ）〈20m （n N *∈）成立的m,必须且仅须满足21≤20m ，即m ≥10，所以满足要求的最小正整数m 为10..例2在xoy 平面上有一系列点),,(111y x P ),(222y x P ，…，),(n n n y x P ，…，（n ∈N ＊），点P n 在函数)0(2≥=x x y 的图象上，以点P n 为圆心的圆P n 与x 轴都相切,且圆P n 与圆P n +1又彼此外切。
分数裂项求和法经典例题
分数裂项求和法经典例题《分数裂项求和法经典例题》嘿，同学们！今天我想和大家分享一下分数裂项求和法，这可真是个超有趣又有点小神奇的数学方法呢。
我先给大家讲个小故事。
有一次，我们数学老师在黑板上写了一堆分数相加的式子，看起来乱乱的，就像一群调皮的小蚂蚁在黑板上爬来爬去，我当时看着就头疼，心想这可怎么算呀。
可是老师却神秘兮兮地说，咱们今天学个厉害的法子，能轻松把这堆分数加起来。
这个法子就是分数裂项求和法。
那我先来给大家说一个简单的经典例题吧。
比如说，计算1/1×2 + 1/2×3 + 1/3×4 + … + 1/99×100。
咱们来看看这个式子里面的分数有啥特点呢？你看啊，1/1×2就可以写成1 - 1/2，就好像把一个完整的东西分成了两部分，一部分是1，另一部分是1/2，但是中间是减号哦。
那1/2×3呢，就可以写成1/2 - 1/3。
嘿，你是不是有点感觉了？就像把一块蛋糕，先切成两半，再把其中一半切成三块，这时候就可以用这样有趣的方式来表示。
那这个式子就可以写成：(1 - 1/2)+(1/2 - 1/3)+(1/3 - 1/4)+ …+(1/99 - 1/100)。
这时候，你要是仔细看，就会发现一个超级神奇的事情。
前面的1/2和后面的- 1/2就像两个小冤家，碰到一起就没了，1/3和- 1/3也没了，就这样一直到99/100和- 99/100都没了。
最后就只剩下1 - 1/100啦，那答案就是99/100。
哇塞，是不是很简单？这就像变魔术一样，那么复杂的式子一下子就变得这么好算了。
再来看一个稍微难一点的例题。
计算1/2×4 + 1/4×6 + 1/6×8 + … + 1/98×100。
这个式子和前面的有点像，但是又不太一样。
咱们来想个办法，1/2×4可以写成1/2×(1/2 - 1/4)，1/4×6可以写成1/2×(1/4 - 1/6)。
裂项相消法求数列前n项和
预备知识
•
1.等差数列Sn公式：
Sn
(a1
an) n 2
na1
n(n 1) 2
d
• 2.等比数列Sn公式： S n
a 1 (1 q n ) 1 q
(n为求和项数)
题型：把数列的通项拆成两项之差（即数列的每一项都按此法拆 成两项之差），在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变 成首尾若干项之和，这一求和方法称为裂项相消法。 最常见的情况是数列的各项由一个等差数列乘等差数列再取倒数 组成时，求它和可采用错位相减法。
• 例如:
• 步骤如下： （1）将通项公式拆成“正-负”的形式； （2）写出前n项和的表达式； （3）将各式相加，即可转化为有限项的和.
例题：
已Байду номын сангаас数列
an
(2n
1 1) (2n
1)
, 求Sn
课后练习与反思
分数裂项求和方法总结
分数裂项求和方法总结（一）用裂项法求n（_i_）型分数求和1 1分析：因为------ -------n n 1n 1 n n(n 1)n(n 1)（n为自然数）n（n 1）所以有裂项公式:1 1 1n(n 1) n n 1【例1】10 11111 12的和。
59 601 110 60丄12（二）用裂项法求乔七型分数求和分析: 型。
（n,k均为自然数）n（n k）因为1(1所以【例2】n(nk)] n(n k)n(n k)")1计算5 7 9 11 11 13 13 151勺1(1 9 2'91 1、，1 1 )(丄(丄丄)2 11 131 1)(丄(1 1)2 5 7111-[( )( )( ,、 ,、2 5 7 7 9 9 11 11 13 13 152[515]丄15（三）用裂项法求—「型分数求和n（n k）分析：k- 型（n,k均为自然数）n（n k）1 1 _ n k n kn n k n(n k) n(n k) n(n k)所以k _ 11n(n k) n n k亠2 2 2 2【例3】求2的和1 3 3 5 5 7 97 99（四）用裂项法求仝型分数求和n(n k)(n 2k)分析：2k 均为自然数）分析：n（n k)(n (n,k2k)2k 1 1n(n k)( n 2k) n(n k) (n k)( n 2k)【例4】计算：-4 4 4 4 1 1 1 1(1 3)( ) (-3 5 5 1 1999899(1 1 ) ( 1 1 )(93 9595 97)(95 9797 99)1 1 1 、 “ 1 1 、“ 11 、、[( )()... ...(-)]3 1 2 32 3 4 2 3 4 3 4 5 17 18 19 18 19 20丄[1 1]3 1 2 3 18 19 201139 20520(五)用裂项法求1型分数求和n(n k)(n 2k)(n 3k) 分析：1（n,k 均为自然数）n(n k)( n 2k)(n 3k)1 1 1 n(n k)(n 2k)(n 3k) 3k (n(n k)( n 2k)1(n k)(n 2k)(n3k)【例5】1 1 计算：1234 2 3 4 5117 18 19 203k11n(n k)( n 2k)(n3k) n(n k)( n 2 k) (n k)( n 2k)(n 3k)【例6】计算：-3 3 3分析:(n,k 均为自然数)1 (1 3 1、( 1 1、 3 5) (3 5 5 7)111 3 97 99 32009603(六)用裂项法求 n(n k)(n 2k)(n 3k)型分数求和n(n k)(n 2k)(n 3k)(1 1 ) ( 1 1 )(1 2 3 2 3 4) (2 3 4 3 4 5)1 11 2 3 18 19 2011396840（七）用裂项法求复合型分数和（例题略）( 1 1 )(17 18 19 18 19 20)。
裂项求和法
裂项求和法最近，我又发现了一种快速的解题方法，那就是——裂项求和法。
它可以帮助你更快地解出更多数学题，特别是对于一些难度大的题，这种方法很管用，请听我慢慢道来。
这里面还有一个问题呢！就是不知道你们有没有遇到过这样一种情况：把一个算式变成两个算式时，我们就会发现中间的乘积减少了。
我知道有许多人都会做错，但我还是要告诉你们，因为只有你们把它掌握了，在考试的时候才能够顺利地解决题目。
我们先来讲一下，什么叫做裂项？什么又叫做同除法？举个例子吧，例如： 42×16÷2=25÷3=4×5=10÷2=1，我们只要把两个算式的差（得数）相乘就可以了，但是这两个算式是有区别的。
例如： 42×16÷2=25÷3=4×5=10÷2=1，我们只要把两个算式的差（得数）相乘就可以了，但是这两个算式是有区别的，它们相乘的结果是正确的，但两个算式的结果却是错误的，所以要把他们两个算式的差（得数）分开来算。
我觉得这就是同除法的意思。
另外，像42×16÷2=25÷3=4×5=10÷2=1，我们只要把两个算式的差（得数）相乘就可以了，但是这两个算式是有区别的，它们相乘的结果是正确的，但两个算式的结果却是错误的，所以要把他们两个算式的差（得数）分开来算。
我觉得这就是同除法的意思。
还有呢，就是像-13×4-13×5=24-10-20=0，我们只要把两个算式的差（得数）相乘就可以了，但是这两个算式是有区别的，它们相乘的结果是正确的，但两个算式的结果却是错误的，所以要把他们两个算式的差（得数）分开来算。
我觉得这就是同除法的意思。
其实裂项求和法不仅仅是一种快速的解题方法，而且还是一种“四两拨千斤”的解题方法。
如果你不想使用“同除法”，也可以使用“列方程”，列方程也是一种快速的解题方法，因为它比同除法简单多了。
第12讲 裂项求和法
第十二讲 裂项求和法裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前错误!未找到引用源。
项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.适用于类似错误!未找到引用源。
（其中错误!未找到引用源。
是各项不为零的等差数列，错误!未找到引用源。
为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法： （1）错误!未找到引用源。
，特别地当错误!未找到引用源。
时，错误!未找到引用源。
；（21k =，特别地当错误!未找到引用源。
=；（3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭（4）()()()()()1111122112n a n n n n n n n ⎛⎫==- ⎪ ⎪+++++⎝⎭（5）22)2(1+n n )211(1+-=n n 2 （6）若{}n a 是公差为d 的等差数列，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭； （7）)121121(21114422+--⨯+=-n n n n （8）121121)12)(12(21n 1n +-+=++++n n n(9)nn n n n n n n n n n n n 2)1(12121)1()1(221)1(21+-⋅=⋅+-+=⋅++-；(10)11m m mn n n C C C -+=-；（11）()!1!!n n n n ⋅=+-.例1.【2017新课标Ⅱ】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑ ． 【答案】21nn + 【解析】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，则1123434102a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得11a =，1d =， ∴1(1)(1)22n n n n n S na d -+=+⨯=，所以12112()(1)1n S k k k k ==-++， 所以1111111122[(1)()()]2(1)223111nk knS n n n n ==-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++∑．例2 已知)3(1+=n n a n ，求n S例3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()14211n n S n a +=-+，且11a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()12n n n c a a =+，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T .【答案】（1）21n a n =-；（2）21n nT n =+. 【解析】（1）14(21)1n n S n a +=-+①，当1n =时，1241S a =+，解得23a =当2n 时，14(23)1n n S n a -=-+②，①减去②得14(21)(23)n n n a n a n a +=---，整理得1(21)(21)n n n a n a ++=-，即12121n n a n a n ++=-，∴213a a =，3253a a =，⋯，12123n n a n a n --=- 以上各式相乘得121na n a =-，又11a =，所以21n a n =-， （2）由（1）得11111(2)(21)(21)22121n n n c a a n n n n ⎛⎫===- ⎪+-+-+⎝⎭，1111111112323522121n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111123352121n n ⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪-+⎝⎭111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21n n =+21n nT n ∴=+，例4．(2014山东）已知等差数列}{n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）令n b =,4)1(11+--n n n a a n求数列}{n b 的前n 项和n T ． 解析】（Ⅰ）,64,2,,2141211d a S d a S a S d +=+===4122421,,S S S S S S =∴成等比 ，解得12,11-=∴=n a a n（Ⅱ）)121121()1(4)1(111++--=-=-+-n n a a n b n n n n n ， 当n 为偶数时11111(1)()()33557n T =+-+++-1111()()23212121n n n n ++-+---+ 1221211+=+-=∴n nn T n 11111(1)()()33557n n T =+-+++--当为奇数时， 1111()()23212121n n n n +++---+ 12221211++=++=∴n n n T n ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=∴为奇数为偶数n n n n n nT n ,1222,122． 例5．已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +==（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（Ⅰ）12n n a -=（Ⅱ）112221n n ++--【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，所以有323141231(1)9,8a a a q a a a q +=+===联立两式可得11{2a q ==或者18{12a q ==又因为数列{}na 为递增数列，所以q>1，所以11{2a q == 数列{}n a 的通项公式为12n n a -=（2）根据等比数列的求和公式，有122112nn n s -==--所以1111211(21)(21)2121n n n n n n n n n a b s s ++++===----- 所以1111111111221 (133721212121)n n n n n n T ++++-=-+-++-=-=---- 例6．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()*23n n S na n n N -=∈，且25a =.（1）证明数列{}n a 为等差数列，并求{}n a 的通项公式；（2）设n b =，n T 为数列{}n b 的前n项和，求使n T >成立的最小正整数n 的值.【答案】（1）证明见解析,21n a n =+（2）8n =【解析】（1）当2n ≥时，112(1)3(1)n n S n a n ----=-，又23n n S na n -=，所以1(1)(2)3n n n a n a ----=，当3n ≥时，21(2)(3)3n n n a n a -----=，所以121(1)(2)(2)(3)n n n n n a n a n a n a ------=---，可得122n n n a a a --=+，所以{}n a 为等差数列.又1123S a -=，得13a =，又25a =，所以21n a n =+.故答案为21n a n =+ （2）n b ===12==，所以12n T =.要使10n T >，即1210>， 解得638n >，所以8n =.故答案为8n =课后练习：1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且912162a a =+，24a =，则数列1{}n S 的前20项的和为( )A ．1920B ．2021C ．2122D ．2223【解析】解：由912162a a =+及等差数列通项公式得1512a d +=，又214a a d ==+，12a d ∴==，2(1)222n n n S n n n -∴=+⨯=+，∴1111(1)1nS n n n n ==-++， ∴数列1{}n S 的前20项的和为1111111120112233*********-+-+-+⋯+-=-=， 故选：B ．2．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足(1)2n n n S +=，则数列11{}n n a a +的前10项的和为1011． 【解析】解：数列{}n a 的前n 项和n S 满足(1)2n n n S +=，可得1n =时，111a S ==， 2n 时，1(1)(1)22n n n n n n na S S n -+-=-=-=，上式对1n =也成立，故n a n =，*n N ∈， 11111(1)1n n a a n n n n +==-++， 则数列11{}n n a a +的前10项的和为111111101122310111111-+-+⋯+-=-=． 故答案为：1011． 3．已知数列{}n a 的各项均为正数，12a =，114n n n n a a a a ++-=+，若数列11{}n na a -+的前n 项和为5，则n =120 ．【解析】解：数列{}n a 的各项均为正数，12a =，114n n n n a a a a ++-=+，2214n n a a +∴-=，2214n n a a +∴=+，1n a +∴=12a =，2a ∴==3a ∴==4a ==，⋯由此猜想n a =．11142,n n n n a a a a a ++=-=+，若数列11n n a a -⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为5，∴21321111()(2)544n n n a a a a a a a ++-+-+⋯+-=-=22∴，解得1121n +=，120n ∴=． 故答案为：120．4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且223n n a a =+，33S =，数列{}n b 为等比数列，13310b b a +=，24610b b a +=．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）若11(1)(1)(1)n n n n n b c b b b -+=+++，求数列{}n c 的前n 项和n T ，并求使得2116n T λλ<-恒成立的实数λ的取值范围．【解析】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，223n n a a =+，33S =，21123a a a d ∴=+=+，1333a d +=， 解得11a =-，2d =．12(1)23n a n n ∴=-+-=-．设等比数列{}n b 的公比为q ，13310b b a +=，24610b b a +=．∴21(1)103b q +=⨯，31()109b q q +=⨯，解得13b =，3q =．3n n b ∴=．（2）1111113311[](1)(1)(1)(31)(31)(31)8(31)(31)(31)(31)n n n n n n n n n n n n n b c b b b -+-+-+===-++++++++++， ∴数列{}n c 的前n 项和13113[]824(31)(31)64n n n T +=-<⨯++， 2116n T λλ<-恒成立，化为2316416λλ-，即264430λλ--，解得：14λ，或316λ-．5．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知11a =且()12n n nS n S +=+，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()*24141nn n a b n N n =-∈-，数列{}n b 的前n 项和为n P ，若112020n P +<，求正整数n 的最小值.【答案】（1）n a n =（2）1010【解析】（1）解析1：（累乘法）由()1122n n n n S n nS n S S n+++=+⇒=,所以2n ≥时, 121121n n n n n S S S S S S S S ---=⋅⋅()111431123212n n n n n n n n ++-=⋅⋅⋯⋅⋅=---,又111S a ==也成立,所以()12n n n S +=,所以当2n ≥时,1n n n a S S n -=-=,又11a =也成立,所以n a n =.解析2：（配凑常数数列）()1122n n n n S S nS n S n n ++=+⇒=+()()()1211n n S S n n n n +⇒=+++,故()1n S n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭为常数列,即()111212n S S n n ==+⨯,所以()12nn n S +=,所以当2n ≥时,1n n n a S S n -=-=,又11a =也成立,所以n a n =.解析3：（直接求n a ）()1122n n n n nS n S na S ++=+⇒=,所以()112n n n a S --=,两式相减可得()()11121n n n n a a an n a n n n ++=+⇒=≥+,又因为22a =,所以212n a an ==,即当2n ≥时,n a n =,当1n =也成立,故n a n =.（2）解析（裂项相消）：由上题可知()()241111412121nn n n b n n n ⎛⎫=-=-+ ⎪--+⎝⎭,所以()()1111111111335572121n n n P n n =--++--++-+--+()11121nn =-+-+,所以11201912120202n P n n +=<⇒>+,故n 的最小值为1010.。