重庆市巴蜀中学2020-2021学年(高2023届)高一上学期月考数学试卷

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重庆市巴蜀2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题含解析

数学试卷（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.命题“x ∀∈R ，2210x x ++≥”的否定是（）A.x ∃∈R ，2210x x ++≥B.x ∃∈R ，2210x x ++<C.x ∀∈R ，2210x x ++>D.x ∀∈R ，2210x x ++<【答案】B 【解析】【分析】利用全称量词命题的否定即可解答.【详解】命题“x ∀∈R ，2210x x ++≥”为全称量词命题，它的否定是存在量词命题，即x ∃∈R ，2210x x ++<，故选：B.2.今年高二（1）班的同学参加语文和数学两个学科的结业水平考试，每科满分为100分．考试成绩非常优秀，每个同学都至少有一科成绩在90分以上，其中语文90分以上的有45人，数学90分以上的有48人，这两科均在90分以上的有40人，高二（1）班共有（）个同学．A.45B.48C.53D.43【答案】C 【解析】【分析】由题意设出集合,A B 得到集合,A B 以及A B ⋂中元素的个数，即可得出A B 中元素的个数．【详解】设集合A 表示语文在90分以上的学生，则集合中有45个元素，集合B 表示数学在90分以上的学生，则集合中有48个元素，A B ⋂表示两科均在90分以上的学生，则集合A B ⋂中有40个元素，A B 表示至少有一科成绩在90分以上的学生，由题意可知A B 中有个45484053+-=元素，又因为每个同学都至少有一科成绩在90分以上，所以高二（1）班共有53人，故选：C ．3.关于x 的不等式lg lg lg 10k x x k x ⋅+-<对一切x +∈R 恒成立，则k 的取值范围是（）A.(,4]-∞-B.(,4][0,)-∞-+∞C.(4,0)-D.(4,0]-【答案】D 【解析】【分析】当0k =时，可知不等式恒成立；当0k ≠时，由二次函数图象和性质可得不等式组，解不等式组求得结果.【详解】x 的不等式2lg lg lg 1lg lg 10k x x k x k x k x ⋅+-=+-<对一切x +∈R 恒成立，当0k =时，不等式对一切x +∈R 恒成立，当0k ≠时，x +∈R 时lg x ∈R ，则有2Δ40k k k <⎧⎨=+<⎩，解得40k -<<，所以k 的取值范围是(4,0]-.故选：D4.19世纪美国天文学家西蒙·纽康和物理学家本·福特从实际生活得出的大量数据中发现了个现象，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量10进制随机数据中，以()n n +∈N 开头的数出现的概率为1()lgn P n n+=，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若()193333log 8log 2(),19log 2log 5n k P n k k +=-=∈≤+∑N （说明符号()1,,jk i i j k i a a a a k i j ++==+++∈∑N ），则k 的值为（）A.3B.5C.7D.9【答案】B 【解析】【分析】根据题意利用对数的运算法则可得19()lg 4n kP n ==∑，再由符号说明表达式即可求得5k =.【详解】易知19333333log 8log 2log ()lg 4log o 4102log 5l g n kP n =-===+∑，由1()lg n P n n +=可得191212()lg l 19g lg lg l 2020201119g n kk k k k k k k k k P n =++++⎛⎫=++⋅⋅⋅+=⨯⨯⋅⋅⋅⨯= ⎭++⎪⎝∑；所以lglg 420k=，解得5k =.故选：B5.某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，若小轮的半径为2cm ，则小轮每秒转过的弧长是（）cm．A.10πB.5πC.π3D.π6【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出小轮每分钟转的圈数，再借助弧长公式计算即得.【详解】由大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，得小轮每分钟转的圈数为325515⨯=，因此小轮每秒钟转的弧度数为52ππ606⨯=，所以小轮每秒转过的弧长是2cm cm ππ63⨯=.故选：C6.已知函数32()6f x x x =-，若()()g x f x a b =+-为奇函数，则（）A.2a =，16b =B.2a =-，16b =-C .2a =-，16b = D.2a =，16b =-【答案】D 【解析】【分析】根据奇函数定义可得()()0f x a b f x a b +-+-+-=恒成立，化简可求,a b .【详解】因为()()g x f x a b =+-为奇函数，32()6f x x x =-，所以()()0f x a b f x a b +-+-+-=，所以()()()()3232660x a x a b x a x a b +-+-+-+--+-=，所以()()()()3232660x a x a b x a x a b +-+------=，所以()23261221220a x a a b -+--=，所以6120a -=，3221220a a b --=，所以2a =，16b =-，故选：D.7.若函数32()(1)(5)2f x x k x k x =+-+++在区间(0,3)上不单调，则k 的取值范围是（）A.(4,3)--B.(5,2)-- C.(5,3)-- D.(4,2)--【答案】B 【解析】【分析】求出函数()f x 的导数()f x '，利用()f x '在(0,3)上有变号零点列式求解即得.【详解】函数32()(1)(5)2f x x k x k x =+-+++，求导得2()32(1)5f x x k x k '=+-++，由函数()f x 在区间(0,3)上不单调，得()f x '在(0,3)上有变号零点，由()0f x '=，得2232(1)50(21)325x k x k k x x x +-++=⇔-+=-+，则24(21)3(2)4220k x x x -+=-⋅+，令21(1,7)x t +=∈，于是2243(1)4(1)2031027kt t t t t -=--⋅-+=-+，即有943(10k t t-=+-，令9()3()10,17g t t t t=+-<<，函数()g t 在(1,3]上单调递减，函数值从20减小到8，在[3,7)上单调递增，函数值从8增大到1047，由()f x '在(0,3)上有变号零点，得直线4y k =-与函数(),17y g t t =<<的图象有交点，且当有两个交点时，两个交点不重合，因此8420k <-<，解得52k -<<-，所以k 的取值范围是(5,2)--.故选：B8.已知函数()e e x x f x -=+，若关于x 的方程()2f x x k +=有4个不同的实数根，则k 的取值范围是（）A.11442,e e -⎛⎫+ ⎪⎝⎭B.()222,e e -+ C.11222,e e -⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D.11114422e e ,e e --⎛⎫++ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】先得到()e e x x f x -=+的奇偶性和单调性，从而令2x x t +=，若()f t k =仅有一个实数根0t ，则00t =，2k =，此时推出只有两个根，不合要求，若()f t k =有两个实数根12,t t ，由对称性可知21t t =-，故210x x t +-=和210x x t ++=均有两个解，有根的判别式得到11144t -<<且10t ≠，结合函数单调性和奇偶性得到11441()2,e e k f t -⎛⎫=∈+ ⎪⎝⎭.【详解】()e e x x f x -=+的定义域为R ，且()e e ()x x f x f x --=+=，故()e e x x f x -=+为偶函数，且当0x >时，0()e e x x f x -=->'恒成立，故()e e x x f x -=+在0,+∞上单调递增，由对称性可知()f x 在(),0∞-上单调递减，()min ()02f x f ==，令2x x t +=，若()f t k =仅有一个实数根0t ，则00t =，2k =，此时20x x +=，解得10x =或1-，仅有2个实数根，不合要求，舍去；若()f t k =有两个实数根12,t t ，由对称性可知21t t =-，需要满足21x x t +=和21x x t +=-均有两个解，即210x x t +-=和210x x t ++=均有两个解，由11140,140t t ∆=+>∆=->，解得11144t -<<，又10t ≠，故11144t -<<且10t ≠，即1111441()e e 2,e e t t k f t --⎛⎫==+∈+ ⎪⎝⎭.故选：A【点睛】方法点睛：复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.若tan α=，则下列与角α的终边可能相同的角是（）A.4π3B.5π3C.ππ3k +，k ∈Z D.2π2π3k -，k ∈Z 【答案】ACD 【解析】【分析】通过正切函数值相等，分析判断对应角的终边是否相同.【详解】对于A ，4πtan 3=，因此A 正确；对于B ，5πtan3=B 不正确；对于C ，πtan π3k ⎛⎫+=⎪⎝⎭，因此C 正确；对于D ，2πtan 2π3k ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因此D 正确。

重庆巴蜀中学教育集团2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题(解析版)

重庆市巴蜀中学教育集团高2027届高一（上）月考考试数学试卷（命题人：先莹莹､唐莲骄，审题人：何方印）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号､班级､学校在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟.一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{16}A xx =−<<∣，集合{}351B x x =−>∣，则A B = （） A. {16}x x −<<∣B. {26}x x <<∣C. {12}x x −<<∣D. ∅【答案】B【解析】【分析】解不等式化简集合B .【详解】依题意，{|2}B x x ，而{16}A xx =−<<∣，所以{|26}A Bx x =<< . 故选：B2. 命题2:,3450p x M x x ∀∈++≥的否定是（）A. 2,3450x M x x ∀∉++≥B. 2,3450x M x x ∀∈++<C. 2,3450x M x x ∃∈++≥D. 2,3450x M x x ∃∈++<【答案】D【解析】【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解.【详解】2,3450x M x x ∀∈++≥的否定是2,3450x M x x ∃∈++<.故选：D3. 函数()f x = ）A. {2x x ≥∣或1}x ≤B. {2x x >∣或1}x <C. {}12xx ≤≤∣ D. {12}x x <<∣ 【答案】B【解析】【分析】利用函数有意义，列出不等式并求解即得.【详解】函数()f x =有意义，则2320x x −+>，解得1x <或2x >，所以函数()f x ={2xx >∣或1}x <. 故选：B 4. 已知命题:1p a >且1b >，命题()():110q a b −−>，则命题p 是命题q 的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】若1a >且1b >，则10,10a b −>−>，即(1)(1)0a b −−>，因此p q ⇒，若(1)(1)0a b −−>，则1a >且1b >，或1a <且1b <，即q 不能推出p ，所以命题p 是命题q 的充分不必要条件.故选：A5. 若{}{}2,1,0,2,1A a a B a =+=，满足A B A = ，则a =（） A. 0B. 1±C. 1D. 1−【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用并集的结果，结合元素的互异性求解即得.【详解】由集合{}2,1,0A a a =+，得20a ≠，且10a +≠，则0a ≠且1a ≠−，由A B A = ，得B A ⊆，又11a +≠且20a ≠，因此2121a a a += =，所以1a =.故选：C6. 已知220,0,1,424x y M x y N x y >>=++=−−，则（）A. M N >B. M N <C. M ND. M N ､的大小与x y ､的取值有关【答案】A【解析】【分析】用作差法比较代数式大小即可. 详解】()221424M N x y x y −=++−−− ()()22210x y =−++≥当且仅当2,1x y ==−时取等号，但0,0x y >>，则无法取到等号，故0M N −>，即M N >.故选：A.7. 已知正数,x y 满足1211x y +=+，则2x y +的最小值是（） A. 8B. 7C. 6D. 5 【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【详解】由正数,x y 满足1211x y +=+，得222(1)2[2(1)12)1](x y x y x yy x +=++++−=+−+4(1)2261x y y x +=++≥+=+，当且仅当4(1)1x y y x +=+，即2(1)4y x =+=时取等号，【所以当1,4x y ==时，2x y +取得最小值6. 故选：C8. 为了更加深入地了解重庆，高一某班倡导学生利用周末时间去参观洪崖洞，南山一棵树，磁器口这三个地方.调查发现该班共有55名同学，其中31个同学去了洪崖洞，21个同学去了南山一棵树，30个同学去了磁器口，同时去了洪崖洞和南山一棵树的有10人，同时去了南山一棵树和磁器口的有7人，每个人至少去了一个地方，没有人同时去三个地方，则只去了一个地方的有（）人A. 24B. 26C. 28D. 30【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用容斥原理列式计算即得.【详解】设去了洪崖洞的同学组成集合A ，去了南山一棵树的同学组成集合B ，去了磁器口的同学组成集合C ，依题意，()55,()31,()21,()30,()10,()7n A B C n A n B n C n A B n B C ====== ，而()0n A B C = ，由容斥原理得55312130107()n A C =++−−− ，解得()10n A C = ，所以只去了一个地方的有551071028−−−=(人).故选：C二､多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知a b c >>，则下列不等式恒成立的是（） A. 11a b < B. ac bc > C. 2a b c +> D. 11a b a c>−− 【答案】CD【解析】【分析】根据a b c >>，取特殊值即可排除错误选项，再根据不等式性质，利用作差法可得到正确选项．【详解】对于A ，取1,1a b ==−，满足a b >，同时11a b>，故错误；对于B ：取2,1,0a b c ===，满足a b c >>，此时ac bc =，故错误；对于C ：由a b c >>，可得2a b c c c +>+=，正确；对于D ：由a b c >>，的得0a c a b −>−>，由不等式的性质可得：11a b a c>−−，正确；故选：CD10. 命题“2,(1)(22)30x a x a x ∀∈−+−−<R ”为真命题的充分不必要条件是（）A. 20a −<<B. 21a −<<C. 22a −<<D. 23a −<<【答案】AB【解析】【分析】利用一元二次不等式恒成立求出a 的范围，再利用充分不必要条件的定义判断得解.【详解】由2,(1)(22)30x a x a x ∀∈−+−−<R ，得当1a =时，30−<成立，则1a =，当1a ≠时，2104(1)12(1)0a a a −< −+−<，解得21a −<<，因此21a −<≤，显然(2,0)− (2,1]−，(2,1)− (2,1]−，而22a −<<和23a −<<都不能推出21a −<≤，AB 是，CD 不是.故选：AB11. 已知0,0a b >>，满足3ab a b =++，则下列式子正确的是（）A. ab 最小值是9B. a b +的最小值是6C. 1111a b +−+的最小值是12 D. 4a b +的最小值是13【答案】ABD【解析】【分析】对AB ，利用基本不等式构造出关于a b +的一元二次不等式，解出即可；对CD ，利用减少变量的方法，再结合基本不等式即可.详解】对A ，0,0a b >>，33ab a b ∴=++≥+，230∴−−≥，3,9ab ≥∴≥，当且仅当3a b ==时等号成立.故A 选项正确；对B ，0,0a b >> ，232a b ab a b + ∴=++≤，2()4()120a b a b ∴+−+−≥ 6a b ∴+≥，当且仅当3a b ==时等号成立故B 选项正确；的【.对C ，11(1)(1)4,14b a b a −−−=∴=− ，111111111114141222b b a b b b −+∴+=+=+−≥−=−+++，当且仅当1141b b +=+，即1b =时等号成立，但是1b =时，a 无解，1b ∴≠，故C 选项错误；对D ，34111a b a a +==+−− ，因为0b >，则301a b a +>−，解得1a >或3a <−，因为0a >，则1a >，则10a −>，444414(1)551311a b a a a a ∴+=++=−++≥+=−−，当且仅当44(1)1a a −=−，即2,5a b ==时等号成立.故D 选项正确. 故选：ABD. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12. 已知{}*25A x x =∈−≤≤N ∣，它的非空真子集的个数为______. 【答案】30【解析】【分析】利用列举法表示集合A ，进而求出其非空真子集的个数.【详解】依题意，{1,2,3,4,5}A =，所以集合A 的非空真子集的个数为52230−=.故答案为：3013. 已知关于x 的方程220x mx +−=有两个实根12,x x ，满足22128x x +=，则实数m =______. 【答案】2±【解析】【分析】根据给定条件，利用韦达定理列式计算即得.【详解】方程220x mx +−=中，280m ∆=+>，而12,x x 是该方程的两个实根，于是1212,2x x m x x +=−=−，由22128x x +=，得21212()28x x x x +−=，即248m +=，解得2m =±，所以实数2m =±.故答案为：2±14. 存在正数,x y()4x y λ≥++成立，则λ的最大值是______.【解析】2133=.【详解】0,0,x y λ>>∴≤2133≤ 当且仅当21,433x y y =，即8,12x y ==时等号成立. λλ∴≤.. 四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15. 已知集合2{||21|5},{|280}A x x B x x x =−<=+−≤.（1）求集合,A B .（2）求,()A B A B ∪∩R .【答案】（1）{|23}Ax x =−<<，{|42}B x x =−≤≤；（2）{|43}A B x x =−≤< ，(){|42}A B x x =−≤≤−R . 【解析】【分析】（1）解不等式化简求出集合,A B .（2）由（1）的结论，利用并集、补集、交集的定义求解即得.【小问1详解】解不等式|21|5x −<，得5215−<−<x ，即23x −<<，因此{|23}Ax x =−<<；解不等式2280x x +−≤，得42x −≤≤，所以{|42}B x x =−≤≤. 【小问2详解】由（1）知，{|23}A x x =−<<，{|42}B x x =−≤≤，则R {|2Ax x =≤− 或3}x ≥，所以{|43}A B x x =−≤< ，(){|42}A B x x ∩=−≤≤−R . 16. 为了促进黄花园校区与张家花园校区之间的便利往来，学校计划在明德楼旁修建电梯.根据公司的报价，购买并安装电梯的费用为25万元，每年在电力､安保等常规管理支出为3万元，使用x 年时，电梯保养的总维护费用为2189x x +万元. （1）设电梯的年平均使用费用为y 万元，求y 关于x 的表达式（注：年平均使用费用=总费用使用时间，单位：万元/年）；（2）考虑到电梯使用年限和经济效益，这部电梯使用多少年后，年平均使用费用最少？【答案】（1）()*255N 9x yx x ++∈ （2）15年.【解析】【分析】（1y 关于x 的表达式；（2）由2559x y x ++，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】由题意，电梯安装费用是25万元，使用x 年时，管理支出为3xx 万元，电梯的保养修费用为2189x x +万元，所以y 关于x 的表达式为()2*182532595N 9x x x x y x x x +++++∈. 【小问2详解】25255593x y x =++≥+= 当且仅当259x x =，即15x =时等号成立. 则这部电梯使用15年后，年平均使用费用最少..17. 已知集合22{|(45)(4)(10)0},{|12}A x x x x x B x a x a a =−−−−≤=+<<−−.（1）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.（2）若A B A = ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）3a <−；（2）23a −≤≤−或4a =.【解析】【分析】（1）解不等式化简集合A ，再利用充分不必要条件的定义列式求解.（2）由（1）的信息，利用并集的结果，结合集合的包含关系列式求解.【小问1详解】由不等式2(45)(4)(10)0x x x x −−−−≤，得2450(4)(10)0x x x x −−≤ −−≥ 或2450(4)(10)0x x x x −−≥ −−≤，解(1)(5)0(4)(10)0x x x x +−≤ −−≥ ，得14x −≤≤，解(1)(5)0(4)(10)0x x x x +−≥ −−≤，得510x ≤≤，因此{|14Ax x =−≤≤或510}x ≤≤，由“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，得A B ，则�aa +1<−1aa 2−aa −2>10，即�aa <−2(aa +3)(aa −4)>0，解得3a <−，所以实数a 的取值范围是3a <−.【小问2详解】由（1）知{|14Ax x =−≤≤或510}x ≤≤，由A B A = ，得B A ⊆，当B =∅时，212a a a +≥−−，即2230a a −−≤，解得13a −≤≤，满足B A ⊆，则13a −≤≤，当B ≠∅时，21124a a a −≤+<−−≤或251210a a a ≤+<−−≤，解21124a a a −≤+<−−≤，即�aa ≥−2(aa +1)(aa −3)>0(aa +2)(aa −3)≤0，解得21a −≤<−，解251210a a a ≤+<−−≤，即�aa ≥4(aa +1)(aa −3)>0(aa +3)(aa −4)≤0，解得4a =，则21a −≤<−或4a =，所以实数a 的取值范围是23a −≤≤−或4a =.18. 已知关于x 的不等式(21)(,)2a xb a b x −>∈−R .（1）若1,0a b =−=，解上述不等式. （2）若不等式的解集为{1xx <∣或2}x >，求b a 的值. （3）当1b =时，解上述不等式.【答案】（1）1{|2}2x x <<；（2）1−；（3）答案见解析.【解析】【分析】（1）把1,0a b =−=代入，转化为一元二次不等式求解. （2）化不等式为一元二次不等式，再利用给定的解集，结合一元二次不等式与一元二次方程的关系求解. （3）把1b =代入，化不等式为一元二次不等式，再分类讨论解含参的不等式即可.【小问1详解】当1,0a b =−=时，不等式(21)02x x −−>−化为(21)(2)0x x −−<，解得122x <<，所以不等式的解集为1{|2}2x x <<. 【小问2详解】不等式(21)2a xb x −>−0>，即[(2)(2)](2)0a b x a b x −−−−>，依题意，20a b −>，且1,2是方程[(2)(2)](2)0a b x a b x −−−−=的二根，即0a b +=，所以1a b=−. 【小问3详解】当1b =时，不等式(21)12a x x −>−化为(21)(2)02a x a x −−−>−，即[(21)(2)](2)0a x a x −−−−>，当210a −=，即12a =时，3(2)02x −>，解得2x >；当210a −>，即12a >时，2()(2)021a x x a −−−>−，而23202121a a a a −−=>−−，解得221a x a −<−或2x >；当210a −<，即12a <时，2()(2)021a x x a −−−<−，而2322121a a a a −−=−−，若0a =，则不等式2(2)0x −<无解，若102a <<，则2221a a −<−，解得2221a x a −<<−，若0a <，则2221a a −<−，解得2221a x a −<<−，所以当12a >时，原不等式的解集为2{|2}21a x x x a −<>−或；当12a =时，原不等式的解集为{|2}x x >；当102a <<时，原不等式的解集为2{|2}21a x x a −<<−；当0a =时，原不等式的解集为∅；当0a <时，原不等式的解集为2{|2}21a x x a −<<−. 19. 已知非空实数集,X Y 满足：若a X ∈，则11a X a +∈−；若b Y ∈，则11Y b −∈+. （1）若2X ∈，直接写出X 中一定包含的元素.（2）若Y 由三个元素组成，且所有元素之和为32−，求Y . （3）若X Y 由2027个元素组成，求X Y ∩的元素个数的最大值.【答案】（1）113,,,223−−；（2）1{2,1,}2Y =−−；（3）674.【解析】【分析】（1）由数集X 的属性求出X 中一定包含的元素.（2）令t Y ∈，求出Y 中的3个元素，进出求出t 值，得数集Y .（3）求出数集,X Y 中元素组成形式，结合元素循环的最小正周期，再分类讨论求出X Y ∩的元素个数的最大值.【小问1详解】若a X ∈，则11a X a+∈−，于是2X ∈，12312X +=−∈−，1(3)11(3)2X +−=−∈−−， 11()12131()2X +−=∈−−，1132113X +=∈−，所以数集X 中一定包含的元素为113,,,223−−.【小问2详解】若b Y ∈，则11Y b −∈+，于是令t Y ∈，11Y t −∈+，11111t Y t t+−=−∈−+， 111t Y t t−=∈+−，显然1111,,11t t t t t t t t ++=−=−−=−++都无实数解，因此11,,1t t t t+−−+是数集Y 中的三个元素，由11312t t t t +−−=−+，整理得32331022t t t +−−=，即25(1)(1)02t t t −++=，解得2t =−或12t =−或1t =，所以1{2,,1}2Y =−−. 【小问3详解】当s X ∈时，11s X s +∈−，1111111s s X s s s ++−=−∈+−−，111111s s X s s −−=∈++，111111s s s X s s −++=∈−−+，而11s s s +=−无实数解，11111,,11111111,,s s s s s s s s s s s s s s s −+−+−+−+==−−−==−+=均无实数解，因此数集X 是以}1{,1111,,s s s s s s +−−+−形式，4个数为一组出现，组与组之间无公共元素，且1,0,1X −∉，数集Y 是以11{,,}1t t t t+−−+形式，3个数为一组出现，组与组之间无公共元素，且1,0Y −∉，于是数集,X Y 的元素个数分别是以4和3为最小正周期循环，且当s t =时，1111s s t+≠−−+，而4和3互素，因此数集,X Y 中各组最多只能有1个公共元素，设集合X 中共有m 个元素，满足m 是4的整数倍，其中有n 个元素在X Y ∩中，满足m n ≤，由同一周期内元素不相等，得这n 个元素在集合Y 中归属于不同组内，则集合Y 中有3n 个元素，同时在Y 内还有k 个元素，并满足k 是3的整数倍，0k ≥，于是32027m n p n ++−=，显然2027233m n k n k n =++≥+≥，解得675n ≤，当675n =时，不存在符合条件的整数,m k ，当674n =时，676,3m k ==，符合题意，n 的最大值为674；设集合Y 中共有p 个元素，满足p 是3的整数倍，其中有q 个元素在X Y ∩中，满足q p ≤，同理，集合X 中有4q 个元素，同时在X 中还有l 个元素，满足l 是4的整数倍，0l ≥，于是42027p q q l +−+=，显然2027344p q l q l q =++≥+≥，解得506q ≤，当506,505q =时，不存在符合条件的整数,p l ，当504q =时，507,8p l ==，符合题意，q 的最大值为504，所以X Y ∩的元素个数的最大值为674.【点睛】关键点点睛：解析第3问的关键是确定集合中元素的构成以及元素的个数表达式.。

2023级巴蜀中学高一上第一次月考数学答案

min
max
解法 2：
∵ 9x2 + y2 + 4xy = 10 −6xy + 4xy = −2xy ，则 xy −5
【解析】
(1)由已知可得 −1和 2 是方程 ax2 + bx + 2 = 0 的根
则
−
2
a
b a
=
=1 −2
，即
a b
= =
−1 1
∴ bx2 + ax −1 = x2 − x −1 0
解得
x
1
− 2
5
,1+ 2
5
......................................................................................................................... 5
参考答案
一、单项选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
A
D
B
C
B
A
C
C
1．【解析】A 选项存在 1 个 x 对应 2 个 y，故不能表示函数，故选 A
2．【解析】A 集合 2 个元素，故有 22 = 4 个子集，故选 D
3．【解析】命题的否定，条件不否定，结论否定，但条件中的“ ”要改存在，故选 B
4．【解析】 −x2 + 4x − 3 0 ，解得 x 1,3 ，故选 C
3
3
3
则 9x2 + y2 30
当
3x
=
−
y
，即
x
=
−
15 3

重庆市2024-2025学年高一上学期10月月考试题数学含答案

重庆高2027届高一上期月考数学试题卷（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号码填写在答题卡上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一､单项选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}432A B x x =≤=，，则A B = （）A.2163xx ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭B.{}316x x ≤< C.223xx ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭D.{}02x x ≤≤2.命题.“230,1x x x ∃<+>”的否定是（）A.230,1x x x ∀≥+≤ B.230,1x x x ∀<+≤ C.230,1x x x ∃<+≤ D.230,1x x x ∃≥+≤3.已知函数()2f x +的定义域为()3,4-，则函数()1g x +=的定义域为（）A.()4,3- B.()2,5- C.1,33⎛⎫⎪⎝⎭D.1,53⎛⎫ ⎪⎝⎭4.使得“[]21,2,0x x x a ∀∈+-≤”为真命题的一个充分不必要条件是（）A.2a ≥ B.2a > C.6a > D.6a ≥5.若正实数,x y 满足3x y +=，且不等式22823m m x y+>-+恒成立，则实数m 的取值范围是（）A.{31}m m -<<∣B.{3m m <-∣或1}m >C.{13}m m -<<∣D.{1mm <-∣或3}m >6.函数()()()245,2231,2x a x x f x a x x ⎧-++<⎪=⎨-+≥⎪⎩满足对12,R x x ∀∈且12x x ≠，都有()()()12120f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦，则实数a 的取值范围是（）A.30,2⎛⎫⎪⎝⎭B.30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.()0,1 D.[]0,17.已知,a b 均为正实数，且1a b +=，则下列选项错误的是（）A.的B.34aa b++的最小值为7+C.()()11a b ++的最大值为94D.2232a b a b +++的最小值为168.含有有限个元素的数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如{}4,6,9的“交替和”是9647-+=；而{}5的交替和是5，则集合{}Z 54M x x =∈-≤≤∣的所有非空子集的“交替和”的总和为（）A.2048B.2024C.1024D.512二､多项选择题.本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知,,a b c ∈R ；则下列不等式一定成立的有（）A.若0ab ≠且a b <，则11a b >B.若0a b >>，则20242024b b a a +<+C.若,a b c d >>，则ac bd >D.()221222a b a b ++≥--10.下列说法正确的是（）A.若p 是q 的必要不充分条件，p 是r 的充要条件，则q 是r 的充分不必要条件B.若关于x 的不等式2430kx kx k -++≥的解集为R ，则实数k 的取值范围是01k <≤C.若不等式()()30x ax b x c-+≤-的解集为[)[)2,13,∞-⋃+，则不等式2320ax ax b --≥的解集为[]1,4-D.“[]()21,3,2130a ax a x a ∃∈---+-<”为假命题的充要条件为[]51,0,43x ⎡⎤∈-⋃⎢⎥⎣⎦11.已知函数()f x 的定义域为[)0,+∞，且满足当[)0,2x ∈时，()22f x x x =-+，当2x ≥时，恒有()()2f x f x λ=-，且λ为非零常数，则下列说法正确的有（）A.()()101320272024f f λ+=B.当12λ=时，反比例函数()1g x x =与()f x 在()0,2024x ∈上的图象有且仅有6个交点C.当0λ<时，()f x 在区间[]2024,2025上单调递减D.当1λ<-时，()f x 在[]()*0,4n n ∈N上的值域为2122,n n λλ--⎡⎤⎣⎦三､填空题.本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合{}210A xx =-=∣，则集合A 有__________个子集.13.已知集合[]()(){}1,4,10A B x x a ax ==+-≤∣，若A B B = 且0a ≥，则实数a 的取值范围是__________.14.若正实数x ，y 满足()()332331423x y x y -+-=--，则2346y x x x y++的最小值为__________.四､解答题､本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知函数()21,122,1x x f x x x ⎧->-⎪=⎨⎪--≤-⎩.（1）若()01f x =，求0x 的值；（2）若()3f a a <+，求实数a 的取值范围.16.已知函数()f x =A ，集合{}321B xx =->∣.（1）求A B ；（2）集合{}321M xa x a =-≤≤-∣，若M ()RA ð，求实数a 的取值范围.17.已知二次函数()f x 的图象过原点()0,0，且对任意x ∈R ，恒有()26231x f x x --≤≤+.（1）求()1f -的值；（2）求函数()f x 的解析式；（3）记函数()g x m x =-，若对任意(]11,6x ∈，均存在[]26,10x ∈，使得()()12f x g x >，求实数m 的取值范围.18.教材中的基本不等式可以推广到n 阶：n 个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数.也即：若12,,,0n a a a >，则有*12,2n a a a n n n+++≥∈≥N ，当且仅当12n a a a === 时取等.利用此结论解决下列问题：（1）若,,0x y z >，求24y z xx y z++的最小值；（2）若10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求()312x x -的最大值，并求取得最大值时的x 的值；（3）对任意*k ∈N ，判断11kk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与1111k k +⎛⎫+ ⎪+⎝⎭的大小关系并加以严格证明.19.已知定义在11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的函数()f x 同时满足下列四个条件：①512f ⎛⎫=-⎪⎝⎭；②对任意12x >，恒有()()0f x f x -+=；③对任意32x >，恒有()0f x <；④对任意,0a b >，恒有111222f a f b f ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（1）求32f ⎛⎫-⎪⎝⎭的值；（2）判断()f x 在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上的单调性，并用定义法证明；（3）若对任意[]1,1t ∈-，恒有()()21232f t k t k -+-+≤，求实数k 的取值范围.重庆高2027届高一上期月考数学试题卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号码填写在答题卡上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一､单项选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}432A B x x =≤=，，则A B = （）A.2163xx ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭B.{}316x x ≤< C.223xx ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭D.{}02x x ≤≤【答案】A 【解析】【分析】根据集合的交集运算法则运算即可.【详解】因为{}{}4016A x x =≤=≤≤，{}2323B x x x x ⎧⎫==>⎨⎩⎭，所以A B = 2163x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭.故选：A .2.命题.“230,1x x x ∃<+>”的否定是（）A.230,1x x x ∀≥+≤B.230,1x x x ∀<+≤ C.230,1x x x ∃<+≤ D.230,1x x x ∃≥+≤【答案】B 【解析】【分析】利用特称命题的否定形式回答即可.【详解】根据特称命题的否定形式可知命题.“230,1x x x ∃<+>”的否定是“230,1x x x ∀<+≤”.故选：B3.已知函数()2f x +的定义域为()3,4-，则函数()1g x +=的定义域为（）A.()4,3- B.()2,5- C.1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭D.1,53⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据抽象函数及具体函数的定义域求解即可.【详解】因为函数()2f x +的定义域为()3,4-，所以函数()f x 的定义域为()1,6-，则对于函数()1g x +=，需满足116310x x -<+<⎧⎨->⎩，解得153x <<，即函数()1g x +=的定义域为1,53⎛⎫⎪⎝⎭.故选：D.4.使得“[]21,2,0x x x a ∀∈+-≤”为真命题的一个充分不必要条件是（）A.2a ≥B.2a >C.6a > D.6a ≥【答案】C 【解析】【分析】对于全称量词命题2[1,2],0x x x a ∀∈+-≤，我们需要先求出使得该命题为真时a 的取值范围，然后再根据充分不必要条件的定义来判断选项.【详解】令2()f x x x =+，[1,2]x ∈.对于二次函数2y ax bx c =++，其对称轴为122b x a =-=-.因为10a =>，所以函数()f x 在[1,2]上单调递增.那么()f x 在[1,2]上的最大值为2max ()(2)226f x f ==+=.因为2[1,2],0x x x a ∀∈+-≤为真命题，即2a x x ≥+在[1,2]上恒成立，所以max ()6a f x ≥=.A 是B 的充分而不必要条件，即值A B ⇒，B A ¿.当6a >时，一定满足6a ≥，所以6a >是6a ≥的充分不必要条件.而2a >时，不能保证一定满足6a ≥，2a ≥时，也不能保证一定满足6a ≥.故选：C.5.若正实数,x y 满足3x y +=，且不等式22823m m x y+>-+恒成立，则实数m 的取值范围是（）A.{31}mm -<<∣ B.{3m m <-∣或1}m > C.{13}m m -<<∣ D.{1mm <-∣或3}m >【答案】C 【解析】【分析】利用基本不等式和常值代换法求得28x y+的最小值，依题得到不等式2236m m -+<，解之即得.【详解】因3x y +=，由28128()()3x y x y x y+=++1281(10)(10633y x x y =++≥+=，当且仅当28y x x y =时取等号，即当1,2x y ==时，28x y+取得最小值6.因不等式22823m m x y+>-+恒成立，故2236m m -+<，即2230m m --<，解得13m -<<.故选：C.6.函数()()()245,2231,2x a x x f x a x x ⎧-++<⎪=⎨-+≥⎪⎩满足对12,R x x ∀∈且12x x ≠，都有()()()12120f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦，则实数a 的取值范围是（）A.30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.()0,1 D.[]0,1【答案】D 【解析】【分析】根据题意，得到()f x 在定义域R 上为单调递减函数，结合分段函数的单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解.【详解】由函数()()()245,2231,2x a x x f x a x x ⎧-++<⎪=⎨-+≥⎪⎩因为函数()y f x =任意12,R x x ∀∈且12x x ≠，都有()()()12120f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦，所以函数()f x 在定义域R 上为单调递减函数，则满足()()242223024252321a a a a +⎧≥⎪⎪-<⎨⎪-+⨯+≥-⨯+⎪⎩，即0321a a a ≥⎧⎪⎪<⎨⎪≤⎪⎩，解得01a ≤≤，所以实数a 的取值范围是[]0,1.故选：D.7.已知,a b 均为正实数，且1a b +=，则下列选项错误的是（）A.B.34a a b++的最小值为7+C.()()11a b ++的最大值为94D.2232a b a b +++的最小值为16【答案】B 【解析】【分析】利用基本不等式可判断AC 的正误，利用“1”的代换可判断B 的正误，利用换元法结合常数代换可判断D 的正误.【详解】选项A：2112,1a b a b +=+≤++===时取等，+A 对；选项B：3433443577a a b a b a b aa b a b a b+++++=+=++≥+，当且仅当35,22a b -==时取等，故34a a b ++的最小值为7+，故B 错选项C ：()()2119111,242a b a b a b +++⎛⎫++≤=== ⎪⎝⎭时取等，故()()11a b ++的最大值为94，故C 对；选项D ：换元，令3,2x a y b =+=+，则6x y +=，故()()222232941032x y a b x y a b x y x y--+=+=+-++++94194251413446666x y y x x y x y ⎛⎫⎛⎫+=+⋅-=++-≥-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1812,55x y ==取等号，故2232a b a b +++的最小值为16，故D 正确；故选：B.8.含有有限个元素的数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如{}4,6,9的“交替和”是9647-+=；而{}5的交替和是5，则集合{}Z 54M x x =∈-≤≤∣的所有非空子集的“交替和”的总和为（）A.2048B.2024C.1024D.512【答案】A 【解析】【分析】将集合M 的子集两两配对(),A B ：使4,4A B ∈∉且{}4B A ⋃=，从而有集合A 与集合B 的交替和之和为4，再利用符合条件的集合对有92个，即可求解.【详解】由题知{}5,4,3,2,1,0,1,2,3,4M =-----，将集合M 的子集两两配对(),A B ：使4,4A B ∈∉且{}4B A ⋃=，则符合条件的集合对有92个，又由题设定义有集合A 与集合B 的交替和之和为4，所以交替和的总和为9114222048⨯==.故选：A.二､多项选择题.本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知,,a b c ∈R ；则下列不等式一定成立的有（）A.若0ab ≠且a b <，则11a b >B.若0a b >>，则20242024b b a a +<+C.若,a b c d >>，则ac bd >D.()221222a b a b ++≥--【答案】BD 【解析】【分析】利用特殊值验证AC 是错误的，利用作差法判断B 的真假，利用配方法证明D 是正确的.【详解】对A ：令1a =-，1b =，则0ab ≠且a b <，但11a b>不成立，故A 错误；对B ：当0a b >>时，()()()20242024202420242024b a a b b b a a a a +-++-=++()()202402024b a a a -=<+，所以20242024b b a a +<+成立，故B 正确；对C ：令3a =-，4b =-，0c =，1d =-，则,a b c d >>，但ac bd >不成立，故C 错误；对D ：因为()()()222212222144a b a b a b a b ++----++++=()()22120a b =-++≥，所以()221222a b a b ++≥--成立，故D 正确.故选：BD10.下列说法正确的是（）A.若p 是q 的必要不充分条件，p 是r 的充要条件，则q 是r 的充分不必要条件B.若关于x 的不等式2430kx kx k -++≥的解集为R ，则实数k 的取值范围是01k <≤C.若不等式()()30x ax b x c-+≤-的解集为[)[)2,13,∞-⋃+，则不等式2320ax ax b --≥的解集为[]1,4-D.“[]()21,3,2130a ax a x a ∃∈---+-<”为假命题的充要条件为[]51,0,43x ⎡⎤∈-⋃⎢⎥⎣⎦【答案】ACD 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的概念判断A ，分类讨论求出k 的范围判断B ，根据数轴穿根法及不等式的解集求出ba及0a <解不等式判断C ，由命题的否定转化为不等式恒成立，看作关于a 的不等式恒成立即可判断D.【详解】对A ，若p 是q 的必要不充分条件，p 是r 的充要条件，则q p r ⇒⇔，但是p 不能推出q ，所以q r ⇒，但是r 不能推出q ，所以q 是r 的充分不必要条件，故A 正确；对B ，当0k =时，原不等式为03≥，恒成立满足题意，当0k ≠时，由题意需满足()2Δ16430k k k k >⎧⎨=-⋅+≤⎩，解得01k <≤，综上，实数k 的取值范围是01k ≤≤，故B 错误；对C ，由不等式()()30x ax b x c-+≤-的解集为[)[)2,13,∞-⋃+，结合数轴穿根法知，1,2bc a==，且0a <，所以不等式2320ax ax b --≥可化为2340x x --≤，解得14x -≤≤，故C 正确；对D ，由题意知[]()21,3,2130a ax a x a ∀∈---+-≥为真命题，则()22130a x x x --++≥在[]1,3a ∈-时恒成立，令()2()213g a a x x x =--++，只需()()2213403350g x x g x x ⎧-=-++≥⎪⎨=-≥⎪⎩，则14503x x x -≤≤⎧⎪⎨≥≤⎪⎩或，解得[]51,0,43x ⎡⎤∈-⋃⎢⎥⎣⎦，故D 正确.故选：ACD11.已知函数()f x 的定义域为[)0,+∞，且满足当[)0,2x ∈时，()22f x x x =-+，当2x ≥时，恒有()()2f x f x λ=-，且λ为非零常数，则下列说法正确的有（）A.()()101320272024f f λ+=B.当12λ=时，反比例函数()1g x x =与()f x 在()0,2024x ∈上的图象有且仅有6个交点C.当0λ<时，()f x 在区间[]2024,2025上单调递减D.当1λ<-时，()f x 在[]()*0,4n n ∈N 上的值域为2122,n n λλ--⎡⎤⎣⎦【答案】ABD 【解析】【分析】根据所给函数解析式直接求解判断A ，根据()f x 的性质及(),()g x f x 图象判断B ，归纳出()f x 在[]2024,2025上的解析式判断C ，根据规律，归纳值域特点判断D.【详解】选项A ：()()()()()210121013101320272025202331f f f f f λλλλλ====== ，()()()()()210111012202420222020200f f f f f λλλλ====== ，则()()101320272024f f λ+=，所以选项A 正确；选项B ：由()()122f x f x =-知，()0,2024x ∈时，()()()()()[)()()[)()()[)210112,0,2124,2,42146,4,62120222024,2022,20242x x x x x x f x x x x x x x ⎧-∈⎪⎪--∈⎪⎪⎪=--∈⎨⎪⎪⎪⎪--∈⎪⎩ ，由于()()()()()()1111111,33,553254g f g f g f ===<==<=，但()()()()31011111177,202320237220232g f g f =>==>= ，作,的图象，如图，结合图象可知()0,6x ∈上有2226++=个交点，在[)6,2024x ∈上无交点，故选项B 正确；选项C ：[]2024,2025x ∈时，()()()1012120242026f x x x λ=--，故()f x 在[]2024,2025上单增，故C 错误；选项D ：因为1λ<-，所以当[]0,4x ∈时，值域为[],1λ；当[]0,8x ∈时，值域为32,λλ⎡⎤⎣⎦；当[]0,12x ∈时，值域为54,λλ⎡⎤⎣⎦；当[]0,16x ∈时，值域为76,λλ⎡⎤⎣⎦；L 当[]0,4x n ∈时，值域为2122,n n λλ--⎡⎤⎣⎦，故D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：根据所给函数解析式，可知函数类似周期特点，图象形状类似，振幅有规律变化，据此可归纳函数的性质是解题的关键所在.三､填空题.本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合{}210A xx =-=∣，则集合A 有__________个子集.【答案】4【解析】【分析】求出集合A ，列举出集合A 的子集即可.【详解】因2{10}{1,1}A x x =-==-∣，故集合A 的子集有,{1},{1},{1,1}∅--共4个.故答案为：4.13.已知集合[]()(){}1,4,10A B x x a ax ==+-≤∣，若A B B = 且0a ≥，则实数a 的取值范围是__________.【答案】10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】根据集合的包含关系，讨论0a =和0a >两种情况，求集合B ，再比较端点值，即可求解.【详解】因为A B B = ，所以A B ⊆，因为()(){}10B x x a ax =+-≤∣，且0a ≥：1 当0a =时，[)0,B ∞=+，符合题意；2当0a >时，1,B a a ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，则11404a a ≥⇒<≤，综上，10,4a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故答案为：10,4⎡⎤⎢⎣⎦14.若正实数x ，y 满足()()332331423x y x y -+-=--，则2346y x x x y++的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】根据函数的单调性可知243x y =-，代入可得234386y x y xx x y x y++=+，根据基本不等式可得最值.【详解】由题可知()()()()3323231313x x y y -+-=-+-，因为3,y t y t ==在R 上单调递增，所以()3g t t t =+在R 上单增，所以上式可表示为()()2313g x g y -=-，则2313x y -=-，即243x y =-，因此()22433433866x y y x y y x x x x y x y x y -++=++=+≥=当且仅当38243y x x y x y⎧=⎪⎨⎪=-⎩即25x -=，2415y -=时等号成立，故答案为：.四､解答题､本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知函数()21,122,1x x f x x x ⎧->-⎪=⎨⎪--≤-⎩.（1）若()01f x =，求0x 的值；（2）若()3f a a <+，求实数a 的取值范围.【答案】（1）02x =或3-（2）5,42⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据分段函数定义分类列方程求解；（2）根据分段函数定义分类列不等式求解．【小问1详解】由()01f x =可得：1∘>−1−1=1⇒0=20=−2舍去）0000123,,23;21x x x x ≤-⎧⇒=-=-⎨--=⎩ 综上或【小问2详解】由()3f a a <+可得：1∘>−11<+3⇒>−12−2−8<0⇒>−1−2<<4⇒∈−1,4；2∘≤−1−−2<+3⇒≤−1>−52⇒∈−52,−1综上可得5,42a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭.16.已知函数()f x =A ，集合{}321B xx =->∣.（1）求A B ；（2）集合{}321M xa x a =-≤≤-∣，若M ()RA ð，求实数a 的取值范围.【答案】（1）3{|4A B x x =≤ 或1}x >（2）3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据条件，先求出集合,A B ，再利用集合的运算，即可求解；（2）由（1）可得R 3,24A ⎛⎤= ⎥⎝⎦ð，再根据条件，分M =∅和M 蛊两种情况讨论，即可求解.【小问1详解】由5402x +≥-,即4302x x -≥-，得到2x >或34x ≤，所以3{|4A x x =≤或2}x >，又由321x ->，得到321x -<-或321x ->，即13x <或1x >，所以1{3B x =<或1}x >，所以3{|4A B x x =≤ 或1}x >.【小问2详解】因为3{|4A x x =≤或2}x >，所以R 3,24A ⎛⎤= ⎥⎝⎦ð，①当321a a ->-，即43a <时，此时M =∅()RA ð，所以43a <满足题意，②当43a ≥，即M 蛊时，由题有212334a a -≤⎧⎪⎨->⎪⎩，解得4332a ≤≤，综上，实数a 的取值范围是3,2a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦.17.已知二次函数()f x 的图象过原点()0,0，且对任意x ∈R ，恒有()26231x f x x --≤≤+.（1）求()1f -的值；（2）求函数()f x 的解析式；（3）记函数()g x m x =-，若对任意(]11,6x ∈，均存在[]26,10x ∈，使得()()12f x g x >，求实数m 的取值范围.【答案】（1）4（2）()222f x x x=-（3）(],10-∞【解析】【分析】（1）令1x =-即可求出()1f -.（2）根据条件，先设出二次函数的解析式，再根据()26231x f x x --≤≤+恒成立，可求待定系数.（3）问题转化成()f x 在区间(]1,6的最小值不小于()g x 在[]6,10上的最小值求参数的取值范围.【小问1详解】在不等式()26231x f x x --≤≤+，令()()141414x f f =-⇒≤-≤⇒-=.【小问2详解】因为()f x 为二次函数且图象过原点()0,0，所以可设()()2,0f x ax bx a =+≠，由()1444f a b b a -=⇒-=⇒=-，于是()()24f x ax a x =+-，由题：()()262220,f x x ax a x x ≥--⇔+++≥∈R 恒成立⇔>0Δ≤0⇔>0+22−8=−22≤0⇒=2,=−2⇒=22−2，检验知此时满足()()223110,f x x x x ≤+⇔+≥∈R ，故()222f x x x =-.【小问3详解】函数()222f x x x =-，开口向上，对称轴12x =，所以()222f x x x =-在区间(]1,6上单调递增，因此，(]11,6x ∈时，()()()(11,6f x f f ⎤∈⎦，即()(]10,60f x ∈，而()g x m x =-在[]6,10上单调递减，所以[]26,10x ∈时，()[]210,6g x m m ∈--因为对任意(]11,6x ∈，均存在[]26,10x ∈，使得()()12f x g x >，等价于()()(]110010,10f g m m ∞≥⇒≥-⇒∈-18.教材中的基本不等式可以推广到n 阶：n 个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数.也即：若12,,,0n a a a > ，则有*12,2n a a a n n n +++≥∈≥N ，当且仅当12n a a a === 时取等.利用此结论解决下列问题：（1）若,,0x y z >，求24y z x x y z++的最小值；（2）若10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求()312x x -的最大值，并求取得最大值时的x 的值；（3）对任意*k ∈N ，判断11kk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与1111k k +⎛⎫+ ⎪+⎝⎭的大小关系并加以严格证明.【答案】（1）6（2）最大值为272048，38x =（3）1*1111,1kk k k k +⎛⎫⎛⎫+<+∈ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭N ，证明见解析【解析】【分析】（1）根据三阶基本不等式的内容直接可得解；（2）由()()32722212128333x x xx x x -=⋅⋅⋅⋅-，结合四阶基本不等式可得最值；（3）猜测111111kk k k +⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，*k ∈N 成立，验证1k =不等式成立；结合推广公式证明2k ≥结论成立.【小问1详解】因为,,0x y z >，所以由三阶基本不等式可得：246y z x x y z ++≥，当且仅当24y z xx y z==即2y z x ==时取等号，因此24y z x x y z++的最小值为6；【小问2详解】当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，由四阶基本不等式可得：()()()432221227222272733312128333842048x x x x x x x x x x ⎛⎫+++- ⎪-=⋅⋅⋅⋅-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2123xx =-即310,82x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭时取等号，因此()312x x -的最大值为272048；【小问3详解】大小关系为111111kk k k +⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，*k ∈N ，证明如下：由条件可知：12,,,0n a a a > 时，*1212,,2nn n a a a a a a n n n +++⎛⎫⋅≤∈≥ ⎪⎝⎭N ，当1k =时，左边11121⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，右边219124⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，左边<右边，不等式成立；当2k ≥，*k ∈N 时，由1k +阶基本不等式，可知：不等式左边111111111kk k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()(1)1111111111(11)11()111k k k k k k k k k k k k k ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++ ⎪⎪ ⎪⎪⎛⎫++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪≤== ⎪+++ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭个个1111k k +⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭而111k ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭，因此上式的不等号取不到等号，于是1111111111kk k k k k k ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<=+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，综上，原不等式得证.19.已知定义在11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的函数()f x 同时满足下列四个条件：①512f ⎛⎫=-⎪⎝⎭；②对任意12x >，恒有()()0f x f x -+=；③对任意32x >，恒有()0f x <；④对任意,0a b >，恒有111222f a f b f ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（1）求32f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；（2）判断()f x 在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上的单调性，并用定义法证明；（3）若对任意[]1,1t ∈-，恒有()()21232f t k t k -+-+≤，求实数k 的取值范围.【答案】（1）0（2）()f x 在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减，证明见解析（3）3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）令1a b ==可得302f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，再由()()0f x f x -+=，即可得出答案；（2）由单调性的定义证明即可；（3）由单调性和奇偶性列出不等式，再结合二次函数的性质求解即可.【小问1详解】在111222f a f b f ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭中令333120222a b ff f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⇒=⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（或令53532,102222a b f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⇒+=⇒=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭).而()()333000222f x f x f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=⇒-+=⇒-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【小问2详解】()f x 在1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减.下证明：由④知：对任意,0a b >，恒有111222f ab f b f a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.证一：任取2112x x >>，于是()()22211111111111122112222222x x f x f x f x f x f x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⋅-+--+=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭因为2112x x >>，所以2111022x x ->->221111132********x x x x --⇒>⇒+>--，而对任意32x >时恒有()0f x <，故211120122x f x ⎛⎫- ⎪+<⎪ ⎪-⎝⎭，即()()210f x f x -<，所以()f x 在1,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭上单调递减，证毕；证二：任取2112x x >>，设2111,,1,022x mn x n m n =+=+>>()()21111222f x f x f mn f n f m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为131.22m m >+>，所以102f m ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即()()21f x f x <，也即()f x 在1,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭单调递减,证毕；【小问3详解】在111222f a f b f ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭中：令5599222222a b f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⇒+=⇒=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而()()0f x f x -+=，于是922f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭令139339,402442242a b f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⇒+==⇒=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由（2）知()f x 在1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减，又()()0f x f x -+=，可得()f x 在1,2∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭上也单调递减，如图，可知不等式()()21232f t k t k -+-+≤等价于：对任意[]11t ,∈-，不等式()231234t k t k -+-+≥……①或者()29112322t k t k -≤-+-+<-恒成立，……②法一：令()()[]2123,1,1g t t k t k t =-+-+∈-立，因为()g t 开口向下，由()g t 图像可知：不等式①()()11313204;334144k g k g k ⎧⎧≥-≥⎪⎪⎪⎪⇔⇒⇒≥⎨⎨⎪⎪≥≥⎪⎪⎩⎩对于②，当1t =±时，由()()1391121022919112222k g k g k ∅⎧⎧-≤<-≤-<-⎪⎪⎪⎪⇒⇒∈⎨⎨⎪⎪-≤<--≤<-⎪⎪⎩⎩，即一定不存在k 满足②.综上取并，得3,4k ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭法二：令()()[]()2123,1,1,g t t k t k t g t =-+-+∈-开口向下，对称轴为12t k =-，且()()211152,1,224g k g k g k k k ⎛⎫-=-=-=++ ⎪⎝⎭，1 当112k -<-即32k >时，问题等价于>321≥34或>32−1<−121≥−92,解得32k >；2 当1102k -≤-≤即1322k ≤≤时，等价于()1322314k g ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩或()13221133,;2242912k g k k g ⎧≤≤⎪⎪⎪⎛⎫⎡⎤-<-⇒∈⎨ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎪⎪≥-⎪⎩3 当1012k <-≤即1122k -≤<时，问题等价于()1122314k g ⎧-≤<⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩或()11221122912k g k g ⎧-≤<⎪⎪⎪⎛⎫-<-⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-≥-⎪⎩，解得k ∈∅；4 当112k ->即12k <-时，问题等价于()12314k g ⎧<-⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩或()()12112912k g g ⎧<-⎪⎪⎪<-⎨⎪⎪-≥-⎪⎩，解得k ∈∅；综上，3,4k ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭.。

2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试卷含答案

数学试卷考试时间：120分钟；一、单选题（12小题，每小题5分，共60分）1．设集合{}3A x x =<，{}2,B x x k k ==∈Z ，则AB =（） A ．{}0,2 B ．{}2,2-C ．2,0,2D ．{}2,1,0,1,2-- 2．下列各组函数表示同一函数的是（）A ．()2f x x =()2f x x = B ．(),0,0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩与()g t t = C ．21y x =-11y x x =+-D ．()1f x =与()0g x x = 3．已知函数()1f x +的定义域为[]2,1-，则函数()()122g x f x x =+--的定义域为 A ．[1,4] B ．[0,3] C ．[1,2)(2,4]⋃ D ．[1,2)(2,3]⋃4．已知函数1,2()(3),2x x f x f x x ⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩，则(1)(9)f f -=（） A ．1- B ．2- C ．6 D ．75．下列四个函数中，在()0,∞+上为增函数的是（）．A ．()3f x x =-B ．()23f x x x =-C ．()11f x x =-+D ．()f x x =-6．在映射f ：M N →中，(){},,,M x y x y x y R =<∈，(){},,N x y x y R =∈，M 中的元素(),x y 对应到N 中的元素(),xy x y +，则N 中的元素()4,5的原象为（） A ．()4,1 B ．()20,1C ．()1,4D ．()1,4和()4,1 7．已知全集U =R ，集合91A x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭和{}44,B x x x Z =-<<∈关系的Venn 图如图所示，则阴影部分所表示集合中的元素共有（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．无穷多个 8．函数24y x x -+ ）A ．(],4-∞B ．(],2-∞C ．[]0,2D ．[]0,49．已知函数()()()22,12136,(1)x ax x f x a x a x ⎧-+⎪=⎨--+>⎪⎩，若()f x 在(),-∞+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（）A ．1(,1]2 B ．1(,)2+∞ C ．[1，)+∞ D ．[1，2]10．函数()f x 是奇函数，且在∞（0，+）内是增函数，(3)0f -=，则不等式()0xf x <的解集为（）A ．∞（-3,0）（3，+）B ．∞（-，-3）（0,3）C ．∞∞（-，-3）（3，+）D ．（-3,0）（0,3）11．已知函数24y x x =-+-的最小值为（）A ．6B ．2-C ．6-D ．212．已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，对任意的1x ，[]21,1x ∈-，均有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +≥+.且当[]0,1x ∈时，()25x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()11f x f x =--，那么表达式1901913193202020202020202020f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（） A ．654- B ．65- C ．1314- D ．1312-二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知幂函数()f x 的图象经过3,3)，则函数2)f =_____14．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：则满足f(g(x))＝g(f(x))的x 的值为________. x 1 23 4f(x)1 3 1 3 g(x)3 2 3 215．已知32()(2)5f x m x nx =+++是定义在[,4]n n +上的偶函数，则2m n +等于_______. 16．某同学在研究函数 f （x ）=1x x+（x ∈R ）时，分别给出下面几个结论： ①等式f （-x ）=-f （x ）在x ∈R 时恒成立；②函数f （x ）的值域为（-1，1）；③若x 1≠x 2，则一定有f （x 1）≠f （x 2）；④方程f （x ）=x 在R 上有三个根．其中正确结论的序号有______．（请将你认为正确的结论的序号都填上）三、解答题（共70分）17（10分）．已知集合{|121}A x a x a =-<<+，{}B 03x x =<≤，U =R . （1）若12a =，求A B ⋃；()U A C B ⋂．（2）若A B φ⋂=，求实数a 的取值范围. 18（12分）．设函数()1,00,01,0x D x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，()()()42D x f x x =-.（1）写出x ∈R 时分段函数()f x 的解析式；（2）当()f x 的定义域为[]3,3-时，画出()f x 图象的简图并写出()f x 的单调区间.19（12分）．已知函数2()21f x x ax a =-++-，（1）若2a =，求()f x 在区间[0,3]上的最小值；（2）若()f x 在区间[0,1]上有最大值3，求实数a 的值.20（12分）．已知函数()m f x x x=+，()12f =. （1）判定函数()f x 在[)1,+∞的单调性，并用定义证明；（2）若()a f x x -<在()1,+∞恒成立，求实数a 的取值范围.21（12分）．已知函数()1f x x x =-（1）求()f x 单调区间（2）求[0,]x a ∈时，函数的最大值.22（12分）．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()2f x x x =+. （1）求(0)f 的值；（2）求此函数在R 上的解析式；（3）若对任意t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f k t -+-<恒成立，求实数k 的取值范围. 23（12分）．函数()f x 的定义域为R ,且对任意,x y R ∈,有()()()f x y f x f y +=+,且当0x >时()()0,12f x f <=-.（1）证明:()f x 是奇函数;（2）证明:()f x 在R 上是减函数;（3）求()f x 在区间[]3,3-上的最大值和最小数学试卷参考答案1．C{}{}333A x x x x =<=-<<，{}2,B x x k k ==∈Z ，因此，{}2,0,2A B =-. 故选：C.2．B选项A ：()f x =R ，()2f x =的定义域为[)0+，∞，两函数的定义域不同，故不是同一函数.选项B ：()00t t g t t t t ≥⎧==⎨-<⎩和函数(),0,0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩的定义域、法则和值域都相同，故是同一函数.选项C ：y =(][)11+-∞-⋃∞，，，y =的定义域为[)1+∞，，两函数的定义域不同，故不是同一函数.选项D ：()1f x =的定义域为R ，()0g x x =的定义域为{}|0x x ≠，两函数的定义域不同，故不是同一函数.故选：B【点睛】本题考查判断两个函数是否是同一函数，属于基础题.3．C【解析】【分析】首先求得()f x 定义域，根据分式和复合函数定义域的要求可构造不等式求得结果.【详解】()1f x +定义域为[]2,1- 112x ∴-≤+≤，即()f x 定义域为[]1,2-由题意得：20122x x -≠⎧⎨-≤-≤⎩，解得：12x ≤<或24x <≤ ()g x ∴定义域为：[)(]1,22,4本题正确选项：C本题考查函数定义域的求解问题，关键是能够通过复合函数定义域确定()f x 定义域，从而利用分式和复合函数定义域的要求构造不等式.4．A【解析】【分析】由题意结合函数的解析式分别求得()()19,f f 的值，然后求解两者之差即可.【详解】由题意可得：()()1413f f ===，()914f ==，则(1)(9)341f f -=-=-.故选A.【点睛】求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．5．C【解析】【分析】A ，B 可直接通过一次函数的单调性和二次函数的单调性进行判断；C 利用1y x =-以及平移的思路去判断；D 根据y x =-的图象的对称性判断.【详解】A ．()3f x x =-在R 上是减函数，不符合；B ．()23f x x x =-在3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上是减函数，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，不符合； C ．()11f x x =-+可认为是1y x=-向左平移一个单位所得，所以在()1,-+∞上是增函数，符合； D ．()f x x =-图象关于y 轴对称，且在(),0-∞上是增函数，在()0,∞+上是减函数，不符合；【点睛】（1）一次函数()0y kx b k =+≠、反比例函数()0k y k x=≠的单调性直接通过k 的正负判断；（2）二次函数的单调性判断要借助函数的对称轴和开口方向判断；（3）复杂函数的单调性判断还可以通过平移、翻折等变换以及图象进行判断.6．C【解析】【分析】由题意得4 5xy x y =⎧⎨+=⎩，再由x y <，能求出N 中元素()45，的原像. 【详解】由题意得4 5xy x y =⎧⎨+=⎩，解得1 4x y =⎧⎨=⎩或4 1x y =⎧⎨=⎩， ∵x y <，∴N 中元素()45，的原像为()1,4，故选：C .【点睛】本题考查象的原象的求法，考查映射等基础知识，考运算求解能力，考查函数与方程思想. 7．B【解析】【分析】先解分式不等式得集合A ，再化简B ，最后根据交集与补集定义得结果.【详解】因为91(0,9)A x x ⎧⎫=>=⎨⎬⎩⎭，{}{}44,3,2,1,0,1,2,3B x x x Z =-<<∈=---，所以阴影部分所表示集合为(){0,1,2,3}U C A B =---,元素共有4个，故选B【点睛】本题考查分式不等式以及交集与补集定义，考查基本分析求解能力，属基础题.【解析】【分析】配方即可得到()224=24x x x -+--+，从而得出≤2，即得出y 的范围，从而得出原函数的值域．【详解】∵()224=24x x x -+--+，∴0≤()224x --+≤4；∴≤2；∴函数y =的值域为[0,2].故选：C .【点睛】本题考查函数的值域，利用配方法即可，属于简单题.9．D【解析】【分析】根据分段函数单调性的性质进行求解即可．【详解】∵当1x ≤时，函数f （x ）的对称轴为x a =，又()f x 在(),-∞+∞上为增函数， ∴ 1210125a a a a ≥⎧⎪-⎨⎪-+≤-⎩＞，即1122a a a ≥⎧⎪⎪>⎨⎪≤⎪⎩，得1≤a 2≤，故选D ．【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，根据分段函数单调性的性质建立不等式关系是解决本题的关键，注意分段处保证单调递增．10．D【解析】【分析】易判断f （x ）在（-∞，0）上的单调性及f （x ）图象所过特殊点，作出f （x ）的草图，根据图象可解不等式．【详解】∵f （x ）在R 上是奇函数，且f （x ）在（0，+∞）上是增函数，∴f （x ）在（﹣∞，0）上也是增函数，由f （-3）＝0，得f （﹣3）＝﹣f （3）＝0，即f （3）＝0，作出f （x ）的草图，如图所示：由图象，得()0xf x <()()0000x x f x f x ><⎧⎧⇔⎨⎨<>⎩⎩或解得0＜x ＜3或﹣3＜x ＜0，∴xf （x ）＜0的解集为：（﹣3，0）∪（0，3），故选D ．【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，考查数形结合思想，灵活作出函数的草图是解题关键．11．D【解析】【分析】用绝对值三角不等式求得最小值．【详解】24(2)(4)2y x x x x =-+-≥---=，当且仅当(2)(4)0x x --≤，即24x ≤≤时取等号．所以min 2y =．故选：D ．【点睛】本题考查绝对值三角不等式，利用绝对值三角不等式可以很快求得其最值，本题也可以利用绝对值定义去掉绝对值符号，然后利用分段函数性质求得最值．12．C【解析】【分析】由()f x 是定义在[1-，1]上的奇函数，且()1(1)f x f x =--，推出()1f ，12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再结合当(0,1)x ∈时，2()()5xf f x =，推出1()5f ，1()25f ，4()5f ，4()25f ，由题意可得x 对任意的1x ，2[1x ∈-，1]，均有2121()(()())0x x f x f x --，进而得1903193201()()()2020202020204f f f =⋯===，再由奇函数的性质()()f x f x -=-算出最终结果．【详解】解：由()()11f x f x =--，令0x =，得()11f =，令12x =，则1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭﹐ 当[]0,1x ∈时，()25x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()152x f f x ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，即()1111522f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，111125254f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且4111552f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，414125254f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 11903204252020202025<<<， 19031932012020202020204f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 对任意的1x ，[]21,1x ∈-，均有()()()()21210x x f x f x --≥，190120204f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，同理19031932012020202020204f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.()f x 是奇函数， 1901913193202020202020202020f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭19019131932013120202020202020204f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：C 【点睛】本题考查函数的奇偶性，函数值计算，属于中档题． 13．2 【解析】【分析】设幂函数()f x x α=，将点代入求出α，即可求解.【详解】设()f x x α=，()f x 的图象经过，23,2,(),2f x x f αα=∴==∴=.故答案为:2. 【点睛】本题考查幂函数的定义以及函数值，属于基础题. 14．2或4 【解析】【分析】对于x 的任一取值，分别计算()()f g x 和()()g f x 的值若两个值相等，则为正确的值. 【详解】当1x =时，()()()()()()131,113f g f g f g ====，不合题意.当2x =时，()()()()()()223,233f g f g f g ====，符合题意.当3x =时，()()()()()()331,313f g f g f g ====，不合题意.当4x =时，()()()()()()423,433f g f g f g ====，符合题意.故填2或4.【点睛】本小题主要考查函数的对应法则，考查复合函数求值.在计算这类型题目的过程中，往往先算出内部函数对应的函数值，再计算外部函数的函数值.属于基础题. 15．-6 【解析】【分析】由函数是偶函数，则定义域关于原点对称、()()f x f x -=即可求出参数m 、n 的值；【详解】解：已知32()(2)5f x m x nx =+++是定义在[,4]n n +上的偶函数，所以40n n ++=，解得2n =-，又()()f x f x -=，()3232(2)5(2)5m x nx m x nx ∴+-++=+++302(2)m x +=∴解得2m =-，所以26m n +=- 故答案为：6- 【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，属于基础题. 16．①②③ 【解析】【分析】由奇偶性的定义判断①正确，由分类讨论结合反比例函数的单调性求解②；根据单调性，结合单调区间上的值域说明③正确；由1xx x=+只有0x =一个根说明④错误．【详解】对于①，任取x ∈R ，都有()()11x xf x f x x x--==-=-+-+，∴①正确；对于②，当0x >时，()()110,111x f x x x==-∈++，根据函数()f x 的奇偶性知0x <时，()()1,0f x ∈-，且0x =时，()()()0,1,1f x f x =∴∈-，②正确；对于③，则当0x >时，()111f x x=-+，由反比例函数的单调性以及复合函数知，()f x 在()1,-+∞上是增函数，且()1f x <；再由()f x 的奇偶性知，()f x 在(),1-∞-上也是增函数，且()1f x >12x x ∴≠时，一定有()()12f x f x ≠，③正确；对于④，因为1xx x=+只有0x =一个根， ∴方程()f x x =在R 上有一个根，④错误．正确结论的序号是①②③．故答案为：①②③．【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查函数的单调性、函数的奇偶性、函数的图象与性质，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题. 17．（1）1|32AB x x ⎧⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭，()1|02U AC B x x ⎧⎫⋂=-<≤⎨⎬⎩⎭；（2）1|24a a a ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭≥或. 【解析】【分析】（1）当12a =，求出集合A ，按交集、并集和补集定义，即可求解；（2）对A 是否为空集分类讨论，若A =∅，满足题意，若A ≠∅，由A B φ⋂=确定集合A 的端点位置，建立a 的不等量关系，求解即可. 【详解】（1）若12a =时1|22A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，{}|03B x x =<≤， ∴1|32AB x x ⎧⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭，由{|0U C B x x =≤或3}x >，所以()1|02U A C B x x ⎧⎫⋂=-<≤⎨⎬⎩⎭（2）由AB =∅知当A =∅时121a a -≥+∴2a ≤-当A ≠∅时21113a a a +>-⎧⎨-≥⎩或211210a a a +>-⎧⎨+≤⎩∴4a ≥或122a -<≤-综上：a 的取值范围是1|24a a a ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭≥或. 【点睛】本题考查集合间的运算，以及集合间的关系求参数范围，不要忽略了空集讨论，属于基础题.18．（1）()48,04,04,02x x f x x x x ⎧⎪->⎪==⎨⎪⎪<-⎩；（2）图见解析；单调递增区间为(]0,3，单调递减区间为[)3,0- 【解析】【分析】(1)代入()1,00,01,0x D x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩求解即可. (2)根据一次函数与分式函数的图像画图,再根据图像判断单调区间即可. 【详解】（1）()48,0 4,04,02x xf x xxx⎧⎪->⎪==⎨⎪⎪<-⎩；（2）()f x的图象如下图所示：单调递增区间为(]0,3,单调递减区间为[)3,0-.【点睛】本题主要考查了分段函数的应用与一次函数、分式函数的图像与性质等.属于基础题. 19．（1）min()(0)1f x f==-；（2）2a=-或3a=.【解析】试题分析：（1）先求函数对称轴，再根据对称轴与定义区间位置关系确定最小值取法（2）根据对称轴与定义区间位置关系三种情况分类讨论最大值取法，再根据最大值为3，解方程求出实数a的值试题解析：解：（1）若2a=，则()()224123f x x x x=-+-=--+函数图像开口向下，对称轴为2x=，所以函数()f x在区间[]0,2上是单调递增的，在区间[]2,3上是单调递减的，有又()01f=-，()32f=()()min01f x f∴==-（2）对称轴为x a =当0a ≤时，函数在()f x 在区间[]0,1上是单调递减的，则 ()()max 013f x f a ==-=，即2a =-；当01a <<时，函数()f x 在区间[]0,a 上是单调递增的，在区间[],1a 上是单调递减的，则()()2max 13f x f a a a ==-+=，解得21a =-或，不符合；当1a ≥时，函数()f x 在区间[]0,1上是单调递增的，则()()max 11213f x f a a ==-++-=，解得3a =；综上所述，2a =-或3a =点睛：(1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据()()0f x f x ±-=得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；(2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于()f x 的方程，从而可得()f x 的值或解析式. 20．（1）单调递增,证明见解析.（2）3a ≤ 【解析】【分析】（1）先根据()12f =求得m 的值,得函数解析式.进而利用作差法证明函数单调性即可. （2）构造函数()()g x f x x =+.根据（1）中函数单调性,结合y x =的单调性,可判断()g x 的单调性,求得()g x 最小值后即可求得a 的取值范围. 【详解】（1）函数()mf x x x=+,()12f = 代入可得211m=+,则1m = 所以()1f x x x =+函数()1f x x x=+在[)1,+∞上单调递增.证明:任取12,x x 满足121x x ≤<,则()()21f x f x -212111x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212111x x x x =-+- 122112x x x x x x -=-+()()2112121x x x x x x --=因为121x x ≤<,则21120,10x x x x ->->所以()()21121210x x x x x x -->,即()()210f x f x ->所以()()21f x f x > 函数()1f x x x=+在[)1,+∞上单调递增. （2）若()a f x x -<在()1,+∞恒成立则()a f x x <+, 令()()g x f x x =+ 由（1）可知()1f x x x=+在()1,+∞上单调递增,y x =在()1,+∞上单调递增所以()()g x f x x =+在()1,+∞上单调递增所以()()13g x g >=所以3a ≤即可满足()a f x x -<在()1,+∞恒成立即a 的取值范围为3a ≤ 【点睛】本题考查了利用定义证明函数单调性的方法,根据函数单调性解决恒成立问题,属于基础题.21．（1）单调增区间是()11,2∞∞-+，和,单调减区间为112（，）；（2）当10a 2<<时，函数的最大值为()2f a a a =-+.，当112a 2+≤≤时，函数的最大值为11f 24⎛⎫= ⎪⎝⎭，当12a +≥时，函数的最大值为()2f a a a =-．【解析】【分析】（1）对函数()f x 去绝对值，表示成分段函数模型并作出图像，由函数图像进行判断．（2）令()12f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（1x >），解出122x +=，对实数a 的范围分类讨论求解．【详解】（1）()22,1f x ,1x x x x x x ⎧-+≤=⎨->⎩，由分段函数的图象知,函数的单调增区间是()11,2∞∞-+，和,单调减区间为112（，）. （2）当10a 2<<时，函数的最大值为()2f a a a =-+ 当112a 22+≤≤时，函数的最大值为11f 24⎛⎫= ⎪⎝⎭；当12a +>()2f a a a =-. 【点睛】（1）考查了分段函数单调性问题，结合分段函数图像可直接判断单调区间.（2）主要考查了分类讨论思想，结合分段函数图像，对区间端点的范围讨论，自变量的范围不同，对应的函数的最值也不同.22．（1）；（2）；（3）.【解析】试题分析：(1)利用奇函数的特性,定义在的奇函数必过原点,易得值；(2)当,则,根据函数为奇函数及当时,,可得函数在时的解析式,进而得到函数在上的解析式；(3)根据奇函数在对称区间上单调性相同,结合二次函数图象和性质,可分析出函数的单调性,进而将原不等式变形,解不等式可得实数的取值范围.试题解析：（1）为上的奇函数，；（2）设，则，，又为奇函数，，即，.（3）在上为增函数，且，为上的奇函数，为上的增函数，原不等式可变形为：即，对任意恒成立，（分离参数法）另法：即，对任意恒成立，∴解得：，取值范围为.考点：函数的奇偶性；函数的解析式；解不等式. 【方法点晴】(1)由奇函数的特性,在时必有，，故定义在的奇函数必过原点；(2)当,则,根据函数为奇函数及当时,,可得函数在时的解析式,进而得到函数在上的解析式；(3)根据奇函数在对称区间上单调性相同,结合二次函数图象和性质,可分析出函数的单调性,进而将原不等式变形,解不等式可得实数的取值范围.23．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) 最大值是6,最小值是-6. 【解析】【分析】（1）令x ＝y ＝0，则可得f （0）＝0；y ＝﹣x ，即可证明f （x ）是奇函数，（2）设x 1＞x 2，由已知可得f （x 1﹣x 2）＜0，再利用f （x +y ）＝f （x ）+f （y ），及减函数的定义即可证明．（3）由（2）的结论可知f （﹣3）、f （3）分别是函数y ＝f （x ）在[﹣3、3]上的最大值与最小值，故求出f （﹣3）与f （3）就可得所求值域．【详解】（1）因为()f x 的定义域为R ,且()()()f x y f x f y +=+,令y x =-得()()()f x x f x f x +-=+-⎡⎤⎣⎦,所以()()()0f x f x f +-=; 令0x y ==,则()()()0000f f f +=+,所以()00f =,从而有()()0f x f x +-=,所以()()f x f x -=-,所以()f x 是奇函数. （2）任取,x y R ∈,且12x x <,则()()()()121121f x f x f x f x x x -=-+-⎡⎤⎣⎦()()()()112121f x f x f x x f x x =-+-=--⎡⎤⎣⎦,因为12x x <,所以210x x ->,所以()210f x x -<,所以()210f x x -->, 所以()()12f x f x >,从而()f x 在R 上是减函数.（3）由于()f x 在R 上是减函数,故()f x 在区间[]3,3-上的最大值是()3f -,最小值是()3f ,由于12f ,所以()()()()()()()31212111f f f f f f f =+=+=++()()31326f ==⨯-=-,由于()f x 为奇函数知， ()()3-36f f -==,从而()f x 在区间[]3,3-上的最大值是6,最小值是-6.【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性和单调性，深刻理解函数奇偶性和单调性的定义及充分利用已知条件是解决问题的关键．。

重庆市巴蜀中学2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试题

重庆市巴蜀中学【最新】高一上学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}012345U =，，，，，，{}035M =，，，{}145N =，，，则()U M N =（） A ．{}5 B ．{}03， C ．{}0235，，， D ．{}01345，，，， 2．下列各组函数表示同一个函数的是（）A ．()2f x x =-，()g x =B ．21()1x f x x -=-,()1g x x =+C ．()||f x x =，()g x =D ．()||f x x =,()0()g x x x =≥3．函数()f x =的定义域为（） A ．(,3]-∞B ．(,2)(2,3]-∞-⋃-C ．(2,3]-D ．[3,)+∞4．函数()f x =的单调递增区间为（）A ．(,3]-∞B ．[]3,4C ．[]2,3D ．[3,)+∞ 5．已知()f x 是偶函数，x ∈R ，当0x >时，()f x 为增函数，若10x <，20x >，且12||||x x <，则有（）A ．()()12f x f x ->-B ．()()12f x f x -<-C ．()()12f x f x ->-D ．()()12f x f x -<-6．已知不等式2340x x --<的解集为{|}x a x b <<，则不等式()2(1)20x x ax b -+-+≤的解集为（）A ．(,2]-∞-B ．[1,1][2,)-⋃+∞C ．[2,)-+∞D ．(,1][1,2]-∞-⋃7．已知函数(2)f x -=f 的定义域为（） A ．[0,)+∞ B ．[]0,16C ．[]0,4D ．[]0,28．已知定义域为R 的函数()f x 满足：()(2)f x f x =-.当1x ≥时，()2f x x x =-，则不等式()6f x >的解集为（）A ．()2,3-B ．(,2)(3,)-∞⋃+∞C ．()1,3-D ．(,1)(3,)-∞-+∞9．若函数()2,2312x x x f x x ⎧+<≤⎪=-≤≤，则()f x 的值域为（）A．72⎤⎥⎦ B ．11(3,]3 C ．7(3,]2 D．113⎤⎥⎦10．若函数242y x x =--的定义域为[]0,m ，值域为[]6,2--，则m 的取值范围是（）A ．(0,4]B ．[]2,4C ．(0,2]D ．()2,4 11．已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数且在[0,)+∞单调递增，当2019x y +=时，恒有()(2019)()f x f f y +>成立，则x 的取值范围是（）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．()0,∞+ D ．(),1-∞12．已知函数()|2||21|()f x x a x a R =--+∈.若存在x ∈R ，使得不等式()f x a >成立，则实数a 的取值范围是（）A ．5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．()0,∞+ D ．15,22⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题13．满足条件{0,1}{0,1,2,3,4,5}A ⋃=的集合A 的个数____________.14．已知1(1)2f x -＝2x －5，且f (a )＝6，则a ＝________.15．某班有50名同学，其中有35人喜爱篮球运动，25人喜爱足球运动，10人对这两项运动都不喜爱，则喜爱蓝球运动但不喜爱足球运动的人数为____________.16．已知函数2()3(3)1f x ax a x =+-+的图像与x 轴的交点有且仅有一个在区间()1,1-内，则实数a 的取值范围____________.三、解答题17．已知全集U =R ，集合{}2|60A x x x =-->，集合{||25|9}B x x =+≤. （1）求集合,A B .（2）求A B 和U A C B .18．已知函数()f x =的定义域为A ，函数()g x =为B .（1）求集合A 、B .（2）若A B =∅，求实数a 的取值范围.19．已知二次函数()y f x =的值域为(,16]-∞，且不等式()0f x >的解集为()3,5-. （1）求()f x 的解析式.（2）求函数f 的值域.20．已知集合1|13x A x x +⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，{}22|230B x a x ax =+-≥ （1）当1a =时，求A B .（2）若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围.21．已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意1x 、2x 都有()()()1212f x x f x f x ⋅=+，且当1x >时，()0f x >，()21f =.（1）判断()f x 的奇偶性与单调性，并证明你的结论；（2）解不等式：1(1)2f x f x ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭. 22．已知函数2()4f x ax x b =++.（1）若()01f =，且函数()g x =[0,)+∞，求实数a 的取值范围；（2）当2b =-时，若对于给定的正实数a ，有一个最小的负数()M a ，使得[(),0]x M a ∈时，4()4f x -≤≤都成立，求出()M a 的表达式及()M a 的最小值.参考答案1．B【分析】利用集合的补集和交集运算求解.【详解】因为集合{}012345U =，，，，，，{}145N =，，，所以{}0,2,3U N =又{}035M =，，，所以()U MN ={}03，故选：B2．C【解析】【分析】根据两个函数的定义域相同,对应关系也相同,逐项验证即可判断它们是否为同一个函数.【详解】对于A, ()2g x x ===-,与()2f x x =-对应关系不相同,故不是同一个函数. 对于B, 21()1x f x x -=-定义域是{|1}x x ≠,()1g x x =+定义域是x ∈R ,定义域不同,故不是同一函数.对于D, ()||f x x =定义域是x ∈R ,()0()g x x x =≥定义域是{|0}x x ≥,定义域不同,故不是同一函数.对于C, ()||g x x ==,()||f x x =,两个函数的定义域相同,对应关系也相同,故二者是同一个函数.故选:C.【点睛】本题考查判断两个函数是否为同一函数,注意要从二个方面来分析:定义域、对应法则,只有二要素完全相同,才能判断两个函数是同一个函数,这是判定两个函数为同一函数的标准.3．B【分析】根据二次根式下被开方数非负,分数分母不为零,列出关于x 的不等式组,即可求出函数定义域.【详解】函数()|2|f x x =+ 则:3020x x -⎧⎨+≠⎩ 得:32x x ≤⎧⎨≠-⎩∴ 函数()f x =的定义域为:(,2)(2,3]-∞-⋃- 故选:B.【点睛】本题主要考查函数的定义域的求解,要求能够熟练掌握常见函数成立条件.4．C【分析】先求()f x 定义域即{}2|680x x x -+-≥.令268t x x =-+-是二次函数,根据二次函数图像即可求得其单调区间,根据复合函数同增异减,即可求得()f x 单调递增区间.【详解】()f x =∴ 2680x x -+-≥ 即:2680x x -+≤，(2)(4)0x x ∴--≤ 得:24x ≤≤，∴ ()f x =定义域为:4|}2{x x ≤≤，又268,24t x x x =-+-≤≤单调递增区间为[]2,3，∴ 函数()f x =的单调递增区间[]2,3故选：C.【点睛】对于复合函数单调性的判断要掌握同增异减,对函数的内层和外层分别判断,即可得出单调性.求单调区间时,要先求函数定义域,单调区间是定义域的子集.5．B【分析】根据偶函数性质()()()==||f x f x f x -和()f x 为增函数,即可得到结论.【详解】()f x 是偶函数根据偶函数性质()()()==||f x f x f x -可得:()()()111==f x f x f x -, ()()()222==f x f x f x -120<||x x <,当0x >时,()f x 为增函数可得:()()12<f x f x 则()()12f x f x -<- 故选:B.【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性、抽象函数的单调性及抽象函数解不等式.掌握偶函数性质()()()==||f x f x f x -是解本题关键.6．B【分析】根据不等式2340x x --<的解集为{|}x a x b <<,求解出,a b ,代入()2(1)20x x ax b -+-+≤,用数轴标根法求解即可.【详解】234=0x x --可化为:(4)(1)0x x -+=可得121,4x x =-=不等式2340x x --<的解集为{|}x a x b <<∴ 1x a =,2x b =是方程234=0x x --∴ 1,4a b =-= 代入()2(1)20x x ax b -+-+≤得: ()2(1)420x x x ---+≤ 即()2(1)20x x x ---≤∴(1)(2)(1)0x x x --+≤ 即(1)(2)(1)0x x x --+≥根据用数轴标根法可得:11x -≤≤ 或2x ≥∴ 不等式()2(1)20x x ax b -+-+≤的解集为: [1,1][2,)-⋃+∞故选:B.【点睛】本题考查了一元二次不等式解集问题,要注意它的解集与相应的一元二次方程的根的联系. 在使用数轴标根法,应结合数轴画出草图求解.属于基础题7．B【分析】根据同一个函数f 括号内的范围必须相同.由240x -≥,解得22x -≤≤,即可求得2x -值域,即函数()f x 的定义域为[0,4].[0,4],即可求得函数f的定义域.【详解】240x -≥ 解得: 22x -≤≤即(2)f x -的定义域为:{|22}x x -≤≤ 则2[0,4]x -∈根据同一个函数f 括号内的范围必须相同 ∴ 函数()f x 的定义域为[0,4].∴ f [0,4] 解得[0,16]x ∈故选:B.【点睛】本题考查了复合函数的定义域问题,注意函数定义域指的是x 范围,而函数题目中同一个函数f 括号内的范围必须相同,这是连接两个函数的桥梁.8．D【分析】根据()(2)f x f x =-,可求得()f x 的对称轴为1x =.由题意可得()2f x x x =-是开口向上的二次函数,对称轴12x =.求解1x ≥时()6f x >解集,由函数图像关于1x =对称即可求得<1x 时()6f x >解集.【详解】()(2)f x f x =-∴ 得()f x 的对称轴为1x =①当1x ≥时, ()6f x > 即26x x -> 解得:2x <-或3x > 则123x x x ≥⎧⎨-⎩或解得:3x > ∴当1x ≥时, ()6f x > 解集为:(3,)+∞②当<1x 时,()6f x >()f x 的对称轴为1x =可得解集为:(,1)-∞-综上所述, 不等式()6f x >的解集为: (,1)(3,)-∞-+∞ 故选:D.【点睛】本题考查了函数对称轴判别式即: ()()f m x f n x +=-的对称轴为2m n x +=,能解读出函数的对称是解本题的关键.9．D【分析】分别求23x <≤和12x -≤≤时值域,即可求得()f x 的值域.【详解】 ① ()2f x xx=+在(23]，上单调递增， ∴ 当23x <≤时()2f x x x =+,()f x 的值域为:()()()23f f x f <≤ 即: ()f x 的值域为: 113,3⎛⎤ ⎥⎝⎦②()f x 令2103t x x =+- 是开口向上的二次函数,对称轴是:32x =当12x -≤≤时,min 103(1)16t =+--= ,2max 3349103224t ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴ 4964t ≤≤ 故()f x 值域是:72⎤⎥⎦ ()f x 的值域为: 117113,=323⎛⎤⎤⎤⋃ ⎥⎥⎥⎝⎦⎦⎦ 故选:D.【点睛】本题考查了分段函数求值域问题.求分段函数值域时,要先求出每段函数的值域,在求其并集. 10．B【分析】由已知函数的解析式,我们可以判断出函数图像的形状及最值,根据函数242y x x =--的定义域为[0,]m ,值域为[]6,2--,结合二次函数的图像和性质即可得到答案.【详解】函数2242(2)6y x x x =--=--的定义域为[0,]m ,值域为[]6,2-- ∴对称轴为2x =当2x =时,6y =-,当0x =时,2y =- ,二次函数的对称性,可知2y =-对应的另一个x 的值为4∴值域为[]6,2--时,对应x 的范围为[0,4],故m 的取值范围是[2,4].故选:B.【点睛】此题考查二次函数的相关知识,关键是能熟练掌握二次函数的图像性质,进而求得参数的取值范围.11．C【分析】根据题意,()f x 是定义域R 的由奇函数,则(0)0f =.函数()f x 为定义在R 上的奇函数且在[0,)+∞单调递增,则在(),0-∞上也为单调递增.据此对x 进行分情况讨论,分析()(2019)()f x f f y +>是否成立,即可得到答案.【详解】函数()f x 为定义在R 上的奇函数, (0)0f = ()f x 在[0,)+∞单调递增奇函数图像关于原点对称,可知()f x 在(),0-∞上也单调递增∴ ()f x 为定义域R 的单调递增函数.2019>0 故(2019)(0)=0f f >①当0x <时,20192019y x =->,()f x 在R 是单调递增,可得:()>(2019)>()f y f f x∴ 根据不等式性质可知,此时()(2019)f x f +不恒大于()f y∴ 0x <不满足题意.②当0x =时,2019y =此时()(2019)(2019)()f x f f f y +==,()(2019)()f x f f y +>不成立∴ 0x =不满足题意.③当0x >时,20192019y x =-<∴ ()0f x > (2019)()f f y >∴ 根据不等式性质可知,满足()(2019)()f x f f y +>恒成立 ∴ 0x >满足题意.综上所述, x 的取值范围是:()0,∞+. 故选:C. 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用,要熟练掌握奇函数的性质()()f x f x -=-,属于综合题. 12．A【分析】因为()|2||21|()f x x a x a R =--+∈,故()f x a >化简为2121x a x -<++,令()2121x g x x -=++.若存在x ∈R ,使得不等式()f x a >成立,即a 小于2121x x -++最大值,求解()2121x g x x -=++最大值即可得实数a 的取值范围.【详解】()|2||21|()f x x a x a R =--+∈()f x a >即:221x a x a --+>可化为: 2+21x a a x ->+ 即2121x a x -<++若存在x ∈R ，使得不等式()f x a >成立即a 小于2121x x -++最大值.令()2121x g x x -=++①当12x ≤-时, ()22211=12112122x x x g x x x x x--+-+===-++---此时()max 1522g x g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ ②当122x -<<时 ()2212113=1211212+121x x x x g x x x x x --+-+-⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭13113121221x x ⎛⎫=--=-+⋅ ⎪++⎝⎭ ∴ ()15<22g x g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭③当2x ≥时()221211313=112122212121x x x x g x x x x x x ---+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫====- ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭113221x =-⋅+ ∴ ()1<2g x综上所述,()max 52g x =,故52a <,即a 的取值范围是: 5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.故选:A. 【点睛】本题考查带绝对值函数的求解.在求解带绝对值函数时,一般利用零点分段法去掉绝对值来求解,考查分类讨论数学思想. 13．4 【分析】令{}2,3,4,5M = 设N 集合为{0,1}子集,则A 集合应满足: =A M N ⋃,将原问题转化为子集个数公式的问题,然后确定集合N 的个数即可. 【详解】{0,1}{0,1,2,3,4,5}A ⋃=令{}2,3,4,5M =设N 集合为{0,1}子集, 则A 集合应满足: =A M N ⋃ 结合子集个数公式可得集合N 的个数是224=个∴ 满足条件{0,1}{0,1,2,3,4,5}A ⋃=的集合A 的个数4.故答案为4. 【点睛】本题主要考查子集个数公式,等价转化的数学思想等知识.将原问题转化为子集个数公式的问题是解本题关键. 14．74【分析】根据题意，令2x ﹣5=6，求出x 的值，再计算对应a 的值．【详解】 ∵f （12x ﹣1）=2x ﹣5，且f （a ）=6， ∴令2x ﹣5=6，解得x=112， ∴a=12×112﹣1=74．故答案为：74．【点睛】本题考查了函数的解析式以及利用函数的解析式求值的应用问题，是基础题目． 15．15 【分析】设喜爱篮球运动的人数为集合A ,喜欢足球运动的人数为集合B ,画出venn 图,结合venn 图可得答案. 【详解】设喜爱篮球运动的人数为集合A ,喜欢足球运动的人数为集合B 共有50名同学, 10人对这两项运动都不喜爱由题意可知:card()35A =,card()25B =, card()501040A B ⋃=-= .card()card()+card()card()35+254020A B A B A B ∴⋂=-⋃=-= . ∴ 喜爱蓝球运动但不喜爱足球运动的人数为352015-=.画出venn 图:故答案为:15. 【点睛】本题考查了集合的元素个数问题,用venn 来分析问题,数形结合.属于基础题.16．122a -≤≤或9a =±【分析】因为2()3(3)1f x ax a x =+-+,分0a =,0a <和0a >进行讨论, 利用零点存在定理,即可求得实数a 的取值范围. 【详解】⒈当0a =时, ()31f x x =-+ ()f x 与x 轴的交点横坐标为:()11,13x =∈- 故0a =满足题意. ⒉当0a <时2()3(3)1f x ax a x =+-+ 是开口向下的二次函数,∴ 其对称轴为:0306ax a-=<,(0)1f = (1)331=420f a a a =+-+-< ，(1)33124f a a a -=+-+=+保证函数2()3(3)1f x ax a x =+-+的图像与x 轴的交点有且仅有一个在区间()1,1-根据零点定理可得: (1)240f a -=+≥ 即2a ≥-∴ 20a -≤<⒊当0a >时, 2()3(3)1f x ax a x =+-+ 是开口向上的二次函数,∴ 其对称轴为:036ax a-=,(0)1f = 因为(1)331=42f a a a =+-+- ，(1)331240f a a a -=+-+=+>所以(1)420f a =-<或2(3)120a a ∆=--=，011(1,1)62x a=-+∈-即12a <或9a =±综上所述, 实数a 的取值范围:122a -≤≤或9a =±故答案为122a -≤≤或9a =±【点睛】本题考查了含参数的二次函数零点问题,掌握零点存在定理:如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是连续不断的一条曲线,当()()0f a f b ⋅<,那么函数()y f x =在区间[,]a b 内有零点,是解本题关键. 17．（1）(,2)(3,)A =-∞-+∞, [7,2]B =-（2）[7,2)A B ⋂=--,(,2)(2,)=U A C B -∞-⋃+∞⋃【分析】（1）分别求解260x x -->和259x +≤,即可得到集合,A B ; （2）根据（1）得到集合,A B ,求解A B 和U A C B 即可得到答案.【详解】（1）{}2|60A x x x =-->得260x x --> 即:(3)(2)0x x -+>3x ∴>或2x <-(,2)(3,)A ∴=-∞-⋃+∞{|259}B x x =+≤ 259x +≤22|25|9x ∴+≤ 即:22(25)90x +-≤(214)(24)0x x ∴+-≤ 即(7)(2)0x x +-≤ 得72x -≤≤ [7,2]B ∴=-综上所述,(,2)(3,)A =-∞-+∞, [7,2]B =-（2）根据（1）得到(,2)(3,)A =-∞-+∞, [7,2]B =-[7,2)A B ∴⋂=--[7,2]B =- 故=(,7)(2,)U C B -∞-⋃+∞(,2)(2,)=U A C B -∞-⋃+∞⋃综上所述,[7,2)A B ⋂=--,(,2)(2,)=U A C B -∞-⋃+∞⋃ 【点睛】本题考查了集合的交集,并集和补集运算,在集合运算比较复杂时,可以使用数轴来辅助分析问题.18．（1）(,][4,)A a a =-∞⋃++∞(],1,3B =（2）11a -<≤ 【分析】（1）根据二次根式下非负,分别求得()f x 和()g x 的定义域即可得到答案. （2）因为A B =∅,通过讨论a ,即可得到实数a 的取值范围.【详解】（1）()f x根据二次根式下非负,故()(4)0x a x a ---≥∴4x a ≥+或x a ≤ 则:(,][4,)A a a =-∞⋃++∞()g x =故:301x x -≥- 即:301x x -≤-则:(3)(1)01x x x --≤⎧⎨≠⎩得:13x -<≤ (]1,3B ∴=综上所述, (,][4,)A a a =-∞⋃++∞(],1,3B =. （2）由（1）得(,][4,)A a a =-∞⋃++∞(],1,3B =. A B =∅可得:431a a +>⎧⎨≤⎩ 则11a a >-⎧⎨≤⎩∴实数a 的取值范围.11a -<≤.【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解,及利用集合的运算求解参数问题,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.19．（1）2()215f x x x =-++（2）[]15,16【分析】（1）设()2f x ax bx c =++,因为二次函数()y f x =的值域为(,16]-∞,可得0a <.不等式()0f x >的解集为()3,5-,则3-和5是对应方程2=0ax bx c ++的两不等实根,利用韦达定理和二次函数最大值,即可求得函数()f x 的解析式;（2）利用换元法求出函数f 的定义域,结合二次函数的单调性即可求得函数的值域. 【详解】（1）函数()f x 是二次函数,设()2f x ax bx c =++二次函数()y f x =的值域为(,16]-∞∴ 0a <所以不等式()0f x >的解集为()3,5-,则有:3-和5是对应方程2=0ax bx c ++的两不等实根由韦达定理可得:1212b x x a c x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩ 即:35(3)5b ac a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⋅=⎪⎩得:2b a =-①,15c a =-②二次函数()y f x =的值域为(,16]-∞有24164ac b a-=③,将①②代入③得:24(15)(2)164a a a a ---=解得1a =-,故2b =,15c =∴ ()f x 的解析式为: 2()215f x x x =-++（2）函数f ,令t 则[0,2]t ∈;∴ 函数22()215(1)16f t t t t =-++=--+当1t =时,()f t 取得最大值为(1)16f = 当0t =时,()f t 取得最小值为(0)15f = 所以()f t 的值域为[]15,16.所以函数f 的值域为:[]15,16. 【点睛】本题考查待定系数法求解函数解析式、函数值域的求解问题;关键是能够根据一元二次不等式的解集和一元二次方程根的关系将函数解析式进行化简. 20．（1）(,3][1,)-∞-+∞（2）3a ≤-或1a ≥. 【分析】（1）将1a =代入{}22|230B x a x ax =+-≥,化简A 和B ,即可求得AB（2）因为A B B ⋃=,可得A B ⊆,将B 化简为:{}|(3)(1)0B x ax ax =+-≥,通过讨论a 即可求得实数a 的取值范围. 【详解】（1）将1a =代入{}22|230B x a x ax =+-≥得:{}2|230B x x x =+-≥∴ {|(3)(1)0}B x x x =+-≥ 故:(,3][1,)B =-∞-⋃+∞对于1|13x A x x +⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭113x x +≥- 故1103x x +-≥-可得:+1303x x x +-≤- ∴103x x -≤- 则(3)(1)03x x x --≤⎧⎨≠⎩解得:1<3x ≤ 故:[1,3)A =.∴ =(,3][1,)A B ⋃-∞-⋃+∞（2）由（1）得[1,3)A =将B 化简为:{}|(3)(1)0B x ax ax =+-≥ ①当0a =时可得:B =∅,不符合题意. ②当0a >时∴ 方程(3)(1)=0ax ax +-的根为:13x a =-21x a=31,,B a a ⎛⎤⎡⎫=-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭A B B ⋃=,可得A B ⊆ 得:11a≤ 故:1a ≥ ③当0<a 时∴ 方程(3)(1)=0ax ax +-的根为:13x a =-21x a= 13,,B a a ⎛⎤⎡⎫=-∞⋃-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭A B B ⋃=,可得A B ⊆ 得:31a-≤ 故:3a ≤- 综上所述, 实数a 的取值范围:3a ≤-或1a ≥. 【点睛】本题考查了集合并集运算和子集运算.本题的解题关键在于将A B B ⋃=转化为A B ⊆,通过分类讨论求的参数范围.21．（1）答案见解析（2）11,,1(1,)35⎛⎫⎛⎫-∞-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）由()()()1212f x x f x f x ⋅=+,推导出()()f x f x -=即可判断其单调性.任取210x x >>,再代入所给的式子进行作差变形,利用2211x x x x =⋅和211x x >且210x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭,判断符号,即可判断其单调性.（2）根据()()()1212f x x f x f x ⋅=+,将1(1)2f x f x ⎛⎫-+<⎪⎝⎭化简为1()(4)x f f x -<.根据1（）得出()f x 是偶函数,由偶函数性质()()()==||f x f x f x -,可得1()(4)x f f x-<,结合单调性即可求得答案. 【详解】（1）①对定义域内的任意1x 、2x 都有()()()1212f x x f x f x ⋅=+令121x x ==,可得(1)0f =,令121x x ==-,可得(1)0f -=令121,x x x =-=,可得:()(1)(1)()()f x f x f f x f x -=-⋅=-+=()f x ∴是偶函数.②令210x x >>,则()()()221111x f x f x f x f x x ⎛⎫-=⋅- ⎪⎝⎭ ()()221111x x f x f f x f x x ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭210,x x >>故 211x x > 210x f x ⎛⎫∴> ⎪⎝⎭即()()210f x f x -> ()()21f x f x ∴>()f x ∴在(0,)+∞上是增函数根据增函数关于y 轴对称可得: ()f x 在(,0)-∞上是减函数.综上所述,()f x 是偶函数,()f x 在(0,)+∞上是增函数,()f x 在(,0)-∞上是减函数. （2） ()()()1212f x x f x f x ⋅=+,()21f = 可得: ()()()422f f f =+∴ 1(1)2f x f x ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭可化简为1()(4)x f f x -<. 1（）得出()f x 是偶函数,由偶函数性质()()()==||f x f x f x -, ∴1()(4)x f f x-< ()f x 在(0,)+∞上是增函数可得:14x x -<214x x -∴< 即:()22(1)4x x -< 故()22(1)40x x --< ∴ (14)(14)0x x x x ---+<∴(31)(51)0x x ---<∴(1)(51)0x x +-> ∴13x <- 或15x > 函数()f x 的定义域是0x ≠ 故:10x x -≠ 即1x ≠ 不等式1(1)2f x f x ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭的解集为:11,,1(1,)35x ⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【点睛】本题解题关键在于能将已知条件翻译为变量差与对应的函数值的差,回归到函数的单调性定义上判定和证明.在求解抽象函数不等式时,去掉抽象函数的符号,转换为求解不等式的问题. 22．（1）04a ≤≤（2）当2a =时,()M a 取得最小值3-【分析】（1）因为()01f =,可得2()41f x ax x =++.()g x =[0,)+∞,可得出2()41f x ax x =++的最小值的min ()0f x ≤,即可求得实数a 的取值范围.（2）本可以从a 的范围入手,考虑02a <<与2a ≥两种情况,结合二次的图像与性质,分类讨论即可求得()M a ,进而求得()M a 的最小值.【详解】（1）(0)1f = 得:1b =2()41f x ax x ∴=++()g x =函数()g x =[0,)+∞2()41f x ax x ∴=++的最小值的min ()0f x ≤当0a ≠时: 有0411604a a a>⎧⎪⋅⋅-⎨≤⎪⋅⎩ 解得:04a a >⎧⎨≤⎩ 故:04a <≤ 当=0a 时:2()41=41f x ax x x ∴=+++ ()(,)f x ∈-∞+∞=0a ∴满足题意综上所述:04a ≤≤（2）将2b =- 代入2()4f x ax x b =++得:2()42f x ax x =+-2224()422f x ax x a x a a ⎛⎫=+-=+-- ⎪⎝⎭ 显然(0)2f =-,对称轴20x a =-< ①当424a--<-,即02a <<时令2424ax x +-=- 解得:2x a -±=此时()M a 取较大的根,即2()M a a -+==02a <<()1M a ∴=>- ②当424a --≥-,即2a ≥时,2()M a a<-,且[()]4f M a = 令2424ax x +-=,解得x =此时()M a 取较小的根,即:()M a == 2a ∴≥()3M a ∴=- 当且仅当2a =时,取等号.31-<-当2a =时,()M a 取得最小值3-.【点睛】本题主要考查根据二次函数值域求参数范围. 通过函数()g x =[0,)+∞,解得出min ()0f x ≤是求a 的范围关键.通过讨论a 的范围,从而确定()M a 表达式,结合不等式知识是求解()M a 最小值的关键.。

2020年重庆巴蜀中学高三适应性月考卷1理科数学试题及答案

【详解】
∵AB⊥BC，AB＝1，
∴由勾股定理可得AC=2，
∴AC是△ABC外接圆的直径，
∴△ABC外接圆的半径为r=1，
∵SA⊥平面ABC，且SA＝2，
设球心到平面ABC的距离为d,
则由勾股定理可得，
∴ ，
∴三棱锥S−ABC的外接球的表面积为 .
故选：C.
【点睛】
本题考查几何体外接球的表面积，此类问题常常先求底面的外接圆半径，再与球心到底面距离、球的半径运用勾股定理求解，属于中等难度题型.
取x= ,则cosx= ,sin2x=-1,∴f( )=-1；
∴f( )=1和-1，不符合函数的定义，故不满足题意；
对于B选项，取x=0,则sin2x=0,∴f(0)=0；
取x= ,则sin2x=0,∴f(0)=1；
∴f(0)=0和1，不符合函数的定义，故不满足题意；
对于C选项，取x= ,则sinx= ,sin2x=1,∴f( )=1；
【详解】
∵ ，
∴ ，
建立如图直角坐标系，
设，
又|BC|＝4，
∴
∵| |＝1，∴设，
,
∵ ,
,
故最小值为，
故选：B.
【点睛】
本题考查向量积的最值问题，通常建立直角坐标系，设未知数，得到各个向量的坐标，运用坐标运算计算出含有未知量的解析式，再进一步运用函数思想找出取值范围，属于中等题.
11．已知f（x）＝sin（ωx ）（ω∈Z）x∈（0， ]时f（x）有唯一解，则满足条件的ω的个数是（）
9．在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，且SA＝2，AB＝1，BC ，则三棱锥S﹣ABC外接球的表面积为（）
A．4πB．6πC．8πD．10π

重庆市巴蜀中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

重庆市巴蜀中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题一、单选题1．命题“[)30,,0x x x ∀∈∞+≥+”的否定是（）A ．()3,0,0x x x ∀∈-∞+<B ．()3000,0,0x x x ∃∈-∞+< C ．[)30000,,0x x x ∞∃∈++<D ．[)30000,,0x x x ∃∈+∞+≥2．已知()21f x x -=，则()()2f f =（）A ．9B ．100C ．1D ．03．若集合{}{}1,2,3,4,5,7,1A B x x A ==-∈，则A B =I （） A ．{}1,2,3,4,5B ．{}2,3,4,5C ．{}1,2,3,4D ．{}0,1,2,3,4,64．若实数1x <，则221x x +-的最大值为（） A ．2-B ．4-C ．4D ．65．设集合{}{}02,02M x x N y y =≤≤=≤≤，则如下的4个图形中能表示定义域为M ，值域为N 的严格单调函数的是（）A ．B ．C ．D ．6．已知集合{}{}14,32,A x x B x m x m B =≤≤=-+≤≤不是空集，若x B ∈是x A ∈的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为（） A ．{}2m m <B ．{}2m m ≤C ．{}12m m ≤<D ．{}12m m ≤≤7．设集合A 为非空实数集，集合{,B xy x y A =∈且}x y ≠，称集合B 为集合A 的积集，则下列结论正确的是（）A ．当{}1,2,3,4A =时，集合A 的积集{}2,3,4,8,12B =B ．若A 是由5个正实数构成的集合，其积集B 中元素个数最多为8个C ．若A 是由5个正实数构成的集合，其积集B 中元素个数最少为7个D ．存在4个正实数构成的集合A ，使其积集{}2,4,5,8,10,16B =8．已知,a b R ∈，不等式22122x ax bx x ++<++在x R ∈上恒成立，则（） A ．0a <B ．0b <C ．02ab <<D ．04ab <<二、多选题9．下列命题是真命题的为（） A ．若0a b c d >>>>，则ab cd > B ．若22ac bc >，则a b > C ．若0a b >>且0c <，则22c c a b > D ．若a b >且11a b>，则0ab < 10．下列说法不正确的是（）A ．函数()1f x x =+与()2g x =是同一个函数B ．若函数()f x 的定义域为(]0,1，则函数()()21f x f x --的定义域为()0,1C ．函数()f x =112x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭D ．若函数()f x =的定义域为R ，则实数k 的取值范围是()0,411．已知220,0,1a b a b ab >>+-=，则（）A ．112a b+≥B ．2a b +≥C ．222a b +≥D ．332a b +≤三、填空题12．集合6x x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭N 的非空子集的个数是．13．若()()2324,15,1x a x x f x x a x ⎧-+--<=⎨+≥⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围为．14．高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习．已知选择物理的有36人，选择化学的有24人，选择生物的有20人，其中选择了物理和化学的有18人，选择了化学和生物的有10人，选择了物理和生物的有16人．那么班上选择物理或化学或生物的学生最多有人．四、解答题15．已知{}12A x x =-≤≤，{}23B x x a =-<． (1)若3a =，求B A ⋃R ð；(2)若A B B =I ，求实数a 的取值范围．16．已知关于x 的不等式()223130kx k x k -++<（其中k ∈R ）．(1)若不等式的解集为{}13x x <<，求k 的值； (2)若0k ≤，试求该不等式的解集． 17．已知命题p ：对任意0,0x y >>且11134x y +=，不等式23093a a x y +≤+恒成立；命题2:,23q x x x a ∃∈--<R ．(1)若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；(2)若命题p 和命题q 中至少有一个为真命题，求实数a 的取值范围．18．设函数()y f x =的定义域为M ，且区间I M ⊆．若函数()y f x x =+在区间I 上单调递增，则称函数()f x 在区间I 上具有性质A ；若函数()y f x x =-在区间I 上单调递增，则称函数()f x 在区间I 上具有性质B ．(1)试证明：“函数()f x 在区间I 上具有性质B ”是“函数()f x 位区间I 上单调递增”的充分不必要条件； (2)若函数()kf x x=在区间[)2,+∞上具有性质A ，求实数k 的取值范围； (3)若函数()32f x x x=+在区间[],1a a +上同时具有性质A 和性质B ，求实数a 的取值范围．19．对于在平面直角坐标系第一象限内的两点()()1122,,,A x y B x y 作如下定义：若2121y y x x ≥，则称点B 领先于点A ．(1)试判断点(P是否领先于点(Q ，并说明理由；(2)若点()22,B x y 领先于点()11,A x y ，试证明：点B 领先于点()1212,C x x y y ++．(3)对{}{}1,2,3,2024,k m m m m *∀∈∃∈≥∈N ，点()3,2027m +领先于点(),k n ，且点(),k n 领先于点(),2024m ，求符合条件的正整数n 组成的集合中元素的个数．。

重庆市中学2024~2025学年高一上学期第一次月考数学试题含答案

重庆市2024~2025学年高一上学期第一次月考数学试题（命题人：）（答案在最后）考试说明：1.考试时间120分钟2.试题总分150分3.试卷页数2页一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集U =R ，3{|ln}3x M x y x -==+，}2{|2,1xx y y N =≤≤=，如图阴影部分所表示的集合为（）A.{}23x x ≤< B.{}34x x <≤C.{|2x x ≤或3}x > D.{}33x x -≤≤【答案】B 【解析】【分析】由题意知，阴影部分表示的为M N ⋂，算出集合,M N 表示的范围，根据集合的交集的运算，即可得到本题答案.【详解】全集U =R ，集合M 中函数满足303x x ->+，解得3x <-或3x >，M ={|3x x <-或3}x >，集合N 中指数函数2x y =在上单调递增，则24222=x ≤≤，}|24{y N y =≤≤，由图可得阴影部分所表示的集合为{|34}M N x x ⋂=<≤，故选：B.2.若函数()y f x =的一个正零点用二分法计算，零点附近函数值的参考数据如下：(1)2f =-，(1.25)0.984f =-，(1.375)0.260f =-，(1.40625)0.054f =-，(1.4375)0.162f =，(1.6)0.625f =，那么方程()0f x =的一个近似根（精确度0.1）为（）A.1.2 B.1.3C.1.4D.1.5【答案】C【解析】【分析】由参考数据可得(1.4375)(1.375)0f f <，区间(1.375,1.4375)满足题干要求精确到0.1，结合选项可得答案.【详解】因为1.6 1.43750.16250.1-=>，所以不必考虑端点1.6；因为1.40625 1.250.156250.1-=>，所以不必考虑端点1.25和1；因为(1.4375)0f >，(1.375)0f <，所以(1.4375)(1.375)0f f <，所以函数()f x 在(1.375,1.4375)内有零点，因为1.4375 1.3750.06250.1-=<，所以满足精确度0.1；所以方程()0f x =的一个近似根（精确度0.1）是区间(1.375,1.4375)内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知：1.4[1.375,1.4375]∈.故选：C.3.“1sin 2x =”是“2()6x k k Z ππ=+∈”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】首先根据1sin 2x =可得：2()6x k k Z ππ=+∈或52()6x k k Z ππ=+∈，再判断即可得到答案.【详解】由1sin 2x =可得：2()6x k k Z ππ=+∈或52()6x k k Z ππ=+∈，即2()6x k k Z ππ=+∈能推出1sin 2x =，但1sin 2x =推不出2()6x k k Z ππ=+∈“1sin 2x =”是“2()6x k k Z ππ=+∈”的必要不充分条件故选：B【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断，同时考查根据三角函数值求角，属于简单题.4.函数21π()sin 212x xf x x -⎛⎫=⋅+ ⎪+⎝⎭在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】先得到函数的奇偶性，再计算出当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，判断出答案.【详解】化简函数()f x 解析式可得21()cos 21x x f x x -=⋅+，定义域为R ，112121212()()cos cos()cos cos 121212112xxxx x x x x f x f x x x x x------+-=⋅+-=⋅+⋅++++ 01212cos 11cos 22x x x x x x -=⋅+⋅+=+-，()f x ∴为奇函数，AC 错误；又因为当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，21()cos 021x x f x x -=⋅>+，B 错误，D 正确.故选：D.5.已知π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π,02β⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，πsin 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，πsin 423β⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2βα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A.9 B.69-C.9D.9【答案】A 【解析】【分析】先根据已知条件及同角三角函数基本关系求出π1cos 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π3cos 423β⎛⎫-= ⎪⎝⎭；再利用已知角π4α+和π42β-来配凑2βα+；最后利用两角差的正弦公式即可求解.【详解】π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，π,02β⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，πππ,442α⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，πππ,4242β⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，πsin 43α⎛⎫+=⎪⎝⎭，πsin 423β⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π1cos 43α⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，πcos 423β⎛⎫-= ⎪⎝⎭.ππsin sin 2442ββαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+-- ⎪ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππππsin cos cos sin 442442ββαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭13333=⨯-⨯9=.故选：A.6.酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障安全，根据国家规定，驾驶人员每100毫升血液酒精含量大于或等于20毫克，并每100毫升血液酒精含量小于80毫克为饮酒后驾车；每100毫升血液酒精含量大于或等于80毫克为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了每毫升血液含酒精0.8毫克，如果停止饮酒后，他的血液中的酒精会以每小时25%的速度减少，那么他想要驾车至少要经过（参考数据：lg 20.301≈，lg 30.477≈）（）A.3hB.4hC.5hD.7h【答案】C 【解析】【分析】先根据题意表示出经过t 小时后，该驾驶员体内的酒精含量；再列出不等式求解即可.【详解】经过t 小时后，该驾驶员体内的酒精含量为：30.8mg /ml 4t⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭.只需30.80.24t⎛⎫⨯< ⎪⎝⎭，即3144t⎛⎫< ⎪⎝⎭，341log 43344t ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为函数34x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上为减函数，所以341lg 42lg 20.602log 4.8164lg 4lg 32lg 2lg 30.6020.477t >==≈=---，故他至少要经过5个小时后才能驾车.故选：C.7.定义在R 上的奇函数()f x 满足，当(0,2)x ∈时，()cos((1))2f x x π=-，且2x ≥时，有1()(2)2f x f x =-，则函数2()()F x x f x x =-在[2,5]-上的零点个数为A.9B.8C.7D.6【答案】B 【解析】【分析】先由奇函数性质求出函数()f x 在[]2,2-上的解析式，再利用1()(2)2f x f x =-.得到[2,5]-的图象，2()()F x x f x x =-的零点个数，等价于求1()f x x =的解的个数.根据两函数交点个数即可求解.【详解】当(0,2)x ∈时，()cos((1))cos(sin()2222f x x x x ππππ=-=-=，()f x 是奇函数，()00f ∴=，当2x ≥时，有1()(2)2f x f x =-，()()12002f f ∴==，()()14202f f ==，若()2,0x ∈-，则()0,2x -∈，则()sin()(in ()22)s x f x f x x ππ-=-=-=-，即()sin()2f x x π=，()2,0x ∈-即当22x -≤≤时，()sin()2f x x π=，当24x ≤≤时，022x ≤-≤，此时1111()(2)sin[(2)]sin()sin()2222222f x f x x x x ππππ=-=-=-=-，当45x ≤≤时，223x ≤-≤，此时1111()(2)sin[(2)]sin()sin(44)24222f x f x x x x ππππ=-=--=--=，由2()()0F x x f x x =-=，得：当0x =时，由(0)0F =，即0x =是()F x 的一个零点，当0x ≠时，由2()0f x xx -=得1()xf x =，即1()f x x=，作出函数()f x 与1()g x x=在，[2,5]-上的图象如图：由图象知两个函数在[2,5]-上共有7个交点，加上一个0x =，故函数2()()F x x f x x =-在[2,5]-上的零点个数为8个，故选：B.【点睛】本题主要考查函数与方程的应用.判断函数零点个数的方法:直接法:即直接求零点，令()0f x ＝，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点定理法:即利用零点存在性定理，不仅要求函数的图象在区间[]a b ，上是连续不断的曲线，且()()0f a f b < ，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点图象法:即利用图象交点的个数，画出函数()f x 的图象，函数()f x 的图象与x 轴交点的个数就是函数()f x 的零点个数；将函数()f x 拆成两个函数()h x 和()g x 的差，根据()0()()f x h x g x Û＝＝，则函数f(x)的零点个数就是函数()y h x =和()y g x ＝的图象的交点个数性质法:即利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数.8.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若对任意120x x <<，均有()()2112120x f x x f x x x ->-且(3)3f =，则不等式()0f x x ->的解集为（）A.(3,0)(3,)-⋃+∞B.()3,3-C.(,3)(3,)-∞-⋃+∞D.(3,0)(0,3)-⋃【答案】A 【解析】【分析】先变形得到()()1212f x f x x x <，令()()f x g x x =，得到()()f x g x x=在(0,)+∞上单调递增，结合(3)(3)13f g ==，得到3x >，再结合函数的奇偶性和单调性得到30x -<<，从而求出答案.【详解】因为120x x <<，所以()()21120x f x x f x -<，所以()()1212f x f x x x <.设函数()()f x g x x =，则函数()()f x g x x =在(0,)+∞上单调递增，且(3)(3)13f g ==.当0x >时，不等式()0f x x ->等价于()f x x >，即()1f x x>，即()(3)g x g >，解得3x >，又因为()f x 是定义在上的奇函数，所以(0)0f =，所以，当0x =时，不等式()0f x x ->无解.因为()f x 是定义在上的奇函数，所以−=−，()()f x g x x=的定义域为()(),00,∞∞-⋃+，又()()()()()f x f x f x g x g x x x x---====--，故()()f x g x x=为偶函数，且在(,0)-∞单调递减，当0x <时，不等式()0f x x ->等价于()f x x >，即()1f x x<，因为(3)(3)13f g --==-，故()(3)g x g <-，解得30x -<<，综上，不等式()0f x x ->的解集为(3,0)(3,)-⋃+∞.故选：A.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于实数a ，b ，c ，下列说法正确的是（）A.若1a b <<，则11b a< B.若22ac bc >，则a b>C.若0a b >>，0c >，则b b c a a c+<+ D.若c a b >>，a b c a c b<--【答案】ABC 【解析】【分析】AB 选项，可利用不等式性质进行判断；CD 选项，利用作差法比较出大小.【详解】A 选项，若1a b <<，则0ab >，不等式两边同除以ab 得11b a<，A 正确；B 选项，若22ac bc >，则0c ≠，故20c >，不等式两边同除以2c 得a b >，B 正确；C 选项，()()()b a cb bc ab bc ab ac a a c a a c a a c -++---==+++，因为0a b >>，0c >，所以0,0b a a c -<+>，故()()0b a c b b c a a c a a c -+-=<++，所以b b ca a c+<+，C 正确；D 选项，()()()a b c a b c a c b c a c b --=----，因为c a b >>，所以0c a ->，0c b ->，0a b ->，但c 的正负不确定，故无法判断()()()c a b c a c b ---的正负，从而无法判断a c a -与bc b-的大小关系，D 错误.故选：ABC.10.已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<）的最小正周期为π，将该函数的图象向左平移π3个单位后，得到的图象对应的函数为偶函数，则下列说法正确的是（）A.函数()y f x =的图象关于直线π6x =对称B.函数()y f x =在区间5π4π,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C.1(0)2f =-D.函数()y f x =的图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】BCD 【解析】【分析】由三角函数的周期性与奇偶性，结合三角函数图象平移法则求得,ωϕ，再利用代入检验法与整体代入法逐一分析各选项即可得解.【详解】因为函数()sin()f x x ωϕ=+的最小正周期为2ππω=，则2ω=，故()sin(2)f x x ϕ=+，将该函数的图象向左平移π3个单位后，得到2πsin 23y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，因为得到的图象对应的函数2πsin 23y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为偶函数，所以2πππ(Z)32k k ϕ+=+∈，即ππ(Z)6k k ϕ=-+∈，因为π2ϕ<，所以π6ϕ=-，故π()sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于A ，当π6x =时，则πππ1sin 6362f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；对于B ，令πππ2π22π262k x k -+<-<+，Z k ∈，得ππππ(Z)63k x k k -+<<+∈，当1k =时，()y f x =在区间5π4π,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故B 正确；对于C ，π1(0)sin 62f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，πππsin 01266f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：BCD.11.设函数()()12,1log 1,1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，若()()()()1234f x f x f x f x ===，且1234x x x x <<<，则()1243412x x x x ++++的值可以是（）A.4B.5C.163D.6【答案】AB 【解析】【分析】画出函数图象，数形结合得到120x x +=，3322x ≤<，423x <≤，结合交点关系得到()12344444222111x x x x x x +++=++++-，构造函数42()2(23)11g x x x x =++<≤+-，根据函数单调性得到取值范围，求出答案.【详解】函数()f x的图象如图所示，设()()()()1234f x f x f x f x t ====，由图可知，当01t <≤时，直线y t =与函数()f x 的图象有四个交点，交点的横坐标分别为1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，1x >时，令12()log (1)1f x x =-=，解得32x =或3x =.由图可知，120x x +=，3322x ≤<，423x <≤，由()()34f x f x =，可得34111x x -=-，则有34111x x =+-，所以()1233444444422221111x x x x x x x x +++=+=+++++-.令42()2(23)11g x x x x =++<≤+-，易知()g x 在(2,3]上为减函数，且16(2)3g =，(3)4g =，故()12344164213x x x x ≤+++<+，且1644,3⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，1654,3⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，AB 正确；又1616164,,64,333⎡⎫⎡⎫∉∉⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，CD 错误.故选：AB.【点睛】将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的反函数为1()f x -，且11()()4f a f b --+=-，则11a b +的最小值为__________.【答案】12【解析】【分析】先利用指、对数式的互化得到函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的反函数，再利用对数的运算性质化简11()()4f a f b --+=-，最后由基本不等式求得最值即可．【详解】因为x y a =和log a y x =（0a >，1a ≠）互为反函数，若1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则112()log f x x -=，又因为11()()4f a f b --+=-，所以111222log log log ()4a b ab +==-，所以16ab =，且0a >，0b >，又11116162a b a b a b ab +++==≥=，当且仅当4a b ==时等号成立，所以11a b +的最小值为12.故答案为：12.13.如果函数()f x 的图象可以通过()g x 的图象平移得到，则称函数()f x 为函数()g x 的“同形函数”，下面几对函数是“同形函数”的是__________.（填上正确选项的序号即可）①()sin f x x =，()cos g x x =；②()2sin cos f x x x =，()cos 2g x x =；③44()sin cos f x x x =-，()cos 2g x x =；④()sin 2tan f x x x =⋅，()cos 2g x x =.【答案】①②③【解析】【分析】①②③，结合三角恒等变换及平移变换法则求出答案；④由两函数定义域不同，故④错误.【详解】①()cos g x x =的图象向右平移π2个单位得到()sin f x x =的图象，①正确；②π()2sin cos sin 2cos 22f x x x x x ⎛⎫===-⎪⎝⎭，故()f x 的图象可由()cos 2g x x =的图象向右平移π4个单位得到，故②正确；③()()44222222()sin cos sin cos sincos sin cos f x x x x xx x x x =-=-+=-cos 2cos(2π)x x =-=+，故()f x 的图象可由()cos 2g x x =的图象向左平移π2个单位得到，故③正确；④2sin ()sin 2tan 2sin cos 2sin 1cos 2cos(2)1co πs xf x x x x x x x x x=⋅=⋅==-=++，因为()sin 2tan f x x x =⋅的定义域不是，而()cos 2g x x =的定义域是，所以不可能由()cos 2g x x =的图象平移得到()sin 2tan 2f x x x =⋅的图象，故④错误.故答案为：①②③14.定义域为R 的函数()f x 的图象关于直线1x =对称，当[0,1]x ∈时，()f x x =，且对任意x ∈R ，有(2)()f x f x +=-，2024(),0()log (),0f x xg x x x ≥⎧=⎨--<⎩，则方程()()0g x g x --=实数根的个数为__________.【答案】2027【解析】【分析】由于题意可得函数()f x 以4为周期，分0x >，0x <，0x =三种情况讨论，把问题转化函数图象交点个数问题，作出函数图象，结合函数的周期性即可得解．【详解】对任意∈有(2)()f x f x +=-，得(4)(2)()f x f x f x +=-+=，则函数()f x 以4为周期，由于函数()f x 的图象关于直线1x =对称，则()(2)f x f x =-，又(2)()f x f x +=-，所以(2)(2)0f x f x ++-=，则函数()f x 的图象关于(2,0)对称.当0x >时，0x -<，由()()0g x g x --=得()()g x g x =-，则2024()log f x x =-，作出()y f x =与2024log y x =-的大致图象如图，令2024log 1x -=-，则2024x =，而20244506=⨯，由图可知，在第一个周期内有三个交点，后面每个周期内有两个交点，所以()y f x =与2024log y x =-的图象在(0,)+∞上有350521013+⨯=个交点；当0x <时，0x ->，由()()g x g x =-得：2024log ()()x f x --=-，令x t -=，0t >，得2024()log f t t =-，由上述可知，()y f t =与2024log y t =-的图象在(0,)+∞上有1013个交点，故()y f x =-与2024log ()y x =--的图象在(,0)-∞上有1013个交点，又0x =时，()()0g x g x --=成立，所以方程()()0g x g x --=实数根的个数为2101312027⨯+=.故答案为：2027.【点睛】思路点睛：由题分析可得函数()f x 以4为周期，图象关于(2,0)中心对称，把问题转化函数图象交点个数问题，数形结合可得解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设集合{}11ee x A x -=≤≤，若关于x 的不等式20x mx n ++≤的解集为A .（1）求函数()2f x x mx n =++的解析式；（2）求关于x 的不等式()()2322f x x λλ+>-+的解集，其中λ∈R .【答案】（1）详见解析；（2）{|x x λ<-或}3x λ>-.【解析】【分析】（1）先化简集合A ，再根据关于x 的不等式20x mx n ++≤的解集为A ，利用根与系数的关系求解；（2）由（1）化简不等式为()()30x x λλ++->求解.【小问1详解】解：集合{}11ee x A x -=≤≤{}|12x x =≤≤，因为关于x 的不等式20x mx n ++≤的解集为A ，所以3,2m n =-=，则()232f x x x =-+；【小问2详解】由（1）知：关于x 的不等式()()2322f x x λλ+>-+即为：()2232322x x x λλ-++>-+，即为()222330x x λλλ+-+->，即为()()30x x λλ++->，解得：3x λ>-或x λ<-，所以不等式的解集为：{|x x λ<-或}3x λ>-.16.若函数()y f x =对任意实数x ，y 都有()()()f xy f x f y =，则称其为“保积函数”.现有一“保积函数”()f x 满足(1)1f -=-，且当01x <<时，()(0,1)f x ∈.（1）判断“保积函数”()f x 的奇偶性；（2）若“保积函数”()f x 在区间(0,)+∞上总有()0f x >成立，试证明()f x 在区间(0,)+∞上单调递增；（3）在（2）成立的条件下，若(2)2f =，求()211log sin 2f x +≤，[0,2π]x ∈的解集.【答案】（1）()f x 为奇函数（2）证明见解析（3）π3π0,,π44⎛⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】【分析】（1）赋值，结合(1)1f -=-，进而得到()f x 为奇函数；（2）()f x 在(0,)+∞上单调递增，利用定义法得到函数的单调性；（3）赋值法得到1122f ⎛⎫=⎪⎝⎭，结合函数单调性得到211log sin 2x +≤，[0,2π]x ∈，数形结合，结合定义域，得到不等式，求出解集.【小问1详解】()f x 为奇函数，理由如下：根据题意，令1y =-，得()()(1)f x f x f -=-，因为(1)1f -=-，所以()()f x f x -=-，故结合定义域可知，()f x 为奇函数.【小问2详解】证明：任取1x ∀，2(0,)x ∈+∞，且12x x >，则2101x x <<，因此()()()()()2212111111x x f x f x f x f x f x f x f x x ⎛⎫⎛⎫-=-⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2111x f x f x ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为2101x x <<，且当01x <<时，()(0,1)f x ∈，所以2110x f x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，因为(0,)∀∈+∞x ，()0f x >恒成立，所以()10f x >，所以()()()2121110x f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即()()12f x f x >，又因为120x x >>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；【小问3详解】(1)1f -=-Q ，又()f x 为奇函数，(1)(1)1f f ∴=--=，()()()f xy f x f y = ，112(2)22f f f⎛⎫⎛⎫∴⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2)2f = ，1122f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，故原不等式等价于()211log sin 2f x f ⎛⎫+≤⎪⎝⎭，[0,2π]x ∈，()f x 在(0,)+∞上单调递增且(0,)∀∈+∞x ，()0f x >恒成立，又()f x 为奇函数，()f x ∴在上单调递增，故211log sin 2x +≤，[0,2π]x ∈，则221log sin log 22x ≤-=，[0,2π]x ∈，∴sin 0sin 2x x >⎧⎪⎨≤⎪⎩，解得π04x <≤或3ππ4x ≤<，综上，()211log sin 2f x +≤，[0,2π]x ∈的解集为π3π0,,π44⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.17.已知函数())f x x =ω+ϕ（0ω>，ππ22ϕ-≤≤）的图象关于直线π3x =对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.（1）求ω和ϕ的值；（2）当π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，求函数()y f x =的最大值和最小值；（3）设()()(0)g x f cx c =>，若()g x 图象的任意一条对称轴与x 轴的交点的横坐标不属于区间(π,2π)，求c 的取值范围.【答案】（1）2ω=，π6ϕ=-（22-（3）1150,,6312⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【解析】【分析】（1）根据最小正周期求出ω，再根据对称轴求出ϕ；（2）由（1）可得()f x 解析式，再由x 的取值范围求出π26x -的范围，最后由正弦函数的性质计算可得；（3）首先得到()g x 的解析式，由12ππ22c⨯≥求出c 的大致范围，再求出()g x 图象的某一条对称轴与x 轴的交点的横坐标属于区间(π,2π)时c 的取值范围，即可得解.【小问1详解】因为()f x 的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以()f x 的最小正周期πT =，所以2π2Tω==，又因为()f x 的图象关于直线π3x =对称，所以232ππkπϕ⨯+=+，k ∈Z ，所以ππ6k ϕ=-，k ∈Z ，又ππ22ϕ-≤≤，所以π6ϕ=-，综上可得2ω=，π6ϕ=-.【小问2详解】由（1）知π()26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，ππ5π2666x -≤-≤，所以当ππ262x -=（即π3x =）时，max ()f x =当ππ266x -=-（即0x =）时，min 3()2f x =-，所以函数()y f x =在π0,2⎡⎤∈⎢⎣⎦x 2-.【小问3详解】由题意π()()26g x f cx cx ⎛⎫==- ⎪⎝⎭()0c >，()g x 图象的任意一条对称轴与x 轴的交点的横坐标都不属于区间(π,2π)，12ππ22c ∴⨯≥且0c >，解得102c <≤，令ππ2π62cx k -=+，k ∈Z ，解得ππ23k x c c=+，k ∈Z ，若()g x 图象的某一条对称轴与x 轴的交点的横坐标属于区间(π,2π)，则πππ2π23k c c <+<，解得114623k k c +<<+，当1k =-时，112c -<且16c <-（矛盾），故解集为空集；当0k =时，1163c <<；当1k =时，55126c <<，故c 的取值范围为1150,,6312⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦.18.已知函数2()43f x x x =-+，()(4)3g x a x =+-，a ∈R .（1）若[1,0]x ∃∈-，使得方程()20m f x -=有解，求实数m 的取值范围；（2）若对任意的1[1,5]x ∈-，总存在2[1,5]x ∈-，使得()()12f x g x ≤，求实数a 的取值范围；（3）设()()()h x f x g x =+，记()M a 为函数()h x 在[0,1]上的最大值，求()M a 的最小值.【答案】（1）[]2log 3,3（2）{15a a ≤-或9}5a ≥-（3）3-【解析】【分析】（1）根据二次函数的单调性，结合存在性的定义、对数的单调性进行求解即可；（2）根据存在性和任意性的定义，结合函数的对称性分类讨论进行求解即可；（3）根据函数的对称性、单调性分类讨论进行求解即可.【小问1详解】[1,0]x ∃∈-，2()20243m m f x x x -=⇔=-+，因为函数2()43f x x x =-+的图象的对称轴是直线2x =，所以()y f x =在[1,0]-上为减函数，max ()(1)8f x f =-=，min ()(0)3f x f ==，故2[3,8]m ∈，所以m 的取值范围为[]2log 3,3.【小问2详解】对任意的1[1,5]x ∈-，总存在2[1,5]x ∈-，使得()()12f x g x ≤，∴即在区间[1,5]-上，()()12max max f x g x ≤，函数2()43f x x x =-+图象的对称轴是直线2x =，又[1,5]x ∈-，∴当5x =时，函数()f x 有最大值为2(5)54538f =-⨯+=，①当4a =-时，()3g x =-，不符合题意，舍去；②当4a >-时，()g x 在[1,5]-上的值域为[7,517]a a --+，5178a ∴+≥，得95a ≥-；③当4a <-时，()g x 在[1,5]-上的值域为[517,7]a a +--，78a ∴--≥，得15a ≤-，综上，a 的取值范围为{15a a ≤-或9}5a ≥-；【小问3详解】函数2()h x x ax =+图象的对称轴为2a x =-，①当2a ≤-或0a ≥时，()h x 在[0,1]上单调递增，则()(1)|1|M a f a ==+；②当20a -<<时，2()max ,(1)max ,124a a M a ff a ⎧⎫⎧⎫⎛⎫=-=+⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭，解不等式组22014a a a -<<⎧⎪⎨>+⎪⎩，得(221a -<<-，故当20a -<<，()((2,22141,210a a M a a a ⎧-<<-⎪=⎨⎪+-≤<⎩，综上，()((2,22141,221a a M a a a a ⎧-<<-⎪=⎨⎪+≤-≥-⎩或，()M a ∴在((),21∞--上单调递减，在()21,∞⎡+⎣上单调递增，(21a ∴=-时，()M a取最小值为(2113+=-.【点睛】关键点睛：本题的关键是根据函数的对称轴与所给区间的相位位置进行分类讨论.19.已知()()()sin22sin cos 8f m θθθθ=---+．（1）当1m =时，求π12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）若()fθ的最小值为7-，求实数m 的值；（3）对任意的π,π4θ⎛⎫∈⎪⎝⎭，不等式()816sin cos m f θθθ->-恒成立．求m 的取值范围．【答案】（1）172+（2）5m =或1m =-（3）722,6⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用辅助角公式，化简函数，再代入求π12f ⎛⎫⎪⎝⎭；（2）首先设sin cos t θθ=-，利用三角恒等变换，将函数表示成关于t 的二次函数，讨论对称轴，结合定义域求函数的最小值，列式求解m ；（3）根据（2）的结果，不等式参变分离为128m t t t->+-，在(t ∈恒成立，转化为判断函数的单调性，求函数的最值，即可求解m 的取值范围.【小问1详解】()()())πsin22sin cos 8sin22sin 84f m m θθθθθθ⎛⎫=---+=--+ ⎪⎝⎭，当1m =时，ππππ1ππsin 881261242124f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1178262π+=+=；【小问2详解】设πsin cos 4t θθθ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则t ⎡∈⎣，22sin cos 1=-+t θθ，()()()229,f Q t t m t t θ⎡==---+∈⎣，其对称轴为12m t =-+，当102m-+≥，即2m ≥时，()f θ的最小值为(77Q =+=-，则5m =；当102m-+<，即2m <时，()f θ的最小值为77Q =-=-1m =-；综上，5m =或1m =-；【小问3详解】由()816sin cos m f θθθ->-，对所有π,π4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭都成立．设πsin cos 4t θθθ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则(t ∈，()281629m t m t t-∴>---+，(t ∈恒成立，280t -> ，128m t t t∴-+->，在(t ∈恒成立，当(t ∈时，8t t -递减，则18t t t+-在(递增，t ∴=时18t t t +-取得最大值726得2m ->2∴>m 所以存在符合条件的实数m ，且m的取值范围为2,6∞⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭．【点睛】关键点点睛：本题的关键利用公式()22sin cos 1sin cos θθθθ=--，从而利用换元法转化为关于t 的函数问题.。

重庆市中学2024-2025学年高一上学期第一学月考试数学试题含答案

重庆市2024—2025学年第一学月考试高一（上）数学试题卷（答案在最后）考试说明：1．考试时间120分钟2．试题总分150分3．试卷页数2页一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个备选选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.命题“2210x x ∀>->，”的否定为（）A.2210x x ∀>-≤，B.2210x x ∀≤-≤，C.2210x x ∃>-≤，D.2210x x ∃≤-≤，【答案】C 【解析】【分析】直接由全称命题的否定即可得出答案.【详解】命题“2210x x ∀>->，”，由全称命题的否定可知，命题“2210x x ∀>->，”的否定为：2210x x ∃>-≤，，故选：C.2.下列表示正确的个数是（）（1）0∉∅；（2）{}1,2∅⊆；（3）{}210(,)3,435x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎪⎪=⎨⎨⎬-=⎩⎪⎪⎩⎭；（4）若A B ⊆，则A B A = A.3 B.2C.1D.0【答案】A 【解析】【分析】由元素与集合的关系可判断（1）；由集合与集合的包含关系可判断（2）；由描述法可判断（3）；由集合的包含关系与交集的定义可判断（4）．【详解】因为空集没有任何元素，故0∉∅，故（1）正确；因为空集是任何集合的子集，故{}1,2∅⊆，故（2）正确；解方程组21035x y x y +=⎧⎨-=⎩得34x y =⎧⎨=⎩，则(){}210(,)3,435x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎪⎪=⎨⎨⎬-=⎩⎪⎪⎩⎭，故（3）错误；若A B ⊆，则A B A = ，故（4）正确.所以正确的个数是3．故选：A ．3.估计(的值应在（）A.9和10之间B.8和9之间C.7和8之间D.6和7之间【答案】C 【解析】【分析】先根据二次根式的运算法则进行计算，在对根式进行估算即可.【详解】(4=+因为91016<<，所以34<<，所以748<+<，故选：C.4.已知二次函数()2321y k x x =-++的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（）A .4k < B.4k ≤ C.4k <且3k ≠ D.4k ≤且3k ≠【答案】D 【解析】【分析】由条件可得二次方程()23210k x x -++=有解，列不等式求k 的范围即可.【详解】由已知二次方程()23210k x x -++=有解，所以30k -≠，且()4430k --≥，所以4k ≤且3k ≠.故选：D.5.比较（0a >，0b >）的大小（）A.> B.+<C.+≥ D.≤【答案】C【解析】【分析】利用作差化简比较大小即可.【详解】因为0a >，0b >，20>>≥，+====2=≥，+≥，故选：C 6.已知102x <<，则1812x x+-的最小值为（）A.16 B.18C.8D.20【答案】B 【解析】【分析】将1812x x+-转化为28212x x +-，发现所求式子两个分母和为定值1，即()2121x x +-=，所以运用“1”的灵活代换及均值不等式即可求解.【详解】解：因为102x <<，所以0121x <-<，又因为()2121x x +-=，所以()1828281221212212211216102x x x x x x x x x x x x -++=+-+-⎛⎫⎡⎤=⨯=+ ⎪⎣⎦-⎝⎭--1018≥+（当且仅当162121x x x x -=-即16x =时等号成立），故选：B.7.已知命题:0p x ∀>，4x a x+≥，命题:q x ∃∈R ，210x ax ++=，若命题p ，q 都是真命题，则实数a 的取值范围是（）.A.24a ≤≤B.22a -≤≤C.2a ≤-或24a ≤≤D.2a ≤-【答案】C 【解析】【分析】若命题p 为真命题，利用基本不等式求出4x x+的最小值即可得到a 的取值范围，若命题q 为真命题，则由0∆≥即可求出a 的取值范围，再取两者的交集即可.【详解】∵命题p ：40,x x a x∀>+≥为真命题，∴min4a x x ⎛⎫≤+⎪⎝⎭，又∵0x >，∴44x x +≥=，当且仅当4x x =，即2x =时，等号成立，∴4a ≤，∵命题:q x ∃∈R ，210x ax ++=，为真命题，∴240a ∆=-≥，∴2a ≤-或2a ≥，∵命题p ，q 都是真命题，∴2a ≤-或24a ≤≤.故选：C8.已知集合{}1234,,,A x x x x =且1234x x x x <<<，定义集合{},,,,=1,2,3,4i j i j B x x x x x x A i j ==-∈，若B A =，给出下列说法：①1423x x x x +<+；②2132x x x =<；③3242x x x =+；正确的个数是（）A.0 B.1C.2D.3【答案】D 【解析】【分析】由集合的新定义结合B A =，可得324321x x x x x x -=-=-,由此即可求解.【详解】因为集合{}1234,,,A x x x x =且1234x x x x <<<,若B A =，则B 中也包含四个元素,即{}2131410,,,,B x x x x x x =---剩下的324321x x x x x x -=-=-，4231x x x x -=-，对于①:由4321x x x x -=-得4123x x x x +=+,故①正确;对于②：由3221x x x x -=-得2132x x x =+,故②正确;对于③：由3243x x x x -=-得3242x x x =+,故③正确;故选:D二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对6分，部分选对部分分）9.下列说法不正确的是（）A.“11a b>”是“a b >”的充分不必要条件B.“A =∅”是“A B =∅ ”的充分不必要条件C.若R a b c ∈,,，则“22ab cb >”的充要条件是“a c >”D.若,R a b ∈，则“220a b +≠”是“0a b +≠”的充要条件【答案】AC 【解析】【分析】根据已知条件及特殊值法，结合充分条件必要条件的定义即可求解.【详解】对于A 选项，当2,3a b ==时，11;23a b ><当1,2a b =-=-时，11212->-->-，，所以两者既不充分也不必要，故A 错误;对于B 选项，当A B =∅ 时，可取}{}{1,2A B ==，但A ≠∅，当A =∅时，A B =∅ ，故B 正确;对于C 选项，当22ab cb >时，20b >，从而a c >，反之，a c >时，若0b =，则22ab cb =，所以两者不是充要条件，故C 错误；对于D 选项，220,0a b a +≠≠且00b a b ≠⇔+≠，故D 正确，故选:AC10.设正实数m ，n 满足2m n +=，则（）A.12m n+的最小值为3 B.+的最大值为2C.的最大值为1 D.22m n +的最小值为32【答案】BC 【解析】【分析】由基本不等式逐项求解判断即可.【详解】因为正实数m ，n 满足2m n +=，所以()1211212131232222n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝当且仅当2n mm n=，即2m ==，4n =-，等号成立，故A 错误；2224m n m n =++=+++=，当且仅当1m n ==时，等号成立，所以2≤，故B 正确；m n +≥12m n+≤=，当且仅当1m n ==时，等号成立，故C 正确；()22222424222m n m n m n mn mn +⎛⎫+=+-=-≥-= ⎪⎝⎭，当且仅当1m n ==时，等号成立，故D 错误；故选：BC11.已知二次函数2y ax bx c =++（0,,,a a b c ≠为常数）的对称轴为1x =，其图像如图所示，则下列选项正确的有（）A.0abc abc +=B.当1a x a ≤≤-时，函数的最大值为2c a -C.关于x的不等式()()2422222ax bx a x b x +>-+-的解为x >或x <D.若关于x 的函数21t x bx =++与关于t 的函数21y t bt =++有相同的最小值，则1b -≥【答案】ACD【分析】A 选项，由开口方向，与y 轴交点，及对称轴，求出,,a b c 的正负，得到A 正确；B 选项，当1a x a ≤≤-时，数形结合得到函数随着x 的增大而减小，从而求出最大值；C 选项，结合2b a =-，化简不等式，求出解集；D 选项，配方得到两函数的最小值，从而得到2124b b -≥-，求出1b -≥【详解】A 选项，二次函数图象开口向上，故0a >，对称轴为12bx a=-=，故20b a =-<，图象与y 轴交点在y 轴正半轴，故0c >，所以0abc <，故0abc abc abc abc +=-+=，A 正确；B 选项，因为2b a =-，故22y ax ax c =-+，因为0a >，所以11a -<，当11a x a ≤≤-<时，22y ax ax c =-+随着x 的增大而减小，所以x a =时，y 取得最大值，最大值为322y a c a -=+，B 错误；C 选项，因为2b a =-，所以42422ax bx ax ax +=-，()()()2224224222442268a x b x ax ax a a x ax ax a -+-=-+--=-+，故不等式()()2422222ax bx a x b x +>-+-变形为2048ax a >-，因为0a >，22x >，解得：x >或x <，故C 正确；D 选项，2224121b t x bx x b ⎛⎫=++=+ +-⎪⎝⎭，当2b x =-时，t 取得最小值，最小值为214b -，2224121b y t bt t b ⎛⎫=++=+ +-⎪⎝⎭，当2b t =-时，y 取得最小值，最小值为214b -，所以2124b b -≥-，即2240b b --≥，所以()215b -≥，即1b -≥D 正确.故选：ACD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知集合{}{}2,,1a a a =，则a =___________．【解析】【分析】根据集合相等的定义求解即可．【详解】由题意得，21a =，解得1a =-或1a =，当1a =时，集合为{}1,1，不满足集合中元素的互异性，舍去，当1a =-时，集合为{}1,1-，满足题意，故答案为：1-．13.已知11,11a b a b -≤+≤-≤-≤，求23a b +的取值范围__________．【答案】[3,3]-【解析】【分析】利用待定系数法设23()()a b a b a b λμ+=++-，得到方程组，解出,λμ，再根据不等式基本性质即可得到答案.【详解】设23()()a b a b a b λμ+=++-,则2,3,λμλμ+=⎧⎨-=⎩解得5,21.2λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故5123()()22a b a b a b +=+--，由11a b -≤+≤,故555()222a b -≤+≤，由1a b -≤-1≤,故111()222a b -≤--≤，所以23[3,3]a b +∈-.故答案为：[3,3]-.14.已知正实数,x y 满足224924x xy y -+=-，且24yx y <<，则3x y +的最小值为__________．【答案】4【解析】【分析】将224924x xy y -+=-，变形为()()424x y y x --=，再由()()342x y x y y x +=-+-，利用基本不等式求解.【详解】解：因为()()22492424x xy y x y x y -+=--=-，所以()()424x y y x --=，所以()()3424x y x y y x +=-+-≥=，（当且仅当42x y y x -=-时，联立224924x xy y -+=-，解得610,77x y ==），所以3x y +的最小值为4，故答案为：4四、解答题（本愿共5小题，共77分）15.已知{}3A xa x a =≤≤-+∣，{1B x x =<-∣或5}x >．（1）若A B =∅ ，求a 的取值范围；（2）若A B =R ，求a 的取值范围．【答案】（1）[)1,-+∞（2）(],2-∞-【解析】【分析】（1）分A =∅和A ≠∅两种情况讨论求解即可；（2）由题意得351a a -+≥⎧⎨≤-⎩，从而可求出a 的取值范围．【小问1详解】①当A =∅时，A B =∅ ，∴3a a >-+，∴32a >．②当A ≠∅时，要使A B =∅ ，必须满足32351a a a ⎧≤⎪⎪-+≤⎨⎪≥-⎪⎩，解得312a -≤≤．综上所述，a 的取值范围是[)1,-+∞．【小问2详解】∵A B =R ，{}3A xa x a =≤≤-+∣，{1B x x =<-∣或5}x >，∴351a a -+≥⎧⎨≤-⎩，解得2a ≤-，故所求a 的取值范围为(],2-∞-．16.已知集合{}{}222|560,|2(1)30A x x x B x x m x m =+-==+++-=（1）若0,m =写出A B 的所有子集（2）若“”x A ∈是“”x B ∈的必要条件，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}{}{}{}{}{}{},6,1,3,6,1,6,3,1,3,6,1,3∅--------（2）}{|2m m ≤-【解析】【分析】（1）先利用一元二次方程化简集合A ，B ，再利用集合的并集运算求解，进而得到子集；（2）由题意得到B A ⊆，分B 中没有元素即B =∅，B 中只有一个元素和B 中有两个元素求解.【小问1详解】{}{}25606,1A x x x =+-==-，若0m =，则{}{}22303,1B x x x =+-==-，此时{}6,1,3A B =-- ，所以A B 子集为{}{}{}{}{}{}{},6,1,3,6,1,6,3,1,3,6,1,3∅--------.【小问2详解】若“”x A ∈是“”x B ∈的必要条件，只需B A ⊆.①若B 中没有元素即B =∅，则()()2241438160m m m ∆=+--=+<，此时2m <-，满足B A ⊆；②若B 中只有一个元素，则0∆=，此时2m =-．则{}}{2|2101B x x x =-+==，此时满足B A ⊆；③若B 中有两个元素，则0∆>，此时2m >-．因为A 中也有两个元素，且B A ⊆，则必有{}6,1B A ==-，由韦达定理得2613m -⨯=-，则23m =-，矛盾，故舍去．综上所述，当2m ≤-时，B A ⊆．所以实数m 的取值范围：}{|2m m ≤-．17.对于二次函数2(0)y mx nx t m =++≠，若存在0R x ∈，使得2000mx nx t x ++=成立，则称0x 为二次函数2(0)y mx nx t m =++≠的不动点．（1）求二次函数23y x x =--的不动点；（2）若二次函数()2221y x a x a =-++-有两个不相等的不动点1x 、2x ，且1x 、20x >，求1221x x x x +的最小值．【答案】（1）不动点为1-和3（2）6【解析】【分析】（1）根据不动点的定义，解方程23x x x --=，可得答案；（2）根据题意，即为方程()22103x x a a +-+=-有两个不相等的正实数根，解得a 的范围，再由韦达定理结合基本不等式可求得1221x x x x +的最小值.【小问1详解】由题意知：23x x x --=，2230x x ∴--=，(3)(1)0x x ∴-+=，解得11x =-，23x =，所以二次函数23y x x =--的不动点为1-和3．【小问2详解】依题意，()2221x a x a x -++-=有两个不相等的正实数根，即方程()22103x x a a +-+=-有两个不相等的正实数根，所以()()21212Δ3810302102a a a x x a x x ⎧⎪=+-->⎪+⎪+=>⎨⎪-⎪=>⎪⎩，解得1a >，所以1232x x a ++=，1212a x x -=，所以()222121212122112122x x x x x x x x x x x x x x +-++==()223121321212a a a a a a +⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭==--()()214(1)1621a a a -+-+=-1822621a a -=++≥=-当且仅当1821a a -=-，即5a =时等号成立，所以1221x x x x +的最小值为6．18.某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益，拟在下一年度开展促销活动，已知该款食品年销量x 吨与年促销费用t 万元之间满足函数关系式22k x t =-+（k 为常数），如果不开展促销活动，年销量是1吨.已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1吨食品需再投入32万元的生产费用，通过市场分析，若将每吨食品售价定为：“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费的一半”之和，则当年生产的该款食品正好能销售完.（1）求k 值；（2）将下一年的利润y （万元）表示为促销费t （万元）的函数；（3）该食品企业下一年的促销费投入多少万元时，该款食品的利润最大？（注：利润=销售收入-生产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用）【答案】（1）=2k （2）()321670222y t t t =--+≥+（3）该食品企业下一年的促销费投入6万元时，该款食品的利润最大为26.5万元.【解析】【分析】（1）依题意当=0t 时，=1x 代入计算可得；（2）依题意求出当年生产x 吨时，求出年生产成本和为年销售收入，从而可表示出食品的利润；（3）由（2）可得32269222t y t +⎛⎫=-++ ⎪+⎝⎭，利用基本不等式计算可得.【小问1详解】由题意可知，当=0t 时，=1x ，所以122k =-，解得=2k ；【小问2详解】由于=2k ，故222x t =-+，由题意知，当年生产x 吨时，年生产成本为：232332232x t ⎛⎫+=-+ ⎪+⎝⎭，当销售x 吨时，年销售收入为：3213223222t t ⎡⎤⎛⎫-++ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦，由题意，3212322332232222y t t t t ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++--+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，即()321670222y t t t =--+≥+.【小问3详解】由（2）知：()321670222y t t t =--+≥+，即3226932269222222t t y t t ++⎛⎫=--+=-++ ⎪++⎝⎭6926.52≤-=，当且仅当32222t t +=+，又22t +≥，即6t =时，等号成立.此时，max 26.5y =.该食品企业下一年的促销费投入6万元时，该款食品的利润最大为26.5万元.19.问题：正数a ，b 满足1a b +=，求12a b+的最小值．其中一种解法是：12122()123b a a ba b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭2b a a b=，且1a b +=时，即1a =-且2b =（1）若正实数x ，y 满足3xy x y =+，求x y +的最小值；（2）若正实数a ，b ，x ，y 满足22221x y a b-=，且a b >，试比较22a b -和2()x y -的大小，并说明理由；（3）利用（2）的结论，求代数式M =M 取得最小值时m 的值．【答案】（1）4+（2）()222a b x y -≤-，理由见解析.（3）136【解析】【分析】（1）把3xy x y =+转化为131x y+=，利用题设给出的方法求和的最小值.（2）借助“1”的代换，利用22a b -()222222x y a b a b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭22222222b x a y x y a b ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，再利用不等式可判断22a b -和2()x y -的大小.（3）取x =y =2231x y -=，利用（2）的结论，可求M 的最小值，再分析“=”成立的条件，可得m 的值.【小问1详解】由3xy x y =+（0x >，0y >）可得：131x y+=（0x >，0y >），所以()13x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭34y x x y =++4≥+4=+（当且仅当3131y x x y x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即13x y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩=”）.所以x y +的最小值为：4+.【小问2详解】因为22221x y a b-=，所以22a b -()222222x y a b a b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭22222222b x a y x y a b ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，因为2222222b x a y xy a b +≥（当且仅当222222b x a y a b =时取“=”）.所以22222222222b x a y x y x y xy a b ⎛⎫+-+≤+- ⎪⎝⎭222x y xy ≤+-()2x y =-（当0xy >时取“=”）所以：()222a b x y -≤-（当且仅当2222220b x a y a b xy ⎧=⎪⎨⎪>⎩即22b x a y =时取“=”）.【小问3详解】取x =y =，由35020m m -≥⎧⎨-≥⎩⇒2m ≥，此时()()352230m m m ---=->，所以0x y ->.同时：2231x y -=⇒22113y x -=，取21a =，213b =.由（2）可知：()22212133x y a b -≥-=-=，所以3x y -≥，当且仅当22331x y x y ⎧=⎪⎨⎪-=⎩，结合00x y >⎧⎨>⎩，得26x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即136m =时取“=”.【点睛】方法点睛：本题考查用基本不等式求最小值，考查方法的类比：“1”的代换．解题关键是“1”的代换，即利用22a b -()()222222221x y a b a b a b ⎛⎫=-⨯=-- ⎪⎝⎭22222222b x a y x y a b ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，从而借助基本不等式得出大小关系，同时考查新知识（新结论）的应用.。

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