圆锥曲线中斜率乘积问题为定值的问题
第6章 斜率之积为定值一 wps
第6章 斜率之积为22b a-2222222222b b b b b a a a a a ⎧⎪⎪⎪⎧-⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎧-⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪-⎨-⎪⎪⎪⎪⎪⎪-⎪⎩⎩中点弦椭圆中斜率之积斜率之积双曲线中斜率之积轨迹问题（一）斜率之积轨迹问题（二）斜率之积得应用与有关的定值问题（一）与有关的定值问题（二）本章主要探究圆锥曲线中两条相交直线的斜串之积为22b a -的等价条件,以及充分或必要条件。
6.1节聚焦于中点弦问题；6.2节阐述圆锥曲线斜率之积为22b a-这一问题；6.3节探索满足这一条件的点的轨迹方程。
读完本章，你会意识到其中的结论是多么方便实用，但我们却不希望这些结论仅仅只起到“结论”的作用，我们更希望引导你形成自主探索式的学习思维!6.1中点弦直线与圆锥曲线相交时，若出现了直线的斜率与线段的中点等字眼，则这样的题型往往可以避免使用韦达定理来计算。
对于这个类型的题，首先设出弦的两端点然后代入圆锥曲线并将两式相减，这样就直接联系了中点与直线的斜率的关系，我们把这个方法叫做点差法。
【例6.1】 (2017全国1文 20改编)设A,B 为曲线2:4C x y =上两点,点A 与点B 的横坐标之和为4,则直线AB 的斜率为____【分析】由于点A 与点B 的横坐标之和为4,故求解直线AB 的斜率，只需代入点作差。
【解析】设()()1122,,?,A x y B x y ,因为A,B 是椭圆上两点，所以代入得22211212122244()4x y x x y y x y ⎧=⇒-=-⎨=⎩ 整理可得212121()()4y y x x x x -+=-，由题意212121()41()y y x x x x -+=⇒=-，可得直线AB 的斜率为1.故填1.【例 6.2】 (2018 全国Ⅲ 文理 20)已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:143x y C +=交于A,B 两点，线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >。
圆锥曲线中的一类定值问题
结论5．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为22，过点(2,0)Q a -且斜率为11(0)k k ≠的直线l 与椭圆C 交于两点,P M ，点M 关于原点的对称点为N ，设直线PN 的斜率为2k ，则12k k 的值为_________.6．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率22e =，且与直线:3l y x =+相切.（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆上点(2,1)A 作椭圆的弦AP ，AQ ，若AP ，AQ 的中点分别为M ，N ，若MN 平行于l ，则OM ，ON 斜率之和是否为定值？7．已知A 、B 是双曲线()22122:10,0x y C a b a b -=>>的两个顶点，点P 是双曲线上异于A 、B 的一点，O为坐标原点，射线OP 交椭圆()22222:10x y C a b a b+=>>于点Q ，设直线PA 、PB 、QA 、QB 的斜率分别为1k 、2k 、3k 、4k .（1）若双曲线1C 的渐近线方程是12y x =±，且过点15,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，求1C 的方程；（2）在（1）的条件下，如果12158k k +=，求ABQ ∆的面积；1122(,),(,x y B x y 也为定值.【答案】B【详解】由抛物线的定义知02pMF y =+，则00524p y y +=，解得02y p =，又点()01,M y 在抛物线C 上，代入2:2C x py =，得021py =，得01y =，12p =，所以()1,1M ，抛物线2:C x y =，因为斜率为k的直线l 过点()1,3Q -，所以l 的方程为()31y k x -=+，联立方程得()231y k x x y⎧-=+⎨=⎩，即230x kx k ---=，设()11,A x y ，()22,B x y ，由根与系数的关系得12123x x kx x k +=⎧⎨=--⎩，则直线AM 的斜率2111111AMx k x x -==+-，直线BM 的斜率2222111BM x k x x -==+-，()()121212111312AM BM k k x x x x x x k k =++=+++=--+=-.2．已知1F ，2F 是双曲线221169x y -=的焦点，PQ 是过焦点1F 的弦，且PQ 的倾斜角为60︒，那么22||+-PF QF PQ 的值为A ．16B ．12C ．8D ．随α变化而变化【答案】A【详解】由双曲线方程221169x y -=知，28a =，双曲线的渐近线方程为y =±34x ，直线PQ 的倾斜角为60︒，所以334PQ k =>，又直线PQ 过焦点1F ，如图，所以直线PQ 与双曲线的交点都在左支上.由双曲线的定义得，2128PF PF a -==…………(1)，2128QF QF a -==…………(2)，由(1)+(2)得2211()16PF QF QF PF +-+=，2216PF QF PQ ∴+-=.3．已知椭圆22:142x y C +=的左右顶点分别为,A B ，过x 轴上点(4,0)M -作一直线PQ 与椭圆交于,P Q两点（异于,A B ），若直线AP 和BQ 的交点为N ，记直线MN 和AP 的斜率分别为12,k k ，则12:k k =（ ） A ．13B ．3C ．12D ．2【答案】A【详解】设(),N x y ，()11,P x y ，()22,Q x y ，设直线PQ 的方程：4x my =-，由,,P N A 和,,Q N B 三点共线可知11222222y y x x y y x x ⎧=⎪++⎪⎨⎪=⎪--⎩ ，解得：()()()()()()()()1221122112211221222226222262y x y x y my y my x y x y x y my y my -++-+-==--++--+- 1212122623my y y y x y y --∴=-，12121226643my y y y x y y +-+=-，（*）联立224142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，得()2228120my my +-+=，22226448(2)16(6)0,6m m m m ∆=-+=->>，12121212228123,,()222m y y y y my y y y m m +==∴=+++，代入（*）得121293433y y x y y -+==-， 14yk x =+，22y k x =+ ，122211443k x k x x +∴==-=++.4．如图，已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点(2,0)P 的直线交抛物线于AB 两点，直线AF ，BF 分别与抛物线交于点M 、N ，记直线MN 的斜率为1k ，直线AB 的斜率为2k ，则12k k =________．【答案】2【详解】()11,A x y ，()22,B x y ，()33,M x y ，()44,N x y ，则3411223412y y k x x k x x y y --=⋅--2212342234124444y y y y y y y y --=⨯--1234y y y y +=+，设直线AM 的方程为1x ny =+，将其代入24y x =，消去x ，整理得2440y ny --=，∴134y y =-，同理可得424y y =-，有112121223412444k y y y y y yk y y y y ++===--+-+，设直线AB 的方程为2x my =+，代入24y x =，整理得2480y my --=，∴128y y =-，∴11228244k y y k -===--.5．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为22，过点(2,0)Q a -且斜率为11(0)k k ≠的直线l 与椭圆C 交于两点,P M ，点M 关于原点的对称点为N ，设直线PN 的斜率为2k ，则12k k 的值为_________.【答案】12-【详解】设()11,P x y ，()22,M x y ，则()22,N x y --，∴12112y y k x x -=-，12212y y k x x +=+，∴椭圆的离心率22c e a ==，∴2a c =，又222a b c =+，∴22a b c ==，∴椭圆的方程可化为22222x y b +=， ∴直线l 与椭圆C 交于两点,P M ，∴2221122x y b +=，2222222x y b +=，作差得()()2222121220x x y y -+-=，即()()222212122x x y y -=--，∴12121212122122221212y y y y y x y k k x x x x x -+=⋅-=--=-+， 6．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率22e =，且与直线:3l y x =+相切.（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆上点(2,1)A 作椭圆的弦AP ，AQ ，若AP ，AQ 的中点分别为M ，N ，若MN 平行于l ，则OM ，ON 斜率之和是否为定值？【答案】（1）22163x y +=（2）OM ，ON 斜率之和是为定值0.【解析】（1）根据题意知,222222112b a c e a a -==-=，即222a b =，由2222312y x x y bb =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得223121820x x b ++-=，因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>与直线:3l y x =+相切，所以判断式()2144431820b ∆=-⨯-=，解得23b =，则26a =，所以椭圆的标准方程为22163x y +=. （2）因为AP ，AQ 的中点分别为M ，N ，直线MN 平行于l ，所以1Q MN P K K ==，2也为定值.。
经典：斜率乘积为定值问题
2.热身练习
(数学之友P40第3题）
推广：
1 3
椭 圆 k1 • k2=
b2 a2
双 曲 线 k1 • k2=
b2 a2
圆 k1 • k2= 1
3.例题讲解
例题1
(数学之友P46第5题）
一般结论：过椭圆 x2 a2
+
y2 b2
= 1一点定p(x0 ,
y0 )
的直线l1, l2分别交椭圆与A，B。若kl1 kl2 = m
斜率乘积为定值问题
1.回归课本
选修2-1 P39第4题
在 A B C 中 ， B （ 6， 0） ， C （ 6， 0） 直 线 AB， AC 的 斜 率 乘 积 为 9 4， 求 顶 点 A 的 轨 迹 方 程 。
变式1
：9改为-9
4
4
变式2 ： 9 4改为m （m0)
变式3：乘积 改为 差 (教材2-1 P59） 抛物线
(ⅱ) y1y2 2
(
x1x2 )2 2
x12 2
x22 2
(1
y12)(1
y22)
1 (y12 y22) y12y22，故y12 y22 1.
又( x12 2
y12
)
(
x22 2
y22)
2，故x12
x22
2.
所以OA2 OB2 x12 y12 x22 y22 3.
评析：本题第(1)问主要考查椭圆及圆的几何性质的应 用；第(2)问是定值问题，切入的关键在于设三点A， B，M的坐标，通过向量条件及三点在椭圆上，寻求 出三来自坐标间的关系，从而使问题获解 。
2
ⅰ( )设
A
(
x1，
y1
圆锥曲线专题：定值问题的7种常见考法(原卷版)
圆锥曲线专题：定值问题的7种常见考法一、定值问题处理方法1、解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段长度，图形面积，角度，直线的斜率等）的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值，求定值问题常见的解题方法有两种：法一、先猜后证（特例法）：从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；法二、引起变量法（直接法）：直接推理、计算，并在计算推理过程中消去参数，从而得到定值。
2、直接法解题步骤第一步设变量：选择适当的量当变量，一般情况先设出直线的方程：b kx y +=或n my x +=、点的坐标；第二步表示函数：要把证明为定值的量表示成上述变量的函数，一般情况通过题干所给的已知条件，进行正确的运算，将需要用到的所有中间结果（如弦长、距离等）用引入的变量表示出来；第三步定值：将中间结果带入目标量，通过计算化简得出目标量与引入的变量无关，是一个常数。
二、常见定值问题的处理方法1、处理较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向；2、在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢；3、巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算。
三、常见条件转化1、对边平行：斜率相等，或向量平行；2、两边垂直：斜率乘积为-1，或向量数量积为0；3、两角相等：斜率成相反数或相等或利用角平分线性质；4、直角三角形中线性质：两点的距离公式5、点与圆的位置关系：（·1）圆外：点到直径端点向量数量积为正数；（2）圆上：点到直径端点向量数量积为零；（3）圆内：点到直径端点向量数量积为负数。
四、常用的弦长公式：（1）若直线AB 的方程设为b kx y +=，()11y x A ，，()22y x B ，，则()a k x x x x k x x k AB ∆⋅+=-+⋅+=-⋅+=22122122121411（2）若直线AB 的方程设为n my x +=，()11y x A ，，()22y x B ，，则()am y y y y m y y m AB ∆⋅+=-+⋅+=-⋅+=22122122121411【注】上式中a 代表的是将直线方程带入圆锥曲线方程后，化简得出的关于x 或y 的一元二次方程的二次项系数。
圆锥曲线中斜率之积(和)为定值问题--沈烨
含x与y的式子“点差法”消元
对未知数进行化简或整体代换（特别对于 含 x1 x2, x1x2型的可用韦达定理来代入
题型二 斜率之和为定值
消y
x1 x2 , x1x2型
探究实践、拓展提升
消y
x1 x2 , x1x2型
探究实践、拓展提升
求出坐标 隐含条件
探究实践、拓展提升
隐含条件 消y
1.斜率之积（和）为定值问题的解决策略是什么？ 2.这类题的主要思想方法是什么？
题型一 斜率之积为定值
消x or y
y1 y2 , y1 y2型
韦达定理 整体代入
设
而
特 殊
不 求
到整
一体
般代
入
题型一 斜率之积为定值 合理选择直线的设法可避免分类讨论，简化运算
题型一 斜率之积为定值
消y后整 体消除
题型二 斜率之和为定值
x1 x2 , x1x2型
消y
定值问题常用方法： 一般是在一些动态的事物（如动点、动直 线、动弦、动角、动圆、动三角型等）中 寻求不变量. （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个 值与变量无关
3.做好这类题还需要什么？
探究实践、拓展提升
知识回顾 Knowledge Review
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填空21 离心率 选15 离心率 选14 离心率 选14 离心率
解答24
直线与 填19 椭圆位 置关系
（面积）
抛物线 填20 性质
椭圆性 填20 质
双曲线 性质
解答24
直线与 椭圆位 置关系
（斜率 之和）
解答24
直线与 解答24 抛物线 位置关 系（斜 率之积）
圆锥曲线题型技巧--- 斜率定值问题
一、解答题
1．如图，在平面直角坐标系
2
2
中，椭圆 2 + 2 = 1( >
> 0)的右焦点为
(1，0)，离心率为
2．分别过
2
，
的两条弦 ， 相交于点 （异于 ， 两点），且 = ．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：直线 ， 的斜率之和为定值．
2
【答案】(1) +
2 = 1;(2)详见解析.
,
④
同理由③得
y2 1 x2 2
4
x2 2
y2 1
,
⑤
由①④⑤得
x1 2
4 y1 1
x2 2
4 y2 1
0
,
化简得 x1y2 x2 y1 x1 x2 2 y1 y2 4 0 , ⑥
由①得 x1 y2 x2 y1 x1 x2 2 y1 y2 4 0 , ⑦
4 − 1)
= ⋅ 2( 1 2− 3 4)−( 1+ 2)+( 3+ 4)13 分
( 1− 3)( 2− 4)
= 0． 16 分
=
⋅ 2( 2
−2 2+
1
−
2( 2
( 1−
2 2
− +
1) 1
)
−
0
+
2
3)( 2 − 4)
4
2
2
+1
考点：直线与椭圆的位置关系
点评：主要是考查了直线椭圆的位置关系的运用，属于基础题。
4k 2 1
x2 8kbx 4b2 8 0 ,
(**)
82
则
x1
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主要方法：设而不求 整体代入
设而不求-----多个变量
整体代入-----减少变量
关键是消元
含x与y的式子统一消元 为只含x或y的式子
含x与y的式子“点差法”消元
对未知数进行化简或整体代换（特别对于 含 x1 x2, x1x2型的可用韦达定理来代入
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题型二 斜率之和为定值
消y
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定值问题常用方法： 一般是在一些动态的事物（如动点、动直 线、动弦、动角、动圆、动三角型等）中 寻求不变量.
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个 值与变量无关
（2）直接推理，计算，并在计算推理过程 中消去变量，从而得到定值
设而不求思想：
在解决数学问题时，先设定一些未知数， 然后把它们当成已知数，根据题目本身 的特点，将未知数消去或代换，使问题 的解决变得简捷。
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x1 x2 , x1x2型
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x1 x2 , x1x2型
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隐含条件
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1.斜率之积（和）为定值问题的解决策略是什么？ 2.这类题的主要思想方法是什么？
3.做好这类题还需要什么？
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填空21 离心率 选15 离心率 选14 离心率 选14 离心率
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直线与 填19 椭圆位 置关系
（面积）
抛物线 填20 性质
椭圆性 填20 质
圆锥曲线中的定值定点问题
2019届高二文科数学新课改试验学案(10)---圆锥曲线中的定值定点问题1.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>> 的离心率为2,点(在C 上.（I ）求C 的方程；（II ）直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 中点为M ,证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值.2.已知椭圆C ：22221x y a b +=过点A （2,0），B （0,1）两点.（I ）求椭圆C 的方程及离心率；（Ⅱ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值.3.椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，其左焦点到点()2,1P （I ）求椭圆C 的标准方程（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于,A B 两点（,A B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆 过椭圆C 的右顶点。
求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.<圆锥曲线中的定值定点问题>答案1.【答案】（I ）2222184x y +=（II ）见试题解析试题解析：【名师点睛】本题第一问求椭圆方程的关键是列出关于22,a b 的两个方程,通过解方程组求出22,a b ,解决此类问题要重视方程思想的应用；第二问是证明问题,解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题.32c e a ==．从而四边形ABNM 的面积为定值．【名师点睛】解决定值定点方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.3.解：（1）1::2:2c e a b c a ==⇒=，设左焦点()1,0F c -1PF ∴==，解得1c =2,a b ∴==∴椭圆方程为22143x y += （2）由（1）可知椭圆右顶点()2,0D设()()1122,,,A x y B x y ，以AB 为直径的圆过()2,0D DA DB ∴⊥即DA DB ⊥ 0DA DB ∴⋅=()()11222,,2,DA x y DB x y =-=-()()()121212*********DA DB x x y y x x x x y y ∴⋅=--+=-+++= ①联立直线与椭圆方程：223412y kx m x y =+⎧⇒⎨+=⎩()()222348430k x mkx m +++-= ()2121222438,4343m mk x x x x k k -∴+=-=++ ()()()2212121212y y kx m kx m k x x mk x x m ∴=++=+++()22222222438312434343k m mk mk m k m k k k -⋅-=-+=+++，代入到① ()222222438312240434343m mk m k DA DB k k k --⋅=+⋅++=+++ 22222412161612312043m mk k m k k -++++-∴=+ ()()22716407220m mk k m k m k ∴++=⇒++=27m k ∴=-或2m k =- 当27m k =-时，22:77l y kx k k x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ l ∴恒过2,07⎛⎫ ⎪⎝⎭当2m k =-时，():22l y kx k k x =-=- l ∴恒过()2,0，但()2,0为椭圆右顶点，不符题意，故舍去l∴恒过2,0 7⎛⎫ ⎪⎝⎭3.（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。
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圆锥曲线中斜率乘积问题
为定值的问题
Prepared on 24 November 2020
经典题突破方法---圆锥曲线中斜率乘积为定值的问题
温县第一高级中学数学组 任利民
问题1：平面上一动点(,)P x y 与两点(2,0),(2,0)A B -的连线的斜率之积是
3
4-
，求点P 的轨迹方程221(2)43x y x +=≠± .
问题2：椭圆22
143x y +=上任一点P 与两点(2,0),(2,0)A B -的连线的斜率之
积是
1234k k =-
.
探究：（1）已知椭圆22
221x y a b +=上两点(,0),(,0)A a B a -,椭圆上任意异于
A 、
B 的点P 与A 、B 连线的斜率之积是 2
2
b a -.
（2）已知椭圆22
221x y a b +=上两点(0,),(0,)A b B b -,椭圆上任意异于A 、B 的
点P 与A 、B 连线的斜率之积是 2
2
b a -.
（3）已知椭圆22
221x y a b +=上两定点0000(,),(,)A x y B x y --，椭圆上任意异
于A 、B 的点P 与A 、B 连线的斜率之积是 2
2
b a -.
结论1.设 A 、B 是椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>上关于原点对称的两点，点P 是
该椭圆上不同于A ，B 的任一点，直线PA ，PB 的斜率分别为k1，k2，则
2
122
b k k a =-．
探究：（3）设 A 、B 是双曲线22
221(0)x y a b a b -=>>上关于原点对称的两点，
点P 是该双曲线上不同于A ，B 的任一点，直线PA,PB 的斜率是k1,k2，猜想k1k2是否为定值并给予证明．
结论2.设 A 、B 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>上关于原点对称的两点，点
P 是该双曲线上不同于A ，B 的任一点，直线PA ，PB 的斜率分别为k1，k2，
则
2
122
b k k a =． 应用拓展：
1.设椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>
,A B ，点P 在椭圆上且异于,A B 两点，若直线AP 与斜率之积为12
-，则椭圆的离心率为 .
解析：利用k AP ·k BP ＝22b a -，可以得到2c e a ====.
2.椭圆C:22
143x y +=的左、右顶点分别为12,A A ，点P 在C 上且直线2PA 斜
率的取值范围是[2,1]-- ，那么直线1PA 斜率的取值范围是
A. 13[,]24
B. 33[,]84
C. 1[,1]2
D. 3
[,1]4
解析：因为122
2
34
PA PA b k k a ⋅=-
=-，所以123
4PA PA k k -
= ,∵2
[2,1]PA k ∈--
∴133
[,]84
PA k ∈,故选B.
3.如图2，在平面直角坐标系xOy中，F1,F2分别为椭圆22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的左、
右焦点，B、C分别为椭圆的上、下顶点，直线BF2与椭圆的另一交点为D.若cos∠F1BF2
＝
7
25，则直线CD的斜率为．
解析：由已知可得2
122
7
cos cos2cos1
25
F BF OBF
∠=∠-=，所以
2
4
cos
5
b
OBF
a
∠==，所以
3
5
c
a
=，又因为
BD
b
k
c
=-，且
BD CD
k k⋅=
2
2
b
a
-，所以
2
2
CD
b b
k
c a
-⋅=-，即
4312
5525
CD
b c
k
a a
=⋅=⋅=．
3.已知椭圆
2
2
:1
2
x
C y
+=，点
125
,,,
M M M为其长
轴AB的6等分点，分别过这五点作斜率为(0)
k k≠的一
组平行线，交椭圆C于点
1210
,,,
P P P,则这10条直线
1
AP,
210
,,
AP AP的斜率的乘积为1
32
-
.
P
10
P
9
P
8
P
7
P
6
P
5
P
4
P
3
P
2
P
1
y
x
B
A O。