圆锥曲线中斜率乘积为定值的问题探究
圆锥曲线中两条直线斜率之积为定值的探究
圆锥曲线中两条直线斜率之积为定值的探究圆锥曲线是由直线与圆锥曲面的交线构成的曲线。
在圆锥曲线中，如果两条直线斜率之积为定值，这意味着这两条直线在圆锥曲面上是平行的。
这种性质可以用数学方法证明。
证明圆锥曲线中两条直线斜率之积为定值的性质，我们需要使用到几何和代数的知识。
首先，设圆锥曲面的方程为：z=kx/a+ky/b(a,b>0)其中，k是定值。
在圆锥曲面上的一条直线的斜率为kx/a。
另一条直线的斜率为ky/b。
所以斜率之积为(kx/a)*(ky/b)=k^2*xy/ab由此可以看出，斜率之积为一个定值，即k^2/ab。
这证明了在圆锥曲线中，两条直线斜率之积为定值的性质。
上述证明仅是其中一种证明方式，在实际应用中还可以用其他方式证明。
除了上面提到的证明方法之外，还有其他几种证明圆锥曲线中两条直线斜率之积为定值的方法。
一种常用的方法是使用向量的思想。
具体来说，我们可以将圆锥曲面的一个点表示成向量，并将圆锥曲面上的直线表示成向量方程。
这样我们就可以通过向量积来证明两条直线斜率之积为定值。
另一种方法是使用极坐标系。
圆锥曲面可以在极坐标系中表示为极面函数。
在极坐标系中，两条直线斜率之积可以通过导数的比值来证明是定值。
还可以使用拉格朗日参数方法证明两条直线斜率之积为定值。
证明的方法不止这些，还有其他的证明方法。
这取决于问题的具体情况以及证明者对数学知识的掌握程度。
在上面的证明中，我们已经证明了在圆锥曲线中，两条直线斜率之积为定值。
这种性质可以用来解决各种几何问题，比如求解两条直线的位置关系等。
具体来说，假如我们知道圆锥曲面的一条直线的斜率以及斜率之积的定值，我们就可以求出另一条直线的斜率。
这样就可以确定这两条直线在圆锥曲面上的位置关系了。
此外，我们还可以利用这种性质来求解其他几何问题，比如求解直线与圆锥曲面的交点，求解圆锥曲线的轨迹等。
其中一个典型的应用是求解两条直线的位置关系，如求出两条直线是否平行或垂直。
圆锥曲线中与斜率有关的定值问题研究
斜率有关 的定值 问题． 斜 率之和为定值
一
、
【 例 １ 】 椭圆 ｃ ： ＋ 一１ （ 口 ＞６ ＞０ ） 经 过 点 Ｐ（ １ ，
椭 圆 的 顶 点 ， 设 Ｂ Ｐ 的 方 程 为 一 志 一 ２ ） ， 是 ≠ ｏ ， 志 ≠ ± 吉 ． 将 之 代 入 椭 圆 方 程 ， 解 得 Ｐ （ 襞 ， 一 ４ ｋ） ．
５ １ ． ｇ￣ Ａ Ｄ 的 方 程 为 一 １ ｚ 十１
，
昔） ， 离心率 ８ 一寺 ， 直线 ｚ 的方程为 一４ ．
（ 工） 求椭 圆 Ｃ的方程 ； （ Ⅱ） Ａ Ｂ 是 经过 右 焦 点 Ｆ 的任 意 一 弦 （ 不 经 过点 Ｐ ） ， 设直线 ＡＢ与直线 ｚ 相交于点Ｍ ， 记Ｐ Ａ、 Ｐ Ｂ、 Ｐ Ｍ 的 斜率分别为 ｋ 、 ｋ 、 ｋ 。 ． 问： 是否存在常数 ， 使得 ｋ 十 一 愚 。 ？若存 在 ， 求 出 的值 ； 若不存在 ， 说 明理 由．
与Ｂ Ｐ 的 方 程 联
立， 解得 Ｍ ． Ｌ ． 丽 ４ ｋ － ｋ ２
，
） ．
由 Ｄ（ ｏ ， １ ） ， Ｐ ８ ｋ ｚ －２
， 一
笃 ） ， Ｎ （ ｚ ， ｏ ） 三 点 共
，
线可求得 Ｎ ￣ ． Ｌ ４ ｋ －２ ０） ．
，
解析： ： （ 工 ） 易求出 椭圆Ｃ 的方程为 ＋ 告一１ ．
．
［ 关键词］ 圆锥 曲线
［ 中图分 类号］ Ｇ ６ ３ ３ ． ６
动 和静是 物体 的两个方 面 ， 动是 绝对 的 ， 静是相 对 的， 动静是辩 证地存在 的． 圆锥曲线是 动静结合 的典范． 以椭 圆为例 ， 椭 圆 的定义 为定 点 Ｆ １ 、 Ｆ ２ ， 定值 ２ ａ （ ２ ｎ ＞ Ｆ 。 Ｆ ２ ） ， 动 点 Ｐ满足 Ｐ Ｆ ＋Ｐ Ｆ ２ ＝ ＝ ＝ ２ ａ ， 则 Ｐ 的轨 迹是 椭
圆锥曲线中与斜率有关的一类定值问题探究
圆锥曲线中与斜率有关的一类定值问题探究有关圆锥曲线中与斜率有关的一类定值问题的研究一直受到数学家们的广泛关注。
圆锥曲线是一个经典的曲线，在几何学、拓扑学、微分几何学、物理学及其他诸多学科中都有着重要的地位。
特别是它与斜率有关的一类定值问题，更是引起了数学家们的极大关注。
圆锥曲线由一个原本的圆锥，被沿着一个旋转轴不断旋转而形成。
因此，当旋转轴的斜率发生变化时，圆锥曲线的形态也会发生变化。
有关斜率的定值问题就是“求解发生变化的圆锥曲线的曲率参数”。
曲率参数不仅关系到曲线的形状，还可以用来描述曲线的两点有多远的距离、曲线的弧度有多大，以及它是否能与其他曲线顺利拼接。
因此，求解曲率参数对理解圆锥曲线的形状变化具有重要意义。
解决这个问题，有不同的数学方法可供参考，比如，可以利用微积分的知识，通过对二次微分后的方程进行积分，求出曲率参数；也可以利用相关的几何学知识，通过比较近似的直线段到曲线的正切值，求出曲率参数。
此外，还可以采用数值计算的方法，利用拉格朗日插值法来求得曲率参数；或者采用图像处理的方法，通过解决图像中有关曲率参数的问题来寻找曲率参数。
从数学角度来讲，圆锥曲线中的曲率参数问题一直是数学家们的关注焦点，这个问题也在数学史上被反复探讨，涉及到多项重要的数学知识。
比如，曲率参数会引入九点平行四边形的概念；它也与椭圆及抛物线有关；借助它，我们可以推导出曲线的多种几何特性。
尽管这些知识都不容易，但圆锥曲线中与斜率有关的一类定值问题已被成功地解决。
这一成果不仅仅使我们有机会了解圆锥曲线的特性，同时，它也为其他类似问题提供了参考。
它可以为其他类似问题提供思路，并为之后的研究提供一种有效的框架。
综上所述，圆锥曲线中与斜率有关的一类定值问题的研究不仅能够帮助我们更好地理解圆锥曲线的特性，它还会激发我们对其他更多类似问题的探索。
因此，有必要继续深入研究这一问题，以期能够给数学家以更多的洞见。
圆锥曲线斜率比值为定值
圆锥曲线斜率比值为定值
圆锥曲线是平面直角坐标系中的一类重要的几何图形，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。
在研究这些图形时，往往需要考虑它们的斜率。
本文将探讨圆锥曲线的斜率比值为定值这一性质，并分别对四类圆锥曲线进行讨论。
一、圆的斜率比值为0
在圆上取任意两点，其斜率相等的条件为两点到圆心的连线垂直且不相交。
于是，圆的斜率比值为0。
二、椭圆的斜率比值与离心率有关
椭圆的标准方程为
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
其中，a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴长度。
离心率e的定义为
可以证明，椭圆上任意点的切线斜率k满足下列性质：
$\frac{k_1}{k_2}=\frac{\frac{a}{\sqrt{a^2-b^2}}}{-\frac{a}{\sqrt{a^2-b^2}}}=-1 $
即，任意两条椭圆上的切线斜率相反，且绝对值相等。
由此，可得双曲线的斜率比值为
$\frac{k_1}{k_2}=-1$
$y=ax^2+bx+c$
综上所述，四类圆锥曲线在不同程度上都满足斜率比值为定值的性质。
掌握这一性质有助于深入理解圆锥曲线的几何特征，也可以用于解决一些相关的问题。
圆锥曲线斜率乘积为定值
斜率乘积为定值的问题探究知识梳理结论1：设A 、B 是椭圆12222=+by a x )0(>>b a 关于原点对称的两点，点P 是该椭圆上不同于A 、B 的任一点，直线PA 、PB 的斜率分别为21,k k ，则2221ab k k -=⋅。
结论2：设A 、B 是双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 上关于原点对称的两点，点P 是该双曲线上不同于A 、B 的任一点，直线PA 、PB 的斜率分别为21,k k ，则2221ab k k =⋅。
基础训练1、设椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的左右顶点分别为A 、B ，点P 在椭圆上且异于A 、B 两点，若直线AP 与BP 的斜率之积为21-，则椭圆的离心率为 。
2、在平面直角坐标系中，21,F F 分别为椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的左右焦点，B 、C 分别为椭圆的上下顶点，直线2BF 与椭圆的另一交点为D ，若21cos BF F ∠257=，则直线CD 的斜率为 。
3、已知椭圆C ：1222=+y x ，点54321,,,,M M M M M 为其长轴AB 的六等分点，分别过这五点作斜率为)0(≠k k 的一组平行线，交椭圆C 于1021,,,P P P ，则这10条直线1011,,AP AP AP 的斜率的乘积为 。
4、如图所示，已知椭圆方程为12422=+y x ，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中点P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k ，对任意0>k 。
求证：PB PA ⊥。
方法梳理：一、解决直线和圆锥曲线问题的一般方法：Step1设（点的坐标、直线方程、曲线方程） Step2代（点的坐标带入方程，方程联立方程组带入消元） Step3 化（化简方程，解方程）二、常用的化简策略“设而不求”，整体代换典型例题1、已知椭圆C 的方程12422=+y x ，直线m kx y l +=:)0(≠m 交椭圆C 于Q P ,两点，T 为弦PQ 的中点，)0,1(),0,1(N M -，记直线TM ，TN 的斜率分别为21,k k ，当12222=-k m 时，求21k k ⋅的值。
圆锥曲线中与斜率相关的定点、定值问题探讨
圆锥曲线中与斜率相关的定点、定值问题探讨作者：莫成立来源：《数理化学习·高一二版》2012年第11期圆锥曲线中的定点、定值问题是高考的热点.笔者最近遇到一些与斜率相关的定点、定值问题，并对一般情形进行研究，可以得到一般性结论，与各位共赏.定理1：已知点A（x0，y0）是抛物线y2=2px上的定点，直线l（不过A点）与抛物线交于M、N两点.（1）若k AM+k AN=c（常数），则直线l斜率为定值；（2）若k AM·k AN=c（常数），直线l恒过定点.证明：（1）直线l斜率显然不为0，故设为x=ty+m，M（x1，y1），N（x2，y2）.由y2=2pxt=ty+my2-2pty-2pm=0y1+y2=2pt，y1y2=-2pm，k AM+k AN=y1-y0x1-x0+y2-y0x2-x0y1y2+y0（y1+y2）+y20=2p（2pt+2y0）-2pm+2pty0+y20=c，即：4p2t+4py0=-2pmc+2pty0c+y20c，要斜率为定值，即要t=-2pmc+y20c-4py04p2-2py0c为定值，所以c=0，t=-y0p.（i）若A为原点，y0=0，此时直线l斜率不存在；（ii）若A为原点，y0≠0，此时直线l斜率k=-py0.（2）k AM·k AN=y1-y0x1-x0·y2-y0x2-x0=4p 2=c.即-2pmc+2pty0c+cy20-4p2=0可解得：m=2pty0c+cy20-4p22mc，直线l方程为：x=ty+2pty0c+cy20-4p22pc，即2pt（cy+y0c）+cy20-4p2-2pcx=0，恒过定点（cy20-4p22pc，-y0）.定理2：已知A（x0，y0）是椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上的定点，直线l（不过A点）与椭圆交于M、N两点.（1）若k AM·k AN=c常数，直线l恒过定点；（2）若k AM+k AN=c常数，直线l斜率为定值.证明：（1）若直线l斜率不存在，设M（t，b1-t2a2），N（t，-b1-t2a2）[HT5，5”]k AM·k AN =（b1-t2a 2-y0）（-b1-t2a2-y0）（t-x0） 2=[HT]y20-b2（1-t2a2）（t-x0） 2=b2（1-x20a2）-b2（1-t2a2）（t-x0） 2=b2a2·t+x0t-x0=c，则b2a 2·t+x0t-x0=c x0=0，c=b2a 2才满足.若直线MN斜率存在，设为y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2）b2x2+a2y2-a2b2=0y=kx+m（a2k2+b2）x2+2a2mkx+a2m2-a2b2=0x1+x2=-2a2mka2k2+b 2，x1x2=a2m2-a2b 2a2k2+b 2.k AM·k AN=y1-y0x1-x0·y2-y0x2-x0=（kx1+m-y0）（kx2+m-y0）x1x2-x0（x1+x2）+x20=-a2b2k2+m2b2+a2k2y20+b2y20-2my0b 2 a2m2-a2b2+2a2mkx0+b2x20+a2k2x20=-a2b2k2+m2b2+k2（a2b2-b2x20）+b2y20-2my0b 2a2m2-a2b2+2a2mkx0+（a2b2-a2y20）+a2k2x20= m2b2-b2x20k2+b2y20-2my0b 2a2m2+2a2mkx0-a2y20+a2k2x20=b2a 2·m2+y20-2my0-x20k 2m2+2mkx0+k2x20-y20=b2a2·（m-y0+kx0）（m-y0-kx0）（m-y0+kx0）（m+y0+kx0）=b2a 2·m-y0-kx0m+y0+kx0.所以m=（a2cx0+b2x0）k+a2cy0+b2y0b2-a2c直线MN方程为：y=kx+（a2cx0+b2x0）k+a2cy0+b2y0b2-a2c=k（x+a2cx0+b2x0b2-a2c ）+a2cy0+b2y0b2-a2c.恒过定点（-a2c+b 2b2-a2cx0，a2c+b2b2-a2cy0）.当定点A（x0，y0）在坐标轴上有：①若x0=0，y0=b直线恒过定点（0，b（b2+a2c）b2-a2c）；②x0=a，y0=0，直线恒过定点（a（a2c+b2）a2c-b2），0）；③若x0=0，y0=-b，直线恒过定点（0，b（b2+a2c）a2c-b2）；④若x0=-a，y0=0直线恒过定点（a（a2c+b2）b2-a2c，0）.（2）若直线MN斜率不存在，k AM+k AN=b1-t2a2-y0t-x0+-b1-t2a2-y0t-x0=-2y0t-x0=c，则y0=0，c=0才满足.若直线MN斜率存在，k AM+k AN=y1-y0x1-x0+y2-y0x2-x0=kx1+m-y0x1-x0+kx2+m-y0x2-x0=[HT5，6]2kx1x2+（m-y0-kx0）（x1+x2）-2mx0+2x0y0 x1x2-x0（x1+x2）+x20=-2a2b2k2-2a2mky0-2b2mx0+2x0y0b2+2x0y0a2k 2a2m2-a2b2+2a2mkx0+b2x20+a2k2x20= c.若直线MN斜率k为定值，则可化为a2cm2+（2a2ky0-2b2x0-2a2kx0c）m-2a2b2k+2x0y0b2+2x0y0a2k 2+a2b2c-b2x0c-a2k2x20c=0c=02a2ky0-2b2x0-2a2kx0c=0-2a2b2k+2x0y0b2+2x0y0a2k2=0①②③c=0k=b2x0a2y01，2代入3也成立当常数c=0时，直线斜率为定值b2x0a2y0.定理3：已知A（x0，y0）是双曲线x2a 2-y2b 2=1 （a>0，b>0）上的定点，直线l（不过A点）与椭圆交于M、N两点.（1）若k AM·k AN=c常数，直线l恒过定点（a2c-b 2b2+acx0，b2-a2cb2+acy0）；（2）若k AM+k AN=c（=0）常数，直线l斜率为定值 -b2x0a2y0.证明方法同上.。
圆锥曲线中斜率之积(和)为定值问题 ppt课件
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8
主要方法：设而不求 整体代入
设而不求-----多个变量
整体代入-----减少变量
关键是消元
含x与y的式子统一消元 为只含x或y的式子
含x与y的式子“点差法”消元
对未知数进行化简或整体代换（特别对于 含 x1 x2, x1x2型的可用韦达定理来代入
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9
题型二 斜率之和为定值
消y
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7
定值问题常用方法： 一般是在一些动态的事物（如动点、动直 线、动弦、动角、动圆、动三角型等）中 寻求不变量.
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个 值与变量无关
（2）直接推理，计算，并在计算推理过程 中消去变量，从而得到定值
设而不求思想：
在解决数学问题时，先设定一些未知数， 然后把它们当成已知数，根据题目本身 的特点，将未知数消去或代换，使问题 的解决变得简捷。
消y
x1 x2 , x1x2型
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10
探究实践、拓展提升
消y
x1 x2 , x1x2型
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11
探究实践、拓展提升
求出坐标
隐含条件
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12
探究实践、拓展提升
隐含条件 消y
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13
1.斜率之积（和）为定值问题的解决策略是什么？ 2.这类题的主要思想方法是什么？
3.做好这类题还需要什么？
容
月
容
月
容
月
容
填空21 离心率 选15 离心率 选14 离心率 选14 离心率
解答24
直线与 填19 椭圆位 置关系
（面积）
抛物线 填20 性质
椭圆性 填20 质
圆锥曲线中向量乘积过定点问题
圆锥曲线中向量乘积过定点问题《圆锥曲线中向量乘积过定点问题》简介：圆锥曲线是数学中非常重要和广泛应用的一类曲线。
其中的一个有趣问题是在圆锥曲线上通过两个给定点的向量乘积是否会经过一个固定点。
本文将介绍圆锥曲线、向量乘积以及相关定点问题的解答。
一、圆锥曲线的定义和特点圆锥曲线是平面上的一条曲线，其形状可以是椭圆、双曲线或抛物线。
圆锥曲线的定义可以由焦点和准线（或直角）进行描述。
其中，焦点是曲线上的一个点，准线是与曲线相切且通过焦点的直线。
椭圆和双曲线有两个焦点，而抛物线只有一个焦点。
圆锥曲线具有许多有趣的性质和特点，比如在椭圆中任意两点的向量乘积永远过椭圆的焦点，而在双曲线中通过焦点的向量乘积则不会在曲线上，而是在双曲线的准线上。
这些性质使得圆锥曲线在数学中有广泛的应用。
二、向量乘积的概念在二维空间中，向量可以表示为具有两个分量（x，y）的有序对。
向量乘积是指两个向量按照一定规则进行乘法运算后得到的结果。
在圆锥曲线中，我们可以通过向量乘积来研究向量在曲线上的变化情况。
具体而言，对于给定的曲线上的两个点P和Q，其向量分别为→P和→Q。
那么向量乘积的结果为→P × →Q，其结果是一个新的向量。
根据向量乘积的定义，向量乘积的长度表示P和Q之间的距离，而向量乘积的方向则表示了P和Q之间的夹角。
三、乘积过定点的问题在圆锥曲线中，一个有趣的问题是，如果在曲线上选择两个点P和Q，那么它们的向量乘积是否会通过一个固定的点O（定点）？答案是：对于椭圆，通过焦点O的向量乘积一定会经过点O；对于双曲线，通过焦点O的向量乘积则不会经过点O，而是将焦点O延伸到曲线的准线。
这个结论可以通过几何和向量运算来证明。
通过几何推导，我们可以发现在椭圆中，任意两点的向量乘积都会经过焦点O。
而在双曲线中，由于焦点在准线上，所以通过焦点的向量乘积将延伸到双曲线的准线。
结论：通过两个给定点的向量乘积是否经过一个固定点是圆锥曲线中一个有趣的问题。
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斜率乘积为定值的问题探究
【教学目标】
会合理选择参数（坐标、斜率等）表示动态几何对象和几何量，探究、证明动态图形中 的不变性质，体会“设而不求”、“整体代换”在简化运算中作用.
【教学难、重点】解题思路的优化.
【教学过程】
【温故习新】
2 2
1. （2012天津理19改编）设椭圆 笃•爲= l （a b - 0）的左、右顶点分别为 A, B ，点P 在 a b
2 2
2.如图2,在平面直角坐标系 xOy 中，F 1;F 2分别为椭圆 笃-当=1（a b 0）的左、右焦
a b
点，B 、C 分别为椭圆的上、下顶点，直线
BF 2与椭圆的另一交点为 D.若cos / F 1BF 2 =云,
则直线CD 的斜率为 _______________ . X 2 2
3. （2016如东月考）已知椭圆C: 2 y =1，点M 1N2, ll|M 5为其长轴AB 的6等分点，
分别过这五点作斜率为 k （k 式0）的一组平行线，交椭圆 C 于点PhPjH’P o ,则这10条直线 AR, AP 2,|",AR 0的斜率的乘积为 ____________
iy
椭圆上且异于 A, B 两点，若直线AP 与BP 的斜率之积为
2 2
4. (2011江苏18改编)如图3，已知椭圆方程为—-L =1，过坐标原点的直线交椭圆
4 2
于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C,连接AC，并延长交椭圆
于点B,设直线PA的斜率为k，对任意k 0 ,
求证：PAI PB.
二.释疑拓展
2 2
例1.(南京市、盐城市2017 一模改编)已知椭圆C的方程——1,直线I : y = kx亠m ,
4 2
(m =0 )交椭圆C于P,Q两点，T为弦PQ的中点，M(-1,0),N(1,0)，记直线TM ,TN的斜率分别为k1,k2，当2m2 -2k2=1时，求k1 k2的值.
2 2
例2：（2013苏北四市模考题改编）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E: X y 1 , 4 3
若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异
于A，B的任意一点，直线AP交I于点M •
（1）设直线0M的斜率为k i,直线BP的斜率为k2，求证：k i k2为定值；
（2）设过点M垂直于PB的直线为m .求证：直线m过定点，并求出定点的坐标•
2
例3:已知椭圆方程C的方程为—y^1，A,B为椭圆的左、右顶点，点S为椭圆C上位
4
10
于x轴上方的动点，直线AS,BS与直线x -分别交于M N两点•
3
（1 ）试求线段MN的长度的最小值；
（2）试问：以线段MN为直径的圆是否过定点，并证明你的结论•
X
引申：若直线方程变为 x =t,(t 乏(-oo , _2) U (2, P ) 时，以上问题的结果又如何呢?
【课堂检测】
顶点为A ，过原点0的直线(与坐标轴不重合)与椭圆 C 交于P,Q 两点，直线PA,QA 分 别与y 轴交于M ,N ，若直线PQ 的斜率为 鼻时，PQ =2・..3。
2
(1)
求椭圆C 标准方程； (2)
试问以MN 为直径的圆是否过定点？证明你的结论。
1如图，在平面直角坐标系
xoy 中，离心率为 —的椭圆C ： 2 2 2
jX 2 -y — = 1(a b 0)的左
a b。