江苏省锡山高级中学高二2020-2021学年第一学期数学期中考试试卷
江苏省徐州市2020-2021学年高二上学期期中数学试题 (含答案)
2020~2021学年度第一学期期中考试高二年级数学试题本试卷共22题，满分150分，共6页.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在名题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效。
3.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳索笔书写，字体工整、笔迹清楚。
4.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损.考试结束后.将本试卷和答题卡井交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是符合题目要求的.1.设命题p：∃n∈N，n2>2n，则p的否定为A.∀n∈N，n2>2nB.∃n∈N，n2≤2nC.∃n∈N，n2=2nD.∀n∈N，n2≤2n2.下列结论正确的是A.若a>b，c>d，则a-c>b-dB.若a>b，c>0，则ac>bcC.若ac>bc，则a>bD.<a>b3.已知a∈R，则“a>1”是“11a<”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知等比数列{}n a ，7a =8，11a =32，则9a =A.16B.-16C.20D.16或-165.若不等式210x ax ++≥对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是A.[2，+∞)B.(-0，-2]C.[-2，2]D.(-o ，-2]∪[2，+∞)6.在等差数列{}n a 中，520164a a +=，S ，是数列{}n a 的前n 项和，则S 2020=A.2019B.4040C.2020D.4038 7.正数a ，b 的等差中项是12，且1a a α=+，1b bβ=+，则αβ+的最小值是 A.3 B.4 C.5 D.68.形如221n +(n 是非负整数)的数称为费马数，记为Fn 数学家费马根据F 0，F 1，F 2，F 3，F 4都是质数提出了猜想：费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出F 5不是质数，请你估算F 5是( )位数(参考数据：lg2≈0.3010).A.8B.9C.10D.11二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有不止一项是符合题目要求的.全部选对的得5分，选对但不全的得3分，错选或不答的得0分.9.下列各结论中正确的是A.“xy >0”是“0x y>”的充要条件2C.若a <b <0，则11a b> D.若公比q 不为1的等比数列{}n a 的前n 和n S Aq B =+，则A+B=010.已知S n 是等差数列{}n a (n∈N*)的前n 项和，且S 5>S 6>S 4，以下有四个命题，其中正确的有A.数列{}n a 的公差d<0B.数列{}n a 中S n 的最大项为S 10C.S 10>0D.S 11>011.已知a ∈Z 关于x 的一元二次不等式280x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是A.12B.13C.14D.15 12.设a >0，b >0，称2ab a b +为a ，b 的调和平均数，222a b +为a ，b 的平方平均数，如图，C 为线段AB 上的点，且AC=a ，BC=b ，O 为AB 中点，以AB 为直径作半圆，过点C 作AB 的垂线交半圆于D ，连接OD ，AD ，BD ，过点C 作OD 的垂线，垂足为E ，取弧AB 的中点F ，连接FC ，则正确的是A.BD 的长度是a ，b 的算术平均数B.OE 的长度是a ，b 的调和平均数C.CD 的长度是a ，b 的几何平均数D.FC 长度是a ，b 的平方平均数三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.数列{}n a 的通项公式为cos 2n n a π=，则它的第5项5a =___________. 14.不等式1204x x -≤+的解集是___________. 15.在疫情防控期间，某医院一次性收治新冠患者127人，在医护人员的精心治疗下，第15天开始有患者治愈出院，并且恰有1名患者治愈出院如果从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，那么第19天治愈出院患者的人数为________人，第__________天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院。
2020-2021学年江苏省无锡市南菁高级中学高二上学期期中数学试题(解析版)
2020-2021学年江苏省无锡市南菁高级中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．有下列一列数：1，2，4，（ ），16，32，按照规律，括号中的数应为（ ）A ．6B ．8C ．4D ．10【答案】B【分析】根据已知的数字发现规律，直接写出括号中的数字.【详解】根据前三项和后两项的规律可知，从第二个数起，每个数与前一个数的比都是2，则括号中的数是8. 故选：B2．在等比数列{}n a 中，若1358a a a =，则42a a =（ ） A ．2 B ．4 C ．2± D ．4±【答案】B【分析】利用等比中项的性质求得3a 的值，进而利用等比中项的性质可求得24a a 的值.【详解】由等比中项的性质可得313538a a a a ==，解得32a =，因此，2224324a a a ===.故选：B.【点睛】本题考查利用等比中项求值，考查计算能力，属于基础题.3．椭圆221610x y +=的焦点坐标是（ ）A ．()2,0±B ．()4,0±C ．()0,2±D ．()0,4±【答案】C【分析】由椭圆方程的形式判断焦点的位置，以及根据222c a b =-求焦点坐标. 【详解】由条件可知210a =，26b =，2224c a b ∴=-=, 并且焦点在y 轴，所以焦点坐标是()0,2±. 故选：C【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，属于基础题型.4．过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A 、B 两点，则|AB|＝（ ） A．B ．C ．6D ．【答案】D【详解】试题分析：由双曲线2213y x -=，可得渐近线方程为y =，且右焦点为(2,0)F ，令2x =，解得y =±，所以||AB= D.【解析】双曲线的几何性质.5．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为（ ） A ．1.5尺 B ．2.5尺C ．3.5尺D ．4.5尺【答案】B【分析】结合题意将其转化为数列问题,并利用等差数列通项公式和前n 项和公式列方程组,求出首项和公差,由此能求出结果.【详解】从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列{}n a ，设公差为d ，前n 项和为n S 所以冬至、立春、春分日影长分别为147,,a a a ，由冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺,前九个节气日影长之和为85.5尺,则()()111913631.598985.52a a d a d S a d ⎧++++=⎪⎨⨯=+=⎪⎩,解得113.51a d =⎧⎨=-⎩ 则芒种日影长为1211113.511 2.5a a d =+=-= 故选：B【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式,以及等差数列通项公式的运算等基础知识,掌握各公式并能熟练运用公式求解,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,属于基础题.6．若0,0x y >>，且2211,22x y m m x y+=+>-恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(2,4)- B ．(,2)(4,)-∞-⋃+∞C ．(,4)(2,)-∞-⋃+∞D ．(4,2)-【答案】A【分析】首先将不等式恒成立转化为求2x y +的最小值，利用“1”的变换()2122x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开后利用基本不等求最小值.【详解】不等式222x y m m +>-恒成立，即()2min 22m m x y -<+，()14224482x y x y x y y y x x ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，等号成立的条件是4x y y x =，即2x y =，与条件211x y+=联立，解得4,2x y == ， 所以2x y +的最小值是8，即228m m -<，解得：24m -<<. 故选：A【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.7．如图，P 是椭圆221259x y +=上的一点，1F 是椭圆的左焦点，Q 是线段1PF 的中点，4OQ =，则点P 到该椭圆左准线的距离为（ ）A ．154B ．2C ．52D ．8【答案】C【分析】连接2PF ，利用椭圆的定义求得1PF ，然后利用椭圆的第二定义可求得点P 到该椭圆左准线的距离.【详解】如下图所示，连接2PF ，在椭圆221259x y +=中，5a =，3b =，4c =.因为O 为12F F 的中点，Q 为1PF 的中点，所以，228PF OQ ==，由椭圆的定义可得1222PF a PF =-=，设点P 到该椭圆左准线的距离为d ， 由椭圆的第二定义可得，145PF c d a ==，因此，55242d =⨯=.故选：C.8．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为1F ､2F ，离心率为e .若椭圆上存在点P ，使得12PF e PF =，该离心率e 的取值范围是（ ）A ．1)B ．1,1)C ．12⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭D ．2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】假设椭圆上存在点P ，使得12PF e PF =，结合椭圆的定义解得221aPF e =+，再由2a c PF a c -≤≤+求解.【详解】假设椭圆上存在点P ，使得12PF e PF =， 由椭圆的定义得：122PF PF a +=， 解得221aPF e =+， 因为2a c PF a c -≤≤+，所以21aa c a c e -≤≤++， 两边同除以a 得2111e e e -≤≤++，解得 1e ≥，因为 01e <<，11e ≤<，所以该离心率e 的取值范围是1,1) 故选：B【点睛】关键点点睛：本题利用2a c PF a c -≤≤+是解决问题的关键.二、多选题9．已知等差数列{}n a 中，59a a =，公差0d >，则使得前n 项和n S 取得最小值的正整数n 的值是（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】BC【分析】分析出数列{}n a 为单调递增数列，且70a =，由此可得出结论.【详解】在等差数列{}n a 中，59a a =，公差0d >，则数列{}n a 为递增数列，可得59a a <，59a a ∴=-，可得5975202a a a a +==>，570a a ∴<=，所以，数列{}n a 的前6项均为负数，且70a =， 因此，当6n =或7时，n S 最小. 故选：BC.【点睛】方法点睛：本题考查等差数列前n 项和最大值的方法如下： （1）利用n S 是关于n 的二次函数，利用二次函数的基本性质可求得结果； （2）解不等式0n a ≥，解出满足此不等式的最大的n 即可找到使得n S 最小. 10．下列条件中，能使2b aa b+≥成立的有（ ） A ．0ab > B ．0ab <C ．0,0a b >>D ．0,0a b <<【答案】ACD 【分析】由2b aa b+≥成立，得出0ab >可得答案. 【详解】由2b a a b +≥得()222220b a b a b a ab a b ab ab-+-+-==≥，即只需0ab >，所以满足条件的选项有A. 0ab > C. 0,0a b >> D. 0,0a b <<. 故选：ACD.11．已知双曲线C 过点(，且渐近线方程为3y x =±，则下列结论正确的是（ ）A ．C 的方程为2213x y -=B ．CC ．曲线21x y e -=-经过C 的一个焦点D ．直线10x -=与C 有两个公共点【答案】AC【分析】由双曲线的渐近线为y x =，设出双曲线方程，代入已知点的坐标，求出双曲线方程判断A ；再求出双曲线的焦点坐标判断B ，C ；直线与双曲线的渐近线的关系判断D ．【详解】解：由双曲线的渐近线方程为3y x =±，可设双曲线方程为223x y λ-=，把点代入，得923λ-=，即1λ=．∴双曲线C 的方程为2213x y -=，故A 正确；由23a =，21b =，得2c ==，∴双曲线C3=，故B 错误； 取20x -=，得2x =，0y =，曲线21x y e -=-过定点(2,0)，故C 正确；双曲线的渐近线0x ±=，直线10x -=与双曲线的渐近线平行，直线10x -=与C 有1个公共点故D 不正确．故选：AC ．12．已知F 是椭圆2212516x y +=的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点()1,2,3,i P i =⋅⋅⋅，1FP 、2FP 、3FP 、组成公差为()0d d >的等差数列，则下列结论正确的是（ ） A ．该椭圆的焦距为6 B ．1FP 的最小值为2 C ．d 的值可以为35 D ．d 的值可以为310【答案】ABD【分析】求出c 的值，可判断A 选项的正误；利用1min FP a c =-可判断B 选项的正误；求出d 的取值范围，可判断CD 选项的正误.【详解】对于A 选项，在椭圆2212516x y +=中，5a =，4b =，3c =，所以，该椭圆的焦距为26c =， A 选项正确；对于B 选项，由题意可得1min 2FP a c =-=，B 选项正确；对于CD 选项，()()211max min 26FP FP a c a c c -=+--==，所以，0206d <≤，解得3010d <≤，C 选项错误，D 选项正确. 故选：ABD.三、填空题13．已知数列{}n a 是公比大于1的等比数列，其前n 项和为n S ，且13,a a 是方程2540x x -+=的两根，则3S =_______________.【答案】7【分析】根据一元二次方程求1a 和3a ，再求q ，最后代入等比数列的前n 项和求3S . 【详解】由条件可知()()140x x --=，1x =或4x =， 因为数列{}n a 是公比大于1的等比数列，所以11a =，34a =，则2314a q a ==，则2q ，所以()33131127112a q S q--===--. 故答案为：714．已知F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，点M 在C 的右支上，坐标原点为O ，若||2FM OF =，且120OFM ∠=，则双曲线C 的离心率为_________.【分析】设双曲线C 的左焦点为1,F 由题意可得12MF F F c ==，由余弦定理可得1MF =，再利用双曲线的定义1||||2MF MF a -=，即可建立,a c 关系，从而使问题得到解决.【详解】设双曲线C 的左焦点为1,F 由题意可得12MF F F c ==，1120MFF ∠=︒，由余弦定理有2221111||||||2||||cos MF MF F F MF F F MFF =+-⋅∠222214424()122c c c c =+-⋅⋅-=，即有1MF =，由双曲线的定义可得1||||2MF MF a -=，即为22c a -=，即有c =，所以双曲线C 的离心率为c e a ==.【点睛】本题考查求双曲线的离心率问题，涉及到余弦定理解三角形，双曲线的定义，考查学生的运算能力，是一道中档题.15．设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且1n n S a +=，记m b 为数列{}n a 中能使()121n a m m ≥∈+*N 成立的最小项，则数列{}m b 的前15项之和为_______________. 【答案】2【分析】由n S 与n a 的关系结合1n n S a +=可求得12n n a =，由()121na m m ≥∈+*N 可得出221n m ≤+，进而可得出{}m b 的前15项，进而可求得结果. 【详解】当1n =时，可得121a =，112a ∴=； 当2n ≥时，由1n n S a +=可得111n n S a --+=， 两式作差得120n n a a --=，112n n a a -∴=， 所以，数列{}n a 为等比数列，且首项为12，公比为12，所以，1111222n n na -⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭. 由()121n a m m ≥∈+*N ，可得11221n m ≥+，则221n m ≤+. 当1m =时，112b =；当23m ≤≤时，212n b =；当47m ≤≤时，312n b =；当815m ≤≤时，412n b =.因此，数列{}m b 的前15项之和为234111124822222+⨯+⨯+⨯=.故答案为：2.【点睛】方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式()11n a a n d +-=或11n n a a q -=进行求解；（2）前n 项和法：根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行求解；（3）n S 与n a 的关系式法：由n S 与n a 的关系式，类比出1n S -与1n a -的关系式，然后两式作差，最后检验出1a 是否满足用上面的方法求出的通项；（4）累加法：当数列{}n a 中有()1n n a a f n --=，即第n 项与第1n -项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（5）累乘法：当数列{}n a 中有()1nn a f n a -=，即第n 项与第1n -项的商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（6）构造法：①一次函数法：在数列{}n a 中，1n n a ka b -=+（k 、b 均为常数，且1k ≠，0k ≠）.一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+，得到()1b k m =-，1bm k =-，可得出数列1n b a k ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以k 的等比数列，可求出n a ；②取倒数法：这种方法适用于()112,n n n ka a n n N ma p*--=≥∈+（k 、m 、p 为常数，0m ≠），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于1n n a ka b -=+的式子；⑦1nn n a ba c +=+（b 、c 为常数且不为零，n *∈N ）型的数列求通项n a ，方法是在等式的两边同时除以1n c +，得到一个1n n a ka b +=+型的数列，再利用⑥中的方法求解即可.四、双空题16．直线l 过抛物线()2:20C y px p =>的焦点()1,0F ，且与C 交于,A B 两点，则p =______，11AF BF+=______． 【答案】2 1 【分析】由题意知12p=，从而2p =，所以抛物线方程为24y x =．联立方程，利用韦达定理可得结果. 【详解】由题意知12p=，从而2p =，所以抛物线方程为24y x =． 当直线AB 斜率不存在时：1x =代入，解得2AF BF ==，从而111AF BF+=． 当直线AB 斜率存在时：设AB 的方程为()1y k x =-，联立()214y k x y x ⎧=-⎨=⎩，整理，得()2222240k x k x k -++=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则212212241k x x k x x ⎧++=⎪⎨⎪=⎩从而12121212121222111111112x x x x AF BF x x x x x x x x +++++=+===+++++++．（方法二）利用二级结论：112AF BF p+=，即可得结果． 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化能力与计算能力，属于基础题.五、解答题17．已知双曲线221916x y -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，若双曲线上一点P 使得1290F PF ∠=，求12F PF △的面积.【答案】16【分析】求出a 、b 、c ，利用双曲线的定义和勾股定理可求得12PF PF ⋅，进而可求得12F PF △的面积.【详解】由双曲线方程221916x y -=，可知3a =，4b =，5c =.由双曲线的定义，得1226PF PF a -==，将此式两边平方，得221212236PF PF PF PF +-⋅=，221212362PF PF PF PF ∴+=+⋅.又1290F PF ∠=，由勾股定理可得2212122100PF PF F F +==，12362100PF PF ∴+⋅=，12·32PF PF ∴=，121211321622F PF SPF PF ∴=⋅=⨯=. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于利用双曲线的定义结合勾股定理求得12PF PF ⋅的值，再结合三角形的面积公式求解，对于焦点三角形面积的问题，一般利用定义结合余弦定理求解. 18．已知首项为12的等比数列{}n a 是递减数列，其前n 项和为n S ，且1232,3,4a a a 成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和为n T .【答案】（1）12n n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）12(2)2nn T n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.【分析】（1）利用等比数列，写出通项，代入213624a a a =+，求公比，写出通项公式；（2）由（1）可知1()2nn n b na n ==，利用错位相减法求和. 【详解】（1）由题意得22133132,22a a a q q =+∴=+， 解得1q =或12q =， 又由{}n a 为递减数列，于是12q =， ∴111111()()222n n n n a a q--==⋅= （2）1()2nn n b na n ==12311111()2()3()()2222n n T n =++++23111111()2()()2222n n T n +=+++ 两式相减得：231111111()()()()222222n n n T n +=++++-11111()111222()1(2)()122212n n n n T n n ++-⋅=-=-+- ∴12(2)()2nn T n =-+.19．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F ，抛物线上一点P 点横坐标为2，3PF =．（1）求抛物线的方程；（2）过F 且倾斜角为30的直线交抛物线C 与A 、B 两点，O 为坐标原点，求OAB 的面积．【答案】（1）24y x =；（2）4.【详解】试题分析：（1）利用抛物线的定义，有232pPF =+=，由此求出p 和抛物线方程；（2）先求出直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程，写出韦达定理，利用抛物线的弦长公式求出弦长AB ，然后利用点到直线的距离公式求得O 点到直线AB 的距离，进而求得三角形的面积.试题解析：（1）由抛物线定义可知，232pPF =+=，2p ∴=， ∴抛物线方程为24y x =.（2）()1,0F ，∴直线方程为)1y x =-，由)24{1y xy x ==-得21410x x -+=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1214x x +=， 所以1216AB x x p =++=，又O到直线距离12d ==，1116422OAB S ∆∴=⨯⨯=. 20．已知等差数列{}n a 的前n 和为n S ，且539a S ==. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12n n n b a a +=，集合*12{|,}n n n T T b b b n N Ω==++⋅⋅⋅+∈. ①求n T ；②若i T ∈Ω，j T ∈Ω(,1,2,,)i j n =⋅⋅⋅，求i j T T ⋅的取值范围. 【答案】（1）21n a n =-；（2）①221n n +；②419i j T T ≤⋅<.【分析】（1）由题意及等差数列基本量解法列出方程组求解即可； （2）由（1）得112121n b n n =--+， ①根据裂项相消法化简即可；②由递增数列定义法判定数列{}n T 是递增数列，求出其最小值，进而得到i j T T ⋅的最小值，又1n T <，得出||1i j T T ⋅<.【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 由111(1),(1)2n n a a n d S na n n d =+-=+-，且539a S ==，得1149339a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得11,2a d ==， 所以数列{}n a 的通项公式为12(1)21n a n n =+-=-. （2）由（1）知21n a n =-， 所以12211(21)(21)2121n n n b a a n n n n +===--+-+， ①121111111(1)()()()335572121n n T b b b n n =+++=-+-+-++--+ 1212121nn n =-=++. ②因为1112(1)(1)02321(21)(23)n n T T n n n n +-=---=>++++， 所以数列{}n T 是递增数列，即123n T T T T <<<⋅⋅⋅<，所以当1n =时，n T 取得最小值为23，而,(,1,2,,)i j T T i j n ∈Ω=，故1i j ==时，||i j T T ⋅取得最小值为49.又*11()21n T n n =-∈+N ，所以1n T <，则||1i j T T ⋅<， 因此419i j T T ≤⋅<.【点睛】等差数列基本运算的常见类型及解题策略：（1）求公差d 或项数n ：在求解时，一般要运用方程思想； （2）求通项：1a 和d 是等差数列的两个基本元素；（3）求特定项：利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解；（4）求前n 项和：利用等差数列的前n 项和公式直接求解或利用等差中项间接求解.21．法国数学家加斯帕尔·蒙日是19世纪著名的几何学家，他创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础.根据他的研究成果，我们定义：给定椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，则称圆心在原点O ，的圆为“椭圆C 的伴随圆”，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为F ，其短轴的一个端点到焦点F（1）求椭圆C 和其“伴随圆”的方程；（2）若点A 是椭圆C 的“伴随圆”与x 轴正半轴的交点，,B D 是椭圆C 上的两相异点，且BD x ⊥轴，求AB AD ⋅的取值范围；（3）在椭圆C 的“伴随圆”上任取一点P ，过点P 作直线1l ､2l ，使得1l ､2l 与椭圆C 都只有一个交点，试判断1l ､2l 是否垂直?并说明理由.【答案】（1）C ：2213x y +=，“伴随圆”方程为224x y +=；（2）[0,73)+；（3）垂直，理由见解析.【分析】（1）首先根据题意得到2c =223a b c =+=1b =，从而得到椭圆C 和其“伴随圆”的方程.（2）首先设(),B m n ，(),D m n -，(33m -<，得到24332AB AD m ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭，从而得到AB AD ⋅的取值范围是0,743⎡+⎣.（3）首先设(),P s t ，得到224s t +=，当3s =±1t =±，易得12l l ⊥，当3s ≠时，设l 的方程为()y t k x s -=-，代入椭圆C 方程可得222(31)6()3()30k x k t ks x t ks ++-+--=，根据0∆=得到222(3)210s k stk t -++-=，从而得到121k k =-，即可得到答案.【详解】（1）由题意知2c =223a b c =+=1b =，故椭圆C 的方程为2213x y +=，其“伴随圆”方程为224x y +=.（2）由题意，可设(),B m n ，(),D m n -，(m <<，则有2213m n +=，又A 点坐标为()20,，故()2,AB m n =-，()2,AD m n =--故()2222224432441433332m AB AD m n m m m m m ⎛⎫⎛⎫⋅=--=-+--=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又m <2430,732m ⎛⎫⎡-∈+ ⎪⎣⎝⎭，所以AB AD ⋅的取值范围是0,7⎡+⎣. （3）设(,)P s t ，则224s t +=.当s =1t =±，则12,l l 其中之一斜率不存在，另一斜率为0，显然有12l l ⊥.当s ≠(,)P s t 且与椭圆有一个公共点的直线l 的斜率为k ， 则l 的方程为()y t k x s -=-，代入椭圆C 方程可得223[()]3x kx t ks ++-=，即222(31)6()3()30k x k t ks x t ks ++-+--=，由222236()4(31)[3()3]0k t ks k t ks ∆=--+--=， 可得222(3)210s k stk t -++-=，其中230s -≠，设12,l l 的斜率分别为12,k k ，则12,k k 是上述方程的两个根，故22122211(4)133t s k k s s---===---，即12l l ⊥. 综上可知，对于椭圆C 上的任意点P ，都有12l l ⊥.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆的位置关系，解决本题的关键为分类讨论，设出直线方程()y t k x s -=-，根据直线与椭圆的位置关系得到相应的关系式，从而证明直线垂直，属于难题.22．设椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的离心率12e =，过椭圆C 上一点()2,3P 作两条不重合且倾斜角互补的直线PA ､PB 分别与椭圆C 交于A ､B 两点，且AB 中点为M .（1）求椭圆C 方程.（2）椭圆C 上是否存在不同于P 的定点N ，使得MNP △的面积为定值，如果存在，求定点N 的坐标；如果不存在，说明理由.【答案】（1）2211612x y +=；（2）存在，定点()4,0N . 【分析】（1）首先根据题意得到2222212491c e a a b c a b⎧==⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎩，再解方程组即可.（2）首先根据题意设直线PA ､PB 的方程为()32y k x -=-，()32y k x -=--，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线PA 与椭圆方程得到212824634k k x k --=+，2121212934k k y k --+=+，同理得到222824634k k x k +-=+，2221212934k k y k -++=+，从而得到点M在直线32y x =-上，得到当//PN OM 时，MNP △的面积为定值，再计算点N 的坐标即可.【详解】（1）依题意得2222212491c e a a b c a b⎧==⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎩，解得4a =，b =2c =所以椭圆22:11612x y C +=（2）因为直线PA ､PB 的倾斜角互补，所以设直线PA ､PB 的方程为()32y k x -=-，()32y k x -=--，()11,A x y ，()22,B x y联立方程2234483(2)x y y k x ⎧+=⎨-=-⎩得：()()()22234823441230k x k k x k k +--+--=，所以2121624234k k x k -+=+，所以212824634k k x k --=+，所以211212129(2)334k k y k x k --+=-+=+同理得222824634k k x k +-=+，2221212934k k y k -++=+. 设(),M x y ，则212286234x x k x k +-==+，2122129234y y k y k+-+==+ 所以32y x =-，所以点M 在直线32y x =-上.所以当//PN OM 时，MNP △的面积为定值.此时PN 的直线方程为33(2)2y x -=--，即362y x =-+因为2211612362x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，化简得：2680x x -+=，解得4x =或2x = (舍去).所以椭圆C 上存在不同于P 的定点()4,0N ，使得MNP △的面积为定值.【点睛】本题第一问考查椭圆的标准方程，第二问考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查学生的计算能力，属于难题.。
江苏2022学年高二数学上学期中测试卷(含答案解析)
江苏地区2021~2022学年高二上期中测试数学卷测试时间：120分钟满分：150分一、单选题1.设x∈R，则“ x2−5x<0”是“ |x−1|<1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】由|x−1|<1得，0<x<2由x2−5x<0得0<x<5由“小范围”推出“大范围”得出0<x<2可推出0<x<5故“ 0<x<5”是“ |x−1|<1”的必要而不充分条件.故答案为：B【分析】根据集合的包含关系以及充分必要条件的定义，再由“小范围”推出“大范围”判断即可.2.不等式2x+1<1的解集是（）．A．(−∞,−1)B．(1,+∞)C．(−∞,−1)∪(1,+∞)D．(−1,1)【答案】C【考点】其他不等式的解法【解析】由题意，不等式2x+1<1，可化为2x+1−1=1−xx+1<0，即x−1x+1>0，解得x<−1或x>1，即不等式2x+1<1的解集是(−∞,−1)∪(1,+∞).故答案为：C．【分析】化简不等式为x−1x+1>0，结合分式不等式的解法，即可求解.3.已知数列{a n}中，a1=2，a n=1−1a n−1(n≥2)，则a2021等于（）A． -1B．−12C．12D．2【答案】C【考点】数列递推式【解析】因为a1=2，所以a2=1−1a1=12,a3=1−1a2=−1,a4=1−1a3=2,......所以a n+3=1−1a n+2=1−11−1a n+1=1−11−11−1an=1−11−a na n−1=1−a n−1−1=a n，所以{a n}是周期为3的周期数列，所以a2021=a3×673+2=a2=12，故答案为：C．【分析】先计算出{a n}的前几项，然后分析{a n}的周期性，根据周期可将a2021=a3×673+2= a2，结合a1=2求解出结果.4.已知a>b>c，ac>0，则下列关系式一定成立的是（）A．c2>bc B．bc(a−c)>0C．a+b>c D．a2>b2【答案】B【考点】不等式的基本性质【解析】ac>0，∴a,c同号，又a>b>c，从而a,b,c同号，所以bc>0，而a−c> 0，所以bc(a−c)>0，B符合题意．c>0时，A不符合题意，a<0时，C,D都错．故答案为：B．【分析】根据不等式性质求解．5.我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少斤？A．6斤B．7斤C．9斤D．15斤【答案】D【考点】等差数列的前n项和【解析】因为每一尺的重量构成等差数列{a n}，a1=4，a5=2，∴a1+a5=6，数列的前5项和为S5=5×a1+a52=5×3=15．即金锤共重15斤，故答案为：D．【分析】直接利用等差数列的求和公式求解即可.6.已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a2=2，a5=2a4+3a3，则a6=（）A．2B．54C．162D．243【答案】C【考点】等比数列的通项公式【解析】设等比数列{a n}的公比为q(q>0)，由题意可得{a1q=2a1q4=2a1q3+3a1q2，解得q=3，∴a6=a2q4=162.故答案为：C【分析】由题意可得{a1q=2a1q4=2a1q3+3a1q2，解可得q的值，结合等比数列的通项公式分析可得答案.7.已知等差数列{a n}的公差为d，关于x的不等式dx2+2a1x≥0的解集为[0,9]，则使数列{a n}的前n项和S n取得最大值的正整数n的值为（）A．4B．5C．6D．7【答案】B【考点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系【解析】∵关于x的不等式dx2+2a1x≥0的解集为[0,9]，∴0，9分别是一元二次方程dx2+2a1x=0的两个实数根，且d<0．∴−2a1d=9，可得：2a1+9d=0，∴a1=−9d2．∴a n=a1+(n−1)d=(n−11d2)，可得：a5=−d2>0，a6=d2<0．∴使数列{a n}的前n项和S n最大的正整数的值是5．故答案为：B．【分析】关于x的不等式dx2+2a1x≥0的解集为[0,9],可得:0，9分别是一元二次方程dx2+2a1x=0的两个实数根，且d<0，可得−2a1d =9，a1=−9d2，于是a n=a1+(n−1)d=(n−11d2)即可判断出结论.8.设S n是数列{a n}的前n项和，满足a n2+1=2a n S n，且a n>0，则S100=（）A．10B．3√11C．10−3√11D．11【答案】A【考点】数列递推式【解析】∵a n2+1=2a n S n∴a12+1=2a1S1∴a12=1∵a n>0∴a1=1∵a n2+1=2a n S n∴(S n−S n−1)2+1=2(S n−S n−1)S n,(n≥2)∴S n2−S n−12=1,(n≥2)因此数列{S n2}为等差数列，首项为1，公差为1，即S n2=1+(n−1)⋅1=n∵a n>0∴S n>0∴S n=√n∴S100=10故答案为：A【分析】首先求出数列的首项，进一步利用数列的递推关系式的应用整理出S n2−S n−12= 1,(n≥2)(常数),最后求出数列的通项公式，进一步确定结果.二、多选题9..关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为(−∞,−2)∪(3,+∞)，则下列正确的是（）A．a<0B．关于x的不等式bx+c>0的解集为(−∞,−6)C．a+b+c>0D ． 关于x 的不等式 cx 2−bx +a >0 的解集为 (−∞,−13)∪(12,+∞)【答案】 A,C,D【考点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系【解析】【解答】A ．由已知可得 a <0 且 −2,3 是方程 ax 2+bx +c =0 的两根，A 符合题意，B ．由根与系数的关系可得： {−2+3=−ba −2×3=c a，解得 b =−a,c =−6a ，则不等式 bx +c >0 可化为： −ax −6a >0 ，即 x +6>0 ，所以 x >−6 ，B 不符合题意，C ．因为 a +b +c =a −a −6a =−6a >0 ，C 符合题意，D ．不等式 cx 2−bx +a >0 可化为： −6ax 2+ax +a >0 ，即 6x 2−x −1>0 ，解得 x >12 或 x <−13 ，D 符合题意， 故答案为：ACD ．【分析】 先由已知可得a <0且b =−a,c =−6a ，然后代入各个选项验证是否正确即可得出答案.10.当 x ≥1 时，下列函数的最小值为4的有（ ） A ． y =4x +1x B ． y =4x 2−4x+52x−1C ． y =x 2+5√x 2+1D ． y =5x −1x【答案】 B,C,D 【考点】平均值不等式【解析】【解答】A ．根据对勾函数的单调性可知： y =4x +1x 在 [1,+∞) 上单调递增，所以函数最小值为： 4×1+11=5 ，故不符合；B ． y =4x 2−4x+52x−1=(2x−1)2+42x−1=(2x −1)+42x−1≥2√(2x −1)⋅42x−1=4 ，取等号时 {2x −1=42x−1x ≥1，即 x =32，所以函数的最小值为4，故符合； C ． y =2√x 2+1=2√x 2+1=√x 2+1+√x 2+1≥2√√x 2+1⋅√x 2+14 ，取等号时 {√x 2+1=√x 2+1x ≥1，即 x =√3 ，所以函数的最小值为4，故符合； D ． y =5x −1x 在 [1,+∞) 为单调递增函数，所以函数的最小值为 5×1−1×1=4 ，故符合；故答案为：BCD ．【分析】 直接利用不等式的性质和均值不等式的应用和函数的单调性判断A 、B 、C 、D 的结论.11.设首项为1的数列{a n}的前n项和为S n，已知S n+1=2S n+n−1，则下列结论正确的是（）A．数列{S n+n}为等比数列B．数列{a n}的通项公式为a n=2n−1−1 C．数列{a n+1}为等比数列D．数列{2S n}的前n项和为2n+2−n2−n−4【答案】A,D【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前n项和，等比关系的确定【解析】因为S n+1=2S n+n−1，所以S n+1+n+1S n+n =2S n+2nS n+n=2．又S1+1=2，所以数列{S n+n}是首项为2，公比为2的等比数列，A符合题意；所以S n+n=2n，则S n=2n−n．当n≥2时，a n=S n−S n−1=2n−1−1，但a1≠21−1−1，B不符合题意；由a1=1,a2=1,a3=3可得a1+1=2,a2+1=2,a3+1=4，即a3+1a2+1≠a2+1a1+1，C不符合题意；因为2S n=2n+1−2n，所以2S1+2S2+...+2S n=22−2×1+23−2×2+...+2n+1−2n=22+23+...+2n+1−2(1+2+...+n)=4(1−2n)1−2−2[n+n(n−1)2]=2n+2−n2−n−4所以数列{2S n}的前n项和为2n+2−n2−n−4，D符合题意．故答案为：AD．【分析】首先由上来的递推公式代入数值即可得出数列数列{S n+n}是等比数列，结合等比数列的通项公式即可得出数列{a n}的前n项和公式，再由数列前n项和公式与项之间的关系即可得出数列{a n}的通项公式，由数列的通项公式即可得出该数列为等比数列，借助等比数列的前n项和公式整理即可得出数列{2S n}的前n项和公式；由此对选项逐一判断即可得出答案.12.已知{a n}为等比数列，下列结论正确的是（）A．若a3=−2，则a22+a42≥8B．a32+a52≥2a42C．若a3=a5，则a1=a2D．若a5>a3，则a7>a5【答案】A,B,D【考点】基本不等式，等比数列的性质【解析】【解答】A．因为a22+a42≥2a2a4=2a32=8，取等号时a2=a4=±2，故正确；B．因为a32+a52≥2a3a5=2a42，取等号时a3=a5，故正确；C．设等比数列的公比为q，因为a3=a5，所以q2=a5a3=1，所以q=±1，当q=−1时，a1=−a2，故错误；D．设等比数列的公比为q，因为a5>a3且q2>0，所以a5⋅q2>a3⋅q2，所以a7> a5，故正确；故答案为：ABD．【分析】对于A,利用基本不等式及等比数列的性质即可判断得解；对于B,利用基本不等式及等比数列的性质即可判断得解；对于C,由a3=a5，得q=±1，当q=−1时，a1=−a2可判断C；由a5>a3且q2>0，所以a5⋅q2>a3⋅q2，所以a7>a5，即可判断D.三、填空题13..命题“ ∃x>0，x3+x<0”的否定为1．【答案】∀x>0，x3+x≥0【考点】命题的否定【解析】【解答】解：命题“ ∃x>0，x3+x<0”的否定为“ ∀x>0，x3+x≥0” 故答案为：∀x>0，x3+x≥0．【分析】特称命题的否定是全称命题，直接写出结果即可.14..已知实数x，y满足y>32且6xy−9x+2y−4=0，则3x+y的最小值是1.【答案】2√2+12【考点】基本不等式【解析】由6xy−9x+2y−4=0，可得y=9x+46x+2，∵y>32，∴9x+46x+2>32，解不等式可得，x>−13，则3x+y=3x+9x+46x+2=3x+3(3x+1)+12(3x+1)=3x+12(3x+1)+32，=3x+1+12(3x+1)+12⩾2√12+12=√2+12，当且仅当3x+1=12(3x+1)即x=√2−26时上式取等号，∴3x+y的最小值是√2+12，故答案为√2+12．【分析】由6xy-9x+2y-4=0，化为y=9x+46x+2，根据y>32求出x的取值范围，把3x+y化为只含有x的式子，根据x的取值范围求出3x+y的最小值.15..数列 {a n } 满足 a 1+2a 2+22a 3+⋅⋅⋅+2n−1a n =12n 2−72n ，若对任意 λ>0 ，所有的正整数n 都有 λ2−kλ+2>a n 成立，则实数k 的取值范围是 1 ． 【答案】 (−∞,√312)【考点】基本不等式，数列的函数特性【解析】【解答】记 b n =2n−1a n ，设 S n =a 1+2a 2+222a 3+⋅⋅⋅+2n−1a n =12n 2−72n ， 当 n =1 时， b 1=12−72=−3 ；当 n ≥2 时， b n =S n −S n−1=12n 2−72n −[12(n −1)2−72(n −1)]=n −4 ． 当 n =1 时， b 1=−3 也满足上式，所以 b n =n −4(n ∈N *) ，即 a n =n−42n−1 ． 显然当 n ≤3 时， a n <0 ， a 4=0 ，当 n ≥5 时， a n >0 ，因此 a n 的最大值若存在，必为正值． 当 n ≥5 时，a n+1a n=n−32(n−4) ，因为a n+1a n−1=5−n 2(n−4)≤0 ，当且仅当 n =5 时取等号．所以 a n 的最大值为 116．故 λ2−kλ+2>(a n )max =116，变形得， k <λ+3116λ，而 λ+3116λ≥2√3116=√312，当且仅当 λ=√314时取等号，所以 k <√312．故答案为： (−∞,√312) ．【分析】 先由题设求得a n ,然后利用数列的单调性求得其最大值，把对任意λ> 0，所有的正整数n 都有λ2−kλ+2>a n 成立转化为k <λ+3116λ， 对任意λ> 0恒成立，再利用基本不等式求得λ+3116λ的最小值，即可得到答案.16.已知数列 {a n } 满足： a n ={12,(n =1)[1+2⋅(−1)λ]a n−1+2(n ≥2) ， {a n } 的前 n 项和为 S n ，则当 λ=1 时， S 11= ________；当 λ=2 时，数列 {a n } 的通项公式为 a n = ________. 【答案】212；a n =3n 2−1【考点】数列的函数特性，数列的求和【解析】【解答】当 λ=1 时， a n =−a n−1+2 ，即 a n +a n−1=2 ，所以 S 11=(a 11+a 10)+(a 9+a 8)+(a 7+a 6)+(a 5+a 4)+(a 3+a 2)+a 1=2×5+12=212，λ=2 时， a n =3a n−1+2 ， 所以有 a n +1=3(a n−1+1) ，所以{a n+1}是以a1+1=32为首项，以3为公比的等比数列，所以a n+1=32⋅3n−1，所以a n=3n2−1，故答案为：①212；②a n=3n2−1.【分析】根据题意分情况讨论；当λ=1时，由数列的通项公式整理即可得出a n+a n−1=2结合已知计算出结果即可；当λ=2时，整理数列的通项公式即可得出a n+1=3(a n−1+1)进而得出数列{a n+1}为等比数列，由等比数列的通项公式即可求出a n+1=32⋅3n−1整理即可得到a n=3n2−1，从而得出答案.四、解答题17.已知关于x的不等式ax2−2x+a<0的解集为空集，函数f(x)=x+22x+1+m在x∈(−12,+∞)上的值域为B．（1）.求实数a的取值集合A及函数f(x)的值域B；（2）.对（1）中的集合A，B，若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【答案】（1）1°若a=0，则−2x<0不符合；2°若a>0，则Δ=4−4a2≤0，则a≤−1或a≥1，∴a≥1；3°若a<0不成立；综上，a≥1，∴A=[1,+∞)．令t=2x+1∈(0,+∞)，则x=t−12．∴g(t)=t−12+2t+m=t2+2t+m−12≥2√t2⋅2t+m−12．当且仅当t2=4即t=2时等号成立，此时g(t)min=32+m．∴B=[32+m,+∞)．（2）∵x∈A是x∈B的必要不充分条件，∴B是A的真子集，则32+m>1，解得m>−12．【考点】集合关系中的参数取值问题，基本不等式【解析】【分析】(1)通过讨论a的范围,求出集合A,根据函数的单调性求出B即可;(2)求出B是A的真子集,得到关于m的不等式，求出m的范围即可.18.已知正项等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=12，且2a1,a2,a3+1成等比数列.（1）.求{a n}的通项公式；（2）.设b n=a n3n，记数列{b n}的前n项和为T n，求T n【答案】（1）设公差为d，则∵S3=12，，即a1+a2+a3=12，∴3a2=12，∴a2=4，又∵2a 1 ， a 2 ， a 3+1成等比数列，∴a 22=2（a 2-d ）（a 2+d+1），解得d=3或d=-4（舍去）， ∴a n =a 2+（n -2）d=3n -2 （2）b n =a n 3n =3n−23n，∴ T n =1×13+4×132+7×133+⋯+(3n −2)×13n①①× 13得 13T n =1×132+4×133+7×134+⋯+(3n −5)×13n +(3n −2)×13n+1②①-②得 23T n =13+3×132+3×133+⋯+3×13n −(3n −2)×13n+1 =13+3×132×(1−13n−1)1−13−(3n −2)×13n+1=56−12×13n−1−(3n −2)×13n+1，∴ T n =54−14×13n−2−3n−22×13n =54−6n+54×13n ．【考点】数列的求和，等差数列的性质，等比数列的性质【解析】 (1)利用等差数列的性质以及S 3=12求出a 2=4，再由 2a 1,a 2,a 3+1 成等比数列求出公差即可求 {a n } 的通项公式； (2)把(1)的结论代入 b n =a n 3n,再利用错位相减法求T n .19..小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本3万元，每生产x 万件时，该产品需另投入流动成本 W(x) 万元．在年产量不足8万件时， W(x)=13x 2+x ，在年产量不小于8万件时， W(x)=6x +100x−38 ．每件产品的售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完，设年利润为 L(x) （单位：万元）．（1）.若年利润 L(x) （单位：万元）不小于6万元，求年产量x （单位：万件）的范围． （2）.年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】 （1）由题意得： L(x)=5x −W(x)−3当 x ∈(0,8) 时， L(x)=5x −(13x 2+x)−3=−13x 2+4x −3 ．∴ −13x 2+4x −3≥6 ，整理得： x 2−12x +27≤0 ，解得 3≤x ≤9 ．又∵ x ∈(0,8) ，∴ 3≤x <8 ． 当 x ∈[8,+∞) 时， L(x)=5x −(6x +100x−38)−3=35−(x +100x) ，∴ 35−(x +100x)≥6 ，整理得 x 2−29x +100≤0 ，解得 4≤x ≤25 ，又∵ x ∈[8,+∞) ，∴ 8≤x ≤25 ． 综上，x 的取值范围为 3≤x ≤25 ．（2）由（1）可知当 x ∈(0,8) 时， L(x)=−13x 2+4x −3=−13(x −6)2+9 ． ∴当 x =6 时， L(x)max =9 ． 当 x ∈[8,+∞) 时， L(x)=35−(x +100x)≤35−2√x ⋅100x=15 ．当且仅当 x =100x即 x =10 时， L(x)max =15 ．∵9<15，∴年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获得利润最大，且最大利润是15万元．【考点】二次函数的性质，根据实际问题选择函数类型，基本不等式【解析】(1)由题意可知L(x)=5x−W(x)−3，分段求出L(x)的解析式，令L(x)≥6,即可求出x的取值范围；(2)由(1)可知当x∈(0,8)时L(x)=5x−(13x2+x)−3=−13x2+4x−3，利用二次函数的性质求出L(x)的最大值，当x∈[8,+∞)时L(x)=5x−(6x+100x−38)−3=35−(x+ 100x)，利用基本不等式求出L(x)的最大值，再比较两者的大小，较大者即为L(x)的最大值.20.设函数f(x)=ax2−(3a+2)x+6．（1）.若f(x)>(a−2)x2−(a+1)x+1在x∈[−1,+∞)恒成立，求实数a的取值范围；（2）.解关于x的不等式ax2−(3a+2)x+6>0．【答案】（1）∵f(x)>(a−2)x2−(a+1)x+1，∴2x2−(2a+1)x+5>0在x∈[−1,+∞)恒成立．令g(x)=2x2−(2a+1)x+5，则g(x)的最小值大于0，1°当2a+14≤−1，则a≤−52，x=−1时，g(x)min=g(−1)=8+2a>0，则a>−4，∴−4<a≤−522°当2a+14>−1，则a>−52，x=2a+14时，g(x)min=g(2a+14)>0，即Δ=(2a+1)2−40<0，∴−2√10<2a+1<2√10，−2√10−12<a<2√10−12，∴−52<a<2√10−12．综上−4<a<2√10−12．（2）1°当a=0时，则−2x+6>0，∴x<32°当a>0时，Δ=(3a+2)2−24a=(3a−2)2≥0，所以(ax−2)(x−3)>0，方程根为x1=2a或x2=3，①2a <3，即a>23时，x<2a或x>3；②2a >3，即0<a<23时，x<3或x>2a；③2a =3，即a=23时，x≠3．3°当a<0时，则x1=2a ，x2=3，∴2a<x<3．综上， a <0 解集为 (2a ,3) ； a =0 解集为 (−∞,3) ； 0<a <23 解集为 (−∞,3)∪(2a ,+∞) ； a =23 解集为 {x ∣x ≠3} ； a >23 解集为 (−∞,2a )∪(3,+∞) ． 【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【分析】 (1)将不等式化简归零,然后构造函数,研究函，数的单调性，令该函数的最小值大于零即可;(2)求出不等式对应方程的两个根，然后讨论两个根的大小结合函数的单调性求出不等式的解.21.设数列 {a n } 的前n 项和为 S n ，满足 S n +a n =An 2+Bn +1 ．且 a 1=1 ， a 2=32 ．（1）.求证：数列 {a n −n +1} 是等比数列并求数列 {a n } 的通项公式；（2）.令 b n =1a n −n+1 ，求数列 {b n(b n +1)(b n+1+1)} 的前n 项和 T n ，若对任意n 都有 T n >m ，求实数m 的取值范围．【答案】 （1）解：分别令 n =1、2 ，代入条件，得 {2a 1=A +B +12a 2+a 1=4A +2B +1又 a 1=1 ， a 2=32 ，解得 A =12 ， B =12 ． ∴ a n +S n =12n 2+12n +1 ，n ≥2 时， a n−1+S n−1=12(n −1)2+12(n −1)+1 ，∴ 2a n −a n−1=12(2n −1)+12=n ，∴ a n−1=2a n −n ，∵ a 1−1+1=1≠0 ，∴ a n −n+1a n−1−(n−1)+1=a n−n+12a n −2n+2=12 （常数）． ∴ {a n −n +1} 为等比数列且首项为1，公比为 12 ， ∴ a n −n +1=(12)n−1 ，∴ a n =n +(12)n−1−1 ． （2）b n =1an −n+1=2n−1 ∴ b n (b n +1)(b n+1+1)=2n−1(2n−1+1)(2n +1)=12n−1+1−12n +1 ∴ T n =(120+1−121+1)+(121+1−122+1)+(122+1−123+1)+⋅⋅⋅+(12n−1+1−12n +1)=12−12n +1又∵ T n 在 n ∈N ∗ 递增，∴ n =1 时， (T n )min =12−13=16 ．∴ m <16 ．【考点】数列的求和，数列递推式【解析】(1)根据数列的递推关系和等比数列的定义及通项公式可求出通项公式；(2)利用裂项相消法求出数列的和，进步利用恒成立问题的应用和函数单调性求出参数的范围.22.设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，已知数列{a n}满足na n+1−(n+ 1)a n=1(n∈N∗)，且a1=1．（1）.求数列{a n}的通项公式；（2）.求λ的值使数列{√4S n+4n+λ}为等差数列；（3）.数列{b n}满足b n=14S n−1，T n为数列{b n}的前n项和，是否存在正整数m，k(1< m<k)，使得T k=3T m2？若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）na n+1−(n+1)a n=1，两边同时除以n(n+1)得：a n+1 n+1−a nn=1n−1n+1，从而有：a nn −a n−1n−1=1n−1−1n，……，a22−a11=1−12．叠加可得：a nn −a11=1−1n，a n=2n−1(n≥2)．又n=1满足等式，从而a n=2n−1．（2）因为a n+1−a n=2，所以{a n}是首项为1，公差为2为等差数列，所以S n=n+n(n−1)2×2=n2，假设√4S1+4+λ，√4S2+8+λ，√4S3+12+λ成等差数列，所以2√4S2+8+λ= √4S1+4+λ+√4S3+12+λ，解得λ=1．检验当λ=1时，√4S n+4n+λ=2n+1，√4S n+1+4(n+1)+λ=2n+3，√4S n+1+4(n+1)+λ−√4S n+4n+λ=2，∴当λ=1时，{√4S n+4n+λ}为等差数列．（3）∴b n=14n2−1=12(12n−1−12n+1)，∴T n=b1+b2+⋅⋅⋅+b n，=12[(1−13)+(13−15)+⋅⋅⋅+(12n−3−12n−1)+(12n−1−12n+1)]，=12(1−12n+1)=n2n+1，若T k=3T m2，则k2k+1=3m2(2m+1)2，整理得k=3m24m+1−2m2，又k>m>1，∴{3m24m+1−2m2>mm>1，整理得{2m2−m−14m+1−2m2>0m>1，解得1<m<1+√62又m∈N∗，∴m=2，∴k=12∴存在m=2，k=12满足题意【考点】数列的求和，等差数列的性质【解析】(1)直接利用关系式的变换的应用和叠加法的应用求出数列的通项公式；(2)利用关系式的变换和存在性问题的应用求出参数的值；(3)利用裂项相消法和存在性问题的应用求出结果.。
江苏省苏州市2020-2021学年第一学期期中教学质量调研测试高二数学试题
苏州市2020-2021学年第一学期期中教学质量调研测试高二数学一､单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1.已知a>b,c>d>0,则( ) 11.A abB.a-c> b-d .a b C c d4.4d d D c c 2.关于x 的不等式102x x的解集为()A.(-∞,-1]∪(2,+∞)B.[-1,2)C.(-∞,-1]U[2,+∞)D.[-1,2]3.设等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 公差d=1,且6210S S ,则34a a ()A.2B.3C.4D.54.若不等式210ax bx的解集为{|12},x x则a+b 的值为( )1.4A B.01.2C D.15.已知等比数列{}n a 中,2346781,64a a a a a a ,则5a 的值为()A.±2B.-2C.2D.46.已知在数列{}n a 中,112,,1nn na a a n 则2020a 的值为(1.2020A 1.2019B 1.1010C 1.1009D 7.已知a>0,b>0,a+b=3,则411y ab的最小值为()9.8A 9.4B 9.2C D.98.已知数列{}n b 满足1212(),2n nb n 若数列{}n b 是单调递减数列,则实数λ的取值范围是()10.(1,)3A 110.(,)23B C.(-1,1) 1.(,1)2D二､多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的四个选项中,都有多个选项是正确的,全部选对得5分,选对但不全的得3分,选错或不答的得0分.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置.上. 9.下列说法正确的有()A.“a=b”是“ac=bc”的充分不必要条件B.“11ab”是“a<b”的既不充分又不必要条件 C.“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件 D.“a>b>0”是“(,2)nn a b nN n”的充要条件10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且15110,20,a a a 则()8.0Aa B.当且仅当n= 7时,n S 取得最大值49.C S SD.满足0nS 的n 的最大值为1211.已知a,b 均为正实数,且a+b=1,则( ) 22.Aa b 的最小值为121.B abab的最小值为2.C b 的最大值为 11.D ab的最大值为4 12. 对于数列{},n a 定义:*1(),n nnb a n N a 称数列{}n b 是{}n a 的“倒差数列”下列叙述正确的有()A.若数列{}n a 单调递增,则数列{}n b 单调递增B.若数列{}n b 是常数列,数列{}n a 不是常数列,则数列{}n a 是周期数列C.若11(),2nna 则数列{}nb 没有最小值 D.若11()2,nna 则数列{}nb 有最大值 三､填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填写在答题卡相应位置.上. 13.命题“2,20xR x xm”的否定是____.14.在等比数列{}n a 中,已知3810,a a 则357a a 的值为____.15. 已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+ 3y 的最小值为_____.16.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.大衍数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总和,是中国传统文化中隐藏着的世界数学史.上第一道数列题,其前10项依次是0, 2,4, 8,12, 18, 24, 32, 40, 50, 则此数列第19项的值为____.此数列的通项公式na ______. (本题第一空2分,第二空3分)四､解答题:本大题共6小题,共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)在①f(x+1)-f(x)=2ax,②f (x)的对称轴为12x ,③f(1)=2这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并回答下面问题.已知二次函数2()1,f x ax bx若____________,且不等式f(x)≥0对任意的x ∈R 恒成立,试求实数a 的取值范围.18.(本小题满分12 分)已知数列{}n a 是公比q> 1的等比数列,若12314,a a a 且21a 是13,a a 的等差中项.(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设2log ,n n b a 数列11{}n n b b 的前n 项和为,n T 若12n m T 对*n N 恒成立,求满足条件的自然数m 的最小值.19. ( 本小题满分12分) 已知数列{}n a 中,12,a 且满足1*122()n nna a n N .(1)求证:数列{}2n na是等差数列,并求数列{}n a 的通项公式;(2)求证:对于数列122}{,n n n b b b nb a 的充要条件是1(1)2.n nnb n20. (本小题满分12 分) 已知函数21(),21x xa f x a R(1)当a=1时,求不等式f (x)> 3的解集; (2)若不等式|(2)()|1f x f x 对任意x ∈[1,2]恒成立,求实数a 的取值范围.21. ( 本小题满分12 分)如图,某森林公园内有一条宽为2百米的笔直的河道(假设河道足够长),现拟在河道内围出一块直角三角形区域养殖观赏鱼.三角形区域记为△ABC,A 到河两岸距离AE,AD 相等,B,C 分别在两岸上,AB ⊥AC 便游客观赏,拟围绕△ABC 区域在睡眠搭建景观桥,桥的总长度(即△ABC 的周长)为l.设EC x 百米.(1) 试用x 表示线段BC 的长度;(2)求l 关于x 的函数解析式f(x),并求f (x)的最小值.22.(本小题满分12分)已知数列{}n a 为等差数列,公差为d,前n 项和为.n S (1)若10,2a d,求100S 的值;(2)若11,a {}n a 中恰有6项在区间1(,8)2内,求d 的取值范围;(3)若121,3,a S ,集合*{|},n Aa nN 问能否在集合A 中抽取到无穷多个不全相等的元素组成一个新数列{},n b ,使得此新数列{}n b 满足从第二项开始,每一项都等于它的前一项和后一项的调和平均数.若能,请举例说明;若不能,请说明理由. (注:数2aba b叫作数a 和数b 的调和平均数).。
2022-2023学年江苏省无锡一中高二(上)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年江苏省无锡一中高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选顶中，只有一项是符合题目要求的．1．椭圆C ：x 2+y 2k =1的一个焦点是（0，1），则k 的值是（ ）A ．12B ．2C ．3D ．42．若点P （1，1）为圆x 2+y 2﹣6y ＝0的弦AB 的中点，则弦AB 所在直线的方程为（ ） A ．2x ﹣y ﹣1＝0B ．x ﹣2y +1＝0C ．x +2y ﹣3＝0D ．2x +y ﹣3＝03．已知圆x 2+y 2＝25，则过圆上一点A （3，4）的切线方程为（ ） A ．3x +4y ﹣25＝0B ．4x +3y ﹣24＝0C ．3x ﹣4y +7＝0D ．4x ﹣3y ＝04．不论实数m 为何值，直线mx ﹣2y ﹣2m +1＝0恒过定点（ ） A ．（﹣2，12）B ．（﹣2，−12）C ．（2，−12）D ．（2，12）5．给出下列命题，其中是真命题个数的是（ ）①若直线l 的方向向量a →=（0，1，﹣1），平面α的法向量n →=（1，﹣1，﹣1），则1⊥α； ②若平面α，β的法向量分别为n 1→=（0，1，3），n 2→=（1，6，﹣2），则α⊥β；③若平面α经过三点A （1，0，﹣1），B （0，1，0），C （﹣1，2，0），向量n →=（1，u ，t ）是平面α的法向量，则u +t ＝1；④若点A （1，2，3），B （1，﹣1，4），点C 是A 关于平面yOz 的对称点，则点B 与C 的距离为√14． A ．1B ．2C ．3D ．46．已知正四面体A ﹣BCD 的边长为3，点P ，Q 分别为线段AB ，CD 上的点，满足AP ＝1，CQ ＝2，M 为线段PQ 的中点，则线段AM 的长为（ ） A ．√112B ．32C ．74D ．√37．直线l 1：x ﹣my ﹣2＝0（m ∈R ）与直线l 2：mx +y ﹣2＝0交于点A ，点B 是圆（x +2）2+（y +3）2＝2上的动点，O 为坐标原点，则|AB |的最大值为（ ） A ．3√2B ．5√2C ．5+2√2D ．3+2√28．已知F 1，F 2是椭圆x 236+y 225=1的左，右焦点，P 是椭圆上任意一点，过F 1引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则Q 与短轴端点的最近距离为（ ） A ．6B ．5C ．2D ．1二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项顶中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知三条直线2x +3y +1＝0，4x ﹣3y +5＝0，x +my ﹣1＝0不能构成三角形，则实数m 的取值为（ ） A ．−34B ．23C ．32D ．610．1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为右焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向量（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a 、2c ，下列结论正确的是（ ） A ．卫星向量的取值范围是[a ﹣c ，a +c ]B ．卫星运行速度在远地点时最小，在近地点时最大C ．卫星在左半椭圆弧的运行时间小于其在右半椭圆弧的运行时间D ．卫星向量的最大值与最小值的比值越小，椭圆轨道越圆11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值λ（λ≠1）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，A （2，2），B （﹣4，2），点P 满足|PA||PB|=12，设点P 所构成的曲线为C ，下列结论正确的是（ ） A ．C 的方程为x 2+y 2﹣8x ﹣4y +4＝0B ．在C 上存在点M 到点（﹣3，﹣2）的距离为4 C ．C 上的点到直线3x ﹣4y +6＝0的最大距离为6D ．过点B 作直线l ，若C 上恰有三个点到直线l 的距离为2，则该直线的斜率为±√151512．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别为BC 、CC 1、BB 1的中点，P 为线段EF 上的动点（不含端点），则下列选项正确的是（ ）A ．直线A 1G 与EF 所成角的余弦值为√55B ．存在点P ，使得D 1P =2√23AFC ．三棱锥D 1﹣ADP 的体积为定值D ．存在实数λ、μ使得A 1G →=λAF →+μAE →三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．经过点（√3，1）且倾斜角为π3的直线方程为 ．14．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），A 1，A 2，B 1，B 2为顶点，F 1，F 2为焦点，四边形A 1B 2A 2B 1的内切圆过焦点F 1，F 2，则椭圆的离心率为 ．15．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 为平面A 1ABB 1的中心，E 为BC 的中点，则点O 到直线A 1E 的距离为 ．16．已知点P （x 1，y 1）是圆C ：x 2+y 2＝1上的动点，点Q （x 2，y 2）是直线l ：x +2y ﹣2√5=0上的动点，记L PQ ＝|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|，则L PQ 的最小值是 ．四、解答题．本题共6小题、17题10分，其余每小题10分共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知以点C （1，3）为圆心的圆与圆D ：x 2+y 2﹣10x ﹣22y +101＝0相外切，过点P （2，0）的动直线l 与圆C 相交于M 、N 两点． （1）求圆C 的标准方程；（2）当MN ＝4时，求直线l 的方程．18．（12分）已知椭圆E 过点Q （2√2，1），且与椭圆x 29+y 24=1有公共的焦点，点P 在椭圆E 上，且位于x 轴上方．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若△F 1PF 2的面积等于3，求点P 的坐标； （3）若∠F 1PF 2＝60°，求△PF 1F 2的面积．19．（12分）如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ⊥底面ABC ，∠BAC ＝90°．点D ，E ，N 分别为棱P A ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 上靠近A 的三等分点，P A ＝6，AC ＝4，AB ＝2． （1）求直线ND 与直线BE 所成角的余弦值； （2）求平面CEM 与平面MNE 夹角的余弦值．20．（12分）新冠疫情期间，作为街道工作人员的王叔叔和李阿姨需要上门排查外来人员信息，王叔叔和李阿姨分别需走访离家不超过3百米、a 百米的区域，如图，l 1、l 2分别是经过王叔叔家（O 点）的东西和南北走向的街道，且李阿姨家（C 点）在王叔叔家的北偏东45°方向，以点O 为坐标原点，l 1、l 2为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，已知李阿姨负责区域中最远的两个检查点A 和B ，A 到南北和东西走向街道的垂直距离分别为5百米和3百米，B 到南北和东西走向街道的垂直距离分别为7百米和5百米． （1）求出a ，并写出王叔叔和李阿姨负责区域边界的曲线方程；（2）王叔叔和李阿姨为交接防疫物资，从家中出发，需在龙山路（直线l ：x ﹣2y +10＝0）上碰头见面，你认为在何处最为便捷、省时间（两人所走的路程之和最短）？21．（12分）直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝CC 1＝2，点D 为线段AC 的中点，直线BC 1与B 1C 的交点为M ，若点P 在线段CC 1上运动，CP 的长度为m ． （1）求点M 到平面A 1BD 的距离；（2）是否存在点P ，使得二面角P ﹣BD ﹣A 1的余弦值为−13，若存在，求出m 的值，若不存在，说明理由；（3）求直线DP 与平面A 1DB 所成角正弦值的取值范围．22．（12分）已知圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝16，直线l ：x +y ﹣5＝0，P （x 0，y 0）是直线l 上的动点，点D 在圆C 上运动，且点T 满足DT →=3TO →（O 为原点），记点T 的轨迹为E ． （1）求曲线E 的方程；（2）过点C （1，0）且不与x 轴重合的直线与曲线E 交于A ，B 两点，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．2022-2023学年江苏省无锡一中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选顶中，只有一项是符合题目要求的．1．椭圆C ：x 2+y 2k =1的一个焦点是（0，1），则k 的值是（ ）A ．12B ．2C ．3D ．4解：∵椭圆C ：x 2+y 2k=1的一个焦点是（0，1）， ∴c ＝1，a 2＝k ，b ＝1， ∴k ＝c 2+b 2＝2． 故选：B ．2．若点P （1，1）为圆x 2+y 2﹣6y ＝0的弦AB 的中点，则弦AB 所在直线的方程为（ ） A ．2x ﹣y ﹣1＝0B ．x ﹣2y +1＝0C ．x +2y ﹣3＝0D ．2x +y ﹣3＝0解：由圆的方程可知，圆心C （0，3）， 由圆的性质可知AB ⊥CP ， 因为k CP ＝﹣2，所以k AB =12，故AB 所在的直线方程为y ﹣1=12（x ﹣1）即x ﹣2y +1＝0． 故选：B ．3．已知圆x 2+y 2＝25，则过圆上一点A （3，4）的切线方程为（ ） A ．3x +4y ﹣25＝0B ．4x +3y ﹣24＝0C ．3x ﹣4y +7＝0D ．4x ﹣3y ＝0解：设圆x 2+y 2＝25的圆心为O ，由圆x 2+y 2＝25，得到圆心O 的坐标为（0，0），圆的半径r ＝5，而|OA |＝5＝r ，所以A 在圆上，则过A 作圆的切线与OA 所在的直线垂直， 又A （3，4），得到OA 所在直线的斜率为43，所以切线的斜率为−34，则切线方程为：y ﹣4=−34（x ﹣3）即3x +4y ﹣25＝0． 故选：A ．4．不论实数m 为何值，直线mx ﹣2y ﹣2m +1＝0恒过定点（ ） A ．（﹣2，12）B ．（﹣2，−12）C ．（2，−12）D ．（2，12）解：由mx ﹣2y ﹣2m +1＝0，可得m （x ﹣2）﹣2y +1＝0，由x ﹣2＝0，可得x ＝2，此时y =12， 所以直线横过定点（2，12）．故选：D ．5．给出下列命题，其中是真命题个数的是（ ）①若直线l 的方向向量a →=（0，1，﹣1），平面α的法向量n →=（1，﹣1，﹣1），则1⊥α； ②若平面α，β的法向量分别为n 1→=（0，1，3），n 2→=（1，6，﹣2），则α⊥β；③若平面α经过三点A （1，0，﹣1），B （0，1，0），C （﹣1，2，0），向量n →=（1，u ，t ）是平面α的法向量，则u +t ＝1；④若点A （1，2，3），B （1，﹣1，4），点C 是A 关于平面yOz 的对称点，则点B 与C 的距离为√14． A ．1B ．2C ．3D ．4解：①∵不存在实数λ，使得a →=λn →，∴a →与n →不共线，因此1⊥α是假命题； ②∵n 1→•n 2→=0+6﹣6＝0，∴n 1→⊥n 2→，则α⊥β，因此是真命题；③AB →=（﹣1，1，1），AC →=（﹣2，2，1），∵向量n →=（1，u ，t ）是平面α的法向量，∴n →•AB →=n →•AC →=0，∴﹣1+u +t ＝﹣2+2u +t ＝0，解得u ＝1，t ＝0，则u +t ＝1，因此是真命题；④若点A （1，2，3），B （1，﹣1，4），点C 是A 关于平面yOz 的对称点，则C （﹣1，2，3），∴点B 与C 的距离=√(−1−1)2+(2+1)2+(3−4)2=√14，因此是真命题． 综上可得：真命题个数的是3． 故选：C ．6．已知正四面体A ﹣BCD 的边长为3，点P ，Q 分别为线段AB ，CD 上的点，满足AP ＝1，CQ ＝2，M 为线段PQ 的中点，则线段AM 的长为（ ） A ．√112B ．32C ．74D ．√3解：连接AQ ，作图如下：由题意知：AM →=12AP →+12AQ →=16AB →+12AC →+12CQ =16AB →+12AC →+13CD →=16AB →+12AC →+13AD →−13AC →=16AB →+13AD →+16AC →，则|AM →|2＝（16AB →+13AD →+16AC →）2=136AB →2+19AD →2+136AC →2+ 2（16AB →×13AD →+16AB →×16AC →+13AD →×16AC →），因为正四面体A ﹣BCD 为四面体，且边长为3，所以AB →⋅AD →=AB →⋅AC →=AD →⋅AC →=3×3×cos60°=92， 则|AM →|2=136×9+19×9+136×9+2（118×92+136×92+118×92）=114， 则|AM →|=√112， 故选：A ．7．直线l 1：x ﹣my ﹣2＝0（m ∈R ）与直线l 2：mx +y ﹣2＝0交于点A ，点B 是圆（x +2）2+（y +3）2＝2上的动点，O 为坐标原点，则|AB |的最大值为（ ） A ．3√2B ．5√2C ．5+2√2D ．3+2√2解：由题意可得直线l 1过定点M （2，0），直线l 2过定点N （0，2），且l 1⊥l 2，∴点A 在以MN 为直径的圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝2上，且圆心C （1，1），半径r 1=√2， 又点B 是圆D ：（x +2）2+（y +3）2＝2上的动点，且圆心D （﹣2，﹣3），半径r 2=√2， ∴|AB |的最大值为|CD |+r 1+r 2=√9+16+√2+√2=5+2√2． 故选：C ． 8．已知F 1，F 2是椭圆x 236+y 225=1的左，右焦点，P 是椭圆上任意一点，过F 1引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则Q 与短轴端点的最近距离为（ ） A ．6B ．5C ．2D ．1解：因为P 是焦点为F 1，F 2的椭圆x 236+y 225=1上的一点，PQ 为∠F 1PF 2的外角平分线，QF 1⊥PQ ，设F 1Q 的延长线交F 2P 的延长线于点M ，所以|PM |＝|PF 1|， ∵|PF 1|+|PF 2|＝2a ＝12，∴|MF 2|＝|PF 1|+|PF 2|， 所以由题意得OQ 是△F 1MF 2的中位线，所以|OQ |＝6，所以Q 点的轨迹是以O 为圆心，以6为半径的圆，所以当点Q 与y 轴重合时， Q 与短轴端点取最近距离d ＝6﹣5＝1． 故选：D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项顶中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知三条直线2x +3y +1＝0，4x ﹣3y +5＝0，x +my ﹣1＝0不能构成三角形，则实数m 的取值为（ ）A ．−34B ．23C ．32D ．6解：由于三条直线2x +3y +1＝0，4x ﹣3y +5＝0，x +my ﹣1＝0不能构成三角形， 则直线必然存在平行关系或交于一点；①当2x +3y +1＝0与x +my ﹣1＝0平行时，则−23=−1m，解得m =32； ②当4x ﹣3y +5＝0与x +my ﹣1＝0平行时，则43=−1m ，解得m =−34．③当三点交于同一点时，{2x +3y +1=04x −3y +5=0，解得{x =−1y =13，代入x +my ﹣1＝0，解得m ＝6．故选：ACD ．10．1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为右焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向量（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a 、2c ，下列结论正确的是（ ） A ．卫星向量的取值范围是[a ﹣c ，a +c ]B ．卫星运行速度在远地点时最小，在近地点时最大C ．卫星在左半椭圆弧的运行时间小于其在右半椭圆弧的运行时间D ．卫星向量的最大值与最小值的比值越小，椭圆轨道越圆解：A 选项，由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为a ﹣c ，最大值为a +c ，卫星向量的取值范围是[a ﹣c ，a +c ]，故A 正确；B 选项，因为运行速度是变化的，速度的变化服从卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，所以卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，故B 正确；C 选项，当卫星在左半椭圆弧运行时，对应的面积更大，根据面积守恒规律，速度更慢，所以卫星在左半椭圆弧的运行时间大于在右半椭圆弧的运行时间，故C 不正确；D 选项，卫星向径的最小值与最大值的比值越小，即a−c a+c=1−e 1+e=−1+21+e 越小，则e 越大，椭圆轨道越扁，故D 正确． 故选：ABD ．11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值λ（λ≠1）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，A （2，2），B （﹣4，2），点P 满足|PA||PB|=12，设点P所构成的曲线为C ，下列结论正确的是（ ） A ．C 的方程为x 2+y 2﹣8x ﹣4y +4＝0B ．在C 上存在点M 到点（﹣3，﹣2）的距离为4 C ．C 上的点到直线3x ﹣4y +6＝0的最大距离为6D ．过点B 作直线l ，若C 上恰有三个点到直线l 的距离为2，则该直线的斜率为±√1515解：设P （x ，y ），则|PA||PB|=2222=12，化简得，x 2+y 2﹣8x ﹣4y +4＝0，则选项A 正确；将圆C 的方程化为标准方程为（x ﹣4）2+（y ﹣2）2＝16，则圆心为（4，2），半径为4， 则圆上的点到点（﹣3，﹣2）的最小距离为√(−3−4)2+(−2−2)2−4=√65−4＞4， 则在圆C 上不存在点M 到点（﹣3，﹣2）的距离为4，则选项B 错误；C 上的点到直线3x ﹣4y +6＝0的最大距离为圆心到直线3x ﹣4y +6＝0的距离加半径， 即√9+16+4=6，则选项C 正确；显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ﹣2＝k （x +4），即kx ﹣y +4k +2＝0，由于圆C 的半径为4，则要使C 上恰有三个点到直线l 的距离为2， 只需圆心到该直线的距离为2，即√k 2=2，解得k =±√1515，则选项D 正确． 故选：ACD ．12．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别为BC 、CC 1、BB 1的中点，P 为线段EF 上的动点（不含端点），则下列选项正确的是（ ）A ．直线A 1G 与EF 所成角的余弦值为√55B ．存在点P ，使得D 1P =2√23AF C ．三棱锥D 1﹣ADP 的体积为定值D ．存在实数λ、μ使得A 1G →=λAF →+μAE →解：设正方体棱长为2，对于A ：连接D 1F ，GF ，D 1E ，作图如下：因为G ，F 都为中点，易知A 1G ∥D 1F ，则角∠D 1FE 即为A 1G 与EF 所成角补角， 易知D 1F =√22+12=√5，EF =√2，D 1E =√22+22+12=3，则cos ∠D 1FE =D 1F 2+EF 2−D 1E 22D 1F⋅EF =5+2−92×√5×√2=−√1010，则直线A 1G 与EF 所成角的余弦值为√1010，A 错误．对于B ：连接D 1E ，D 1F ，作图如下：由A 知D 1F =√22+12=√5，D 1E =√22+22+12=3， P 为线段EF 上的动点（不含端点），所以D 1P ∈(√5，3)， 易知AF =√22+22+12=3，所以D 1P =2√23AF =2√23×3=2√2∈(√5，3)， 所以存在点P ，使得D 1P =2√23AF ，B 正确． 对于C ：因为EF ∥面ADD 1A 1，所以EF 到平面ADD 1A 1的距离是定值，则点P 到平面ADP 的距离是定值，又因为S △ADP 是定值，所以三棱锥D 1﹣ADP 的体积为定值，C 正确． 对于D ：连接AD 1，D 1F ，作图如下：易知A 1G ∥D 1F ，又因为E ，F 分别为中点，所以易知AD 1∥EF ，则A ，E ，F ，D 1，四点共面， 又因为A 1G ∥D 1F ，所以AEFD 1，则存在实数λ、μ使得A 1G →=λAF →+μAE →，D 正确， 故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．经过点（√3，1）且倾斜角为π3的直线方程为 √3x ﹣y ﹣2＝0 ．解：直线过点（√3，1）且倾斜角为π3，则直线的斜率k ＝tan π3=√3，故直线的方程为y ﹣1=√3（x −√3），即√3x ﹣y ﹣2＝0． 故答案为：√3x ﹣y ﹣2＝0． 14．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），A 1，A 2，B 1，B 2为顶点，F 1，F 2为焦点，四边形A 1B 2A 2B 1的内切圆过焦点F 1，F 2，则椭圆的离心率为√5−12． 解：由题意知四边形A 1B 2A 2B 1的四边均与内切圆相切， 故椭圆中心到四边的距离等于椭圆的半焦距， 设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），右顶点A 1，（a ，0），上顶点B 1，（0，b ），直线A 1B 1的方程为xa+y b=1，即bx +ay ﹣ab ＝0，∴√a 2+b 2=c ，∴a 2（a 2﹣c 2）＝（2a 2﹣c 2）c 2，∴1﹣e 2＝（2﹣e 2）e 2，解得e 2=3+√52（舍去）或e 2=3−√52． ∴e =√5−12．故答案为：√5−12． 15．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 为平面A 1ABB 1的中心，E 为BC 的中点，则点O 到直线A 1E 的距离为√23． 解：以点D 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则A 1（2，0，2），O （2，1，1），E （1，2，0）， 所以A 1O →=(0，1，−1)，A 1E →=(−1，2，−2)， 则cos ＜A 1O →，A 1E →＞=A 1O →⋅A 1E→|A 1O →||A 1E →|=2+2√2×3=2√23，又＜A 1O →，A 1E →＞∈[0，π]， 所以sin ＜A 1O →，A 1E →＞=13，故点O 到直线A 1E 的距离为|A 1O →|cos ＜A 1O →，A 1E →＞=√2×13=√23． 故答案为：√23．16．已知点P （x 1，y 1）是圆C ：x 2+y 2＝1上的动点，点Q （x 2，y 2）是直线l ：x +2y ﹣2√5=0上的动点，记L PQ ＝|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|，则L PQ 的最小值是√52． 解：如图，根据题意设P （sin θ，cos θ），则可得N 为（2√5−2sinθ，sin θ）， 又直线l ：x +2y ﹣2√5=0的斜率为−12，∴MQ =12MN ， ∴L PQ ＝PM +MQ ＝PM +12MN =PN+PM2=|2√5−2sinθ−cosθ|+PM2=|2√5−√5sin(θ+φ)|+PM2≥|2√5−√5|+PM 2≥√52，（tan φ=12）， 当且仅当P ，M 重合时，取得等号， ∴L PQ 的最小值是√52． 故答案为：√52．四、解答题．本题共6小题、17题10分，其余每小题10分共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知以点C （1，3）为圆心的圆与圆D ：x 2+y 2﹣10x ﹣22y +101＝0相外切，过点P （2，0）的动直线l 与圆C 相交于M 、N 两点． （1）求圆C 的标准方程；（2）当MN ＝4时，求直线l 的方程．解：（1）∵圆D 方程可化为：（x ﹣5）2+（y ﹣11）2＝45， ∴圆心D （5，11），半径r =3√5， 又圆心C 为（1，3），设圆C 的半径为R ， 又圆C 与圆D 相外切，∴CD ＝r +R ， ∴√16+64=3√5+R ，∴R =√5，∴圆C 的标准方程为（x ﹣1）2+（y ﹣3）2＝5； （2）∵弦长MN ＝4，又圆C 的半径R =√5，∴圆心C （1，3）到直线l 的距离d =√R 2−(MN2)2=1， ①当过点P （2，0）的直线l 与x 轴垂直时， l 的方程为x ＝2，满足d ＝1；②当过点P （2，0）的直线l 与x 轴不垂直时， 设l 的方程为y ＝k （x ﹣2），即kx ﹣y ﹣2k ＝0， ∴d =|k+3|√k +1=1，解得k =−43，∴直线l 的方程为4x +3y ﹣8＝0，综合可得直线l 的方程为x ＝2或4x +3y ﹣8＝0． 18．（12分）已知椭圆E 过点Q （2√2，1），且与椭圆x 29+y 24=1有公共的焦点，点P 在椭圆E 上，且位于x 轴上方．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若△F 1PF 2的面积等于3，求点P 的坐标； （3）若∠F 1PF 2＝60°，求△PF 1F 2的面积． 解：（1）与x 29+y 24=1有公共的焦点的椭圆的方程：x 29+λ+y 24+λ=1，λ＞﹣4，将Q （2√2，1）代入椭圆方程，可得89+λ+14+λ=1，整理得：λ2+4λ﹣5＝0，解得λ＝1或λ＝﹣5，舍去， 所以椭圆方程x 210+y 25=1；（2）由（1）可知，椭圆的焦点坐标分别为F 1(−√5，0)，F 2(√5，0)，设P （x 0，y 0），y 0＞0，由△F 1PF 2的面积S =12×|F 1F 2|×|y 0|=3，所以y 0=3√5， 代入椭圆方程，x 02=325，则x 0=±4√105， 所以P 点坐标为(±4√105，3√55)； （3）方法一：由椭圆的定义可知，|PF 1|+|PF 2|=2√10，由余弦定理可知，|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2−2|PF 1||PF 2|cos∠F 1PF 2，所以(2√5)2=(2√10)2−2|PF 1||PF 2|(1+cos∠F 1PF 2)， 所以|PF 1||PF 2|=203，所以△PF 1F 2的面积S =12|PF 1||PF 2|sin60°=5√33， 所以△PF 1F 2的面积5√33．方法二：在椭圆中△PF 1F 2的面积S =b 2tan θ2．其中b 为半短轴长，∠F 1PF 2＝θ． 因此△PF 1F 2的面积S =5×√33=5√33， 所以，△PF 1F 2的面积5√33． 19．（12分）如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ⊥底面ABC ，∠BAC ＝90°．点D ，E ，N 分别为棱P A ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 上靠近A 的三等分点，P A ＝6，AC ＝4，AB ＝2． （1）求直线ND 与直线BE 所成角的余弦值； （2）求平面CEM 与平面MNE 夹角的余弦值．解：（1）在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ⊥底面ABC ，∠BAC ＝90°，故以A 为坐标原点，AB ，AC ，AP 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，因为点D ，E ，N 分别为棱P A ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 上靠近A 的三等分点，P A ＝6，AC ＝4，AB ＝2，所以M （0，0，1），B （2，0，0），C （0，4，0），N （1，2，0），D （0，0，3），P （0，0，6），E （0，2，3），所以ND →=（﹣1，﹣2，3），BE →=（﹣2，2，3）， 设直线ND 与直线BE 所成角为θ， 所以cos θ＝|cos ＜ND →，BE →＞|＝|ND →⋅BE→|ND →||BE →|||√14×√17|√23834，即直线ND 与直线BE 所成角的余弦值为√23834． （2）由（1）得MN →=(1，2，−1)，MC →=(0，4，−1)，ME →=(0，2，2)， 设平面MNE 的一个法向量m →=(a ，b ，c)，则{m →⋅ME →=2b +2c =0m →⋅MN →=a +2b −c =0，令b ＝﹣1，则a ＝3，c ＝1，得m →=（3，﹣1，1）， 易知AB ⊥平面CEM ，故可设平面CEM 的一个法向量p →=(1，0，0)， 设平面CEM 与平面MNE 的夹角为α，故cosα=|m →⋅p →|m →|⋅|p →||=3+0+0√9+1+1×√1=3√1111，即平面CEM 与平面MNE 夹角的余弦值为3√1111． 20．（12分）新冠疫情期间，作为街道工作人员的王叔叔和李阿姨需要上门排查外来人员信息，王叔叔和李阿姨分别需走访离家不超过3百米、a 百米的区域，如图，l 1、l 2分别是经过王叔叔家（O 点）的东西和南北走向的街道，且李阿姨家（C 点）在王叔叔家的北偏东45°方向，以点O 为坐标原点，l 1、l 2为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，已知李阿姨负责区域中最远的两个检查点A 和B ，A 到南北和东西走向街道的垂直距离分别为5百米和3百米，B 到南北和东西走向街道的垂直距离分别为7百米和5百米．（1）求出a ，并写出王叔叔和李阿姨负责区域边界的曲线方程；（2）王叔叔和李阿姨为交接防疫物资，从家中出发，需在龙山路（直线l ：x ﹣2y +10＝0）上碰头见面，你认为在何处最为便捷、省时间（两人所走的路程之和最短）？解：（1）由题意得王叔叔家（O 点）负责区域边界的曲线方程为x 2+y 2＝32＝9，且A （5，3），B （7，5），由题意可设李阿姨家C （c ，c ），则|CA |＝\CB |，即（c ﹣5）2+（c ﹣3）2＝（c ﹣7）2+（c ﹣5）2，解得c ＝5，则a ＝|CA |=√(5−5)2+(5−3)2=2百米，则李阿姨负责区域边界的曲线方程（x ﹣5）2+（y ﹣5）2＝22＝4，故a ＝2，王叔叔和李阿姨负责区域边界的曲线方程分别为x 2+y 2＝9、（x ﹣5）2+（y ﹣5）2＝4； （2）设王叔叔家O 点关于直线l ：x ﹣2y +10＝0对称点D （m ，n ），则{m 2−2⋅n2+10=0n m=−2，解得m ＝﹣4，n ＝8， 此时直线DC 的方程为y ﹣5=8−5−4−5（x ﹣5），即y =−13x +203， 联立直线DC 与直线l 的方程得{x −2y +10=0x +3y −20=0，解得{x =2y =6，故王叔叔和李阿姨为交接防疫物资，可选择在地点（2，6）处碰面，此时距离之和最近．21．（12分）直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝CC 1＝2，点D 为线段AC 的中点，直线BC 1与B 1C 的交点为M ，若点P 在线段CC 1上运动，CP 的长度为m ． （1）求点M 到平面A 1BD 的距离；（2）是否存在点P ，使得二面角P ﹣BD ﹣A 1的余弦值为−13，若存在，求出m 的值，若不存在，说明理由；（3）求直线DP 与平面A 1DB 所成角正弦值的取值范围．解：（1）直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，B 1B ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，BC ＝CC 1＝2，则四边形BB 1C 1C 为正方形，点M 为线段C 1B 的中点，则建立以B 为坐标原点，以BA 、BC 、B 1B 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系B ﹣xyz ，如图所示：AB ＝BC ＝CC 1＝2，则B （0，0，0），A 1（2，0，2），C （0，2，0），D （1，1，0），M （0，1，1）， 则BM →=（0，1，1），BA 1→=（2，0，2），BD →=（1，1，0）， 设平面A 1BD 的一个法向量n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅BA 1→=0n →⋅BD →=0，即{2x +2z =0x +y =0，取x ＝1，则y ＝﹣1，z ＝﹣1， ∴平面A 1BD 的一个法向量n →=（1，﹣1，﹣1）， ∴cos ＜BM →，n →＞=|BM →⋅n →||n →|⋅|BM →|=2√2×3=√63， ∴点M 到平面A 1BD 的距离为|BM →|•cos ＜BM →，n →＞=√2×√63=2√33； （2）假设存在点P ，使得二面角P ﹣BD ﹣A 1的余弦值为−13，CP ＝m ，则P （0，2，m ）， 由（1）得平面A 1BD 的一个法向量n →=（1，﹣1，﹣1），设平面PBD 的一个法向量为m →=（x ，y ，z ），BD →=（1，1，0），BP →=（0，2，m ）， 则{m →⋅BD →=x +y =0m →⋅BP →=2y +mz =0，取y ＝﹣m ，则z ＝2，x ＝m ， ∴平面PBD 的一个法向量为m →=（m ，﹣m ，2）， ∵二面角P ﹣BD ﹣A 1的余弦值为−13，∴cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=2m−2√3⋅√2m 2+4=−13，即（2m ﹣2）2=13（2m 2+4），解得m ＝2（不合题意，舍去）或m =25，∴存在P （0，2，25），使得二面角P ﹣BD ﹣A 1的余弦值为−13，此时m =25；（3）由（1）（2）得P （0，2，m ），D （1，1，0），其中0≤m ≤2，平面A 1BD 的一个法向量n →=（1，﹣1，﹣1），则DP →=（﹣1，1，m ），设直线DP 与平面A 1DB 所成角为θ， ∴sin θ＝cos ＜DP →，n →＞=|DP →⋅n →||DP →|⋅|n →|=|−2−m|√3⋅√2+m 2=√(m+2)23(2+m 2)，令y =(m+2)26+3m 2，m ∈[0，2]，则y '=2(2+m)(6+3m 2)−(m+2)2⋅6m (6+3m 2)2=12(m+2)(1−m)(6+3m 2)2， 由y '＝0得m ＝1，由y '＞0得0≤m ＜1，由y '＜0得1＜m ≤2，∴y =(m+2)26+3m 2在[0，1）上单调递增，在（1，2]上单调递减，∴sin θ在[0，1）上单调递增，在（1，2]上单调递减 当m ＝1时，sin θ取得最大值且为1， 当m ＝2时，sin θ=2√23， 当m ＝0时，sin θ=√63，∴直线DP 与平面A 1DB 所成角正弦值的取值范围为[√63，1]．22．（12分）已知圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝16，直线l ：x +y ﹣5＝0，P （x 0，y 0）是直线l 上的动点，点D 在圆C 上运动，且点T 满足DT →=3TO →（O 为原点），记点T 的轨迹为E ． （1）求曲线E 的方程；（2）过点C （1，0）且不与x 轴重合的直线与曲线E 交于A ，B 两点，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）设T （x ，y ），D （m ，n ），所以DT →=（x ﹣m ，y ﹣n ），TO →=（﹣x ，﹣y ），因为DT →=3TO →，所以（x ﹣m ，y ﹣n ）＝3（﹣x ，﹣y ）， 所以{x −m =−3x y −n =−3y ，所以{m =4x n =4y，因为D （m ，n ）在圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝16上运动， 所以（m ﹣1）2+n 2＝16， 所以（4x ﹣1）2+（4y ）2＝16， 整理得，（x −14）2+y 2＝1，所以曲线E 的方程为（x −14）2+y 2＝1； （2）当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB ，当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k （x ﹣1），联立{(x −14)2+y 2=1y =k(x −1)，化简可得(1+k 2)x 2−(12+2k 2)x +k 2−1516=0， Δ=(2k 2+12)2−4(k 2+1)(k 2−1516)=74k 2+4＞0， 设N （t ，0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， x 1+x 2=12+2k 21+k2，x 1x 2=k 2−15161+k2，若x 轴平分∠ANB ，则k AN +k BN ＝0，所以y 1x 1−t+y 2x 2−t=0，又y 1＝k （x 1﹣1），y 2＝k （x 2﹣1）， 所以2x 1x 2﹣（t +1）（x 1+x 2）+2t ＝0， 所以2⋅k 2−15161+k 2−(t+1)12+2k 21+k2+2t =0，所以k 2−89−(t +1)(13+k 2)+t(1+k 2)=0， 整理得，32t −198=0，解得t =1912， 所以当N(1912，0)时，能使x 轴平分∠ANB ．。
江苏省南京市2020-2021学年第一学期期中调研测试高二数学(含解析)
南京市2020－2021学年度第一学期期中调研测试 高 二 数 学 2020.11注意事项：1．本试卷共6页，包括单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）四部分．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置．3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，在其他位置作答一律无效．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线x 2＝2y 的焦点为F ，准线为l ，则点F 到直线l 的距离为A ．12B ．1C ．2D ．42．已知向量a ＝(－2，3，－1)，b ＝(4，m ，n )，且a ∥b ，其中m ，n ∈R ，则m ＋n ＝ A ．4 B ．－4 C ．2 D ．－2 3．若sin θ＝2cos(π－θ)，则tan(θ＋π4)的值为A ．3B ．13 C ．－3D ．－134．在平面直角坐标系xOy 中，若椭圆C ：x29＋y2m＝1与双曲线T ：x 2－y2m＝1有相同的焦点，则双曲线T 的渐近线方程为 A ．y ＝±14x B ．y ＝±12xC ．y ＝±4xD ．y ＝±2x5．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －4＝0与两坐标轴分别交于点A ，B ，圆C 经过A ，B ，且圆心在y 轴上，则圆C 的方程为A ．x 2＋y 2＋6y －16＝0B ．x 2＋y 2－6y －16＝0C ．x 2＋y 2＋8y －9＝0D ．x 2＋y 2－8y －9＝06．如图，已知圆柱的底面半径为2，与圆柱底面成60°角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的焦距为A ．2 2B ．2 3C ．4 2D ．4 37．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BC 1与B 1C 相交于点O ，∠A 1AB ＝∠A 1AC ＝60°，∠BAC ＝90°，A 1A ＝3，AB ＝AC ＝2，则线段AO 的长度为A ．292 B ．29 C ．232D ．23 8．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F ，点M ，N 在双曲线C 上．若四边形OFMN 为菱形，则双曲线C 的离心率为A ．3－1B ．5－1C ．3＋1D ．5＋1 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分．9．已知两个不重合的平面α，β及直线m ，下列说法正确的是A ．若α⊥β，m ⊥α，则m ∥βB ．若α∥β，m ⊥α，则m ⊥βC ．若m ∥α，m ⊥β，则α⊥βD ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β 10．在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆x24＋y22＝1的左、右焦点，点A 在椭圆上．若△AF 1F 2为直角三角形，则AF 1的长度可以为 A ．1B ．2C ．3D ．411．如图，直线l 1，l 2相交于点O ，点P 是平面内的任意一点，若x ，y 分别表示点P 到l 1，l 2的距离，则称(x ，y )为点P 的“距离坐标”．下列说法正确的是 A ．距离坐标为(0，0)的点有1个 B ．距离坐标为(0，1)的点有2个 C ．距离坐标为(1，2)的点有4个N（第11题）OMPl 2l 1 （第6题）C 1（第7题）ABCB 1OD ．距离坐标为(x ，x )的点在一条直线上12．20世纪50年代，人们发现利用静态超高压和高温技术，通过石墨等碳质原料和某些金属反应可以人工合成金刚石．人工合成金刚石的典型晶态为立方体（六面体）、八面体和立方八面体以及它们的过渡形态．其中立方八面体（如图所示）有24条棱、12个顶点、14个面（6个正方形、8个正三角形），它是将立方体“切”去8个“角”后得到的几何体．已知一个立方八面体的棱长为1，则A ．它的所有顶点均在同一个球面上，且该球的直径为2B ．它的任意两条不共面的棱所在直线都相互垂直C ．它的体积为523D ．它的任意两个共棱的面所成的二面角都相等三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 1：x ＋ay ＝0和直线l 2：2x －(a －3)y －4＝0，a ∈R ．若l 1与 l 2平行，则l 1与 l 2之间的距离为▲________． 14．在空间直角坐标系中，若三点A (1，－1，a )，B (2，a ，0)，C (1，a ，－2)满足(AB →－2AC →)⊥BC →，则实数a 的值为▲________．15．词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出自中国数学名著《九章算术·商功》，是古代人对一些特殊锥体的称呼．在《九章算术·商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．现有如图所示的“鳖臑”四面体P ABC ，其中P A ⊥平面ABC ，P A ＝AC ＝1，BC ＝2，则四面体P ABC 的外接球的表面积为▲________．16．早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击．现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同．建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，根据图上尺寸，溢流孔ABC 所在抛物线的方程为▲________，溢流孔与桥拱交点A 的横坐．．（第12题）标．为▲________． 四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）在 ①sin(A －B )＝sin B ＋sin C ；②2a cos C ＝2b ＋c ；③△ABC 的面积S ＝34(a 2－b 2－c 2) 三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，__________，D 是边BC 上的一点，∠BAD ＝π2，且b ＝4，c ＝2，求线段AD 的长．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆F ：(x －2)2＋y 2＝1，动圆M 与直线l ：x ＝－1相切且与圆F外切．（1）记圆心M 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；（2）已知A (－2，0)，曲线C 上一点P 满足P A ＝2PF ，求∠P AF 的大小． 19．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为AC 中点． （1）求证：B 1A ∥平面C 1BD ；（2）若AA 1＝AB ＝3，BC ＝4，且AB ⊥BC ，求三棱锥B －B 1C 1D 的体积．20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝1，点A ，B 是直线x －y ＋m ＝0(m ∈R )与圆O 的两个公共点，点C 在圆O 上．DBB 1A 1（第19题）C 1AC（1）若△ABC 为正三角形，求直线AB 的方程；（2）若直线x －y －3＝0上存在点P 满足AP →·BP →＝0，求实数m 的取值范围．21．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面P AB ⊥平面ABCD ，P A ⊥AB ，P A ＝AD ＝4， BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AB ＝BC ＝2，→PE＝λ→PC (0≤λ＜1)． （1）若λ＝12，求直线DE 与平面ABE 所成角的正弦值；（2）设二面角B -AE -C 的大小为θ，若|cos θ|＝23417，求λ的值．22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0) 的左顶点与上顶点的距离为23，且经过点(2，2)． （1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，M 是PQ 的中点．若椭圆上存在点N 满足ON→＝3MO →，求证：△PQN 的面积S 为定值．1【答案】B【考点】抛物线的定义【解析】由题意抛物线p 的几何意义为焦点到准线的距离，而该题中2p =2，所以p =1，故答案选B.2【答案】B【考点】空间向量共线的坐标运算（第21题）PABCDE（第22题图）【解析】由题意a ∥b ，则412432⨯-=-⨯=-n m ，，解得26=-=n m ，，所以m +n =－4；或利用空间向量共线定理可得a =λb ，即3×－2=m ，－1×（－2）=n ，解得26=-=n m ，，依旧有：m +n =－4，故答案选B.3【答案】D【考点】三角函数恒等变换公式的应用【解析】由题意()θθπθcos 2cos 2sin -=-=，则2tan -=θ， 所以tan(θ+π4 )=()()312121tan 1tan 1-=---+=-+θθ，故答案选D. 4【答案】D【考点】椭圆及双曲线的几何性质【解析】由题意9－m =1+m ，解得m =4，所以双曲线标准方程为1422=-y x ，则其渐近线方程为x x aby 2±=±=，故答案选D. 5【答案】A【考点】圆的标准方程及圆的性质【解析】由题意可解得A(4，0)，B(0，2)，且由圆心在y 轴上可设圆C 的圆心为(0，m )，因为圆C 经过A ，B ，所以|CA|=|CB|，即()r m m =-=+22224，化简解得m =－3，则圆C 的半径为5，所以圆C 的标准方程为()22253=++y x ，化为一般方程为：x 2＋y 2＋6y －16＝0 ，故答案选A.6【答案】D【考点】空间想象能力与椭圆的几何性质【解析】由题意可知椭圆的长轴长为Rt 三角形中的斜边，且一个直角边为底面直径，斜边与底面的夹角为60°，则解得长轴长为860cos 4=︒，而椭圆的短轴为底面的直径4，则椭圆的焦距为3424282222222=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=b a c ，故答案选D.7【答案】A【考点】空间向量基本定理（线性运算）、模长的求法【解析】由题意可知在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，→→→→→+=+=121CB AC CO AC AO⎪⎭⎫ ⎝⎛++=→→→121BB CB AC ，⎪⎭⎫ ⎝⎛++=→→→→121AA AC AB AO ，则21241⎪⎭⎫ ⎝⎛++=→→→→AA AC AB AO 22112122241241212121414141⋅+⋅=⋅+++⋅+++=→→→→→→→→→AA AC AA AB AC AB AA AC AB 42960cos 322160cos 3221341241241222=︒⋅⋅⋅+︒⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=，解得229=→AO ， 故答案选A.8【答案】C【考点】双曲线的几何性质应用：求离心率【解析】由题意可知|OF |=c ，由四边形OFMN 为菱形，可得|MN |=|OF |=c ，设点M 在F 的上方，可知M 、N 关于y 轴对称，可设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-232c c M ，，代入双曲线方程可得：12322222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-b c a c ，又由222c b a =+，化简可得0842244=-+c a a c ，方程两边同除4a ，可得8424=-+e e ，解得3242+=e ，因为1>e ，解得324+=e ()13312+=+=，故答案选C.9【答案】BC【考点】立体几何的位置关系：平行与垂直【解析】由题意，对于A 选项，β⊂m 也可以满足，选项A 错误；对于B 选项，可由线面垂直的性质定理证明，选项B 正确；对于C 选项，可由面面垂直的判定定理证明，选项C 正确；对于D 选项，α与β可以是任意关系：平行、垂直、相交，选项D 错误.故答案选BC.10【答案】ABC【考点】椭圆的几何性质：焦点三角形【解析】由题意，c =2，2a =4，由椭圆的定义可得：AF 1＋AF 2＝4，则有： ①若221π=∠AF F ，则有()()()222212c AF AF =+，联立解得AF 1＝2；②若221π=∠F AF ，则有()()()222212AF c AF =+，联立解得AF 1＝1；③若212π=∠F AF ，则有()()()212222AF AF c =+，联立解得AF 1＝3；故答案选ABC.11【答案】ABC【考点】直线与直线的位置关系及对称问题【解析】由题意，对于A 选项，距离坐标(0，0)的点是l 1与l 2的交点，即点O ，只有一个，选项A 正确；对于B 选项，距离坐标为(0，1)的点分别在l 2上方和下方，有2个点，选项B 正确；对于选项C ，距离坐标为(1，2)的点可由距离l 1为1的直线有两条，距离l 2为2的直线有两条，其四条直线共有4个交点，可满足题意，选项C 正确；对于D 选项，距离坐标为(x ，x )的点在l 1与l 2的角平分线上，有两条直线满足，选项D 错误.故答案选ABC.12【答案】ACD【考点】空间几何体的体积、外接球半径的计算、空间角的计算 【解析】由题意该立方八面体可看作是由棱长为2的立方体切去8个角得到，则呈现完全对称性，且外接球的球心为该立方八面体的中心，由勾股定理可得外接球半径为1，则直径为2，即选项A 、D 正确；对于选项B ，棱A 2A 3与B 2C 3不共面，则A 2A 3与B 2C 3所成的角即为A 2A 3与B 2A 3所成的角，可得为60°，所以选项B 错误；对于选项C ，该立方八面体的体积可利用割补法解得=V ()3252221318223=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯-，选项C 正确.故答案选AC D.13【答案】2【考点】平行直线的判断及两平行线间的距离公式【解析】由题意可得－(a －3)×1=2a ，解得a =1，则直线l 1：x ＋y ＝0，直线l 2：x +y －2＝0，由平行线距离公式得222==d . 14【答案】29-【考点】空间向量得坐标运算【解析】由题意()a a AB -+=→，，11，()a a AC --+=→210，，，()201--=→，，BC ，所以()()()0924212014112=--=+--=--⋅+--=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→→a a a a BC AC AB ，，，，，解得29-=a . 15【答案】4π【考点】立体几何中三棱锥的外接球【解析】由题意∠ACB =90°，则取PB 的中点为点O ，可得OA=OB=OP=OC ，即O 为球心，则其半径121212122222=++=+==BC AC PA AB PA PB R ，则其表面积ππ442==R S .另解：可把该三棱锥补成长宽高分别是1，2，1的长方体，则其体对角线为外接球的直径可求得()πππ412142222=⎪⎭⎫ ⎝⎛++==R S .16【答案】()214365--=x y ；13140 【考点】抛物线的实际问题【解析】由题意可知拱桥为以原点为顶点的抛物线，且经过点C (20，－5)，可设拱桥所在抛物线的方程为2ax y =，带入点C 可解得801-=a .而溢流孔ABC 是以点B (14，0)可解得为顶点的抛物线，也经过点C (20，－5)，则设溢流孔ABC 所在抛物线的方程为()214-=x b y ，代入点C 可解得365-=b ，所以溢流孔ABC 所在抛物线的方程为()214365--=x y 。
江苏省无锡市锡山高级中学实验学校2020-2021学年八年级下学期期中考试数学试卷
省锡中实验学校 2020-2021 学年度第二学期
初二数
学期中考试
2021 年 4
月
命越人 ：康丽娟 审题人：华伯清
一、选择题 〈本大题共 10 小题．每小题 3 分，共 30 分〉
1．下列图形中，既是轴对称四形，又是中心对称图形的是 ( )
A. B. c. D
2．
抛掷一枚均匀的硬币．当抛掷次数很多以后．出现正面朝上的频率值大约稳定在
( )
A.25% B.5O% C. 75% D. 33.3%
3．2020 年无锡市九年级有 5.1万名初中毕业生参加升学考试，为了了解这5.l 考生的
数学成绩．从中随机抽取5000名考生的数学成绩进行统计，在这问题中样本是
( )
A.5.1万名考生的数学成绩
C.5000 名考生的数学成绩
4．下列变形从左到右一定正确是
B.5.1万名考生 D.5OOO 名考生
5． 反比例函数 图像上有三个点 ，则
的大小关系是 ( )
6．下列说法正确的是 （ ）
A. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
江苏省无锡市锡山区天一中学2022高二数学上学期期中试题(含解析)
17.已知命题p：∃x∈（-2，1），使等式x2-x-m=0成立，命题q： 表示椭圆．
（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围．
（2）判断命题p为真命题是命题q为真命题的什么条件（请用简要过程说明是“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中的哪一个）
③由空间向量基本定理知，空间任意一个向量 可以用不共面的三个向量 、 、 线性表示，所以P、A、B、C四点一定不共面，故③不正确；
故选：D．
【点睛】考查向量的运算法则，空间向量的基本定理，命题真假的判断；
7.已知 （ ，-1，3）， （ ，4，-2）， （ ，3，λ），若 、 、 三向量共面，则实数λ等于（ ）
5.设椭圆 （m＞n＞0）的右准线为x=8，椭圆的离心率为 ，则椭圆的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
确定椭圆的焦点在x轴，利用已知条件求出a，b，即可得到椭圆方程．
【详解】解：直接设椭圆的标准方程为 （ ），又其右准线为x=8，椭圆的离心率为 ，
可得 ，解得a=4，c=2，则b= =2 ．
【详解】解：当x=0时，lgex=0，所以A是真命题；
x=0时，tanx=x，所以B是真命题；
因为sinx≤1，当x= 时，sinx=1，所 ，sinx＜1，C是真命题；
x=0时，ex=x+1，所以∀x∈R，ex＞x+1不正确，所以D是假命题；
故选：D．
【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，是基本知识的考查．
故有{m| ≤m＜6}⫌{m|2＜m＜3或3＜m＜4}．
∴p是q的必要不充分条件．
【点睛】本题考查充分必要条件的判定及其应用，考查函数值域的求法及椭圆的标准方程，是基础题．
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江苏省锡山高级中学2020—2021学年度第一学期期中考试
高二数学试卷 （1-4,6-16班） 命题人 李金凯 何鹏 审核人 何鹏
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
一、单选题（本题共8小题,每小题5分,共计40分.在每小题给出的选项中,只有1项符合题意） 1. 命题:“,1x Z x N ∃∈-∈”的否定为 （ ） A.,1.x Z x N ∀∉-∈ B.,1.x Z x N ∀∉-∉
C.,1.x Z x N ∀∈-∉
D.,1.x Z x N ∃∈-∉
2. 已知双曲线2
221(0)x y a a
-=>的离心率为3,则实数a 的值为 （ ）
B. 12
C.1
D.2
3. 在3和81之间插入2个数,使这4个数成等比数列,则公比q 为 （ ） A. 2± B. 2 C. 3± D.3
4. 已知双曲线221412
y x -
=右支上一点P 到右焦点的距离为4,则该点到左准线的距离为 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
5. 若直线l 过抛物线2
8y x =的焦点,与抛物线相交于,A B 两点,且16||=AB ,则线段AB 的中点P 到y
轴的距离为 （ ） A.6 B. 8 C. 10 D.12
6. 为了参加学校的长跑比赛,省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了3600米,最后三天共跑了10800米,则这15天小李同学总共跑的路程为 （ ）
A.34000米 B .36000米 C.38000米 D.40000米 7. 数列{}n a 是等比数列,公比为q ,且01
>a .则“1-<q ”是“122122,+-*<+∈∀n n n a a a N n ”的 （ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
8. 已知椭圆22143
y x C +=：的右焦点为F .点,A B 为椭圆上不同的两点,且满足AF BF ⊥.过线段AB 的中点P 作椭圆C 右准线的垂线,垂足为Q .则
||
||
AB PQ 的最小值为 （ ）
A.12 D. 1
二、多选题（本题共4小题,每小题5分,共计20分.在每小题给出的选项中,有多项符合要求,全部选
对得5分,部分选对得3分,有选错的得0分）
9. 已知数列 ,2,0,2,0,2,0,则前六项适合的通项公式为 （ ）
A. n n a )1(1-+=
B. 2
cos 2π
n a n = C. |2
)1(sin
|2π
+=n a n D. )2)(1()1cos(1--+--=n n n a n π 10. 已知命题:p 不存在过点(1,1)的直线与椭圆12
2
22=+
y m x 相切.则命题p 是真命题的一个充分不必要条件是 （ ） A.2≥
m B.2>m C.20<<m D.3-=m
11. 意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数:,13,8,5,3,2,1,1....即从第三项开始,每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他,就把这列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是 （ ） A.5510=a B.2020a 是偶数 C.2020201820223a a a =+ D.+++321a a a (2022)
2020a a =+
12. 已知抛物线x y C 8:2
=的焦点为F ,准线l 与x 轴交于点M . 点Q P ,是抛物线上不同的两点.下
面说法中正确的是 （ ） A.若直线PQ 过焦点F ,则以线段PQ 为直径的圆与准线l 相切; B.过点M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多两条; C.对于抛物线内的一点(1,1)T ,则||||3PT PF +≥;
D.若直线PQ 垂直于x 轴,则直线PM 与直线QF 的交点在抛物线C 上.
三、填空题（本题共4小题,每小题5分,共计20分.只要求直接写出结果,不必写出计算和推理过程） 13. 已知递增等差数列{}n a 满足:20,125142==+a a a a ,则4a = ▲ .
14. 已知抛物线2
1:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线22
2:1916y x C -=的渐近线的距离为,则实数p
的值为 ▲ .
15. 设椭圆2222:1(0)y x C a b a b
+=>>的右焦点为F ,O 为坐标原点.过点F 的直线240x y +-=与椭圆
的交点为Q (点Q 在x 轴上方),且||||OF OQ =,则椭圆C 的离心率为 ▲ .
16. 数列{}n a 满足:1*1151,2(),22
n n n a S a n N ++==--∈其中n S 为数列{}n a 的前n 项和,则
=n a ▲ ,若不等式2(2)2512n t a n n -≥--对*n N ∀∈恒成立,则实数t 的最小值为 ▲ .
四、解答题（本题共6小题,共计70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本题满分10分
）
已知命题p :方程
1352
2=-++k
y k x 表示焦点在x 轴上的椭圆； 命题2:,250q x R x kx k ∀∈+++≥恒成立； 命题:11(0).r m k m m -<<+> （1）若命题p 与命题r 互为充要条件,求实数m 的值； （2）若命题q 是命题r 的必要不充分条件,求正数m 的取值范围.
18. （本题满分12分）
已知双曲线C 的标准方程为22136
y x -=,12,F F 分别为双曲线C 的左、右焦点. （1）若点P 在双曲线的右支上,且12F PF ∆的面积为3,求点P 的坐标；
（2）若斜率为1且经过右焦点2F 的直线l 与双曲线交于,M N 两点,求线段MN 的长度.
19. （本题满分12分）
在①321,1,a a a +成等差数列；②304=S ；③64321=a a a 三个条件中任选一个补充在下面的问题中,并作答.（注：如果选择多个条件分别作答,按第一个解答计分）
已知n S 是数列}{n a 的前n 项和. 若)(21*
∈-=N n a a S n n ,01≠a ,且满足
（1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）设11=b ,)(*
1N n a b b n n n ∈=-+,求数列}{n b 的通项公式.
20. （本题满分12分）
已知椭圆2222:1(0)y x C a b a b
+=>>的左、右顶点分别为B A ,,4||=AB .过右焦点F 且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于E D ,两点, 且1||=DE . （1）求椭圆C 的方程；
（2）斜率大于0的直线l 经过点(4,0)P -,且交椭圆C 于不同的两点,M N （M 在点,P N 之间）.记
PNA ∆与PMB ∆的面积之比为λ,求实数λ的取值范围.
21. （本题满分12分）
已知数列}{n a 中, 11=a ,1)2()1(1=+-++n n a n a n )(*
N n ∈,n S 为数列{}n a 的前n 项和.数列
}{n b 满足*1()n n
b n N S =∈.
（1）证明：数列}{n a 是等差数列,并求出数列}{n a 的通项公式；
（2）设数列}{n b 的前n 项和为n T .问是否存在正整数)3(,q p q p <<,使得q p T T T ,,3成等差数列？若
存在,求出q p ,的值;若不存在,请说明理由.
22. （本题满分12分）
已知抛物线2
:2(0)C y px p =>经过点(2,-
（1）求抛物线C 的方程及其相应准线方程；
（2）过点(2,0)E 作斜率为12,k k 的两条直线分别交抛物线于,M N 和,P Q 四点，其中121k k +=.设线 段MN 和PQ 的中点分别为,,A B 过点E 作,ED AB ⊥垂足为.D 证明:存在定点,T 使得线段TD 长度为定值.。