中考数学复习--几何最值及路径长 精讲及测试题
中考数学三轮冲刺-真题集训：知识点47 几何最值(pdf版,含答案)
一、选择题1．（2019·长沙）如图，△ABC 中，AB =AC =10，tanA =2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD +5的最小值是【 】A．．．D ．10【答案】B二、填空题1．（2019·黄冈）如图，AC ，BD 在AB 的同侧，AC ＝2，BD ＝8，AB ＝8.点M 为AB 的中点.若∠CMD ＝120°，则CD 的最大值是（）【解析】将△CAM 沿CM 翻折到△CA ′M ，将△DBM 沿DM 翻折至△DB ′M ， 则A ′M ＝B ′M ，∠AMC ＝∠A ′MC ，∠DMB ＝∠DMB ′， ∵∠CMD ＝120°，∴∠AMC +∠DMB ＝∠A ′MC +∠DMB ′＝60°，∴∠A ′MB ′＝180°-（∠AMC +∠DMB +∠A ′MC +∠DMB ′）＝60°， ∴△A ′MB ′是等边三角形，又∵AC ＝2，BD ＝8，AB ＝8.点M 为AB 的中点，知识点47——几何最值∴A ′B ′＝A ′M ＝B ′M ＝AM ＝12AB ＝4，CA ′＝AC ＝2，DB ′＝DB ＝8，又CD ≤CA ′+A ′B ′+DB ′＝2+4+8＝14.三、解答题1．（2019山东威海，24，12分）如图，在正方形ABCD 中，AB ＝10cm ，E 为对角线BD 上一动点，连接AE ，CE ，过E 点作EF ⊥AE ，交直线BC 于点F ．E 点从B 点出发，沿着BD 方向以每秒2cm 的速度运动，当点E 与点D 重合时，运动停止，设△BEF 的面积为ycm 2，E 点的运动时间为x 秒．（1）求证：CE ＝EF ；（2）求y 与x 之间关系的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围； （3）求△BEF 面积的最大值．【解析】（1）证明：过E 作MN ∥AB ，交AD 于M ，交BC 于N ， ∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ∥BC ，AB ⊥AD ，∴MN ⊥AD ，MN ⊥BC ，∴∠AME ＝∠FNE ＝90°＝∠NFE ＋∠FEN ， ∵AE ⊥EF ，∴∠AEF ＝∠AEM ＋∠FEN ＝90°，∴∠AEM ＝∠NFE ， ∵∠DBC ＝45°，∠BNE ＝90°，∴BN ＝EN ＝AM .， ∴△AEM ≌△EFN （AAS ），∴AE ＝EF .∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝CD ，∠ADE ＝∠CDE ， ∵DE ＝DE ，∴△ADE ≌△CDE （SAS ），∴AE ＝CE ＝EF .（2）在Rt △BCD 中，由勾股定理得：BD， ∴0≤x ≤.由题意，得BE ＝2x ，∴BN ＝EN x .由（1）知：△AEM≌△EFN，∴ME＝FN，∵AB＝MN＝10，∴ME＝FN＝10x，如图（1），当0≤x∴BF＝FN－BN＝10x x＝10－x. ∴y＝12BF·EN＝1(102−＝－2x2＋（0≤x；如图（2）x≤∴BF＝BN－FN x－（10x）＝x－10，∴y＝12BF·EN＝12−＝2x2－x≤.∴222(02x xyx x−+≤≤=−<≤（1）（2）（3）y＝－2x2＋5x＝－2（x2＋254，∵－2＜0，∴当x y有最大值是；即△BEF面积的最大值是；x≤y＝2x2－＝22(x－254，此时2＞0，开口向上，对称轴为直线x∵对称轴右侧，y 随x 的增大而增大， ∴当x＝y 最大值＝50.∴当x＝BEF 面积的最大值是50.25．（2019山东省威海市，题号25，分值12） （1）方法选择如图①，四边形ABCD 是OO 的内接四边形，连接AC ，BD .AB ＝BC ＝AC ，求证：BD ＝AD ＋CD . 小颖认为可用截长法证明：在DB 上截取DM ＝AD ，连接AM ..…… 小军认为可用补短法证明：延长CD 至点N ，使得DN ＝AD …… 请你选择一种方法证明.（2）类比探究【探究1】如图②，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接AC ，BD .BC 是⊙O 的直径，AB ＝AC .试用等式表示线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并证明你的结论.【探究2】如图③，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接AC ，BD .若BC 是⊙O 的直径，∠ABC ＝30°，则线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式是.图①图②B图③B图④B（3）拓展猜想如图④，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接AC ，BD .若BC 是O 0的直径，BC ：AC ：AB ＝a ：b ：c ，则线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式是.【思路分析】（1）选小颖的截长法，如图①，在DB 上截取DM ＝AD ，连接AM ，由旋转全等得BM ＝CD ，∴BD ＝MD ＋BM ＝AD ＋CD（2）【探究1】数量关系为：BDAD ＋CD如图②，在DB 上截取AD ＝AN ，连接AN ，可得△AND 为等腰直角三角形，∴ND，由旋转全等得BN ＝CD ，∴BD ＝ND ＋BNAD ＋CD【探究2】数量关系为：BD ＝2ADCD如图③，在DB 上截取2AD ＝PD ，连接AP ，可得△APD 为30°的直角三角形， 由旋转相似得BP，∴BD ＝PD ＋BP ＝2ADCD （3）拓展猜想数量关系为：BD ＝abAD ＋c b CD如图④，过A 作AQ ⊥AD 交BD 于Q ，连接AQ ，由旋转相似得=BQ AB c CD AC b =，=DQ BC aAD AC b=， ∴BQ ＝cb CD ，BQ ＝a b AD ，∴BD ＝PD ＋BP ＝abAD ＋c b CD【解析】（1）选小颖的截长法，如图①，在DB 上截取DM ＝AD ，连接AM ，可得△AMD 为等边三角形，可证△BAM ≌△CAD （SAS ）得BM ＝CD ，∴BD ＝MD ＋BM ＝AD ＋CD（2）【探究1】数量关系为：BDAD ＋CD如图②，在DB 上截取AD ＝AN ，连接AN ，可得△AND 为等腰直角三角形，∴NDAD ，∠BAN ＝答案图①答案图②B∠CAD ，可证△BAN ≌△CAD （SAS ）得BN ＝CD ，∴BD ＝ND ＋BNAD ＋CD【探究2】数量关系为：BD ＝2ADCD如图③，在DB 上截取2AD ＝PD ，连接AP ，可得△APD 为30°的直角三角形，∴=tan 30AP ABAD AC=°，∠BAP ＝∠CAD ，可证△BAP ∽△CAD 得BPCD ，∴BD ＝PD ＋BP ＝2AD（3）拓展猜想数量关系为：BD ＝a b AD ＋c bCD 如图④，过A 作AQ ⊥AD 交BD 于Q ，连接AQ ，可得∠BAQ ＝∠CAD ，∠ABQ ＝∠ACD ，∠ADQ ＝∠ACB ，∠BAC ＝∠QAD ∴△BAP ∽△CAD ，△ADQ ∽△ACB ∴=BQ AB c CD AC b =，=DQ BC aAD AC b=， ∴BQ ＝cb CD ，BQ ＝a b AD ，∴BD ＝PD ＋BP ＝a b AD ＋c bCD 2．（2019·益阳）如图，在半面直角坐标系x O y 中，矩形ABCD 的边AB =4，BC =6.若不改变矩形ABCD 的形状和大小，当形顶点A 在x 轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D 始终在y 轴的正半上随之上下移动.(1)当∠O AD =30°时，求点C 的坐标；(2)设AD 的中点为M ，连接O M 、MC ，当四边形 O MCD 的面积为221时，求O A 的长； (3)当点A 移动到某一位置时，点C 到点O 的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时c os ∠O AD 的值.答案图③B答案图④B第2题图 第2题备用图第2题答图1 第2题答图2【解析】（1）如图1，过点C 作CE ⊥y 轴，垂足为E .∵矩形ABCD 中，CD ⊥AD ，∴∠CDE +∠AD O=90°，又∵∠O AD +∠AD O=90°，∴∠CDE =∠O AD =30°.在R t △CED 中，CE =21CD =2，∴DE =32242222=−=−CE CD ; 在R t △O AD 中，∠O AD =30°，∴O D =21AD =3.∴点C 的坐标为(2，323+).(2)∵M 为AD 的中点，∴DM =3，6=DCM S △. 又∵221=OMCD S 四边形，∴29=ODM S △，∴9=OAD S △.设O A =x ，O D =y ，则 ==+9213622xy y x ，∴xy y x 222=+，即0)(2=−y x ，∴x =y .将x =y 代入3622=+y x 得182=x ，解得23=x (23−不合题意，舍去)，∴O A 的长为23.（3）O C 的最大值为8.理由如下：如图2，∵M 为AD 的中点，∴O M =3，522=+=DMCD CM .∴O C ≤O M +CM =8,当O 、M 、C 三点在同一直线时，O C 有最大值8. 连接O C ，则此时O C 与AD 的交点为M ，过点O 作O N ⊥AD ，垂足为N . ∵∠CDM =∠O NM =90°，∠CMD =∠O MN ，∴△CMD ∽△O MN ，∴OMCMMN DM ON CD ==，即3534==MN ON ， 解得59=MN ，512=ON ，∴56=−=MN AM AN . 在R t △O AN 中，∵55622=+=AN ON OA ，∴55cos ==∠OA OAD AN .3．（2019·衡阳）如图，在等边△ABC 中，AB ＝6cm ，动点P 从点A 出发以cm /s 的速度沿AB 匀速运动．动点Q 同时从点C 出发以同样的速度沿BC 延长线方向匀速运动．当点P 到达点B 时，点P 、Q 同时停止运动．设运动时间为t （s ）．过点P 作PE ⊥AC 于E ，连接PQ 交AC 边于D ．以CQ 、CE 为边作平行四边形CQFE ．（1）当t 为何值时，△BPQ 为直角三角形；（2）是否存在某一时刻t ，使点F 在∠ABC 的平分线上？若存在，求出t 的值，若不存在，请说明理由；（3）求DE 的长；（4）取线段BC 的中点M ，连接PM ，将△BPM 沿直线PM 翻折，得△B ′PM ，连接AB ′当t 为何值时，AB ′的值最小？并求出最小值．【解析】：（1）∵△ABC 为等边三角形，∴∠B ＝60°，∵BP ⊥PQ ，∴2BP ＝BQ 即2（6－t ）＝6＋t ，解得t ＝2．∴当t 为2时，△BPQ 为直角三角形；（2）存在．作射线BF ，∵PE ⊥AC ，∴AE ＝0.5t ．∵四边形CQFE 是平行四边形，∴FQ ＝EC ＝6－0.5t ，∵BF 平分∠ABC ，∴∠FBQ ＋∠BQF ＝90°．∵BQ ＝2FQ ，BQ ＝6＋t ，∴6＋t ＝2（6－0.5t ），解得t ＝3．（3）过点P 作PG ∥CQ 交AC 于点G ，则△APG 是等边三角形．∵BP ⊥PQ ，∴EG ＝12AG ．∵PG ∥CQ ，∴∠PGD ＝∠QCD ，∵∠PDG ＝∠QDC ，PG ＝PA ＝CG ＝t ，∴△PGD ≌△QCD ．∴GD ＝12GC ．∴DE＝12AC＝3．（4）连接AM，∵△ABC为等边三角形，点M是BC的中点，∴BM＝3．由勾股定理，得AM＝．由折叠，得BM′＝3．当A 、B′、M在同一直线上时，AB′的值最小，此时AB′＝3.过点B′作B′H⊥AP于点H，则c os30°＝AHAB′,，解得t＝9－．∴t为9－时，AB′的值最小，最小值为－3．4.（2019·重庆A卷）如图，在平面在角坐标系中，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交与点A，B（点A 在点B的左侧）交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．（1）连结BD，点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MN⊥BD交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NH⊥x轴，垂足为H，交BD于点F，点P是线段OC上一动点，当MN取得最大值时，求HF＋FP＋13PC的最小值；（2）在（1）中，当MN取得最大值，HF＋FP＋13PC取得小值时，把点P单位得到点Q，连结AQ，把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度α（0°<α<360°），得到△A OQ′′，其中边A Q′′交坐标轴于点G，在旋转过程中，是否存在一点G，使得OGQQ''∠=∠？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q′的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）由题意得A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)，D(1，－4)，直线BD：y＝2x－6．如答图1，连接DN、BN，则S△BDN＝12BD•MN，而BD为定值，故当MN最大时，S△BDN取最大值．此Q时由S △BDN ＝S △DFN ＋S △BFN ＝12EH •FN ＋12BH •FN ＝12BE •FN ＝FN ，从而S △BDN 取最大值时，即为FN 有最大值．令N (m ，m 2－2m －3)，则F (m ，2m －6)，从而FN ＝(2m －6)－(m 2－2m －3)＝－m 2＋4m －3＝－(m －2)2＋1，此时，当且仅当m ＝2，FN 有最大值为1，于是N (2，－3)，F (2，－2)，H (2，0)．在直角三角形中，设最小的直角边为a ，斜边为3a ，较长直角边为3，即可求出a x 轴上取点K (，0)，连接KC ，易求直线KC ：y ＝－x －3．如答图1，过点F 作FR ⊥CK 于点R ，交OC 于点P ，作FT ⊥OC ，交CK 于点T ，则∠OCK ＝∠TFR ，于是，由△PCR ∽△ACO ∽△TFR ，得133PR OK a PC KC a ===，从而PR ＝13PC ，因此由FH 为定值，再由定点F 到直线的垂直线最短，可知MN 取得最大值时，HF ＋FP ＋13PC 最小值＝HF ＋FR ．在y ＝－x －3中，当y ＝－2，x ，于是FT ＝2．在R t △FTR 中，由FR FT =，得FR FT (2)＝13，故HF ＋FP ＋13PC 最小值＝2＋13．（2）(，(，，．5.（2019·重庆B 卷）在平面直角坐标系中，抛物线242y ++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ，对称轴与x 轴交于点Q .（1）如图1，连接AC ，BC ．若点P 为直线BC 上方抛物线上一动点，过点P 作PE ∥y 轴交BC 于点E ，作PF ⊥BC 于点F ，过点B 作BG ∥AC 交y 轴于点G ．点H ，K 分别在对称轴和y 轴上运动，连接PH ，HK ．当△PEF 的周长最大时，求PH +HK 的最小值及点H 的坐标． （2）如图2，将抛物线沿射线AC 方向平移，当抛物线经过原点O 时停止平移，此时抛物线顶点记作D ’，N 为直线DQ 上一点，连接点D ’，C ，N ，△D’CN 能否构成等腰三角形？若能，直接写出满足条件的点N 的坐标；若不能，请说明理由．【解析】（1）∵2y x ++与x 轴交于A ，B 两点，∴当y =0时，即20+，∴122,4x x =−=，即A （－2，0），B （4，0）， 设直线BC 的解析式为y =kx +b ，∵C （0，），B （4，0），∴40b k b =+=，∴b k = = ，∴直线BC的解析式为y +设点2(,4),P m m ++<< ∵PE ∥y 轴且点E 在直线BC上，∴(,E m +∠PEF =∠OCE ，∴2(04),PE m +<< ∵PF ⊥BC ，∴∠PFE =∠COB =90°，∴△PEF ∽△BCO ， 设△PEF 的周长为1l ，△BCO 的周长为2l ， 则12l PEl BC=，∵B （4，0），C （0，），∴BC=24l =+，∴21)(04),l m +<< ∴当m=2时，1l此时点P 的坐标为（2，）， ∵A （－2，0），C （0，），∴∠ACO =30°，∠CAO =60°， 备用图图1图2∵BG∥AC，∴.∠BGD=30°，∠OBG=60°，∴G（0，−，直线B G解析式为y=−PM解析式为y=，过点G作GN⊥BG，过点P作PM⊥GN于点M，如图1，此时，点H为PM与对称轴的交点，K为PM与y轴的交点，点K与点O重合，则KM=OMKG，PH+HKKG的最小值为线段PM的长.（此问题是胡不归问题）.解法一：（作一线三直角利用相似求解）如图2，过点P作PQ∥x轴交对称轴于点T，过点M作MQ⊥y轴交PT于点Q，过点G作GJ⊥MQ交MQ于点J.设点Q（n，），∴J（n，−，∴PQ=2－n，M2－n），∵GJ=－n，∴MJ=，∴MQ+MJ=CG=(−−，2－n）+()=，∴n=-3，∴Q（－3，），∴PQ=5，∴PM=2PQ=10，∴PH+HKKG的最小值为10，∵∠OGM=60°，∠PHT=30°，∠HPT=60°，∴PT=1，∴HTH（1.图1 N解法二：由上面的解法可知MG ⊥BG ，直线MG的解析式为：y x −如图3，过点P 作PR ⊥x 轴交MG 于点R ，∴R （2，）， 由第一种解法可知∠PRG =60°，∴PMPR（）=10， ∴PH +HKKG 的最小值为10，同理可求H （1.（2）这样的N 点存在.当△'CD N 为等腰三角形时，这样的N有：1N,2N，3N,4N,5N .【提示】由（1）可知∠AC O=30°，∠O AC =60°,图2NN又∵221)y x x ++−+D （1，∵抛物线按射线AC 的方向平移，设平移后顶点'(D a ++，平移后的抛物线解析式为21)y x a =−−++该抛物线经过原点，则201)a =−−+∴2280a a −−=，∴a =4或a =－2（舍去），即D .设点N （1，b ）'CD ==CN =，'ND 如图4，当△'CD N 为等腰三角形时，分三种情况：①当'CD CN =，可得1N ,2N ；②当''CD D N =3N ,4N ,③当'CN D N =可得5N ,∴当△'CD N 为等腰三角形时，这样的N 有：1N ,2N ，3N ,4N ,5N .6.（2019·天津）已知抛物线y =x 2-bx +c (b ,c 为常数，b >0)经过点A （-1,0），点M (m ,0)是x 轴正半轴上的动点，（1）当b =2时，求抛物线的顶点坐标；（2）点D (b ,y D )在抛物线上，当AM =AD ,m =5时，求b 的值；（3）点Q(1,2b +y Q)2QM +b 的值. 【解析】(1)∵抛物线y =x 2-bx +c 经过点A （-1,0），∴1+b +c =0，∴c =-1-b 当b =2时，c =-3，∴抛物线的解析式为y =x 2-2x -3，∴顶点坐标为（1，-4） （2）由(1)知，c =-1-b ，∵点D (b ,y D )在抛物线上，∴y D =-b -1， ∵b >0,∴b 02b >>，-b -1<0,∴D (b ,-b -1)在第四象限，且在抛物线对称轴2bx =的右侧.如图，过点D 作DE ⊥x 轴于E ，则E （b ，0），∴AE =b +1=DE ,所以AD 1)b +，∵m =5，∴AM =5-（-1）=6，∴1)b +，∴b =（3）∵点Q(1b ,2+y Q )在抛物线上，∴y Q=2113)()12224b b b b b +−+−−=−−（， ∴点Q （1b ,2+3-24b −）在第四象限，且在直线x =b 的右侧，2QM +，A (-1，0)，∴取点N (0，1)，如图， 过点Q 作Q H ⊥x 轴于H ，作QG ⊥AN 于G,QG 与x 轴交于点M ，则H （1b ,2+0），∠G AM =45°，∴G M AM ， ∵M （m ,0),∴AM =m +1,MH =1b 2m +−,Q H =324b +,∵MH =Q H ,∴1b 2m +−=324b +，∴m =1-24b ，∴AM =13-12424b b +=+，Q M 3)24b +（2QM +33)))24244（b ++b +b =4.7.（2019·自贡）如图，已知直线AB 与抛物线：y =ax 2+2x +c 相交于点A （-1，0）和点B （2，3）两点.（1）求抛物线C 函数解析式；（2）若点M 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，以MA 、MB 为相邻的两边作平行四边形MANB ，当平行四边形MANB 的面积最大时，求此时平行四边形MANB 的面积S 及点M 的坐标；（3）在抛物线C 的对称轴上是否存在顶点F ，使抛物线C 上任意一点P 到F 的距离等于到直线y =174的距离，若存在，求出定点F 的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）将A（-1，0）和B（2，3）代入抛物线解析式得�aa−2+cc=04aa+4+cc=3解得，�aa=−1cc=3∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3.（2）过M作MH∥y轴，交AB于H，设直线AB为y=kx+b，将A，B坐标代入得，�−kk+bb=02kk+bb=3解得，�kk=1bb=1.∴直线AB的解析式为y=x+1.设M为（m，-m2+2m+3）,则H（m，m+1）∴MH=y M-Y H=(-m2+2m+3)-( m+1)=-m2+m+2.∴S△ABM=S△AMH+S△BMH=12·MH·（x B-x A）=12·(-m2+m+2)·(2+1)=-32(m2-m)+3=-32(m-12)2+278. ∵四边形MANB是以MA、MB为相邻的两边的平行四边形，∴△ABM≌△BAN.∴S四边形MANB=2 S△ABM=-3(m-12)2+274，∵a=-3＜0且开口向下，∴当m=12时，S四边形MANB的最大值为274.此时，M坐标为（12，154）. （3）存在，理由如下：过P作直线y=174的垂线，垂足为T，∵抛物线为y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4.∴抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1,4）.当P为顶点，即P（1.4）时，设F点坐标为（1，t），此时PF=4-t，PT=174-4=14.∵P到F的距离等于到直线y=174的距离，∴4-t=14，即t=154.∴F为（1，154）设P点为（a，-a2+2a+3）,由勾股定理，PF2=(a-1)2+(-a2+2a+3-154)2=a4-4a3+132a2-5a+2516.又∵PT2=[174-(-a2+2a+3)]2= a4-4a3+132a2-5a+2516.∴PF2=PT2，即PF=PT.∴当F为（1，154）时，抛物线C上任意一点P到F的距离等于到直线y=174的距离. 8．（2019·淮安）如图①，在△ABC中，AB=AC=3，∠BAC=100°，D是BC的中点.小明对图①进行了如下探究：在线段AD上任取一点P，连接PB.将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80°，点B的对应点是点E，连接BE，得到△BPE.小明发现，随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧.请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：(1)当点E在直线AD上时，如图②所示.①∠BEP= ；②连接CE，直线CE与直线AB的位置关系是.(2)请在图③中画出△BPE，使点E在直线AD的右侧，连接CE.试判断直线CE与直线AB的位置关系，并说明理由.(3)当点P在线段AD上运动时，求AE的最小值.【解析】（1）①由题意得，PE =PB ，∠BPE =80°，∴∠BEP =°=°−°50280180； ②如图所示，∵AB =AC ，D 是BC 的中点，∠BAC =100°，∴∠ABC =°=°−°402100180，∵∠BEP =50°，∴∠BCE =∠CBE =40°，∴∠ABC =∠BCE ，∴CE ∥AB . 答案：①50°；②平行（2）在DA 延长线上取点F ，使∠BF A =∠CF A =40°，总有△BPE ∽△BFC . 又∵△BPF ∽△BEC ，∴∠BCE =∠BFP =40°，∴∠BCE =∠ABC =40°，∴CE ∥AB .当点P 在线段AD 上运动时，由题意得PB =PE =PC ， ∴点B 、E 、C 在以P 为圆心、PB 为半径的圆上， 如图所示：∴AE 的最小值为AC =3.9.（2019·凉山州）如图，抛物线y = ax 2+bx +c 的图象过点A （-1，0）、B （3,0）、C （0,3）.（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得△P AC 的周长最小，若存在，请求出点 P 的坐标及△P AC 的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x 轴上方的抛物线上是否存在点M （不与C 点重合），使得 S △P AM =S △P AC ，若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由题知 ==++=+−30390c c b a c b a ，解得==−=321c b a ，∴抛物线的解析式为y = -x 2+2x +3；（2）存在.连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时△P AC 的周长最小.设BC :y =kx +3，则3k +3=0，解得k =-1，∴BC :y =-x +3.由抛物线的轴对称性可得其对称轴为直线x =1，当x =1时，y =-x +3=2，∴P （1,2）.在Rt △OAC 中，AC =2231+=10；在Rt △OBC 中，BC =2233+=32.∵点P 在线段AB 的垂直平分线上，∴P A =PB ，∴△P AC 的周长=AC +PC +P A = AC +PC +PB =AC +BC =10+32.综上，存在符合条件的点P ，其坐标为（1,2），此时△P AC 的周长为10+32；（3）存在.由题知AB =4，∴S △P AC =S △ABC -S △P AB =21×4×3-21×4×2=2.设：AP :y =mx +n ，则=+=+−20n m n m ，解得==11n m ，∴AP :y =x +1.①过点C 作AP 的平行线交x 轴上方的抛物线于M ，易得CM :y =x +3，由++−=+=3232x x y x y 解得 ==3011y x ，==4122y x ，∴M （1,4）； ②设抛物线对称轴交x 轴于点E （1,0）,则S △P AC =21×2×2=2=S △P AC .过点E 作AP 的平行线交x 轴上方的抛物线于M ，设EM :y =x +t ，则1+t =0,∴t =-1，∴EM :y =x -1. 由 ++−=−=3212x x y x y 解得−−=−=2171217111y x （舍），+−=+=2171217122y x ，∴M （2171+,2171+−）. 综上，存在符合条件的点M ，其坐标为（1,4）或（2171+,2171+−）. 10．（2019·苏州，26，10）已知矩形ABCD 中，AB ＝5cm ，点P 为对角线AC 上的一点，且AP ＝cm ．如图①，动点M 从点A 出发，在矩形边上沿着A →B →C 的方向匀速运动（不包含点C ）．设动点M 的运动时间为t （s ），△APM 的面积为S （cm 2），S 与t 的函数关系如图②所示．（1）直接写出动点M 的运动速度为cm /s ，BC 的长度为cm；（2）如图③，动点M 重新从点A 出发，在矩形边上按原来的速度和方向匀速运动，同时，另一个动点N 从点D 出发，在矩形边上沿着D →C →B 的方向匀速运动，设动点N 的运动速度为v （cm /s ）．已知两动点M ，N 经过时间x （s ）在线段BC 上相遇（不包含点C ），动点M ，N 相遇后立即同时停止运动，记此时△APM 与△DPN 的面积分别为S 1（cm 2），S 2（cm 2） ①求动点N 运动速度v （cm /s ）的取值范围； ②试探究S 1•S 2是否存在最大值，若存在，求出S 1•S 2的最大值并确定运动时间x 的值；若不存在，请说明理由．图① 图② 图③ 第27题答图 【解析】（1）∵t ＝2.5s 时，函数图象发生改变，∴t ＝2.5s 时，M 运动到点B 处，∴动点M 的运动速度为52.5=2cm /s ，∵t ＝7.5s 时，S ＝0，∴t ＝7.5s 时，M 运动到点C 处，∴BC ＝（7.5﹣2.5）×2＝10（cm ）， 故答案为2，10；（2）①∵两动点M ，N 在线段BC 上相遇（不包含点C ），∴当在点C 相遇时，v527.53=（cm /s ），当在点B 相遇时，v 5102.5+=6（cm /s ），∴动点N 运动速度v （cm /s ）的取值范围为23cm /s ＜v ≤6cm /s ； AB ，交CD EF ∥BC ，EF ＝BC ＝10，∴AF APAB AC=，∵AC∴5AF =解得AF ＝2，∴DE ＝AF ＝2，CE ＝BF ＝3，PF 4，∴EP ＝EF ﹣PF ＝6，∴S 1＝S △APM ＝S △APF +S 梯形PFBM ﹣S △ABM 12=×4×212+（4+2x ﹣5）×312−×5×（2x ﹣5）＝﹣2x +15，S 2＝S △DPM ＝S △DEP +S 梯形EPMC ﹣S △DCM 12=×2×612+（6+15﹣2x ）×312−×5×（15﹣2x ）＝2x ，∴S 1•S 2＝（﹣2x +15）×2x ＝﹣4x 2+30x ＝﹣4（x 154−）22254+，∵2.5154＜＜7.5，在BC 边上可取，∴当x 154=时，S 1•S 2的最大值为2254．11.(2019·巴中)如图,抛物线y ＝ax 2+bx －5(a ≠0)经过x 轴上的点A (1,0)和点B 及y 轴上的点C ,经过B ,C 两点的直线为y ＝x +n .①求抛物线的解析式;②点P 从A 出发,在线段AB 上以每秒1个单位的速度向B 运动,同时点E 从B 出发,在线段BC 上以每秒2个单位的速度向C 运动.当其中一个点到达终点时,另一点也停止运动.设运动时间为t 描,求t 为何值时,△PBE 的面积最大,并求出最大值.③过点A 作AM ⊥BC 与点M ,过抛物线上一动点N (不与点B ,C 重合)作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q,若点A ,M ,N ,Q 为顶点的四边形是平行四边形.求点N 的横坐标.分析:①由点A 和直线y ＝x +n 可得方程组,解出系数,求得二次函数的解析式;②根据题意表示出三角形面积,利用二次函数最值进行求解;③分析得到AM 平行且等于N Q,设出坐标,利用坐标关系列方程进行求解,并检验.【解析】①因为点B ,C 在y ＝x +n 上,所以B (－n ,0),C (0,n ),因为点A (1,0)在抛物线上,所以250505a b an bn n ì+-=ïï--=íï=-ïî,解得,a ＝－1,b ＝6,所以抛物线的解析式为:y ＝－x 2+6x －5.②由题意得:PB ＝4－t ,，BE ＝2t ，由①可知:∠O BC ＝45°,点P 到BC 上的高h ＝BP s in 45(4－t),所以S △PBE ＝12BE h 鬃＝)22t --+当t ＝2时,S 取得最大值为③因为l BC :y ＝x －5,所以B (5,0), 因为A (1,0),所以AB ＝4,在R t △ABM 中,∠ABM ＝45°,AM AB ＝M (3,－3)， 过点N 作x 轴的垂线交直线BC 于点P 交x 轴于点H , 设N (m ,－m 2+6m －5),则H (m ,0),P (m ,m －5),易证△P Q N 为等腰直角三角形,即N Q ＝P Q ＝所以PN ＝4.当NH +HP ＝4时,即－m 2+6m －5－(m －5)＝4,解之得,m 1＝1,m 2＝4. 当m 1＝1时,点N 与点A 重合,故舍去;当NH +HP ＝4时,即m －5－(－m 2+6m －5)＝4,解得,m 1,m 2因为m >5,所以m当NH －HP ＝4,即－(－m 2+6m －5)－[－(m －5)]＝4,解得,m 1,m 2因为m <0,所以m综上所述,要使点A ,M ,N ,Q 为顶点的四边形是平行四边形,点N 的横坐标为:412.（2019·淄博）顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3与x 轴交于A (3，0)，B (－1，0)两点，与y 轴交于点C ．(1)求这条抛物线对应的函数表达式；(2)问在y 轴上是否存在点P ，使得△P AM 为直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．(3)若在第一象限的抛物线下方有一动点D ，满足DA ＝OA ，过D 作DG ⊥x 轴于点G ，设△ADG 的内心为I ，试求CI 的最小值．【解析】(1)将A、B两点坐标代入抛物线表达式,得933030a ba b++=−+=,解得12ab=−=.∴y＝－x2＋2x＋3.(2)假设存在点P，使△P AM是直角三角形.当点M为直角顶点，过M作CD⊥y轴，过A作AD⊥x轴，交CD于D，CD交y轴于C，∵∠AMP＝90°，∴∠CMP＋∠AMD＝90，∴∠CMP＝∠MAD，又∵∠DM＝∠PCM，∴△CPM∽△DMA,∴CMAD＝PCMD，∴14＝2PC，∴PC＝12，∴P1(0,72);当点A为直角顶点，过A作CD⊥x轴，过M作MD⊥y轴交AD于D，过P作PC⊥y轴交CD于C，同上△CP A∽△DAM，∴PCAD＝ACMD，∴34＝2AC，∴AC＝32，∴P2(0,－32);当点P为直角顶点，过M作CM⊥y轴于C，∴△CPM∽△OAP，∴PCAO＝CMPO，∴3PC＝14-PC，∴PC＝1或3，∴P3(0,3)，P4(0,1).综上所述，使△P AM是直角三角形的点P的是P1(0,72)，P2(0,－32)，P3(0,3)，P4(0,1).（方法1）由(1)得DA ＝OA ＝3，设D (x ,y )，△ADG 的内切圆半径为r ，则△ADG 的内心I 为(x ＋r ,r ), ∴DG ＝y ,AG ＝3－x由两点距离公式可得()2222339DA x y =−+==①由等面积法得r ＝()33+22y x DG AG DA +−−−==2y x−② ∴()()2223CI x r r =++−③由①②③得222312CI x y =−+−+2CI在312x y =−−最小，此时CI 也最小，min 32CI =（方法2）简解：如图，由内心易知：∠DIA ＝135°，∠DAI ＝∠OAI ，△DAI ≌△OAI （SAS ），∴∠DIA ＝∠OIA ＝135°，则I 在圆周角∠OIA ＝135°⊙T的圆周上运动，且半径R T 为(32,32)，∴CI 在△CIA 中，CI ≥CT－IT＝32，当C 、I 、T三点一线时，min 3=2CI .13.(2019·枣庄)已知抛物线y ＝ax 2+32x +4的对称轴是直线x ＝3，与x 轴相交于A 、B 两点(点B 在点A 的右侧)，与y 轴交于点C .(1)求抛物线的解析式和A 、B 两点的坐标；(2)如图1，若点P 是抛物线上B 、C 两点之间的一个动点(不与B 、C 重合)，是否存在点P ，使四边形DIGxy O1241234PB O C 的面积最大？若存在，求点P 的坐标及四边形PB O C 面积的最大值；若不存在，请说明理由. (3)如图2，若点M 是抛物线上任意一点，过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点N ，当MN ＝3时，求点M 的坐标.解：(1)抛物线y ＝ax 2+32x +4的对称轴为:x ＝332224b a a a−=−=−＝3,∴a ＝14−,∴抛物线的解析式为:y ＝14−x 2+32x +4,令y ＝0,得14−x 2+32x +4＝0,解之,得,x 1＝－2,x 2＝8,∵点B 在点A 的右侧,∴A (－2,0),B (8,0);(2)连接BC ,在抛物线y ＝14−x 2+32x +4中,令x ＝0,得y ＝4,∴C (0,4),∴O C ＝4,O B ＝8,∴S △O BC ＝16,∵B (8,0),C (0,4),设l BC ：y ＝kx +b ，得0＝8k +b ，4＝b ，∴k ＝12−,b ＝4,l BC ：y ＝12−x +4,∴过点P 作PD ∥y轴交BC 于点D ,过点C 作CE 垂直PD 于点E ,过点B 作BF ⊥PD 于点F ,则S △PBC ＝S △PCD +S △PBD ＝12PD×CE +12PD ×BF ＝12PD ×(CE +BF )＝12PD ×(x B －x C )＝12PD ×8＝4PD ,∵点P 在抛物线上,设点P (x ,14−x 2+32x +4),∵PD ∥y 轴,点D 在直线BC 上,∴D (x ,12−x +4),∵点P 在B ,C 间的抛物线上运动,∴PD ＝y P－y D ＝14−x 2+32x +4－(12−x +4)＝14−x 2+2x ,S △PBC ＝4PD ＝4(14−x 2+2x )＝－x 2+8x ＝－(x －4)2+16，当x ＝4时，S △PBC 最大16，∴S 四边形O BPC ＝S △O BC +S △PBC ＝32;∵MN ∥y 轴,∴设M ,N 的横坐标为m ,∵点M 在抛物线上,设点M (m ,n ),其中n ＝14−m 2+32m +4,点N 在直线BC 上,∴N (m ,12−m +4),∵点M 是抛物线上任意一点,∴点M 和点N 的上下位置关系不确定,∴MN ＝|14−m 2+32m +4－(12−m +4)|＝|14−x 2+2x |,∵MN ＝3,∴|14−x 2+2x |＝3,即14−x 2+2x ＝3或14−x 2+2x ＝－3,解这两个方程,得m 1＝2, m 2＝6, m 3＝4+m 4＝4－∴n 1＝6, n 2＝4, n 31, n 41,∴M 1(2,6), M 2(6,4), M 3(4+1), M 4(4－－1).14.(2019·聊城)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点A (－2,0),点B (4,0),与y 轴交于点C (0,8),连接BC ,又已知位于y 轴右侧且垂直于x 轴的动直线l ,沿x 轴正方向从O 运动到B (不含O 点和B 点),且分别交抛物线,线段BC 以及x 轴于点P ,D ,E .(1)求抛物线的表达式;(2)连接AC ,AP ,当直线l 运动时,求使得△PEA 和△A O C 相似的点P 的坐标;(3)作PF ⊥BC ,垂足为F ,当直线l 运动时,求R t △PFD 面积的最大值.解：(1)由已知,将C (0,8)代入y ＝ax 2+bx +c ,∴c ＝8,将点A (－2,0)和B (4,0)代人y ＝ax 2+bx +8,得428016480a b a b −+= ++= ,解得12a b =−= ,∴抛物线的表达式为y ＝－x 2+2x +8; (2)∵A (－2,0),C (0,8),∴O A ＝2,O C ＝8,∵l ⊥x 轴,∠PEA ＝∠A O C ＝90°,∵∠P AE ≠∠CA O,只有当∠P AE ＝∠AC O 时,△PEA ∽△A O C .此时AE PECO AO=,∴AE ＝4PE .设点P 的纵坐标为k ,则PE ＝k ,AE ＝4k ,∴O E ＝4k －2,P 点的坐标为(4k －2,k ),将P (4k －2,k )代入y ＝－x 2+2x +8,得－(4k －2)2+2(4k －2)+8＝k ,解得k 1＝0(舍去),k 2＝2316,当k ＝2316时,4k －2＝154,∴P 点的坐标为(154,2316). (3)在R t △PFD 中,∠PFD ＝∠C O B ＝90°,∵l ∥y 轴,∴∠PDF ＝∠O CB ,∴R t △PFD ∽R t △B O C ,∴2PFD=S PDS BC△△BOC,∴S △PFD ＝2PD S BC ⋅△BOC ,由B (4,0)知O B ＝4,又∵O C ＝8,∴BC ＝又S △B O C ＝12OB OC ⋅＝16,∴S △PFD ＝215PD ,∴当PD 最大时,S △PFD 最大.由B (4,0),C (0,8)可解得BC 所在直线的表达式为y ＝－2x +8,设P (m ,－m 2+2m +8),则D (m ,－2m +8),∴PD ＝－(m －2)2+4,当m ＝2时,PD 取得最大值4,∴当PD ＝4时,S △PFD ＝165,为最大值.15.（2019·滨州）如图①，抛物线y ＝－x 2+x +4与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，C ，将直线AB 绕点A 逆时针旋转90°，所得直线与x 轴交于点D ．（1）求直线AD 的函数解析式；（2）如图②，若点P 是直线AD 上方抛物线上的一个动点①当点P 到直线AD 的距离最大时，求点P 的坐标和最大距离；②当点P 到直线AD 的距离为时，求s in ∠P AD 的值．解：（1）当x ＝0时，y ＝4，则点A 的坐标为（0，4）， 当y ＝0时，0＝－x 2+x +4，解得x 1＝－4，x 2＝8， 则点B 的坐标为（－4，0），点C 的坐标为（8，0）， ∴OA ＝OB ＝4，∴∠OBA ＝∠OAB ＝45°． ∵将直线AB 绕点A 逆时针旋转90°得到直线AD ，∴∠BAD＝90°，∴OAD＝45°，∴∠ODA＝45°，∴OA＝OD，∴点D的坐标为（4，0）．设直线AD的函数解析式为y＝kx+b，，得，即直线AD的函数解析式为y＝－x+4（2）作PN⊥x轴交直线AD于点N，如右图①所示，设点P的坐标为（t，－t2+t+4），则点N的坐标为（t，－t+4），∴PN＝（－t2+t+4）－（－t+4）＝－t2+t∴PN⊥x轴，∴PN∥y轴，∴∠OAD＝∠PNH＝45°．作PH⊥AD于点H，则∠PHN＝90°，∴PH＝＝（－t2+t）＝t＝－（t－6）2+，∴当t＝6时，PH取得最大值，此时点P的坐标为（6，）即当点P到直线AD的距离最大时，点P的坐标是（6，），最大距离是②当点P到直线AD的距离为时，如右图②所示，则t＝，解得t1＝2，t2＝10，则P1的坐标为（2，），P2的坐标为（10，－）．当P1的坐标为（2，），则P1A＝＝，∴s in∠P1AD＝＝当P2的坐标为（10，－），则P2A＝＝，∴s in∠P2AD＝＝；由上可得，s in∠P AD的值是或。
2023中考数学复习：几何最值问题
接FR,BR,RT,ET,AT,
∵A,E关于ON对称,∴AC=EC,同理BD=FD,FR=BR,AT=ET,
∴AC+CD+DB=EC+CD+FD=EF,AT+TR+BR=ET+TR+FR.
∵ET+TR+FR>EF,
∴AC+CD+DB<AT+TR+BR,
的压轴题,发展了学生的几何直观和推理能力的核心素养.
专题四 几何最值问题
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方法点拨
此类问题的解答,关键是要掌握每种模型的特征、辅助线的作法及解
题原理,能在实际问题中发现模型、建构模型,并依据模型解答问题,解
决实际问题.
专题四 几何最值问题
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解题技巧
主要是利用重要的基本事实或者定理,如两点之间线段最短、三角形
动点,设AP=x,PB+PE=y,当点P从A向点C运动时,y与x的函数关系如图
②所示,其中点M是函数图象的最低点,则点M的坐标是( )
A.(4 2,3 5)
B.(2 2,3 5)
C.(3 5,2 2)
D.(3 5,4 2)
例题 4
4
5
6
专题四 几何最值问题— 两点之间线段最短问题
模型二
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两定一动（“胡不归”问题）
模 型 解 读
“胡不归”问题即点P在直线BM上运动的“PA+k•PB(0<k<1)”型
最值问题.如图①,已知sin∠MBN=k,点P为∠MBN其中一边BM上
的一个动点,点A在射线BM,BN的同侧,连接AP,则当“PA+k•PB”的
2024年中考 数学总复习 题型训练四 几何最值问题
题型四几何最值问题类型一利用“垂线段最短”解决最值问题1. 如图，在△ABC中，AC＝BC＝6，AB＝8，点D在AC边上，连接BD，以AD，BD为邻边作▱ADBE，连接DE，则DE的最小值为________．第1题图2. 如图，在△ABC中，AC＝BC＝6，S△ABC＝12，点D为AB的中点，点M，N分别是CD 和BC上的动点，则BM＋MN的最小值是________．第2题图3. 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，点P是BD上一动点，点E 是BC上一动点，若AC＝6，BD＝63，则PC＋PE的最小值为________．第3题图4. 如图，在△OAB中，已知∠AOB＝35°，点P是边AB上一点，点M，N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，连接PO，PM，MN，若∠BOP＝10°，OP＝6，则PM＋MN的最小值为________．第4题图类型二 利用“两点之间线段最短”解决最值问题1. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，点P 是矩形ABCD 内一点，记a ＝S △APB ＋S △CPD ，b ＝P A ＋PB ＋PC ＋PD ，则a ＋b 的最小值为________．第1题图2. 如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝1，AD ＝2，M ，N 分别为BC ，CD 边上的动点，则△AMN 周长的最小值为________．第2题图3. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，BC ＝43 ，点D 为边BC 上的动点，点E 为边AB 的中点，连接DE ，DA ，则线段DE ＋DA 的最小值为________．第3题图4. 如图，在等腰Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝22 ，∠A ＝90°，点P 是△ABC 内部一点，且满足S △BCP ＝12S △ABC ，则PB ＋PC 的最小值为________．第4题图5. 如图，二次函数y ＝－23 x 2－43x ＋2的图象与x 轴分别交于A ，B 两点(点A 在点B 左侧)，与y 轴交于点C ，点P 是其对称轴上一点，连接PB ，PC ，BC ，则△PBC 的周长最小为________．第5题图类型三 利用“二次函数性质”解决最值问题（2021.9）1. 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a ，b ，c, 记p ＝a ＋b ＋c 2，则其面积S ＝p （p －a ）（p －b ）（p －c ） .这个公式也被称为海伦－秦九韶公式．若p ＝5，c ＝4，则此三角形面积的最大值为( )A. 5B. 4C. 25D. 52. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，P 是BC 上的任意一点(P 与B ，C 不重合)，过点P 作AP ⊥PE ，垂足为P ，PE 交CD 于点E ，连接AE ，在点P 的运动过程中，线段CE 的最大值为________．第2题图3. 如图，在等腰△ABC 中，AC ＝BC ＝4，∠C ＝120°，点P 是AC 上一动点，PD ∥AB ，交BC 于点D ，连接AD ，则点P 在运动过程中，△APD 的面积的最大值为________．第3题图4. 如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点E，F分别为边AB，CD上的动点，且AE＝CF，将线段EF绕点F逆时针旋转90°得到线段FG，连接DG.(1)当点E为AB的中点时，线段DG的长是________；(2)当点E在边AB上运动时，线段DG的最小值是________．第4题图类型四利用“辅助圆”解决最值问题（8年3考：2021.10、17，2020.17）1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝25，E是边CD上一点，将△ADE沿直线AE 折叠得到△AFE，BF的延长线交边CD于点G，则DG长的最大值为________．第1题图2. 如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC边上的动点(不与正方形的顶点重合)，且AE＝BF，CE，DF交于点M，连接BM，若AB＝2，则BM的最小值为________．第2题图3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，E，F分别是AC，BC边上的动点，且EF＝AC，P是EF的中点，连接AP，BP，则△APB面积的最小值为________．第3题图4. 如图，已知△ABC为等边三角形，AB＝6，将边AB绕点A顺时针旋转a(0°＜a＜120°)，得到线段AD，连接CD，点E为CD上一点，且DE＝2CE.连接BE，则BE的最小值为________．第4题图5. 如图，在△ABC中，∠C＝45°，∠B＝60°，BC＝3＋1，P为边AB上一动点，过点P 作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，连接DE，则DE的最小值为________．第5题图题型四 几何最值问题类型一 利用“垂线段最短”解决最值问题 1. 853【解析】如解图，设DE 与AB 交于点O ，∵四边形ADBE 是平行四边形，∴OB ＝OA ，DE ＝2OD ，∴当OD ⊥AC 时，DO 的值最小，即DE 的值最小，过点B 作BH ⊥AC 于点H ，则∠BHD ＝∠EDH ＝90°，易知AD ∥BE ，即AC ∥BE ，∴∠EBH ＝90°，∴四边形BHDE 是矩形，∴DE ＝BH ，∵AC ＝BC ＝6，AB ＝8，∴设CH ＝x ，则AH ＝6－x ，∵BA 2－AH 2＝BH 2＝BC 2－CH 2，即82－(6－x )2＝62－x 2，解得x ＝23 ，∴CH ＝23，∴DE ＝BH ＝BC 2－CH 2 ＝853 .∴DE 的最小值为853.第1题解图2. 4 【解析】如解图，作点N 关于DC 的对称点N ′.∵AC ＝BC ，点D 为AB 的中点，∴点N ′在AC 上，连接MN ′，BN ′，∴BM ＋MN ＝BM ＋MN ′≥BN ′，∴当B ，M ，N ′三点共线，且BN ′⊥AC 时，BM ＋MN 取得最小值．∵AC ＝6，S △ABC ＝12，∴△ABC 中AC 边上的高为4，∴BM ＋MN 的最小值是4.第2题解图3. 33 【解析】如解图，作点E 关于BD 的对称点E ′，连接PE ′，∵四边形ABCD 是菱形，∴BA 与BC 关于BD 对称，∴点E ′位于BA 上，由对称的性质可知，PE ＝PE ′，∴当C ，P ，E ′三点重合，且CE ′⊥BA 时，PC ＋PE 的值最小，即为CE ′的长，∵四边形ABCD 是菱形，∴AO ＝CO ＝12 AC ＝3，BO ＝DO ＝12BD ＝33 ，AC ⊥BD ，AB ＝BC ，∴在Rt △BOC 中，BC ＝BO 2＋CO 2 ＝6，tan ∠BCO ＝BO CO＝3 ，∴∠BCO ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴CE ′＝BC ·sin 60°＝33 ，∴PC ＋PE 的最小值为33 .第3题解图 4. 33 【解析】如解图，作点P 关于OA 的对称点P ′，连接OP ′，过点P ′作OB 的垂线交OA 于点M ，交OB 于点N ，此时PM ＋MN 的值最小，最小值为线段P ′N 的长．∵∠AOB ＝35°，∠BOP ＝10°，点P ′与点P 关于OA 对称，∴∠POA ＝∠P ′OA ＝25°，∴∠BOP ′＝60°，OP ′＝OP ＝6，在Rt △P ′ON 中，P ′N ＝OP ′·sin 60°＝6×32＝33 ，∴PM ＋MN 的最小值为33 .第4题解图类型二 利用“两点之间线段最短”解决最值问题1. 44 【解析】如解图，过点P 作EF ⊥AB ，分别交AB ，CD 于点E ，F ，连接AC ，BD ，则EF ＝AD ＝8，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝90°，AB ＝CD ＝6，AD ＝BC ＝8，∴AC＝AB 2＋BC 2 ＝62＋82 ＝10，∴BD ＝AC ＝10，∵S △APB ＋S △CPD ＝12 AB ·PE ＋12 CD ·PF ＝12AB ·EF ＝12×6×8＝24，P A ＋PC ≥AC ，PB ＋PD ≥BD ，∴当A ，P ，C 三点共线，B ，P ，D 三点也共线时，P A ＋PB ＋PC ＋PD 有最小值，最小值为AC ＋BD ＝20，∴a ＋b 的最小值为24＋20＝44.第1题解图2. 27 【解析】如解图，分别作A 关于BC 和CD 的对称点A ′，A ″，连接A ′A ″，交BC 于点M ，交CD 于点N ，则A ′A ″即为△AMN 的周长最小值，作A ′H ⊥DA 交DA 的延长线于点H ，∴AA ′＝2AB ＝2，AA ″＝2AD ＝4，∵∠BAD ＝120°，∴∠HAA ′＝60°，∴在Rt △A ′HA 中，AH ＝12 AA ′＝1，∴A ′H ＝22－12 ＝3 ，A ″H ＝AH ＋AA ″＝1＋4＝5，∴A ′A ″＝A ′H 2＋A ″H 2 ＝27 ，∴△AMN 的周长最小值为27 .第2题解图3. 43 【解析】如解图，作点E 关于BC 的对称点E ′，连接EE ′，交BC 于点F ，连接DE ′，AE ′，过点E ′作E ′G ⊥AC 交AC 的延长线于点G ，则DE ＝DE ′，EF ＝E ′F ，DE ＋DA ＝DE ′＋DA ≥AE ′，∴当A ，D ，E ′在同一直线上时，DE ＋DA 的值最小，最小值为AE ′的长，∵∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，BC ＝43 ，∴AC ＝33 BC ＝33×43 ＝4，∵点E 为边AB 的中点，∴EF 为△ABC 的中位线，∴EF ＝12 AC ＝2，CF ＝12BC ＝23 ，∴E ′F ＝EF ＝2＝CG ，E ′G ＝CF ＝23 ，∴AG ＝AC ＋CG ＝4＋2＝6，∴AE ′＝E ′G 2＋AG 2 ＝（23）2＋62 ＝43 ，∴DE ＋DA 的最小值为43 .第3题解图4. 25 【解析】如解图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，∵AB ＝AC ＝22 ，∠BAC ＝90°，∴AD ＝2，BC ＝4，∵S △BCP ＝12S △ABC ，∴点P 到BC 的距离为1，即点P 在AD 的垂直平分线l 上运动，作点B 关于直线l 的对称点B ′，连接B ′C 交直线l 于点P ′，连接BP ′，B ′P ，则BB ′⊥BC ，BP ′＝B ′P ′，BP ＝B ′P ，∴BP ＋PC ＝B ′P ＋PC ≥B ′C ，当B ′，P ，C 三点共线，即点P 与点P ′重合时，BP ＋PC 的值最小，为B ′C 的长．在Rt △B ′BC 中，BB ′＝2，BC ＝4，∴B ′C ＝BB ′2＋BC 2 ＝25 ，∴PB ＋PC 的最小值为25 .第4题解图5. 13 ＋5 【解析】如解图，连接AC ，AP ，令y ＝0，得x ＝－3或1，∴点A (－3，0)，点B (1，0)，∴抛物线的对称轴是直线x ＝－1，OA ＝3，OB ＝1，令x ＝0，得y ＝2，∴点C (0，2)，∴OC ＝2，∴BC ＝OB 2＋OC 2 ＝5 ，AC ＝OA 2＋OC 2 ＝13 ，∵△PBC 的周长为PB ＋PC ＋BC ，BC 为定值，∴要使△PBC 的周长最小，则PB ＋PC 最小即可，∵点A 与点B 关于对称轴对称，∴P A ＝PB ，∴PB ＋PC ＝P A ＋PC ≥AC ，∴PB ＋PC 的最小值为AC 的长，∴△PBC 的周长最小值＝AC ＋BC ＝13 ＋5 .第5题解图类型三 利用“二次函数性质”解决最值问题1. C 【解析】∵p ＝5，c ＝4，∴S ＝5（5－a ）（5－b ）（5－4） ＝5（5－a ）（5－b ） ，∵p ＝a ＋b ＋c 2 ，∴a ＋b ＝2p －c ＝6，∴b ＝6－a ，∴S ＝5（5－a ）[5－（6－a ）] ＝5（5－a ）（a －1） ＝－5（a －3）2＋20 ，∵－5＜0，∴当a ＝3时，S 有最大值为20 ＝25 .2. 98【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠C ＝90°，∵AP ⊥PE ，∴∠APB ＋∠CPE ＝∠CPE ＋∠PEC ＝90°，∴∠APB ＝∠PEC ，∴△ABP ∽△PCE ，∴AB PC ＝BP CE，设BP ＝x ，CE ＝y ，则PC ＝3－x ，即23－x ＝x y，∴y ＝－12 x 2＋32 x ＝－12 (x －32 )2＋98 ，∵－12 ＜0，∴当x ＝32 时，y 有最大值，最大值是98 ，∴线段CE 的最大值为98 . 3. 3 【解析】如解图，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，过点P 作PF ⊥AB 于点F ，设AP ＝x ，则CP ＝4－x ，∵AC ＝BC ，∠C ＝120°，∴∠BAC ＝∠B ＝30°，AE ＝BE ，∴CE ＝12AC ＝2，PF ＝12 AP ＝12x ，在Rt △AEC 中，由勾股定理得AE ＝42－22 ＝23 ，∴AB ＝2AE ＝43 ，∵PD ∥AB ，∴△PCD ∽△ACB ，∴PC AC ＝PD AB ，∴4－x 4 ＝PD 43，解得PD ＝3 (4－x )，∴S △APD ＝12 PD ·PF ＝12 ×3 (4－x )×12 x ＝－34 (x －2)2＋3 ，∵－34<0，∴当x ＝2时，S △APD 有最大值，最大值为3 .第3题解图4. (1)1 【解析】∵点E 为AB 的中点，AE ＝CF ，∴点F 为CD 的中点，∴EF ＝FG ＝4，此时F ，D ，G 三点共线，∴DG ＝FG －FD ＝1； (2)255 【解析】如解图，过点F 作FH ⊥AB 于点H ，过点G 作IG ⊥CD 于点I ，则∠EHF ＝∠GIF ＝90°，由题意可知∠EFG ＝90°，EF ＝GF ，∴∠EFH ＋∠EFI ＝∠EFI ＋∠GFI ＝90°，∴∠EFH ＝∠GFI ，∴△EFH ≌△GFI (AAS)，∴EH ＝GI ，设AE ＝a ，①当0＜a ＜3时，如解图①，GI ＝EH ＝6－2a ，ID ＝FD －FI ＝FD －FH ＝6－a －4＝2－a ，∴DG 2＝ID 2＋IG 2＝(2－a )2＋(6－2a )2＝5a 2－28a ＋40＝5(a －145 )2＋45 ，∵5＞0，∴当a ＝145 时，DG 2取最小值45，∴DG ＝255；②当3≤a ＜6时，如解图②，GI ＝EH ＝2a －6，ID ＝FI －FD ＝FH －AE ＋EH ＝4－a ＋2a －6＝a －2，∴DG 2＝ID 2＋IG 2＝(a －2)2＋(2a －6)2＝5a 2－28a ＋40＝5(a －145)2＋45 ，∵5＞0，3≤a ＜6，∴当a ＝3时，DG 2取最小值1，∴DG ＝1，∵1＞255，∴DG 的最小值为255.第4题解图类型四 利用“辅助圆”解决最值问题1. 2 【解析】如解图，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，过点B 作弧的切线交CD 于点G ，切点为F ，此时点E 和点G 重合，DG 的最大值即为DE 的长，∵四边形ABCD 是矩形，∴BC ＝AD ＝25 ，AB ＝CD ＝6，由折叠的性质可知，DE ＝EF ，AF ＝AD ＝25 ，设DE ＝EF ＝x ，则CE ＝CD －DE ＝6－x ，在Rt △ABF 中，由勾股定理得BF ＝AB 2－AF 2 ＝4，则BE ＝BF ＋EF ＝4＋x ，在Rt △BEC 中，由勾股定理得BE 2＝CE 2＋BC 2，即(4＋x )2＝(6－x )2＋(25 )2 ，解得x ＝2，即DG 的最大值为2.第1题解图 2. 5 －1 【解析】如解图，取CD 的中点O ，连接BO ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∠EBC ＝∠FCD ＝90°，∵AE ＝BF ，∴AE ＋BE ＝BF ＋CF ，∴BE ＝CF ，∴△EBC ≌△FCD (SAS)，∴∠BCE ＝∠CDF ，∵∠BCE ＋∠DCE ＝∠BCD ＝90°，∴∠CDF ＋∠ECD ＝90°，∴∠CMD ＝90°，当点E ，F 分别在AB 和BC 上移动时，点M 在以CD 的中点O 为圆心，OC 长为半径的半圆上运动，要使BM 取得最小值，则需点B ，M ，O 在同一条直线上．∵AB ＝2，∴CO ＝1，∴BO ＝5 ，∴此时BM ＝5 －1，即BM 的最小值为5 －1.第2题解图3. 9 【解析】如解图，过点P 作PH ⊥AB 于点H ，则S △ABP ＝12AB ·PH ＝5PH ，∴当PH 最小时，△ABP 的面积最小．∵∠ACB ＝90°，AB ＝10，BC ＝8，∴AC ＝AB 2－BC 2 ＝6.∴EF＝AC ＝6.连接CP ，则CP ＝12EF ＝3.∴点P 在以点C 为圆心，3为半径的圆弧上，过点C 作CH ′⊥AB 于点H ′，交⊙C 于点P ′，∵P ′H ′＝CH ′－CP ′＝CH ′－CP ≤CP ＋PH －CP ＝PH ，∴当点P 与点P ′重合，点H 与点H ′重合时，PH 最小，最小值为P ′H ′的长．∵S △ABC ＝12AC ·BC ＝12 AB ·CH ′，∴CH ′＝AC ·BC AB ＝245 ，∴P ′H ′＝CH ′－CP ′＝245 －3＝95 ，∴PH 的最小值是95 ，此时S △ABP ＝5PH ＝9，即△ABP 面积的最小值为9.第3题解图4. 27 －2 【解析】如解图，过点E 作EH ∥AD ，交AC 于点H ，∵△ABC 为等边三角形，∴AB ＝AC ＝6，由旋转的性质得AD ＝AB ，∴AD ＝AC ，∴∠D ＝∠ACD ，∵DE ＝2CE ，∴CE CD ＝CH CA ＝13 ，∠CEH ＝∠D ＝∠ACD ，∴CH ＝EH ，∵AC ＝6，∴CH ＝EH ＝2，取AH 的中点P ，连接EP ，则PH ＝EH ，∴∠EPH ＝∠PEH ，∵∠EPH ＋∠CEP ＋∠ACD ＝180°，∴2∠PEH ＋2∠CEH ＝180°，∴∠CEP ＝90°，∴点E 在以点H 为圆心，CP 为直径的圆弧上运动，连接BH ，∵EH 为定值2，∴当B ，E ，H 三点共线时，BE 的长最小，过点B 作BQ ⊥AC 于点Q ，则CQ ＝12AC ＝3，∴QH ＝CQ －CH ＝1，BQ ＝BC 2－CQ 2 ＝62－32 ＝33 ，∴BH ＝BQ 2＋QH 2 ＝（33）2＋12 ＝27 ，∴BE 的最小值为27 －2.第4题解图5. 32＋64【解析】如解图，连接CP ，∵∠PDC ＝∠PEC ＝90°，∴∠PDC ＋∠PEC ＝180°，∴C ，D ，P ，E 四点共圆，圆心为点O ，且直径为CP ，∵BC ＝3 ＋1，∠ACB ＝45°，∠B ＝60°是定值，∴直径CP 最小时，∠DCE 所对的弦DE 最小，即CP ⊥AB 时，DE 的值最小，连接OD ，OE ，∵∠B ＝60°，CP ⊥AB ，BC ＝3 ＋1，∴∠BCP ＝30°，∴BP ＝12BC ＝3＋12 ，CP ＝3 BP ＝3＋32 ，∴OD ＝OE ＝12 CP ＝3＋34，∵∠ACB ＝45°，∴∠DOE ＝2∠ACB ＝90°，∴△ODE 是等腰直角三角形，∴DE ＝2 OD ＝32＋64，即DE 的最小值为32＋64.第5题解图。
中考数学专题讲练03 几何最值类问题综合(原卷版)
培优冲刺03 几何最值类问题综合本考点是中考五星高频考点，难度中等偏上，在全国很多地市的中考试卷中多有考查。
（2022年柳州中考试卷第18题）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值为．【分析】连接DG，将DG绕点D逆时针旋转90°得DM，连接MG，CM，MF，作MH ⊥CD于H，利用SAS证明△EDG≌△DFM，得MF＝EG＝2，再说明△DGC≌△DMH （AAS），得CG＝DH＝2，MH＝CD＝4，求出CM的长，再利用三角形三边关系可得答案．【解答】解：方法一：连接DG，将DG绕点D逆时针旋转90°得DM，连接MG，CM，MF，作MH⊥CD于H，∵∠EDF＝∠GDM，∴∠EDG＝∠FDM，∵DE＝DF，DG＝DM，∴△EDG≌△MDF（SAS），∴MF＝EG＝2，∵∠GDC＝∠DMH，∠DCG＝∠DHM，DG＝DM，∴△DGC≌△MDH（AAS），∴CG＝DH＝2，MH＝CD＝4，∴CM＝＝2，∵CF≥CM﹣MF，∴CF的最小值为2﹣2，方法二：连接AG、AE，由方法一同理得，AE＝CF，AG＝2，∵AE≥AG﹣EG＝2﹣2，∴AE的最小值为2﹣2，∴CF的最小值为2﹣2，故答案为：2﹣2．点评：本题主要考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形三边关系等知识，做辅助线构造全等三角形是解题的关键。
初中数学中，几何最值问题属于难度较大的一类题，问题环境可以是三角形、四边形、圆或者反比例函数、二次函数。
而常用到的最值原理则有：两点之间线段最短（三点共线）、点到直线的距离垂线段最短、圆和圆外定点的最值原理等。
这类题的原理虽然较为固定，但对学生的逻辑思维能力要求较高，综合型较强。
本考点是中考五星高频考点，难度较大，个别还会以压轴题出现，在全国多地市的中考试卷中多有考查。
初三数学培优竞赛精讲精练-第22讲 几何最值
例2第22讲 几何最值知识纵横几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积等）的最大值或最小值。
求几何最值问题的基本方式有：1.特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，在进行一般情况下的推证。
2.几何定理（公理）法：应用几何中的不变量性质、定理.3.数行结合法：揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等。
例题求解【例1】 如图，在锐角ABC ∆中，24=AB ，45=∠BAC ，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，点M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BN BM +的最小值 。
（陕西省中考题）思路点拨 画折线为直线，综合运用轴对称、垂线段最短等知识。
【例2】 如图，在ABC ∆中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C 且与AB 相切的动圆与CB 、CA 分别相交于点E 、F ，则线段EF 的最小值（ ）。
A.24 B.4.75 C.5 D4.8（兰州市中考题） 思路点拨 设O 与AB 相切与T ，连OC 、OT,EF 为O 直径，则EF=OE+OF=OC+OT,将问题转化为求OC+OT 的最小值。
【例3】 如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，点P 是BC 边上不与点B 、C 重合的任意一点，连接AP ，过点P 作PQ ⊥AP 交DC 于点Q ，设BP 的长为x cm ，CQ 的长为y cm.(1) 求点P 在BC 上运动的过程中y 的最大值；例1(2) 当41=y cm 时，求x 的值. （河南省中考题）思路点拨 利用相似形建立y 与x 的函数关系式，由此导出y 的最大值【例4】 如图，已知平行四边形ABCD ，AB=a ，BC=b （a>b ）,P 为AB 边上的一动点，直线DP 交CB 的延长线于Q ，求AP=BQ 的最小值. （永州市竞赛题） 思路点拨设AP=x ，把AP 、BQ 分别用x 的代数式表示，运用不等式ab b a 222≥+或ab b a 2≥+（当且仅当a=b 时取等号）来求最小值.【例5】 如图，在四边形ABCD 中，AD=DC=1，∠DAB=∠DCB=90，BC 、AD 的延长线交于P ，求AB ·S △PAB 的最小值.图形折叠【例6】 在等腰ABC ∆中，AB =AC =5，BC =6.动点M 、N 分别在两腰AB 、AC 上（M 不与A 、B 重合，N 不与A 、C 重合），且MN//BC ，将△AMN 沿MN 所在的直线折叠，使点A 的对应点为P.（1）当MN 为何值时，点P 恰好落在BC 上？ （2）设x MN =，MNP ∆与等腰ABC ∆重叠部分的面积为y ，试写出y 与x 的函数关系式.当x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？.（2011年宁夏中考题）例3例4例5第1题学力训练基础夯实1．如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长为6和8，点P 是对角线AC 上的一个动点，点M 、N 分别是边AB 、BC 的中点，则PM+PN 的最小值是_______。
2024年中考数学最值和路径专题练习--逆等线模型(无答案)
逆等线模型一、模型介绍(一) 基本模型(二) 结论推导结论：BE+CD 的最小值为线段BF 的长.证明: ∵将△ADC 拼接到△CEF, ∴△ADC ≌△CEF,∴CD=EF, ∴BE+CD=BE+EF≥BF∴BE+CD 的最小值为线段BF 的长.(三) 满分策略遇到两条首尾不相连的相等线段，要求另外两条线段和的最小值，可以在等线段处构造全等三角形，将要求的两条线段拼接到一起，使条件集中，为了便于计算，应该使拼接后的角为特殊角. 如果线段和带系数，则需要在其中一条线段处构造相似，将系数化为相似比，通过三角形相似、勾股定理以及两点之间线段最短求出带系数的线段和最小值.二、典型例题例1 如图, 正方形 ABCD 的边长为4, 点E, F 分别是边BC, CD 上的动点, 且BE=CF, 连接BF, DE,则 BF+DE 的最小值为.考点分析：正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理.思路点拨: 将△CDE 拼接到△DGF,则△CDE ≌△DGF, DG=CD, DE=GF, 所以, BF+DE=BF+GF≥BG ，用勾股定理求出线段BG 的长，即为BF+DE 的最小值.例2 如图,在△ABC 中, AB=AC=4,∠BAC=120°, 点D, E 分别是边AB,BC 上的动点,且AD=BE,连接AE, CD, 当AE+CD 的值最小时, ∠AEB 的度数为 ( ).A. 90°B. 120°C. 135°D. 150°考点分析：等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和.思路点拨: 将△ADC 拼接到△BEF,则△ADC ≌△BEF, CD=EF,所以, AE+CD=AE+EF≥AF,当A, G, F 三点共线时, AE+CD的已知: 在△ABC 中, D,E 分别是AB, AC 上的动点,且AD=CE, 求BE+CD 的最小值. 将△ADC 拼接到△CEF, 连接BF.结论: BE+CD 的最小值为线段BF 的长.值最小,此时△ABF 是等腰三角形, AB=BF,∠ABF=150°,可得∠AEB=135°.例3 如图,在矩形ABCD中, AB=5, AD=6, 点E, F分别为边BC, CD 上的动点, 且BE=2DF, 连接AF, DE, 则2AF+DE的最小值为 .考点分析：矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理.思路点拨: 延长AB到点G,使BG=2AD,证△BGE∽△DAF,可得GE=2AF,则2AF+DE=GE+DE=DG，用勾股定理求出线段DG的长，即为2AF+DE的最小值.三、提分必练(一) 基础1. 如图, 在边长为2的正方形 ABCD 中,点E, F分别是对角线AC和边AD上的动点,且AF=CE,连接BE, CF, 则BE+CF的最小值为 .2. 如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°, BC=2, 点D为BC边上一动点, 将线段BD绕点 B 逆时针旋转90°到BE, 连接AD,CE, 则AD+CE的最小值为 .3.如图, 在△ABC中, AB=AC=2,∠BAC=90∘,,点 M, N分别是边 BC, AC上的动点,且AN=CM, 连接AM, BN, 当AM+BN的值最小时, CM的长为 .4. 如图, 在 Rt△ABC中,∠A=90°, AB=3, AC=4, 点D, E分别是边AC, AB 上的动点, 且AD=BE,连接BD, CE, 则BD+CE的最小值为 .(二) 提升1. 如图,矩形ABCD 中,AB=2,∠ABD=60°, 点E, F分别是对角线BD 和边 CD 上的动点, 且BE=DF, 连接AE, AF, 则AE+AF的最小值是 .2. 如图, 在 Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=30°, AC=2,点D为AB的中点, 点E, F分别为边 AC,BC上的动点, 且AE=CF, 连接DE, AF, 则 DE+AF的最小值为 .3. 如图, 在等边△ABC中,点D为BC边上一动点,点E为△ABC内一点，满足DE‖AB,且DE=BD,连接BE, CE, 点F为AB边上一点, AF=BE, 当( CE+CF的值最小时，∠ECF的度数为 .4.如图,在△ABC中,∠BAC=50°, AB=AC, BD⊥AC于点D,点M,N分别是线段BD, BC上的动点,且BM=CN,当AM+AN的值最小时, ∠AMD 的度数为 .5. 如图,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°, ∠ABC=30°, 点 D, E 分别是线段AB和 BA 延长线上的动点,且BD=AE, 连接CD, C的值为 .E, 当CD+CE的值最小时, BDAD(x+3)(x−a)与x轴交于A,B(4,0)两点,点C在y轴上，且OC=OB，点D 6.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=14是线段AC上的动点(不与端点重合).(1) 求抛物线的解析式；(2) 将△BCD沿x轴翻折得到△BFG,当点G落在抛物线上时, 求点 G 的坐标;(3)如图2,点E 是线段AB上的动点, 且CD=AE,连接BD, CE, 求 BD+CE的最小值.。
中考数学总复习《几何图形的最值问题》专题训练(附带答案)
中考数学总复习《几何图形的最值问题》专题训练(附带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一 单选题1．如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为6 腰AC 的垂直平分线EF 分别交边AC AB 于点E F 若D 为BC 边的中点 M 为线段EF 上一动点 若三角形CDM 的周长的最小值为13 则等腰三角形ABC 的面积为（ ）A ．78B ．39C ．42D ．302．如图，在Rt ABC 和Rt ADE 中，90BAC DAE ∠=∠=︒ 3AC AD == AB =AE =5．连接BD CE 将△ADE 绕点A 旋转一周 在旋转的过程中当DBA ∠最大时 △ACE 的面积为（ ）．A ．6B ．62C ．9D ．92 3．如图，凸四边形ABCD 中，90,90,60,3,3A C D AD AB ∠=︒∠=︒∠=︒== 若点M N 分别为边,CD AD 上的动点 则BMN 的周长最小值为（ ）A ．26B ．36C ．6D ．34．如图，△ACB 中，CA ＝CB ＝4 △ACB ＝90° 点P 为CA 上的动点 连BP 过点A 作AM △BP 于M ．当点P 从点C 运动到点A 时 线段BM 的中点N 运动的路径长为（ ）5．如图，四边形ABCD 是菱形 AB=4 且△ABC=△ABE=60° G 为对角线BD （不含B 点）上任意一点 将△ABG 绕点B 逆时针旋转60°得到△EBF 当AG+BG+CG6．如图，在Rt ABC ∆中，90︒∠=C 4AC = 3BC = 点O 是AB 的三等分点 半圆O 与AC 相切 M N 分别是BC 与半圆弧上的动点 则MN 的最小值和最大值之和是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．87．如图，菱形ABCD 的边AB =8 △B =60° P 是AB 上一点 BP =3 Q 是CD 边上一动点 将梯形APQD 沿直线PQ 折叠 A 的对应点A ′．当CA ′的长度最小时 CQ13为PC 的中点.当点P 沿半圆从点A 运动至点B 时 点M 运动的路径长是（ ）A ．224π+B ．2πC ．422+D ．4π二 填空题9．如图，点P 是AOB ∠内任意一点 3cm OP = 点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点 30AOB ∠=︒ 则PMN 周长的最小值是 ．10．△ABC 中，AB ＝AC ＝5 BC ＝6 D 是BC 的中点 E 为AB 上一动点 点B 关于DE 的对称点B '在△ABC 内（不含△ABC 的边上） 则BE 长的范围为 ．11．如图，等边三角形ABC 的边BC 上的高为6 AD 是BC 边上的中线 M 是线段AD 上的-一个动点 E 是AC 中点 则EM CM +的最小值为 ．12．如图，正△ABC 的边长为2 过点B 的直线l △AB 且△ABC 与△A ′BC ′关于直线l 对称 D 为线段BC ′上一动点 则AD +CD 的最小值是 ．13．如图，已知ABC 外心为O 18BC = 60BAC ∠=︒ 分别以AB AC 为腰向形外作等腰直角三角形ABD △与ACE △ 连接BE CD 交于点P 则OP 的最2三解答题17．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A B C在小正方形的顶点上．(1)在图中画出与ABC关于直线l成轴对称的AB C''．+的长最短．(2)在直线l上找一点P使PB PC18．如图，在△ABC中，AB＝AC AD是△ABC底边BC上的中线点P为线段AB 上一点．（1）在AD上找一点E使得PE+EB的值最小；（2）若点P为AB的中点当△BPE满足什么条件时△ABC是等边三角形并说明理由．19．如图，等边ABC的边长为6 AD是BC边上的中线M是AD上的动点E 是AB边上一点若=2AE求EM BM+的最小值．20．如图，等边三角形ABC内接于半径长为2的△O点P在圆弧AB上以2倍速度从B向A运动点Q在圆弧BC上以1倍速度从C向B运动当点P O Q三点处于同一条直线时停止运动．(1)求点Q的运动总长度；(2)若M为弦PB的中点求运动过程中CM的最大值．参考答案： 1．D【分析】连接AD 由于ABC 是等腰三角形 点D 是BC 边的中点 可得AD BC ⊥ 再根据EF 是线段AC 的垂直平分线可知 点C 关于直线EF 的对称点为点A 故AD 的长为CM MD +的最小值 再根据三角形的面积公式即可得出结论．【详解】解：如图：连接AD 交EF 于点MABC 是等腰三角形 点D 是BC 边的中点AD BC ∴⊥ 132CD BC == EF 是线段AC 的垂直平分线∴点C 关于直线EF 的对称点为点A AM CM =∴此时△CDM 的周长最小13CM DM CD AM DM CD AD CD ∴++=++=+=1313310AD CD ∴=-=-=116103022ABC S BC AD ∴=⋅=⨯⨯=△ 故选：D ．【点睛】本题考查的是轴对称−最短路线问题 等腰三角形的性质 三角形的面积 熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．2．A【分析】先分析出D 的轨迹为以A 为圆心AD 的长为半径的圆 当BD 与该圆相切时 △DBA 最大 过C 作CF △AE 于F 由勾股定理及三角函数计算出BD CF 的长 代入面积公式求解即可．【详解】解：由题意知 D 点轨迹为以A 为圆心AD 的长为半径的圆当BD 与D 点的轨迹圆相切时 △DBA 取最大值 此时△BDA =90° 如图所示B B M B M N N B ''''''''''<++B M BM '''= B N BN ''''=BM M N BN B B '''''''∴++>又B B B M MN NB ''''''=++MB MB '= NB NB ''=NB NM BM BM M N BN ''''∴++<++BMN l NB NM BM ∆∴=++时周长最小；连接DB 过点B '作B H DB '''⊥于B D ''的延长线于点H如图示2所示：在Rt ABD 中，3AD = 3AB =∴22223(3)23DB AD AB =+=+=230∴∠=︒530∴∠=︒ DB DB ''=又1260ADC ∠=∠+∠=︒又B DB '''∠660∴∠=︒3HD = Rt △B HB 'B HB '''=5．D【分析】根据“两点之间线段最短” 当G点位于BD与CE的交点处时AG+BG+CG的值最小即等于EC的长．【详解】解：如图△将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF△BE=AB=BC BF=BG EF=AG△△BFG是等边三角形．△BF=BG=FG ．△AG+BG+CG=FE+GF+CG．根据“两点之间线段最短”△当G点位于BD与CE的交点处时AG+BG+CG的值最小即等于EC的长过E点作EF△BC交CB的延长线于F△△EBF=180°-120°=60°△BC=4△BF=2 EF=23在Rt△EFC中△EF2+FC2=EC2△EC=43．△△CBE=120°△△BEF=30°△△EBF=△ABG=30°△EF=BF=FGOP ACO是AB的三等分点210=⨯=5338=3与AC相切于点故选B．【点睛】此题主要考查圆与三角形的性质解题的关键是熟知圆的性质及直角三角形的性质.7．B【详解】作CH△AB于H如图．△菱形ABCD的边AB=8 △B=60°△△ABC为等边三角形AB=43AH=BH=4．△CH=32△PB=3 △HP=1．在Rt△CHP中，CP=22=7．(43)1△梯形APQD沿直线PQ折叠A的对应点A′△点A′在以P点为圆心P A为半径的弧上△当点A′在PC上时CA′的值最小△△APQ=△CPQ而CD△AB△△APQ=△CQP△△CQP=△CPQ△CQ=CP=7．故选B．【点睛】本题考查了菱形的性质．解答本题的关键是确定A′在PC上时CA′的长度最小．8．BPMN的周长最小．CD分别交△点P 关于OA 的对称点为C 关于OB 的对称点为D△PM CM OP OC COA POA ==∠=∠，，；△点P 关于OB 的对称点为D△PN DN OP OD DOB POB ==∠=∠，，△3cm OC OD OP ===22260COD COA POA POB DOB POA POB AOB ∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠=∠=︒△COD △是等边三角形△()3cm CD OC OD ===．△PMN 的周长的最小值3cm PM MN PN CM MN DN CD =++=++≥=．故答案为：3cm ．【点睛】本题主要考查最短路径问题和等边三角形的判定． 作点P 关于OA OB 的对称点C D 是解题的关键所在．10．9552BE << 【分析】首先根据运动特点分析出点B '的运动轨迹在以D 为圆心 BD 为半径的圆弧上 然后分点B '恰好落在AB 边上和点B '恰好落在AC 边上两种情况讨论 分别利用勾股定理以及等腰三角形的性质和判定进行求解和证明即可得出两种临界情况下BE 的长度 从而得出结论．【详解】解：△点B 与B '关于DE 对称△BD B D '= 则点B '的运动轨迹在以D 为圆心 BD 为半径的圆弧上△如图所示 当点B '恰好落在AB 边上时 此时 连接AD 和DE由题意及“三线合一”知 AD BD ⊥ 132BD BC == △在Rt ABD 中，2222534AD AB BD =-=-=此时 根据对称的性质 DE AB ⊥12AB DE AD BD =Rt BDE 中，2295BD DE -=；如图所示 22综上BE长的范围为95 52BE<<故答案为：95 52BE<<．【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定以及勾股定理解直角三角形等能够根据题意准确分析出动点的运动轨迹并构建适当的三角形进行求解是解题关键．11．6【分析】连接BE交AD于M则BE就是EM+CM的最小值通过等腰三角形的“三线合一” 可得BE=AD即可得出结论．【详解】解：连接BE与AD交于点M．△AB=AC AD是BC边上的中线△B C关于AD对称则EM+CM=EM+BM则BE就是EM+CM的最小值．△E是等边△ABC的边AC的中点AD是中线△BE=AD=6△EM+CM的最小值为6故答案为：6．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质—“三线合一” 等边三角形的性质和轴对称等知识的综合应用解题关键是找到M点的位置．12．4【分析】根据等边三角形的性质及轴对称的性质得到△ABC=△A'B C'=60° A'B=AB=BC=2 证明△CBD△△A'BD得到CD=A'D推出当A D A'三点共线时AD+CD最小此时AD+CD=A'B+AB=4．【详解】解：如图，连接A'D．由ABC的外心为的值最小解直角三角形即可得到结论．【详解】解：ABD与BAD CAE=∠=︒90=∠DAC BAEDAC与BAE中BAEBAE SASDAC∴△()ADC ABE∴∠=∠90PDB PBD∴∠+∠=︒90DPB∴∠=︒P∴在以BC为直径的圆上ABC的外心为O60BAC∠=︒120BOC∴∠=︒如图，当PO BC⊥时OP的值最小18BC=9 BH CH∴==12 OH OB=223BH OB OH OH∴=-=33OH∴=9PH=933OP∴=-．则OP的最小值是933-故答案为：933-．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心全等三角形的判定和性质等腰直角三角形的性质正确的作出辅助线是解题的关键．14．25【分析】2P A＋PB＝2（P A＋22PB）利用相似三角形构造22PB即可解答．【详解】解：设△O半径为r15．152【分析】如图，连接BP 在BC 上取一点M 使得BM =32 进而证明BPM BCP △∽△,则在点P 运动的任意时刻 均有PM =12PC 从而将问题转化为求PD -PM 的最大值．连接PD 在△PDM 中，PD -PM ＜DM 故当D M P 共线时 PD -PM =DM 为最大值 勾股定理即可求得DM ．【详解】如图，连接BP 在BC 上取一点M 使得BM =3231232BM BP == 3162BP BC == BM BP BP BC∴= PBM CBP ∠=∠∴BPM BCP △∽△12MP BM PC BP ∴== 12MP PC ∴=12PD PC PD MD ∴-=- 在△PDM 中，PD -PM ＜DM当D M P 共线时 PD -PM =DM 为最大值四边形Rt CDM中，故答案为：15 2【点睛】本题考查了圆的性质的关键．6015-90Rt BDA中，AB由勾股定理得：222BD AB AD =-即：216925144BD =-=△0BD >△=12BD△E 为AD 的中点△1522DE AD == 在Rt BDE 中，=12BD 52DE =由勾股定理得：222BE DE BD =+即：225601+144=44BE = △0BE >△6012BE = 又△DH △AC 且点E 为AD 的中点△52EH = △60156015222BH BE EH -=-=-= 故答案为：60152- 【点睛】本题考查勾股定理解三角形 直径所对的圆周角为直角 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 隐圆问题的处理等相关知识点 能够判断出从动点的运动轨迹是解题的关键．17．(1)见解析(2)见解析【详解】（1）解：如图，△AB C ''即为所求．（2）如图，点P即为所求．【点睛】本题考查作图-轴对称变换轴对称-最短路线问题熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．18．（1）见解析；（2）△BPE=90° 理由见解析【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可知AD垂直平分BC再根据两点间线段最短的性质连接CP交AD于点E并连接BE即可得解；（2）因为P为AB的中点要使△ABC是等边三角形则需BC=AB根据等腰三角形三线合一的性质所以CP△AB即△BPE=90°．【详解】解：（1）如图，连接CP交AB于点E 则点E为所求；（2）△BPE=90° 理由如下：△△BPE=90°△CP△AB△点P为AB的中点△CP垂直平分AB△CA=CB△AB=AC△AB =AC =BC △△ABC 是等边三角形【点睛】本题主要考查等腰三角形三线合一的性质以及对称 两点间线段最短 线段中垂线定理 熟练掌握这些性质定理是解决本题的关键．19．27【分析】连接CE 与AD 交于点M ．则CE 就是BM ME +的最小值 在直角CEF △中，求得CE 的长 即可．【详解】解：连接CE 与AD 交于点M '．△等边ABC 中，AD 是BC 边上的中线△AD 是BC 的中垂线△CE =CM M E ''+=BM ME +的最小值．过点C 作CF AB ⊥△等边ABC 的边长为6 =2AE△==62=4BE AB AE -- 3AF BF == 321EF =-= 226333CF =-= △()2233127CE =+= △BM ME +的最小值为27．【点睛】本题考查了等边三角形的性质 勾股定理 两点间线段最短 连接CE 从而把两线段和的最小值转化为两点间线段最短是本题的关键．20．(1)23π(2)7 1.+【分析】（1）如图，设,COQ 结合题意可得：2BOP 结合正三角形的性质求解60, 再利用弧长公式进行计算即可；（2）解：如图，取作OE BC ⊥于E 三点共线时【详解】（）解：如图，设,COQ 结合题意可得：2BOPABC 为等边三角形360120,3BOC120,BOQ而,,P O Q 三点共线1802,BOQ1201802,解得：=60,Q ∴运动的总长度为：6022=.1803）解：如图，取OB 的中点N 连接NM BC ⊥于EM 为PB11,NM OP2△M在以N为圆心半径为1的圆N上运动△当C N M三点共线时CM最大BOC OB OC120,,OBC30,113NK BN BK,,222同理可得：3,BE=则23,BC=333CK23,2222133NC7,22CM CN NM71,△CM的最大值为：7 1.+【点睛】本题考查的是弧长的计算弧与圆心角的关系圆的基本性质正多边形的性质勾股定理的应用熟练的构造辅助圆再求解线段的最大值是解本题的关键．。
中考数学复习考点知识讲解与练习05 最值问题
中考数学复习考点知识讲解与练习专题05最值问题几何中的最值问题是学生几何学习中的一个难点，而最值问题又是中考的一个常考点，几何中最值问题，它的理论依据是两点之间线段最短和点线之间重线段最短，解决问题的办法直观的讲就是把折的问题转化为直的问题，而在一些比较综合的几何求最值问题中，建立平面直角坐标系来解决问题往往能达到意想不到的效果，通过设系求最值，也为高中学习打下良好的基础，经过本中考数学复习考点知识讲解与练习 专题的巩固与训练，本中考数学复习考点知识讲解与练习 专题内容较丰富，通过巩固训练，对后期一次函数及反比例函数和二次函数来的最值问题的一个预演，对整个中考复习有较好的引领作用。
一、单选题1．（2022·天津初二期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l 是一三象限的角平分线，点P 的坐标为(3,1)，点M 是直线l 上的动点，点N 是x 轴上的动点，则PM MN +的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．52．（2022·广西浦北）已知点()()()23,5,3,2,5,2A B P m ----，若PA PB +最短，则m值是（）A B ．4 C ．4± D ．3．（2022·安徽初三期中）在平面直角坐标系中，点P 的坐标()0,2，点Q 的坐标为391,44()(t t t ---为实数)，当PQ 长取得最小值时，t 的值为（） A ．75- B ．125- C ．3 D ．44．（2022·江阴市云亭中学初二月考）在平面直角坐标系中，已知定点A ，）和动点P （a ，a ），则PA 的最小值为（ ）A ．B ．4C ．D ．5.（2022·河北初三期中）如图，点(2,A ，()1,0N ，60AON ∠=，点M 为平面直角坐标系内一点，且MO MA =，则MN 的最小值为()A ．1B ．32C ．3D ．26．（2022·江苏初二期末）在平面直角坐标系中，点()A -，点()B a ，则当AB 取得最小值时，a 的值为（）A ．B ．3-C ．0D 7.（2022·唐山市第十一中学初一期中）如图，在平面直角坐标系中A （3，0），B （0，4），AB ＝5，P 是线段AB 上的一个动点，则OP 的最小值是（ ）A ．245B ．125C ．4D ．38.（2022·福建初一期末）平面直角坐标系中，点A (-2，-1) ，B (1，3) ，C (x，y) ，若AC∥ x轴，则线段BC 的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．59.（2022·江苏初二期末）在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y=x上的动点，A（1，0），B（3，0）是x轴上的两点，则PA+PB的最小值为（）A．3 B C D．410.（2022·江苏西安交大苏州附中初三）如图，菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，点B的坐标为，点D是AB的中点，点P在OB上，则△ADP的周长最小值为（）A．+B．3C．D．3二、填空题11．（2022·湖北房县·初一期末）平面直角坐标系中，点A（－3，2），B（3，4），C（x，y），若AC//x轴，则线段BC的长度最小时点C的坐标为______________________．12．（2022·陕西陇县·初一期末）在平面直角坐标系中，A （－3，6），M 是x 轴上一动点，当AM 的值最小时，点M 的坐标为_____．13．（2022·福建初一期中）平面直角坐标系中，点A （a ），B （﹣3则线段AB 的最小值为____．14．（2022·辽宁初一期末）平面直角坐标系中，点()()()3,2,3,4,,A B C x y -，若//AC x 轴，则线段BC 的最小值为________________.15的最小值，小明运用了“数形结合”的思想：如图所示，在平面直角坐标系中，取点()01A ，，点()4B ，-2，设点()P x ，0．那么AP =BP =．借助上述信息，可求出最小值为__________．16．（2022·福建泉州七中初二期中）在平面直角坐标系 xOy 中，点O 是坐标原点，点 B 的坐标是(3m, 4m - 4)，则OB 的最小值是____________.17．（2022·湖南湘一芙蓉第二中学初二月考）在如图所示的平面直角坐标系中，点P 是直线y x =上的动点，1,0A ，()3,0B 是x 轴上的两点，则PA PB +的最小值为_________.18．（2022·北京初一期末）A （a ，0），B （3，4）是平面直角坐标系中的两点，线段AB 长度的最小值为_____．19．（2022·全国初三单元测试）菱形ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点()B 2,0，点P 是对角线OC 上一个动点，()E 0,1-，则EP BP +的最小值是________．20．（2022·河北初一月考）如图，在平面直角坐标系中A (3，0)，B (0，4)，AB =5，P 是线段AB 上的一个动点，则OP 的最小值是______．21．（2022·广东初二月考）如图，在平面直角坐标系中，Rt OAB ∆的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为(3，点C 的坐标为()10，，点P 为斜边OB 上的一个动点，则PA PC +的最小值为__________．22．（2022·福建初三）已知等边三角形ABC 是边长为4，两顶点A 、B 分别在平面直角坐标系的x 轴负半轴、y 轴的正半轴上滑动，点C 在第四象限，连接OC ，则线段OC 的长的最小值是_____．23．（2022·四川树德中学初二期末）如图，在平面直角坐标系中，A 1），B （20），点P 为线段OB 上一动点，将△AOP 沿AO 翻折得到△AOC ，将△ABP 沿AB 翻折得到△ABD ，则△ACD 面积的最小值为_____．24．（2022·天津南开翔宇学校初三开学考试）菱形OBCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点()2,0B ，120D ∠=︒，点P 是对角线OC 上一个动点，E(0，，则EP BP +的最小值为_______．25．（2022·江苏南通田家炳中学初一期中）在平面直角坐标系中，点()3,2A -，()3,4B ，(),C x y ，直线l 过点A 且平行于x 轴，点C 是直线l 上的动点，当线段BC 的长度取最小值时，点C 的坐标为__________．26．（2022·江苏初三）在平面直角坐标系中，已知，A （，0），C （0，﹣1），若P 为线段OA 上一动点，则CP +13AP 的最小值为_____． 27．（2022·四川初二月考）在如图所示的平面直角坐标系中，点P 是直线y=x 上的动点，A （2，0），B （6，0）是x 轴上的两点，则PA+PB 的最小值为_____．28．（2022·全国初三单元测试）如图，点A(2，，0), ∠AON=60°,点M 为平面直角坐标系内一点,且MO=MA,则MN 的最小值为_______.三、解答题29．（2022·全国初三中考数学复习考点知识讲解与练习 专题练习）如图，在平面直角坐标系中，()0,2A 、()2,0B -、()2,2C ，点E 、F 分别是直线AB 和x 轴上的动点，求CEF △周长的最小值．30．（2022·全国初三中考数学复习考点知识讲解与练习 专题练习）如图，在平面直角坐标系中，()0,1A 、()2,0B 、()0,2C -，连接BC ，点P 是x 轴上任意一点，连接AP ，求PA PB +的最小值．31．（2015·北京市第六十六中学初二期中）在平面直角坐标系中，P 点坐标为（2，6），Q 点坐标为（2,2），点M 为y 轴上的动点.（1）在平面直角坐标系内画出当△PMQ 的周长取最小值时点M 的位置（保留作图痕迹）；（2）写出点M 的坐标__________________.32．（2022·全国初三中考数学复习考点知识讲解与练习 专题练习）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为()1,3A 、()2,0B -、()2,0C ，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，点E 、F 分别是线段BD 、BC 上的动点，求CE EF +的最小值．33．（2022·全国初三中考数学复习考点知识讲解与练习 专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点B 的坐标为()3,0-，OB OC =，点A 是y 轴正半轴上的点，且60ABC ∠=︒，点M 、N 分别为线段OA 、AB 上的动点，求BM MN +的最小值．。
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初三数学几何最值及路径长一、知识点睛1.解决几何最值问题的通常思路①分析定点、动点，寻找不变特征；②若属于常见模型、结构，调用模型、结构解决问题；若不属于常见模型，结合所求目标，依据不变特征转化，借助基本定理解决问题．转化原则：尽量减少变量，向定点、定线段、定图形靠拢．理论依据：两点之间，线段最短（已知两个定点）垂线段最短（已知一个定点、一条定直线）三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定）过圆内一点，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦常用模型、结构示例：①奶站模型ll求P A+PB的最小值，求|P A-PB|的最大值，使点在线异侧使点在线同侧②天桥模型l固定长度线段MN在直线l上滑动，求AM+MN+BN的最小值，需平移BN（或AM），转化为奶站模型解决③折叠求最值结构AMA'NB C求BA′的最小值，转化为求BA′+A′N+NC的最小值（利用A′N+NC为定值）2.解决路径长问题的思路①分析定点、动点，寻找不变特征；②猜测、验证，确定运动路径；猜测常通过“起点、终点、特殊点”，结合不变特征验证．③设计方案，求出路径长．二、精讲精练1.如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为(3，点C的坐标为(12，0)，点P为斜边OB上一动点，则PA+PC的最小值为____．QPEDCBA第1题图第2题图2.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E为CD边的中点．若P，Q为BC边上的两动点，且PQ=2，则当BP=_______时，四边形APQE的周长最小．3.如图，在三角形纸片ABC中，已知∠ABC=90°，AC=5，BC=4．过点A作直线l平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线l上的点P处，折痕为MN．当点P在直线l上移动时，折痕的端点M，N也随之移动，若限定端点M，N分别在AB，BC边上（包括端点）移动，则线段AP长度的最大值与最小值之差为__________．lPCNBMA第3题图第4题图4.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=4，M，N两点分别是边AB，AC上的动点，将△AMN沿MN翻折，A点的对应点为A'，连接BA'，则BA'的最小值是___________．5.如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在OM，ON上，当点B在ON上运AMA'NB C第1页第2页第3页第4页……………………………答……………………………………………………题…………………………………………线……………………………………………………密……………………………………………………封…………………………………………线………………………动时，点A 随之在OM 上运动，且矩形ABCD 的形状和大小保持不变．若AB =2，BC =1，则运动过程中点D 到点O 的最大距离为（ ） ABC．5D ．52DCAB ON M F DEAH GBC第5题图 第6题图6. 如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上的两个动点，且满足AE =DF ．连接CF 交BD于点G ，连接BE 交AG 于点H ．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是__________．7. 如图，在△ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于点E ，PF⊥AC 于点F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为___________．M FE PCBA第7题图 第8题图8. 如图，在Rt △AOB 中，OA =OB=O 的半径为1，点P 是AB 边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ （点Q 为切点），则PQ 长度的最小值为___________． 9. 如图，AB 是⊙O 的一条弦，点C 是⊙O 上一动点，且∠ACB =30°，点E ，F 分别是AC ，BC 的中点，直线EF 与⊙O 交于G ，H 两点．若⊙O 的半径为7，则GE +FH 的最大值为_________________．GOO'D'A'DCBA第9题图 第10题图10. 边长为2的正方形ABCD 的两条对角线交于点O ，把BA 与CD 分别绕点B 和点C 逆时针旋转相同的角度，此时正方形ABCD 随之变成四边形A'BCD'．设A'C ，BD'交于点O'，若旋转了60°，则由点O 运动到点O'所经过的路径长为___________． 11. 如图，木棒AB 的长为2a ，斜靠在与地面OM 垂直的墙壁ON 上，且与地面的倾斜角（∠ABO ）为60°．当木棒A 端沿NO 向下滑动到A'，B 端沿直线OM向右滑动到B'，若AA'=a ，则木棒的中点P 随之运动的路径长为____________．B第11题图 第12题图12. 如图，已知线段AB =10，AC =BD =2，点P 是线段CD 上一动点，分别以AP ，PB 为边向上、向下作正方形APEF 和正方形PHKB ．设正方形对角线的交点分别为O 1，O 2，当点P 从点C 运动到点D 时，线段O 1O 2的中点G 运动的路径长为_________．13. 已知等边三角形ABC 的边长为4，点D 是边BC 的中点，点E 在线段BA 上由点B 向点A 运动，连接ED ，以ED 为边在ED 右侧作等边三角形EDF ．设△EDF 的中心为O ，则点E 由点B 向点A 运动的过程中，点O 运动的路径长为_____________．几何最值及路径长（随堂测试）1. 如图，△ABC 是以AB 为斜边的直角三角形，AC =4，BC =3，P 为AB 上一动点，且PE⊥AC 于点E ，PF ⊥BC 于点F ，则线段EF 长度的最小值是____________．F P CBAAB CP C'第1题图 第2题图2. 在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =6，P ，Q 两点分别是边AC ，BC 上的动点．将PBOAQ第5页△PCQ 沿PQ 翻折，点C 的对应点为C′，连接AC′，则AC′的最小值是_____________． 3. 如图，在以坐标原点O 为圆心，2为半径的圆上任取一点A ，过点A 作AM ⊥y 轴于点M，AN ⊥x 轴于点N ．若点P 为MN 的中点，则当点A 沿着圆周在第一象限内按顺时针方向走完45°弧长时，点P 走过的路径长为_____________．几何最值及路径长（作业）1. 如图，当四边形P ABN 的周长最小时，a 的值为_________．第1题图 第2题图2. 如图，A ，B 两点在直线MN 外的同侧，A 到MN 的距离AC =8，B 到MN 的距离BD =5，CD =4，P 在直线MN 上运动，则PA PB -的最大值为______________．3. 动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB =5，AD =13．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A ′处，折痕为PQ ，当点A ′在BC 边上移动时，折痕的端点P ，Q 也随之移动．若限定点P ，Q 分别在AB ，AD 边上移动，则点A ′在BC 边上可移动的最大距离为______________．B CA'AD QP4. 如图，在矩形ABCD 中，AB =12，AD =3，E ，F 分别为AB ，CD 上的两个动点，则AF +FE +EC的最小值为__________．C'PC B A第4题图 第5题图5. 在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =9，BC =12，P ，Q 两点分别是边AC ，BC 上的动点．将△PCQ 沿PQ 翻折，点C 的对应点为C′，连接AC′，则AC′的最小值是_____________． 6. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =6，BC =2，点A ，C 分别在x 轴、y 轴上．当点A在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，则在运动过程中，点B 到原点的最大距离为_____．第7题图7. AB 上，且AC =BD =2．P 是线段CD 上的一动点，分别以AP AEP 和等边三角形PFB ，连接EF ，设EF 的中点为G ．当点P 从点C 运动到点D 时，点G 移动的路径长为___________． 8. 如图，正方形ABCD 的边长为2，将长为2的线段EF 的两端放在正方形的相邻两边上同时滑动．如果点E 从点A 出发，按A →B →C →D →A 的方向滑动到点A 为止，同时点F 从点B 出发，按B →C →D →A →B 的方向滑动到点B 为止，则在这个过程中，线段EF 的中点M 所经过的路径所围成的图形面积为___________．第8题图 第9题图9. 如图，以G (0，1)为圆心，2为半径的圆与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C ，D 两点，点E 为⊙G 上一动点，CF ⊥AE 于点F ．当点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，点F 所经过的路径长为__________BCADE FDCBA第8页……………………………答……………………………………………………题…………………………………………线……………………………………………………密……………………………………………………封…………………………………………线………………………【参考答案】。