测绘工程 测量平差(总复习题)

1.1 设对一段距离丈量了三次，三次结果分别为9.98m ，10.00m ，10.02m ，试根据测量平差概念，按独立等精度最小二乘原理(
min 1
2=∑=n
i i
v
)求这段距离的平差值以及消除矛盾时各次
结果所得的最或然改正数。

1.8 设距离的观测值为m 2000，相对中误差为200000/1，试求其绝对中误差。

1.16 如图所示，已知相互独立的 三个方向值321L L L 、、的方差 均为2
σ，试求角度α、β、γ 的方差及其协方差。

1.17 设有独立观测值1L 、2L ，其方差分别为2
1σ、2
2σ，21L L x +=，21L L y -=，试求
x 、y 的方差及协方差。

1.22 已知L X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡
-=1111，X Y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2112，⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=∑2112
L
，试求X ∑，Y ∑，XY ∑，YX ∑，
XL ∑，LY ∑。

1.24 设i v 的值是按公式i i L x v -=求得，其中)(1
21n L L L n
x +++=
Λ，x 的中误差为x m ，),,1(n i L i K =为独立等精度观测值，中误差均为m ，试求i v 的中误差i v m 并证明i v 与x 互不相关。

1.62 已知321L L L 、、的权分别为
25141161、、，求函数45
1
2141321+-+=L L L z 的权。

1.71 已知某点平面坐标x 、y 的中误差分别为cm 0.4±、cm 0.3±，
1） 若已知x 、y 的协方差2
0.9cm m xy =，试写出向量[]T
y x
Z =的协方差阵和x 、y 的
相关系数xy ρ；
2） 若已知x 、y 的相关系数5.0-=xy ρ，试写出Z 的协方差阵；
3） 若取2
209cm =σ，试写出1）和2）中Z 的权阵及权逆阵。

1
L 2
L 3
L α
β
γ
1.72 已知
L X ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=1112
，
X
Y ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=1111，
⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡--=2112L Q ，求
YX YL LX XL Y X Q Q Q Q Q Q 、、、、、及21y x p p 、。

1.73 已知⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡--=4223L P ，82
0=σ，求1L p 、2L p 、L Q 、L ∑。

2.25 已知某平差问题（参数平差）的法方程为（L Q 为单位阵）：⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧++-=--=-+-=+=+=6ˆˆˆ 7ˆˆ 8 ˆˆ0 x ˆ 0 ˆ 3215
3242132211x x x v x x v x x
v v x
v δδδδδδδδδ，试求：
1）1ˆx
的权倒数1
ˆ1
x p ； 2）函数32ˆˆx x
+=ϕ的权倒数ϕ
p 1
； 3）
1
ˆ1L p 、3
ˆ
1L p ； 4）
1
1v p 、41v p ； 5）X Q ˆ、V Q 、L Q ˆ的秩)(ˆX Q rk 、)(V Q rk 、)(ˆL Q rk ；
2.11 有一模拟三角网如图所示，已知数据为：km x A 2=、km y A 1=，km x B 1=、0=B y ，
0=C x 、km y C 1=，观测角度值及其权逆阵如下，
4000459595447595891000459595443000902
54321'
''='
''='''='
''='
''='''=οοο
ο
οοL L L L L L ⎥⎥
⎥
⎥⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡----=210
00012000000200
0000
21000012000
000
2L Q
若取P 点坐标为未知参数，近似值取为km x P 10
=、km y P 20
=，试计算P 点坐标平差值。

x
2.12 如图所示，已知000085'''=∠ο
AOB ，各观测角度独立且等精度，观测值如下：
22932453955471023024026012003054321'
''='''='''='''='''=οοοοοL L L L L
求各角最或然值。

（参数平差）
2.18 已知m H A 736.12=，为求1P 、2P 点的高程，进行了四条路线的水准测量，结果如图所示，试用参数平差法求：
1）1P 、2P 点高程最或然值及其中误差； 2）平差后1P 、2P 点间高差中误差。

2
s 537.81s 784.122
s 537.81s 250.444332211========h h h km m h
2.20 在A 、B 、C 三个测站上，以同样精度观测了五个角，观测结果如下：
015511401517005934404729123254354321'
''='''='''='''='''=οοοοοL L L L L 试用参数平差法求：
1） 各角最或然值并比较它们的精度高低，比较结果说明了什么问题；
2） 4
3ˆˆL L +的中误差。

3.13 在A 、B 、C 三个测站上，以同样精度观测了五个角度，观测结果为：（条件平差）
O
A
1
h 2
h 3
h 4
h 1
P 2
P A
B C
P
1L 3
L 2
L 4
L 5L
015511401517005934404729123254354321'
''='''='''='''='''=οοοοοL L L L L 若取观测值的权阵为单位阵，试按条件平差法求： 1） 各角最或然值；
2） 各角最或然值的协方差阵L ˆ∑； 3） V ∑、L ˆ∑的秩。

3.15 下图为一简单的水准网，A 为已知水准点，m H A 100.10=，B 、C 、D 为未知水准点，各观测高差及所在距离如下。

试按条件平差法求： 1）B 、C 、D 点高程的最或然值；
2）B 、C 、D 点高程最或然值的权逆阵及其中误差； 3）B 、C 点间高差最或然值及其中误差。

20
023.720 459.320 564.310
568.410 114.110 455.2665544332211============s h s h s h s h s h km
s m h
3.17 已知条件平差的观测方程为B BL W W B +==+∆,0，试根据V 与∆的关系证明
r
PV
V T ±
=μ。

4.20 已知综合平差模型（又称通用平差模型）为
⎪⎩
⎪⎨⎧+==+++==++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯0
0110
01
11,0ˆ,0ˆC CX W W X C B X B BL W W X B V B C s C t t s X r t t r X n n r δδ 式中，r B R =)(，t B R X =)(，s C R =)(，
1） 试指出参数平差模型、条件平差模型、具有参数的条件平差模型、具有条件的参数平差
模型在本模型中的特例情况；
2） 试推导综合平差模型的法方程。

A
B C
P
1L 3
L 2
L 4
L 5L A
1
h 2
h 3
h B D
5
h 6h 4
h
5.3 当观测值仅含偶然误差时，试证明参数平差结果的下列性质：
1）2
0ˆσ
的无偏性； 5.9 某三角网中含有一个待定点P ，经参数平差得法方程为：
0394.0534.0ˆˆ762.1411.0411.0287.1=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x
δδ 单位权中误差为0.1''±=μ，x
ˆδ、y ˆδ以dm 为单位，试求： 1）E 、F ； 2）1α、2α；
3）坐标中误差x m ˆ、y
m ˆ及点位中误差P m 。

5.10 某平面网经过平差得待定点P 的坐标权逆阵为：
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡700.0433.0433.0200.1ˆˆy x Q （单位：2
2)/("dm ） 已知为0.1''±=μ，试求： 1）E 、F 、1α； 2）P 点点位方差。