演绎推理同步练习

双基限时练(四)
1．下列说法中正确的是()
A．合情推理就是正确的推理
B．合情推理就是归纳推理
C．归纳推理是从一般到特殊的推理过程
D．类比推理是从特殊到特殊的推理过程
答案 D
2．下列推理正确的是()
A．把a(b＋c)与lg(x＋y)类比，则lg(x＋y)＝lg x＋lg y
B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则sin(x＋y)＝sin x＋sin y
C．把a(b＋c)与a x＋y类比，则a x＋y＝a x＋a y
D．把a(b＋c)与a·(b＋c)类比，则a·(b＋c)＝a·b＋a·c
解析由向量的运算性质知，a·(b＋c)＝a·b＋a·c正确．
答案 D
3．立体几何中与平面几何中的三角形做类比对象的是()
A．三棱柱B．三棱台
C．三棱锥D．正方体
答案 C
4．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是()
①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等；
②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；
③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等．
A ．①
B ．③
C ．①②
D ．①②③
答案 D
5．三角形的面积为S ＝1
2(a ＋b ＋c )·r ，a ，b ，c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为( )
A ．V ＝13abc
B ．V ＝1
3Sh
C ．V ＝1
3(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)·r (S 1，S 2，S 3，S 4分别为四面体的四个面的面积，r 为四面体内切球的半径)
D ．V ＝1
3(ab ＋bc ＋ac )·h (h 为四面体的高)
解析 平面几何与立体几何的类比，类比的知识点有：面积与体积，边长与面积，圆与球．因此，应选C.
答案 C
6．在平面直角坐标系内，方程x a ＋y
b ＝1表示在x ，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线，拓展到空间，在x ，y ，z 轴上的截距分别为a ，b ，
c (abc ≠0)的方程为( )
A.x a ＋y b ＋z c ＝1
B.x ab ＋y bc ＋z
ac ＝1 C.xy ab ＋yz bc ＋zx ca ＝1
D ．ax ＋by ＋cz ＝1 答案 A
7．圆的面积S ＝πr 2，周长c ＝2πr ，两者满足c ＝S ′(r )，类比此关系写出球的公式的一个结论是：________.
解析 圆的面积、周长分别与球的体积和表面积类比可得，球的体积V ＝43πR 3
，表面积S ＝4πR 2，满足S ＝V ′(R )．
答案 V 球＝43πR 3
，S 球＝4πR 2，满足S ＝V ′(R )
8．等差数列{a n }中，有2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2，且n ∈N *)，类比以上结论，在等比数列{b n }中类似的结论是________．
答案 b 2n ＝b n －1·b n ＋1
(n ≥2，且n ∈N *
) 9．坐标平面上P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则线段P 1P 2的中点P 的坐标为(x 1＋x 22，y 1＋y 2
2)．类比以上结论，若△ABC 中，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 重心G 的坐标为________．
答案 (x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 1＋y 3
3
) 10．找出圆与球的相似之处，并用圆的性质类比球的有关性质．完成下表中的空白.
于截面
(2)与球心的距离相等的两个截面圆的面积相等 (3)球的表面积S ＝4πr 2 (4)球的体积V ＝43πr 3
11．在圆x 2＋y 2＝r 2中，AB 为直径，C 为圆上异于AB 的任意一点，则有k AC ·k BC ＝－1，你能用类比的方法得出椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)中有什么样的结论？
解 设A (x 0，y 0)为椭圆上的任意一点，则A 点关于中心的对称点B 的坐标为(－x 0，－y 0)，点P (x ，y )为椭圆上异于A ，B 两点的任意一点，则
k AP ·k BP ＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝y 2－y 2
x 2－x 20
.
由于A ，B ，P 三点都在椭圆上．
所以⎩⎪⎨⎪⎧
x 2a 2＋y 2b 2＝1，x 20a 2＋y 2
0b 2＝1，
两式相减有x 2－x 20a 2＋y 2－y 20
b 2＝0，
所以y 2－y 2
0x 2－x 20
＝－b 2a 2，即k AP ·k BP ＝－b 2
a 2.
故椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)中过中心的一条弦的两个端点A ，B ，P 为椭圆上异于A ，B 的任意一点，则有k AP ·k BP ＝－b 2
a 2.
12．在△ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1
AB 2＋1AC 2.
在四面体A －BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．
图1
解 如图1所示，在Rt △ABC 中，由射影定理得AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ，AC 2＝BC ·DC ，
∴1AD 2＝1BD ·DC
＝BC 2BC ·BD ·DC ·BC ＝BC 2AB 2·AC 2. 又∵BC 2＝AB 2＋AC 2， ∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2.
猜想：类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，猜想在四面体A －BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD 于E ，则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2.
图2
如图2，连接BE 交CD 于F ，连接AF . ∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面ACD . ∵AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF . 在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AF 2.
在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ， ∴1AF 2＝1AC 2＋1AD 2. ∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2.。