高考理科立体几何大题练习
高三立体几何专题练习(含答案)
立体几何专题练习卷一、填空题（本大题满分56分，每小题4分） 1．正方体DC B A ABCD 111-的棱长为a ，则异面直线1AB 与1BC 所成的角的大小是__________．2．已知某铅球的表面积是2484cm π，则该铅球的体积是___________2cm ．3．若圆锥的侧面积为20π，且母线与底面所成的角为4arccos5，则该圆锥的体积为___________．4．在长方体1111ABCD A B C D -中，若12,1,3AB BC AA ===，则1BC 与平面11BB D D 所成的角θ可用反三角函数值表示为θ=____________．5．若取地球的半径为6371米，球面上两点A 位于东经O12127'，北纬O 318'，B 位于东经O12127'，北纬O 255'，则A B 、两点的球面距离为_____________千米(结果精确到1千米)．6．已知圆锥的母线长为5cm ，侧面积为π15 2cm ，则此圆锥的体积为__________3cm ．7．若圆锥的底面半径和高都是2，则圆锥的侧面积是_____________． 8．如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A B C 、、为其上的三个点，则在正方体盒子中，ABC ∠=____________.9．一个圆柱形容器的轴截面尺寸如右图所示，容器内有一个实心的球，球的直径恰等于圆柱的高.现用水将该容器注满，然后取出该球（假设球的密度大于水且操作过程中水量损失不计），则球取出后，容器中水面的高度为__________cm. （精确到0.1cm ）10．如图，用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，已知该圆锥的母线与底面所在平面的夹角为45︒，容器的高为10cm ．制作该容器需要铁皮面积为__________cm2．（衔接部分忽略不计，结果保留整第9题数）11．如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的母线与底面所成的角的大小是__________ .12．如右下图，ABC ∆中， 90=∠C ，30=∠A ，1=BC ．在三角形内挖去半圆（圆心O 在边AC 上，半圆与BC 、AB 相切于点C 、M ，与AC 交于N ），则图中阴影部分绕直线AC 旋转一周所得旋转体的体积为__________ ．13．如图所示，以圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥， 则该圆锥与圆柱等底等高。
高考数学近三年真题立体几何(理科专用)
三年专题 立体几何（选择题、填空题）（理科专用）1．【2022年新高考1卷】南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148．5m 时，相应水面的面积为140．0km 2；水位为海拔157．5m 时，相应水面的面积为180．0km 2，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148．5m 上升到157．5m 时，增加的水量约为（√7≈2.65）（ ） A ．1.0×109m 3B ．1.2×109m 3C ．1.4×109m 3D ．1.6×109m 32．【2022年新高考1卷】已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且3≤l ≤3√3，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ） A ．[18,814]B ．[274,814]C ．[274,643]D ．[18,27]3．【2022年新高考2卷】已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3√3和4√3，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A ．100πB ．128πC ．144πD ．192π4．【2021年甲卷理科】2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m ），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影,,A B C '''满足45A C B ∠'''=︒，60A B C ''∠'=︒．由C 点测得B 点的仰角为15︒，B B '与C C '的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45︒，则A ，C 两点到水平面A B C '''的高度差A A C C ''- 1.732≈）（ ）A ．346B ．373C ．446D ．4735．【2021年甲卷理科】已如A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且,1A CBC A C B C ⊥==，则三棱锥O A B C-的体积为（ ）A 12B 12C 4D 46．【2021年新高考1的母线长为（ ）A ．2B ．C ．4D ．7．【2021年新高考2卷】正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）A ．201+B ．2C ．563D 38．【2020年新课标1卷理科】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）A 4B 2C 4D 29．【2020年新课标1卷理科】已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为A B C的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1A BB C A C O O ===，则球O 的表面积为（ ）A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π10．【2020年新课标2卷理科】如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为（ ）A ．EB ．FC ．GD ．H11．【2020年新课标2卷理科】已知△ABC 4的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ）AB ．32C ．1D 212．【2020年新课标3卷理科】下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）A．B ．C ．D ．13．【2020年新高考1卷（山东卷）】日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为（ ）A ．20°B ．40°C ．50°D ．90°14．【2022年新高考1卷】已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1，则（ ） A ．直线BC 1与DA 1所成的角为90° B ．直线BC 1与CA 1所成的角为90° C ．直线BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角为45°D ．直线BC 1与平面ABCD 所成的角为45°15．【2022年新高考2卷】如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面ABCD ，FB ∥ED,AB =ED =2FB ，记三棱锥E −ACD ，F −ABC ，F −ACE 的体积分别为V 1,V 2,V 3，则（ ）A ．V 3=2V 2B ．V 3=V 1C ．V 3=V 1+V 2D ．2V 3=3V 116．【2021年新高考1卷】在正三棱柱111A B CA B C -中，11A BA A ==，点P 满足1B P BC B B λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则（ ）A ．当1λ=时，1A B P△的周长为定值B ．当1μ=时，三棱锥1P A B C-的体积为定值C ．当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1AP B P⊥D ．当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1AB ⊥平面1A BP17．【2021年新高考2卷】如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M ，N 为正方体的顶点．则满足M NO P⊥的是（ ）A ．B ．C ．D ．18．【2020年新课标3卷理科】已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．19．【2020年新高考1卷（山东卷）】已知直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD=60°．以1D BCC 1B 1的交线长为________．20．【2020年新高考2卷（海南卷）】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点，则三棱锥A-NMD1的体积为____________三年专题立体几何（解答题）（理科专用）1．【2022年全国甲卷】在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1 ,AB=2,DP=√3．(1)证明：BD⊥PA；(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值．2．【2022年全国乙卷】如图，四面体ABCD中，AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC，E为AC 的中点．(1)证明：平面BED⊥平面ACD；(2)设AB=BD=2,∠ACB=60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值．3．【2022年新高考1卷】如图，直三棱柱ABC−A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为2√2．(1)求A 到平面A 1BC 的距离；(2)设D 为A 1C 的中点，AA 1=AB ，平面A 1BC ⊥平面ABB 1A 1，求二面角A −BD −C 的正弦值．4．【2022年新高考2卷】如图，PO 是三棱锥P −ABC 的高，PA =PB ，AB ⊥AC ，E 是PB 的中点．(1)证明：OE//平面PAC ；(2)若∠ABO =∠CBO =30°，PO =3，PA =5，求二面角C −AE −B 的正弦值． 5．【2021年甲卷理科】已知直三棱柱111A B C A B C -中，侧面11A AB B为正方形，2A BB C ==，E ，F 分别为A C 和1C C 的中点，D 为棱11AB 上的点．11B FA B ⊥（1）证明：B F D E⊥；（2）当1BD为何值时，面11B BC C与面D F E 所成的二面角的正弦值最小?6．【2021年乙卷理科】如图，四棱锥P A B C D==，P D D C-的底面是矩形，P D⊥底面A B C D，1M为B C的中点，且P B A M⊥．（1）求B C；（2）求二面角A P M B--的正弦值．7．【2021年新高考1卷】如图，在三棱锥A B C D-中，平面A B D⊥平面B C D，A B A D=，O为B D的中点.（1）证明：O A C D⊥；（2）若OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱A D上，2--=，且二面角E B C DD E E A的大小为45︒，求三棱锥A B C D-的体积.8．【2021年新高考2卷】在四棱锥Q A B C D-中，底面A B C D是正方形，若====．A D Q D Q A Q C2,3（1）证明：平面Q A D ⊥平面A B C D ； （2）求二面角BQ D A--的平面角的余弦值．9．【2020年新课标1卷理科】如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，A E 为底面直径，A EA D=．A B C是底面的内接正三角形，P 为D O 上一点，6P OO=．（1）证明：P A ⊥平面P B C ；（2）求二面角BP C E--的余弦值．10．【2020年新课标2卷理科】如图，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB1C 1C是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点，过B 1C 1和P 的平面交AB于E ，交AC 于F .（1）证明：AA 1∥MN ，且平面A 1AMN ⊥EB 1C 1F ；（2）设O 为△A 1B 1C 1的中心，若AO ∥平面EB 1C 1F ，且AO =AB ，求直线B 1E 与平面A 1AM N 所成角的正弦值.11．【2020年新课标3卷理科】如图，在长方体1111A B C D A B C D -中，点,E F 分别在棱11,D DB B 上，且12D EE D =，12B FF B =．（1）证明：点1C 在平面A E F 内；（2）若2A B=，1A D=，13A A=，求二面角1AE F A --的正弦值．12．【2020年新高考1卷（山东卷）】如图，四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面A BCD ．设平面P AD 与平面PBC 的交线为l ．（1）证明：l ⊥平面PDC ；（2）已知PD =AD =1，Q 为l 上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值． 13．【2020年新高考2卷（海南卷）】如图，四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面A BCD ．设平面P AD 与平面PBC 的交线为l ．（1）证明：l⊥平面PDC ；（2）已知PD =AD =1，Q 为l 上的点，QB ，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值．。
高考数学专题复习立体几何(理科)练习题
《立体几何》专题练习题1．如图正方体A BCD A1B C D 中，E、F 分别为D1C1 和B1C1 的中点，1C1 和B1C1 的中点，1 1 1P、Q分别为A1C1 与EF、AC与BD的交点，（1）求证：D、B、F、E 四点共面；ED1 C1（2）若A1C与面DBFE交于点R，求证：P、Q、R三点共线A1Q FB1D CPAB2．已知直线a、b 异面, 平面过a且平行于b , 平面过b 且平行于a , 求证: ∥．3. 如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEFG 所截而得，其中AB 4，BC 1BE 3, CF 4 , 若如图所示建立空间直角坐标系．Z①求EF 和点G的坐标；②求异面直线EF 与AD 所成的角；③求点C到截面AEFG 的距离．FGD E CyBAx4. 如图，三棱锥P—ABC中，PC 平面ABC，PC=AC=，2AB=BC，D是PB上一点，且CD 平面PAB．(I) 求证：AB 平面PCB；P(II) 求异面直线AP与BC所成角的大小；（III ）求二面角C-PA-B 的余弦值．DBC A5. 如图，直二面角D—AB —E 中，四边形ABCD 是边长为 2 的正方形，AE=EB ，F 为CE 上的点，且BF⊥平面ACE.(1)求证AE⊥平面BCE；(2)求二面角B—AC—E 的余弦值．6. 已知正三棱柱A BC A B C的底面边长为2，点M在侧棱BB1上.1 1 1第 1 页共 3 页（Ⅰ）若P 为AC的中点，M为BB1 的中点，求证BP// 平面AMC1；（Ⅱ）若AM与平面A A CC 所成角为30 ，试求BM的长.1 17.如图，在底面是矩形的四棱锥P—ABCD 中，PA⊥底面ABCD ，PA＝AB ＝1，BC＝2．（1）求证：平面PDC⊥平面PAD；P（2）若E 是PD 的中点，求异面直线AE E与PC 所成角的余弦值；DAB C8.已知：在正三棱柱ABC—A1 B1C1中，AB = a ，AA1 = 2a . D 是侧棱BB1 的中点. 求证：（Ⅰ）求证：平面ADC1⊥平面ACC1A1；（Ⅱ）求平面ADC1 与平面ABC所成二面角的余弦值．9.已知直四棱柱A BCD ABC D 的底面是菱形，且DAB 60 ，AD AA1 F 为1 1 1 1棱B B1的中点，M 为线段AC1 的中点．（Ⅰ）求证：直线MF // 平面ABCD ；（Ⅱ）求证：直线MF 平面A CC A ；1 1（Ⅲ）求平面AFC1 与平面ABCD 所成二面角的大小.AP CQ10.棱长是 1 的正方体，P、Q 分别是棱AB 、CC1 上的内分点，满足 2PB QC1第 2 页共 3 页（1）求证：A1P⊥平面AQD ；（2）求直线PQ 与平面AQD 所成角的正弦值.D1 C1A1 B1 QD CA BP11.如图,长方体ABCD －A1B1C1D1 中，E、F 分别是线段B1D1、A 1B 上的点，且D1E=2EB 1,BF=2FA 1．（1）求证:EF∥AC1；（2）若EF 是两异面直线B1D1、A 1B 的公垂线段,求证该长方体为正方体．D1 C1EA1 B 1FD CA B12.如图，在正四棱柱ABCD —A1B1C1D1 中，AA 1=B，M 三点的平面A1BMN 交C1D1 于点N.（Ⅰ）求证：EM∥平面A1B1C1D1；12AB ，点E、M 分别为 A 1B、C1C 的中点，过点A1，（Ⅱ）求二面角B—A1N—B1 的正切值.第 3 页共 3 页。
(完整版)高考立体几何大题及答案(理)
故AD=AF。又AD⊥AF，所以四边形ADEF为正方形。
因为BC⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD=A，故BC⊥平面DEF，因此平面BCD⊥平面DEF。
连接AE、DF，设AE∩DF=H，则EH⊥DF，EH⊥平面BCD。
连接CH，则∠ECH为 与平面BCD所成的角。
因ADEF为正方形，AD= ，故EH=1，又EC= =2，
（II）设线段 、 的中点分别为 、 ，
求证： ∥
（III）求二面角 的大小。
10.如题（18）图，在五面体 中， ∥ ， ， ，四边形 为平行四边形， 平面 ， ．求：
（Ⅰ）直线 到平面 的距离；
（Ⅱ）二面角 的平面角的正切值．
11．如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD．
（Ⅱ）设平面BCD的法向量 则
又 =（-1，1，0），
=（-1，0，c）,故
令x=1,则y=1,z= , =(1,1, ).
又平面 的法向量 =（0，1，0）
由二面角 为60°知， =60°，
故 °，求得
于是 ，
，
°
所以 与平面 所成的角为30°
3、（Ⅰ）证明：连接 ，在 中， 分别是 的中点，所以 ，又 ，所以 ，又 平面ACD，DC 平面ACD，所以 平面ACD
(1)证明：PA⊥BD；
(2)设PD＝AD，求二面角A－PB－C的余弦值．
12（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，AB CD,AC BD，垂足为H，
PH是四棱锥的高，E为AD中点
（1）证明：PE BC
（2）若 APB= ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值
高考数学理数立体几何大题训练(含答案)
高考数学理数立体几何大题训练(含答案)1.（2020·新课标Ⅲ·理）在长方体中，点P、Q分别在棱AB、CD上，且AP=CQ.（1）证明：点PQ平分长方体的体对角线；（2）若PQ在平面BCFE内，求二面角的正弦值．2.（2020·新课标Ⅱ·理）如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M、N分别为BC、B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.（1）证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN 所成角的正弦值.3.（2020·新课标Ⅰ·理）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，底面是内接正三角形ABC，P为上一点，AP为底面直径，DP⊥底面．（1）证明：DP平分∠ADC；（2）求二面角平面APD与平面ABC的余弦值．4.（2020·新高考Ⅰ）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．5.（2020·天津）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点P、Q分别在棱AB、A1B1上，且AP=A1Q，平面PQC1为棱BC1的中垂面，M为棱AC的中点．（Ⅰ）求证：PM∥B1Q，且PM=B1Q；（Ⅱ）求二面角平面PQC1与直线PM所成角的正弦值；（Ⅲ）求直线B1Q与平面PQC1所成角的正弦值．6.（2020·江苏）在三棱锥ABCD中，已知CB=CD=1，AC=2，BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC上一点，DE⊥平面BCD，DE=1.（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；（2）若点F在BC上，满足BF=BC，设二面角F-DE-C的大小为θ，求sinθ的值．7.（2020·北京）如图，正方体ABCD-EFGH中，E为AD的中点，P为BF上一点．（Ⅰ）求证：PE∥CG；（Ⅱ）求直线PE与平面CGH所成角的正弦值．8.（2020·浙江）如图，三棱台DEF-ABC中，面ADFC⊥面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，XXX．（Ⅰ）证明：EF⊥DB；（Ⅱ）求DF与面DBC所成角的正弦值．9.（2020·扬州模拟）如图，在等边三角形ABC的三棱锥ABCD中，D为底面的中点，E为线段AD上一动点，记DE=λAD.（1）当λ=1时，求证：DE与平面ABC垂直；（2）当λ=2时，求直线BE与平面ACD所成角的正弦值．求证：直线AD与平面BCD垂直；2）若平面ABD与平面ACD所成二面角为，求二面角ABC与平面BCD所成二面角的正弦值。
高三理科数学《立体几何》测试题带答案
高三理科数学《立体几何》测试题（带答案）1、如图，在C ∆AB 中，C 45∠AB =，点O 在AB 上，且2C 3OB =O =AB ，PO ⊥平面C AB ，D //A PO ，1D 2A =AO =PO ． ()1求证：//PB 平面C D O ；()2求二面角CD O --A 的余弦值．（1）证明：因为ABC PO 平面⊥，D//A PO,DA AB PO AB ⊥⊥所以4,21π=∠==AOD PO AO DA 所以又……………………2分 ,//4,,21PB OD OBP OP OB PO AO ，即所以即又π=∠==……………….4分 COD PB COD OD COD PB 平面所以平面平面又//,,⊂⊄。
……………….6分（2）解：过A 作,,,AN N CD MN M M DO AM 连接于作，过垂足为⊥⊥ 则的平面角。
即为二面角A CD O ANM --∠……………….8分，中，得，在直角中，得，在等腰直角设a MN COD a AM AOD a AD 3322=∆=∆=510cos 630=∠=∆ANM a AN AMN ，所以中，得在直角……………….12分2、如图，在棱长为2的正方体1111CD C D AB -A B 中，E 、F 分别为11D A 和1CC 的中点．()1求证：F//E 平面1CD A ；()2求异面直线F E 与AB 所成的角的余弦值；()3在棱1BB 上是否存在一点P ，使得二面角C P -A -B 的大小为30？若存在，求出BP 的长；若不存在，请说明理由．解：如图分别以DA 、DC 、DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D-xyz ，由已知得D (0，0，0)、A (2，0，0)、B (2，2，0)、C (0，2，0)、B 1(2，2，2)、D 1(0，0，2)、E (1，0，2 )、F (0，2，1)．(1)取AD 1中点G ，则G （1，0，1），CG -→=（1，-2，1），又EF -→=（-1，2，-1），由EF -→=-→-CG ，∴EF -→与CG -→共线．从而ＥＦ∥ＣＧ，∵CG ⊂平面ACD 1，EF ⊄平面ACD 1，∴EF ∥平面ACD 1. ………………………………………………………………4分 (2) ∵AB =(0,2，0)， cos<EF ,AB>=||||2EF AB EF AB ⋅==⋅， ∴异面直线EF 与AB 所成角的余弦值为36.…………………………………………………8分 (3)假设满足条件的点P 存在，可设点P (2，2，t )(0<t ≤2)，平面ACP 的一个法向量为n =(x ，y ，z )，则0,0.n AC n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ∵AP =(0，2，t ), AC =(-2，2，0)，∴220,20,x y y tz -+=⎧⎨+=⎩取2(1,1,)n t =-.易知平面ABC 的一个法向量1(0,0,2)BB =， 依题意知，<1BB ，n >=30°或<1BB ，n >=150°，∴|cos<1BB ，n4||-=，即22434(2)4t t =+，解得3t =∵(0,2]3∴在棱BB 1上存在一点P ，当BPP -AC -B 的大小为30°……………13分3、如图所示，在四棱锥CD P -AB 中，底面CD AB 为矩形，PA ⊥平面CD AB ，点E 在线段C P 上，C P ⊥平面D B E ． ()1求证：D B ⊥平面C PA ；()2若1PA =，D 2A =，求二面角C B -P -A 的余弦值．(1) 证明：∵PA ABCD ⊥平面，BD ABCD ⊂平面 ∴PA BD ⊥．同理由PC BDE ⊥平面，可证得PC BD ⊥． 又PAPC P =，∴BD PAC ⊥平面．(2)解：如图，分别以射线AB ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系A xyz -．由(1)知BD PAC ⊥平面，又AC P A C ⊂平面， ∴BD AC ⊥．故矩形ABCD 为正方形，∴2AB BC CD AD ＝＝＝＝． ∴00020022()()00(20001)()()A B C D P ，，，，，，，，，，，，，，． ∴ ()()()2,0,1,0,2,0,2,2,0PB BC BD ===-．设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则0n PB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2000200x y z x y z +⋅-=⎧⎨⋅++⋅=⎩，∴20z xy =⎧⎨=⎩，取1x =，得(1,0,2)n =．∵BD PAC ⊥平面，∴(2,2,0)BD =-为平面PAC 的一个法向量．所以10cos ,10n BD n BD n BD⋅<>==-． 设二面角B PC A --的平面角为α，由图知02πα<<，则10cos cos ,D 10n α=B=∴二面角C B -P -A4、如图，平面CD AB ⊥平面D F A E ，其中CD AB 为矩形，D F A E 为梯形，F//D A E ，F F A ⊥E ，F D 2D 2A =A =E =．()1求异面直线F E 与C B 所成角的大小；()2若二面角F D A -B -的平面角的余弦值为13，求AB 的长．解：(1) 延长AD ，FE 交于Q ．因为ABCD 是矩形，所以BC ∥AD ，所以∠AQF 是异面直线EF 与B C 所成的角．在梯形ADEF 中，因为DE ∥AF ，AF ⊥FE ，AF ＝2，DE ＝1得∠AQF ＝30°．………………………5分(2) 方法一：设AB ＝x ．取AF 的中点G ．由题意得 DG ⊥AF ．因为平面ABCD ⊥平面ADEF ，A B ⊥AD ，所以AB ⊥平面ADEF ，所以AB ⊥DG ．所以DG ⊥平面ABF ． 过G 作GH ⊥BF ，垂足为H ，连结DH ，则DH ⊥BF ， 所以∠DHG 为二面角A －BF－D 的平面角． 在直角△AGD 中，AD ＝2，AG ＝1，得DG 在直角△BAF中，由AB BF ＝sin ∠AFB ＝GH FG ，得GHx，所以GH．在直角△DGH 中，DGGH ，得DH ＝因为cos ∠DHG ＝GH DH ＝13，得x AB 15分方法二：设AB ＝x ．以F 为原点，AF ，FQ 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系Fxyz ．则 F (0，0，0)，A (－2，0，0)，E (3，0，0)，D (－10)，B (－2，0，x )，所以DF ＝(10)，BF ＝(2，0，－x )． 因为EF ⊥平面ABF所以平面ABF 的法向量可取1n ＝(0，1，0)．设2n ＝(x 1，y 1，z 1)为平面BFD的法向量，则111120,0,x z x x -=⎧⎪⎨=⎪⎩所以，可取2n ＝1．因为cos<1n ，2n >＝1212||||n n n n ⋅⋅＝13，得xAB ．5、如图，已知AB ⊥平面CD A ，D E ⊥平面CD A ，C ∆AB 为等边三角形， D D 2A =E =AB ，F 为CD 的中点． ()1求证：F//A 平面C B E ；()2求证：平面C B E ⊥平面CD E ；()3求直线F B 和平面C B E 所成角的正弦值．（1）证明：取CE 的中点G,连FG 、BG .可证得四边形GFAB 为平行四边形，则AF//BG即可证得AF//平面BCE. …………………………..(4分)（2）依题意证得BG ⊥平面CDE ，即可证得平面BCE ⊥平面CDE …….(8分) （3）解：设AD=DE=2AB=2,建立如图所示的坐标系A —xyz, 则A(0,0,0),C(2,0,0),B(0,0,1),D(1,3,0),E(1,3,2),F （)0,23,23 设平面BCE 的法向量为),,,(z y x =由0,0=⋅=⋅可取)2,3,1(-=，)1,23,23(-= 设BF 和平面BCE 所成的角为θ，则： sin θ42=……………………………(12分)6、如图，三棱柱111C C AB -A B 的底面是边长为4的正三角形，1AA ⊥平面C AB ，1AA =M 为11A B 的中点．()1求证：C M ⊥AB ；()2在棱1CC 上是否存在点P ，使得C M ⊥平面ABP ？若存在，确定点P 的位置；若不存在，请说明理由．()3若点P 为1CC 的中点，求二面角C B -AP -的余弦值．（1）解：取AB 中点O ，连结OM ，C O ． M 为11A B 的中点 ∴1//MO A A1AA ⊥平面C AB ∴MO ⊥平面C AB∴MO ⊥AB …………2分7、如图，已知111C C AB -A B 是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2，D 为侧棱1CC 的中点，E 为11A B 的中点．()1求证：D AB ⊥E ；()2求直线11A B 到平面D AB 的距离；()3求二面角D C A -B -的正切值．(1)证明:连结C 1E,则C 1E ⊥A 1B 1, 又∵A 1B 1⊥C 1C ∴A 1B 1⊥平面EDC 1 ∴A 1B 1⊥DE, 而A 1B 1//AB ∴AB ⊥DE.(2) 取AB 中点为F,连结EF,DF,则EF ⊥AB ∴AB ⊥DF过E 作直线EH ⊥DF 于H 点,则EH ⊥平面DAB ∴EH 就是直线A 1B 1到平面DAB 的距离在矩形C 1EFC 中,∵AA 1=AB=2,∴EF=2,C 1E=3,DF=2, ∴在△DEF 中,EH=3,故直线A 1B 1到平面DAB 的距离为 3(3)过A 作AM ⊥BC 于M 点,则AM ⊥平面CDB 过M 作MN ⊥BD 于N 点,连结AN,则AN ⊥BD ∴∠ANM 即为所求二面角的平面角 在Rt △DCB 中,BC=2,DC=1,M 为BC 中点∴MN=55在Rt △AMN 中,tan ∠ANM=AMMN =158、如图，在直三棱柱111C C A B -AB 中，C AB ⊥A ，C 2AB =A =，14AA =，点D 是C B 的中点．()1求异面直线1A B 与1C D 所成角的余弦值；()2求平面1DC A 与平面1ABA 所成二面角的正弦值．（1）以},,{1→→→AA AC AB 为单位正交基底建立空间直角坐标系xyz A -, 则)0,0,0(A ,)0,0,2(B ,)0,2,0(C ,)4,0,0(1A ,)0,1,1(D ,)4,2,0(1C ．)4,0,2(1-=∴→B A ,)4,1,1(1--=→D C10103182018,cos 111111==⋅>=<∴→→→→DC B A DC B AD C B A ∴异面直线B A 1与D C 1所成角的余弦值为10103． 6分（2）)0,2,0(=→AC 是平面1ABA 的的一个法向量 设平面1ADC 的法向量为),,(z y x m =→,)0,1,1(=→AD ，)4,2,0(1=→AC ，由→→⊥AD m ，→→⊥1AC m 得 ⎩⎨⎧=+=+0420z y y x取1=z ,得2-=y ，2=x ,所以平面1ADC 的法向量为)1,2,2(-=→m ． 设平面1ADC 与1ABA 所成二面角为θ ．32324,cos cos =⨯-=⋅>=<=∴→→→→→mAC m AC m AC θ, 得35sin =θ． 所以平面1ADC 与1ABA 所成二面角的正弦值为35． 12分。
历年全国理科数学高考试的题目立体几何部分精选(含问题详解)
1■在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的俯视图可以为2•已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球0的球面上，且AB =6, BC二2 3,则棱锥0 - ABCD的体积为____________ 。
3.如图，四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四(A) <D)边形，/ DAB=60,AB=2AD,PDL底面ABCD.(I )证明：PAL BD;(H )若PD=AD,求二面角A-PB-C 的余弦值1. D 28,33.解：(I)因为.DAB =60,AB=2AD ,由余弦定理得 BD 二 J3AD从而 BD 2+AD 2= AB 2，故 BD _ AD又PD_底面ABCD,可得BD_ PD所以BD_平面PAD.故 PA_BD(H)如图，以 D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线 DA 为X 轴的正半轴建立空间直角坐标系 D-xyz ，则A 1,0,0 ,B 0, 3,0 ,C -1,、、3,0 , P 0,0,1。
uiv - uuv - uuvAB =(-1, .3,0), PB =(0八 3,-1),BC 十 1,0,0)uuuuuum PB =0,{ uuiu设平面PBC 的法向量为 m ，贝y l m BC=0,n= (x , y , z ),则n AB =0, { uuu n PB =0, 因此可取n=C 、3,1,-.3)设平面PAB 的法向量为故二面角A-PB-C 的余弦值为可取 m= (0, -1, -.3) cos m, n -42、771.正方体ABCD-ABQQ中，B B与平面AC D I所成角的余弦值为A辽B二C 2 D至3 3 3 32. 已知圆0的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为俩切点，那么PA・PB 的最小值为(A) -4 2 (B) -3 、2 (C) -4 2,2 (D) -3 2,23. 已知在半径为2的球面上有A、B、C D四点，若AB=CD=2则四面体ABCD勺体积的最大值为(A) 2 3(B) 4 - (C) 2 3 (D) 8 33 3 34. 如图，四棱锥S-ABCD中, SD_ 底面ABCD AB//DC, AD_ DC, AB=AD=1DC=SD=2 E为棱SB上的一点，平面EDU 平面SBC .(I)证明：SE=2EB(n)求二面角A-DE-C的大小.3(二)1. D2. D3. B4.解法一：(I )连接BD,取DC的中点G,连接BG,由此知DG =GC =BG =1,即ABC为直角三角形，故BC _ BD .又SD _ 平面ABCD,故BC _ SD,所以，BC _ 平面BDS,BC_ DE.作BK _ EC, K为垂足，因平面EDC _平面SBC，故BK _平面EDC，BK _DE,DE与平面SBC内的两条相交直线DE!平面SBC DEL EC,DE± SBSB= SD2 DB2 =、6E—DBF E2呼所以，SE=2EB(n )由SA二.SD2 AD2二.5, AB =1,SE = 2EB,AB _ SA 知BC都垂直AE「J “ABV 0 丿131,又AD=1 . 故ADE为等腰三角形.取ED 中点F,连接AF ,则AF _ DE , AF =：：：；'AD2- DF 2 =_| 3连接FG，贝U FG //EC, FG _ DE .所以，• AFG是二面角A - DE -C的平面角连接AG,AG=、2, FG h^DG2-DF23AF 2+FG 2-AG 2 1 cos._AFG , 2LJAFLFG 2 所以，二面角 A_DE _C 的大小为120°. 解法二： 以D 为坐标原点，射线 DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系 D-xyz ,2 E( , , ) 1 • 1 ■ 1 ■ 2 DE =( , , ), DC =(0,2,0) 1 ■ 1 ■ 1 ■ 设平面CDE 的法向量m=(x,y,z) m_DE=0， m_DC=0 x ■ y 2z 厂匸厂72y ° 令 x = 2，则 m =(2,0, -) 由平面 DECL 平面 SBC 得 ml n, mLH =0,2 - ’ = 0/ =2 故 SE=2EB 2 2 2 1 1 1 「 (H)由⑴知比品)，取DE 的中点F ,则兀打丹 二0，由此得FA _ DE 又 EC =(-2,4,-2)，故 ECLDE =0，由此得 EC — DE , 设 A(1,0,0)，贝U B(1,1,0),C(0,2,0),S(0,0,2) (I) SC=(0,2,-2), £(-1,1,0) 设平面SBC 的法向量为n=(a, b, c) 由 n _ SC, n _ BC ，得 =0, =0 故 2b-2c=0,-a+b=0 令 a=1，贝U b=c,c=1,n=(1,1,1) C ■ 0)，则 又设 故3 3 3向量FA与EC的夹角等于二面角A - DE -C的平面角cos (FA,EC )=臨 1|FA||EC| 2所以，二面角 A 一 DE —C 的大小为120；AB 与CG 所成的角的余弦值为( )则P 、Q 两点之间距离的最小值为() (A) (B)2 (C) 2、、3 (D)4于是1.已知二棱柱ABC-'AB I G 的侧棱与底面边长都相等，A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线 (A ) (C )辽4(D)2.已知二面角〉-1 - ［为60°，动点P 、Q 分别在面aB 内，P 到B 的距离为 3, Q 到a 的距离为2 3 ,3.直三棱柱ABC-A i BiG 的各顶点都在同一球面上，若AB 二 AC = AA = 2, BAC =120，则此球的表 面积等于 _______________ 。
历年全国理科数学高考试题立体几何部分精选(含答案)
1.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的俯视图可以为2.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且6,==,则棱锥AB BC-的体积为。
O ABCD3.如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(Ⅰ)证明：PA⊥BD；(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。
1.D2.3. 解：（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=︒=，由余弦定理得BD =从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD（Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则()1,0,0A，()0B，()C -，()0,0,1P 。
(1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=-uu u v uu v uu u v设平面PAB 的法向量为n=（x ，y ，z ），则0,0,{n AB n PB ⋅=⋅=u u u r u u u r00z =-=因此可取n=设平面PBC 的法向量为m ，则m 0,m 0,{PB BC ⋅=⋅=u u u ru u u r可取m=（0，-1， cos ,m n == 故二面角A-PB-C 的余弦值为1. 正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为C 232. 已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB ∙的最小值为(A) 4- (B)3-+ (C) 4-+3-+3. 已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为(C)4. 如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB//DC ，AD ⊥DC ，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC .（Ⅰ）证明：SE=2EB ；（Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 .1. D2. D3. B4. 解法一：(Ⅰ)连接BD,取DC 的中点G ，连接BG,由此知 1,DG GC BG ===即ABC ∆为直角三角形，故BC BD ⊥. 又ABCD,BC SD SD ⊥⊥平面故,所以，BC ⊥⊥平面BDS,BC DE .作BK ⊥EC,EDC SBC K ⊥为垂足，因平面平面，故,BK EDC BK DE DE ⊥⊥平面，与平面SBC 内的两条相交直线BK 、BC 都垂直 DE ⊥平面SBC ，DE ⊥EC,DE ⊥SBSB =SD DB DE SB ==-EB SE SB EB ====所以，SE=2EB(Ⅱ) 由1,2,,SA AB SE EB AB SA ===⊥知1,AD=1AE ==又.故ADE ∆为等腰三角形.取ED 中点F,连接AF ,则,AF DE AF ⊥==. 连接FG ，则//,FG EC FG DE ⊥.所以，AFG ∠是二面角A DE C --的平面角.连接AG,A G=,3FG ==, 2221cos 22AF FG AG AFG AF FG +-∠==-,所以，二面角A DE C --的大小为120°. 解法二：以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系D xyz -， 设A(1,0,0)，则B(1,1,0),C(0,2,0),S(0,0,2)（Ⅰ）(0,2,-2),(-1,1,0)SC BC ==设平面SBC 的法向量为n=(a, b, c) 由,n SC n BC ⊥⊥，得0,0n SC n BC == 故2b-2c=0,-a+b=0令a=1，则b=c,c=1,n=(1,1,1) 又设SE EB λ= (0)λ>，则2(,,)111E λλλλλ+++ 2(,,),(0,2,0)111DE DC λλλλλ==+++设平面CDE 的法向量m=(x,y,z) 由,m DE m DC ⊥⊥,得0m DE ⊥=，0m DC ⊥= 故20,20111x y zy λλλλλ++==+++. 令2x =，则(2,0,)m λ=-.由平面DEC ⊥平面SBC 得m ⊥n,0,20,2m n λλ=-== 故SE=2EB（Ⅱ）由（Ⅰ）知222(,,)333E ，取DE 的中点F ，则111211(,,),(,,)333333F FA =--，故0FA DE =，由此得FA DE ⊥ 又242(,,)333EC =--，故0EC DE =，由此得EC DE ⊥， 向量FA 与EC 的夹角等于二面角A DE C --的平面角 于是 1cos(,)2||||FA EC FA EC FA EC ==-所以，二面角A DE C --的大小为120（三）1. 已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（ ）（A （B （C (D) 342. 已知二面角l αβ--为60o，动点P 、Q 分别在面α、β内，P 到β，Q 到α的距离为则P 、Q 两点之间距离的最小值为（ ）(A) (B)2 (C) 3. 直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===, 120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 。
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高考理科立体几何大题练习
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１.如图１,在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒,36BC AC ==，．Ｄ、E 分别是AC AB 、上的点，且//DE BC ，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置,使1A D CD ⊥,如图2. （Ⅰ)求证: BC ⊥平面1A DC ；
（Ⅱ）若2CD =，求BE 与平面1A BC 所成角的正弦值; （Ⅲ） 当D 点在何处时,1A B 的长度最小,并求出最小值.
2．如图,四棱锥ABCD P -中,底面ABCD 为正方形,PD PA =，⊥PA 平面PDC , E 为棱PD 的中点． (Ⅰ)求证:PB ／/ 平面EAC ; (Ⅱ）求证:平面PAD ⊥平面ABCD ; (Ⅲ)求二面角B AC E --的余弦值．
A
B C D E
图图
A
B C D E
E
C 1
B 1
A 1
C
B
A
3.如图,在菱形ABCD 中,60DAB ∠=，E 是AB 的中点, MA ⊥平面ABCD ,且在矩形ADNM 中,2AD =,37
7
AM =
. （Ⅰ）求证：AC ⊥BN ; (Ⅱ）求证：AN // 平面MEC ； (Ⅲ）求二面角M EC D --的大小.
４. 如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,90BAC ∠=︒,12,AB AC AA ===E 是BC 中点.
（Ｉ）求证:1//A B 平面1AEC ；
（I Ｉ）若棱1AA 上存在一点M ,满足11B M C E ⊥,求AM 的长； (Ⅲ）求平面1AEC 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值.
A
B
C
D
E
N
M
E
D A B
C
P
5．如图，在三棱锥P －AB Ｃ中,PA=PB=ＡB ＝２，3BC =,90=∠ABC °，平面PA Ｂ⊥平面A ＢC ，D 、E 分别为AB 、AC 中点. （Ⅰ)求证:DE‖平面P ＢC ； (Ⅱ)求证:ＡB ⊥PE ;
（Ⅲ)求二面角A-PB-Ｅ的大小．
6..如图,四棱锥S －ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ＡBCD ,SD =AD =a ，点E 是SD 上的点,且ＤE =λａ(０<λ≤１).
(1）求证:对任意的λ∈（0,1］，都有A Ｃ⊥BE ; （2)若二面角C -A Ｅ-D 的大小为60°，求λ的值．
7．如图,在底面为直角梯形的四棱锥Ｐ-ＡBＣD中,AD∥BC，∠ABC＝90°，PD⊥平面ABＣD，AD=１,AB ＝错误!,BＣ＝4.
(1)求证：BD⊥PC；
(2)求直线AＢ与平面PDC所成的角的大小；
(３)设点E在棱PＣ上，错误!＝λ错误!,若DE∥平面PAＢ,求λ的值.
8.如图,在四棱锥S-ABCD中,AB⊥ＡD，AB∥CD，CD＝3AB＝3,平面SAD⊥平面ABCD，Ｅ是线段ＡD上一点，AＥ＝ED=3,SE⊥ＡD.
(1)证明：平面SＢE⊥平面SEC；
(2）若ＳE＝1，求直线CE与平面SBＣ所成角的正弦值.
9.在三棱柱ABC-Ａ1B1C1中,已知AＢ＝ＡC＝AＡ1=5，BＣ＝4,点A1在底面ABＣ的投影是线段BC的中点Ｏ.
(1)证明在侧棱AA1上存在一点E,使得OE⊥平面BＢ1C1C,并求出AＥ的长；
(２)求平面A1Ｂ１Ｃ与平面BB1C1C夹角的余弦值．
10.如图，在四棱锥P－ＡBCD中,底面ABCD是边长为1的正方形，PＡ⊥平面ＡBCD，PＡ＝ＡB,M，Ｎ分别是线段PB,AC上的动点,且不与端点重合，PM=AN.
(1)求证:ＭN∥平面PAＤ;
（２）当MＮ的长最小时，求二面角Ａ－MN-B的余弦值.
１1．如图,在直三棱柱ＡＢC －A 1B １C 1中，A Ｂ=B Ｃ=２AA 1,∠AB Ｃ=90°,D 是BC 的中点.
(１)求证：A 1Ｂ∥平面A ＤＣ1; (2)求二面角C 1－A Ｄ－C 的余弦值；
(３)试问线段Ａ1B 1上是否存在点E ，使AE 与D Ｃ１成6０°角?若存在,确定E 点位置;若不存在，说
明理由.
１2. 【成都石室中学201４届高三上期“一诊”模拟考试（二)(理)】（本小题满分12分）在三棱柱AB Ｃ-A 1B 1C １中，AB ＝BC ＝CA ＝AA １=2,侧棱AA 1⊥面ABC ,D 、E 分别是棱A 1Ｂ1、AA １的中点，点F 在棱AB 上,且
1
4
AF AB
. (Ⅰ）求证:EF ∥平面BDC 1;
(Ⅱ）求二面角Ｅ－ＢＣ1－D 的余弦值.
１３. 【成都石室中学2014届高三上期“一诊”模拟考试(一)（理）】(本小题满分12分）已知直三棱柱
111C B A ABC -的三视图如图所示,且D 是BC 的中点.
（Ⅰ)求证：1A B ∥平面1ADC ; （Ⅱ)求二面角1C AD C --的余弦值；
(Ⅲ)试问线段11A B 上是否存在点E ,使AE 与1DC 成60︒
角？若存在,确定E 点位置，若不存在，说明理由.
14． 【四川省眉山市高2014届第一次诊断性考试数学(理)】(12分）如图,正三棱柱A ＢC-A'B'C'中,Ｄ是BC 的中点,A Ａ'=ＡB =2． (1）求证:A ＇C //平面AB'D ;
(2）求二面角Ｄ一AB ＇一Ｂ的余弦值。
15. 【四川省绵阳市高２014届第二次诊断性考试数学（理)】（本题满分1２分)如图，在直角梯形ABCD 中，ＡD /／BC ,∠ADC =９0º，A Ｅ⊥平面ＡB ＣD ，EF //CD , ＢＣ=ＣD ＝AE ＝EF =1
2
AD =１． (Ⅰ)求证：ＣE //平面ABF ; (Ⅱ)求证:BE ⊥ＡF ；
（Ⅲ)在直线BC 上是否存在点M ，使二面角E -MD -A 的大小为6
π
？若存在，求出CM 的长；若不存在,请说明理由．
16. 【四川省绵阳南山中学2０1４高三１2月月考数学（理）】(本题满分12分)在三棱柱AB Ｃ－A １Ｂ1Ｃ１中，AB =BC ＝C Ａ＝AA 1＝2,侧棱AA 1⊥面A ＢＣ,D 、E 分别是棱A １Ｂ１、AA 1的中点，点F 在棱AB 上，且
AB AF 4
1
. (I ）求证：ＥF ∥平面BD Ｃ1；
(ＩI ）求二面角E －B Ｃ1－D 的余弦值．
17． 【四川省成都七中高２014届高三“一诊”模拟考试数学(理)】如图四棱锥ABCD P -中,底面ABCD
是平行四边形，⊥PG 平面ABCD ,垂足为G ，G 在AD 上且GD AG 3
1=,GC BG ⊥，2==GC GB ，E 是BC 的中点,四面体BCG P -的体积为3
8．
（1）求二面角P BC D --的正切值；
(2)求直线DP 到平面PBG 所成角的正弦值；
（3）在棱PC 上是否存在一点F ,使异面直线DF 与GC 所成的角为060，若存在,确定点F 的位置,若不存在,说明理由.。