-近三年高考理科立体几何高考题汇编

20１5-２０17高考立体几何题汇编２０1７(三)１6.a ，ｂ为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形A ＢC 的直角边AC 所在直线与a ，ｂ都垂直,斜边ＡB 以直线AC 为旋转轴旋转,有下列结论:①当直线A Ｂ与a 成6０°角时，AB 与b 成30°角；②当直线AB 与a 成60°角时，A Ｂ与ｂ成60°角; ③直线ＡB 与ａ所成角的最小值为45°；④直线AB 与a 所成角的最小值为60°； 其中正确的是__＿__＿＿＿。

(填写所有正确结论的编号)2017(三)１9．（12分）如图,四面体ＡＢC Ｄ中,△AB Ｃ是正三角形,△ACD 是直角三角形，∠ABD =∠C ＢD ，AB =ＢD .（1)证明：平面ACD ⊥平面ＡBC ;(2）过ＡC 的平面交B Ｄ于点Ｅ，若平面ＡEC 把四面体ＡBCD 分成体积相等的两部分，求二面角D –A Ｅ–C 的余弦值.20１7(二)4.如图,网格纸上小正方形的边长为１，粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A ．90π Ｂ．63π C ．42π D ．36π2０1７(二)10.已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒,2AB =,11BC CC ==,则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为Ａ．2B ．5ﻩ Ｃ．5D ．3２0１7(二)19.（12分）如图，四棱锥Ｐ-AB ＣD 中,侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ＡBC Ｄ,o 1,90,2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= Ｅ是PD 的中点. （1)证明:直线CE ∥平面P ＡB ;(2）点M 在棱P Ｃ 上，且直线B Ｍ与底面A ＢC Ｄ所成角为o45,求二面角M AB D --的余弦值．2017(一)７.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为２,俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为２017（一)18.（12分)如图，在四棱锥Ｐ−ABCD 中,ＡB//ＣD ，且90BAP CDP ∠=∠=．(１）证明：平面PAB ⊥平面PAD ;(2）若PA =PD =AB =DC ,90APD ∠=，求二面角A −PB −C 的余弦值. ２017(天津)(1７)（本小题满分1３分)如图，在三棱锥Ｐ-ABC 中，ＰＡ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒.点D ,E ，N 分别为棱PA ，ＰＣ，B Ｃ的中点,Ｍ是线段ＡＤ的中点，PA =AC ＝４,ＡＢ=2．(ﻩ）求证：MN ∥平面BDE ；(ﻩ)求二面角C -ＥＭ－N 的正弦值;（ﻩ)已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线ＢＥ所成角的余弦值为21,求线段AH 的 ２0１６(二）（1９）（本小题满分1２分）如图，菱形ＡＢCD 的对角线AC 与B Ｄ交于点O ,AB =５,AC =6，点E ,F 分别在AD ，CD 上，AE ＝ＣF =，EF 交B Ｄ于点H .将△DEF沿ＥF 折到△的位置,.（I ）证明:平面ABC Ｄ；（II ）求二面角的正弦值.20１６(北京)6.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为（)A.B. C. Ｄ．20１6（北京）１７．(本小题1４分)如图，在四棱锥中,平面平面,，,,,，(1）求证:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值；1613121P ABCD -PAD ⊥ABCD PA PD ⊥PA PD =AB AD ⊥1AB =2AD =AC CD ==PD ⊥PAB PB PCD2015（二)(6)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（A ） （B) （C ） （Ｄ)2０1５（二）（19.(本小题满分12分)如图,长方体ABCD —Ａ１Ｂ1Ｃ1Ｄ1中,ＡB = 16，BC ＝ 10，AA 1 ＝ 8，点E ，F 分别在A 1Ｂ１,D 1C 1上，Ａ1E ＝ D 1F = 4，过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形。

（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF 与平面α所成的角的正弦值。

２０15(一）（18)如图,,四边形AB ＣD 为菱形，∠ABC=1２0°,Ｅ,F 是平面ABCD 同一侧的两点,ＢE ⊥平面ＡBCD ，DF ⊥平面ABC Ｄ，BE ＝2ＤＦ,AE ⊥EC 。

(1）证明：平面AE Ｃ⊥平面AFC （2）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值2０15(北京）5.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是A ．25+ B ．45+ C ．225+ D.5 201５（北京）17.（本小题14分）如图，在四棱锥A EFCB -中,AEF △为等边三角形,平面AEF ⊥平面EFCB ,EF BC ∥,4BC =，2EF a =，60EBC FCB ∠=∠=︒，O 为EF 的中点．11俯视图侧(左)视图21DD 1 C 1A 1E F ABC B 1（ﻩ) 求证：AO BE ⊥;(ﻩ) 求二面角F AE B --的余弦值； （ﻩ) 若BE ⊥平面AOC ，求a 的值.ﻩ2015（陕西)5．一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A ． B. C ． Ｄ.2０１5(陕西）18.（本小题满分12分）如图,在直角梯形中，,，,,是的中点，是与的交点．将沿折起到的位置，如图.(I ）证明：平面；（II ）若平面平面,求平面与平面夹角的余弦值． 答案:2017（三)１6. ②③O FECBA3π4π24π+34π+1CD AB D//C A B D 2π∠BA =C 1AB =B =D 2A =E D A O C A BE ∆ABE BE 1∆A BE 2CD ⊥1C A O 1A BE ⊥CD B E 1C A B 1CD A２０１7(三)1９．解:（1)由题设可得,,ABD CBD AD DC ∆≅∆=从而又ACD ∆是直角三角形，所以0=90ACD ∠ 取AC 的中点O ，连接D Ｏ,B Ｏ，则DO ⊥AC,DO=AO 又由于ABC BO AC ∆⊥是正三角形，故 所以DOB D AC B ∠--为二面角的平面角2222222220,Rt AOB BO AO AB AB BD BO DO BO AO AB BD ACD ABC∆+==+=+==∠⊥在中，又所以，故DOB=90所以平面平面(2)由题设及(1)知，OA,OB,OD 两两垂直，以O 为坐标原点,OA 的方向为x 轴正方向,OA为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则-(1，0，0),(0(1，0，0),(0，0，1)A B C D由题设知，四面体A ＢCE 的体积为四面体AB ＣD 的体积的12，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12,即Ｅ为DB的中点,得E 10，2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.故()()11，0，1，2，0，0，1，2AD AC AE ⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭ 设()=x,y,z n 是平面DA Ｅ的法向量,则00，即100，22x z AD x y z AE -+=⎧⎧=⎪⎪⎨⎨-++==⎪⎪⎩⎩n n可取11=⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭n 设m 是平面AE Ｃ的法向量，则0，0，AC AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩m m同理可得(01,=-m则77cos ,==n m n m nm 所以二面角D -ＡＥ－Ｃ的余弦值为72０1７（二）４【答案】B 【解析】试题分析:由题意,该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3,高为4的圆柱，其体积213436V =π⨯⨯=π，上半部分是一个底面半径为３,高为６的圆柱的一半，其体积221(36)272V =⨯π⨯⨯=π,故该组合体的体积12362763V V V =+=π+π=π．故选B.２０1７（二)1０．【答案】C201７（二)１9．2017(一）7试题分析：由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形,则这些梯形的面积之和为12(24)2122⨯+⨯⨯=，故选Ｂ. ２0１7(一)19.【解析】试题解析：（1)由已知90BAP CDP ∠=∠=︒,得AB ⊥AP ，C Ｄ⊥PD ．由于ＡB/／C Ｄ ,故A Ｂ⊥P Ｄ ，从而AB ⊥平面ＰＡD ．又AB ⊂平面PA Ｂ,所以平面PAB ⊥平面P ＡD . （２）在平面PAD 内作PFAD ⊥,垂足为F ，由（１）可知，AB ⊥平面PAD ，故AB PF ⊥,可得PF ⊥平面ABCD ．以F 为坐标原点,FA 的方向为x 轴正方向，||AB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -.由（1）及已知可得A,P，B,(C .所以(PC =-,(2,0,0)CB =,2(0,PA =,(0,1,0)AB =．设(,,)x y z =n 是平面PCB 的法向量,则0,0,PC CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,0,y ⎧+=⎪=可取(0,1,=-n .设(,,)x y z =m 是平面PAB 的法向量，则 0,0,PA AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m即0,0.x y =⎪=⎩可取(1,0,1)=m ．则cos ,||||⋅==<>n m n m n m ，所以二面角A PB C --的余弦值为3-.201７(天津）(１7)【答案】 (1）证明见解析（2)21 （３)85 或12（Ⅰ）证明:DE =（0,２，0)，DB =(2,０，2-）.设(,,)x y z =n ,为平面ＢＤＥ的法向量,则0DE DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即20220y x z =⎧⎨-=⎩.不妨设1z =,可得(1,0,1)=n .又MN =（1，２,1-），可得0MN ⋅=n .所以，线段A Ｈ的长为或12. ２0１６(二）19．（本小题满分12分）【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）.【解析】试题分析:(Ⅰ）证,再证,最后证;（Ⅱ)用向量法求解.试题解析:(Ｉ）由已知得，,又由得,故.因此，从而．由,得.由得.所以,．于是,，故．又，而，所以.（II)如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向,建立空间直角坐标系，则，,,,，，，.设是平面的法向量，则，即,所以可以取.设是平面的法向量，则，即，所以可以取．于是, .因此二面角的正弦值是.2016（北京)6.试题分析:分析三视图可知,该几何体为一三棱锥，其体积，故选A ． ２０１６(北京）17【答案】（1)见解析；(2；（3)存在,P ABC -111111326V=⋅⋅⋅⋅=14AM AP =（3)设是棱上一点,则存在使得．因此点.因为平面，所以平面当且仅当,即，解得.所以在棱上存在点使得平面,此时． 2０15(二)6【答案】DM PA ]1,0[∈λAM λ=),,1(),,1,0(λλλλ--=-BM M ⊄BM PCD ∥BM PCD 0=⋅n BM 0)2,2,1(),,1(=-⋅--λλ41=λPA M BM ∥PCD 41=AP AM【解析】由三视图得，在正方体中，截去四面体,如图所示,,设正方体棱长为,则，故剩余几何体体积为,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为.２015（二)19２01５(一）1８【答案】(Ⅰ）见解析(Ⅱ)3∴222EG FG EF +=，∴EＧ⊥FG ,∵AC ∩FG ＝G ，∴EG ⊥平面AFC,∵EG ⊂面AEC ，∴平面ＡFC⊥平面AEC. …6分(Ⅱ)如图,以G 为坐标原点，分别以,GB GC 的方向为x 轴，ｙ轴正方向，||GB 为单位长度,建立空间直角坐标系G -xy ｚ，由(Ⅰ)可得A （)，E （1，0, ，F （-1,0,2),C(０，0),∴AE =(1）,CF2) (1)０分故cos ,||||AE CF AE CF AE CF •<>==-.所以直线AE 与CF所成的角的余弦值为3. 12分 ２015（北京)5．三棱锥表面积表2S =+.2０1５（陕西)5试题分析:由三视图知：该几何体是半个圆柱,其中底面圆的半径为,母线长为,所以该几何体的表面积是,故选D. ２015（陕西）18.【答案】(I)证明见解析；(ＩI．试题解析:（I)在图1中，12()1211222342ππ⨯⨯⨯++⨯=+因为ＡB=ＢC ＝1,ＡD ＝2,E 是A Ｄ的中点，BAD=,所以BE AC 即在图2中，ＢＥ ,ＢE OC 从而ＢＥ平面 又CD B Ｅ,所以CD 平面．(I Ｉ）由已知,平面平面BCDE ，又由（1)知，BE ,ＢＥ OC所以为二面角的平面角，所以.如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系,因为， 所以得 ，. 设平面的法向量,平面的法向量，平面与平面夹角为， 则，得,取，,得，取, 从而,即平面与平面夹角的余弦值为.∠2π⊥⊥1OA ⊥⊥1A OC ⊥1AOC 1A BE ⊥⊥1OA ⊥1A OC ∠1--C A BE 1OC 2A π∠=11B=E=BC=ED=1A A BCED 12E(,0,0),A B 22BC(,,0),122A C(0,)CD BE(2,0,0)1BC A 1111(,,)n x y z 1CD A 2222(,,)n x y z 1BC A 1CD A θ11100n BC n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩111100x y y z -+=⎧⎨-=⎩1(1,1,1)n 22100n CD n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩22200x y z =⎧⎨-=⎩2(0,1,1)n=12cos |cos ,|3n n θ=〈〉==1BC A 1CD A 3。