(完整版)历年高考立体几何大题试题
3. 【2015 高考安徽，理 19】如图所示，在多面体 A 1B 1D 1DCBA ，四边形
AA 1B 1B ， ADD 1 A 1 , ABCD 均为正方形， E 为B 1D 1的中点，过 A 1,D, E 的平
面交 CD 1于 F.
2015 年高考立体几何大
题试卷
1.【 2015 高考新课标 2，理 19】 如图，长方体 ABCD A 1B 1C 1D 1中, AB=16 ， BC =10， AA 1 8，点E ，F 分别在 A 1B 1， C 1D 1上， A 1E D 1F 4
．过点 E
， F 的平
面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方
形． B
（1 题图） Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由） Ⅱ）求直线 AF
与平面 所成角的正弦值． 2. 【2015 江苏高考， 16】 如图，在直三棱柱 ABC A 1B 1C 1中，已知 AC BC ， BC CC 1，设 AB 1的中点为 D ， B 1C BC
1 E . 求证：（ 1） DE // 平面 AA 1C 1C ；
2) BC 1 AB 1 .
C
2 题
图）
3 题图）
（Ⅰ）证明：EF //B1C ；（Ⅱ）求二面角E A1D B1余弦值 .
4. 【2015 江苏高考， 22】如图，在四棱锥 P ABCD 中，已知 PA 平面 ABCD ，且
四边形 ABCD 为直角梯 形， ABC BAD ,PA AD 2, AB BC 1
2
（ 1）求平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的余弦值；
2）点 Q 是线段 BP 上的动点，当直线 CQ 与 DP 所成角最小时，求线段 BQ 的长
面 BEC ，BE ^ EC ，AB=BE=EC=2 ，G ，F 分别是线
段
（ Ⅰ ）
GF//平面
（ Ⅱ）求平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值．
6.【2015 高考浙江，理 17】如图，在三棱柱 ABC A 1B 1C 1 -中， BAC 90o
， AB
AC 2， A 1A 4， A 1在底面 ABC 的射影为 BC 的中点， D 为B 1C 1的中点 .
（1）证明： A 1D 平面 A 1B C ；
2）求二面角 A 1 -BD- B 1的平面角的余弦值
4 题图）
5 题图）
5 .【 2015 高考福建， 理 17】如图， 在几何体 ABCDE 中， 四边形 ABCD 是矩形， AB ^ 平
BE ， DC 的中点 .
D
7. 【 2015高考山东，理 17】如图，在三棱台 DEF ABC 中， AB
AC,BC 的中点. (Ⅰ)求证： BD//平面 FGH ；
Ⅱ）若 CF 平面 ABC ， AB BC,CF DE 平面 ACFD 所成的角(锐角)的大小
8 . 【2015 高考天津，理 17】 如图，在四棱柱 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，侧棱
A 1 A 底面 ABCD , A
B A
C , AB=1,
AC = AA 1 = 2, AD = CD = 5,且点M 和N 分别为 B 1C 和D 1D 的中点.
(I)
求
MN //平面
(II) 求二面角 D 1 - AC - B 1 的正弦值；
1
(III)
设 E 为棱 A 1B 1上的点，若直线 NE 和平面 ABCD 所成角的正弦值为 ，求线
段
3
A 1E 的长
6 题图)
7 题图)
2DE,G,H 分别为
BAC 45o
, 求平面 FGH 与
9.【 2015 高考重庆，理 19】 如题（ 19）图，三棱锥 P ABC 中， PC 平面
ABC , PC 3, ACB .D,E 分别为线段 AB, BC 上的点，且
2 CD DE 2,CE 2EB 2.
1）证明： DE 平面 PCD （2）求二面角 A PD C 的余弦值
10 . 【2015 高考四川，理 18】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图 如图所示，在正方体中，设 BC 的中点为 M ，GH 的中点为 N （1）请将字母 F,G,H 标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由） （2）证明：直线 MN//平面 BDH
（3 ）求二面角 A EG M 的余弦值 .
10 题图）
9 题图）
B
1）证明： PE FG ； 2）求二面角 P - AD - C 的正切值；
11 . 【2015 高考湖北，理 19】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面 垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳 马 P ABCD 中，侧棱 PD 底面 ABCD ，且 PD CD ，过棱 PC 的中点 E ，作 EF PB 交 PB 于点 F ，连接 DE, DF, BD, BE.
Ⅰ）证明： PB 平面 DEF ．试判断四面体 DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面 的直角（只需写 出结论）；若不是，说明理由；
Ⅱ）若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为 3π
，求 B D C
C 的值．
11 题图）
起到 1 的位置，如图 2 ．
I
）证
CD 平面 1 C ；
平面 CD ，求平面 1 C 与平面 1CD 夹角的余弦值．
12 . 【 2015高考陕西，理 18】如图 1，在直角梯形 CD 中， D// C ，
D ，
2
，
C 1，
D 2， 是 D 的中点，
是 C 与 的交点．将
沿折
II ）若平面
13. 【2015高考新课标 1，理 18】如图，，四边形 ABCD 为菱形，
∠ABC =120°， E ， F 是平面 ABCD 同一侧的两点， BE ⊥平面 ABCD ，DF ⊥平面
ABCD ，BE =2 DF ，AE ⊥EC .
（Ⅰ ）证明：平面 AEC ⊥平面 AFC ；
（Ⅱ ）求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值 .
14. 【2015高考北京，理 17】如图，在四棱锥 A EFCB 中， △AEF 为等边三角形，平 面 AEF 平面 EFCB ，EF ∥BC ，BC 4，EF 2a ， EBC FCB 60 ，O 为EF 的 中点．
（ Ⅰ） 求证： AO BE ； （Ⅱ） 求二面角 F AE B 的余弦值； ( Ⅲ) 若 BE 平面 AOC ，
求
a 的值．
15. 【 2015 高考广东，理 18】如图，三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平 面垂直， PD = PC = 4 ，AB = 6 ，BC =3 .点E 是CD 边的中点，点
F 、
G 分别在线段 AB 、 BC 上，且 AF =2FB ，CG=2GB ．
13 题图） 14 题图）
C
1）证明： PE FG ； 2）求二面角 P - AD - C 的正切值；
3）求直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值．
16。 2015 高考湖南，理 19】如图，已知四棱台 ABCD A 1B 1C 1D 1 上、下底面分别是
边长为 3 和 6 的正方形， AA 1 6 ，且AA 1 底面 ABCD ，点 P ，Q 分别在棱
DD 1，
BC 上. （1）若 P 是DD 1的中点，证明： AB 1 PQ ； （2）若PQ//平面 ABB 1
A 1 ， 3
二面角 P QD A 的余弦值为 ，求四面体 ADPQ 的体积
7
17. 【2015 高考上海，理 19 】如图，在长方体 CD 1 1C 1D 1
中，
1
1 ，
D 2， 、 F 分别是 、 C 的中点．证明 1、C 1、 F 、 四点共面，并
求直线 CD 1 与平面 1C 1F 所成的角的正弦值
C
15 题
16 题
17 题图）