4.1 激光器的振荡阈值
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4.1 激光器的振荡阈值-20200422
n
n2
f2 f1
n1
n2
f2 f1
(n
n2 )
E3 w13 A31 E1
S32
E2
S21 A21 W21 W12
激光下能级E1为基态
f2 n n
n2
f1 1 f2
f1
nt n
n2t
n 2
n2t
f2 f1
n
nt
1 f2
f1
f1 f2
n2t
n
nt 2
Ppt
n
212 s
V
h p =
n
2F s
短脉冲激光器阈值泵浦能量(J)
四能级
E pt
nt
1
V
h p
三能级
E pt
n
21
V
h
p
注意：当 t0 ~τ ( 界于长脉冲与短脉冲之间) A21 & S21的影响不能忽略， 无法得到 Ept 解析表达式，可数值求解。
第四章 激光器的工作特性
阈值泵浦功率和能量
阈值泵浦功率Ppt 阈值泵浦能量Ept
12 s
n2t
或 1 2
1
S32 S32 A31
阈值泵浦功率
Ppt
n2t
12 s
V
h pntF s NhomakorabeaV
h p
V
F s 21( , 0 )l
h p
h p－泵浦光子能量
2. 三能级系统激光器
设总粒子数密度为n, 阈值粒子数密度为n2t
S32 0 n3 0
n1 n2 n n1=n n2
g 0 ( )
gt01 gt00
TEM00 TEM01 起振模
激光器的振荡阈值
n nt
n2t
n 2
Ppt
h pnV 2F s
三、短脉冲（t0
）激光器的阈值泵浦能量
2
当光泵泵浦时间很短时, 在泵浦持续期间E2能级的 自发辐射和无辐射跃迁的影响可以忽略不计,则 :
dn2 dt
n3S32
——E2能级增加的粒子数
又 S32非常大，n3
0，dn3 dt
n 2
Ept
h pnV 21
n n
nt
0
1
2
3
n
FWp s
讨论 : 1) 在相同条件下,三能级系统的阈值比四能级系统
高得多;
四能级系统的激光下能级激发态: n1 0, n2t nt
三能级系统的激光下能级为基态: n2t
n 2
nt 2
而
n 2
nt
Ept3 Ept4 , Ppt3 Ppt4
2) 四能级激光器阈值泵浦功率(能量)正比于光腔损耗 ; 而三能级激光器Ept , Ppt几乎与无关。
3)
四能级的阈值能量(功率)反比于 21
, 正比于
；
F
而三能级的
对阈值无明显影响。
21
4）四能级的阈值随波长变短而迅速提高：
Ppt 4
1
21
1
2
短波长四能级x射线激光器难以实现激光振荡
.
5)
Ept , Ppt
1
F
应选取具有高F的激光工作物质和跃迁。
mnq
l
的自发辐射光才能形成激光振荡
二、连续或长脉冲激光器的阈值泵浦功率
n2t
n 2
Ppt
h pnV 2F s
三、短脉冲（t0
）激光器的阈值泵浦能量
2
当光泵泵浦时间很短时, 在泵浦持续期间E2能级的 自发辐射和无辐射跃迁的影响可以忽略不计,则 :
dn2 dt
n3S32
——E2能级增加的粒子数
又 S32非常大，n3
0，dn3 dt
n 2
Ept
h pnV 21
n n
nt
0
1
2
3
n
FWp s
讨论 : 1) 在相同条件下,三能级系统的阈值比四能级系统
高得多;
四能级系统的激光下能级激发态: n1 0, n2t nt
三能级系统的激光下能级为基态: n2t
n 2
nt 2
而
n 2
nt
Ept3 Ept4 , Ppt3 Ppt4
2) 四能级激光器阈值泵浦功率(能量)正比于光腔损耗 ; 而三能级激光器Ept , Ppt几乎与无关。
3)
四能级的阈值能量(功率)反比于 21
, 正比于
；
F
而三能级的
对阈值无明显影响。
21
4）四能级的阈值随波长变短而迅速提高：
Ppt 4
1
21
1
2
短波长四能级x射线激光器难以实现激光振荡
.
5)
Ept , Ppt
1
F
应选取具有高F的激光工作物质和跃迁。
mnq
l
的自发辐射光才能形成激光振荡
二、连续或长脉冲激光器的阈值泵浦功率
激光原理 第四章-1激光器的振荡阈值
Ppt h p nV 2 F s
h p V
1 21 ( , 0 )l
h p nV 21
n n2t 2
E pt
end
一 激光器的振荡阈值(threshold)
Operation at threshold 阈值反转集居数密度 阈值增益系数 连续或长脉冲激光器的阈值泵浦功率 短脉冲激光器的阈值泵浦能量
（一）阈值反转集居数密度 (population inversion density at threshold)
能否产生振荡，取决于增益与损耗的大小。 谐振腔的长度L往往大于工作物质的长度l， 假设谐振腔中光束体积为VR，工作物质中的 光束体积为Va，谐振腔中折射率均匀分布， 则第l个模式的光子数变化的方程
L为谐振腔 光程长度
c
d ( NlVR ) NlVR f2 (n2 n1 ) 21 ( , 0 ) NlVa dt f1 Rl
n nt 21 ( , 0 )l
0
• 不同模式具有不同的21(,0)值，频率为0的 模式阈值最低，表示为 n ( )
t 0
21l
（二）阈值增益系数
激光自激振荡时，小信号增益系数满足
g ( ) g t
0
l
• 不同纵模具有相同的，因而具有相同的阈 值gt。
V为工作物质的体积， p为泵浦光频率
Ppt
h p n2tV
F s
h p V
F s 21 ( , 0 )l
2、三能级激光器的阈值泵浦功率
参与激光作用的下能级是基态，有
n nt n2t 2
n2 n1 nt n2 n1 n
h p V
1 21 ( , 0 )l
h p nV 21
n n2t 2
E pt
end
一 激光器的振荡阈值(threshold)
Operation at threshold 阈值反转集居数密度 阈值增益系数 连续或长脉冲激光器的阈值泵浦功率 短脉冲激光器的阈值泵浦能量
（一）阈值反转集居数密度 (population inversion density at threshold)
能否产生振荡，取决于增益与损耗的大小。 谐振腔的长度L往往大于工作物质的长度l， 假设谐振腔中光束体积为VR，工作物质中的 光束体积为Va，谐振腔中折射率均匀分布， 则第l个模式的光子数变化的方程
L为谐振腔 光程长度
c
d ( NlVR ) NlVR f2 (n2 n1 ) 21 ( , 0 ) NlVa dt f1 Rl
n nt 21 ( , 0 )l
0
• 不同模式具有不同的21(,0)值，频率为0的 模式阈值最低，表示为 n ( )
t 0
21l
（二）阈值增益系数
激光自激振荡时，小信号增益系数满足
g ( ) g t
0
l
• 不同纵模具有相同的，因而具有相同的阈 值gt。
V为工作物质的体积， p为泵浦光频率
Ppt
h p n2tV
F s
h p V
F s 21 ( , 0 )l
2、三能级激光器的阈值泵浦功率
参与激光作用的下能级是基态，有
n nt n2t 2
n2 n1 nt n2 n1 n
【光子】 lec4_激光振荡
40 g2 1 0.2 50
R2
g1g 2 0.2
稳定
12
2.谐振腔的作用
光学谐振腔是激光器的重要组成部分。 （1）提供光学正反馈作用
能保证光束在腔内多次往返经受激活介质的受 激辐射放大,从而在腔内建立和维持稳定的自激振 荡。得到高强度的激光。 光学反馈作用取决于腔镜的反射率、几何形状 以及之间的组合关系。
横模指数：m ,n
TEM00
TEM10
TEM20
TEM40
TEM50
TEM21
圆形镜腔：旋转对称 TEMmn： TEM00 m—半径方向上出现的暗环数 n —暗直径数
TEM10 TEM03
35
特点：
横模阶数越高，光强分布图案越复杂且分布 范围越大。高阶横模输出功率大。 阶数最低的基模（TEM00), 其光强分布图 案最简单而分布范围最小。基横模光束质量 高。 横模的特征与腔的几何参数、如腔长、两个 反射镜面的孔径尺寸和曲率半径有关。
9
而为什么He-Ne激光器输出激光的
Δ
会小到10 - 15 呢？
16
从入射的荧光宽带光中挑选出一系列离散 的透射中心波长，并大大压缩其线宽，以某 种方式取出的一个单一频率，使输出单色性 将大大提高。
输出
输入
q
Δ c
q 1
q
q 1
17
4.2 激光振荡的模式
光学谐振腔的两个反射镜构成腔的边界，它 对腔内的激光场产生约束作用，并不是任意形式 的电磁振荡都可以存在于腔中的。把可能存在于 谐振腔中的电磁振荡，称为模式。 腔内电磁场的空间分布可分解为沿传播方向 （腔轴方向）和垂直于传播方向的横截面内的分布。 沿腔轴方向的稳定场分布称为谐振腔的纵模。 垂直于腔轴方向的稳定场分布称为谐振腔的横模。
激光器的损耗与阈值条件
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r1
L
r2
(3)
2.2激光器的损耗与阈值条件
I 2 r1 r2 I1 exp(G0 a内)2L
I out t1 r2 I1 exp(G0 a内)2L
I3
I h a1I1" a1 r2 I1 exp( G0 a内)2L
(4) I1 ' ' I 2 总镜面损耗 Iout Ih ,即
增益系数的阈值条件为：
G a总
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G0 G阈 a总； 1 IM IS
2.2激光器的损耗与阈值条件
对非均匀介质有 : G阈
0 GD
(1 I M I S )
12
a总
二. 粒子数密度反转分布值的阈值 n阈 ：
G阈＝n阈 B21
a 总c hν f (ν)＝a总 n阈＝ B21 hν f (ν) c A21 (c )3 c3 B21 3 8hν 8hν3 3
n2 n阈
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三种激光器的有关参数
2.2激光器的损耗与阈值条件中原工学院Βιβλιοθήκη 理学院第二章 激光器的工作原理
2.5 激光器的损耗与阈值条件
2.5.1 激光器的损耗
一. 内部损耗
2.2激光器的损耗与阈值条件
I I0 exp Gz
I I 0 exp(G a内) z
a内——内部损耗系数，具有L-1（长度）量纲
二. 镜面损耗 r1I(或r2I) t1I(或t2I) a1I(或a2I) r1 r2——M1 M2 的反射率 t1 t2——M1 M2 的透射率
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2.2激光器的损耗与阈值条件
一激光器振荡阈值threshold
dN l 0 dt
n nt 21 ( , 0 )l
0
• 不同模式具有不同的21(,0)值，频率为0的 模式阈值最低，表示为 n ( )
t 0
21l
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（二）阈值增益系数
激光自激振荡时，小信号增益系数满足
g ( ) g t
n2t nt 21 ( , 0 )l
当n2稳定于n2t时，E2
E1 ，即n2t/(2s)
为保证稳定，单位时间内必须 E3E2， n2t/(2s)
E0E3， n2t/(Fs) 工作物质必须从光泵吸收n2t/(Fs) 光子数，为此须吸 收的泵浦功率称作激光器的阈值泵浦功率，以 Ppt表示
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f2 n2 n1 nt f1 参与激光作用的下能级是基态，有 n2 n1 n f2 n nt 一般有 nt n f2 f1 n n2 t f1 f2 n2 t 1 f2 f1 1 f1
2、三能级激光器的阈值泵浦功率
采用与四能级系统类似的方法分析
L为谐振腔 光程长度
c
假设光束直径沿腔长 均匀分布
dN l N f l (n2 2 n1 ) 21 ( , 0 )cN l l dt f1 L L
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• 当 时，腔内辐射场可由微弱的自发辐 射场增长为足够强的受激辐射场。 • 考虑到在阈值附近腔内光强很弱，相当于小 信号情况，得出自激振荡的阈值条件为
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一 激光器的振荡阈值(threshold)
• • • • • Operation at threshold 阈值反转集居数密度 阈值增益系数 连续或长脉冲激光器的阈值泵浦功率 短脉冲激光器的阈值泵浦能量
激光器的阈值增益系数
激光器的阈值增益系数（原创版）目录1.激光器的阈值增益系数的概念2.阈值增益系数与激光器性能的关系3.影响阈值增益系数的因素4.提高阈值增益系数的方法5.阈值增益系数在实际应用中的意义正文激光器的阈值增益系数是指在激光器工作时，使其输出光功率达到一定值所需的最小泵浦功率与增益的比值。
阈值增益系数是衡量激光器性能的重要参数，它直接影响到激光器的输出功率、效率和稳定性。
阈值增益系数与激光器性能的关系密切。
当阈值增益系数越大时，表示激光器需要较小的泵浦功率就能达到较大的输出光功率，说明激光器的性能越好。
反之，若阈值增益系数较小，则需要较大的泵浦功率才能达到相同的输出光功率，这将导致激光器的效率降低，稳定性变差。
影响阈值增益系数的因素有很多，如激光介质的性质、激光器的结构、泵浦源的性质等。
对于同一种激光器，不同的泵浦源和结构设计可能会导致其阈值增益系数的差异。
因此，在设计和优化激光器时，需要综合考虑这些因素，以提高阈值增益系数，从而提升激光器的性能。
提高阈值增益系数的方法主要有以下几点：1.选择合适的激光介质和结构，以降低激光器的阈值增益系数；2.选择合适的泵浦源，以提高泵浦功率和增益的比值；3.优化激光器的结构设计，以提高其性能；4.通过调节激光器的工作参数，如温度、电流等，以优化其性能。
阈值增益系数在实际应用中的意义主要体现在以下几个方面：1.阈值增益系数越大，激光器所需的泵浦功率越小，可以降低能耗和运行成本；2.阈值增益系数越大，激光器的输出光功率和效率越高，可以提高其在实际应用中的性能；3.阈值增益系数越大，激光器的稳定性越好，可以提高其在长时间运行中的可靠性。
综上所述，阈值增益系数对于激光器的性能具有重要意义。
第四章 激光器工作原理教材
(4.28） (4.29）
其中N’(t)及Δn’(t)均为小量，N0和 (Δn) 0为方程的稳态解且 N’(t)<<N0,Δn’(t)<<(Δn) 0 。
(n)0 nt
N0 R[W03(n nt ) A21nt ]
（4.26） （4.27）
将式（4.26）、（4.27）、（4.28）、（4.29）代入方程（4.24）和（4.25）得
I '(z)
dz I ' (z) 2I '(z) 1
p
dI ' (z) p dz
I'
I '(z) 1 (z) 2I '(z)
射光信号强度在放大器中I(z) 与Is可比拟
gmdz
[1 I (z) Is ]dI (z)
I (z){1[1 I (z) Is ]
gm}
上式在放大器全长上积分，则放大器输出端光强
(4.42)
ln[
I (l)] I0
[gm
a]l
gm a
ln
gm
a[1
I (l)] Is
gm
a[1
dN dt
'
21N0n'
dn' dt
(
21N 0
A21
W03
)n'
N'
R
（4.30） （4.31
将（4.30）和（4.31）取微分后再代入（4.30）和（4.31），得二阶微分方程
d 2n' dt 2
dn' dt
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短脉冲激光器阈值泵浦能量(J)
四能级
E pt
nt 1
h
pV
三能级
E pt
n 21
h
pV
长脉冲或连续激光器阈值泵浦功率(W)
Ppt
nt 1 2 s
h
pV
Ppt
n 21 2 s
h
pV
注意：当 t0 ~τ ( 界于长脉冲与短脉冲之间) A21 & S21的影响不能忽略， 无法得到 Ept 解析表达式，可数值求解。
激光器振荡阈值条件（nt, gt, Ppt, Ept）
振荡阈值(条件)－产生激光振荡的最低限制条件
激光器的振荡模式
振荡模式－满足自激振荡条件，在激光器中能形 成稳定振荡输出的模式
15
第四章 激光器的工作特性
g 0 ( )
gt01 gt00
TEM00 TEM01 起振模
第四章 激光器的工作特性
17
Ppt,E pt
应保证腔内各光学元件质量, 减小各种损耗
5. Ppt和Ept的实际含义 推导得出的Ppt或Ept－有效泵浦功率或泵浦能量 实际激光器Ppt或Ept 指输入泵浦光源的电功率(固体激光器为例)
充电
放电
发光
部分
电源
电容
脉冲氙灯
工作物质 吸收 nt
• 半导体激光器 Ith 注入电流
• 气体激光器
四能级系统粒 子数分布示意
第四章 激光器的工作特性
E3能级向E2能级无辐 射跃迁的量子效率 E2能级向E1能级 跃迁的荧光效率
1
S32 S32 A30
2
A21 A21 S21
E3
w03 A30
E0
E2
S21
E1
S32 A21 W21 W12
S10
发射荧光的光子数
总量子效率 F 1 2 工作物质从光泵吸收的光子数
放电电流
• 固体激光器
光泵
14
第四章 激光器的工作特性
谐振腔、激活物质和激励源是一般激光器的三个基本部分 光学谐振腔：提供光学正反馈；实现模式的筛选
模式主要特征：场分布，谐振频率，往返损耗，发散角
激励或泵浦：通过外界向激活物质提供能量，打破热平衡， 实现粒子数反转(n2>n1)
光和物质的共振相互作用是激光振荡和放大 的物理基础。
第四章 激光器的工作特性
讨论:
1. 四能级系统激光器阈值能量或功率低于三能级系统
四能级 n1 0, 只需抽运nt 粒子就可使 g> 形成振荡
三能级 n1为基态, 至少要抽运 n/2 粒子, 且 n/2 >> nt
2. 泵浦效率 1 的提高有助于降低泵浦阈值
3. Ppt, Ept 与工作物质特性有关 F , 2 1, s , F
f2 f1
n1 21( , 0 )cN l
l Nl L Rl
谐振腔
谐振腔中光束体积:VR 工作物质中光束体积:Va
阈值附近，腔
dNl dt
n2
f2 f1
n1 21( , 0 )cN l
l Nl L Rl
内的光场很弱 (小信号)。
R
L
c
dNl 0 dt
nt
(
)
21 ( ,
0
长脉冲激光器； 连续激光器 可按稳态处理
理论上说，脉冲激光器和连续激光器没有严格界限，有区别也 有联系
2
4.1 激光器的振荡阈值
一、 阈值反转粒子数密度 nt(阈值条件)
激光自激振荡器条件: 1. n > 0; 2. g >
L
推导nt公式的两种方法：1、速率方程; 2、增益(光强)变化
在泵浦时间内，各能级粒子数及腔内光子数密度达到稳定
状态。 dn/dt=0; dNl/dt=0
速率方程 代数方程
2.脉冲激光器－非稳定工作状态(非稳态)
泵浦持续时间短，各能级粒子数及腔内光子数密度随时间处于
剧烈的变化之中
短脉冲激光器； 未达到平衡，泵浦作用终止
非稳态（ 数值解, 小信号微扰或其他近似方法）
• 不同纵模具有相同的阈值增益 gt
• 不同横模的衍射损耗不同，gt不同
高阶横模的阈值增益大于基模，即
g
01 t
g
00 t
6
g 0 ( )
gt01 gt00
TEM00 TEM01 起振模
三、阈值泵浦功率Ppt －连续激光器或长脉冲激光器（ t0>>2）
E3 E2
E4 E3
E2
E1
E1
三能级系统粒 子数分布示意
设总粒子数密度为n, 阈值粒子数密度为n2t
S32 0 n3 0
n1 n2 n n1 n n2
n
n2
f2 f1
n1
n2
f2 f1
(n
n2 )
f2 n n
n2
f1 1 f2
f1
n2t
f2 f1
n
nt
1 f2
f1
f1 f2
n2t
n
nt 2
nt n
n2t
n 2
Ppt
n
2 F s
)l
n0
nt
(
)
21( , 0
)l
不同模式(频率0 )具有不nt同( 的0 ) 受 激2辐1l 射－截中面心频2率1(处,阈0 值) 反8A转21粒v022子 数g (最,低0 )
通常0时的反转粒子数密度称作阈值反转粒子数密度。
nt
(
)
21
( ,
0
)l
g
n 21 ( , 0 )
gt
nt
(
)
Ppt
F 21 sl
h pV
均匀加宽 21
v 2 A21
4
2
2 0
H
非均匀加宽
21
ln 2 v 2 A21
4
3
2
2 0
D
F , 21 , s Ppt , E pt
F 21 Ppt, E pt
13
第四章 激光器的工作特性
• 荧光线宽小的介质是好的激光工作物质(YAG较小)
4. n t
n2t nt 21l（中心频率处）
当 n 2 n 2 t 时，（作为稳态处理）
E3
w03 A30
E0
E2
S21
E1
S32 A21 W21 W12
S10
单位时间、单位体积内： E2
n (A21+S21)n2t
跃迁的粒子数 E1 ，即 2 t
( 2 s ) 或 n2t 2
为维持稳定 n 2 n 2t ， 单位时间内必须由E3E2粒子的无辐射
第四章 激光器的工作特性
主要内容 振荡阈值 振荡模式和模式选择 输出功率与能量 单模激光器的线宽极限 激光器的频率牵引与频率稳定 驰豫振荡 Q调制 激光器的注入锁定 锁模技术 光放大器和放大的自发辐射
第四章 激光器的工作特性
按泵浦方式－激光器分类
1.连续激光器－稳定工作状态(稳态)
跃迁补充，n2t/(2s)
• 通过泵浦（吸收）E0E3的粒子数为： n 2 t ( 1 2 s ) 或 n 2 t ( 1 2 )
阈值泵浦功率
Ppt
n2t 1 2 s
h pV
nt F s
h pV
F s 21 ( , 0 )l
h pV
h
－泵浦光子能量
p
2. 三能级系统激光器 •激光下能级为基态
h
pV
四、阈值泵浦能量Ept －短脉冲激光器（t0<<2） 短脉冲激励：只考虑泵浦激励作用，忽略A21及S21。
若E2能级增加一个粒子 ——需吸收（泵浦）光子数 （1/1） 要使n2=n2t —— 需吸收（泵浦）光子数 ( n2t / 1 )
当单位体积吸收的泵浦光子数 > ( n2t / 1 ) 就能产生激光。
21 (
,
0
)
l
阈值增益系数
第四章 激光器的工作特性
二、阈值增益系数 gt
n0 nt
g 0 (
)
gt
nt (
) 21(
,0 )
l
0
nt
(
0
)
21l
nt
21l
v 2 A21
4
2
2 0
H
nt
21l
ln 2 v 2 A21
4
3
2
2 0
D
均匀加宽 非均匀加宽
讨论：
• 不同模式() 21(,0)不同 nt不同，即nt()
1.
速率方程:
小信号情况 dNl dt
0
时的n=
nt
dNl dt
n2
f2 f1
n1 21( , 0 )vN l
Nl Rl
修正
d( N lVR ) dt
n2
f2 f1
n1 21 ( , 0 )vN lVa
N lVR Rl
光斑直径 均匀分布
Va l
VR L
dNl dt
n2
四能级振荡速率方程:
dn3 dt
dn2 dt
n0W03 n3 n3S32 n2
S32
1
A21
2
0
0
n0W03
A21n2
12
表示：单位时间、单位体积 中从E0跃迁到E3的粒子数。
工作物质须吸收的泵浦功率为
Pp
n0W03h pV
n2 A21
F
h
pV
9
1.四能级系统 (假定泵浦均匀)
S10 0 n1 0 n n2