代数式与整式复习总结

本章知识结构框架图考试内容A （基本要求）B （略高要求）C （较高要求）代数式理解用字母表示数的意义 会列代数式表示简单的数量关系；能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义代数式的值了解代数式的值的概念 会求代数式的值；能根据代数式的值或特征推断代数式反映的规律能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算；能通过代数式的适当变形求代数式的值整式了解整式的概念，理解单项式的系数与次数、多项式的次数、项与项数的概念，明确它们之间的关系整式的加减运算理解整式加、减运算的法则会进行简单的整式加、减运算能合理运用整式的概念及其加减运算对多项式进行变形，进一步解决有关问题代数式单项式多项式整式同类项 合并同类项去括号、添括号法则整式加减法系数次数项列代数式中考要求代数式与整式丰富的问题情景课时1 代数式、单项式、多项式基础过关代数式的定义：用基本的运算符号(加、减、乘、除、乘方等)把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式.单独的一个数或字母也是代数式.列代数式：列代数式实质上是把“文字语言”翻译成“符号语言”.列代数式的关键是正确地分析数量关系，要掌握和、差、积、商、幂、倍、分、大、小、多、 少、增加、增加到等数学概念和有关知识. 在列代数式时，应注意以下几点：（1） 在同一问题中，要注意不同的对象或不同的数量必须用不同的字母来表示； （2） 字母与字母相乘时可以省略乘号；（3） 在所列代数式中，若有相除关系要写成分数形式；（4） 列代数式时应注意单位，单位名称在代数式后面写出来，如果结果为加减关系，必须用括号将代数式括起来；（5） 代数式中不要使用带分数，带分数与字母相乘时必须把带分数化成假分数.单项式： 像2-a ，2r π，213-x y ，-abc ，237x yz ，……这些代数式中，都是数字与字母的积，这样的代数式称为单项式.也就是说单项式中不存在数字与字母或字母与字母的加、减、除关系，特别的单项式的分母中不含未知数.单独的一个字母或数也叫做单项式，例：a 、3-.单项式的次数：是指单项式中所有字母的指数和.例如：单项式212-ab c ，它的指数为1214++=，是四次单项式.单独的一个数(零除外)，它们的次数规定为零，叫做零次单项式.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项数的系数.例如：我们把47叫做单项式247x y 的系数.同类项： 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项.多项式： 几个单项式的和叫做多项式.例如：27319-+x x 是多项式.多项式的项： 其中每个单项式都是该多项式的一个项.多项式中的各项包括它前面的符号.多项式中不含字母的项叫做常数项.多项数的次数：多项式里，次数最高项的次数就是这个多项式的次数. 整式： 单项式和多项式统称为整式.例题精讲1. 对单项式、多项式、整式进行判断例1 判断下列各代数式，哪些是单项式，哪些是多项式，哪些不是整式． (1)－3xy 2； (2)2x 3＋1；(3)21(x ＋y ＋1)； (4)－a 2； (5)0；(6)yx 2； (7)32xy； (8)x21；(9)x 2＋x1－1； (10)11+x ； 解：单项式有：(1)－3xy 2，(4)－a 2，(5)0，(7)32xy； 多项式有：(2)2x 3＋1，(3)21(x ＋y ＋1)；不是整式的有：(6)y x 2，(8)x 21，(9)x 2＋x 1－1，(10)11+x ．知识体验：只有数字与字母的乘积，这样的代数式是单项式，几个单项式的和组成多项式，单项式和多项式都是整式。

在数字和字母之间只出现了乘法、加法、减法（可转化为加法）的运算，这样的代数式就是整式。

没有出现2÷x 即x 2,或x÷2即2x 这样的式子，那么2x ,x2是整式吗？2x 可以写成21·x,所以2x 是单项式，而2x是数字与字母的商，所以不是单项式，更不是整式，所以整式最显着的特征是字母不能作分母。

所以(6)y x 2；(8)x 21；(9)x 2＋x 1－1；(10)11+x ；这几个代数式分母中含有字母，就不是整式。

易错提示： (6)yx2 和 (7)32xy 这两个代数式常会误以为都是单项式，（7）可以看成xy •32，所以是单项式，而（6）是2x ÷y ，所以不是单项式也不是整式。

(3)21(x ＋y ＋1)；会误以为是单项式，其实21 (x ＋y ＋1)＝21x+21y+21，所以是三个单项式的和，是一个多项式。

2、说出单项式、多项式的次数和项例2 指出下列各单项式的系数与次数：（1）;832ab （2）-mn 3; （3）3432y x π （4）－3；解：（1）832ab 的系数是83，次数是3.（2）-mn 3的系数是-1，次数是4.（3）3432y x π的系数是34π，次数是5.（4）－3的系数是－3，次数是0。

知识体验：单项式的系数，包括前面的符号，当单项式的系数是1或－1时，“1”省略不写，如-nm 3中，系数是－1，则把“1”省略不写；圆周率只是一个常数符号，不能把它作为字母，如：3432y x π的系数是34π，次数是5。

另外，像－3，21，0等这样的常数，是零次单项式． 易错提示：-nm 3的系数是-1；3432y x π的系数是34π，次数是5，如写成系数是43，次数是6就不对了.例3、 填空：（1）多项式2x 4-3x 5-2π4是 次 项式，最高次项的系数是 ，四次项的系数是 ，常数项是 ，补足缺项后按字母x 升幂排列得 ；（2）多项式a 3-3ab 2+3a 2b-b 3是 次 项式，它的各项的次数都是 ，按字母b 降幂排列得 .解：（1）五，三，-3，2，－2π4，-2π4+0x+0x 2+0x 3+2x 4-3x 5; （2）三，四，3，-b 3-3ab 2+3a 2b+a 3.应用体验：－2π4是常数项，不是4次项。

确定多项式项时不要漏掉前面的符号，移动多项式的某一项的位置时，要连同前面的符号一起移动，这些都是容易犯错误的地方，要引起高度重视。

另外，第（2）小题所给多项式各项次数都等于3，一般称这样的三次多项式为三次齐次式.解题技巧：多项式应看作是省略括号的和的形式．因此，当确定多项式的项时，应包括符号．另外，圆周率π是一个常数．回答多项式是几次几项式时，数字要大写.如五次三项式，不能写成5次3项式.；补足缺项，是把升（或降）幂排列中缺少次数的项的系数用零表示补入式中.，移动多项式的某一项的位置时，要连同前面的符号一起移动.，对含有两个以上字母的多项式，一般按其中的某一个字母的指数大小顺序排列，本题是按规定的字母指数大小排列。

知识巩固：例4. 用语言叙述下列代数式的实际意义。

（）；（）；（）；（）1323120%)492222a ab x a a +--(π思维直现：列代数式要有一定的问题背景，用语言叙述下列代数式，就是要再现列出代数式的问题背景，问题背景可能设计的不同，只要能解释即可。

解：（1）如果用a 表示一支铅笔的价格，那么3a 表示3支铅笔的价格。

（2）如果用a ，b 分别表示两个正方形的边长，那么a 2＋b 2表示这两个正方形面积之和。

（3）如果用x 表示过去的产量，那么（1－20%）x 表示减少20%以后的产量。

（）如果用表示圆的半径，正方形的边长是它的，那么表示413922a a a π-圆面积与正方形面积之差。

阅读笔记：要解释代数式，就要熟悉代数所能表示的问题背景，如2a 可表示边长为a 的正方形的面积，2a π可表示半径为a 的圆的面积等。

这样才能写出合理的代数式的意义。

题评解说：用语言叙述下列代数式是列代数式的逆向，要根据代数式写出问题的背景，可以写出不同的问题背景，只要合理即可。

建议：要仔细体会本题的解答，理解这类问题的解题思路。

例5 说出下列各多项式分别是几次几项式． (1)3x －23；(2)a 2b ＋2a －3b －4；(3)2822+-x x ；(4)(a 3－b 3＋1)×35； (5)x 6－x 5＋3x 2－12x ＋a ； (6)2(xy ＋31x 3－y ＋π4)．思维直现：需要找出多项式的每一项，算出每一项的次数，然后回答是几次几项式。

解：(1)多项式3x －23是一次二项式；(2)多项式a 2b ＋2a －3b －4是三次四项式；(3)因为2822+-x x ＝21x 2－x ＋4，所以多项式2822+-x x 是二次三项式；(4)因为(a 3－b 3＋1)×35＝35a 3－35b 3＋35，所以多项式(a 3－b 3＋1)×35是三次三项式； (5)多项式x 6－x 5＋3x 2－12x ＋a 是六次五项式； (6)因为2(xy ＋31x 3－y ＋π4)＝2xy ＋32x 3－2y ＋2π4，所以多项式2(xy ＋31x 3－y ＋π4)是三次四项式． 阅读笔记：当所给的多项式不能直观地辨别其次数和项数时，就需要对其整理变形，使其成为标准形式的多项式．如第(3)、(4)、(6)小题，变形后便容易多了．另外，常数项中的指数，不能做为多项式的次数．如第(1)、(6)小题中23、π4，不影响多项式的次数．题评解说：判断多项式是几次几项式的问题，是理解多项式概念中的常规题，具体在解答时会遇到具体困难，如多项式给出不规范要先变形，有常数项中有指数的干扰，这增加了本题的难度。

建议：要概念清晰，排除干扰。

例6 若－3axy m 是关于x 、y 的单项式，且系数为－6，次数为3，则a ＝________，m ＝________． 思维直现：“关于x 、y 的单项式”说明只有x 、y 才是单项式中的字母，a 只是系数的一部分，所以－3a 是系数，也就是－6，即－3a ＝－6，解得：a ＝2．而单项式的次数是x 、y 的指数和：（1＋m ），也就是3．因此1＋m ＝3得m ＝2．解：a ＝2，m ＝2阅读笔记：单项式是数与字母的积，数字因数是单项式的系数，所有字母的指数和是单项式的次数。

在本题中x 、y 才是单项式中的字母，a 只是系数的一部分，这两点一定要理解到位。

题评解说：本题是已知单项式的系数和次数，求参数的值。

这样的参数问题，不理解题意的人不知道该如何下手，其实只要搞清说代表单项式的系数，谁代表单项式的次数，就可列出方程解决，虽然学生还没有学习解一元一次方程，但简单的一元一次方程，学生在小学是见过并会解的。

建议：正确理解多项式的系数和次数，不要受字母参数的影响。

例7 当x 为何值时，下列多项式可化简为关于y 的一次单项式．(1)32x －5y －5； (2)243-+y x ＋6． 思维直现：把一个多项式转化为关于某一字母的单项式，就是指除符合题目要求的项保留外，其余各项的和等于0．如(1)中，要使多项式32x －5y －5化简为关于y 的一次单项式，只保留－5y 这一项，其余各项的和为0，即使32x －5＝0的x 的值即为所要求的x 的值． 解：(1)由32x －5＝0，即32x ＝5，得x ＝215．所以当x ＝215时，多项式32x －5y －5可化简为关于y 的一次单项式．(2)多项式243-+y x ＋6可化为21x ＋23y ＋4．由21x ＋4＝0，即21x ＝－4，得x ＝－8．所以当x ＝－8时，多项式243-+y x ＋6可化简为关于y 的一次单项式．阅读笔记：理解题意很重要，本题把一个多项式转化为关于某一字母的单项式，就是指除符合题目要求的项保留外，其余各项的和等于0．这是解此题的关键。