山东省聊城市冠县武训高中2014_2015学年高二数学上学期12月月考试卷文(含解析)

2014-2015学年山东省聊城市冠县武训高中高二（上）12月月考数学试卷（文科）一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分）1．已知命题：“若x＞0，则x2＞0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．42．设a∈R，且a≠0，则a＞1是的（）A．既不充分也不必要条件 B．必要但不充分条件C．充要条件 D．充分但不必要条件3．命题：“若a2+b2=0（a，b∈R），则a=b=0”的逆否命题是（）A．若a≠b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0B．若a=b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0C．若a≠0且b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0D．若a≠0或b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠04．△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，，则AC=（）A．B．C．D．5．等差数列{a n}中，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，则公差d=（）A．4 B．3 C．2 D．16．设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是（）A．a2＜b2B．＞C．2a＜2b D．＞7．已知命题p：“∀x∈[0，1]，a≥e x”，命题q：“∃x∈R，x2+4x+a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是（）A．[e，4] B．[1，4] C．（4，+∞）D．（﹣∞，1]8．P是椭圆+=1上的动点，过P作椭圆长轴的垂线，垂足为M，则PM中点的轨迹方程为（）A．+=1 B．+=1 C．+=1 D．+=19．椭圆=1与=1（0＜k＜9）关系为（）A．有相等的长、短轴 B．有相等的焦距C．有相同的焦点 D．有相等的离心率10．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．11．已知以F1（﹣2，0），F2（2，0）为焦点的椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（）A．3 B．2 C．2 D．412．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，P为椭圆上的一点，且|PF1||PF2|的最大值的取值范围是[2c2，3c2]，其中c=．则椭圆的离心率的取值范围为（）A．[，] B．[，1）C．[，1）D．[，]二、填空题、（本题共4个小题，每题4分，共16分）13．已知椭圆5x2+ky2=5的一个焦点为（0，2），则实数k的值为．14．已知正数a，b满足a+b=1，则+的最小值为．15．下列四个命题中①命题“∀x∈R，有x2+1＞0”是真命题；②若∃a∈R，x2+ax+a＜0，则a的取值范围是0＜a＜4；③若θ为三角形内角，则sinθ+的最小值为2；④“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件．其中真命题为（将你认为是真命题的序号都填上）16．过椭圆+=1内的一点P（2，﹣1）的弦，恰好被点P平分，则这条弦所在的直线方程是（写成直线的一般式方程）．三、解答题（共4个小题，第17、18每题10分，第19、20每题12分，满分44分）17．给定两个命题p：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；q：关于x的方程x2﹣x+a=0有负实数根；如果p或q为真命题，p且q为假命题，求实数a的取值范围．18．等差数列{a n}满足a2+a6=40，a5﹣2a3=16．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若{a n}的前n项和为S n，令f（n）=（n∈N*），求f（n）的最小值．19．椭圆过点（2，），（，）．（1）求椭圆的标准方程；（2）设F1，F2是椭圆的焦点，椭圆在第一象限的部分上有一点P满足∠F1PF2=60°，求三角形F1PF2的面积和点P的坐标．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点（1，），离心率e=．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点F1的直线l与该椭圆交于M，N两点，且|+|=，求直线l的方程．2014-2015学年山东省聊城市冠县武训高中高二（上）12月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分）1．已知命题：“若x＞0，则x2＞0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：四种命题；命题的真假判断与应用．专题：阅读型．分析：先判断原命题为真，逆命题为假，根据原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价，即可得结论．解答：解：由题意，原命题为：若x＞0，则x2＞0，为真命题；逆命题为：若x2＞0，则x＞0，因为x2＞0时还有可能x＜0，故为假命题；因为原命题与逆否命题等价，故逆否命题为真；逆命题与否命题等价，故否命题为假．综上，真命题的个数为2．故选B．点评：本题以命题为载体，考查四种命题的真假，解题的关键是利用原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价．2．设a∈R，且a≠0，则a＞1是的（）A．既不充分也不必要条件 B．必要但不充分条件C．充要条件 D．充分但不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：规律型．分析：结合不等式解法，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．解答：解：若a＞1，则0＜成立．当a=﹣1时，满足，但a＞1不成立．∴a＞1是的充分不必要条件．故选：D．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．3．命题：“若a2+b2=0（a，b∈R），则a=b=0”的逆否命题是（）A．若a≠b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0B．若a=b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0C．若a≠0且b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0D．若a≠0或b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0考点：四种命题．分析：根据逆否命题的定义，直接作答即可，注意常见逻辑连接词的否定形式．解答：解：“且”的否定为“或”，因此其逆否命题为“若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0”；故选D．点评：此类题型考查四种命题的定义与相互关系，一般较简单，但要注意常见逻辑连接词的运用与其各自的否定方法、形式．4．在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，，则AC=（）A．B．C．D．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：结合已知，根据正弦定理，可求AC解答：解：根据正弦定理，，则故选B点评：本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础试题5．等差数列{a n}中，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，则公差d=（）A．4 B．3 C．2 D．1考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意和等差数列的性质易得a5=﹣3，再由等差数列的通项公式可得．解答：解：∵等差数列{a n}中a1=﹣11，a4+a6=﹣6，∴2a5=a4+a6=﹣6，解得a5=﹣3，∴公差d===2故选：C点评：本题考查等差数列的通项公式和性质，属基础题．6．设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是（）A．a2＜b2B．＞C．2a＜2b D．＞考点：不等式的基本性质．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：考察指数函数f（x）=2x在R上单调性即可得出．解答：解：考察指数函数f（x）=2x在R上单调递增；∵a＜b，∴2a＜2b．故选：C．点评：本题考查了指数函数的单调性、不等式的性质，属于基础题．7．已知命题p：“∀x∈[0，1]，a≥e x”，命题q：“∃x∈R，x2+4x+a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是（）A．[e，4] B．[1，4] C．（4，+∞）D．（﹣∞，1]考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题．分析：命题“p∧q”是真命题，即命题p是真命题，且命题q是真命题．命题q是真命题，即方程有解；命题p是真命题，分离参数，求e x的最大值即可．解答：解：命题“p∧q”是真命题，即命题p是真命题，且命题q是真命题，命题p：“∀x∈[0，1]，a≥e x”为真，∴a≥e1=e；由命题q：“∃x∈R，x2+4x+a=0”，即方程有解，∴△≥0，16﹣4a≥0．所以a≤4则实数a的取值范围是[e，4]故选A．点评：本题考查命题的真假判断与应用、解决方程有解问题、求函数值域．解答的关键是根据复合命题的真值表得出命题p是真命题，且命题q是真命题．8．P是椭圆+=1上的动点，过P作椭圆长轴的垂线，垂足为M，则PM中点的轨迹方程为（）A．+=1 B．+=1 C．+=1 D．+=1考点：轨迹方程；抛物线的简单性质．分析：设点P坐标（x0，y0）、PM中点坐标（x，y），则由中点公式知，，即，代入+=1，化简．解答：解：设点P坐标（x0，y0），PM中点坐标（x，y），因为P是椭圆=1上的动点，∴+=1 ①，则由中点公式知，，即，代入①化简得：=1．故选B．点评：本题主要是用代入法求点的轨迹方程．9．椭圆=1与=1（0＜k＜9）关系为（）A．有相等的长、短轴 B．有相等的焦距C．有相同的焦点 D．有相等的离心率考点：椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：分别求出椭圆=1与=1（0＜k＜9）的长轴、短轴、焦距、焦点和离心率，由此能求出结果．解答：解：椭圆=1中，∵a=5，b=3，c=4，∴长轴是10，短轴是6；焦距是8；焦点坐标是（±4，0）；离心率是．=1（0＜k＜9）中，∵a=，b=，c=4，∴长轴是2，短轴是2；焦距是8；焦点坐标是（0，±4）；离心率是．∴椭圆=1与=1（0＜k＜9）关系为有相等的焦距．故选：B．点评：本题考查椭圆的长轴、短轴、焦距、焦点坐标、离心率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．10．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．考点：椭圆的应用；数列的应用．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先设长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，由题意可知：a+c=2b，由此可以导出该椭圆的离心率．解答：解：设长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，则2a+2c=2×2b，即a+c=2b⇒（a+c）2=4b2=4（a2﹣c2），所以3a2﹣5c2=2ac，同除a2，整理得5e2+2e﹣3=0，∴或e=﹣1（舍去），故选B．点评：本题考查等差数列和椭圆的离心率，难度不大，只需细心运算就行．11．已知以F1（﹣2，0），F2（2，0）为焦点的椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（）A．3 B．2 C．2 D．4考点：椭圆的应用．专题：计算题；压轴题．分析：由题设条件可以求出椭圆的方程是+=1．再把椭圆和直线联立方程组，由要根的判别式△=0能够求出a的值，从而能够求出椭圆的长轴长．解答：解：设椭圆长轴长为2a（且a＞2），则椭圆方程为+=1．由，得（4a2﹣12）y2+8（a2﹣4）y+（16﹣a2）（a2﹣4）=0．∵直线与椭圆只有一个交点，∴△=0，即192（a2﹣4）2﹣16（a2﹣3）×（16﹣a2）×（a2﹣4）=0．解得a=0（舍去），a=2（舍去），a=．∴长轴长2a=2．故选C．点评：本题考查椭圆的基本知识及其应用，解题时要注意a＞2这个前提条件，不要产生增根．12．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，P为椭圆上的一点，且|PF1||PF2|的最大值的取值范围是[2c2，3c2]，其中c=．则椭圆的离心率的取值范围为（）A．[，] B．[，1）C．[，1）D．[，]考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：根据题意，|PF1|•|PF2|的最大值为a2，则由题意知2c2≤a2≤3c2，由此能够导出椭圆m的离心率e的取值范围．解答：解：∵|PF1|•|PF2|的最大值=a2，∴由题意知2c2≤a2≤3c2，∴，∴．故椭圆m的离心率e的取值范围．故选A．点评：本题主要考查椭圆的简单性质．考查对基础知识的综合运用．|PF1|•|PF2|的最大值=a2是正确解题的关键．二、填空题、（本题共4个小题，每题4分，共16分）13．已知椭圆5x2+ky2=5的一个焦点为（0，2），则实数k的值为 1 ．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：把椭圆化为标准方程后，找出a与b的值，然后根据a2=b2+c2，表示出c，并根据焦点坐标求出c的值，两者相等即可列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．解答：解：把椭圆方程化为标准方程得：x2+=1，因为焦点坐标为（0，2），所以长半轴在y轴上，则c==2，解得k=1．故答案为：1．点评：本题考查椭圆的标准方程及椭圆的简单性质，利用待定系数法求参数的值．14．已知正数a，b满足a+b=1，则+的最小值为 4 ．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵正数a，b满足a+b=1，∴+=（a+b）=2+=4，当且仅当a=b=时取等号．∴+的最小值为4．故答案为：4．点评：本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．15．下列四个命题中①命题“∀x∈R，有x2+1＞0”是真命题；②若∃a∈R，x2+ax+a＜0，则a的取值范围是0＜a＜4；③若θ为三角形内角，则sinθ+的最小值为2；④“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件．其中真命题为①③④（将你认为是真命题的序号都填上）考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：①，命题“∀x∈R，有x2+1≥1＞0”是真命题，可判断①；②，依题意，△=a2﹣4a＞0，解得a＞4或a＜0，可判断②；③，利用基本不等式，可判断③；④，利用充分必要条件的概念及复合命题的真值表可判断④．解答：解：对于①，命题“∀x∈R，有x2+1＞0”是真命题，正确；对于②，若∃a∈R，x2+ax+a＜0，则△=a2﹣4a＞0，解得a＞4或a＜0，故a的取值范围是（﹣∞，0）∪（4，+∞），故②错误；对于③，若θ为三角形内角，则sinθ+≥2，当且仅当sinθ=1，即θ为直角时，sin θ+取得最小值为2，故③正确；对于④，p∧q为真命题⇒p∨q为真命题，充分性成立；反之，不成立；故“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件，即④正确．综上所述，真命题为①③④，故答案为：①③④．点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查全称命题与特称命题的概念与应用，考查复合命题与充分必要条件，属于中档题．16．过椭圆+=1内的一点P（2，﹣1）的弦，恰好被点P平分，则这条弦所在的直线方程是5x﹣3y﹣13=0 （写成直线的一般式方程）．考点：椭圆的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设过点P的弦与椭圆交于A1，A2两点，并设出他们的坐标，代入椭圆方程联立，两式相减，根据中点P的坐标可知x1+x2和y1+y2的值，进而求得直线A1A2的斜率，根据点斜式即可求得直线的方程．解答：解：设过点P的弦与椭圆交于A1（x1，y1），A2（x2，y2）两点，则，且x1+x2=4，y1+y2=﹣2，由+=0，∴（x1﹣x2）﹣（y1﹣y2）=0，∴A1A2的斜率k==．∴弦所在直线方程为y+1=（x﹣2），即5x﹣3y﹣13=0．故答案为：5x﹣3y﹣13=0．点评：本题主要考查了椭圆的简单性质和直线与椭圆的位置关系．涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．三、解答题（共4个小题，第17、18每题10分，第19、20每题12分，满分44分）17．给定两个命题p：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；q：关于x的方程x2﹣x+a=0有负实数根；如果p或q为真命题，p且q为假命题，求实数a的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：对于命题p：分类讨论：当a=0，直接验证；当a≠0时，对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立，必需，即可解得．对于命题q：关于x的方程x2﹣x+a=0有负实数根，必需a＜0．由于p或q为真命题，p且q为假命题，可得p与q必然一真一假．解答：解：对于命题p：当a=0，不等式ax2+ax+1＞0变为1＞0，对任意实数x恒成立；当a≠0时，对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立，必需，解得0＜a＜4；对于命题q：关于x的方程x2﹣x+a=0有负实数根，必需a＜0，∴当a＜0时，命题Q为真命题．∵p或q为真命题，p且q为假命题，∴p与q必然一真一假．若P真Q假，则若P徦Q真，则∴实数a的取值范围是a＜4．点评：本题考查了一元二次不等式的解集与判别式的关系、一元二次方程的实数根与判别式的关系、复合命题真假判断方法，考查了推理能力，属于基础题．18．等差数列{a n}满足a2+a6=40，a5﹣2a3=16．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若{a n}的前n项和为S n，令f（n）=（n∈N*），求f（n）的最小值．考点：等差数列的性质；数列递推式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（1）因为a2+a6=a3+a5=40，结合a5﹣2a3=16，得a3=8，a5=32，求出公差，即可求数列{a n}的通项公式；（2）求出f（n）=（n∈N*），再求f（n）的最小值．解答：解：（1）因为a2+a6=a3+a5=40，结合a5﹣2a3=16，得a3=8，a5=32，所以{a n}的公差…．（2分）从而a n=8+12（n﹣3）=12n﹣28…（5分）（2）由（1）知道{a n}的前n项和，…（7分）令f（x）=（3x﹣7）（3x﹣11）（x∈R），则对称轴为，所以当n=3时，f（n）有最小值﹣4…．（10分）点评：本题考查等差数列的通项，考查函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．19．椭圆过点（2，），（，）．（1）求椭圆的标准方程；（2）设F1，F2是椭圆的焦点，椭圆在第一象限的部分上有一点P满足∠F1PF2=60°，求三角形F1PF2的面积和点P的坐标．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用待定系数法建立方程关系即可，求椭圆的标准方程；（2）根据三角形的余弦定理以及三角形的面积公式进行求解．解答：解：（1）设椭圆的方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n）代入得，，解得，所以椭圆的方程为…（4分）（2）设|PF1|=m，|PF2|=n，由（1）知道m+n=2a=8…..①在△F1PF2中，由余弦定理得m2+n2﹣2mncos60°=（2c）2=48…..②由①②联立得，，所以…．（8分）设P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则有，代入椭圆方程得，所以点P的坐标为…..（12分）点评：本题主要考查椭圆的方程以及三角形面积的应用，考查学生的运算能力．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点（1，），离心率e=．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点F1的直线l与该椭圆交于M，N两点，且|+|=，求直线l的方程．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据椭圆的离心率和定点坐标，代入求出a，b，即可求椭圆的标准方程；（2）设出直线方程，联系直线和椭圆，利用根与系数之间的关系进行求解即可．解答：解：（1）由已知得，解得a2=2，b2=1，故所求椭圆的方程为…（4分）（2）由（1）得F1（﹣1，0），F2（1，0）①若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=﹣1，由得．设∴这与已知相矛盾；…（6分）②若直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+1）．设M（x1，y1），N（x2，y2），联立，消元得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，∴，∴所以…（10分）又∵∴∴化简得40k4﹣23k2﹣17=0，解得k2=1或（舍去），∴k=±1，故所求直线l的方程为y=x+1或y=﹣x﹣1…（12分）点评：本题主要考查椭圆的方程以及直线和椭圆的位置关系的应用，利用消元法转化为一元二次方程形式是解决本题的关键．。