数学北师大版八年级下册利用平方差公式进行因式分解
数学八年级下册《 公式法》省优质课一等奖教案
《因式分解》教学设计4.3公式法（一）一、教材依据北师大版八年级数学下册第四章因式分解3.公式法（一）平方差公式二、设计思路1、从教材的地位与作用看：（1）本节课的主要内容是运用平方差公式进行因式分解。
（2）它是在学生学习了整式乘法和乘法公式以及实数的基础上，学习了提取公因式法分解因式的基础上，运用逆向思维把平方差公式逆过来，应用到特殊两项式的因式分解上。
（3）是对因式分解中出现的特殊两项式的归纳总结。
从一般到特殊的认识过程的范例。
（4）它在应用过程中的几种特殊形式是培养学生探索、合作、观察、分析和创新能力，以及深化逆向思维能力，数学应用意识和整体思想的很好载体。
2、从学生学习过程的角度看（1）学生七年级下半年学习了整式乘法和乘法公式，八年级上学期学习了实数。
具备了学习用平方差公式进行特殊两项式的因式分解的知识结构。
（2）由于学生初次学习用公式法因式分解，认清公式的结构和符号特征是难点，因此不宜延伸拔高太大（比如：公式中的字母a、b为复杂三项式、多次幂、以及无理数等），以防干扰学生的正常思维，造成对平方差公式因式分解的错误认识。
不能急于求成一步到位，指望把所有问题都在这一节课里解决。
要遵循循序渐进的原则，拔高内容可以作为有余力学生的研究题目。
（3）学生本课学习过程中出现的错误，迸发出的思维火花，情感等都是本节课较好的教学资源。
3、从学法和教法的角度看（1）本节课的教学方法涉及思路是要改变长期以来主宰课堂的“以教师讲为中心”的教法为“以学生的学为中心”的教学法，主要体现以学生自主、合作、探究为主的教学思想。
让学生真正成为课堂的主人。
（2）把竞争机制引入课堂，调动学生学习的积极性。
以小组为单位回答问题，做题都累计加分，开展竞赛活动，调动学生的积极性。
（3）让学生在亲自体验知识的发生发展过程中去学习知识。
掌握知识、从而达到不仅知其然还要知其所以然。
避免学生死记硬背套公式，一问“为什么这样做？”便不知所措。
北师版八年级下册数学第4章 因式分解 平方差公式(2)
15．【中考·大庆】已知x2－y2＝12，x＋y＝3，求2x2－2xy的值．
解：∵x2－y2＝12， ∴(x＋y)(x－y)＝12. ∵x＋y＝3①， ∴x－y＝4②. 由①＋②，得2x＝7.∴2x2－2xy＝2x(x－y)＝7×4＝28.
北师版八年级下
第四章 因式分解
3 公式法 第1课时 平方差公式
提示：点击 进入习题
1 (a＋b)(a－b)；和；差 2C 3A 4A 5 见习题
6A
答案显示
7C 8D
9 a(b＋1)(b－1)
(x＋2y)(x－2y)；(2a＋3)(2a 10 －3)
11 －4 12 见习题 13 见习题 14 见习题 15 见习题
(3)3a2－48; 解：原式＝3(a2－16)＝3(a＋4)(a－4)；
(4)2a2(n－m)＋8(m－n)． 原式＝2a2(n－m)－8(n－m)＝2(n－m)(a2－4)＝2(n－m)(a＋2)(a －2)．
13．计算：
(1)25×1012－992×25；
解：原式＝25×(1012－992) ＝25×(101＋99)×(101－99) ＝25×200×2 ＝10000；
8．因式分解的结果是(x＋y－z)(x－y＋z)的多项式是( )
D
A．x2－(y＋z)2
B．(x－y)2－z2
C．－(x－y)2＋z2
D．x2－(y－z)2
9．【2020·安徽】分解因式：ab2－a＝_____________a_(.b＋1)(b－1)
10．【2021·江西】因式分解：x2－4y2＝______________(x_＋. 2y)(x－2y) 【2021·乐山】因式分解：4a2－9＝________________.
北师大版八年级数学下册 因式分解 教案
因式分解【教学目标】一、教学知识点使学生了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系。
二、能力训练要求通过观察，发现分解因式与整式乘法的关系，培养学生的观察能力和语言概括能力。
三、情感与价值观要求通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系，让学生了解事物间的因果联系。
【教学重点】1．理解因式分解的意义。
2．识别分解因式与整式乘法的关系。
【教学难点】通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系。
【教学方法】观察讨论法【课时安排】6课时【教学准备】投影片一张【教学过程】【第一课时】一、创设问题情境，引入新课［师］大家会计算（a+b）（a－b）吗？［生］会。
（a+b）（a－b）=a2－b2．［师］对，这是大家学过的平方差公式，我们是在整式乘法中学习的。
从式子（a+b）（a－b）=a2－b2中看，由等号左边可以推出等号右边，那么从等号右边能否推出等号左边呢？即a2－b2=（a+b）（a－b）是否成立呢？［生］能从等号右边推出等号左边，因为多项式a2－b2与（a+b）（a－b）既然相等，那么两个式子交换一下位置还成立。
［师］很好，a2－b2=（a+b）（a－b）是成立的，那么如何去推导呢？这就是我们即将学习的内容：因式分解的问题。
二、讲授新课1．讨论993－99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流。
［生］993－99能被100整除。
因为993－99=99×992－99=99×（992－1）=99×9800=99×98×100其中有一个因数为100，所以993－99能被100整除。
［师］993－99还能被哪些正整数整除？［生］还能被99，98，980，990，9702等整除。
［师］从上面的推导过程看，等号左边是一个数，而等号右边是变成了几个数的积的形式。
三、议一议你能尝试把a3－a化成n个整式的乘积的形式吗？与同伴交流。
［师］大家可以观察a3－a与993－99这两个代数式。
北师版八年级数学下册教学课件(BS) 第四章 因式分解 第1课时 平方差公式
,
y
3. 2
方法总结：在与x2－y2，x±y有关的求代数式或未知数的值的问 题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值.
例4 计算下列各题： (1)1012－992； (2)53.52×4-46.52×4.
解：(1)原式＝(101＋99)(101－99)＝400； (2)原式＝4(53.52－46.52) =4(53.5＋46.5)(53.5－46.5) ＝4×100×7=2800.
(2)原式＝(a2－4b2)－(a＋2b) ＝(a＋2b)(a－2b)－(a＋2b) ＝(a＋2b)(a－2b－1).
例3 已知x2－y2＝－2，x＋y＝1，求x-y，x，y的值．
解：∵x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－2，
x＋y＝1①， ∴x－y＝－2②.
联立①②组成二元一次方程组，
解得
x
1 2
(x a p)2 (x b q)2
(x p) (x q) (x p) (x q)
(2x p q)( p q).
方法总结：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只
要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因 式分解.
针对训练 分解因式：
(1)(a＋b)2－4a2； (2)9(m＋n)2－(m－n)2.
8. (1)992-1能否被100整除吗？
(2)n为整数,（2n+1)2-25能否被4整除？ 解：(1)∵ 992-1=(99+1)(99-1)=100×98，
∴992-1能否被100整除. (2)原式=(2n+1+5)(2n+1-5)
=(2n+6)(2n-4) =2(n+3) ×2(n-2)=4(n+3)(n-2). ∵n为整数 ∴(2n+1)2-25能被4整除.
2024北师大版数学八年级下册4.3.1《用平方差公式进行因式分解》教学设计
2024北师大版数学八年级下册4.3.1《用平方差公式进行因式分解》教学设计一. 教材分析《2024北师大版数学八年级下册4.3.1《用平方差公式进行因式分解》》这一节内容是在学生学习了平方差公式的基础上进行的一个实践活动。
平方差公式是初中数学中的一个重要公式，它不仅可以简化计算，还可以用来解决一些因式分解的问题。
本节课通过实例讲解，让学生掌握平方差公式的应用，提高他们的数学解题能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了平方差公式，对公式有一定的理解。
但是，如何将平方差公式应用到实际的因式分解中，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高他们的解题技巧。
三. 教学目标1.理解平方差公式的含义，掌握平方差公式的结构。
2.能够将实际的因式分解问题转化为平方差公式的形式，并进行解答。
3.培养学生的逻辑思维能力，提高他们的数学解题能力。
四. 教学重难点1.掌握平方差公式的结构。
2.如何将实际的因式分解问题转化为平方差公式的形式。
五. 教学方法采用讲解法、实践法、讨论法等教学方法，引导学生通过自主学习、合作交流，掌握平方差公式的应用。
六. 教学准备1.准备相关平方差公式的课件和教学素材。
2.准备一些实际的因式分解问题，用于课堂练习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际的因式分解问题，引导学生回顾平方差公式。
例如：已知多项式x^2 - 4，请将其因式分解。
让学生尝试解答，然后给出解答过程和答案。
2.呈现（10分钟）讲解平方差公式的含义和结构，让学生理解平方差公式的推导过程。
通过示例，讲解如何将实际的因式分解问题转化为平方差公式的形式。
3.操练（10分钟）让学生分组合作，解决一些实际的因式分解问题。
教师巡回指导，解答学生的问题，并给予反馈。
4.巩固（10分钟）让学生自主选择一些练习题进行巩固练习，教师个别辅导，解答学生的问题。
5.拓展（10分钟）引导学生思考如何将平方差公式应用到更复杂的问题中，例如多项式的乘法、求解方程等。
北师大版数学八年级下册 用完全平方公式进行因式分解教案与反思
第2课时用完全平方公式进行因式分解路漫漫其修远兮，吾将上下而求索。
屈原《离骚》原创不容易，【关注】店铺，不迷路！【知识与技能】使学生了解运用公式法分解因式的意义；会用公式法（直接用公式不超过两次）分解因式（指数是正整数）；使学生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，然后再考虑用平方差公式或完全平方公式进行分解因式.【过程与方法】经历整式乘法的完全平方公式逆向得出运用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力.【情感态度】培养学生灵活运用知识的能力和积极思考的良好行为，体会因式分解在数学学科中的地位和价值.【教学重点】掌握公式法中的完全平方公式进行分解因式【教学难点】灵活地运用公式法或已学过的提公因式法进行分解因式，正确判断因式分解的彻底性问题.一.情景导入，初步认知完全平方公式现在我们把完全平方公式反过来，可得：两个数的平方和，加上（或减去）这两个数的积的两倍，等于这两数和（或者差）的平方.【教学说明】对完全平方公式进行复习，为本节课的教学作准备.二.思考探究，获取新知形如的多项式称为完全平方式.【归纳结论】我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫公式法.三.运用新知，深化理解1.见教材P101例3、例42.判别下列各式是不是完全平方式．(1)x2+y2;(2)x2+2xy+y2;(3)x2-2xy+y2;(4)x2+2xy-y2(5)-x2+2xy-y2.答案：（2）（3）（5）是完全平方式3.当m=______时，x2＋2(m－3)x＋25是完全平方式．答案:8或－24.分解因式：-8ax2+16axy-8ay2解：原式=-8a（x2-2xy+y2）=-8a（x-y）25.分解因式：（a2+1）2-4a2解：原式=（a2+1+2a）（a2+1-2a）=（a+1）2（a-1）26.分解因式:（a2-4a+4）-c2解：原式=（a-2）2-c2=（a-2+c）（a-2-c）7.（x+3y）2+（2x+6y）（3y-4x）+（4x-3y）2解：原式=（x+3y）2-2（x+3y）（4x-3y）+（4x-3y）2=（x+3y-4x+3y）2=(-3x+6y)2=9x-2y)28.一天,小明在纸上写了一个算式为4x2+8x+11,并对小刚说:“无论x取何值,这个代数式的值都是正值,你不信试一试?”解：4x2+8x+11=（2x+2）2+7∵（2x+2）2+7≥0∴无论x取何值,这个代数式的值都是正值【教学说明】在综合应用提公因式法和公式法分解因式时,一般按以下两步完成：（1）有公因式，先提公因式；（2）再用公式法进行因式分解.四.师生互动,课堂小结从今天的课程中，你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？你认为分解因式中的平方差公式以及完全平方式与乘法公式有什么关系？五.教学板书布置作业:教材“习题4.5”中第1、2题.因式分解虽然与整式的乘法是互逆运算，但是对于学生而言，它是一个新的知识，学生在前面的学习中虽然已经掌握平方差公式和完全平方公式，然而受思维定势的影响，学生对公式的逆用会产生混淆，学生的惯性思维是：平方差公式是（a+b）（a-b）=a2-b2，完全平方公式是(a±b)2=a2±2ab+b2，一旦要公式逆向，部分学生就比较难以接受，特别是学习能力较弱的学生，难度就更大一些。
专题4.14 因式分解(全章复习与巩固)(知识讲解)八年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)
专题4.14因式分解（全章复习与巩固）（知识讲解）【知识点一】因式分解与整式乘法的识别把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解。
【知识点二】因式分解的方法（1）提取公因式法：)(c b a m mc mb ma ++=++（2）运用公式法：平方差公式：))((22b a b a b a -+=-；完全平方公式：222)(2b a b ab a ±=+±（3）十字相乘法：))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++（4）分组分解法：将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解。
（5）运用求根公式法：若)0(02≠=++a c bx ax 的两个根是1x 、2x ，则有：))((212x x x x a c bx ax --=++【知识点三】因式分解的一般步骤（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。
（4）最后考虑用分组分解法。
【典型例题】类型一、因式分解的概念✭✭求参数1．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（）A ．()2212x x x x+=+B ．()()2111a a a -=+-C ．()()2111x x x +-=-D ．()222312a a a -+=-+【答案】B【分析】根据因式分解的定义解答即可．解：A ．()2212x x x x +=+不是将多项式化成整式乘积的形式，故A 选项不符合题意；B ．()()2111a a a -=+-是将多项式化成整式乘积的形式，故B 选项符合题意；C ．()()2111x x x +-=-不是将多项式化成整式乘积的形式，故C 选项不符合题意；D ．()222312a a a -+=-+不是将多项式化成整式乘积的形式，故D 选项不符合题意；故选：D ．【点拨】本题主要考查了分解因式的定义，掌握定义是解题的关键．即把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫做分解因式．举一反三：【变式】下列各式，从左到右的变形中，属于因式分解的是（）A ．()a m n am an+=+B ．()()2222a b c a b a b c+-=+--C ．()2221x x x x -=-D ．()()2166446x x x x -+=+-+【答案】C【分析】根据因式分解的定义去判断即可．解：A 、因为()a m n am an +=+是单项式乘以多项式，不是因式分解，故A 不符合题意；B 、因为()()2222a b c a b a b c +-=+--不是因式乘积的形式，不是因式分解，故B 不符合题意；C 、因为()2221x x x x -=-是因式分解，故C 符合题意；D 、因为()()2166446x x x x -+=+-+不是因式乘积的形式，不是因式分解，故D 不符合题意；故选C ．【点拨】本题考查了因式分解即把一个多项式写成几个因式积的形式，熟练掌握定义是解题的关键．2．三个多项式：24x y y -，22x y xy -，244x y xy y -+的最大公因式是（）A ．()2y x +B ．()4y x -C ．2(2)y x -D ．()2y x -【答案】D【分析】先把三个多项式因式分解，再进行解答即可．解：∵()()2422x y y y x x -=+-，()222x y xy xy x -=-，2244(2)x y xy y y x -+=-，∴最大公因式是()2y x -．故选D ．【点拨】本题主要考查了最大公因式，熟练掌握最大公因式的定义，将三个多项式分解因式，是解题的关键．举一反三：【变式】下列各组中，没有公因式的一组是（）A ．ax bx -与by ay -B ．ab ac -与ab bc -C ．268xy x y -与43x -+D ．()3a b -与()2b ya -【答案】B【分析】将每一组因式分解，找公因式即可解：A.()ax bx x a b -=-，()by ay y a b -=--，有公因式a b -，故不符合题意；B.()ab ac a b c -=-，()ab bc b a c -=-，没有公因式，符合题意；C.()268234xy x y xy x -=-，4334x x -+=-，有公因式34x -，故不符合题意；D.()3a b -与()2b y a -有公因式a b -，故不符合题意；故选：B【点拨】本题考查公因式，熟练掌握因式分解是解决问题的关键类型二、公因式✭✭提取公因式进行因式分解3．若关于x 的二次三项式23x x k -+的因式是()2x -和()1x -，则k 的值是____．【答案】2【分析】先利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出k 的值即可．解：由题意得：()()2232132x x k x x x x -+=--=-+，2k ∴=．故答案为：2．【点拨】此题考查了多项式乘以多项式法则，因式分解的意义，以及多项式相等的条件，熟练掌握因式分解的意义是解本题的关键．举一反三：【变式】已知多项式4x mx n ++能分解为()()2223x px q x x +++-，则p =______，q =______．【答案】2-；7．【分析】把()()2223x px q x x +++-展开，找到所有3x 和2x 的项的系数，令它们的系数分别为0，列式求解即可．解：∵()()2223x px q x x +++-432322222333x px qx x px qx x px q=+++++---()()()432223233x p x q p x q p x q=++++-+--4x mx n =++．∴展开式乘积中不含3x 、2x 项，∴20230p q p +=⎧⎨+-=⎩，解得：27p q =-⎧⎨=⎩．故答案为：2-，7．【点拨】本题考查了整式乘法的运算、整式乘法和因式分解的关系，将结果式子运用整式乘法展开后，抓住“若某项不存在，即其前面的系数为0”列出式子求解即可．4．因式分解：(1)282abc bc -；(2)()()26x x y x y +-+；【答案】(1)()24bc a c -；(2)()()23x y x +-【分析】（1）用提公因式法解答；（2）用提公因式法解答．（1）解：原式()24bc a c =-（2）解：原式()()23x y x =+-【点拨】此题考查了因式分解——提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．举一反三：【变式】把下列多项式因式分解：(1)2x xy x -+；(2)22m n mn mn -+；(2)33322292112x y x y x y -+；(4)()()22x x y y x y -+-．【答案】(1)()1x x y -+；(2)()1mn m n -+；(3)()223374x y xy x -+；(4)()()22x y x y-+【分析】（1）直接提取公因式x ，进而分解因式得出答案；（2）直接提取公因式mn ，进而分解因式得出答案；（3）直接提取公因式223x y ，进而分解因式得出答案；（4）直接提取公因式()x y -，进而分解因式得出答案．（1）解：()21x xy x x x y -+=-+（2）解：()221m n mn mn mn m n -+=-+（3）解：()33322222921123374x y x y x y x y xy x +--=+（4）解：()()()()2222xx y y x y x y x y -+-=-+【点拨】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．类型三、公式法进行因式分解➽➼平方差公式✭✭完全平方公式5．因式分解：(1)﹣2a 3+12a 2﹣18a(2)9a 2（x ﹣y ）+4b 2（y ﹣x ）【答案】(1)﹣2a （a ﹣3）2(2)（x ﹣y ）（3a +2b ）（3a ﹣2b ）【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．（2）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．解：（1）原式＝﹣2a （a 2﹣6a +9）＝﹣2a （a ﹣3）2（2）原式＝（x ﹣y ）（9a 2﹣4b 2）＝（x ﹣y ）（3a +2b ）（3a ﹣2b ）．【点拨】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．举一反三：【变式】因式分解：（1）224x y -（2）32296a a b ab -+【答案】（1）()()22x y x y +-；（2）()23a a b -．【分析】（1）利用平方差公式进行因式分解即可；（2）先提公因式，然后利用完全平方公式进因式分解即可．解：（1）22224(2)(2)(2)x y x y x y x y -=-=+-；（2）232222(96)(963)=-+=--+a a ab b a b a a b b a a ．【点拨】本题主要考查了多项式的因式分解，解题的关键是熟练掌握各种因式分解的方法，并会根据多项式的特征选取合适的方法，还要注意要分解彻底．6．分解因式：(1)2225()9()m n m n +--(2)22441a b a --+【答案】(1)()()444m n n m ++；(2)()()2121a b a b +---【分析】（1）将m n +和m n -看成两个整体，利用平方差公式分解因式得到()()8228m n m n ++，再提取公因式即可．（2）利用分组法先将原式分成2441a a -+和2b -两组，2441a a -+可利用完全平方公式分解，再和2b -组合，由平方差公式分解即可．（1）解：2225()9()m n m n +--()()()()5353m n m n m n m n =++-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()55335533m n m n m n m n =++-+-+()()8228m n m n =++()()444m n m n =++．（2）22441a b a --+()22441a a b =-+-()2221a b =--()()2121a b a b =-+--()()2121a b a b =+---．【点拨】本题考查了因式分解的方法，分组法、公式法和提公因式法本题都涉及了，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键．举一反三：【变式】分解因式：(1)228168ax axy ay -+-(2)()22222936x y x y +-；【答案】(1)28()a x y --；(2)22(3)(3)x y x y +-【分析】（1）先提公因式，再根据完全平方公式分解因式即可；（2）根据平方差公式和完全平方公式分解因式即可．解：（1）原式228(2)a x xy y =--+28()a x y =--（2）原式2222(9)(6)x y xy =+-2222(96)(96)x y xy x y xy =+++-22(3)(3)x y x y =+-【点拨】本题考查了因式分解，涉及提公因式法和公式法，熟练掌握分解因式的步骤是解题的关键．类型四、因式分解➽➼十字相乘法✭✭分组分解法7．将下列各式分解因式：(1)256x x --；(2)21016x x -+；(3)2103x x --【答案】(1)(7)(8)x x +-；(2)(2)(8)x x --；(3)(5)(2)x x -+-【分析】（1）用十字相乘法，分解因式即可；（2）用十字相乘法，分解因式即可；（3）用十字相乘法，分解因式即可．（1）解：∵78x x ⨯-，即78x x x -=-，∴256(7)(8)x x x x --=+-；（2）解：∵28x x ⨯--，即2810x x x --=-，∴21016(2)(8)x x x x -+=--；（3）解：22103(310)x x x x --=-+-，∵52x x ⨯-，即523x x x -=，∴原式(5)(2)x x =-+-．【点拨】本题主要考查了利用十字相乘法分解因式，解题的关键在于能够熟练掌握十字相乘法：常数项为正，分解的两个数同号；常数项为负，分解的两个数异号．二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上．举一反三：【变式】用十字相乘法解方程：(1)2560x x +-=；(2)2230x x --=．【答案】(1)6x =-或1x =；(2)3x =或=1x -【分析】根据十字相乘法可分别求解（1）（2）．（1）解：2560x x +-=(6)(1)0x x +-=，60x +=或10x -=，6x =-或1x =；（2）解：2230x x --=，(3)(1)0x x -+=，30x -=或10x +=，3x =或=1x -．【点拨】本题主要考查利用因式分解进行求解方程，熟练掌握因式分解是解题的关键．8．因式分解：323412x x y x y +--．【答案】(3)(2)(2)x y x x ++-【分析】原式第一、三项结合，二、四项结合，提取公因式后再提取公因式，利用平方差公式分解即可．解：原式=324312x x x y y-+-=22(4)3(4)x x y x -+-=2(3)(4)x y x +-=(3)(2)(2)x y x x ++-．【点拨】本题考查了因式分解：分组分解法：对于多于三项以上的多项式的因式分解，先进行适当分组，再把每组因式分解，然后利用提公因式法或公式法进行分解．举一反三：【变式】因式分解：(1)a 2－ab ＋ac －bc ；(2)x 3＋6x 2－x －6.【答案】(1)(a －b)(a ＋c)；(2)(x ＋1)(x －1)(x ＋6)试题分析：根据因式分解的方法进行因式分解即可.解：(1)原式()()()()a a b c a b a b a c =-+-=-+．(2)原式()()()()()()()()()322226616116116x x x x x x x x x x x =-+-=-+-=-+=+-+类型五、因式分解综合9．将下列各式分解因式．（1）3416x x -；（2）()2212a x ax +-；（3）()24a b a b --；（4）()()()()2233a b a b a b b a -+++-．【答案】（1）()()41212x x x +-；（2）()221a x x ++；（3）()22a b --；（4）()()28a b a b -+【分析】（1）先提取公因式，然后进一步利用平方差公式进行因式分解即可；（2）利用提公因式法进行因式分解即可；（3）先将括号去掉，然后移项，根据完全平方公式进行因式分解即可；（4）利用提公因式法以及平方差公式综合进行因式分解即可.解：（1）3416x x -=()2414x x -=()()41212x x x +-；（2）()2212a x ax +-=()221a x x ⎡⎤+-⎣⎦=()221a x x ++；（3）()24a b a b --=2244ab a b --=()2244a ab b --+=()22a b --；（4）()()()()2233a b a b a b b a-+++-=()()()()2233a b a b a b a b -+-+-=()()()2233a b a b a b ⎡⎤-+-+⎣⎦=()()()4422a b a b a b -+-=()()28a b a b -+.【点拨】本题主要考查了因式分解，熟练掌握相关方法及公式是解题关键.举一反三：【变式】因式分解：（1）2273xy x-（2）2292a b ab+-+（3）228x x --【答案】（1）3(3+1)(31)-x y y ；（2）(3)(3)+++-a b a b ；（3）(2)(4)x x +-【分析】（1）根据提取公因式，平方差公式，即可分解因式；（2）根据完全平方公式法、平方差公式，即可分解因式；（3）根据十字相乘法分解因式，即可得到答案．解：（1）2273xy x-23(91)x y =-3(31)(31)x y y =+-；（2）2292a b ab+-+2229a ab b =++-22()3a b =+-(3)(3)a b a b =+++-；（3）228x x --(2)(4)x x =+-．【点拨】本题主要考查分解因式，掌握提取公因式法、公式法、十字相乘法分解因式，是解题的关键．类型五、因式分解的应用10．阅读材料，回答下列问题：若22228160m mn n n -+-+=，求m ，n 的值．解：∵22228160m mn n n -+-+=，∴222(2)(816)0m mn n n n -++-+=，即22()(4)0m n n +--=，又2()0m n -≥，2(4)0n -≥，∴2()0m n -=，2(4)0n -=，∴4n =，4m =．(1)若22440a b a +-+=，求a ，b 的值；(2)已知ABC 的三边a ，b ，c 满足2222220a b c ab ac ++--=．判断ABC 的形状，并说明理由．【答案】(1)2,0a b ==；(2)等边三角形，理由见分析．【分析】（1）参照例题，将等式转化为两个完全平方的和等于0的形式，进而求得a ，b 的值；（2）方法同（1）．解：（1）∵22440a b a +-+=，∴()22440a a b ++-=，即2220()a b -+=，又22(2)0,0a b -≥≥，22(2)0,0a b ∴-==，2,0a b ∴==．（2）∵2222220a b c ab ac ++--=，2222(2)(2)0a ab b b ac c ∴-++-+=，即22()()0a b b c -+-=，又22()0,()0a b b c -≥-≥，∴22()0,()0a b b c -=-=，,a b b c ∴==，a b c ==∴．ABC ∴ 是等边三角形．【点拨】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键．举一反三：【变式】已知：1a b +=，154ab =-(1)求22ab a b +的值(2)求22a b +的值(3)若22a b k -=-，求非负数k 的值【答案】(1)154-；(2)172；(3)k =【分析】（1）将代数式22ab a b +用提公因式法因式分解为()ab a b +，再将1a b +=，154ab =-代入计算即可；（2）将22a b +变形为()22a b ab +-，再将1a b +=，154ab =-代入计算即可；（3）类似的方法将()2a b -变形为()24a b ab +-，代入计算后求出a b -的值，继而根据22a b k -=-计算出符合条件的k 的值即可．（1）解：∵1a b +=，154ab =-，∴()221515144ab a b ab a b +=+=-⨯=-；（2）解：∵1a b +=，154ab =-，∴()2222a b a b ab+=+-15124⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1512=+172=；（3）解：∵()()224a b a b ab-=+-1514164⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，∴4a b -=±当4a b -=时，224k -=，k =∵k 为非负数，∴k =当4a b -=-时，224k -=-，22k =-（舍去），∴k =【点拨】本题考查了完全平方公式的应用以及提取公因式分解因式，能够灵活应用完全平方公式是解题的关键．11．阅读材料：()()()2222244454529232322x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=++--=+-=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()51x x =+-上面的方法称为多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．根据以上材料，解答下列问题：(1)因式分解：223x x +-；(2)求多项式2610x x +-的最小值；(3)已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，且满足222506810a b c a b c +++=++，求△ABC 的周长．【答案】(1)()()31x x +-；(2)19-；(3)12【分析】（1）先配方后，再利用平方差公式进行因式分解；（2）配方后根据平方的非负性求最小值；（3）配方后根据非负性求出a ，b ，c 的值即可．（1）解：223x x +-222113x x =++--2(1)4x =+-(12)(12)x x =+++-；(3)(1)x x =+-；（2）2226106919(3)19x x x x x +-=++-=+-，∵2(3)0x +≥，∴多项式2610x x +-的最小值为19-；（3）由题意得：2226810500a b c a b c ++---+=，∴2226981610250a a b b c c +++++--=-．∴222(3)4)(0(5)a b c -+-+-=．又∵2(3)0a -≥，2(04)b -≥，2(05)c -≥，∴30a -=，40b -=，50c -=，∴3a =，4b =，5c =，∴ABC 的周长为34512++=．【点拨】本题考查了配方法因式分解以及因式分解的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．举一反三：【变式】先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若2222690m mn n n ++-+=，求m 和n 的值．解：因为2222690m mn n n ++-+=，所以2222690m mn n n n +++-+=．所以22()(3)0m n n ++-=．所以0,30m n n +=-=．所以3,3m n =-=．问题：(1)若224212120++-+=x y xy y ，求xy 的值；(2)已知a ，b ，c 是等腰ABC 的三边长，且a ，b 满足2210841a b a b +=+-，求ABC 的周长．【答案】(1)-4；(2)13或14【分析】（1）仿照例题的思路，配成两个完全平方式，然后利用偶次方的非负性，进行计算即可解答；（2）仿照例题的思路，配成两个完全平方式，再利用偶次方的非负性，先求出a ，b 的值，然后分两种情况，进行计算即可解答．解：（1）∵22421212x y xy y ++-+222231212x xy y y xy =+++-+2()3x y =++2(2)y -，=∴0x y +=，20y -=，∴2x =-，2y =，∴2(2)4=⨯-=-xy ．（2）∵2210841a b a b +=+-，∴2210258160a a b b -+++=-，∴22(5)(4)0a b -+-=，∴50a -=，40b -=，∴5a =，4b =．由于ABC 是等腰三角形，所以5c =或4．①若5c =，则ABC 的周长为55414++=；②若4c =，则ABC 的周长为54413++=．所以ABC 的周长为13或14．【点拨】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，三角形的三边关系，熟练掌握完全平方式是解题的关键．。
北师大版初中数学八年级下册知识讲解,巩固练习(教学资料,补习资料)：第四章 因式分解(提高)
第四章 因式分解（提高）提公因式法（提高）【学习目标】1. 了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系；2． 能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式. 【要点梳理】要点一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.要点二、公因式多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.要点三、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法． 要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即.（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.【典型例题】类型一、因式分解的概念1、下列由左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是？请说明理由．m m（1）；（2）； （3）；（4）； （5）．【思路点拨】根据因式分解的定义是将多项式形式变成几个整式的积的形式，从对象和结果两方面去判断. 【答案与解析】解：因为(1)(2)的右边都不是积的形式，所以它们都不是因式分解；(4)的左边不是多项式而是一个单项式，(5)中的、都不是整式，所以(4)(5)也不是因式分解， 只有(3)的左边是多项式，右边是整式的积的形式，所以只有(3)是因式分解． 【总结升华】因式分解是将多项式变成积的形式，所以等式的左边必须是多项式，将单项式拆成几个单项式乘积的形式不能称为因式分解．等式的右边必须是整式因式积的形式． 举一反三：【变式】下列变形是因式分解的是 ( )A. B.C. D.【答案】B ；类型二、提公因式法分解因式2、（2019春•山亭区期中）把下列各式分解因式：（1）2m （m ﹣n ）2﹣8m 2（n ﹣m ）（2）﹣8a 2b +12ab 2﹣4a 3b 3． 【思路点拨】（1）直接提取公因式2m （m ﹣n ），进而分解因式得出答案； （2）直接提取公因式﹣4ab ，进而分解因式得出答案． 【答案与解析】解：（1）2m （m ﹣n ）2﹣8m 2（n ﹣m ）=2m （m ﹣n ）[（m ﹣n ）+4m ] =2m （m ﹣n ）（5m ﹣n ）；()a x y ax ay +=+2221(2)(1)(1)x xy y x x y y y ++-=+++-24(2)(2)ax a a x x -=+-221122ab a b =222112a a a a ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭21a 1a243(2)(2)3a a a a a -+=-++2244(2)x x x ++=+11(1)x x x+=+2(1)(1)1x x x +-=-（2）﹣8a 2b +12ab 2﹣4a 3b 3=﹣4ab （2a ﹣3b +a 2b 2）．【总结升华】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 举一反三：【变式】（2019春•濉溪县期末）下列分解因式结果正确的是（ ） A.a b+7ab ﹣b=b （a +7a ） B.3x y ﹣3xy+6y=3y （x ﹣x ﹣2） C.8xyz ﹣6x y =2xyz （4﹣3xy ） D.﹣2a +4ab ﹣6ac=﹣2a （a ﹣2b+3c ） 【答案】D.解：A 、原式=b （a +7a+1），错误；B 、原式=3y （x ﹣x+2），错误；C 、原式=2xy （4z ﹣3xy ），错误；D 、原式=﹣2a （a ﹣2b+3c ），正确． 故选D ．类型三、提公因式法分解因式的应用3、若、、为的三边长，且，则按边分类，应是什么三角形？ 【答案与解析】解：∵∴当时，等式成立，当时，原式变为，得出， ∴∴是等腰三角形.【总结升华】将原式分解因式，就可以得出三边之间的关系，从而判定三角形的类型. 4、对任意自然数（＞0），是30的倍数，请你判定一下这个说法的正确性，并说说理由. 【答案与解析】 解：∵为大于0的自然数，∴为偶数，15×为30的倍数， 即是30的倍数.222222222a b c ABC ∆()()()()a b b a b a a c a b a c -+-=-+-ABC ∆()()()()a b b a b a a c a b a c -+-=-+-()()()()a b b a a b a c a b c a ---=---()()()()a b b a c a a b --=--a b =a b ≠a b a c -=-b c =a b b c ==或ABC ∆n n 422n n +-()44422222221152n n n n n n +-=⨯-=-=⨯n 2n2n422n n +-【总结升华】判断是否为30的倍数，只需要把分解因式，看分解后有没有能够整除30的因式. 举一反三： 【变式】说明能被7整除.【答案】 解：所以能被7整除.5、（2019春•湘潭县期末）已知xy=﹣3，满足x+y=2，求代数式x y+xy 的值． 【思路点拨】将原式提取公因式xy ，进而将已知代入求出结果即可． 【答案与解析】解：∵xy=—3，x+y=2，∴x y+xy =xy （x+y ）=﹣3×2=﹣6．【总结升华】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 【巩固练习】 一.选择题1. （2019春•北京期末）把多项式2x 3y ﹣x 2y 2﹣6x 2y 分解因式时，应提取的公因式为（ ）A ．x 2yB ．xy 2C ．2x 3yD ．6x 2y2. 观察下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中可以用提公因式法分解因式的有（）A ．①②⑤B ．②④⑤C ．②④⑥D ．①②⑤⑥ 3. 下列各式中，运用提取公因式分解因式正确的是（ ）A. B.C. D.4. 分解因式的结果是（ ）A. B.C. D.422n n +-422n n +-200199198343103-⨯+⨯200199198343103-⨯+⨯()198219833431073=-⨯+=⨯200199198343103-⨯+⨯2222abx adx -2226x y xy +328421m m m -++3223a a b ab b ++-()()()22256p q x y x p q p q +-+++()()()24ax y x y b y x +--+()()()()22222a x a a x -+-=-+()32222x x x x x x ++=+()()()2x x y y x y x y ---=-()2313x x x x --=--2322212n n n x x x +++-+()22nx xx -+()2322n x x x -+()2122n xx x +-+()322n x x x -+5. （2019秋•西城区校级期中）把﹣6x y ﹣3x y ﹣8x y 因式分解时，应提取公因式（ ） A.﹣3x y B.-2x yC.x yD.﹣x y6. 计算的结果是（ ）A. B.－1 C. D.－2二.填空题7. 把下列各式因式分解：（1）__________.（2）_________________.8. 在空白处填出适当的式子： （1）；（2）9. 因式分解：______________.10. （2019•黔南州）若ab=2，a ﹣b=﹣1，则代数式a 2b ﹣ab 2的值等于___________. 11. .12. （2019春•深圳校级期中）若m ﹣n=3，mn=﹣2，则2m 2n ﹣2mn 2+1的值为_____________.三.解答题 13.已知：，求的值. 14. （2019春•北京校级月考）先阅读第（1）题的解答过程，然后再解第（2）题．（1）已知多项式2x 3﹣x 2+m 有一个因式是2x+1，求m 的值．解法一：设2x 3﹣x 2+m=（2x+1）（x 2+ax+b ），则：2x 3﹣x 2+m=2x 3+（2a+1）x 2+（a+2b ）x+b比较系数得，解得，∴解法二：设2x 3﹣x 2+m=A•（2x+1）（A 为整式） 由于上式为恒等式，为方便计算了取，32222322222222()2011201022+-2010220102-2168a b ab --=()()2232xx y x y x ---=()()()()111x y y x --=-+()()238423279ab b c a bc +=+()()()x b c a y b c a a b c +--+----=2011201222_________________-=213x x +=43261510x x x ++2×=0，故 ．（2）已知x 4+mx 3+nx ﹣16有因式（x ﹣1）和（x ﹣2），求m 、n 的值．15. 先分解因式（1）、（2）、（3），再解答后面问题； （1）1＋＋（1＋）； （2）1＋＋（1＋）＋；（3）1＋＋（1＋）＋＋ 问题：．先探索上述分解因式的规律，然后写出：1＋＋（1＋）＋＋＋…＋分解因式的结果是_______________.．请按上述方法分解因式：1＋＋（1＋）＋＋＋…＋（为正整数）． 【答案与解析】 一.选择题1. 【答案】A ；【解析】2x 3y ﹣x 2y 2﹣6x 2y=x 2y （2x ﹣y ﹣6）． 2. 【答案】D【解析】①；②；⑤；⑥．所以可以用提公因式法分解因式的有①②⑤⑥．3. 【答案】C ；【解析】；.4. 【答案】C ；5. 【答案】D ．【解析】解：﹣6x 3y 2﹣3x 2y 2﹣8x 2y 3=﹣x 2y 2（6x+3+8y ），因此﹣6x 3y 2﹣3x 2y 2﹣8x 2y 3的公因式是﹣x 2y 2． 故选D ．6. 【答案】C ； 【解析】.二.填空题7. 【答案】（1）；（2）a a a a a a a ()21a +a a a a ()21a +a ()31a +a a a a a ()21a +a ()31a +()20121a +b a a a a ()21a +a ()31a +()1na +n ()abx adx axb d -=-()222623x y xy xy x y +=+()()()()()222225656p q x y xp q p q p q x y x p q ⎡⎤+-+++=+-++⎣⎦()()()()()2244ax y x y b y x x y a x y b ⎡⎤+--+=+--⎣⎦()()()()22222a x a a x -+-=--()322221x x x x x x ++=++()()()()2011201020102010201020102010222222222+-=+-⨯-=+-⨯=-()821ab a -+()()221xx y x --【解析】.8. 【答案】（1）；（2）； 【解析】. 9. 【答案】；【解析】 .10.【答案】-2；【解析】∵ab=2，a ﹣b=﹣1，∴a 2b ﹣ab 2=ab （a ﹣b ）=2×（﹣1）=﹣2． 11.【答案】；【解析】.12.【答案】-11；【解析】解：∵2m 2n ﹣2mn 2+1=2mn （m ﹣n ）+1将m ﹣n=3，mn=﹣2代入得： 原式=2mn （m ﹣n ）+1 =2×（﹣2）×3+1 =﹣11．故答案为：﹣11．三.解答题 13.【解析】解：14.【解析】()()()()()()22222323221xx y x y x x x y x x y x x y x ---=---=--1y -2427b ()()()()()()111111y x x y y x y y -+=-+-=---()()1x y bc a -++-()()()x b c a y b c a a b c +--+----()()()x b c a y b c a b c a =+--+-++-()()1x y b c a =-++-20112-()201120122011201120112011222222122-=-⨯=-=-43261510x x x ++()()()43322222222226699691169333331313x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =++++=++++=⨯+⨯+=+=+=⨯=解：设x 4+mx 3+nx ﹣16=A （x ﹣1）（x ﹣2）（A 为整式），取x=1，得1+m+n ﹣16=0①， 取x=2，得16+8m+2n ﹣16=0②， 由①、②解得m=﹣5，n=20． 15.【解析】解：（1）原式＝；（2）原式＝；（3）原式＝．结果为：，．原式＝ ＝ ＝＝……＝平方差公式（提高） 知识讲解【学习目标】1. 能运用平方差公式把简单的多项式进行因式分解.2. 会综合运用提公因式法和平方差公式把多项式分解因式； 3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯. 【要点梳理】要点一、公式法——平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.()()()2111a a a ++=+()()()()()()31111111a a a a a a a a ++++=+++=+⎡⎤⎣⎦()()()21111a a a a a a ⎡⎤++++++⎣⎦()()()1111a a a a a =+++++⎡⎤⎣⎦()()()2111a a a =+++()41a =+a ()20131a +b ()()()1111......1n a a a a a a -⎡⎤+++++++⎣⎦()()()()21111......1n a a a a a a a -⎡⎤++++++++⎣⎦()()()33111......1n a a a a a a -⎡⎤+++++++⎣⎦()()()()111111n n a a a a -++++=+()()22a b a b a b -=+-（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点二、因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 要点三、因式分解注意事项（1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 【典型例题】类型一、公式法——平方差公式1、分解因式：（1）； （2）； （3）．【思路点拨】（1）把看做整体，变形为后分解．（2）可写成，可写成，和分别相当于公式里的和．（3）把、看作一个整体进行分解．【答案与解析】解：（1）． （2）．（3）．【总结升华】注意套用公式时要注意字母的广泛意义，可以是字母，也可以是单项式或多项式. 举一反三：【变式】将下列各式分解因式：a b a b 2()4x y +-2216()25()a b a b --+22(2)(21)x x +--x y +22()2x y +-216()a b -2[4()]a b -225()a b +2[5()]a b +4()a b -5()a b +a b (2)x +(21)x -222()4()2(2)(2)x y x y x y x y +-=+-=+++-222216()25()[4()][5()]a b a b a b a b --+=--+[4()5()][4()5()]a b a b a b a b =-++--+(9)(9)a b a b =+--(9)(9)a b a b =-++22(2)(21)[(2)(21)][(2)(21)]x x x x x x +--=++-+--(31)(3)x x =+-（1）； （2）（3）； （4）；【答案】解：（1）原式（2）原式＝ ＝ （3）原式 （4）原式2、分解因式： （1）； （2）； （3）； （4） 【答案与解析】 解：（1）． （2）．（3）． （4）． 【总结升华】（1）如果多项式的各项中含有公因式，那么先提取公因式，再运用平方差公式分解．（2）因式分解必须进行到每一个多项式的因式都不能分解为止． 举一反三：【变式】（2019•杭州模拟）先化简，再求值：（2a+3b ）2﹣（2a ﹣3b ）2，其中a=．【答案】解：原式=（2a+3b+2a ﹣3b ）（2a+3b ﹣2a+3b ）=4a×6b=24ab ，当a=，即ab=时，()()22259a b a b +--()22234x y x --33x y xy -+32436x xy -()()()()5353a b a b a b a b =++-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()8228444a b a b a b a b =++=++()()232232x y x x y x -+--()343y x y --()()()22xy x y xy x y x y =--=-+-()()()2249433x x yx x y x y =-=+-2128x -+33a b ab -516x x -2(1)(1)a b a -+-221112(16)(4)(4)888x x x x -+=--=-+-3322()()()a b ab ab a b ab a b a b -=-=+-5422216(16)(4)(4)(4)(2)(2)x x x x x x x x x x x -=-=+-=++-222(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)a b a a b a a b a b b -+-=---=--=-+-原式=24ab=4．类型二、平方差公式的应用3、（2019春•新化县期末）在日常生活中，如取款、上网需要密码，有一种因式分解法产生密码，例如x4﹣y4=（x﹣y）（x+y）（x2+y2），当x=9，y=9时，x﹣y=0，x+y=18，x2+y2=162，则密码018162．对于多项式4x3﹣xy2，取x=10，y=10，用上述方法产生密码是什么？【思路点拨】首先将多项式4x3﹣xy2进行因式分解，得到4x3﹣xy2=x（2x+y）（2x﹣y），然后把x=10，y=10代入，分别计算出2x+y=及2x﹣y的值，从而得出密码．【答案与解析】解：原式=x（4x2﹣y2）=x（2x+y）（2x﹣y），当x=10，y=10时，x=10，2x+y=30，2x﹣y=10，故密码为103010或101030或301010．【总结升华】本题是中考中的新题型，考查了学生的阅读能力及分析解决问题的能力，读懂密码产生的方法是关键．4、（2019春•成武县期末）阅读下面的计算过程：（2+1）（22+1）（24+1）=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）=（24﹣1）（24+1）=（28﹣1）．根据上式的计算方法，请计算：（1）（2）（3+1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣．【思路点拨】（1）原式变形后，利用平方差公式化简，计算即可得到结果；（2）原式变形后，利用平方差公式化简，计算即可得到结果．【答案与解析】解：（1）原式=2（1﹣）（1+）（1+）（1+）…（1+）=2（1﹣）（1+）（1+）…（1+）=2（1﹣）（1+）…（1+）=2（1﹣）=；（2）原式=（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣=（32﹣1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣=（364﹣1）﹣=﹣． 【总结升华】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．【巩固练习】一.选择题1．（2019•百色）分解因式：16﹣x 2=（ ）A ．（4﹣x ）（4+x ）B ．（x ﹣4）（x +4）C ．（8+x ）（8﹣x ）D ．（4﹣x ）22. （2019春•东平县校级期末）下列多项式相乘，不能用平方差公式的是（ ）A.（﹣2y ﹣x ）（x+2y ）B.（x ﹣2y ）（﹣x ﹣2y ）C.（x ﹣2y ）（2y+x ）D.（2y ﹣x ）（﹣x ﹣2y ）3. 下列因式分解正确的是( ).A. B.C. D. 4. 下列各式，其中因式分解正确的是（ ）①；② ③④A.1个B.2个C.3个D.4个5. 若能被60或70之间的两个整数所整除，这两个数应当是（ ）A ．61，63B ．61，65C ．63，65D ．63，676. 乘积应等于（ ） ()()2292323a b a b a b -+=+-()()5422228199a ab a a b a b -=+-()()2112121222a a a -=+-()()22436223x y x y x y x y ---=-+-22933422x y x y x y ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()2933x x x -=-+()()()()2212121m n m n m n +--+=+-()()()()2294252a b a c a b c a b c +-+=+-++4821-22221111111123910⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ．B ．C ．D ． 二.填空题 7. ； . 8. 若，将分解因式为__________. 9. 分解因式：_________. 10. 若，则是_________.11. （2019春•深圳期末）若A=（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，则A 的末位数字是 ．12.（2019•烟台）已知|x ﹣y +2|+=0，则x 2﹣y 2的值为 ． 三.解答题13. 用简便方法计算下列各式：（1） －1998×2000 （2） （3）14.（2019秋•蓟县期末）已知（2a+2b+3）（2a+2b ﹣3）=72，求a+b 的值．15.设，，……，（为大于0的自然数） （1）探究是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”.试找出，，……，这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当满足什么条件时，为完全平方数.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】A ；【解析】16﹣x 2=（4﹣x ）（4+x ）．2. 【答案】A ；【解析】解：A 、两项都是互为相反数，不符合平方差公式．B 、C 、D 中的两项都是一项完全相同，另一项互为相反数，符合平方差公式．故选：A ．3. 【答案】C ；【解析】； ； 5121211202311_________m m a a +--=()2211x x x --+=)2|4|50m -+=22mx ny -2121()()=m m p q q p +--+-()()()216422n x x x x -=++-n 219992253566465⨯-⨯222222221009998979695......21-+-+-++-22131a =-22253a =-()()222121n a n n =+--n n a 1a 2a n a n n a ()()22933a b b a b a -+=+-()()()()()542222228199933a ab a a ba b a a b a b a b -=+-=++-. 4. 【答案】C ；【解析】①②③正确. .5. 【答案】C ； 【解析】6. 【答案】C ；【解析】 二.填空题7. 【答案】；【解析】.8. 【答案】；【解析】. 9. 【答案】；【解析】原式＝. 10.【答案】4；【解析】.11.【答案】6；【解析】解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，()()()()()224362232223x y x y x y x y x y x y x y ---=+--+=+--()()()()229433223322a b a c a b a c a b a c +-+=++++--()()53232a b c a b c =+++-()()()()()482424241212212121212121-=+-=++-()()()()()()24126624122121212*********=+++-=++⨯⨯22221111111123910⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111111111......11112233991010314253108119 (223344991010)1111121020⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-+- ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯=()()111m a a a -+-()()211x x -+()()()()()()()22222211111111x x x x x x x x x x --+=---=--=-+()()2525x y x y +-4,25,m n ==()()222525mx ny x y x y -=+-21()(1)(1)m p q p q p q ---+--()22121()1()(1)(1)m m p q p q p q p q p q --⎡⎤---=--+--⎣⎦()()()()()22244224416x x x x x x ++-=+-=-=（24﹣1）（24+1）（28+1）+1，=（28﹣1）（28+1）+1，=216﹣1+1，=216因为216的末位数字是6，所以原式末位数字是6．12. 【答案】-4；【解析】∵|x ﹣y +2|+=0，∴x ﹣y +2=0，x +y ﹣2=0，∴x ﹣y=﹣2，x +y=2， ∴x 2﹣y 2=（x ﹣y ）（x +y ）=﹣4．三.解答题13.【解析】解：（1）－1998×2000 ＝ （2）（3）14.【解析】解：已知等式变形得：[2（a+b ）+3][2（a+b ）﹣3]=72，即4（a+b ）2﹣9=72，整理得：（a+b ）2=，开方得：a+b=±．15.【解析】解：（1）又为非零的自然数，∴是8的倍数．这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数.（2）这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64，144，256． 为一个完全平方数的2倍时，为完全平方数.21999()()222199919991199911999199911--+=-+=()2222535664656535465⨯-⨯=-()()65354655354656100070420000=+-=⨯⨯=222222221009998979695......21-+-+-++-()()()()()()100991009998979897......2121100999897 (215050)=+-++-+++-=++++++=()()222121(2121)(2121)8n a n n n n n n n =+--=++-+-+=n n a n n a完全平方公式（提高）【学习目标】1. 能运用完全平方公式把简单的多项式进行因式分解.2. 会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式；3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯.【要点梳理】要点一、公式法——完全平方公式两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.（4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点二、因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 要点三、因式分解注意事项（1）因式分解的对象是多项式；（2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．【典型例题】类型一、公式法——完全平方公式1、分解因式：（1）； （2）；（3）； （4）．【答案与解析】解：（1）．（2）．（3）()2222a ab b a b ++=+()2222a ab b a b -+=-222a ab b ++222a ab b -+a b a b 22363ax axy ay -+-42242a a b b -+2222216(4)x y x y -+4224816a a b b -+222223633(2)3()ax axy ay a x xy y a x y -+-=--+=--42242222222()[()()]()()a a b b a b a b a b a b a b -+=-=+-=+-2222216(4)x y x y -+．（4）．【总结升华】（1）提公因式法是因式分解的首选法．多项式中各项若有公因式，一定要先提公因式，常用思路是：①提公因式法；②运用公式法．（2）因式分解要分解到每一个因式不能再分解为止．举一反三：【变式】分解因式：（1）．（2）．【答案】解：（1）原式 ．（2）原式 ．2、（2019•大庆）已知a+b=3，ab=2，求代数式a 3b+2a 2b 2+ab 3．【思路点拨】先提公因式ab ，再根据完全平方公式进行二次分解，然后带入数据进行计算即可得解．【答案与解析】解：a 3b+2a 2b 2+ab 3= ab （a 2+2ab+b 2）= ab （a+b ）2将a+b=3，ab=2代入得，ab （a+b ）2=2×32=18．故代数式a 3b+2a 2b 2+ab 3的值是18．【总结升华】在因式分解中要注意整体思想的应用，对于式子较复杂的题目不要轻易去括号． 举一反三：【变式】若，是整数，求证：是一个完全平方数.【答案】解：22222222(4)(4)(44)(44)xy x y xy x y xy x y =-+=++--22222(2)[(44)](2)(2)x y x xy y x y x y =+--+=-+-4224222222816(4)[(2)(2)](2)(2)a a b b a b a b a b a b a b -+=-=+-=+-224()12()()9()x a x a x b x b ++++++22224()4()()x y x y x y +--+-22[2()]22()3()[3()]x a x a x b x b =++⋅+⋅+++22[2()3()](523)x a x b x a b =+++=++22[2()]22()()()x y x y x y x y =+-⋅+⋅-+-22[2()()](3)x y x y x y =+--=+x y ()()()()4234x y x y x y x y y +++++()()()()4234x y x y x y x y y +++++()()()()4423x y x y x y x y y =+++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦22224(54)(56)x xy y x xy y y =+++++令∴上式即 类型二、配方法分解因式3、用配方法来解决一部分二次三项式因式分解的问题，如：那该添什么项就可以配成完全平方公式呢？我们先考虑二次项系数为1的情况：如添上什么就可以成为完全平方式？ 因此添加的项应为一次项系数的一半的平方.那么二次项系数不是1的呢？当然是转化为二次项系数为1了.分解因式：.【思路点拨】提出二次项的系数3，转化为二次项系数为1来解决.【答案与解析】解：如 2254x xy y u ++=2422222(2)()(55)u u y y u y x xy y ++=+=++()()()()4222234(55)x y x y x y x y y x xy y +++++=++()()()()()()222282118191313 24x x x x x x x x x --=-+--=--=-+--=+-2x bx +2222()2222b b b x bx x x x ⎛⎫⎛⎫++=+⋅⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2352x x +-2252352333x x x x ⎛⎫+-=+- ⎪⎝⎭222555233663x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦25493636x ⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦2257366x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦575736666x x ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()1323x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭【总结升华】配方法，二次项系数为1的时候，添加的项应为一次项系数的一半的平方. 二次项系数不是1的时候，转化为二次项系数为1来解决.类型三、完全平方公式的应用4、（2019春•娄底期末）先仔细阅读材料，再尝试解决问题：完全平方公式x 2±2xy+y 2=（x±y）2及（x±y）2的值恒为非负数的特点在数学学习中有着广泛的应用，比如探求多项式2x 2+12x ﹣4的最大（小）值时，我们可以这样处理：解：原式=2（x 2+6x ﹣2）=2（x 2+6x+9﹣9﹣2）=2[（x+3）2﹣11]=2（x+3）2﹣22因为无论x 取什么数，都有（x+3）2的值为非负数所以（x+3）2的最小值为0，此时x=﹣3进而2（x+3）2﹣22的最小值是2×0﹣22=﹣22所以当x=﹣3时，原多项式的最小值是﹣22.解决问题：请根据上面的解题思路，探求多项式3x 2﹣6x+12的最小值是多少，并写出对应的x 的取值．【答案与解析】解：原式=3（x 2﹣2x+4）=3（x 2﹣2x+1﹣1+4）=3（x ﹣1）2+9，∵无论x 取什么数，都有（x ﹣1）2的值为非负数，∴（x ﹣1）2的最小值为0，此时x=1，∴3（x ﹣1）2+9的最小值为：3×0+9=9，则当x=1时，原多项式的最小值是9．【总结升华】此题考查了完全平方公式，非负数的性质，以及配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．举一反三：【变式1】若△ABC 的三边长分别为、、,且满足， 求证：.【答案】解：所以a b c 222166100a b c ab bc --++=2a c b +=22216610a b c ab bc --++()()()22222269251035a ab b b bc c a b b c =++--+=+--()()22350a b b c +--=()()2235a b b c +=-所以所以因为△ABC 的三边长分别为、、，，所以，矛盾，舍去.所以.【变式2】（2019春•萧山区期中）若（2019﹣x ）（2019﹣x ）=2019，则（2019﹣x ）2+（2019﹣x ）2= ．【答案】4032．解：∵（2019﹣x ）（2019﹣x ）=2019，∴[（2019﹣x ）﹣（2019﹣x ）]2=（2019﹣x ）2+（2019﹣x ）2﹣2（2019﹣x ）（2019﹣x ）=4，则（2019﹣x ）2+（2019﹣x ）2=4+2×2019=4032． 【巩固练习】一.选择题1. 若是完全平方式，则的值为（ ）A ．－5B ．7C ．－1D ．7或－12．（2019•富顺县校级模拟）下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（ ） ①x 2﹣10x +25；②4a 2+4a ﹣1；③x 2﹣2x ﹣1；④；⑤．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3. 如果是一个完全平方公式，那么是（ ） A. B. C. D.4. （2019•永州模拟）已知a=2005x+2004，b=2005x+2005，c=2005x+2006，则多项式a 2+b 2+c2﹣ab ﹣bc ﹣ac 的值为（ ）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 35. 若，则的值为（ ）A.12B.6C.3D.06. 若为任意实数时，二次三项式的值都不小于0，则常数满足的条件是（ ）A. B. C. D.二.填空题7．（2019•赤峰）分解因式：4x 2﹣4xy +y 2= ．8. 因式分解:＝_____________. 9. 因式分解: ＝_____________.10. 若，＝_____________.3(5)a b b c +=±-28a c b b c a +==-或a b c c a b -<8b c a b =-<2a c b +=22(3)16x m x +-+m 24a ab m --m 2116b 2116b -218b 218b -3a b +=222426a ab b ++-x 26x x c -+c 0c ≥9c ≥0c >9c >()222224m nm n +-2221x x y ++-224250x y x y +-++=x y +11. 当取__________时，多项式有最小值_____________.12.（2019•宁波模拟）如果实数x 、y 满足2x 2﹣6xy+9y 2﹣4x+4=0，那么= ．三.解答题13.若，，求的值.14.（2019春•怀集县期末）已知a+=，求下列各式的值： （1）（a+）2；（2）（a ﹣）2；（3）a ﹣．15. 若三角形的三边长是，且满足，试判断三角形的形状.小明是这样做的：解：∵，∴.即∵，∴.∴该三角形是等边三角形.仿照小明的解法解答问题：已知： 为三角形的三条边，且，试判断三角形的形状.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】D ；【解析】由题意，＝±4，.2. 【答案】C ；【解析】② ③ ⑤ 不能用完全平方公式分解.3. 【答案】B ；【解析】，所以，选B. 4. 【答案】D ；【解析】解：由题意可知a ﹣b=﹣1，b ﹣c=﹣1，a ﹣c=﹣2，所求式=（2a 2+2b 2+2c 2﹣2ab ﹣2bc ﹣2ca ），=[（a 2﹣2ab+b 2）+（b 2﹣2bc+c 2）+（a 2﹣2ac+c 2）]，=[（a ﹣b ）2+（b ﹣c ）2+（a ﹣c ）2]，x 2610x x ++44225a b a b ++=2ab =22a b +a b c 、、2222220a b c ab bc ++--=2222220a b c ab bc ++--=2222(2)(2)0a ab b c bc b -++-+=()()220a b b c -+-=()()220,0a b b c -≥-≥,a b b c a b c ====即a b c 、、2220a b c ab bc ac ++---=3m -71m =-或222211142222a ab m a a b b a b ⎛⎫⎛⎫--=-⋅⋅+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2144m b -==[（﹣1）2+（﹣1）2+（﹣2）2]，=3．故选D ．5. 【答案】A ；【解析】原式＝. 6. 【答案】B ；【解析】，由题意得，，所以.二.填空题 7. 【答案】（2x ﹣y ）2 【解析】4x 2﹣4xy +y 2=（2x ）2﹣2×2x •y +y 2=（2x ﹣y ）2．8. 【答案】； 【解析】.9. 【答案】【解析】. 10.【答案】1；【解析】，所以，. 11.【答案】－3，1；【解析】，当时有最小值1. 12.【答案】．【解析】解：可把条件变成（x 2﹣6xy+9y 2）+（x 2﹣4x+4）=0，即（x ﹣3y ）2+（x ﹣2）2=0，因为x ，y 均是实数，∴x﹣3y=0，x ﹣2=0，∴x=2，y=，∴==．故答案为． 三.解答题13.【解析】解：将代入 ()222623612a b +-=⨯-=()()22639x x c x c -+=-+-90c -≥9c ≥()()22m n m n +-()()()()()22222222222422m n m n m n mn m n mn m n m n +-=+++-=+-()()11x y x y +++-()()()222221111x x y x y x y x y ++-=+-=+++-()()2222425210x y x y x y +-++=-++=2,1x y ==-1x y +=()2261031x x x ++=++3x =-44224422222a b a b a b a b a b ++=++-()22222a b a b =+-2ab =()222225a b a b +-=∵≥0，∴＝3.14.【解析】解：（1）把a+=代入得：（a+）2=（）2=10； （2）∵（a+）2=a 2++2=10，∴a 2+=8，∴（a ﹣）2=a 2+﹣2•a•=8﹣2=6；（3）a ﹣=±=±．15.【解析】 解：∵∴∴∴，该三角形是等边三角形.十字相乘法及分组分解法（提高）【学习目标】1. 熟练掌握首项系数为1的形如型的二次三项式的因式分解.()()2222222259a b a b +-=+=22a b +22a b +2222222220a b c ab bc ac ++---=()()()2222222220a ab bb bc c a ac c -++-++-+=()()()2220a b b c a c -+-+-=000a b b c a c -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩a b c ==pq x q p x +++)(22. 基础较好的同学可进一步掌握首项系数非1的简单的整系数二次三项式的因式分解.3. 对于再学有余力的学生可进一步掌握分数系数；实数系数；字母系数的二次三项式的因式分解.(但应控制好难度)4. 掌握好简单的分组分解法.【要点梳理】要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式，若存在 ，则要点诠释：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号（2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止.要点二、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.要点三、分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点诠释：分组分解法分解因式常用的思路有：2x bx c ++pq c p q b=⎧⎨+=⎩()()2x bx c x p x q ++=++2x bx c ++c 0c >p q 、0c <p q 、b p q 、2x bx c ++b c 、c b 2ax bx c ++a a 12a a a =c 12c c c =1212a a c c ，，，1221a c a c +2ax bx c ++b 1221a c a c b +=11a x c +22a x c +()()21122ax bx c a x c a x c ++=++a要点四、添、拆项法把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法.【典型例题】类型一、十字相乘法1、分解因式：【答案与解析】解：原式＝【总结升华】将视作常数，就以为主元十字相乘可解决.举一反三：【变式】分解因式：【答案】解：原式2、分解因式：【思路点拨】该题可以先将看作一个整体进行十字相乘法分解，接着再套用一次十字相乘.【答案与解析】解：因为22(1)(6136)x a x a a++--+()()()212332x a x a a++---()()()()23322332x a x ax a x a=--+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=-++-a x23345xy y x y++--2(34)35(35)(1)y x y x y x y=+-+-=+-+()2a a-所以：原式＝[－2][ －12] ＝＝【总结升华】十字相乘法对于二次三项式的分解因式十分方便，大家一定要熟练掌握. 举一反三：【变式】分解因式：；【答案】解：原式3、分解下列因式(1) (2)【答案与解析】解：（1）令， 则原式（2）令， 原式【总结升华】此两道小题结构都非常有特点，欲分解都必须先拆开，再仔细观察每个式子中都存在大量相同的因式→整体性想法.整体性思路又称换元法，这与我们生活中搬家有些类似，要先将一些碎东西找包，会省许多事. 类型二、分组分解法4、分解因式：【思路点拨】对完全平方公式熟悉的同学，一看见该式，首先想到的肯定是式子中前三项恰好构成，第4、5项→.()()()22221214a a a a a a ----=--22(2)(12)a a a a ----()()()()1234a a a a +-+-222(3)2(3)8x x x x ----()()223432x x x x =---+()()()()4112x x x x =-+--22(1)(2)12x x x x ++++-22(33)(34)8x x x x +-++-21x x t ++=222(1)1212(4)(3)(5)(2)t t t t t t x x x x =+-=+-=+-=+++-2(2)(1)(5)x x x x =+-++23x x m +=2(3)(4)820(5)(4)m m m m m m =-+-=+-=+-222(35)(34)(4)(1)(35)x x x x x x x x =+++-=+-++222332x xy y x y -++-+2()x y -3()x y -【答案与解析】解：原式【总结升华】①熟记公式在复杂背景下识别公式架构很重要；②我们前面练习中无论公式、配方、十字相乘一般都只涉及单一字母，其实代数式学习是一个结构的学习，其中任一个字母均可被一个复杂代数式来替代，故有时要有一些整体性认识的想法.举一反三：【变式1】分解因式：（1）（2）（3）【答案】解：（1）原式；（2）原式；（3）原式.【变式2】（2019秋•昌江区校级期末）分解因式：．【答案】解：= ==．类型三、拆项或添项分解因式5、（2019春•吉州区期末）阅读理解：对于二次三项式x 2+2ax+a 2可以直接用公式法分解为（x+a ）2的形式，但对于二次三项式x 2+2ax ﹣8a 2，就不能直接用公式法了．我们可以在二次三项式x 2+2ax ﹣8a 2中先加上一项a 2，使其成为完全平方式，再减去a 2这项，使整个式子的值不变，于是又：x 2+2ax ﹣8a 2=x 2+2ax ﹣8a 2+a 2﹣a 2=（x 2+2ax+a 2）﹣8a 2﹣a 2=（x+a ）2﹣9a 2=[（x+a ）+3a][（x+a ）﹣3]2()3()2x y x y =-+-+(1)(2)x y x y =-+-+22a b ac bc -++225533a b a b --+23345xy y x y ++--()()()()()a b a b c a b a b a b c =+-++=+-+()()()()()()()225353553a b a b a b a b a b a b a b =---=+---=-+-233453(1)(1)(5)(1)(35)xy x y y x y y y y x y =++--=+++-=++-2242244241a b c ab ac bc ++--+-2242244241a b c ab ac bc ++--+-()()()2222444241a b ab ac bcc +-+-++-()()()()222222211b a c b a c c -+-++-()()222121b a c b a c -++-+-=（x+4a ）（x ﹣2a ）像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．（1）请认真阅读以上的添（拆）项法，并用上述方法将二次三项式：x 2+2ax ﹣3a 2分解因式．（2）直接填空：请用上述的添项法将方程的x 2﹣4xy+3y 2=0化为（x ﹣ ）•（x ﹣ ）=0并直接写出y 与x 的关系式．（满足xy≠0，且x≠y）（3）先化简﹣﹣，再利用（2）中y 与x 的关系式求值．【答案与解析】解：（1）x 2+2ax ﹣3a2 =x 2+2ax+a 2﹣4a2 =（x+a ）2﹣4a2 =（x+a+2a ）（x+a ﹣2a ）=（x+3a ）（x ﹣a ）；（2）x 2﹣4xy+3y2 =x 2﹣4xy+4y 2﹣y2 =（x ﹣2y ）2﹣y2 =（x ﹣2y+y ）（x ﹣2y ﹣y ）=（x ﹣y ）（x ﹣3y ）；x=y 或x=3y ；故答案为：y ；3y（3）原式===﹣， 若x=y ，原式=﹣2；若x=3y ，原式=﹣． 【总结升华】此题考查了因式分解﹣添（拆）项法，正确地添（拆）项是解本题的关键．【巩固练习】一.选择题1. （2019秋·惠民县期末）如果多项式能因式分解为，那么下列结论正确的是 ( ).A.＝6B.＝1C.＝-2D.＝32. 若，且，则的值为( ). A.5 B.－6 C.－5 D.63. 将因式分解的结果是( ).2322mx nx --()()32x x p ++m n p mnp ()2230x a b x ab x x +++=--b a <b ()()256x y x y +-+-A. B.C. D.4．（滨湖区校级期中）把多项式1+a+b+ab 分解因式的结果是（ ）A ．（a ﹣1）（b ﹣1）B ．（a+1）（b+1）C ．（a+1）（b ﹣1）D ．（a ﹣1）（b+1）5. 对运用分组分解法分解因式，分组正确的是( )A. B.C. D.6．如果有一个因式为，那么的值是（ ）A. －9B.9C.－1D.1二.填空题7.（2019•黄冈模拟）分解因式： ．8. 分解因式：= ．9．分解因式的结果是__________.10. 如果代数式有一因式，则的值为_________． 11．若有因式,则另外的因式是_________.12. 分解因式：（1）；（2）三.解答题13. 已知，, 求的值.14. 分解下列因式：（1）（2）（3）（4） 15.（2019•巴南区一模）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．()()23x y x y +++-()()23x y x y +-++()()61x y x y +-++()()61x y x y +++-224293x x y y +--22(42)(93)x x y y ++--22(49)(23)x y x y -+-22(43)(29)x y x y -+-22(423)9x x y y +--3233x x x m +-+()3x +m 2242y xy x --+=224202536a ab b -+-5321x x x -+-a 3223a a b ab b --+()a b -3)32(2-+-+k x k kx mn m x m n x -+-+22)2(0x y +=31x y +=2231213x xy y ++()()128222+---a a a a 32344xy xy x y x y -++42222459x y x y y --43226a a a +-如：ax+by+bx+ay=（ax+bx ）+（ay+by ）=x （a+b ）+y （a+b ）=（a+b ）（x+y ）2xy+y 2﹣1+x 2=x 2+2xy+y 2﹣1=（x+y ）2﹣1=（x+y+1）（x+y ﹣1）（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如： x 2+2x ﹣3=x 2+2x+1﹣4=（x+1）2﹣22=（x+1+2）（x+1﹣2）=（x+3）（x ﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：a 2﹣b 2+a ﹣b ；（2）分解因式：x 2﹣6x ﹣7；（3）分解因式：a 2+4ab ﹣5b 2． 【答案与解析】一.选择题1. 【答案】B ；【解析】， ∴，解得.2. 【答案】B ；【解析】，由，所以. 3. 【答案】C ；【解析】把看成一个整体，分解.4. 【答案】B ；【解析】解：1+a+b+ab=（1+a ）+b （1+a ）=（1+a ）（1+b ）．故选：B ．5. 【答案】B ；【解析】A 各组经过提取公因式后，组与组之间无公因式可提取，所以分组不合理.B 第一组可用平方差公式分解得，与第二组有公因式可提取，所以分组合理，C 与D 各组均无公因式，也不符合公式，所以无法继续进行下去，分组不合理.6. 【答案】A ；【解析】由题意当时，代数式为零，解得.二.填空题()()()223233222x x p x p x p mx nx ++=+++=--22,32p p n =-+=-1n =()()23065x x x x --=-+b a <6b =-()x y +()()()()25661x y x y x y x y +-+-=+-++()()2323x y x y +-23x y-3x =-9m =-7. 【答案】． 【解析】解：===．8. 【答案】； 【解析】原式9. 【答案】；【解析】原式.10.【答案】16；【解析】由题意当时，代数式等于0，解得. 11.【答案】； 【解析】.12.【答案】；； 【解析】；.三.解答题13.【解析】解：由，解得 所以，原式.14.【解析】解：（1）原式；()()22x y x y -+--2242y xy x --+()2224y xy x -+-()24x y --()()22x y x y -+--()()256256a b a b -+--()224202536a ab b=-+-()()()22256256256a b a b a b =--=-+--()()()22111x x x x +--+()()()()()()()23222321111111x xx x x x x x x =-+-=-+=+--+4x =16a =()()a b a b -+()()322322a a b ab b aa b b a b --+=---()()2a b a b =-+()()31kx k x +-+()()x m x m n --+()()2(23)331kx k x k kx k x +-+-=+-+()()()()22(2)x n m x m mn x m x m n x m x m n +-+-=---=--+⎡⎤⎣⎦()()22231213334x xy y x y x y y ++=+++0x y +=31x y +=12y =21301412⎛⎫=⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭()()()()()()22261223a a a a a a a a =----=+-+-。
北师大版数学八年级下册第四章因式分解4.3公式法(第1课时)教案设计
4.3 公式法（第1课时运用平方差公式因式分解）教学目标1.理解平方差公式，弄清平方差公式的形式和特点；2.掌握运用平方差公式分解因式的方法，能正确运用平方差公式把多项式分解因式，培养学生多步骤分解因式的能力.教学重点掌握运用平方差公式分解因式的方法.教学难点能会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解.课时安排1课时教学过程复习巩固1.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解.因式分解也可称为分解因式.2.平方差公式：(a+b)( a-b)＝a2-b2.导入新课活动1（学生交流，教师点评）【问题1】填空：（1）（x+5）（x-5）＝；（2）（3x+y）（3x-y）＝；（3）（3m+2n）（3m–2n）＝.它们的结果有什么共同特征？答案：（1）x2–25；（2）9x2–y2；（3）9m2–4n2学生：以上都是用平方差公式：(a+b)( a-b)＝a2-b2计算得出来的.【问题2】根据问题1中等式填空：（1）x2-25＝；（2）9x2−y2＝；（3）9m2-4n2＝.答案：（1）（x+5）（x-5）（2）（3x+y）（3x-y）；（3）（3m+2n）（3m–2n）.教师总结：公共特点：是两个数（式）的和与这两个数（式）的差的积，等于这两个数（式）的平方差，反过来，两个数（式）的平方差就可以化成这两个数（式）的和与这两个数（式）的差的积的形式，这种变形就是我们今天学习的内容，引出课题.探究新知探究点一用平方差公式因式分解(a+b)( a-b)＝a2-b2反过来，a2-b2＝(a+b)( a-b).两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.【注意】公式中的a,b既可以是单项式，也可以是多项式活动2（学生交流，教师点评）【问题3】（师生互动）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是()A.a2+(-b)2B.5m2-20mnC.-x2-y2D.-x2+9解析：A中a2+(-b)2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；B中5m2-20mn两项都不是平方项，不能用平方差公式分解因式，错误；C中-x2-y2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；D中-x2+9＝-x2+32，两项符号相反，能用平方差公式分解因式，正确.故选D.【方法总结】能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反.【互动】(小组交流)下列各式中，能运用平方差公式分解的多项式是.(填序号)①x2+y2；②1-x2；③-x2-y2；④x2-xy.答案：②.活动3小组讨论(师生互学)【例1】因式分解：(1)a4-116b4；(2)x3y2-xy4.【探索思路】(引发学生思考)观察各式的特点，运用平方差公式进行因式分解.解：(1) a4-116b4＝⎝⎛⎭⎪⎫a2＋14b2⎝⎛⎭⎪⎫a2－14b2＝⎝⎛⎭⎪⎫a2＋14b2⎝⎛⎭⎪⎫a－12b⎝⎛⎭⎪⎫a＋12b.(2) x3y2-xy4＝xy2(x2-y2)＝xy2(x+y)(x-y).【总结】(学生总结，老师点评)因式分解前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式.分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止.【例2】分解因式：9(m+n)2-(m-n)2.解：原式＝[3(m+n)]2-(m-n)2＝[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)]＝(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n)＝(4m+2n)(2m+4n)＝4(2m+n)(m+2n).【总结】1.如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差的形式，那么就可以用平方差公式分解因式，将多项式分解成两个整式的和与差的积.2.当多项式各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进一步因式分解.【注意】多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.【即学即练】(学生独学)因式分解：(1)(a+b)2-4a2； (2) x4-y4.解：(1) (a+b)2-4a2＝(a+b-2a)(a+b+2a)＝(b-a)(3a+b)；(2)x4-y4＝(x2)2-(y2)2＝(x2+y2)(x2-y2)＝(x2+y2)(x+y)(x-y).活动4（合作探究，解决问题）探究点二用平方差公式因式分解解决综合问题.（师生互动）【例2】248-1可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数.【探索思路】被自然数整除的含义是什么？248-1这个数比较大，怎样求出符合要求的两个数？解：248-1＝(224+1)(224-1)＝(224+1)(212+1)(212-1)＝(224+1)(212+1)(26+1)(26-1).∵26＝64，∴26-1＝63,26+1＝65，∴这两个数是65和63.【题后总结】(学生总结，老师点评)解决整除的基本思路就是将数化为整数乘积的形式，然后分析被哪些数整除.活动5拓展延伸(学生对学)【例3】利用因式分解计算：(1)1012-992；(2)5722×14-4282×14.【探索思路】观察式子特点，用提公因式法和平方差公式进行因式分解. 解：(1)1012-992＝(101+99)(101-99)＝400.(2)5722×14-4282×14＝(5722-4282)×14＝(572+428)(572-428)×14＝1000×144×14＝36 000.【题后总结】(学生总结，老师点评)对于一些比较复杂的计算，如果通过变形转化为平方差公式的形式，使运算简便.【即学即练】 (学生独学)求证：当n 为整数时，多项式(2n +1)2-(2n -1)2一定能被8整除.证明：原式＝(2n +1+2n -1)(2n +1-2n +1)＝4n ·2＝8n ，∵n 为整数，∴8n 被8整除，即多项式(2n +1)2-(2n -1)2一定能被8整除.课堂练习1下列多项式中能用平方差公式因式分解的是( )A.a 2+(−b )2B.5m 2−20mnC.x 2−y 2D.x 2+92.因式分解(2x +3)2 -x 2的结果是（ ）A.3(x 2+4x +3)B.3(x 2+2x +3)C.(3x +3)(x +3)D.3(x +1)(x +3)3 若a +b ＝3，a -b ＝7，则b 2-a 2的值为（ ）A.-21B.21C.-10D.104.用平方差公式进行简便计算:（1）38²-37² ； （2）213²-87²；（3）229²-171²； （4）91×89.5.已知x 2-y 2＝-1，x +y ＝12，求x -y 的值.6.已知4m +n ＝40，2m -3n ＝5.求(m +2n )2-(3m -n )2的值.参考答案：1.C 解析：A.a 2+(−b )2中两项符号相同，不能用平方差公式因式分解，故A 选项错误；B.5m 2−20mn 两项不都是平方项，不能用平方差公式因式分解，故B 选项错误；C.x 2−y 2中两项符号相反，能用平方差公式因式分解，故C 选项正确；D.x 2+9中，两项符号相同，不能用平方差公式因式分解，故D 选项错误.选C.2.D 解析：(2x +3)2 -x 2＝(2x +3+x )（2x +3-x )＝(3x +3)（x +3)＝3(x +1)(x +3)3.A 解析： b 2-a 2＝(b +a )(b -a )＝ 3×(−7)＝ −21.4.解：（1）38²−37²＝（38+37）（38−37）＝75.（2）213²-87²＝(213+87)(213-87)＝300×126＝37800.（3）229²-171²＝（229+171）（229-171）＝400×58＝23200.（4）91×89＝（90+1）（90−1）＝90²-1＝8100-1＝8099.5.解：∵x 2-y 2＝(x +y )(x -y )＝-1，x +y ＝12，∴x -y ＝-2.6.解：原式＝(m +2n +3m −n )(m +2n −3m +n )＝(4m +n )(3n −2m )＝− (4m +n )（2m −3n ).当4m +n ＝40，2m −3n ＝5时，原式＝−40×5＝−200.课堂小结(学生总结，老师点评，当堂达标)一、运用平方差公式因式分解：a2-b2＝(a+b)(a-b).二、平方差公式的特点：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反.布置作业教材第100页习题4.4板书设计3 公式法第1课时运用平方差公式因式分解用平方差公式因式分解：a2-b2＝(a+b)(a-b).【问题1】例1因式分解：(1)a4-116b4；(2)x3y2-xy4.【问题2】例2 248-1可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数.。
北师大八年级数学下册教案：第4章 因式分解
北师大八年级数学下册教案：第4章因式分解4．1因式分解1．理解并掌握因式分解的概念；2．理解因式分解与整式乘法之间的关系，并能够运用其解决问题．(难点)一、情境导入某中学决定购买m台电脑和m套桌椅，现在知道每台电脑的单价是a元，每套桌椅的价格是b元，小明说：“总共需要(ma＋mb)元．”小华说：“总共需要m(a＋b)元．”同学们，你们觉得他们计算出的总金额一样吗？二、合作探究探究点一：因式分解的概念下列从左到右的变形中是因式分解的有()①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故①不是因式分解；②把一个多项式转化成几个整式积的形式，故②是因式分解；③是整式的乘法，故③不是因式分解；④把一个多项式转化成几个整式积的形式，故④是因式分解；故选B.方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．探究点二：因式分解与整式乘法的关系及简单应用已知三次四项式2x3－5x2－6x＋k分解因式后有一个因式是x－3，试求k的值及另一个因式．解析：此题可设此三次四项式的另一个因式为(2x2－mx－k3)，将两因式的乘积展开与原三次四项式比较就可求出k的值．解：设另一个因式为2x2－mx－k3，∴(x－3)(2x2－mx－k3)＝2x3－5x2－6x＋k，2x3－mx2－k3x－6x2＋3mx＋k＝2x3－5x2－6x＋k，2x3－(m＋6)x2－(k3－3m)x＋k＝2x3－5x2－6x＋k，∴m＋6＝5，k3－3m＝6，解得m＝－1，k＝9，∴k＝9，∴另一个因式为2x2＋x－3.方法总结：因为整式的乘法和分解因式互为逆运算，所以分解因式后的两个因式的乘积一定等于原来的多项式．三、板书设计1．因式分解的概念把一个多项式转化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解．2．因式分解与整式乘法的关系因式分解是整式乘法的逆运算．本课是通过对比整式乘法的学习，引导学生探究因式分解和整式乘法的联系，通过对比学习加深对新知识的理解．教学时采用新课探究的形式，鼓励学生参与到课堂教学中，以兴趣带动学习，提高课堂学习效率.4．2提公因式法第1课时直接提公因式因式分解1．理解公因式的概念，能熟练确定多项式各项的公因式；2．掌握用直接提公因式法分解因式的基本方法．(重点)一、情境导入小华家买了一套新房，装修时打算在三室两厅的地面上贴相同规格的地板砖，为此小华的父亲要求小华测算出三室两厅的地面总面积．小华发现三室两厅的地面宽度相同，都是a 米，大厅长度为c米，三室长度均为d米，其中a＝3.6，b＝5.6，c＝2.8，d＝4.2，那么怎样计算总面积比较简便呢？二、合作探究探究点一：确定公因式多项式6ab2c－3a2bc＋12a2b2中各项的公因式是()A．abc B．3a2b2C．3a2b2c D．3ab解析：系数的最大公约数是3，相同字母的最低指数次幂是ab，可知公因式为3ab.故选D.方法总结：确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：(1)定系数，即确定各项系数的最大公约数；(2)定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；(3)定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂．探究点二：用提公因式法进行因式分解(一)【类型一】用提公因式法因式分解因式分解：(1)8a3b2＋12ab3c；(2)2a(b＋c)－3(b＋c)；(3)(a＋b)(a－b)－a－b.解析：将原式各项提取公因式即可得到结果．解：(1)原式＝4ab2(2a2＋3bc)；(2)原式＝(2a－3)(b＋c)；(3)原式＝(a＋b)(a－b－1)．方法总结：提公因式法的基本步骤：(1)找出公因式；(2)提公因式并确定另一个因式．【类型二】用因式分解简化运算计算：(1)39×37－13×91；(2)29×20.15＋72×20.15＋13×20.15－20.15×14.解析：(1)首先提取公因式13，进而求出即可；(2)首先提取公因式20.15，进而求出即可．解：(1)39×37－13×91＝3×13×37－13×91＝13×(3×37－91)＝13×20＝260；(2)29×20.15＋72×20.15＋13×20.15－20.15×14＝20.15×(29＋72＋13－14)＝2015.方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便．三、板书设计1．公因式多项式各项都含有的相同因式叫这个多项式各项的公因式．2．提公因式法如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，这种因式分解的方法叫做提公因式法．本节中要给学生留出自主学习的空间，然后引入稍有层次的例题，让学生进一步感受因式分解与整式的乘法是逆过程，从而可用整式的乘法检查错误．本节课在对例题的探究上，提倡引导学生合作交流，使学生发挥群体的力量，以此提高教学效果.第2课时变形后提公因式因式分解1．进一步理解因式分解的意义和公因式的意义；2．熟练运用提公因式法分解因式．(重点)一、情境导入下面的多项式有公因式吗？如果有，怎样因式分解呢？(1)a(2－x)＋b(2－x)－c(x－2)；(2)a(m－n)2＋b(n－m)2；(3)a(a－b)3－(b－a)3.二、合作探究探究点：用提公因式法进行因式分解(二)【类型一】利用因式分解整体代换求值已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值．解析：原式提取公因式变形后，将a＋b与ab的值代入计算即可求出值．解：∵a＋b＝7，ab＝4，∴原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28.方法总结：求代数式的值，有时要将已知条件看作一个整体代入求值．【类型二】因式分解与三角形知识的综合△ABC的三边长分别为a、b、c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断△ABC是等边三角形、等腰三角形还是直角三角形？并说明理由．解析：对已知条件进行化简后得到a＝c，根据等腰三角形的概念即可判定．解：整理a＋2ab＝c＋2bc，得a＋2ab－c－2bc＝0，(a－c)＋2b(a－c)＝0，(a－c)(1＋2b)＝0，∴a－c＝0或1＋2b＝0，即a＝c或b＝－12(舍去)，∴△ABC是等腰三角形．方法总结：通过提公因式分解因式，找出三边的关系来判定三角形的形状．【类型三】运用因式分解探究规律阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)]＝(1＋x)2(1＋x)＝(1＋x)3.(1)上述因式分解的方法是____________，共应用了______次；(2)若分解因式1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)2015，则需应用上述方法______次，结果是____________；(3)分解因式：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n(n为正整数)．解析：(1)根据已知计算过程直接得出因式分解的方法即可；(2)根据已知分解因式的方法可以得出答案；(3)由(1)中计算发现规律进而得出答案．解：(1)因式分解的方法是提公因式法，共应用了3次；(2)分解因式1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)2015，需应用上述方法2016次，结果是(1＋x)2015；(3)1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n＝(1＋x)n＋1.方法总结：解决此类问题需要认真阅读，理解题意，根据已知得出分解因式的规律是解题关键．三、板书设计1．提公因式分解因式的一般步骤：(1)观察；(2)适当变形；(3)确定公因式；(4)提取公因式．2．提公因式法因式分解的应用本课时是在上一课时的基础上进行的拓展延伸，在教学时要给学生足够主动权和思考空间，突出学生在课堂上的主体地位，引导和鼓励学生自主探究，在培养学生创新能力的同时提高学生的逻辑思维能力.4．3公式法第1课时平方差公式1．理解平方差公式，弄清平方差公式的形式和特点；(重点)2．掌握运用平方差公式分解因式的方法，能正确运用平方差公式把多项式分解因式．(难点)一、情境导入1．同学们，你能很快知道992－1是100的倍数吗？你是怎么想出来的？请与大家交流．2．你能将a 2－b 2分解因式吗？你是如何思考的？二、合作探究探究点一：用平方差公式因式分解【类型一】判定能否利用平方差公式分解因式下列多项式中能用平方差公式分解因式的是()A ．a 2＋(－b )2B ．5m 2－20mnC ．－x 2－y 2D ．－x 2＋9解析：A 中a 2＋(－b )2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；B 中5m 2－20mn 两项都不是平方项，不能用平方差公式分解因式，错误；C 中－x 2－y 2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；D 中－x 2＋9＝－x 2＋32，两项符号相反，能用平方差公式分解因式，正确．故选D.方法总结：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．【类型二】利用平方差公式分解因式分解因式：(1)a 4－116b 4；(2)x 3y 2－xy 4.解析：(1)a 4－116b 4可以写成(a 2)2－(14b 2)2的形式，这样可以用平方差公式进行分解因式，而其中有一个因式a 2－14b 2仍可以继续用平方差公式分解因式；(2)x 3y 2－xy 4有公因式xy 2，应先提公因式再进一步分解因式．解：(1)原式＝(a 2＋14b 2)(a 2－14b 2)＝(a 2＋14b 2)(a －12b )(a ＋12b )；(2)原式＝xy 2(x 2－y 2)＝xy 2(x ＋y )(x －y )．方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．【类型三】利用因式分解整体代换求值已知x 2－y 2＝－1，x ＋y ＝12，求x －y 的值．解析：已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将x ＋y 的值代入计算即可求出x －y 的值．解：∵x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y )＝－1，x ＋y ＝12，∴x －y ＝－2.方法总结：有时给出的条件不是字母的具体值，就需要先进行化简，求出字母的值，但有时很难或者根本就求不出字母的值，根据题目特点，将一个代数式的值整体代入可使运算简便．探究点二：用平方差公式因式分解的应用【类型一】利用因式分解解决整除问题248－1可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数．解析：先利用平方差公式分解因式，再找出范围内的解即可．解：248－1＝(224＋1)(224－1)＝(224＋1)(212＋1)(212－1)＝(224＋1)(212＋1)(26＋1)(26－1)．∵26＝64，∴26－1＝63，26＋1＝65，∴这两个数是65和63.方法总结：解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析被哪些数或式子整除．【类型二】利用平方差公式进行简便运算利用因式分解计算：(1)1012－992；(2)5722×14－4282×14.解析：(1)根据平方差公式进行计算即可；(2)先提取公因式，再根据平方差公式进行计算即可．解：(1)1012－992＝(101＋99)(101－99)＝400；(2)5722×14－4282×14＝(5722－4282)×14＝(572＋428)(572－428)×14＝1000×144×14＝36000.方法总结：一些比较复杂的计算，如果通过变形转化为平方差公式的形式，则可以使运算简便．【类型三】因式分解的实际应用如图，100个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影，最里面一个小正方形没有画阴影，最外面一层画阴影，最外面的正方形的边长为100cm ，向里依次为99cm ，98cm ，…，1cm ，那么在这个图形中，所有画阴影部分的面积和是多少？解析：相邻两正方形面积的差表示一块阴影部分的面积，而正方形的面积是边长的平方，所以能用平方差公式进行因式分解．解：每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面积的差，而正方形的面积是其边长的＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(32－22)平方，这样就可以逆用平方差公式计算了．则S阴影＋1＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝5050(cm2)．答：所有阴影部分的面积和是5050cm2.方法总结：首先应找出图形中哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．三、板书设计1．平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)；2．平方差公式的特点：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．运用平方差公式因式分解，首先应注意每个公式的特征．分析多项式的次数和项数，然后再确定公式．如果多项式是二项式，通常考虑应用平方差公式；如果多项式中有公因式可提，应先提取公因式，而且还要“提”得彻底，最后应注意两点：一是每个因式要化简，二是分解因式时，每个因式都要分解彻底.第2课时完全平方公式1．理解完全平方公式，弄清完全平方公式的形式和特点；(重点)2．掌握运用完全平方公式分解因式的方法，能正确运用完全平方公式把多项式分解因式．(难点)一、情境导入1．分解因式：(1)x2－4y2；(2)3x2－3y2；(3)x4－1；(4)(x＋3y)2－(x－3y)2；2．根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，你能将形如“a2＋2ab＋b2、a2－2ab ＋b2”的式子分解因式吗？二、合作探究探究点一：用完全平方公式因式分解【类型一】判定能否利用完全平方公式分解因式下列多项式能用完全平方公式分解因式的有()(1)a2＋ab＋b2；(2)a2－a＋12－24ab＋4b2；(4)－a2＋8a－16.4；(3)9aA．1个B．2个C．3个D．4个解析：(1)a 2＋ab ＋b 2，乘积项不是两数的2倍，不能运用完全平方公式；(2)a 2－a ＋14＝(a －12)2；(3)9a 2－24ab ＋4b 2，乘积项是这两数的4倍，不能用完全平方公式；(4)－a 2＋8a －16＝－(a 2－8a ＋16)＝－(a －4)2.所以(2)(4)能用完全平方公式分解．故选B.方法总结：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍．【类型二】运用完全平方公式分解因式因式分解：(1)－3a 2x 2＋24a 2x －48a 2；(2)(a 2＋4)2－16a 2.解析：(1)有公因式，因此要先提取公因式－3a 2，再把另一个因式(x 2－8x ＋16)用完全平方公式分解；(2)先用平方差公式，再用完全平方公式分解．解：(1)原式＝－3a 2(x 2－8x ＋16)＝－3a 2(x －4)2；(2)原式＝(a 2＋4)2－(4a )2＝(a 2＋4＋4a )(a 2＋4－4a )＝(a ＋2)2(a －2)2.方法总结：分解因式的步骤是一提、二用、三查，即有公因式的首先提公因式，没有公因式的用公式，最后检查每一个多项式的因式，看能否继续分解．探究点二：用完全平方公式因式分解的应用【类型一】运用因式分解进行简便运算利用因式分解计算：(1)342＋34×32＋162；(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92.解析：利用完全平方公式转化为(a ±b )2的形式后计算即可．解：(1)342＋34×32＋162＝(34＋16)2＝2500；(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92＝(38.9－48.9)2＝100.方法总结：此题主要考查了运用公式法分解因式，正确掌握完全平方公式是解题关键．【类型二】利用因式分解判定三角形的形状已知a ，b ，c 分别是△ABC 三边的长，且a 2＋2b 2＋c 2－2b (a ＋c )＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．解析：首先利用完全平方公式分组进行因式分解，进一步分析探讨三边关系得出结论即可．解：由a 2＋2b 2＋c 2－2b (a ＋c )＝0，得a 2－2ab ＋b 2＋b 2－2bc ＋c 2＝0，即(a －b )2＋(b －c )2＝0，∴a －b ＝0，b －c ＝0，∴a ＝b ＝c ，∴△ABC 是等边三角形．方法总结：通过配方将原式转化为非负数的和的形式，然后利用非负数性质解答，这是解决此类问题一般的思路．【类型三】整体代入求值已知a ＋b ＝5，ab ＝10，求12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3的值．解析：将12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3分解为12ab 与(a ＋b )2的乘积，因此可以运用整体代入的数学思想来解答．解：12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3＝12ab (a 2＋2ab ＋b 2)＝12ab (a ＋b )2.当a ＋b ＝5，ab ＝10时，原式＝12×10×52＝125.方法总结：解答此类问题的关键是对原式进行变形，将原式转化为含已知代数式的形式，然后整体代入．三、板书设计1．完全平方公式：a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2，a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2.2．完全平方公式的特点：(1)必须是三项式(或可以看成三项的)；(2)有两个同号的平方项；(3)有一个乘积项(等于平方项底数的±2倍)．简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央．本节课学生的探究活动比较多，教师既要全局把握，又要顺其自然，千万不可拔苗助长，为了后面多做几道练习而主观裁断时间安排．其实公式的探究活动本身既是对学生能力的培养，又是对公式的识记过程，而且还可以提高他们应用公式的本领.。
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= (a+b)(a-b)
2 2 a -b =(a
+ b)(a - b)
16a2-1 =(4a)2-12 =(4a+1)(4a-1)
下列多项式能否用平方差公式分解因式？说明理由。
（1）4x2+y2
(2) 4x2-(-y)2
(3) -4x2-y2
(5) a2-4
(4) -4x2+y2
(6) a2+3
能用平方差公式分解因式的多项式的特征： 1、由两部分组成；
3、每部分都能写成某个式把下列各式分解因式：
（1）25-16x2
(2) 9a2-81b2
（3） -m2+4p2
a2-b2=(a + b)(a - b)
公式中的a、b可以是单项式(数字、字母)、还 可以是多项式.分解因式最后结果中如果有同类项， 一定要合并同类项。
因式分解： m n (2m 3)
2
2
例2 把下列各式分解因式
（1）9（m+n)2-(m-n)2
( 2 )2x2-8x2
变式练习：把下列各式分解因式 (1) (x+y)2-(y+z)2 (2)4(a+b)2-25(a-c)2
(3)16a2-9b2
（4）4x3-9xy2
(5)81x4-y4
因式分解-----平方差公式
计算:
101×99
=(100+1)(100-1) =1002 –1 =9999
992-1
=(99+1)(99-1) =100 × 98 =9800
两个数的平方差，等于这两个数的和与这 两个数的差的积。
(a+b)(a-b)
2-b2 a =
整式的积 b a
多项式
a
b
2 2 a -b
能力拓展：
2 48 1 可被60到70之间的某两个整数整除，求这两个整数.
小结与反思
通过本节课的学习,你有哪些收获?
分解因式的步骤： (1)优先考虑提取公因式法 (2)其次看是否能用公式法 （如平方差公式） (3)检查是否分解彻底了