第10章 第1讲 交变电流的产生和描述

第1讲交变电流的产生和描述考纲点击备考指南1.交变电流、交变电流的图象Ⅰ 1.交变电流的产生及描述(e、u、i的瞬时值表达式、峰值、有效值、周期、频率)，特别是交流电的图象和有效值的计算是考查的热点．2.变压器的原理，电压比、电流比及功率关系，远距离输电问题等是考查的重点．3.掌握传感器的一些简单使用和一些敏感元件的基本原理2.正弦交变电流的函数表达式、峰值和有效值Ⅰ3.理想变压器Ⅰ4.远距离输电Ⅰ实验十一：传感器的简单使用知识一正弦式交变电流的产生和变化规律1．产生如图10－1－1所示，将闭合线圈置于匀强磁场中，并绕垂直于磁感线方向的轴做匀速转动．图10－1－12．变化规律(线圈在中性面位置开始计时)(1)电动势e随时间变化的规律：e＝E m sin ωt.(2)电压u随时间变化的规律：u＝U m sin_ωt.(3)电流i随时间变化的规律：i＝I m sin_ωt.其中ω等于线圈转动的角速度，E m＝nBl1l2ω＝nBSω.3．正弦式交变电流的图象(如图10－1－2所示)图10－1－2(1)闭合线圈在磁场中转动，当线圈中磁通量最大时，线圈中产生的电流最大．(×)(2)只有在中性面开始计时时，电动势表达式才可书写为e＝E m sin ωt.(√)知识二 描述交变电流的物理量1．周期和频率 (1)周期T ：交变电流完成一次周期性变化(线圈转动一周)所需的时间，单位是秒(s)．公式表达式为T ＝2πω.(2)频率f ：交变电流在1 s 内完成周期性变化的次数，单位是赫兹(Hz)．(3)周期和频率的关系：T ＝1f 或f ＝1T.2．交变电流的瞬时值、峰值、有效值和平均值(1)瞬时值：交变电流某一时刻的值，是时间的函数． (2)峰值：交变电流的电流或电压所能达到的最大值．(3)有效值：让交变电流与恒定电流分别通过相同的电阻，如果它们在交变电流的一个周期内产生的热量相等，则这个恒定电流I 、恒定电压U 就是这个交变电流的有效值．(4)正弦式交变电流的有效值与峰值之间的关系I ＝I m2，U ＝U m2，E ＝E m2.(5)平均值：交变电流图象中波形与横轴所围面积跟时间的比值，其数值可以用E ＝nΔΦΔt 计算．只有正弦交变电流有效值与峰值之间存在确定的关系，其他交变电流的有效值要根据焦耳定律进行确定．1．图中闭合线圈都在匀强磁场中绕虚线所示的固定转轴匀速转动，不能产生正弦式交变电流的是( )【解析】 A 、B 选项中闭合线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场且过线圈平面的转轴匀速转动，满足产生正弦式交变电流的条件，能产生正弦式交变电流；C 选项中转轴平行于磁场，转动过程中，穿过线圈的磁通量始终为零，故C 中不产生正弦式交变电流；D 选项中虽然只有一半线圈在磁场中，但是始终有一边切割磁感线按照正弦规律产生感应电动势，且一边出时，另一边恰好入，保证转动过程中感应电动势连续按照正弦规律变化．故应选C.【答案】 C2．已知某电阻元件在正常工作时，通过它的电流按如图10－1－3所示的规律变化．现与这个电阻元件串联一个多用电表(已调至交流电流挡)，则多用电表的读数为( )图10－1－3A ．4 2 AB ．4 AC ．5 AD ．5 2 A【解析】 多用电表的读数为有效值，由I 2RT ＝(82)2R T2＋(32)2R T2，得I ＝5 A ，C 项正确．【答案】 C3．(2013·海南高考)通过一阻值R ＝100 Ω的电阻的交变电流如图10－1－4所示，其周期为1 s ．电阻两端电压的有效值为( )图10－1－4A ．12 VB ．410 VC ．15 VD ．8 5 V【解析】 由有效值定义可得U 2R×1 s＝(0.1 A)2×R ×0.4 s×2＋(0.2 A)2×R ×0.1 s×2，其中R ＝100 Ω，可得U ＝410 V ，B 正确．【答案】 B 4．(多选)(2012·广东高考)某小型发电机产生的交变电动势为e ＝50sin 100πt (V)．对此电动势，下列表述正确的有( )A ．最大值是50 2 VB ．频率是100 HzC ．有效值是25 2 VD ．周期是0.02 s【解析】 交变电动势e ＝E m sin ωt 或e ＝E m cos ωt ，其中E m 为电动势的最大值，ω为角速度，有效值E ＝E m 2，周期T ＝2πω，频率f ＝1T .由e ＝50sin 100πt 知，E m ＝50 V ，E＝502V ＝25 2 V ，T ＝2πω＝2π100π s ＝0.02 s ，f ＝1T ＝10.02 Hz ＝50 Hz ，所以选项C 、D 正确．【答案】 CD考点一 [82] 正弦式交变电流的变化规律一、正弦式电流的变化规律(线圈在中性面位置开始计时)二、两个特殊位置的特点1．线圈平面与中性面重合时，S ⊥B ，Φ最大，ΔΦΔt＝0，e ＝0，i ＝0，电流方向将发生改变．2．线圈平面与中性面垂直时，S ∥B ，Φ＝0，ΔΦΔt最大，e 最大，i 最大，电流方向不改变．三、交变电流瞬时值表达式书写的基本思路1．确定正弦交变电流的峰值，根据已知图象或公式E m ＝nBS ω求出相应峰值． 2．明确线圈的初始位置，找出对应的函数关系式． (1)线圈从中性面位置开始转动，则i －t 图象为正弦函数图象，函数式为i ＝I m sin ωt . (2)线圈从垂直中性面位置开始转动，则i －t 图象为余弦函数图象，函数式为i ＝I m cos ωt .——————[1个示范例]——————(2012·安徽高考)图10－1－5甲是交流发电机模型示意图．在磁感应强度为B的匀强磁场中，有一矩形线圈abcd 可绕线圈平面内垂直于磁感线的轴OO ′转动，由线圈引出的导线ae 和df 分别与两个跟线圈一起绕OO ′转动的金属圆环相连接，金属圆环又分别与两个固定的电刷保持滑动接触，这样矩形线圈在转动中就可以保持和外电路电阻R 形成闭合电路．图10－1－5乙是线圈的主视图，导线ab 和cd 分别用它们的横截面来表示．已知ab 长度为L 1，bc 长度为L 2，线圈以恒定角速度ω逆时针转动．(只考虑单匝线圈)甲 乙丙图10－1－5(1)线圈平面处于中性面位置时开始计时，试推导t 时刻整个线圈中的感应电动势e 1的表达式；(2)线圈平面处于与中性面成φ0夹角位置时开始计时，如图丙所示，试写出t 时刻整个线圈中的感应电动势e 2的表达式；(3)若线圈电阻为r ，求线圈每转动一周电阻R 上产生的焦耳热．(其他电阻均不计) 【审题指导】 (1)开始计时时线圈的初位置不同，则瞬时值表达式不同． (2)求解的是电阻R 上产生的焦耳热，不要忽视线圈电阻r 的影响．【解析】 (1)矩形线圈abcd 在磁场中转动时，ab 、cd 切割磁感线，且转动的半径为r ＝L 22， 转动时ab 、cd 的线速度v ＝ωr ＝ωL 22，且与磁场方向的夹角为ωt ，所以，整个线圈中的感应电动势e 1＝2BL 1v sin ωt ＝BL 1L 2ωsin ωt .(2)当t ＝0时，线圈平面与中性面的夹角为φ0，则某时刻t 时，线圈平面与中性面的夹角为(ωt ＋φ0)故此时感应电动势的瞬时值e 2＝2BL 1v sin(ωt ＋φ0)＝BL 1L 2ωsin(ωt ＋φ0)． (3)线圈匀速转动时感应电动势的最大值E m ＝BL 1L 2ω，故有效值E ＝E m 2＝BL 1L 2ω2回路中电流的有效值I ＝E R ＋r ＝B ωL 1L 22R ＋r根据焦耳定律知转动一周电阻R 上的焦耳热为Q ＝I 2RT ＝[B ωL 1L 22R ＋r]2·R ·2πω＝πωRB 2L 21L 22R ＋r 2.【答案】 (1)e 1＝BL 1L 2ωsin ωt(2)e 2＝BL 1L 2ωsin(ωt ＋φ0) (3)πωRB 2L 21L 22R ＋r 2——————[1个预测例]——————一只矩形线圈在匀强磁场中绕垂直于磁感线的轴匀速转动，穿过线圈的磁通量随时间变化的图象如图10－1－6甲所示，则下列说法中正确的是( )甲 乙图10－1－6A ．t ＝0时刻线圈平面与中性面垂直B ．t ＝0.01 s 时刻Φ的变化率达到最大C ．t ＝0.02 s 时刻感应电动势达到最大D ．该线圈相应的感应电动势图象如图乙所示【解析】 由Φ－t 图知，在t ＝0时，Φ最大，即线圈处于中性面位置，此时e ＝0，故A 、D 两项错误；由图知T ＝0.04 s ，在t ＝0.01 s 时，Φ＝0，ΔΦΔt最大，e 最大，则B项正确；在t ＝0.02 s 时，Φ最大，ΔΦΔt＝0，e ＝0，则C 项错．【答案】 B考点二 [83] 交变电流有效值的计算一、正弦交变电流的有效值利用I ＝I m2，U ＝U m 2，E ＝E m2计算．只适用于正(余)弦式交流电．二、非正弦交变电流的有效值的计算1．计算有效值时要注意根据电流的热效应，抓住“三同”：“相同时间”内“相同电阻”上产生“相同热量”列式求解．“相同时间”一般取一个周期时间．2．利用两个公式Q ＝I 2Rt 和Q ＝U 2Rt 可分别求得电流有效值和电压有效值．——————[1个示范例]——————如图10－1－7所示为一个经双可控硅调节后加在电灯上的电压，正弦交流电的每一个二分之一周期中，前面四分之一周期被截去，则现在电灯上电压的有效值为( )图10－1－7A ．U m B.U m2C.U m 3D.U m2【解析】 由题给图象可知，交流电压的变化规律具有周期性，用电流热效应的等效法求解．设电灯的阻值为R ，正弦交流电压的有效值与峰值的关系是U ＝U m2，由于一个周期内半个周期有交流电压，一周期内交流电产生的热量为Q ＝U m22Rt ＝U 2m2R ·T 2，设交流电压的有效值为U ，由电流热效应得Q ＝U 2m2R ·T 2＝U 2R·T ，所以该交流电压的有效值U ＝U m /2，可见选项D正确．【答案】 D——————[1个预测例]——————在如图10－1－8甲所示电路中，D 为理想二极管(正向电阻为零，反向电阻为无穷大)．R 1＝30 Ω，R 2＝60 Ω，R 3＝10 Ω.在MN 间加上如图10－1－8乙所示的交变电压时，R 3两端电压表的读数大约是( )图10－1－8A ．3 VB ．3.5 VC ．4 VD ．5 V【审题指导】 由电路图甲和MN 所加交变电压图乙，二极管导通和截止两种状态下R 3两端的电压不同，再由此确定一个周期内R 3两端电压的有效值．【解析】 在0～0.01 s 内，二极管导通，电压表读数为U 3＝R 3R 3＋R 12U m ＝4 V ，在0.01～0.02 s 内，二极管截止，电压表读数U 3′＝R 3R 3＋R 1U m ＝3 V ．根据交流电有效值的定义得：U 23R 3×T 2＋U 3′2R 3×T 2＝U 2R 3×T ，U ＝3.5 V ，B 正确． 【答案】 B考点三 [84] 交变电流“四值”的理解和应用(2014·大连模拟)一个单匝矩形线框的面积为S，在磁感应强度为B的匀强磁场中，从线圈平面与磁场垂直的位置开始计时，转速为n转/秒，则( ) A．线框交变电动势的最大值为nπBSB．线框交变电动势的有效值为2nπBSC．从开始转动经过14周期，线框中的平均感应电动势为2nBSD．感应电动势瞬时值为e＝2nπBS sin 2nπt【解析】线框交变电动势的最大值为E max＝BSω＝2nπBS，产生的感应电动势瞬时值为e＝2nπBS sin 2nπt，A、D错；该线框交变电动势的有效值为E＝E max2＝2nπBS，B对；线框中的平均感应电动势E＝ΔΦΔt＝4nBS，C错．【答案】 B——————[1个预测例]——————(多选)如图10－1－9甲所示，将阻值为R＝5 Ω的电阻接到内阻不计的正弦交变电源上，电流随时间变化的规律如图10－1－9乙所示，电流表串联在电路中测量电流的大小．对此，下列说法正确的是( )图10－1－9A ．电阻R 两端电压的函数表达式为u ＝2.5sin 200πt (V)B ．电阻R 消耗的电功率为1.25 WC ．若此交变电流由一矩形线框在匀强磁场中匀速转动产生，如图丙所示，当线圈的转速提升一倍时，电流表的示数为1 AD ．这一交变电流与图丁所示电流比较，其有效值之比为12【审题指导】 (1)利用i －t 图象结合电压与电流的关系写出电压的函数表达式． (2)求电功率时应用电流的有效值．(3)根据电流的热效应计算不同形式的交变电流的有效值．【解析】 图乙所示电流的最大值为I m ＝0.5 A ，由欧姆定律得U m ＝I m R ＝2.5 V ．周期为T ＝0.01 s ，ω＝2πT＝200 π rad/s ，所以R 两端电压的表达式为u ＝2.5sin 200πt (V)，A 正确；该电流的有效值为I ＝I m2，电阻R 消耗的电功率为P ＝I 2R ，解得P ＝0.625 W ，B 错误；该交变电流由图丙所示矩形线圈在匀强磁场中匀速转动产生，当转速提升一倍时，电动势的最大值E m ＝nBS ω为原来的2倍．电路中电流的有效值也是原来的2倍，为2×0.52A≠1A ．电流表的示数为有效值，C 错误；图乙中的正弦交变电流的有效值为0.52A ．图丁所示的交变电流虽然方向发生变化，但大小恒为0.5 A ，可知D 正确．【答案】 AD交流发电机模型一、模型特点：闭合线圈在匀强磁场或其他磁场中转动，产生交变电流．二、分析技巧1．明确线圈初始位置，确定交变电流瞬时值表达式和图象．2．明确交变电流的瞬时值、最大值、有效值和平均值的不同应用．3．交变电流电路中，如果只有纯电阻元件，欧姆定律、焦耳定律等仍然适用．——————[1个示范例]——————图10－1－10(16分)(2012·江苏高考)某兴趣小组设计了一种发电装置，如图10－1－10所示．在磁极和圆柱状铁芯之间形成的两磁场区域的圆心角α均为49π，磁场均沿半径方向．匝数为N 的矩形线圈abcd 的边长ab ＝cd ＝l 、bc ＝ad ＝2l .线圈以角速度ω绕中心轴匀速转动，bc 和ad 边同时进入磁场．在磁场中，两条边所经过处的磁感应强度大小均为B 、方向始终与两边的运动方向垂直．线圈的总电阻为r ，外接电阻为R .求：(1)线圈切割磁感线时，感应电动势的大小E m ； (2)线圈切割磁感线时，bc 边所受安培力的大小F ； (3)外接电阻上电流的有效值I .【审题指导】 此题为交流发电机模型，解答此题要从以下几个方面分析：(1)bc 、ad 边进入磁场时，切割磁感线，产生感应电动势，而在磁场外时，不产生感应电动势 ，因此该发电机产生的不是正弦交流电．(2)bc 边所受安培力为线圈中感应电流在磁场中所受的安培力． (3)电流的有效值可以用焦耳定律确定．【规范解答】 (1)bc 、ad 边的运动速度v ＝ωl2感应电动势E m ＝4NBlv (2分)解得E m ＝2NBl 2ω(2分) (2)电流I m ＝E mr ＋R (2分) 安培力F ＝2NBI m l (2分)解得F ＝4N 2B 2l 3ωr ＋R(2分)(3)一个周期内，通电时间t ＝49T (2分)根据焦耳定律R 上产生的电热Q ＝I 2m Rt 且Q ＝I 2RT (2分)解得I ＝4NBl 2ωr ＋R(2分)【答案】 (1)2NBl 2ω (2)4N 2B 2l 3ωr＋R (3)4NBl 2ωr ＋R——————[1个模型练]——————如图10－1－11所示，匀强磁场的磁感应强度B ＝0.5 T ，边长L ＝10 cm 的正方形线圈abcd 共100匝，线圈电阻r ＝1 Ω，线圈绕垂直于磁感线的对称轴OO ′匀速转动，角速度ω＝2π rad/s ，外电路电阻R ＝4 Ω.求：图10－1－11(1)转动过程中感应电动势的最大值；(2)由图示位置(线圈平面与磁感线平行)转过60°角时的瞬时感应电动势； (3)由图示位置转过60°角的过程中产生的平均感应电动势； (4)交流电压表的示数．【解析】 (1)感应电动势最大值为：E m ＝nBS ω＝3.14 V. (2)由图示位置计时转过60°角时，瞬时感应电动势 E ＝E m cos 60°＝1.57 V.(3)由图示位置转过60°角的过程中产生的平均感应电动势E ＝n ΔΦΔt ＝100×0.5×0.01×sin 60°π3×2πV ＝2.60 V.(4)交流电压表测的是有效值，所以其示数U ＝E m R2R＋r＝1.78 V.【答案】 (1)3.14 V (2)1.57 V (3)2.60 V (4)1.78 V⊙交变电流的产生和变化规律 1.图10－1－12(2012·茂名二模)如图10－1－12所示，矩形线圈abcd 绕轴OO ′匀速转动产生交流电，在图示位置开始计时，则下列说法正确的是( )A ．t ＝0时穿过线圈的磁通量最大，产生的感生电流最大B ．t ＝T4(T 为周期)时感生电流沿abcda 方向C ．若转速增大为原来的2倍，则交变电流的频率是原来的4倍D ．若转速增大为原来的2倍，则产生的电流有效值为原来的4倍【解析】 图示时刻，ab 、cd 边切割磁感线的有效速率为零，产生的感应电动势为零，A 错误；根据线圈的转动方向，确定T4时线圈的位置，用右手定则可以确定线圈中的感应电流沿abcda 方向，B 正确；根据转速和频率的定义可知C 错误；根据E m ＝nBS ω，E ＝E m2，I ＝ER 总可知电流有效值变为原来的2倍，D 错误． 【答案】 B 2．(2011·天津高考)在匀强磁场中，一矩形金属线框绕与磁感线垂直的转轴匀速转动，如图10－1－13甲所示，产生的交变电动势的图象如图乙所示，则( )图10－1－13A ．t ＝0.005 s 时线框的磁通量变化率为零B ．t ＝0.01 s 时线框平面与中性面重合C ．线框产生的交变电动势有效值为311 VD ．线框产生的交变电动势频率为100 Hz 【解析】 由题图乙可知该正弦式交变电动势的电压最大值为311 V ，周期等于0.02 s ，因此，根据正弦式交变电动势的最大值与有效值之间的关系U ＝U max2得知选项C 错误；又f ＝1T ，则频率f ＝50 Hz ，选项D 错误；当t ＝0.005 s 时，e ＝n ΔΦΔt ＝311 V ，取得最大值，穿过线圈的磁通量变化率最大，选项A 错误；当t ＝0.01 s 时，交变电压及电流方向发生改变，电压值最小等于零，线框平面与中性面重合，选项B 正确．【答案】 B⊙交变电流“四值”的应用3．一个小型电热器若接在输出电压为10 V 的直流电源上，消耗电功率为P ；若把它接在某个正弦式交流电源上，其消耗的电功率为P2.如果电热器电阻不变，则此交流电源输出电压的最大值为( )A ．5 VB ．5 2 VC ．10 VD ．10 2 V【解析】 根据P ＝U 2R ，对直流电有P ＝2R ，对正弦式交流电有P 2＝U ′2R ，所以正弦式交流电的有效值为U ′＝PR2＝5 2 V ，交流电源输出电压的最大值U ′m ＝2U ′＝10V ，选项C 正确，选项A 、B 、D 错误．【答案】 C4．(多选)(2010·广东高考)图10－1－14是某种正弦式交变电压的波形图，由图可确定该电压的( )图10－1－14A ．周期是0.01 sB ．最大值是311 VC ．有效值是220 VD ．表达式为u ＝220sin 100πt V【解析】 由图象知，该交变电压的周期为0.02 s ，最大值为311 V ，而有效值U ＝U m2＝3112 V ＝220 V ，A 错，B 、C 正确．正弦交变电压的瞬时值表达式u ＝U m sin ωt ＝311sin2π0.02t V ＝311sin 100πt V ，D 错误． 【答案】 BC⊙交流发电机模型的综合分析 5．一台小型发电机产生的电动势随时间变化的正弦规律图象如图10－1－15甲所示．已知发电机线圈内阻为5.0 Ω，则外接一只电阻为95.0 Ω的灯泡，如图10－1－15乙所示，则( )图10－1－15A ．电压表的示数为220 VB ．电路中的电流方向每秒钟改变50次C ．灯泡实际消耗的功率为484 WD ．发电机线圈内阻每秒钟产生的焦耳热为24.2 J 【解析】 电压表示数为灯泡两端电压的有效值，由图象知电动势的最大值E m ＝220 2 V ，有效值E ＝220 V ，灯泡两端电压U ＝RER ＋r＝209 V ，A 项错；由图象知T ＝0.02 s ，一个周期内电流方向改变两次，可知1 s 内电流方向改变100次，B 项错；灯泡的实际功率P ＝U 2R＝209295 W ＝459.8 W ，C 项错；电流的有效值I ＝E R ＋r＝2.2 A ，发电机线圈内阻每秒钟产生的焦耳热为Q ＝I 2rt ＝2.22×5.0×1 J＝24.2 J ，D 项对．【答案】 D。